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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE FISICA
TESIS PRESENTADA EN OPCIÓN AL GRADO DE LICENCIADO EN CIENCIAS FÍSICAS
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CUERDAS
AUTOR: González Espinoza, Manuel Alberto
ASESOR: Dr. Antonio Rivasplata Mendoza
Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT
Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/
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Alumno: González Espinoza, Manuel Alberto
14/06/2012
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1.3. Una breve historia de la teoría de cuerdas .......................................................5
2. Coordenadas cono de luz ..................................................................................7
2.1. Relatividad especial..............................................................................................8
2.4. Energía y momento cono de luz ............................................................................20
3. Cuerdas relativistas...........................................................................................22
3.2. Invariancia de la reparametrización del área .............................................................. 27
3.3. Funcional de área para superficies en el espacio-tiempo ........................................... 31
3.4. La acción de Nambu-Goto ........................................................................................... 36
3.5. Ecuaciones de movimiento, condiciones de contorno y D-branas.............................. 38
3.6. La estática de calibre ................................................................................................... 41
3.7. Tensión y energía de una cuerda extendida................................................................ 44
3.8. Acción en términos de la velocidad transversa ........................................................... 47
3.9. Movimiento para los extremos de las cuerdas abiertas.............................................. 51
4. Resultados y Conclusiones ................................................................................53
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Resumen El proyecto consiste en una revisión bibliográfica de la Teoría de cuerdas,
comenzaremos una introducción histórica sobre el tema.
Luego se definirá una cuerda clásica y luego de presentar algunas definiciones de relatividad definiremos una cuerda relativista, por ultimo definiremos la acción de Nambu-Goto y se resolverá un problema usando Teoría de Cuerdas.
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1.1 Fundamentación:
Nos encontramos en una época propicia para hacer física teórica, la creación del Gran Acelerador de Hadrones (Large Hadron Collider – LHC) nos brinda la posibilidad de probar la veracidad de teorías de partículas elementales a muy altas energías (4 TeV).
Pero en Perú nos enfrentamos a la problemática de que la bibliografía es escaza y está en idiomas extranjeros, la idea de esta tesis es recopilar la mayor cantidad de información y presentarla de forma didáctica, sin utilizar lenguaje matemático complicado de manera que un estudiante de 5to ciclo la pueda entender y se vaya familiarizando con conceptos básicos de la física teórica, tales como relatividad, funcionales, estática de calibre, etc. Aprovechando el gran interés que despierta esta teoría en los físicos jóvenes, se les presenta con conceptos muy útiles para aquellos que decidan dedicarse a la física teórica en general, no necesariamente teoría de cuerdas.
1.2¿Qué es la Teoría de Cuerdas?
Actualmente existen dos teorías que explican cómo funciona nuestro universo, por una parte tenemos a la mecánica cuántica y por la otra a la relatividad general. Estas dos teorías funcionan a la perfección cuando las tomamos por separado pero el problema ocurre cuando tratamos de unificarlas, los resultados obtenidos son incoherentes.
Por su parte la mecánica cuántica (Modelo Estándar) explica correctamente a tres fuerzas fundamentales de la naturaleza:
La fuerza electromagnética, que estudia todos los procesos que se relacionan con la electricidad (circuitos eléctricos, motores, el mismo cuerpo humano, etc.). También estudia a los imanes y propiedades. Y más importante la unificación de lo anterior, los campos electromagnéticos (ondas electromagnéticas).
La fuerza nuclear fuerte, que es la encargada de mantener en el núcleo del átomo a los protones y neutrones. Obviamente los protones al tener el mismo signo deberían separarse pero es no ocurre gracias a la fuerza nuclear.
La fuerza nuclear débil, sus efectos más conocidos son el decaimiento beta y la radioactividad. Ahora bien ¿Por qué débil? Si la comparamos con la fuerza nuclear fuertes es 1013 menor.
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Pero hay un problema con el modelo estándar, no logra explicar la gravedad:
La fuerza de gravedad, dice que dos cuerpos masivos se atraen mutuamente. En otras palabras es aquella que nos mantiene “con los pies sobre la tierra”. Gracias a esta fuerza existe el sistema solar, las estrellas, las galaxias y universo en sí.
¿Cuál es el problema?
Cuando incluimos los efectos cuánticos a la interacción gravitatoria en procesos de muy altas energías, del orden de la escala de Planck (presentes en el inicio del Universo a los 10-44 segundos, o equivalentemente 1017 veces más altas que las energías disponibles en aceleradores de partículas).
Ahora bien, la física teoría actual se enfrenta a este problema de poder unificar las cuatro fuerzas fundamentales y poder explicar fenómenos tales como los agujeros negros o el Big Bang donde las teorías fundamentales deben ser usadas al mismo tiempo.
La Teoría de Cuerdas
La idea fundamental de la teoría es muy simple, las partículas elementales (electrones, quark, etc.) en lugar de ser pensadas como puntuales se les considera como cuerdas vibrantes de energía y a cada partícula elemental se corresponde un modo de vibración. El tamaño de una cuerda es muy pequeño, mucho menor a las escalas medidas mediante por medio de algún experimento (10-17 m). Son aproximadamente del orden de la longitud de Planck (10-35 m) como es en los agujeros negros, o en el Origen del Universo.
A pesar de la simplicidad de este argumento, el problema viene a la hora de expresarla matemáticamente. La matemática que se usa es muy complicada y ha traído como resultado conclusiones tan fuera de lo común, como que vivimos en 11 dimensiones y la posible existencia de universos paralelos, obviamente estos conceptos no han sido comprobados experimentalmente. Así como tampoco ha sido comprobada la existencia de la cuerda en sí, debido a que se necesitaría más energía de la generada experimentalmente en los aceleradores de partículas actuales.
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1.3 Una breve historia de la teoría de cuerdas
En el año 1968, Gabriele Veneziano, un físico teórico tenía enfocados sus esfuerzos en
entender las propiedades de la fuerza nuclear fuerte, que habían sido observadas
experimentalmente. Mientras hacia sus investigaciones en el CERN, se dio cuenta que
una formula inventada dos siglos antes por el gran matemático Leonard Euler (la
función beta) parecía coincidir con las propiedades de las partículas que interaccionan
por medio de la fuerza nuclear fuerte.
Esta idea le sirvió como una poderosa herramienta matemática para poder explicar
muchas de las características de la fuerza nuclear fuerte y puso en marcha una serie de
investigaciones que trataban de utilizar la función beta de Euler, y sus respectivas
generalizaciones, para explicar la relación que tenían la inmensa cantidad de datos que
se tomaban de los diferentes aceleradores de partículas.
Desafortunadamente para Veneziano esta teoría estaba incompleta. La fórmula de
Euler funcionaba pero nadie sabía por qué. No fue hasta 1970 cuando las
investigaciones de Yoichiro Nambu, HolgerNielsen, y Leonard Susskind. Estos físicos
demostraron que, si se construía un modelo en donde las partículas son pequeñas
cuerdas vibrantes unidimensionales, la interacción nuclear fuerte se podía describir
con toda exactitud utilizando la función beta de Euler. Lo que se pensó, es que si las
cuerdas eran suficientemente pequeñas podían ser considerados como partículas
puntuales y, por lo tanto tenían relación con las observaciones experimentales.
A pesar de que esta teoría era sencilla y satisfactoria, no se tardó mucho tiempo en
llegar a la demostración de que la idea, que la fuerza nuclear fuerte funcionaba
mediante cuerdas fallaba. A inicios de los 70, unos experimentos de altas energías
demostraron que el modelo de cuerdas predecía ciertos fenómenos, que contradecían
a los experimentos. Por otra parte, se estaba desarrollando la teoría cuántica de
campos aplicada a la cromodinamica cuántica, y su tremendo éxito a la hora de
demostrar la fuerza nuclear fuerte, hizo que se dejara de lado la teoría de cuerdas.
Casi ningún físico serio continuo con las investigaciones en este campo. Entre los
pocos científicos se encontraba Schwarz, que dijo, “la estructura matemática de la
teoría de cuerdas era tan bella y tenía tantas propiedades milagrosas que tenía que
apuntar hacia algo profundo.” El problema con esta teoría era que a pesar de que las
cuerdas vibrantes tienen propiedades semejantes a la de los gluones (por eso se utilizó
en fuerza nuclear fuerte), poseía ciertas partículas mensajeras que no fueron
detectadas a la hora de comparar con los datos de la fuerza nuclear fuerte. Fue en
1974, que Schwarz y JoëlScherk afirmaron luego de estudiar con detalle a estas
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misteriosas partículas mensajeras que sus propiedades coincidían a la perfección con
la tan esquiva partícula mensajera de la fuerza gravitatoria: el graviton.
Estas partículas mensajeras de la fuerza de la gravedad, nunca han sido observadas
pero los físicos teóricos han predicho las características básicas que deben tener,
además Scherk y Schwarz descubrieron que estas propiedades encajan con ciertos
modelos vibratorios. Con esto en mente, Scherk y Schwarz sugirieron que la teoría de
cuerdas había fallado en su primer intento por que se la estaba limitando mucho, ya
que no solamente incluía a la fuerza nuclear fuerte sino también a la gravedad.
Lamentablemente la comunidad científica no recibió esta propuesta con entusiasmo.
Ya que se habían hecho muchos intentos para unificar todas las fuerzas y todos estos
intentos habían fallado. Además entre los años 70 y 80 se demostró, que la teoría de
cuerdas y la mecánica cuántica tenían algunos pequeños conflictos.
No fue esta 1984. En una publicación contundente, después de 12 años de críticas, los
físicos Green y Schwarz demostraron que los problemas de la teoría de cuerdas con
respecto a la mecánica cuántica se podían resolver. Además que esta teoría era capaz
de unificar las 4 fuerzas fundamentales de la naturaleza. Desde ese momento muchos
físicos se embarcaron esta gran aventura conocida como Teoría de Cuerdas.
Variantes de la teoría
Se hizo mucha investigación en este campo y se encontró 5 variantes para esta teoría
que después fueron unificadas, con la genialidad Edward Witten en una sola teoría
conocida como la Teoria M. Las versiones de la teoría actualmente existentes:
La teoría tipo I, donde aparecen tanto "cuerdas" y D-branas abiertas como
cerradas, que se mueven sobre un espacio-tiempo de 10 dimensiones. Las D-
branas tienen 1, 5 y 9 dimensiones espaciales.
La teoría tipo IIA, es también una teoría de 10 dimensiones pero que emplea sólo
cuerdas y D-branas cerradas. Incorpora dos gravitines (partículas teóricas
asociadas al gravitón mediante relaciones de supersimetría). Usa D-branas de
dimensión 0, 2, 4, 6, y 8.
La teoría tipo IIB.
La teoría heterótica-O, basada en el grupo de simetría O(32).
La teoría heterótica-E, basada en el grupo de Lie excepcional E8. Fue propuesta en
1987 por Gross, Harvey, Martinec y Rohm.
En la teoría M intervienen como objetos animados físicos fundamentales no sólo
cuerdas unidimensionales, sino toda una variedad de objetos no perturbativos,
extendidos en varias dimensiones, que se llaman colectivamente p-branas (este
nombre es un apócope de "membrana").
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2.1 Relatividad especial
Relatividad especial está basada en el hecho experimental que la velocidad de la luz (c≈3x108
m/s) es la misma para todos los observadores inerciales. Este hecho nos conduce a unas
sorprendentes conclusiones. La idea de Newton acerca de la naturaleza absoluta del tiempo, el
concepto de simultaneidad, y otras ideas familiares deben ser revisadas.
Comparando las coordenadas de los eventos, dos observadores inerciales, de aquí en adelante
observadores Lorentz, encuentran que las trasformaciones de coordenadas necesarias
mezclan el espacio y el tiempo.
En relatividad especial, eventos se representan por los valores de cuatro coordenadas: una
coordenada del tiempo t, y tres coordenadas espaciales x, y, z. Es conveniente agruparlos de
forma vectorial (ct, x, y, z), donde la coordenada del tiempo esta multiplicado por la velocidad
de la luz de manera que todas las coordenadas tienen unidades de longitud. Para hacer la
notación más uniforme, usamos índices para renombrar las coordenadas del espacio y tiempo,
es decir como sigue:
= (,,,) = ( (,,, (2.1.1)
Donde el superíndice µ toma los valores 0, 1,2 y 3.
Consideremos un sistema de referencia de Lorentz S en el cual dos eventos están
representados por coordenadas xµ y xµ +Δxµ, respectivamente. Consideremos ahora otra
sistema de referencia de Lorentz S’, donde los mismos eventos están descritos por
coordenadas x’µ y x’µ +Δx’µ, respectivamente. En general, no solamente las coordenadas xµ y
x’µ son diferentes, sino también las coordenadas Δxµ y Δx’µ son diferentes. Pero por otra parte
ambos observadores coinciden en el valor del intervalo invariante Δs2. Este intervalo es
definido por:
− ≡ ()− + () + () + () (2.1.2)
Note el signo menos enfrente de () , contrario al signo mas que aparece antes de
diferencias espaciales () (i=1,2,3). Esto refleja la diferencia básica entre coordenadas de
espacio y tiempo. La concordancia en los valores de los intervalos esta expresada por:
()− + () + () + () = ()− + () + () + ()
(2.1.3)
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Clasificación del intervalo
Dado que tenemos una diferencia de signo entre la parte temporal y espacial en el intervalo está claro que el intervalo podrá ser negativo, nulo o positivo. Le vamos a poner nombre a cada caso:
>0 lo que implica () > () + () + .() A este tipo de intervalo lo
llamaremos tipo tiempo o intervalo temporal. Dos sucesos unidos por una línea de
mundo (trayectoria en el espacio tiempo) de una partícula moviéndose a velocidades
menores que la de la luz tienen intervalos de tipo tiempo. Estas líneas de universo
(trayectorias en 4 dimensiones) siempre están contenidas dentro del cono de luz asociado
al observador.
= 0A esto lo llamamos intervalo tipo nulo o intervalo nulo. Este tipo de intervalo
identifica a las partículas que se mueven a la velocidad de la luz y que conforman el cono de
luz.
<0 este intervalo se llama de tipo espacial o intervalo espacial. Si dos sucesos están separados por un intervalo espacial significa que están causalmente desconectados, no hay forma de enviar información entre ellos porque para eso la velocidad de las partículas conectando estos sucesos deberían de superar la velocidad de la luz. Aquí estamos considerando transmisión de partículas con masa en reposo real positiva o nula.
Sólo para sucesos separados por un intervalo temporal se puede escribir: = √
Muchas veces es muy útil considerar eventos que son infinitamente cercanos. Tales pequeñas
diferencias en las coordenadas son necesarias para definir velocidades, y son muy útiles en
relatividad general. Estas coordenadas diferenciales son escritas como dxµ, y estas asociadas
con el intervalo invariante ds2. De la ecuación (2.1.2) tenemos:
− ≡ ()− + () + () + () (2.1.5)
O de manera equivalente:
Índices arriba, índices abajo
Uno puede definir los 4-vectores con índices arriba (como hemos hecho hasta ahora) o con los
índices abajo. No entraremos por ahora en las sutilidades de esto que las hay y son muy
interesantes desde el punto de vista matemático. Por ahora nos interesa mostrar que dado un
objeto con índices arriba se puede convertir en un objeto con índices abajo y viceversa con la
participación de la métrica. Todo esto será claro en lo que sigue.
Definamos el objeto = (,,,) donde tendremos la siguiente relación con
las componentes del objeto con los índices arriba:
≡ ,− ≡ , ≡ , ≡ (2.1.7)
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− = ()− + () + () + () (2.1.9)
Antes hemos visto como expresar−:
− = ()− + () + () + () (2.1.10)
Esto se puede reescribir como:
− = +
+ +
− = ∑
− = (2.1.13)
En la última parte de las igualdades mostradas hemos empleado el convenio de suma de Einstein. Este convenio nos dice que cuando tenemos un objeto con dos índices iguales, uno arriba y otro abajo, hemos de sumar cada producto de cada componente. A estos índices repetidos arriba y abajo e iguales lo llamamos índices mudos y siempre podemos renombrarlos:
=
La métrica de Minkowski
Hemos de reconocer inmediatamente que la expresión (con el convenio de suma de
Einstein) da como resultado la suma de la multiplicación de cada componente (en caso de ser el mismo 4-vector, la suma de los cuadrados de cada componente). Esto es esencialmente un producto escalar. Cuando es posible hacer esto tenemos entre manos un espacio que dispone de una métrica.
El intervalo se puede expresar como:
− = (2.1.15)
dondees la conocida como métrica de Minkowski. (Aquí tenemos dos índices iguales y
repetidos, así que hemos de emplear el convenio de Einstein).
Este objeto es el que nos permite medir distancias, ángulos, áreas, etc, en el espacio-tiempo.
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Propiedades de la métrica:
1.- La propiedad fundamental de la métrica es que es un objeto simétrico, es decir, si intercambiamos sus índices el objeto permanece igual:
= (2.1.16)
− = +
+ +
+ + (2.1.17)
Eso quiere decir que los elementos diagonales (los dos índices iguales) son: -1 para la componente (00), y 1 para las componentes (11), (22), (33).
En forma matricial la métrica se puede expresar:
=
(2.1.18)
3.- La métrica es el objeto que nos ayuda a subir y bajar índices. Es fácil ver que si multiplicamos matricialmente la métrica por un vector (en forma de columna) el resultado es lo que hemos definido como el “vector” con índice abajo. En general tendremos que:
= (2.1.19)
Y en nuestro caso = .
Así el producto escalar entre dos 4-vectores a.b se puede escribir como:
.= = = − + + + (2.1.20)
4.- Por último la métrica es invertible (es fácil comprobar que su determinante es distinto de cero. Así definiremos la métrica inversa (con los índices arriba):
=
=
−1 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 1
= (2.1.22)
en este caso la delta es la delta de Kronecker que toma un valor igual a 1 cuando ambos índices toman el mismo valor, y un valor cero en caso contrario como es fácilmente deducible de la expresión anterior.
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2.2 Transformaciones de Lorentz
Estas son las herramientas que nos permiten comparar las medidas y coordenadas efectuadas entre distintos sistemas de referencia inerciales. En esta parte nos vamos a restringir al caso más simple aunque no supone ninguna pérdida de generalidad.
1.- Tenemos un sistema de referencia S en el que estamos nosotros, por lo tanto está en reposo relativo respecto a nosotros mismos. (Figura 2.1)
2.- Ahora vemos otro sistema de referencia S’ que se mueve a lo largo del semieje positivo en la dirección x del sistema S (el nuestro) con velocidad constante .(figura 2.1)
Figura 2.1: Izquierda: un sistema de referencia en el que estamos nosotros (S). Derecha: un sistema de referencia S’ con una velocidad constante v y nuestro sistema de referencia.
3.- Todos los ejes de coordenadas son paralelos entre ambos sistemas y cuando los orígenes coincidieron se sincronizaron los relojes = 0.
Se dice entonces que al sistema S’ se le asigna un parámetro de velocidad (desde el sistema S, notemos que si le preguntamos a S’ lo vería todo igual pero con nuestra velocidad en sentido contrario).
La transformación de Lorentz que conecta a estos dos sistemas es:

(2.2.1)

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Si empleamos la notación con índices ) (
(
( (2.2.3)

Por lo que hemos visto, el intervalo ha de ser invariante relativista:
() − () − () − () = () − () − () − () (2.2.4)
Invariancia Lorentz del intervalo relativista
Siendo un poco más formales podemos decir:
Las transformaciones de Lorentz son las transformaciones lineales entre las coordenadas que mantienen el intervalo relativista invariante.
Introduzcamos un poco de notación:
Las transformaciones entre coordenadas entre los sistemas S y S’ se pueden escribir de este modo:
= L (2.2.5)
= h = h(L
L (2.2.8)
S por su parte calcularía el intervalo entre dos sucesos como:
= h (2.2.9)
Comparando ambas expresiones, y dado que el intervalo es invariante:
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= h (2.2.10)
Lo que nos indica es que la métrica es un elemento invariante, todo observador inercial ve la misma métrica en el espaciotiempo. Además vemos otra característica aquí, uno ha de introducir una transformación de Lorentz por cada índice que tenga un objeto. Pondremos un factorL para un vector y para la métrica hnecesitamos dos factores .
Esta expresión se puede escribir como:
L hL
DondeLindica que hemos usado la matriz traspuesta de la transformación. Recordemos que la traspuesta de una matriz es cambiar filas por columnas.
Y por último calculemos el determinante de una matriz de transformación Lorentz usando la expresión anterior.
det( LhL ) = det( h ) (2.2.13)
El determinante de un producto de matrices es el producto de determinantes:
det( L) det( h ) det( L ) = det( h ) (2.2.14)
Simplificando el determinante de la métrica (que sabemos que da -1):
det( L) det( L ) = 1 (2.2.15)
Dado que el determinante de una matriz y de su transpuesta es el mismo:
det( L ) = 1 (2.2.16)
Por lo tanto: L = ±1
Dado que el determinante de una matriz de transformación Lorentz nunca es nulo, las matrices son invertibles (como tiene que ser porque eso significa que S tiene que ver a S’ y poder calcular sus medidas y viceversa, S’ puede convertir las medidas y/o coordenadas de S en las suyas propias, implicando eso transformaciones de Lorentz inversas).
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2.3 Coordenadas Cono de Luz
Ahora discutiremos un sistema de coordenadas que será muy útil en nuestro estudio de la
Teoría de Cuerdas. Este es el sistema de coordenadas cono de luz. La cuantización de la cuerda
relativista puede ser trabajada más directamente usando coordenadas cono de luz. Esta es la
forma en que nosotros cuantizaremos en este trabajo, así que ahora es un buen momento
para introducir algunas de las características de las coordenadas cono de luz. Hay otra forma
de cuantizar la cuerda relativista donde ninguna coordenada especial es usada. Este método,
llamado Cuantizacioncovariante de Lorentz, es muy elegante, pero una discusión correcta
requeriría desarrollar una base muy amplia.
Definiremos dos coordenadas cono de luz x+ y x- como combinaciones linealmente
independientes de la coordenada temporal y una coordenada espacial, generalmente
tomamos x1. Es decir:
(2.3.1)
Las coordenadas x2 y x3 no toman parte en esta definición. En el sistema de coordenadas cono
de luz, () son cambiadas por ,() pero mantenemos las otras dos coordenadas
.() Por lo tanto, las coordenadas cono de luz completas son .()
Las nuevas coordenadas x+ y x- son llamadas coordenadas cono de luz por que los ejes de
coordenada asociados son las líneas de universo (trayectoria en cuatro dimensiones) para
rayos de luz emitidos desde el origen a lo largo del eje x1. Para un rayo de luz recorriendo x1 en
la dirección positiva, tenemos x1=ct= x0, y por lo tanto x-=0. La línea x-=0 es, por definición, el
eje x+ (Figura 2.2). Para un rayo de luz recorriendo x1 en la dirección negativa, tenemos x1=-ct=-
x0, por lo tanto x+=0. Esto corresponde al eje x-. Los ejes ± con líneas con 45º con respecto a
los ejes .
¿Podemos pensar que x+, o quizás x-, es la nueva coordenada temporal? Si. De hecho, ambas
tienen igual derecho a ser llamadas coordenada temporal, aunque ni una ni otra es una
coordenada temporal en el sentido estándar de la palabra.
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y x 0
representados como ejes ortogonales. También
se muestran las coordenadas cono de luz ± = 0. Las curvas con flechas son las posibles líneas de
universo de las partículas.
El tiempo en las coordenadas cono de luz es diferente al tiempo ordinario. Quizás la propiedad
más familiar del tiempo es que avanza cuando hay un movimiento físico de una partícula. El
movimiento físico que comienza en el origen es representado en la Figura 2.2 como curvas que
se mantienen en el cono de luz y cuyas pendientes jamás bajan de 45º. Para todas estas
curvas, cuando seguimos las flechas, x+ y x- aumentan. ¡La única dificultad es que para rayos de
luz especiales el tiempo en las coordenadas cono de luz se detendrá! Como vimos antes, para
rayos de luz en la dirección negativa de x1, x+ permanece constante, mientras que para un rayo
de luz en la dirección positiva de x1, x- permanece constante.
Por definición, tomaremos x+ como el tiempo en las coordenadas cono de luz. De acuerdo con
esto, x- será una coordenada espacial. Por supuesto, este tiempo - cono de luz y coordenadas
espaciales serán un poco extrañas.
Tomando los diferenciales de (2.3.1) encontramos que:
= ) )( ( ) ) (2.3.2)
Del intervalo invariante (2.1.5), expresado en términos de las coordenadas cono de luz (2.3.1),
toma la forma:
) ) (2.3.3)
La simetría en las definiciones de x+ y x- es evidente aquí. Nótese que dado ds2, resolviendo
para dx+ o para dx- no necesitamos tomar la raíz cuadrada.
¿Cómo representamos (2.3.3) con notación índice? Aun necesitamos correr los índices sobre 4
valores, pero esta vez los valores se llamaran:
{+, −, 2 , 3} (2.3.4)
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(2.3.5)
Donde hemos introducido la métrica del cono de luz , también definida para ser simétrica
bajo el intercambio de índices. Expandiendo esta ecuación y comparando con (2.3.3),
encontramos:
= 0 (2.3.6)
En el (+,-) subespacio, la diagonal de los elementos de la métrica del cono de luz desaparecen.
También encontramos que no acopla el subespacio (+,-) al subespacio (2,3)
(2.3.7)
La matriz de representación de la métrica – cono luz es

(2.3.8)
Para cualquier vector aµ, sus componentes de cono de luz están definidos en analogía con
(2.3.1). Tenemos:
(2.3.9)
El producto escalar entre vectores mostrado en (2.1.20) puede ser escrito usando coordenadas
de cono de luz. Esta vez tenemos:
(2.3.10)
La ultima igualdad viene de sumar sobre los índices repetidos y usando (2.3.8). La primera
igualdad necesita un pequeño cálculo. De hecho es suficiente comprobar que:
(2.3.11)
Esto se hace rápidamente usando (2.3.9) y de manera análoga para ±. También introducimos
índices abajo (de cono de luz). Consideremos , y expandimos la suma sobre el
índice µ usando las coordenadas de cono de luz:

, (2.3.13)
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En cualquier marco de referencia de Lorentz cuando bajamos o subimos el índice 0 obtenemos
un signo extra. En coordenadas cono de luz los índices cambian, y obtenemos un signo extra.
Desde que la física descrita usando coordenadas cono de luz parece inusual, debemos
desarrollarla de forma intuitiva. Para hacer esto consideraremos un ejemplo donde los cálculos
son simple pero los resultados sorprendentes.
Consideremos una partícula moviéndose en el eje x1 con parámetro de velocidad β=v/c.
Cuando t=0, las posiciones de x1,x2 y x3 son cero. Luego tenemos el movimiento representado
cuando las posiciones están expresadas en función de tiempo:
() () () = 0 (2.3.14)
¿Qué pasa en coordenadas cono de luz? Desde que x+ es tiempo y x2=x3=0, debemos expresar
simplemente x- en términos de x+. Usando (2.3.14), tenemos
(2.3.15)
(2.3.16)
Desde que esto relaciona posición – cono de luz y tiempo –cono de luz, tenemos la razón entre
(2.3.17)
como velocidad – cono de luz. ¿Cuán extraña es esta velocidad – cono de luz? Para luz
moviéndose hacia la derecha, β=1, esta velocidad es igual a cero. En realidad, luz moviéndose
hacia la derecha tiene velocidad – cono de luz igual a 0 por que x- no cambia. Esto se muestra
cono línea 1 en Figura 2.3. Supongamos que tenemos una partícula moviéndose hacia la
derecha con una velocidad convencional muy alta, es decir β es cercano a uno (línea 2 en la
figura). Su velocidad - cono de luz es entonces muy pequeña. Un tiempo – cono de luz muy
largo debe pasar para que esta partícula se mueva un poco en la dirección x-. Quizás más
interesante, una partícula estática en coordenadas estándar (línea 3) se está moviendo rápido
en coordenadas de cono de luz. Si β=0, tenemos una unidad de velocidad cono de luz. Esta
velocidad cono de luz incrementa cuando β aumenta negativamente: el numerador en (2.3.17)
es más grande que uno y se incrementa, mientras el denominador es más pequeño que uno y
disminuye. Cuando β -1 (línea 5), la velocidad cono de luz se vuelve infinita. Mientras esto
parece extraño, porque no hay nada parecido en relatividad estándar. Simplemente las
velocidades cono de luz son inusuales. El cono de luz es un sistema de referencia donde la
cinemática solo tiene parte relativista y las velocidades infinitas son posibles.
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Figura 3: Líneas universo de partículas con varias velocidades cono de luz. La partícula 1 tiene velocidad
cono de luz igual a 0. Las velocidades incrementan hasta la velocidad de la partícula 5, que es infinita.
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2.4 Energía y momento cono de luz
Los componentes cono de luz p+ y p- del cuadrivector momento son obtenidos usando la regla
(2.3.9):
(2.4.1)
¿Qué componente debe ser relacionado con la energía cono de luz? Una respuesta podría ser
p+. Exactamente como el tiempo, en cualquier sistema de referencia de Lorentz, energía es la
primera componente del cuadrivector momento. Por lo tanto como el tiempo - cono de luz es
x+, podemos concluir que la energía cono de luz deber ser tomada como p+. Sin embargo esto
es incorrecto. Como el sistema de referencia cono de luz no es Lorentz, debemos ser cuidados
y examinar esta pregunta en detalle. Ambos ± podrían ser la energía desde que ambos son
positivos para partículas físicas. En realidad, de (2.4.1), y con m≠0, tenemos
(2.4.2)
Como resultado , y por lo tanto ± > 0. Mientras que ambos son posibles
candidatos para la energía, la elección seria por un motivo físico.
Para entender esto primero evaluemos , un valor que entrara en nuestro argumento
físico. En coordenadas estándar,
(2.4.4)
Y en coordenadas estándar aparece junto con el tiempo x0. En coordenadas
cono de luz p+ aparece junto con el tiempo – cono de luz x+. Por lo tanto esperaríamos p+ ser la
energía – cono de luz con signo negativo.
¿Por qué estos dos números son significantes? Energía y tiempo son variables conjugadas.
Como aprendimos en mecánica cuántica, el operador Hamiltoniano mide energía, y genera
evolución en el tiempo. La función de onda de una partícula puntual con energía E y momento
esta dado por,
(2.4.5)
En verdad, el valor propio del hamiltoniano coincide con E
(2.4.6)
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Para el Hamiltoniano y la energía – cono de luz , la ecuación análoga seria:
(2.4.7)
El factor extra c en el lado derecho ha sido agregado porque x+, contrario a t, tiene unidades de
longitud. Con el factor incluido, tiene unidades de energía. Para encontrar la dependencia
de x+ con la función de onda recordemos que,
(2.4.8)
(2.4.10)
Esto confirma nuestra identificación de (-p+) con la energía – cono de luz. Desde que
, es conveniente usar p- como la energía – cono de luz para eliminar el signo de la
ecuación anterior:
(2.4.11)
Podemos chequear la relación de p- con la energía encaja con la intuición que hemos
desarrollado para la velocidad cono de luz. Para esto, confirmamos que una partícula con
velocidad - cono de luz pequeña tiene energía – cono de luz pequeña. Supongamos que una
particula se mueve muy rápido en la dirección +x+. Como discutimos antes (2.3.17), su
velocidad cono de luz muy pequeña. Como p1 es muy larga, la ecuación (2.4.2) da:
(2.4.12)
La energía cono de luz de una partícula es por lo tanto:
(2.4.13)
Como anticipamos, p1 incrementa, y la velocidad cono de luz y energía cono de luz decrecen.
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3.1 Funcional de área para superficies espaciales
La acción para una cuerda relativista debe ser un funcional de la trayectoria de la cuerda. Así
como una partícula traza una línea en el espacio tiempo, una cuerda traza una superficie. La
línea trazada por el espacio-tiempo es llamada la línea universo. La superficie trazada por una
cuerda en el espacio-tiempo se le llamara lamina – universo (world – sheet). Una cuerda
cerrada, por ejemplo, trazara un tubo, mientras que una cuerda abierta trazara una superficie.
Estas laminas – universo de dos dimensiones se muestran en el diagrama espacio tiempo de la
figura 3.1. Las líneas de constante x0 en estas superficies son las cuerdas. Estos son los objetos
que un observador ve en un tiempo fijo x0. Son curvas abiertas por la superficie que describe la
evolución de la cuerda abierta (izquierda), y son curvas cerradas por la superficie que describe
la evolución de la cuerda cerrada (derecha).
Sabemos que la acción para una partícula está dada por el tiempo propio asociado a su línea –
universo. El tiempo propio, multiplicado por c, es una “longitud” invariante asociada a la línea
universo. Para cuerdas definiremos el invariante de Lorentz “área propia” de una lamina –
universo.
La acción de la cuerda relativista será proporcional a su área propia, y es llamada la acción de
Nambu-Goto.
x0
x1
Figura 3.1: Las laminas – universo trazadas por una cuerda abierta y por una cuerda cerrada.
Los funcionales de área son muy útiles en otras aplicaciones: una membrana de jabón entre
dos anillos, por ejemplo, automáticamente construye una superficie de área mínima la cual
une un anillo con el otro, como en la figura 3.2. La lamina-universo de una cuerda y una
burbuja de jabón entre dos anillos son dos tipos de superficies muy diferentes. A cualquier
instante de tiempo un observador de Lorentz vera toda la superficie de dos dimensiones de la
membrana de jabón, pero el observador puede ver solamente una cuerda de la lamina-
universo de dos dimensiones. Imagina que la membrana de jabón es estática en algún sistema
de referencia de Lorentz. En este caso, el tiempo no es relevante para la descripción de la
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membrana, y imaginamos a la membrana como una superficie espacial, es decir, una superficie
que se extiende a lo largo de dos dimensiones espaciales. La superficie existe completamente a
cualquier instante de tiempo. Estudiaremos primero estas superficies familiares, y entonces
aplicaremos nuestra experiencia para el caso de superficies en el espacio-tiempo.
Una línea en el espacio puede ser parametrizada usando un solo parámetro. Una superficie en
el espacio es de dos dimensiones, así que requiere dos parámetros ξ1 y ξ2. Dada una superficie
parametrizada, podemos dibujar en la superficie las líneas de constante ξ1 y las líneas de
constante ξ2. Estas líneas cubren la superficie con una cuadricula.
Llamaremos el espacio objetivo al mundo donde las superficies bidimensionales viven. En el
caso de una burbuja de jabón en tres dimensiones, el espacio objetivo es el espacio
tridimensional x1, x2 y x3. La superficie parametrizada es descrita por la colección de funciones.
(3.1.1)
El espacio del parámetro es definido por los rangos de los parámetros ξ1 y ξ2. Este puede ser
una cuadrado, por ejemplo, si usamos los parámetros ξ1 , ξ2 [0,π]. La superficie real es la
imagen del espacio del parámetro bajo la función . La superficie física es a superficie
en el espacio objetivo. Alternativamente, podemos ver los parámetros ξ1 y ξ2 como
coordenadas en la superficie física, al menos localmente. La función inversa de nos lleva de la
superficie al espacio del parámetro. Localmente esta función es uno a uno y asigna a cada
punto en la superficie dos coordenadas: los valores del los parámetros ξ1 y ξ2.
x1
x2
x3
Figura 3.2: Una superficie espacial que se entre dos anillos. Si la superficie es una membrana de jabón,
sería un área de superficie mínima.
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Queremos calcular el área de un pequeño elemento del espacio objetivo. Comencemos por
tomar un rectángulo infinitesimal en espacio del parámetro. Denotamos los lados del cuadrado
por dξ1 y dξ2. Queremos encontrar dA, el área de la imagen de este pequeño rectángulo en el
espacio objetivo. Como mostrado en la figura 3.3, esta es la área de la verdadera parte de la
superficie que corresponde a un cuadrado infinitesimal en el espacio del parámetro.
Por supuesto, no hay razón porque el elemento de área infinitesimal deba ser ser un
rectángulo. En general, es un paralelogramo. Llamemos los
ξ2 x3

Figura 3.3: Lado izquierdo: el espacio del parámetro, con un pequeño cuadrado. Una superficie en el
espacio objetivo con la imagen de un pequeño cuadrado: un paralelogramo cuyos lados son los vectores
y (se muestra más grande al final de la flecha en zigzag).
Lados de este paralelogramo y . Que son las imágenes bajo la función de los vectores
, 0) y ,( respectivamente. Podemos escribirlas como
(3.1.2)
Esto tiene sentido: , por ejemplo, representa la razón de variación de coordenadas
espaciales con respecto a ξ1. Multiplicando esta razón por la longitud dξ1 del lado horizontal del
pequeño parámetro espacial rectangular, esto nos da el vector representando este lado
en el espacio objetivo. Ahora calculemos dA. Usando la fórmula para el área de un
paralelogramo,
(3.1.3)
Donde θ es el ángulo entre los vectores y . En términos de el producto escalar,
tenemos
(3.1.4)
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(3.1.5)
Esta es la expresión general para el elemento de área de una superficie espacial
parametrizada. El funcional de área A es dado por
(3.1.6)
La integral se extiende sobre el rango de los parámetros dξ1 y dξ2. La solución del problema de
la mínima área para una superficie espacial es la función ) que minimiza el
funcional A.
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3.2 Invariancia de la reparametrización del área
Como hemos visto, la parametrización de una superficie nos permite escribir el elemento de
área de una forma explícita. El área de la superficie, o aun más, el área de una parte de la
superficie, debe ser independiente de la parametrización escogida para calcularla. Esto es lo
que queremos decir cuando decimos que el área debe ser invariante a la parametrización.
Porque pronto igualaremos la acción de una cuerda relativista a alguna noción de área propia,
esta también, debe ser invariante a la parametrización. Esto significa que seremos libres de
escoger la parametrización más útil sin cambiar la física subyacente. Una buena elección de
parametrización nos permitirá resolver ecuaciones de movimiento de una cuerda relativista
de una forma elegante.
La invariancia a la parametrización es por lo tanto un importante concepto así que debe ser
entendido correctamente. Para este fin trataremos de mostrarlo en nuestra formulación. El
objetivo del siguiente análisis es mostrar como esto puede ser hecho.
Comencemos preguntando: ¿es el funcional de área A en (3.1.6) un invariante a la
parametrización? De hecho, a primera vista parece ser invariante a la parametrización.
Después de todo, si un valor reparametriza la superficie con ( y ( , entonces todas
las derivadas introducidas por la regla de de la cadena se cancelan apropiadamente. Esta
reparametrización, sin embargo, es no completamente general por que falla al mezclar las
coordenadas ξ1 y ξ2. Supongamos, en lugar, que hacemos una reparametrización) y
( . Esta vez la podemos verificar, usando operaciones más complicadas, que (3.1.6)
es invariante bajo tal reparametrización. Pero la invariancia ya no es clara. Para hacer la
reparametrización invariante (3.1.6) entendible tenemos que reescribir el funcional de área de
una manera diferente.
(3.2.1)
(3.2.2)
Donde ] es la matriz definida por . Combinando las ecuaciones
(3.2.1) y (3.2.2), vemos que
(3.2.3)
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28
Ahora consideremos como espacio objetivo a una superficie S, descrita por la función
.( Dado un vector tangente a la superficie, y ds denota su longitud. Entonces
podemos escribir:
(3.2.4)
Para superficies en el espacio, como estamos considerando, no es costumbre agregar un signo
menos a la expresión ds2. El vector puede ser expresado en términos de las derivadas
parciales de los diferenciales dξ1 y dξ2:
(3.2.5)
El índice repetido i toma los valores 1 y 2. De vuelta a (3.2.4)
(3.2.6)
(3.2.7)
(3.2.8)
Donde es conocido como la métrica inducida en S. Es una métrica en S por que, con ξi
haciendo el rol de coordenadas en S, la ecuación (3.2.7) determina distancia en S. E inducida
porque usa la métrica en el espacio en la cual S “vive” para determinar distancia en S. En
realidad, el producto escalar el cual aparece en la definición (3.2.8) es usado en el espacio
donde S vive y por lo tanto presupone que una métrica existe en ese espacio. Tenemos
solamente dos parámetros ξ1 y ξ2, así que su forma matricial toma la forma:
(3.2.9)
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Ahora vemos algo verdaderamente sorprendente. El determinante de es precisamente la
cantidad que aparece bajo la raíz cuadrada de (3.1.6). Entonces
(3.2.10)
(3.2.11)
Esta es una formula elegante para el área en términos del determinante de la métrica
inducida. En lugar de tratar de entender la invariancia a la reparametrización de (3.1.6), ahora
nos concentramos en la equivalente pero mas simple (3.2.11)
Ahora estamos en posición de entender la invariancia del área en términos de las propiedades
de transformación de la métrica . La clave para esto está en la ecuación (3.2.7). La longitud
al cuadrado ds2 es una propiedad geométrica del vector que no debe depender de una
parametrizacion particular usada para calcularla. Para otro conjunto de parámetros y la
métrica ), la siguiente igualdad por lo tanto se mantiene:
(3.2.12)
Haciendo uso de la regla de la cadena para expresar los diferenciales en términos de los
diferenciales ,
(3.2.13)
Desde que este resultado se mantiene para cualquier elección de diferenciales ,
encontramos una relación entre la métrica en las coordenadas y :
(3.2.14)
Haciendo uso de la definición de (3.2.2), escribimos la ecuación anterior como:
(3.2.15)
En notación de matriz, el lado derecho es el producto de 3 matrices. Tomando el determinante
de usando la notación de (3.2.10) da:
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(3.2.17)
Obtenemos la propiedad de para la raíz cuadrada de el determinante de la métrica.
Finalmente estamos listos para apreciar la invariancia en la reparametrización de (3.2.11).
Haciendo uso de (3.2.1), (3.2.17) y (3.2.3) tenemos:
(3.2.18)
La cual prueba la invariancia en la parametrización para el funcional de área. Para un ojo
entrenado la fórmula del área en (3.2.11) es claramente invariante a la reparametrización. Es
decir, una vez que sabemos como la métrica se transforma, la invariancia es razonablemente
simple de establecer. Ningún otro cálculo complicado es necesario.
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3.3 Funcional de área para superficies en el espacio-tiempo
Ahora sigamos con el caso que nos interesa, el caso de las superficies en el espacio-tiempo.
Estas superficies se obtienen representando en el espacio-tiempo la historia de las cuerdas, de
la misma forma como en el espacio-tiempo una línea - universo se obtiene por representar la
historia de una partícula. Para el caso de cuerdas, obtenemos una superficie bidimensional
llamada lámina – universo de la cuerda. Superficies espacio-tiempo, tales como una lamina-
universo, no son del todo diferentes de las superficies espaciales que consideramos en la
sección previa. Estas son bidimensionales, y requieren dos parámetros. En lugar de llamarlos
parámetros ξ1 y ξ2, y le damos los nombres especiales: τ y σ.
Dadas nuestras coordenadas espacio-tiempo usuales , la
superficie es descrita por las funciones:
(3.3.1)
Tomando una región del espacio de parámetros (τ, σ). Y siguiendo una convención estándar en
teoría de cuerdas, cambiamos la notación ligeramente. Denotaremos las funciones anteriores
con mayúsculas:
(3.3.2)
No estamos cambiando el significado de las funciones. Dado un punto fijo (τ, σ) en el espacio
de los parámetros, a este punto le corresponde un punto con coordenadas espacio-tiempo
(3.3.3)
¿Por qué usamos las letras mayúsculas X? Supongamos que usamos los mismos símbolos para
denotar las coordenadas espacio-tiempo y funciones. Entonces aun podríamos distinguir entre
estas escribiendo xµ o xµ(τ, σ), pero no podríamos obviar los (τ, σ) argumentos. Por otra parte,
con Xµ podemos obviar los argumentos (τ, σ) y aun sabríamos que estamos hablando de
funciones de la cuerda. Las llamaremos Xµ las coordenadas de la cuerda.
Como antes, los parámetros τ y σ pueden ser vistos como coordenadas en una lamina-
universo, al menos localmente. La función inversa de Xµ toma la lamina-universo al espacio de
parámetros, y localmente asigna a cada punto en la superficie dos coordenadas: los valores de
los parámetros τ y σ. Podría traer algo de confusión que lo físicos también usen el termino
lamina-universo para denotar el espacio bidimensional de parámetros cuya imagen bajo Xµ nos
da …. ¡Una lamina – universo! A menos que sea explícitamente dicho, reservaremos el uso del
término lamina-universo para la superficie en el espacio-tiempo. En la figura 3.4
consideraremos una cuerda abierta: en el lado izquierdo veremos un espacio del parámetro de
superficie, y a la derecha, una superficie en el espacio tiempo.
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32
Figura 3.4: Izquierda: el espacio de parámetros (τ, σ), con un pequeño cuadrado seleccionado. Derecha:
La superficie en el espacio-tiempo objetivo con la imagen de una pequeño cuadrado: un paralelogramo
cuyos lados son los vectores
y
.
Para encontrar un elemento de área, procedemos como en el caso de una superficie espacial,
esta vez usando notación relativista. Esta situación es ilustrada en la Figura 3.4.
Un pequeño triangulo de lados dτ y dσ en el espacio de parámetros, se vuelve un elemento de
área cuadrilátero. Este cuadrilátero esta abarcado por los vectores
y
, Por otra parte,
(3.3.4)
El cual es análogo a su formula espacial (3.1.2). Ahora podemos usar el análogo de (3.1.4)
como un candidato para el elemento de área dA:
(3.3.5)
Donde el punto es producto escalar relativista. Usando este producto escalar nos aseguramos
que el elemento de área sea un invariante de Lorentz: Este es un elemento propio de área.
Escribimos un símbolo de interrogación sobre el símbolo de igualdad porque hay un problema.
Aunque esto no es obvio para nosotros aun, el signo de lo está dentro de la raíz cuadrada es
negativo. Para poder hallar la raíz cuadrada debemos intercambiar los dos términos bajo la
raíz. Este cambio de signo no tiene efecto en la invariancia de Lorentz. Haciendo esto y usando
(3.3.4), encontramos que el área propia esta dado por:
(3.3.6)
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(3.3.7)
Para entender por qué el signo de la expresión anterior es correcto debemos convencernos
que la expresión bajo la raíz cuadrada es positiva en cualquier punto de la lamina-universo de
una cuerda.
¿Qué caracteriza localmente a la superficie en el espacio-tiempo trazada por una cuerda? La
respuesta es muy interesante. Consideremos un punto en la lamina-universo y el conjunto de
todos los vectores tangentes a la superficie en ese punto. Esos vectores forman un espacio
vectorial bidimensional. Diremos que en este espacio vectorial esta hecho de dos vectores, de
los cuales es espacial, y la otra temporal. Esto implica que a cada punto sobre la lamina-
universo hay vectores dirección tangentes, temporales y espaciales.
La existencia de una dirección espacial es fácil de visualizar: si tomamos una fotografía en
cierto momento, todos los vectores tangentes a lo largo de la cuerda apuntaran a una
dirección espacial. En verdad, en nuestro sistema de referencia, los eventos que definen la
cuerda son simultáneos pero espacialmente separados.
Para apreciar la necesidad de un vector temporal en cualquier punto sobre la lamina-universo,
consideremos primero la línea-universo de una partícula puntual. El vector tangente a la línea
–universo es temporal. En cada punto sobre la línea-universo este vector tangente puede ser
usado para producir que un observador de Lorentz por un instante vea la partícula en reposo.
Supongamos que el vector tangente a la línea universo se vuelva espacial en algún punto P.
Podemos imaginar que en P una infinita colección de observadores de Lorentz con sus
orígenes (espaciales) en P, uno de cada posible velocidad. Ninguno de ellos puede ver la
partícula en reposo en el origen, porque la línea universo es temporal para todos los
observadores. Este es una situación sin significado físico.
El trabajo con cuerdas es un poco más complicado desde que no hay manera de decir como las
partículas individuales sobre las cuerdas se están moviendo. La cuerda no está hecha de
constituyentes cuya posición pueda seguirse (Con una excepción: uno puede seguir la posición
los extremos de una cuerda abierta). Para la lamina-universo de una cuerda cerrada, por
ejemplo, consideremos primero la posibilidad que por toda la cuerda cerrada no hay vectores
tangentes temporales sobre la lamina-universo. Esto significa que podemos poner todos los
posibles observadores de Lorentz en todos los puntos sobre la cuerda, y ningún observador
puede hacer que algún punto sobre la cuerda parezca estar en reposo. Un resulto sin sentido
físico similar ocurrirá si alguna parte de la cuerda falla en tener vectores tangentes temporales
sobre la lamina-universo. Desde que los extremos en el resto de la cuerda no pueden cerrarse
instantáneamente, una parte de la cuerda habría fallado en moverse físicamente. Debemos
tener un vector tangente temporal a la lamina-universo en todos los puntos sobre la cuerda.
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34
La existencia de vectores dirección temporales y espaciales en cualquier punto sobre la lamina-
universo es nuestro criterio para un sentido físico. Esto garantiza que la ecuación (3.3.6) tenga
sentido:
Afirmación: Para una superficie donde hay para cada punto P vector dirección temporal y
vector dirección espacial, cantidad bajo la raíz cuadrada en (3.3.6) es siempre positiva, es decir,
(3.3.8)
Prueba: Consideremos todos los vectores tangentes a la superficie en algún punto P, y
mostremos que en este conjunto hay vectores temporales y vectores temporales.
Primero parametrizemos todos los posibles vectores y entonces busquemos el parámetro
espacial. La situación está ilustrada en la Figura 3.5.
Consideremos el conjunto de los vectores tangentes al punto P:
(3.3.9)
Donde λ es un parámetro que va desde el infinito negativo al infinito positivo. Desde que
y son vectores tangentes linealmente independientes, cuando variamos λ
obtenemos, variando constantemente, todos los vectores tangentes a P (ver Figura 3.5),
Figura 3.5: Izquierda: un conjunto de vectores tangentes v(λ) a un punto P en la lamina-universo.
Derecha: el grafico de v 2 (λ) como una función de λ. El vector v(λ) puede de tipo espacial o temporal
dependiendo del valor de λ.
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35
Con la excepción de la cual se obtiene en el limite λ ∞.Variaciones , constantes no
interesan en la determinación de si un vector es temporal o espacial. Para determinar si vµ(λ)
es temporal o espacial, consideramos su cuadrado:
(3.3.10)
Las derivadas de X que aparecen aquí son solamente números, asi que tenemos un polinomio
cuadrático en λ. Para tener vectores tangentes temporales y espaciales en P, v2(λ) debe tomar
valores positivos y negativos cuando variamos λ. En otras palabras, la ecuación v2(λ)=0 debe
tomar dos raíces reales. Para que esto pase, el discriminante de la ecuación cuadrática debe
ser positivo. De (3.3.10) vemos que este requiere que:
(3.3.11)
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3.4 La acción de Nambu-Goto
Ahora que estamos seguros que el funcional de área propia en (3.3.7) está correctamente
definido, podemos introducir la acción de la cuerda relativista. Esta acción es proporcional a al
área propia de una lamina-universo. Para tener las unidades de acción debemos multiplicar el
funcional de área por algunas constantes apropiadas.
El funcional de área en (3.3.7) tiene unidades de longitud al cuadrado, como debe ser. Esto es
porque Xµ tiene unidades de longitud, y cada término bajo la raíz cuadrada tiene 4 “X”. Las
unidades de τ y σ se cancelan. Cada término en la raíz cuadrada tiene dos derivadas de σ y dos
derivadas de τ. Sus unidades se cancelan con las unidades de los diferenciales. Sin embargo,
tomaremos σ con unidades longitud y τ con unidades de tiempo. Para resumir:
(3.4.1)
Debido a que S debe tener unidades de ML2/T y A tiene unidades de L2, debemos multiplicar el
área propia por una cantidad con unidades de M/T. La tensión de la cuerda T0 tiene unidades
de fuerza, y la fuerza dividida por la velocidad tiene unidades deseadas de M/T.
Podemos por lo tanto multiplicar el área propia por T0/c para obtener una cantidad con las
unidades de acción. Haciendo uso de (3.3.7) obtenemos la acción de la cuerda igual a
(3.4.2)
Para escribir esta acción hemos introducido unas notaciones para las derivadas:
(3.4.3)
Por supuesto, aun no hemos confirmado que el símbolo T0 en la acción de la cuerda tiene la
precisa interpretación de la tensión, pero lo haremos más adelante. También confirmaremos
que el signo negativo multiplicando la acción es correcto.
La acción S es la acción de Nambu-Goto para la cuerda relativista.
Es crucial que la acción sea un invariante a la reparametrización. Podemos proceder justo
como hicimos con las superficies espaciales para poder escribir la acción de Nambu-Goto de
una forma claramente invariante a la reparametrización. En este caso tenemos:
(3.4.4)
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37
Aquí ηµves la métrica del espacio objetivo. Como en nuestro caso de superficies
bidimensionales, definimos una métrica γ = [γαβ] en la lámina – universo:
(3.4.5)
Con ξ1=τ y ξ2=σ, la matriz de γαβ es:
(3.4.6)
Con la ayuda de esta métrica podemos escribir la acción de Nambu-Goto en una forma que
claramente invariante a la reparametrizacion.
(3.4.7)
El análisis en la sección 3.2 de la invariancia en la reparametrización para superficies espaciales
se mantiene sin cambio en el presente caso. No solo la acción (3.4.7) es claramente invariante
a la reparametrización, también es más compacta. En esta forma, uno ya puede generalizar la
acción de Nambu-Goto para describir la dinámica de objetos que tienen más dimensiones que
las cuerdas. Una acción de este tipo es muy útil como una primera aproximación a la dinámica
de las D-branas.
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6.5 Ecuaciones de movimiento, condiciones de contorno y D-branas
Esta parte obtendremos las ecuaciones de movimiento que se debe a la variación de la acción
de la cuerda. Haciendo esto tendremos una oportunidad de discutir las diferentes condiciones
de contorno que pueden ser impuestas en los extremos de las cuerdas abiertas. Condiciones
de contorno de Dirichlet serán interpretadas debido a que aparecen cuando tratamos D-
branas.
Comencemos escribiendo la acción de Nambu-Goto (3.4.2) como la doble integral de la
densidad de la LagrangianaL:
(3.5.2)
Podemos obtener las ecuaciones de movimiento para la cuerda relativista poniendo la
variación de la acción (3.5.1) igual a cero. La variación simplemente es:
(3.5.3)
Y una ecuación análoga para δX’µ.
Las cantidades ∂L/∂Xy∂L/∂aparecerán frecuentemente por todo lo que queda de
nuestra discusión, así que es muy útil introducir nuevos símbolos por estos:
(3.5.5)
(3.5.6)
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39
Usando esta notación, la variación de δS es (3.5.3) se convierte en:
(3.5.7)
El primer término en el lado derecho, que es un derivada total en τ, contribuirá términos
proporcionales a y . Si los estados inicial y final de una cuerda están
especificadas, nos podemos restringir a variaciones para las cuales = = 0.
Siempre asumiremos tales variaciones, así que no nos podemos olvidar de estos términos. La
variación entonces se vuelve.
(3.5.8)
El primer término en el lado derecho tiene que ver con los extremos de la cuerda. Hay dos
tipos de condiciones de contorno las cuales pueden ser impuestas a los extremos. El primero
es las condiciones de contorno de Dirichlet, las cuales requieren que los extremos de la cuerda
se mantengan fijos durante todo el movimiento.
(3.5.9)
Alternativamente, más que pedir que las derivadas de τ se anulen, podemos simplemente
especificar valores contantes para ( ) y ( ). Si los extremos de la cuerda están fijos,
las variaciones se introducen de forma que en los extremos se anulen: ( ) = 0 , y
) ) = 0 . Esto garantizara que el primer término en δS se anule.
Alternativamente, poniendo
(3.5.10)
también resultaría en la anulación de los términos de contorno. Este es la condición de
contorno “extremos libres” para la cuerda relativista. De la misma forma, las condiciones de
contorno de Dirichlet (3.5.9) implican la anulación de en los extremos de la cuerda como
demostraremos mas adelante.
Las condiciones de contorno anteriores pueden ser impuestas de muchas formas. No
necesitaremos usar las mismas condiciones de contorno para todos los posibles valores del
índice µ. Algunas coordenadas de las cuerdas pueden tener una condición tipo Dirichlet, y
otras tipo libre (Free boundarycondition).
Una Dp-brana es un objeto con p dimensiones espaciales. Desde que los extremos de la cuerda
deben estar en la Dp-brana, un conjunto de condiciones de contorno de Dirichlet son dadas. Un
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40
plano D2-brana en un espacio tridimensional, por ejemplo, dada un condición, digamos x3=0
(veamos figura 3.6).
Figura 3.6: Una D2-brana graficada sobre el plano (x1,x2). Los extremos de la cuerda abierta pueden
moverse libremente en el plano, pero se debe mantener atada a este. La coordenada x 3
de los extremos
se deben anulan en todas las oportunidades. Esta es una condición de contorno de Dirichlet por la
coordenada de la cuerda X 3 .
Esto quiere decir que las D2-branas se extienden sobre el plano (x1, x2). Las condiciones de
contorno de Dirichlet aplicadas a coordenada de la cuerda X3, por la cual deben fijarse los
extremos de la cuerda. Cuando el movimiento de los extremos de la cuerda es libre por las
direcciones de la brana, las coordenadas de la cuerda X1 y X2 satisfacen las condiciones de
contorno libres. Y además cuando los extremos de una cuerda abierta tienen condiciones de
contorno libre a lo largo de todas las direcciones, aun tendremos una D-brana, pero esta vez
será una D-brana que llena el espacio. Las D-branas se extienden por sobre todo el espacio, y
ya que los extremos de las cuerdas abiertas pueden estar en cualquier lugar en la D-brana, los
extremos de las cuerdas abiertas son completamente libres.
Para cuerdas relativistas (cuánticas) la consistencia de las condiciones de contorno de Dirichlet
nos permite descubrir las propiedades de D-branas. Las D-branas son objetos físicos que
existen en una teoría de cuerdas, y no son simplemente introducidas. Estas tienen densidades
de energía calculables, y una multitud de propiedades remarcables.
Retornando después de esta desviación a la variación de la acción, ya el segundo término en
(3.5.8) debe eliminar todas las variaciones del movimiento, ponemos:
(3.5.11)
Esta es la ecuación de movimiento para la cuerda relativista, abierta o cerrada. Una mirada
rápida a las definiciones (3.5.5) y (3.5.6) muestra que esta ecuación es increíblemente
complicada. La clave para su solución está en la invariancia a la reparametrización de la acción
de Nambu-Goto. Escogiendo una parametrizacion correcta simplificaremos nuestro trabajo
enormemente.
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3.6 La estática de calibre
Para hacer un progreso en el entendimiento de la acción para la cuerda relativista, debemos
parametrizar la superficie de la cuerda de una forma útil. Podemos escoger libremente la
parametrización debido a invariancia a la reparametrización de la acción de la cuerda. La
invariancia a la reparametrización en teoría de cuerdas es análoga a la invariancia de calibre en
electrodinámica. Las ecuaciones de Maxwell poseen una simetría bajo la transformación de
calibre que nos permiten usar diferentes potenciales Aµ para representar los mismos campos
electromagnéticos y . Una elección correcta del calibre nos ayuda a entender la física.
Similarmente, podemos usar diferentes rejillas en la lámina – universo para describir el mismo
movimiento físico de la cuerda. Una elección correcta de la rejilla puede fácilmente hacer
nuestra tarea más fácil. Una correcta elección de la parametrización es útil aun para una
partícula puntual, su ecuación de movimiento es la más simple cuando la trayectoria es
parametrizada por el tiempo propio.
Por ahora, discutiremos solamente una parametrización parcial en la lamina – universo.
Fijaremos las líneas de constante τ relacionando τ a la coordenada de tiempo X0=ct, el tiempo
en un sistema de referencia de Lorentz escogido.
Figura 3.7: Izquierda: Espacio de parámetros para una cuerda abierta. El segmento vertical AB es la línea
τ=t0. Derecha: Lamina – universo para una cuerda abierta en el espacio objetivo. La cuerda en el tiempo
t= t0 es la intersección de las lamina-universo con el hiperplano t=t0. En la estatica de calibre, la cuerda
para un tiempo t=t0 es la imagen del τ=t0 (segmento AB).
Procedemos con en la Figura 3.7. Supongamos que dibujas un hiperplano de constante t en el
espacio objetivo, digamos que el plano t=t0. Este plano intersecara a la lamina-universo a lo
largo de una curva – la cuerda en un tiempo t0 de acuerdo a los observadores en el sistema de
referencia de Lorentz escogido. Podemos afirmar que esta curva es una curva de constante τ;
de hecho, podemos afirmar esta es la curva τ=t0. Extendiendo esta definición a todos lo
tiempos t, afirmamos que para cualquier punto Q en la lamina-universo
(3.6.1)
La elección la parametrización en τ se llama la estática de calibre porque las líneas de contante
τ son “cuerdas estáticas” en el sistema de referencia de Lorentz.
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