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TODO ECONOMETRÍA

1 M.Sc. Marcelo Miranda PhD(c) [email protected]

Sabemos que se aprende de las regularidades del comportamiento pasado de la serie y se proyectan hacia el futuro. Por lo tanto, es preciso que los procesos aleatorios generadores de las series temporales tengan algún tipo de estabilidad. Si, por el contrario, en cada momento de tiempo presentan un comportamiento diferente e inestable, no se pueden utilizar para predecir. A estas condiciones que se les impone a los procesos estocásticos para que sean estables para predecir, se les conoce como estacionariedad. Utilizando el análisis de series temporales, manteniendo la metodología de box-Jenkins vamos a realizar un análisis de la tasa del IPC en Australia, la serie es trimestral, se recogen los datos desde el 6/01/1948 hasta el 9 /01/2012.

A continuación voy a realizar un primer gráfico para observar el comportamiento de mi serie.

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En un principio vemos que la serie no posee tendencias estocásticas ni deterministas. Podemos

observar que existe variabilidad en varianza. Aparentemente puede parecer estacionaria ya que es una tasa

pero debemos comprobarlo ya que si bien la tendencia no es evidente, otros problemas como la

autocorrelación o la estacionalidad pueden estar presentes.

Primero vamos a realizar el gráfico de autocorrelograma de las funciones de autocorrelación simple y

parcial para detectar si la serie es estacionaria o no, también nos puede indicar que estructura puede tener la

serie y así elegir el modelo que será bueno para modelizar la serie y sus problemas.

1. TEST DE AUTOCORRELACIONES

NIVELES

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Podemos observar que la autocorrelación parece que decrece rápidamente hacia 0 eso es una

característica clara de las series autorregresivas.

Vamos a comprobar si la serie es estacionaria o no mediante el test de raíces unitarias, ya que aunque en

un principio la serie parece estacionaria, este test nos da el resultado con exactitud.

2. TEST DE RAICES UNITARIAS

TEST DE DICKEY-FULLER

Con este test pretendemos cerciorarnos si la serie es estacionaria o no. Vamos a realizarlo en

niveles y si obtenemos un resultado de no estacionariedad realizaremos el test en primera diferencia

y si la serie sigue sin ser estacionaria, en segunda diferencia hasta obtener la estacionariedad. No

realizaremos la transformación en logaritmos ya que mi serie es una tasa.

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En este test la Ho es la presencia de raíces unitarias y la H1 presenta que la serie ha sido generada por

un proceso estacionario.

La prueba de hipótesis se contrasta con el valor de la t estadística y su probabilidad. Si ésta resulta

positiva o está por debajo del valor crítico, se acepta Ho. Este resultado se confirma un poco más

intuitivamente cuando se observa que la probabilidad de la prueba es mayor al 95% de confianza, lo cual se

advierte en el valor de probabilidad, que debe ser mayor a 0.05 para aceptar la Ho.

En tal caso se sabe de la existencia de al menos una raíz unitaria, en este caso no es así ya que como

el resultado de la probabilidad es menor a 0,05 rechazamos la hipótesis de no estacionariedad, la serie que

observamos seria estacionaria. A un nivel de significación del 0,01 la seria no sería estacionaria, pero vamos

a tomar el valor de referencia que sería 0,05 por tanto puedo concluir que mi serie ya sería estacionaria y no

tendríamos problemas para modelizar.

3. ESPECIFICACIÓN DEL MODELO

Observando el correlograma de mis datos, encuentro indicios de que mi modelo se pueda especificar

de forma correcta mediante los procesos ARMA.

Tras probar numerosos modelos, voy a representar los tres modelos que he obtenido significativos y

así comparar entre ellos y que hacen a mi serie estacionaria.

A) MODELO 1 ARMA(2,1)

1. ESTIMACIÓN IPC c ar(1) ar(2) ma(1)

NIVELES

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El primer modelo propuesto, está formado por los procesos AR(1), AR(2) Y MA(1), Para los tres procesos,

contrastando con los niveles de significación razonables (0.05, 0.01 y 0.1), se rechaza la hipótesis nula, por

tantos los tres serían significativos dentro de los niveles habituales de confianza.

El R-squared nos muestra que nuestro modelo se ajusta en un 47,33%.

El criterio de Akaike y el criterio de Schwarz poseen valores de 2.7460 y 2.8024 respectivamente. Estos Datos

los utilizaremos para comparar entre nuestros modelos, claro que solo uno de ellos (cualquiera) como

criterio de decisión para el mejor ajuste.

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2. CORRELOGRAMA

En el correlograma podemos observar que tanto la autocorrelación como la correlación

parcial están correctamente ajustadas, ya que no se salen de las bandas. Sería un buen

modelo aunque nuestros estadísticos de Ljung-Box no son ruido blanco, pero eso no es

problema ya que se puede tener estacionalidad y no ruido blanco.

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3. GRÁFICO DE RESIDUOS

En el gráfico de residuos podemos observar que el modelo se ajusta bien ya que la distribución

de los residuos ajustada es parecida a la distribución original.

4. MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS

En esta matriz podemos ver que los valores de las varianzas situadas en la diagonal principal

siguen una distribución parecida y los valores de las covarianzas son muy bajos por tanto

estaríamos ante un modelo bien ajustado.

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B) MODELO 2 AR(1) AR(2)

1. ESTIMACIÓN: IPC c AR(1) AR(2)

El segundo modelo propuesto, está formado por los procesos autorregresivos AR(1) AR(2), En los dos

casos, contrastando con los niveles de significación habituales (0.05, 0.01 y 0.1), se rechaza la hipótesis nula

que son iguales a cero, por tanto sería significativo.


El criterio de Akaike y el criterio de Schwarz poseen valores de 2.7769 y 2.8191 respectivamente. Estos Datos

los utilizaremos para comparar entre nuestros modelos manteniendo el criterio se decisión habitual.

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2. CORRELOGRAMA DE RESIDUOS

Podemos apreciar que este también sería un buen modelo ya que las correlaciones no se salen de las bandas

de forma que sea grabe. Mantienen una estructura adecuada pero nuevamente el estadístico Q-Stat nos dice

que no estamos en presencia de ruido blanco.

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Como podemos observar los residuos de esta modelización no tienen mucha diferencia con el ajustado. Es un

buen ajuste.


En esta matriz podemos ver que los valores de las varianzas situadas en la diagonal principal siguen una

distribución parecida y los valores de las covarianzas son muy bajos por tanto estaríamos ante un modelo

bien ajustado.

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C) Modelo 3 AR(1) AR(2) AR(3)

1. ESTIMACIÓN: Ipc c ar(1) ar(2) ar(3)

El tercer modelo propuesto, está formado por el proceso autorregresivo AR(1) AR(2) Y AR(3), contrastando

con los niveles de significación razonables (0.05,0.01 y 0.1), se rechaza la hipótesis nula, por tanto sería

significativo.


El criterio de Akaike y el criterio de Schwarz poseen valores de 2,7576 y 2,8140respectivamente. Estos Datos

los utilizaremos para comparar entre nuestros modelos.

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2. CORRELOGRAMA DE LOS RESIDUOS

Podemos apreciar que este también sería un buen modelo ya que las correlaciones no se salen de las bandas

de manera que se hacen cero. Mantienen una estructura adecuada pero nuevamente el estadístico Q-Stat

nos dice que no estamos en presencia de ruido blanco.

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Como podemos observar los residuos de esta modelización no tienen mucha diferencia con el ajustado. Es un

buen ajuste.


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En esta matriz podemos ver que los valores de las varianzas situadas en la diagonal principal siguen una

distribución parecida y los valores de las covarianzas son muy bajos por tanto estaríamos ante un modelo

bien ajustado.

Tras realizar 3 modelos propuestos, he comparado el valor del criterio de akaike en los tres casos y el

menor valor pertenece al modelo 1: ARMA(2,1). Además del criterio de akaike, podemos ver que en el

correlograma de residuos la correlación parcial no se sale de las bandas. Creo que este sería el mejor modelo

para modelizar mi serie.

Es muy usual hacer este tipo de metodología ya que hay dos principios los que buscamos al

modelizar las series temporales, el primero es que la serie sea estacionaria, y el segundo el de parsimonia ya

que con una adecuada modelización nos aseguramos cumplir los dos objetivos principales de las series

temporales univariantes, que es el control y la predicción. Con series mal modelizadas podemos cometer

errores que representen malas medidas de política, el criterio de Akaike es el más usual para tener un

criterio unísono para comparar modelos.

4. ESTIMACIÓN

Se realiza el análisis de predicción por dos objeticos: controlar la serie y su comportamiento y

encontrar el valor más cercano al verdadero valor de la población; y predecir el comportamiento en

el siguiente periodo de la serie que estamos analizando. Las predicciones hechas en periodos más

adelante en el tiempo pierden fiabilidad por los problemas que contienen intrínsecamente la serie y

otros ajenos a nuestro control.

Por tanto, yo únicamente he realizado la predicción del siguiente periodo:

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ESTIMACIÓN

Podemos observar que en la columna de la derecha, la predicción encontrada es muy cercana al

valor de la observación, lo cual nos indica un buen ajuste de nuestro modelo, mostramos dos formas

de presentar las predicciones, una columna la del medio con solo la predicción y la segunda de la

derecha incluyen los datos observados de nuestra seria mas el periodo predicho por nuestra

modelización.

En nuestro caso tenemos el resultado del comportamiento de nuestra muestra en el siguiente

periodo.

Observamos que nuestra predicción (la línea azul) está dentro de las bandas de confianza, lo cual

demuestra un muy buen ajuste de nuestro modelo y, por tanto, una buena predicción.

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Mirando los estadísticos de la derecha, podemos observar que el modelo estimado se ajusta en un

81,16% al modelo de inicio, además la variabilidad es únicamente del 18,8%, por lo que podemos

concluir que la estimación es acertada.

5. COINTEGRACIÓN

Sabemos que se mantiene en la teoría que dos o mas series están cointegradas si las mismas se

mueven conjuntamente a lo largo del tiempo, y sus diferencias son estacionarias, aun que cada serie

tenga su propia identidad y tendencia estocástica y por lo tanto no sea estacionara. Por lo tanto se

plantea que a cointegración es un reflejo del llamado de equilibrio en el largo plazo en el tiempo.

Entonces el término de error de la ecuación de cointegración se interpretan como el error que

desequilibra para cada momento del tiempo en particular.

Nuestro objetivo de este apartado es el análisis de las relaciones dinámicas entre la tasa del IPC en

España y la tasa de ocupación en España también, observados mensualmente desde Enero de 1998

hasta el Diciembre de 2009.

En primer lugar vamos a realizar un gráfico conjunto de las series para observar su comportamiento.

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Podemos decir que las dos series mantienen una dirección y comportamiento no muy distante.

Como seguimos el método de Engle y Granger para hacer el análisis que corresponde primero es utilizar la

metodología ya vista de Box Jenquins de nuestras series analizadas.

a) Transformación estacionaria de cada una de las dos series consideradas.

1. Transformación para la tasa del IPC

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El estadístico de Dickey-Fuller nos permite concluir que la serie de la tasa del IPC no es

estacionaria. Por lo tanto, tomamos primeras diferencias y analizamos si las variaciones

menduales son estacionarias.

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Como podemos ver la serie es estacionaria a una diferencia.

La serie tras tomar una diferencia es estacionaria. Por lo tanto, la tasa del IPC mensual es una

variable I(1).

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2. Tranformación para la tasa de ocupación

La serie tasa de ocupación no es una variable estacionaria. Vamos a analizar ahora si sus primeras diferencias

son estacionarias:

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Dado que las tasas de variación mensuales son estacionarias, la tasa de ocupación en España también es una

variable I(1).

Con este análisis cumplimos una de las condiciones iniciales para las series cointegradas que es que las dos

series sean integradas de orden uno. Ya podemos determinar si las variables están cointegradas o no.

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b) Estimación de la regresión a largo plazo y análisis de sus residuos.

Tomamos como variable dependiente el IPC, pero realmente podríamos poner cualquiera de las

dos.

IPCt = -61.35875 +TASAOCUPACONt

Al realizar un MCO para determinar si estas tienen relación entre sí, podemos ver que la variable

es significativa, este hecho por tanto nos hace que podamos pensar que las variables estén

cointegradas ya que a un nivel de significación razonable.

A continuación introducimos el gráfico de los residuos comparados con el ajustado y el actual.

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El gráfico de los residuos únicamente sería; como vemos tiene una estructura de tendencia y

algún proceso autorregresivo multiplicativo.

Test de raíces unitarias para los residuos.

Los residuos son estacionarios, por lo tanto las variables están cointegradas existiendo entre

ellas una relación de equilibrio a largo plazo dada por:

Ipct= 3.17 + tasaocupaciont

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c) Estimación por MV del modelo VAR-MCE con el vector de cointegración normalizado con

respecto a la primera variable.

Granger dice que, si las variables están cointegradas, existe un mecanismo de corrección y viceversa.

Por lo tanto, teóricamente, se presentan dos posibles vías de contrastar la cointegración; la primera

es ver sí

a´ Xt* es I(0)

y la segunda consiste en buscar si existe un mecanismo de corrección del error.

Si tenemos un proceso vectorial autorregresivo que podemos expresar de forma compacta.

a(L)Xt* = t

El polinomio a(L) se puede descomponer en varios términos por Taylor en el punto L=1.

Si hacemos una expansión de primer orden, el resultado será:

a(L) = a(1) + a*(L) (1-L)

Para obtener un modelo de corrección del error solo hay que sumar a(1) L, por lo que quedaría:

a(L) = a(1)L + [ a(1) + a*(L)] (1-L)= a(1)L + a**(L)(1-L).

Sustituimos en la forma compacta, tendríamos que:

a**(L)(1-L) Xt* = -a(1) Xt-1

* + t

En el primer miembro, hay términos en primeras diferencias (1-L) Xt*. Esto se debe a que las

variables Xt* son integrables de orden uno I(1). Pero también tenemos términos sin diferenciar, en

niveles, como a(1) Xt-1*. El modelo, en principio, estará mal especificado ya que no puede ser que

una variable con tendencia en varianza como Xt-1*, explique a otra que no la tiene como (1-L) Xt-1*.

Sin embargo el modelo no estará mal especificado si a(1)) Xt-1* es I(0).

Ahora en un modelo de corrección de error la estructura en el corto plazo de cada variable está

influenciada por las deviaciones del equilibrio. Así, si asumimos que las dos series son I(1), un modelo

de corrección de error sería:

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Así con nuestro datos el modelo de corrección de error,

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Los residuos del modelo VAR-MCE son:

Como vemos los parámetros de la relación de largo plazo son muy parecidos a los obtenidos en el modelo de

largo plazo. Además, también se observan los coeficientes del ajuste al equilibrio a largo plazo, α1 α2, siendo

uno significativo y el otro no.

En concreto sólo α2 =-3.42335 es significativamente distinto de cero.

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Sus correlaciones vienen dadas por:

Aquí ya podemos concluir que la modelización ha capturado el efecto y que el modelo en el largo

plazo es estacionario y hay relación de largo plazo.

[

] [

] [ ] ∑ [

]

[ ]

d) Estime MCE como dos modelos uniecuacionales

Al tener ya el análisis de nuestras series podemos encarar su estimación como modelos

uniecuacionales

Ahora uniecuacionalmente modelizamos el modelo de largo palzo y generamos los residuos del

modelo de largo plazo. Guardamos sus residuos y creamos sus retardos.

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Ecuación del error.

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Podemos observar que existe dependencia del pasado en el presente, ya que los retardos del error son

significativos a los niveles habituales de confianza.

1. Ecuación de la tasa de ocupación

Utilizando los residuos de la regresión por MCO las ecuaciones que surgen del MCE ariba. Necesitaremos

retardos de las variables hasta el orden 2 para recoger los efectos estacionales y dos diferencias una regular y

una estacional.

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Estos residuos obtenidos de este modelo son estacionales

Lo confirma el autocorrelagrama.

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2. Ecuación del IPC

Utilizando los residuos de la regresión por MCO las ecuaciones que surgen del MCE ariba. Necesitaremos

retardos de las variables hasta el orden 2 para recoger los efectos estacionales y dos diferencias una regular y

una estacional para la tasa de ocupación y una diferencia estacional para IPC.

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Este modelo mantiene un proceso autorregresivo pero como no hemos incluido una modelización propia

de los efectos estacionales estos salen en la función de autocorrelación. Sin embargo estamos en presencia

de un modelo que es estacionario ya que las innovaciones se hacen cero pronto.

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CORRELOGRAMAS CRUZADOS

Las correlaciones cruzadas entre los residuos se observa que si existe relación contemporánea y

queda recogida en los residuos.

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