COMPETENCIA EN TEORIA DE CONJUNTOS:

APLICA LA TEORÍA DE CONJUNTOS PARA MODELAR Y RESOLVER PROBLEMAS, EXPRESANDO UN COMPORTAMIENTO SOLIDARIO, COLABORATIVO Y PARTICIPATIVO CON SUS COMPAÑEROS.

TEORIA DE

CONJUNTOS

CONJUNTO

Ciertos conceptos en matemáticas son

primitivos, indefinibles, estos conceptos son:

el número natural, el punto, la recta, el

conjunto, etc.

Sin embargo como noción intuitiva un

conjunto se define como un sinónimo de

colección, agrupación, reunión de

integrantes homogéneos o heterogéneos. A

los integrantes que pertenecen a esta

agrupación se les llama elementos del

conjunto.

Notación:

Los conjuntos se nombran con letras

mayúsculas (A,B,C,D,….) y los elementos con

letras minúsculas (a,b,c,…..). Así el conjunto

de los diez primeros números naturales

positivos:

N 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10

Se observa que los elementos que van

separados por punto y coma y encerrados

entre llaves, determinan el conjunto N.

Determinación de un conjunto:

(I) POR EXTENSIÓN:

Un conjunto queda determinado por

extensión, cuando se nombra a todos y cada

uno de los elementos.

A 2;4;6;8

M a;e;i;o;u

B 1;8;27;64;......;1000

(II) POR COMPRENSIÓN:

Un conjunto queda determinado por

comprensión, cuando se nombra una

propiedad común que caracteriza a todos los

elementos del conjunto, generalmente se

emplea x/x: “x tal que x”

A x / x es par;2 x 8

B x / x es una vocal

C = {x³ / x N ; x 10 }

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. Relación De Pertenencia

Es una relación que vincula un

elemento con un conjunto.

* Si un elemento esta en un conjunto, se

dice que pertenece

* Si no está en un conjunto, se dice que

no pertenece

Ejemplo:

Dado: A 2;3; 5;6

Así diremos que:

2 A 4 A

3 A 5 A

5;6 A 6 A

2. Relación De Inclusión O Subconjunto

Se dice que el conjunto A está incluido

en B, si todos los elementos de A están

en B. Se denota como: A B ”A está

incluido en B”

Si: A B x A x B

Ejemplo:

A n;3;5

B 4;n;m;6;3;p;5

Se observa que todos los elementos de A

son también elementos de B, luego: A B .

PROPIEDADES

*Pr opiedad reflexiva : A A

*Pr opiedad antisimetrica :

Si : A B B A A B

*Pr opiedad transitiva :

Si : A B B C A C

SESIÓN N° 04

3. Relación de igualdad de conjuntos

Dos conjuntos A y B son iguales cuando

tienen los mismos elementos.

Si: A B A B B A

Dos conjuntos A y B son iguales si y

solo si, A es subconjunto de B y B es

subconjunto de A.

4. Relación de coordinabilidad de

conjuntos

Dos conjuntos A y B son coordinables

cuando entre sus elementos puede

establecerse una correspondencia

biunívoca.

Cuando dos conjuntos son

coordinables tienen el mismo número

de elementos.

A 1;3;5;7;9

son coordinables

B a;e;i;o;u

Graficándolos:

Ejercicios Propuestos: 1).- Determina por extensión cada uno de los

siguientes conjuntos:

A = {x / x N ; 1 < x 5}

B = {x / x N ; 3 x 6}

C = {x2 / x N ; 5 x 8}

D = {5

1x2 / xN ; x = 3}

2).- Expresa por extensión el conjunto:

A = { x2 + 1 / x Z 4 x < 9 }

a) {16, 25, 36, 49, 64}

b) {15, 24, 35, 48, 63}

c) {4, 5, 6, 7, 8}

d) {27, 36, 47, 60, 68}

e) {17, 26, 37, 50, 65}

3).- Determina por extensión el siguiente conjunto: A =

{x2 + 4 / x N x 4}

a) {4, 5, 8, 13, 20} b) {0, 1, 2, 3, 4}

c) {5, 8, 13, 20} d) {0, 4, 5, 8, 13}

e)

4).- Expresa el conjunto:

A = { 3x – 2 / x N 2< x 5 } por extensión.

a) {7,10} b) {10, 13, 16}

c) {7, 10,13 } d) {5, 7, 10}

e) {3, 4, 5}

5).- Determina por extensión el conjunto A y dar

respuesta la suma de sus elementos:

A = {x2 + 1 / x Z - 3 < x <3 }

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

6).- El conjunto E = {x N / 32 < 4x < 60, x es número

compuesto} determinado por extensión es:

a) {8,9,10,14} b) {8,10,14}

c) {8,14} d) {9,10,12,14}

e) N.A.

7).- Determina por extensión el siguiente conjunto: A =

{ x2-3 / x N 2 x 5 }

a) {1,6,13,22} b) {2,3,4,5}

c) {2,5,6,13} d) {4,5,6,22}

e) {1,5,13,22}

8).- Si el conjunto R={7a + 4, b – 3, 25} es un conjunto

unitario, calcule a25b

a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5

1

3

5

7

9

a

e

i

o

u

A B

Cardinal de un conjunto

El cardinal de un conjunto es el número de

elementos de dicho conjunto y se denota como

n(A).

A 2;4;7;9 n A 4

M a;b; m;n n M 3

B 2, 3;2;2;5;6;7 n B 5

a e

i o u

9).- Hallar a + b si A = {4a +1, 2b + 9, 3a + 4} es unitario.

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

10).- Dado el conjunto unitario:

A = {a + b, a + 2b – 3, 12}, calcule a2 + b

2

a) 60 b) 7 c) 80

d) 90 e) 104

11).- Los conjuntos A={a3 + 1,10},

B = {a + b, 65} son iguales, calcular el valor de a-b.

a) –2 b) –1 c) 0

d) 1 e) 2

12).- Hallar el valor de (m+n) si el conjunto:

A={2n + 1, 13, m-n} es unitario.

a) 20 b) 25 c) 30

d) 35 e) 40

13).- Si se sabe que A ={m+n, m+2n-2, 10} es un

conjunto unitario. Dar el valor de 3m2-n

2

a) 198 b) 188 c) 178

d) 168 e) 158

14).- Si los conjuntos A y B son iguales y unitarios,

calcular a + b + c si :

A = {a + 3, 3b + 1} , B = {6c + 1, 8c - 1}

a) 6 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

15).- Dado los conjunto unitarios: A = {m, 3}, b = {n, 7}.

Hallar m + n

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

16).- Dados los conjuntos unitarios:

A = {x + 7,2x + 5} ; B = {y – 3,5y–15}. Hallar el valor de

x + y.

a) 5 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

17).- Sean los conjuntos iguales “A” y “B”, A = {x +

7,6}; B = {y, 12}, calcular la suma de cifras y dar como

respuesta “x.y”.

a) 11 b) 20 c) 30

d) 33 e) 12

18).- Si A, B y C son unitarios A={a + 4,b-2, 2a-4} ;

B = {3

3c,32b }; C ={ 1

3c , d – 4 }

Hallar a + b + c + d

a) 20 b) 25 c) 30 d) 37 e) 12

19).- Dados los conjuntos unitarios:

A = {3a + 1; 7}, B = {3; b+c} y C = {2; bc}

Donde: b > c

Calcular: a –2b + 3c

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 6

20).- Si los conjuntos “A” y “B” son iguales:

A = {3a + 5; 7} y B = {b/3 – 2; 5}

Calcular b – a

a) 26 b) 27 c) 18

d) 16 e) 28

21).- Si los conjuntos A y B son unitarios:

A = {2m; 12; n + 2}

B = {20; 5p; q}

Calcule la suma m + n + p + q

a) 36 b) 40 c) 48

d) 46 e) 60

22).- Determina por extensión el siguiente conjunto:

A = {x2 + 1 / x Z -3< x 4}

Dar como respuesta la suma de sus elementos.

a) 43 b) 18 c) 35

d) 38 e) 42

23).- Si el siguiente conjunto es unitario:

P= { m -7 ; 33 ; 4p + 9 }

Calcula ( m + p2 )

a) 84 b) 76 c) 52 d) 90 e) 67

24).- Si el siguiente conjunto es unitario:

H = { a+15 ; b2 –4 ; 45 }

Calcula ( a + b )

a) 33 b) 24 c) 25 d) 50 e) 37

1. CONJUNTO FINITO

Cuando el conjunto tiene un

determinado número de elementos

diferentes.

Ejemplos:

A 3;6;9;12

B 1;3;5;7;......;29

2. CONJUNTO INFINITO

Cuando el proceso de contar los

elementos del conjunto no tiene límite.

Ejemplos:

A x / x es un número real

B x / x es un planeta deluniverso

3. CONJUNTO VACIO

Llamado también conjunto nulo; es

aquel conjunto que carece de

elementos. Se denota como:

*Al conjunto vacío se le considera

incluido en cualquier otro conjunto.

*El conjunto vacío no tiene ningún

subconjunto propio y su número

cardinal: n 0

Ejemplos:

A = {x N / x² - x – 1 = 0 }

B = {x N / 5 < x < 6 }

4. CONJUNTO UNITARIO

Es aquel conjunto que tiene un solo

elemento.

Ejemplos:

A = {x N / 2 < x < 4 }

B = {Bety }

C = {∅}

5. CONJUNTO UNIVERSAL U

Es aquel conjunto que abarca a todos los

conjuntos dados y se les representa por

regiones planas rectangulares.

6. CONJUNTO POTENCIA

Se llama conjunto potencia de A, al

conjunto formado por todos los

subconjuntos de A y se le denota como

P A .

Ejemplos: a. Dado: A 4;7

Su conjunto potencia será:

P A 4 ; 7 ; 4;7 ;

b. Dado:

A 2;3;4

P A 2 ; 3 ; 4 ; 2;3 ; 2;4 ;

3;4 ; 2;3;4 ;

El número de elementos de P A o

número de subconjuntos de A, está dado

por: n

n P A 2

Donde “n” representa el númerode

elementos del conjunto A.

Ejemplos:

Si: 2

A 4;7 n P A 2 4

Si: 3

A 2;3;4 n P A 2 8

Si: A a;b;c;d;e 5

n P A 2 32

CLASES DE CONJUNTOS

M N

P

A

B

U

Numero de subconjuntos

propios: Dado el conjunto A, su

número de subconjuntos

propios será: n

2 1 .No se

considera el mismo conjunto A.

SESIÓN N° 05

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. UNIÓN O REUNIÓN (U)

Para dos conjuntos A y B se llama unión o

reunión al conjunto formado por los

elementos de A, de B o de ambos. Se

denota como A B.

A B x / x A x B

Si:

A 2;3;4;6

B 1;3;4;5

Luego: A B 1;2;3;4;5;6

2. INTERSECCIÓN

Para dos conjuntos A y B se llama

intersección de A y B al conjunto formado

por los elementos que pertenecen a A y a B

(elementos comunes).

Se denota como A B .

A B x / x A x B

Si: A ; ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 1 3

B ; ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 12 2 3

Luego: A B ; 4 ; 5 3

3. DIFERENCIA (–)

Para dos conjuntos A y B, se llama

diferencia de A con B, al conjunto formado

por todos los elementos de A, que no son

elementos de B, Se denota por A–B.

A – B = {x/ x A x ∉ B }

Si: A ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8 2

B 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 9

Luego: A B 6 ; 8

1) P A , puesto que A

2) A P A , puesto que A A

3) P

4) Si A B P A P B

5) Si A B P A P B

6) P A P B P A B

7) P A P B P A B

PROPIEDADES

A B

U

1) A A AIdempotencia

2) A B B AConmutativa

3) A B C A B C Asociativa

4) A

5) A A

6) Si :A B A B B

7) Si A y B son disjuntos

n A B n A n B

8) Si A y B son dos conjuntos no compa

rables, con una región común :

n A B n A n B n A B

PROPIEDADES

A B

U

1) A A A Idempotencia

2) A B B A Conmutativa

3) A B C A B C Asociativa

4) Si : A B A B A

5) A

6) A U A

7) Si :A B A y B son disjuntos

8) A A C A

9) Si: A B C

A B A C

10) A B C A B A C

A B C A B A C

PROPIEDADES

A B

U

1) A A

2) A

3) A B B A

4) A B B

5) A B A

B A B

6) A B A B

7) A B A B B A A B

8) A B A B A

PROPIEDADES

A

B

4. DIFERENCIA SIMETRICA

Para dos conjuntos A y B, se llama

diferencia de A y B, al conjunto formado por

los elementos que pertenecen a la unión de

A y B; pero no pertenecen a la intersección

de A y B.

Se denota por: A ∆ B

A ∆ B = { x/ x ( A U B) x ∉ (A B) }

Formas usuales:

A B A B A B

A B A B B A

Si: A ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 2

B ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 1

Luego:

A B 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 2 ; 4

A B 1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9

5. COMPLEMENTACIÓN

Para dos conjuntos A y B, donde A es un

subconjunto de B.

Se denota BC A ; se lee complemento de A

respecto a B.

B C A B A

* El complemento de un subconjunto A

respecto del conjunto universal U.

C A A' U A

A' x / x U x A

Ejemplo:

Si: A 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8

B 1 , 3 , 4 , 5 , 9 Hallar: B

AC

Resolución:

Como: B

A B AC

B

A C 1 , 3 , 4 , 5 , 9 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8

B

A C 1 , 5 , 9

1 , 5 , 9 Rpta.

PRODUCTO CARTESIANO

Dados los conjuntos A y B, se llama

producto cartesiano de A por B, al conjunto

formado por todos los pares ordenados

a ; b , tales que a A y b B .

Se denota por: A B

A B a ; b / a A b B

Ejemplo:

Si: A 1 ; 2 ; 3

B 1 ; 2

A B

U

1) A' U A

2) U'=

3) ' U

4) A A'= U

5) A A'=

6) A' ' A

7) A B ' A' B ' Leyes de Morgan

A B ' A' B '

PROPIEDADES

A

U

1) a ; b A B a A b B

2) A B B A ; A B

3) A O

O

4) A B C A B A C

5) A B C A B A C

6) A B C A B A C

7) n A B n A n B

8) Si: A B A C B C

Propiedades

Hallar: A B

Resolución:

A B 1 ;1 ; 1 ; 2 ; 2 ;1 ; 2 ; 2 ; 3 ;1 ; 3 ; 2

Grafica de A B

Diagonal de un Conjunto:

Dado el conjunto A, la diagonal del

producto A A que se denota A , se

define por:

A x ; y

Ejemplo:

A a ; b ; c

B 1 ; 2 ; 3 ; 4

Hallar: A y B

Resolución:

A a a ; b b ; c c; ; ;

B 1 1 ; 2 2 ; 3 3 ; 4 4; ; ; ;

NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN

CONJUNTO

Si:

A B O n A B n A n B

Si:

A y B son dos conjuntos cualesquiera

n A B n A n A B

Si:

A y B son conjuntos tales que A B ∅

n A B n A n B n A B

Si: A B C O

n A B C n A n B n C

n A B n A C

n B C n A B C

2

1

1 2 3 A

BA B

A B

A B

A B

C

PAR ORDENADO:

Par ordenado es un ente matemático

constituido por dos elementos (a ;b)

Se cumple que:

a ;b b ;a

Si: a ;b c ;d a= c b= d

Para los problemas

1 2 3

A B

1 : sólo A

2: A y B

3: sólo B

1 y 2: A

2 y 3: B

1 , 2 y 3: A ó B

1 2 3

45

6

7

A B

C

1 : sólo A

3: sólo B

7: sólo C

2: sólo A y B

4: sólo B y C

6: sólo A y C

5: A , B y C

25: A y B

45: B y C

56: A y C

1 Si: A 3,6

B 2,4,6

Hallar la suma de los términos del conjunto:

A B A B

a) 10 b) 12 c)14 d) 13 e) 11

Resolución:

A B 2, 3, 4,6

A B 3

Luego:

A B A B

2, 3, 4,6 3 2, 4,6

Piden: 2 4 6 12

2 Hallar: x 3y , si:

3 x2x 1, y 5 23,

2 3

a) 14 b) 13 c)11 d) 15 e) 16

Solución:

Por pares ordenados iguales

* 2x 1 23 x 12

3 12 2* y 5 y

2 3 3

Luego piden: 2

12 33

12 2 14

3 Si: A 5, 2 ,9

Señale la expresión falsa:

a) 2 A

b) 2 A

c) 9 A d) 5,9 A

e) 5, 2 A

Resolución:

Se observa en el conjunto A que los

elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto

5,9 , luego 5,9 A , lo falso seria (d).

4 4 De un grupo de 41 personas 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan ¿Cuántos trabajan y estudian? a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 3

Resolución:

Del gráfico, se tiene: * y w z 15 41

y+ w+ z= 26 ….. ( I )

* w 15 28 w= 13 * y 15 25 y= 10

Reemplazando en ( I ) 13 10 z 26

z 3 Rpta.

5 De un grupo de 17 personas, 13 tienen bigote, 4 son calvos y 3 son calvos que usan bigotes. ¿Cuántos no son calvos ni usan bigotes? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Resolución:

Formando ecuaciones:

x 3 13 x= 10

y 3 4 y= 1

41

15

Estudian Trabajan

y z w

17

z

con bigote calvos

x 3 y

13 4

SESIÓN N° 06

10 3 1 z 17

z 3 Rpta.

6 Se tienen 65 banderas que tienen por lo menos dos colores. 25 tienen rojo y azul, 15 banderas rojo y blanco y 35 tienen blanco y azul. ¿Cuántas banderas tienen los 3 colores mencionados? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

Resolución:

“x”: # banderas que tienen 3 colores

No hay banderas de un solo color

De la figura se tiene que:

25 x x 35 x 15 x 65

10 2x x= 5 Rpta. 7 Cotos come fréjoles y/o tallarines en

su almuerzo, cada día, durante el mes de

febrero de 1988. Si come 19 días fréjoles y

23 días tallarines. ¿Cuántos días come

fréjoles con tallarines?

a) 12 b) 8 c) 10 d) 14 e) 13

Resolución:

19 x x 23 x 29

x 13 Rpta.

8 En un grupo de 55 personas, 25

hablan Inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los

tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo

hablan dos de estos idiomas?

a) 40 b) 37 c) 25 d) 22 e) 38

Resolución:

Del grafico se tiene que:

a b c x y z 50 …. ( I )

a x y 20

b y z 27

c x z 28

a b c 2 x y z 75 …. ( II )

( I ) en ( II )

50 x y z 75

x y z 25 Rpta.

9 ¿Cuántos subconjuntos se formaran

con 6 elementos?

a) 63 b) 64 c) 61 d) 68 e) n.a.

Resolución:

Recordado que:

n# Subconjuntos 2=

6n 2 2 64=

# Subconjuntos = 64 Rpta.

15 x 35 x

25 x

R A

B

x

3515

25

19 x 23 xx

F T

x

y

z

a b

c

I 25 F 32

A 33

5

10 Sean A y B dos conjuntos contenidos

en un universo, si:

A B B A A B .¿Cuál de las

siguientes proposiciones es falsa?

a) A A B b) A B O

c) B B A d) B A'

e) A B ' A B

Resolución:

Como: A B B A A B

Quiere decir que A y B son conjuntos

disjuntos, para las alternativas se tendrá

que:

A A B (Verdadero)

A B O (Falso)

B B A (Verdadero)

B A' (Verdadero)

A B ' A B (Verdadero)

A B O Rpta.

11 Si:

12 A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56

Determinar el conjunto dado por

compresión

a) {x² + 1 / x N Ʌ x 7 }

b) {x² + x / x N Ʌ x 6 }

c) {x ( x + 1) / x N Ʌ x 7 }

d) {x² + x / x N Ʌ 1 < x < 8 }

e) {x² + x / x N Ʌ x < 8 }

Resolución:

A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56

A 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , 6 7 , 7 8

Lo elementos son de la forma:

x x 1 Donde:

x 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

Rpta.

12. Cuantos sub conjuntos tiene “A”

A = { (x – 2)² / x ZɅ -1 x <5 }

a) 16 b) 8 c) 32 d) 64 e) n.a.

Resolución:

x 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4

Reemplazando en: 2

x 2

9 , 4 , 1 , 0 , 1 , 4

A 9 , 4 , 1 , 0

Total de sub conjuntos es:

42 16 Rpta.

13 Si A 3 , 6

B 2 , 4 , 6

Hallar la suma de los términos del conjunto:

A B A B

a) 10 b) 14 c) 11 d) 12 e) 13

Resolución:

A U B = { 2, 3, 4, 6 }

A B 3

Luego: A B A B

2 , 3 , 4 , 6 3 2 , 4 , 6

Piden: 2 4 6 12 Rpta.

14 La diferencia simétrica de dos

conjuntos A y B se define:

A B x / x A B A B

Si se define los conjuntos:

U = { x / x N Ʌ x < 10 }

{x ( x + 1) / x N Ʌ x 7

}

A x / x U x es divisor de 12

B x / x U x es impar

¿Cuántos elementos tiene C

A B ?

a) 1 , 3 , 8 b) 1 , 4 , 8

c) 1 , 8 , 3 d) 3 , 1 , 8

e) n.a.

Resolución:

U 1 , 2 , 3 , ....... , 9

A = { 1, 2, 3, 4, 6 }

B 1 , 3 , 5 , 7 , 9

A B 2 , 4 , 6 , 5 , 7 , 9

C

A B 1 , 3 , 8 Rpta.

15 Dado:

A n m , n+ p , 8

B m p , 10 Unitarios

Hallar: m n p

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Resolución:

m n n p m= p

m p 10 2m= 10

De donde: m p 5

n m 8 n= 3

Luego: m n p 3 Rpta.

16 Si: # P A 256

# P A B 16

# P B 64

Calcular: # P A B

a) 1 024 b) 2 048 c) 360

d) 512 e) 256

Resolución:

8

# P A 256 2 # A 8

6

# P B 64 2 # B 6

4

# P A B 16 2 # A B 4

# A B # A # B # A B

8 6 4

10

10# P A B 2 1 024 Rpta.

17 En un aula de 43 alumnos, 5 son

mujeres que estudian R.M. y 28 son

hombres y el número de hombres que no

estudian R.M. es el doble del número de

mujeres que tampoco lo hace. ¿Cuántos

hombres estudian R.M.?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) n.a.

Resolución:

El número de mujeres que no

estudian R.M. es: 15 5 10

El número de hombres que

estudian R.M. está dado por:

x 28 20 8 Rpta.

18 De 80 personas que hablan alguno

de los idiomas: Castellano, Inglés y Francés,

se tiene que 40 hablan castellano, 46

hablan Inglés, 35 hablan Francés, además

los que hablan Castellano no participan

nunca en el Francés. ¿Cuántos hablan dos

de dichos idiomas?

A2

4

6

1

3

5

79

8

B

U

20

x

10

5

H 28 M 15

a) 16 b) 48 c) 41 d) 50 e) n.a.

Resolución:

Hablan Ingles: I 46

Hablan Castellano: C 40

Hablan Francés: F 35

Hablan 2 Idiomas: x y

Luego: I C F 80

40 x x 46 x y y 35 y 80 De

donde se tiene que:

x y 41 Rpta.

19 Se tiene los conjuntos A, B, C

subconjuntos de los números naturales, A es

el conjunto de los múltiplos de 3, B es el

conjunto de los múltiplos de 4 y menores

que 24 y C es el conjunto de los divisores de

48. Hallar la suma de los elementos de la

diferencia: C A B

a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3

Resolución:

A, B, C N

A x / x 3 0;3;6;..............;3n

B x / x 4 x 24

B 0;4;8;12;16;20

C x / x esdivisor de 48

C 1;2;3;4;8;12;16;24;48

C A B 1;2

Por lo tanto la suma de los elementos:

1 2 3 Rpta.

20 Se tiene 2 conjuntos A y B tal que la

unión de A y B tiene 36 elementos, el

número de elementos de A es a la mitad del

número de elementos de B. Los elementos

comunes de A y B son la mitad de los

elementos no comunes, hallar el número de

elementos de B.

a) 12 b) 24 c) 32d) 30 e) 80

Resolución:

n A B 36............... (1)

1

n A n B2

n B 2n A

Se sabe: n A B nA nB n A B

36 nA 2nA n A B

3n A n A B 36

Además:

n A B n A n B 2n A B

2n A B n A n B 2n A B

4n A B 3n A

De (1) y (2)

n A B 12 n A 16

n B 32 Rpta.

1. Una persona come huevo o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Enero. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevos y tocinos? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

40 x x y 35 y

46

xy

C I F

2. En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 de los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo 2 de estos idiomas? a) 15 b) 20 c) 25d) 30e) 35

3. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos de frutas de manzana, fresa y piña es la siguiente: 60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gustan manzana y fresa, 20% gustan de fresa y piña, 15% gustan de manzana y piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan de ninguno de los jugos de frutas mencionado? a) 10% b) 11% c) 12% d) 13% e) 15%

4. ¿Cuántas de las siguientes operaciones con conjuntos son conmutativos?

I) Unión II) Intersección III) Diferencia IV) Diferencia simétrica V) Producto cartesiano a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) Todas

5. Sean: A 1 , 2 , 3 y ,B 4 5

¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son

ciertas?

* ,2 4 A B * ,4 2 A B

* ,5 2 B A * ,3 4 A B

* ,3 4 B A

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.a.

6.¿Cuántos subconjuntos se pueden formar

con 6 elementos?

a) 32 b) 23 c) 46 d) 64 e) 128

6. Indicar la verdad (V) o falsedad (F)

de las siguientes proposiciones:

I. Cuando el conjunto A contiene uno o

más elementos que no contiene B,

diremos que B es un subconjunto propio

de A.

II. Todo conjunto es subconjunto del

conjunto universal

III. Al conjunto universal se le designa el

valor de 1

IV. El conjunto vació es subconjunto e todo

conjunto.

a) VFVV b) FVVV c) VVVV

d) VVFV e) FVFV

7. Si se determina por comprensión el

conjunto:

M 0 , 2 , 4 , 8 , 10 , 12 , ......

se tiene:

a) M x / x es un número par

b) M x / x 2n ; 0 n

c) M x / x N N= serie de números pares;

d) }

e) n. a.

8. Dado el conjunto:

3 2F x / x 2x 2x 2 0

¿Cuál es su valor determinado por

extensión?

a) F 1 , 0 , 2

b) F 2 , 1 , 1

c) F 2 , 1 , 0 , 1

d) F 1 , 1 , 2

e) n.a.

9. ¿A qué operación de conjuntos

corresponde el siguiente gráfico?

a) BUC A

b) B A C

c) A C B

d) B C A

e) AUC B

AB

C

10. Si el conjunto:

A = {x / x³ + 4x² - 11x – 30 = 0 }se intersecta

con el conjunto de los números naturales,

el número de elementos de la intersección

es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)n.a.

11. En un salón de clases de 65

alumnos, 20 son mujeres, donde a 53 la

biblioteca les presta un libro de química a

cada uno y 8 mujeres tuvieron que comprar

el libro. ¿Cuántos hombres se compraron el

libro de química, si se supone que todos los

alumnos tienen el libro?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5

12. Al encuestar a un grupo de

alumnos se observó que la mitad de ellos

postulan a San Marcos, los 7/12 postulaban

a Villarreal, 1/6 postulaba a ambas

universidades y los 220 alumnos restantes

aun no decidían donde postular. ¿Cuántos

fueron los alumnos encuestados?

a) 2 340 b) 3 250 c) 2 640

d) 3 520 e) 3 125

13. En un aula 80 alumnos han

rendido 3 exámenes, de ellos 42 aprobaron

el primero, 38 el segundo, 49 el tercero, 18

los tres exámenes; además 10 aprobaron

solamente los 2 primeros. ¿Cuántos

alumnos aprobaron por lo menos 2

exámenes?

a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32

14. El conjunto: C A CB CA

equivalente a:

a) CA CB A b) A B B

c) CA A B d) A CA B

e) El conjunto universal

15. El 65% de la población de una

ciudad no ve el canal A de Tv. Y el 50% no

ve el canal B, si el 55% ve el canal A o el

canal B, pero no los dos canales, el

porcentaje de la población que ve ambos

canales es:

a) 20% b) 18% c) 13%

d) 12% e) n.a.

16. De 81 personas se sabe que 48 van

a la playa, 42 al cine, 50 al teatro, 21 a la

playa y al cine, 18 al cine y al teatro, 35 a la

playa y al teatro, además todos van por lo

menos a un lugar. ¿Cuántas personas van a

los 3 lugares?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

17. Ciertos datos obtenidos en un

estudio de un grupo de 1 000 empleados

referente a la raza, sexo y estado civil,

arrojaron los siguientes resultados: 322 son

hombres, 470 son casados, además habían

42 varones de color, 147 personas de color

eran casados y habían 25 hombres de color

casados. ¿Cuántas mujeres eran solteras?

a) 129 b) 219 c) 294 d) 315 e) 351

18. Durante el mes de febrero de 1984

Raúl Peralta fue a ver a su novia Pilar en las

mañanas o en las tardes o en ambas horas,

si 14 días lo vio en la mañana y 20 días la vio

en las tardes. ¿Cuántos días la vio en ambas

horas?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

19. Determinar A por extensión:

a) A 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

b) A 1 , 2 , 3 , 4 , 5

c) A 1 , 2 , 4 , 5

d) A 1 , 2 , 3 , 5

e) A 1 , 2 , 3 , 4

20. Sean A y B dos conjuntos tales que:

n A B 24

n A B 10

n B A 6

Hallar: 5n A 4n B

a) 36 b) 34 c) 28 d) 32 e) 30

21. Para un conjunto “x”, el número

de elementos de “x” dentamos por n(x) y

P(x) denota al conjunto de subconjuntos de

“x”, según esto, si n(A)=4; n(B)=3 y

n A B 2 . Hallar la suma:

n P A P B n P A B

a) 50 b) 48 c) 63 d) 52 e) 20

22. .Dado el conjunto y los subconjuntos A, B y C, se tiene los siguientes datos: n(U)=44 ; n(A)=21 ; n(B)=17

n A C 14 ; n B C 12

n A B C' 3 ;

n A B C 5 y

n A B C ' 6 .

Hallar: n(C)

a) 30 b) 28 c) 29 d) 25 e) 20

23. Si n(A) 8 ; n(B) 8 ; n(C) 5 y

n(D) 5 , el número máximo de elementos

de AUC es k y el número máximo de

elementos de B D es “h”. Hallar el valor

de “h.k”

a) 60 b) 65 c) 25 d) 40 e) 83

24. Un club consta de 78 personas, de

ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23

vóley, además 6 figuran en los tres deportes

y 10 no practican ningún deporte. Si “x” es

el total de personas que practican

exactamente un deporte “y”, el total de

personas que practican exactamente dos

deportes; Hallar “x-y”

a) 12 b) 18 c) 20 d) 15 e) 17

25. Supóngase que Mary come huevos

o tocino en el desayuno cada mañana

durante el mes de enero (31 días). Si come

tocino durante 25 mañanas y huevos

durante 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas

come solamente huevos?

a) 7 b) 6 c) 9 d) 5 e) 10

26. De 120 personas de una

universidad obtuvo la información: 72

alumnos estudian el curso A, 62 alumnos

estudian el curso B, 36 alumnos estudian el

curso C, 12 alumnos estudian los tres

cursos. ¿Cuántos alumnos estudian

exclusivamente 2 cursos?

a) 25 b) 20 c) 9 d) 28 e) 22

27. De un grupo de 40 personas, se

sabe que: 15 de ellas no estudian ni

trabajan; 10 personas estudian y 3 personas

estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas

realizan solo una de las dos actividades?

a) 22 b) 24 c) 28 d) 27 e) 26

28. Si los conjuntos A y B son tales

que: n A B 30 ; n A B 12 y

n B A 10 ; Hallar: n A n B

a) 30 b) 39 c) 40 d) 28 e) 38

29. De una encuesta hecha a 135

personas para establecer preferencias de

lectura de las revistas A, B y C se obtienen

los siguientes resultados: Todos leen alguna

de las 3 revistas; todos menos 40 leen A; 15

leen A y B pero no C; 6 leen B y C pero no A;

10 leen solo C. El número de los que leen A

y C es el doble del número de los que leen

las 3 revistas. El número de los que leen

solo B es el mismo que el total de los que

leen A y C. Según todo esto, hallar el

número de los que leen A solamente.

a) 58 b) 42 c) 56 d) 37 e) 60

30. Si:

}

}

Hallar: n A B

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

31. Siendo: }

}

¿Calcular la suma de los elementos de

P Q ?

a) 18 b) 16 c) 21 d) 20

32. En un instituto de 77 alumnos, se

sabe que de los 3 idiomas que enseñan, los

que estudian sólo un idioma son 28 más, de

los que sólo estudian 2 idiomas. Si además

son 3 las personas que estudian los 3

idiomas. ¿Determinar cuántos estudian solo

dos idiomas?

a) 20 b) 21 c) 24 d) 25 e) 23

33. Un club tiene 48 jugadores de

fútbol, 25 de básquet y 30 de béisbol. Si el

total de jugadores es 68 y sólo 6 de ellos

figuran en los 3 deportes. ¿Cuántos figuran

exactamente en 1 deporte?

a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40

34. Según la figura. Cuáles son las

zonas que representan a:

A B ' C A'

a) 5

b) 5

c) 5 , 2

d) 5 , 2 , 3

e) n.a.

CLAVES:

1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9.

c c a b c d c e e

10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18.

d a c c d d e e c

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

b d b d c b a b d

28. 29. 30. 31. 32. 33. 34

a e b a e d e

A BU

5 2 7

13 4

6

C