econometría 1

Econometría I

Mg. Beatriz Castañeda

20010-1

Facultad de Economía - UNMSM

2Mg. Beatriz Castañeda

Econometría

La Econometría se ocupa del estudio de estructuras que permitan analizar características o propiedades de una variable económica utilizando como causas explicativas otras variables económicas.


Modelo

Un modelo es la representación simplificada de cualquier fenómeno, proceso, institución y en general de cualquier sistema.

Un sistema es un conjunto de elementos que se encuentran en interacción.


Tipos de modelo

Modelo mental: Representación no explícita o exteriorizada.

Modelo verbal: Descripción del modelo mental en lenguaje ordinario.

Modelo físico: Representación de un sistema en forma material o mediante objetos.

Modelo matemático: Descripción del sistema con la ayuda del lenguaje matemático.


Modelo económico y modelo econométrico

Modelo económico. Son leyes o relaciones económicas que son aplicables con validez general a diversos sistemas concretos a través del tiempo.

Modelo econométrico: Es un modelo específico de aplicación a sistemas reales concretos, basado en un modelo económico pero desarrollado con las características particulares del sistema en estudio. Tiene validez limitada por el sistema de referencia o el periodo temporal.


Objeto y método de la investigación econométrica

El papel esencial de la econometría es la estimación y verificación de los modelos econométricos.

Proceso: Especificación del modelo en forma matemática. Reunión de datos apropiados y relevantes de la

economía o sector que el modelo se propone describir.

Con los datos se estima los parámetros del modelo Realizar pruebas con el modelo para analizar si es

valido o si es necesario modificar la especificación.


Tipos de modelos econométricos

Modelos estructurales: la especificación, lineal o no lineal, del modelo se basa en las relaciones estructurales establecidas por el modelo económico para explicar el comportamiento, la variable o sistema bajo estudioModelos de regresión uniecuacionalesModelos de simulación o multiecuacional


Tipos de modelos econométricos

Modelos de series temporales: Examinan el comportamiento pasado de una serie temporal para inferir su comportamiento futuro. Se utiliza cuando se tiene escaso conocimiento sobre las relaciones causales del proceso que se trata de predecir. Son muy fiables para predicciones a corto plazo. Modelos Uniecuacionales: ARIMA, SARIMA Modelos Multiecuacionales: VAR


Relación entre variables económicas y regresión espúrea

Todo modelo econométrico exige una teoría económica previa, sin ella caere-mos en el mero cálculo de relaciones observacionales entre las variables.

Regresión espúrea: Es aquella regresión que no tiene significado ni explicación en la teoría económica


El cálculo de coeficientes de correlación y el trazado satisfactorio de líneas de regresión no debe confundirse con un método para hallar leyes, confusión tan frecuente en las ciencias sociales.

Cuando se adopta un modelo de regresión lineal y se calculan los parámetros a partir de los datos, la ley central que se supone rige esa información ruidosa (dispersa) no se ha descubierto, sino que se ha supuesto desde el principio.

No hay elaboración de datos estadísticos que produzca por si nuevas hipótesis, por no hablar ya de leyes, en general, no hay esfuerzo técnico, por grande que sea, ni empírico, ni matemático, que pueda ahorrarnos el trabajo de inventar nuevas ideas, aunque sin duda aquel trabajo técnico puede muy bien disimular la falta de ideas.

Mario Bunge


Proceso de contrastación de teorías según Koutsoyiannis (1973)

Teoría

Expresión matemática de la teoría:Modelo

Confrontación del modelo con los datos

Aceptación de la teoría si es compatible

con lo datos

Confrontación con nuevos datos

Rechazo de la teoría si es incompatible

con lo datos

Revisión de la teoría si es incompatible

con lo datos


Compatibilidad con datos con elevada probabilidad

Incompatibilidad con datos con elevada probabilidad

Contraste con datos no con-cluyente (reducida prob. o resul-tados opuestos compensados)

Teoría

Modelo adoptado para contrastación

Confrontación del modelo con datos del marco de referencia

Conjunto de datos 1

Modelo econo-métrico 1

Modelo econo-métrico 2

Modelo econo-métrico N-1

Modelo econo-métrico N

Conjunto de datos 2

Conjunto de datos N-1

Conjunto de datos N

Para todos los modelos y conjuntos de datos

Confirma eventualmente la bondad de la teoría

Nuevos modelos

econométricos y aplicacióncon nuevos

datos

Nuevos desarrollos

teóricos

Nuevos desarrollos teó-ricos en la misma línea

Para algunos modelos y conjuntos de datos

Informa sobre grado de aceptabilidad de la teoría

Nuevos desarrollos teó-ricos c/posibles correc.

Para todos los modelos y conjuntos de datos

Rechazo de la teoría

Búsqueda de nuevoscaminos teóricos

PROCESO GENERAL DE CONTRASTACIÓN DE TEORIAS


El papel de los modelos econométricos en la investigación económica aplicada

a) Análisis estructural: Nos permite evaluar el impacto en Y t de

las variaciones ocurridas en Xt y Zt.

b) Predicción de Yt dados unos hipotéticos valores futuros para

Xt y Zt.

c) Evaluación de políticas o simulación de los efectos que

tienen sobre YT+h diferentes estrategias que afectan a las

variables explicativas.

ttt ZbXbbY 210 ++=Sea el modelo estimado

El conocimiento de los coeficientes b0, b1 y b2 nos permite realizar


MODELO ECONOMETRICO

LINEAL NO LINEAL

Multiecuacional UniecuacionalUniecuacional Multiecuacional


Modelo de regresión lineal múltiple

niparaXXY ikikii ,1,....221 =++++= εβββ

Sean las variables Y, X2, …., Xk, ε donde:

Y : variable observable (variable endógena o variable explicada)

X2, …., Xk : variables predeterminadas (variable exógenas o variables explicativas)

ε : variable aleatoria no observable (variable perturbación)

Dada una muestra de tamaño n, tenemos:

Se plantea el modelo:

nKnKnn

KK

KK

XXY

XXY

XXY

εβββ

εβββεβββ

++++=

++++=++++=

...

............

...

...

221

2222212

1121211


Notación matricial

+

=

nkknnn

k

k

n xxx

xxx

xxx

y

y

y

ε

εε

β

ββ

......

...1

...............

...1

...1

...2

1

2

1

32

23222

13121

2

1

Y X β + ε=

nKnKnn

KK

KK

XXY

XXY

XXY

εβββ

εβββεβββ

++++=

++++=++++=

...

............

...

...

221

2222212

1121211



1. Yi es variable observable, variable dependiente.

2. Xi son variables fijas (con valores predeterminados, no colineales (linealmente independientes). Rango (X) = K. Variables explicativas o independientes.

3. ε i son variables aleatorias homocedasticas e incorrelacionadas, es decir, E(ε i ) = 0; V(ε i ) = σ2 ; Cov (ε i, ε j ) = 0.

Supuestos del modelo

=

==

=

0)(

.....

0)(

0)(

)( 2

1

nE

E

E

E

ε

εε

ε

[ ]

=

=

==

2

2

2

221

22212

12121

212

1

...00

............

0...0

0...0

)(...)()(

............

)(...)()(

)(...)()(

......

´)()(

σ

σσ

εεεεε

εεεεεεεεεε

εεε

ε

εε

εεε

nnn

n

n

n

n

EEE

EEE

EEE

EEV

4. El número de observaciones excede al de parámetros a estimar.


Propiedades de matrices y Distribuciones de probabilidad

1. A es simétrica AT = A

2. A es idempotente An = A

3. A es simétrica e idempotente ρ(A) = Traza (A)

4. Si ∃ AB y BA Traza (AB) = Traza (BA)


Propiedades de matrices y Distribuciones de probabilidad

5. Si X(kx1) es N(µ, V) y si Tpxk es una matriz de coeficientes con ρ(T) = p

TX tiene distribución N(Tµ, TVT´)

Puesto que TX genera combinaciones lineales de variables normales

6. Si X(kx1) es N(0, I) y A es una matriz simétrica e idempotente

X´AX es χ2(r) con r = Traza(A)

7. X´AX y X´BX son formas cuadráticas independientes AB=0


Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)


=

kβ

ββ

β

ˆ...

ˆ

ˆ

ˆ 2

1

)ˆ...ˆˆˆ(ˆ33221 kikiiiiii XXXYYYe ββββ ++++−=−=

Dado el estimador

Obtenemos el valor calculado

kikiii XXXY ββββ ˆ...ˆˆˆˆ33221 ++++=

y el residuo o error de estimación

Sea


El método de mínimos cuadrados ordinarios consiste en obtener los estimadores de β i minimizando la suma de cuadrados de los errores, esto es,

eeXXXYeS kikii

n

ii

n

ii

´)]ˆ...ˆˆˆ([)ˆ( 23322

11

1

2 =++++−== ∑∑==

βββββ

[ ] ∑=

=

==n

i

n

n ie

e

e

e

eeeeeS1

22

1

21 ......´)ˆ(β

)ˆ)´(ˆ()ˆ)´(ˆ(´)ˆ( βββ XYXYYYYYeeS −−=−−==

YY

YY

YY

YY

e

nn

ˆ

ˆ......

ˆ

ˆ

22

11

−=

−

−−

=


Para minimizar )ˆ(βS por la condición de primer orden obtenemos las derivadas

respecto a cada iβ̂

23322

11 )]ˆ...ˆˆˆ([)ˆ( kikii

n

ii XXXYS βββββ ++++−= ∑

=

e igualamos a 0

0)1()ˆ...ˆˆˆ((2ˆ)ˆ(

33221

1

1

=−++++−=∂

∂ ∑=

kikii

n

ii XXXY

S βββββ

β

0)()ˆ...ˆˆˆ((2ˆ)ˆ(

233221

1

2

=−++++−=∂

∂ ∑=

ikikii

n

ii XXXXY

S βββββ

β

0))(ˆ...ˆˆˆ((2ˆ)ˆ(

33221

1 =−++++−=∂

∂ ∑=

kikikii

n

ii

k

XXXXYS βββββ

β

…………………………….

Con estas igualdades formamos un sistema de ecuaciones, denominadas ecuaciones normales


∑∑∑∑====

++++=n

ikik

n

ii

n

ii

n

ii XXXnY

1133

122

11

ˆ...ˆˆˆ ββββ

ki

n

iiki

n

ii

n

i

n

ii

n

iii XXXXXXXY

i ∑∑∑∑∑=====

++++=1

231

231

22

12

112

ˆ...ˆˆˆ2

ββββ

∑∑∑∑∑=====

++++=n

iki

n

ikii

n

iki

n

iki

n

ikii ki

XXXXXXXY1

23

132

12

111

ˆ...ˆˆˆ ββββ

…………………………….

=

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑

kkiikiiki

kiiiiii

kiii

nknkkk

n

kixxxxxx

xxxxxx

xxxn

y

y

y

xxxx

xxxx

β

ββ

ˆ...

ˆ

ˆ

...

...............

...

...

...

...

...............

...

1...111

2

1

232

23222

2

32

2

1

321

2232221

X´Y = (X´X)β̂ YXXX ´)´(ˆ 1−=β

Sistema de ecuaciones normales


)ˆ()´ˆ´()ˆ)´(ˆ(´)ˆ( βββββ XYXYXYXYeeS −−=−−==

Utilizando la expresión matricial para )ˆ(βS

ββββ ˆ´´ˆˆ´´´ˆ´ XXXYYXYY +−−=

βββ ˆ´´ˆ´´ˆ2´ XXYXYY +−=

0ˆ)´(2´2ˆ)ˆ( =+−=

∂∂ β

ββ

XXYXS

β̂)´(´ XXYX = YXXX ´)´(ˆ 1−=β


Propiedades de los estimadores

ββ =)ˆ(E

εβεββ ´)´()´()´(´)´(ˆ 111 XXXXXXXYXXX −−− +=+==

βεββ =+= − )(´])´[()ˆ( 1 EXXXE

1) Insesgado:

2) 12 )´()ˆ( −= XXV σβ

εββ ´)´(ˆ 1XXX −=−

)´]ˆ)(ˆ[()ˆ( βββββ −−= EV ])´(´´)´[( 11 −−= XXXXXXE εε12111 )´()´()´()´(´)(´)´( −−−− == XXXIXXXXXXEXXX σεε

12 )´( −= XXσ

Función lineal de las perturbacionesFunción lineal de las obs. Y


Teorema de Gauss-Markov

seaydelinealestimadorunYASea ββ ~~ = queodekxTmatrizXXXAA mod,´;)´(~ 1−−=

εββεββ ´])´[()(´])´([])´([~ 111 XXXAXXXXXAYXXXA −−− ++=++=+=

El estimador MCO es el estimador lineal insesgado óptimo, en el sentido de que cualquier otro estimador lineal insesgado tiene una matriz de covarianzas “mayor” que la del estimador MCO

Demostración

βββ += AXELuego )~( 0

~ =AXquetalesAsisóloinsesgadoseráasí β

εββ ´])´([~ 1XXXA −++=Si se cumple condición, el vector quedaría expresado como:

La matriz de convarianzas de seráβ~

}{ )´´])´(([)´])´(([)´]~

)(~

[()~( 11 εεβββββ XXXAXXXAEEV −− ++=−−=

)ˆ()´()´(´ 12122MCOVXXXXAA βσσσ εεε =⟩+= −−


Estimador de σ2

YXXXXXXYe ´)´(ˆ 1−−+=−= εββ)´()´( 1 εβεβ +−+= − XXXXXX

εε ´)´( 1XXXX −−=

εε MXXXXI =−= − ´])´([ 1

eidempotentesimétricaesM

MXXXXIXXXXIM =−=−= −− ´)´(´]´)´([´ 11

´])´(´][)´([ 11 XXXXIXXXXIMM −− −−=

´)´(´)´(´)´(´)´( 1111 XXXXXXXXXXXXXXXXI −−−− +−−=

MXXXXI =−= − ´)´( 1


εεεεεεβ MMMMMeeeS i ´´´))´((´)ˆ( 2 ===== ∑

+== ∑∑∑

≠=ji

jiij

n

iiii aaEMEeE

iεεεεε

1

22 )´()(

)(2 ∑∑ += jiijii Eaa εεσ

)()( 22 knMTraza −== εε σσ

´))´(()( 1XXXXITrazaMTraza nxn−−=

´))´(()( 1XXXXTrazaITraza −−=

knITrazanXXXXTrazan kxk −=−=−= − )()´)´(( 1

kn

ee

kn

ei−

=−

= ∑ ´ˆ

22εσ Es un estimador insesgado de

2εσ


kn

ee

kn

ei−

=−

= ∑ ´ˆ

22εσ

22ˆ eS=εσCálculo de

βββ ˆ´´ˆ´´ˆ2´´ XXYXYYee +−=

]´)´[(´´ˆ´´ˆ2´´ 1 YXXXXXYXYYee −+−= ββ

YXYYee ´´ˆ´´ β−=

kn

YXYYSe −

−== )´´(ˆ´ˆ 22 βσ ε


Para las variables Y, X2, X3, X4 se planteó el siguiente modelo

Y`Y = 10

−−−

−

=

−

−

=

−−

= −

125.0000

01818.00227.00455.0

00227.01591.00682.0

00455.00682.01364.0

)`(

8000

0602

0084

02410

`

3

2

3

3

´ 1XXXXYX

niparaXXXY iiiii ,1,4433221 =++++= εββββ

Obtenemos los estimadores de los parámetros con la siguiente información resumida de la data obtenida para una muestra:

YXXX ´)´(ˆ 1−=β

−−

=

38.0

16.0

64.0

52.0

β̂

iiii XXXY 432 38.016.064.052.0 +−−=

8466,06

9205,410)´´(ˆ´ˆ 22 =−=

−−==

kn

YXYYSe

βσ ε


niparaXXXY iiiii ,1,4433221 =++++= εββββ

iiiii eXXXY ++−−= 432 38.016.064.052.0

Modelo:

Modelo estimado

9201,0;8466,02 == ee SS

−−−

−

== −

1058.0000

01539.0019.00455.0

0019.01347.0058.0

00385.0058.01154.0

)`()(ˆ 12ˆ XXSV eβ


y

ii XY 21ˆˆˆ ββ +=y

x

•

••

•• •

• •

•

xi

yi

Coeficiente de determinación R2

)ˆ()ˆ( yyyYyY iiii −+−=−VariaciónTotal

Variaciónexplicada porla regresión

Variaciónno explicadaerror

∑∑

−−

==2

22

)(

)ˆ(

yY

yy

SCT

SCRR

i

i Este coeficiente indica en que proporción la variación de Y es explicada por el

modelo de regresión

∑∑

−−=−=

2

22

)(11

yY

e

SCT

SCER

i

i

∑∑∑===

−+−=−n

ii

n

iii

n

ii YyyYYY

1

2

1

2

1

2 )ˆ()ˆ()(

SCT SCE SCR= +


∑∑

−−=−=

2

22

)(11

yY

e

SCT

SCER

i

i

22

22

2

222 )´´ˆ´(

)(

)(

YnY

YXYYYnY

YY

eYYR

i

i

i

ii

−−−−

=−

−−=

∑∑

∑∑∑ β

2

22

´

´´ˆ

YnYY

YnYXR

−−= β


Coeficiente de determinación ajustado 2R

∑∑

−−=

2

22

)(1

yY

eR

i

i

Al considerar a R2 como un indicador del poder explicativo del modelo, debemos tener en cuenta que al comparar dos modelos con diferente número de variables explicativas, el modelo con más variables siempre tendrá un R2 mayor. Para determinar que tanto mejora el poder explicativo del modelo al adicionar nuevas variables se propone una modificación en el cálculo del R2 al que se denomina R2 ajustado.

)1(1

1)]1/([

)]/([1 22

Rkn

n

nSCT

knSCER −

−−−=

−−−=

Este coeficiente es sensible al número de variables adicionadas, de manera que si las variables adicionadas no incrementan de manera significativa el poder explicativo el R2 ajustado se reducirá.


Distribuciones de los estimadores

Si el vector de perturbaciones ε tiene distribución normal multivariante ),0( 2 IN εσentonces:

εββ ´)´(´)´(ˆ 11 XXXYXXX −− +==Es función lineal de las perturbaciones, y por lo tanto

))´(,(ˆ 12 −XXNnormalóndistribucitiene εσββ

1)

Luego, cada 12 )´();,(.ˆ −∈ XXadondeaNdistribtiene iiiiii εσββ

2)

2)(22

2

.´)(

kne disttiene

MSkn−=− χ

σεε

σ εε

),0(.1nINdisttieneε

εσ


3) 2)(

1 .)ˆ()]ˆ()´[ˆ( kdisttieneV χβββββ −− −

21 )ˆ(´)´ˆ(

)ˆ()]ˆ()´[ˆ(εσ

βββββββββ −−=−− − XXV

222

´))´(()]ˆ([)]´ˆ([

εεε σεε

σεε

σββββ NNNXX ==−−=

εεββββ +−=−−=−=− )ˆ()(ˆˆ)ˆ( YYYYXXX

εεεεε NXXXXMIM ==−=+−= − ´))´(()( 1

Traza(N) = K


2)(22

2

.´)(

kne disttiene

MSkn−=− χ

σεε

σ εε

2)(2

1 .´

)ˆ()]ˆ()´[ˆ( kdisttieneN

V χσ

εεβββββε

=−− −

0)( =−=−= MMMMIMMN

Entonces las dos formas cuadráticas son independientes

Luego

),(2 ./)]ˆ(´)´ˆ[(

knke

FdisttieneS

kXXF −

−−= ββββ


Estimación y Prueba de Hipótesis para los parámetros del modelo

1. Para iβ

),(ˆ 2iiii aNesComo εσββ

2)(2

2

.)(

kne disttieneSkn

y −− χσ ε

)(

2)(

2)(

)ˆ(

)ˆ(kn

iie

ii

kn

eSkn

iiaii

tesaS

T −

−

−

−

−== ββ

εσ

εσ

ββ

0 t1-α/2t(n-k)

α/2α/2

- t1-α/2

2/12/1

)ˆ(αα

ββ−− <−=<− t

aSTt

iie

ii

Obtenemos

iStL i βαβ ˆ2/1

ˆ−±=

Estimación por intervalo


Prueba de Hipótesis

*1

*0 ::

ii ii HH ββββ ≠=

Estadística de la Prueba

ciertaesHsitesaS

T kniie

ii0)(

* )ˆ(−

−= ββ

0 t1-α/2t(n-k)

α/2α/2

- t1-α/2

Decisión

Rechazar la H0 a favor de H1 si

2/12/1 αα −− >−< tTotT


2. Para 2εσ

2)(2

2

.)(

kne disttieneSkn

−− χσ ε

α/2α/2

2)( kn−χ2

2/αχ 22/1 αχ −

22/12

222/

)(α

εα χ

σχ −<−< eSkn

Obtenemos 22/1

2)(

αχ −

−= ei

SknL

22/

2)(

αχe

s

SknL

−=

1-α


Prueba de Hipótesis

01

00 :: ββββ ≠= HH

=

0

02

01

0

....

kβ

ββ

β


ciertaesHsiFdisttieneS

kXXF knk

e0),(2

00

./)]ˆ](´)´[ˆ[(

−−−= ββββ

α

F(k ,n-k)F1-α

Decisión

Rechazar la H0 a favor de H1 si

F > F1-α


Prueba de Hipótesis para restricciones lineales

Sea el modelo

niparaXXY iiii ,1,.... 55221 =++++= εβββ

Para el cual se formula las siguientes hipótesis

=−=+=−

23

04

83

:.1

25

14

53

0

ββββββ

HrRH =β:0

=

−

−

2

0

8

30010

04001

10300

5

4

3

2

1

βββββ

R β r

Restricciones lineales


rRH =β:0 kqRrRH qxk ≤≠ ;:0 β

Prueba de Hipótesis para restricciones lineales

Rango( R ) = q (las restriciones son linealmente independientes)

1. Prueba o Test de Wald

Estadística2)(

1 )ˆ()]ˆ()´[ˆ( qesrRrRVrRW χβββ −−−= −

))´(,(ˆ 12 −XXNes εσββ

´)]ˆ([)ˆ(

0)ˆ()ˆ(

RVRrRV

rRrERrRE

ββ

βββ

=−

=−=−=− ´))]ˆ([,0()ˆ( RVRNesrR ββ −

2)(

112 )ˆ(´])´()´[ˆ( qesrRRXXRrRW χβσβ ε −−= −−

2)(

112 )ˆ(´])´()´[ˆ( qe rRRXXRSrRW χββ →−−≅ −−

α2

)( kn−χ21 αχ −


2. Prueba F

),(

11

)/(´

/)}ˆ(´])´()´[ˆ{(knqFes

knee

qrRRXXRrRF −

−−

−−−= ββ

rRH =β:0 kqRrRH qxk ≤≠ ;:0 β

2)(

112 )ˆ(´])´()´[ˆ( qesrRRXXRrRW χβσβ ε −−= −−

2)(22

2

.´)(

kne disttiene

eeSkn−=− χ

σσ εεFqW =

α

),( knqF −α−1F


Estimación de un modelo de Regresión múltiple con EViews

1. Ingresar a EViews File New

File

workfile

Newworkfile


2. Frequency anual Range OK


3. Ingreso de datos: Quick Empty group


Aparece una planilla en blanco en la que se asigna nombre a las variables y se ingresa los datos como en una planilla excel


3. Estimación de la ecuación: Quick Estimate equation


En la ventana se especifica el modelo ingresando a la izquierda la v. dependiente luego la constante y las variables explicativas, luego presionar en OK


El programa ofrece los resultados de la estimación


Dependent Variable: INV

Method: Least Squares

Date: 04/01/07 Time: 17:38

Sample: 1971 1994

Included observations: 24

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 5.228449 29.00686 0.180249 0.8587

PNB 0.213205 0.011921 17.88539 0.0000

R -0.828817 3.239046 -0.255883 0.8005

R-squared 0.941937 Mean dependent var 41.13333

Adjusted R-squared 0.936407 S.D. dependent var 20.97122

S.E. of regression 5.288459 Akaike info criterion 6.285400

Sum squared resid 587.3238 Schwarz criterion 6.432656

Log likelihood -72.42479 F-statistic 170.3368

Durbin-Watson stat 0.787335 Prob(F-statistic) 0.000000

Modelo estimado

eRPNBINV +−+= 83.021.023.5


Para guardar el modelo: Name Se escribe el nombre Se escribe la especificación OK


Análisis de significancia de las variables


Sea el modelo

0:0: 10 ≠= ii HH ββ


ciertaesHsitesS

T kni

i

0)(ˆ

ˆ−=

β

β

1) Análisis de significancia de la variable Xi

0 t1-α/2t(n-k)

α/2α/2

- t1-α/2


2) Análisis de la significancia de un subvector de s variables

11

2

1

0

0

...

0

0

.....:

sxsxk

q

q

H

=

+

+

β

ββ

1

1

2

1

1

0

...

0

0

...

...

1...000...0

.....................

0...100...0

0...010...0

sx

kxk

q

q

q

sxk

=

+

+

β

βββ

β

q sNinguna de las s variables essignificativa para explicar a Y

Con H0 se define una partición en la matriz X :

=

+

+

+

knnqqnn

kqq

kqq

XXXX

XXXX

XXXX

X

......1

.....................

......1

......1

12

221222

111121

X1 X2

[ ]21 XXX =

( )sxsqxs IR 0=


[ ]21 XXX =

=

2

1

B

Bβ [ ] εε ++=+

= 2211

2

121 BXBX

B

BXXY

0:0: 2120 ≠= BHBH

( ) 00: 22

10 ==

= B

B

BIRH sxssxqβ

[ ] 222221

12111 00´)´( A

IAA

AAIRXXR =

=−


=

= −

2221

12111

2221

1211 )´(´AA

AAXX

BB

BBXX

112

111212222

121

122121111

)(

)(−−

−−

−=

−=

BBBBA

BBBBA

112112221

221211112

ABBA

ABBA−

−

−=

−=

[ ]

=

=

2'21

'2

2'11

'1

21'2

'1´

XXXX

XXXXXX

X

XXX

121

'2

12

'1

11

'11

'22

'222 ][])([ −−− =−= XMXXXXXXXXXA

])([ '1

11

'111 XXXXIMDonde −−=

111 ε+= BXYDel modelo restringido

=− ´)´( 1RXXR


0:0: 2120 ≠= BHBH

),(

11

)/(´

/)}ˆ(´])´()´[ˆ{(knqFes

knee

qrRRXXRrRF −

−−

−−−= ββ

( ) 00: 22

10 ==

= B

B

BIRH sxssxqβ

Entonces la estadística

Se reduce a:

),(2

221'2

' /ˆ][ˆ2

knse

FesS

sXMXF −=

ββ


Contraste de significación, mediante sumas residuales

0: 21 ≠BH

=

2

1

B

Bβ

[ ] εε ++=+

= 2211

2

121 BXBX

B

BXXYModelo sin restricción

(MSR)

YMYeeMSRSCE ´´)( ==MYe =

111 ε+= BXYModelo restringido(MR)

YMYeeMRSCE 111 ´´)( ==

YMe 11 =

0: 20 =BHModelo restringido Modelo sin restricción


eBXBXY ++= 2211ˆˆ

eBXMeMBXMBXMYM +=++= 22112211111ˆˆˆ

0ˆ])([ˆ11

'1

11

'11111 =−= − ββ XXXXXIXM

β̂)´(´ XXYX =

En el MSR

=

=

===−

0

00´)ˆ´(

'2

'1

'2

'1

eX

eXe

X

XeXXYX β

eeXXXXIeM =−= − ])([ '1

11

'111

Luego


eBXMYM += 2211ˆ

)ˆ)´(ˆ())´(( 22122111 eBXMeBXMYMYM ++=

eeBXMeeMXBBXMMXBYMY ´ˆ´´´´ˆˆ´´´ˆ´ 2211222211221 +++=

0´´ˆ´´´ˆ 22122 == eXeMX ββ 0]´´´´ˆ[´ 122221 == eMXXMe ββ

eeBXMXBYMY ´ˆ´´ˆ´ 221221 +=SCE(MR) SCE(MSR)

)()(ˆ´´ˆ 22122 MSRSCEMRSCEBXMXB −=Luego

)´´ˆ´(´´ˆ´ 11 YXYYYXYY ββ −−−=

)´´ˆ()´´ˆ( 211

2 YnYXYnYX −−−= ββSCR(MR)SCR(MSR)


0:0: 2120 ≠= BHBH

),(2

221'2

' /ˆ][ˆ2

knse

FesS

sXMXF −=

ββ

Estadística de la prueba

Equivale a:

),()/()(

/)]()([

)/()(

/)]()([knsFes

knMSRSCE

sMRSCRMSRSCR

knMSRSCE

sMSRSCEMRSCEF −−

−=−

−=

)/(]´´ˆ´[

/]´´ˆ´´ˆ[ 11

knYXYY

sYXYXF

−−−=

βββ


2´´ˆ YnYXSCR −= β 1−K

SCRknSCE

kSCR

−−

/

1/

2111 ´´ˆ YnYXSCR −= β

YXYXSCR ´´ˆ´´ˆ 112 ββ −= rk

SCR

−2

knSCE

rkSCR

−−

/

/2

kkk aYnYXSCR /ˆ´´ˆ 21 ββ −−=

kkk aSCR /ˆ 22 β=2SCR

knSCE

akkk

−/

/ˆ 2β

YXYYSCE ´´ˆ´ β−=kn

SCE

−2´ YnYY −

Fuente de variación Suma de cuadrados G.L. C.M. Razón F p

Debido a X2, …, XK k-1

Debido a X2, …, Xr

Debido a Xr+1, …, XK

r-1

k-r

Debido a X2, …, XK-1

Debido a XK

k-2

1

Debido al error n-k

Total n-1

ANALISIS DE VARIANZA: Contraste de significación



∑ =+++= 0ˆ....ˆˆ221 ikk equeyaXXY βββ

Modelo en desviaciones de media

niparaeXXY ikikii ,1,ˆ....ˆˆ221 =++++= βββ

)ˆ....ˆ(ˆ221 kk XXY βββ ++−=

ikkikii eXXXXYY +−++−=− )(ˆ....)(ˆ 222 ββ

ikikii exxy +++= ββ ˆ....ˆ22 eBxy += 2

ˆ

:y Vector de las observaciones Y en desviaciones de media

:x Matriz de observaciones de las variables X´s en desviaciones de media


eBxy += 2ˆ yxxxB ´)´(ˆ 1

2−=

22 )ˆ( BBE = 122 )´()ˆ( −= xxBV σ

niparaeXXY ikikii ,1,ˆ....ˆˆ221 =++++= βββ

Modelo en desviaciones

)ˆ....ˆ(ˆ221 kk XXY βββ ++−=

22222221 )ˆ(´)(]ˆ´[)]ˆ....ˆ([)ˆ( XBVXYVBXYVXXYVV kk +=−=++−= βββ

21

22

2

1 )´´()ˆ( XxxXn

V −+= σσβ

12

22222221 )´´()ˆ(´]ˆ,ˆ´[)ˆ,ˆcov( −=−=−= xxXBVXBBXYCovB σβ


kn

yxByy

kn

ee

kn

ei−

−=−

=−

= ∑ ´´ˆ´´ˆ 2

22εσ

eBxy += 2ˆ

2B̂xye −= yxByyee ´´ˆ´´ 2−=

yy

yxByy

SCT

SCER

´

´´ˆ´11 22 −−=−=

yy

yxBR

´

´´ˆ 22 =


Predicción utilizando el modelo de Regresión Múltiple

niparaXXY ikikii ,1,....221 =++++= εβββModelo:

ββββ '221 ....)(

iXXXYE kikii =+++=

Predicción del promedio

βββββ ˆˆ...ˆˆˆˆ '33221 i

XXXXY kikiii =++++=Predicción puntual

Predicción por intervalo

ββ '' )ˆ()ˆ(ii

XXEYE i ==

ii XVXXVYVii

)ˆ()ˆ()ˆ( '' ββ ==

),0( 2σε NesSi i

)(1'2 )´(

)(ˆkn

iie

ii tesXXXXS

YEYT −−

−=

iiei XXXXStYL 1'22/1 )´(ˆ −

−±= α


Predicción de un valor individual

βββββ ˆˆ...ˆˆˆˆ '33221 i

XXXXY kikiii =++++=Predicción puntual

Predicción por intervalo

ii XVXeVi

)ˆ()( '2 βσ +=

),0( 2σε NesSi i

)(1'2 ))´(1(

ˆkn

iie

ii tesXXXXS

YYT −−+

−=

))´(1(ˆ 1'22/1 iiei XXXXStYL −

− +±= α

ikikii XXY εβββ ++++= ....221

βεβ ˆˆ ''iiiiii XXYYe −+=−=

0)( =ieE


Coeficientes estandarizados

niparaXXY ikikii ,1,....221 =++++= εβββ Variables en su nivel

ikkikii XXXXYY εββ +−++−=− )(....)( 222 Variables en desviaciones de media

( ) ( ) iS

XiX

YkS

XiX

YY

i

X

kX

X

X

SS

SS

S

YY εββ +++=− −−

22

2 22222 .... Variables estandarizadas

Y

X

j S

Sj

jββ =* Se denomina coeficiente estandarizado o coeficiente Beta

Los coeficientes beta informan respecto de la importancia relativa de las variables explicativas en el modelo de regresión múltiple. Indican cual es el cambio en unidades estandarizadas de la variable dependiente ante un cambio en una desviación estándar de la variable dependiente.


Correlación Parcial

En el modelo de regresión múltiple interesa medir cuán relacionada está la variable dependiente con cada una de las variables independientes, luego de eliminar completamente el efecto de las otras variables independientes en el modelo.

iiii XXY εβββ +++= 33221

Ejemplo

Sea el modelo:

ii XY 321ˆˆˆ)1 αα +=

y sean los modelos auxiliares

ii XX 3212ˆˆˆ)2 αα +=

Eliminamos de Y y X2 la influencia lineal de X3 y obtenemos:

ii YYYde ˆ*)1 −= ii XXXdei 22* ˆ)22

−=

Al coeficiente de correlación entre Y* y X*2 se denomina correlación parcial entre Y y X2.


2:2

XyYentresimplenCorrelacióYXr

3232: XyXentresimplenCorrelacióXXr

3:3

XyYentresimplenCorrelacióYXr

332(2. : XporcontroladaXyYentreparcialnCorrelacióXYXr

2121.

332

3232

32YXXX rr

rrrr XXYXYX

XYX−−

−=

3.2

3.3.22

ˆS

Sr YY=β

SY.3 : Desv. est. de los residuos en la regresión de Y en X3

S2.3 : Desv. est. de los residuos en la regresión de X2 en X3

X2

X3

Y


Análisis del modelo

Supuestos del modelo

1) Las variables X son no colineales

2) Las perturbaciones tienen distribución normal

3) Regresores son no estocásticos

4) Las perturbaciones tienen varianza constante

5) Las perturbaciones son incorrelacionadas

Violación del supuesto

Multicolinealidad

No normalidad de las perturbaciones

Regresores estocásticos

Heterocedasticidad

Autocorrelación


Problema de Multicolinealidad

YXXXMCO ´)´(ˆ 1−=β

Si alguna variable X es combinación lineal de las otras, entonces

1)´()´( −∴< XXexisteNoKXXρ

Si no existe colinealidad perfecta pero las correlaciones son muy altas, esto implicaría distorsiones en las estimaciones de los coeficientes, pues su varianza sería muy grande (estimadores poco precisos).

Por lo tanto no podríamos obtener los estimadores de los coeficientes del modelo, lo que nos llevaría a reformular el modelo en función de las otras variables teniendo en cuenta la relación lineal.


Problema de Multicolinealidad

Ejemplo: iiii XXY εβββ +++= 33221Sea el modelo

−=

−=

233223

322322

2323

2322 )1()1(´

SSSr

SSrSn

SS

SSnxx

−

−−−

=−223223

322323

23

22

223

22

1

])[1(

1)´(

23 SSSr

SSrS

SSrSSnxx

)1()1()1()1()ˆ( 2

2322

2

223

23

22

223

2 rSnrSSn

SV

−−=

−−= εε σσβ ∞ Si r23 1

)1()1()1()1()ˆ( 2

2323

2

223

23

22

222

3 rSnrSSn

SV

−−=

−−= εε σσβ ∞ Si r23 1

FIVr

=− 2

231

1 Factor de incremento varianza


Consideremos el modelo restringido

iii uXY ++= 2211 ββ 22

2

21 )1()ˆ(

SnV u

−= σβ

En cambio para el modelo sin restricción iiii XXY εβββ +++= 33221

2

2

22

2

223

2 )1()1(

1)ˆ(

u

u

SnrV

σσσβ ε

−−= Donde 12

2

<uσ

σε

Si r23 = 0 )ˆ()ˆ( 212 ββ VV ≤

Así 2231

1

rFIV

−=

Indica en que medida irá creciendo la varianza del estimadorcuando las variables estén correlacionadas.

En general 21

1

iRFIV

−= es el coeficiente de determinación en el modelo

de Xi dadas las otras variables Xs:2iR


Detección del problema de Multicolinealidad

1. Característica típica de la multicolinealidad es que todos los coeficientes de regresión pueden ser no significativamente diferentes de cero a nivel individual, aunque en conjunto todas las variables sean muy significativas.

2. Al examinar la matriz de correlación de las variables regresoras, R, y su inversa R-1, se encuentra que el i-ésimo elemento de la diagonal principal de R-1 (tii) es el factor de incremento de varianza (FIV) del coeficiente de la variable Xi.

101

1)( 2 >

−==

iiii R

XFIVtSi Indica una alta multicolinealidad

Tolerancia = 1- R2i

Indica la porción de la variable que no es explicada por lasotras variables


3. Al examinar los valores propios de (X´X) o R y calcular el índice de condicionamiento

RdepropiovalorMínimo

RdepropiovalorMáximoIC =

Se tiene el siguiente criterio

IC > 30 Existe alta multicolinealidad

Existe multicolinealidad moderada10 ≤ IC ≤ 30

IC < 10 Matriz de datos está bien definida


4. Test de Farrar Glauber

i) Test de ortogonalidad

síentresortogonalesonnoXLasH

síentresortogonalesonXLasH

:

:

1

0

( ) Rn kcalc ln1

6

)52(2 +−−−=χ

Estadística

22/)1(

2−≈ kkcalc χχ

K: nº de variables explicativasR: matriz de correlaciones simples

p2

)2/)1(( −kkχ2calcχ

R.C.


ii) Test F Para determinar que regresor se encuentra más colineado con las demás

variables.

Se obtiene la regresión de cada variable en función del resto de variablesy se calcula el R2 para el modelo de cada variable.

0:0: 2max1

2max0 ≠= RHRH

),1(2max

2max

)/()1(

)1/(knki F

knR

kRF −−→

−−−

=

Estadística

K: nº de variables explicativas

p

),( knkF −iF

R.C


iii) Test t Para determinar que regresor se encuentra más correlacionado con una de

las otras variables

0:0: 2max1

2max0 ≠= rHrH

22max

2max

1−

−→

−= n

nt

r

rT

Estadística

Rmax es el coeficiente de correlación simple máximo

0 t1-α/2t(n-k)

α/2α/2

- t1-α/2

R.CR.C.


Tratamiento

1. Eliminar o excluir regresores del modelo, eligiendo aquellos que tengan mayor multicolinealidad con las otras variables, es decir, FIV > 10

2. Incluir información externa a los datos de manera que se rompa el problema de multicolinealidad (Se considera que este problema es un “problema de la muestra a mano”)

3. Utilizar un modelo multiecuacional

4. Estimar los coeficientes utilizando el método de “regresión cresta”, el cual es un método exploratorio que consiste en utilizar una modificación a la matriz (X´X)

IXX α+)´(Eligiendo α desde 0.01 hasta obtener resultados estables, es decir, tales que las varianzas de los estimadores no cambien significativamente al cambiar algunos datos

5. Utilizar restricciones lineales para los coeficientes

6. Utilizar un modelo de componentes principales

econometría 1

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