mdguia2-teoria de conjuntos

MSc. Rubn Daro Echavarra C. Facultad de Ingeniera

Universidad de

Antioquia Matemticas Discretas

Ingeniera Electrnica

Matemticas Discretas 2014-II. Rubn D. Echavarra C.

Universidad de Antioquia

Facultad de Ingeniera - Ingeniera Electrnica

Matemticas Discretas 2014-II

Gua 2: Teora de Conjuntos. SEMANA 2

Monitor: Luis David Goyes Garcs

Fecha: 12 de octubre de 2014

La palabra conjunto popularmente se asocia con la idea de agrupar objetos,

por ejemplo: un conjunto de libros, de cuadernos, de personas. En otras

ocasiones, la palabra conjunto se puede relacionar con otras como rebao,

manada, familia; denotando, de una u otra forma, una coleccin de elementos

claramente relacionados entre s, que guardan alguna caracterstica en comn.

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos

comparten. Por ejemplo, para los nmeros naturales, si se considera la

propiedad de ser un nmero primo, el conjunto de los nmeros primos es:

Cabe sealar que un conjunto se define solo por sus miembros, es decir, para

diferenciar dos conjuntos basta con que analizar sus elementos. En particular,

un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el

orden de dicha lista o aadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo.

Por ejemplo:

Luego, .

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido que no es posible

definirlos en trminos de nociones ms elementales, por lo que su estudio

debe apelar a la intuicin y a la lgica. Por otro lado, son el concepto


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fundamental de la matemtica: mediante conjuntos puede formularse el resto

de objetos matemticos como los nmeros y las funciones, entre otros.

La caracterstica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir:

dado un objeto particular, se debe poder determinar si este pertenece o no al

conjunto. Por ejemplo: el conjunto de los nmeros naturales pares est bien

definido mientras que el conjunto de las mejores canciones de la historia no lo

est.

Lo que respecta a la notacin, se puede ver en los ejemplos expuestos

anteriormente (A, B, C, D) que todos se escribieron entre llaves y que sus

miembros estaban separados por comas (o punto y coma). Observe que los

conjuntos se llaman por letras maysculas.

PERTENENCIA

El smbolo indica que un elemento pertenece a un conjunto, mientras que el

smbolo indica que cierto elemento no es un miembro del conjunto dado.

Por ejemplo: Sea , se tiene que mientras que .

MANERAS DE DEFINIR UN CONJUNTO

Se definirn conjuntos de dos formas:

1. Por extensin, que consiste en listar todos los elementos del conjunto.

Por ejemplo:

2. Y por comprensin, que consiste en dar una propiedad que

caracterice a los elementos del conjunto (y slo a dichos elementos).

As, si , entonces ( ).

Ejemplo:


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EL CONJUNTO VACO

El conjunto vaco (denotado por ) es el nico conjunto que no contiene

elementos. Por extensin, . Por comprensin, se podra definir el

conjunto vaco como: .

CONJUNTO UNITARIO

Es el conjunto que tiene solo un elemento. Por ejemplo: I={1},

, .

CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto universal es un conjunto referencial que contiene a todos los

elementos de una situacin particular. Generalmente se le representa por la

letra U. Por ejemplo, el universo o conjunto universal de todos los nmeros es

el conjunto de los nmeros complejos, .

CONJUNTO FINITO

Es el conjunto con limitado nmero de elementos. Por ejemplo:

CONJUNTO INFINITO

Es aquel conjunto con ilimitado nmero de elementos. Por ejemplo:


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SUBCONJUNTOS, IGUALDAD DE CONJUNTOS

Si A y B son conjuntos, decimos que A es subconjunto de B ( ) si todo

elemento de A lo es de B tambin. En smbolos:

Se dice que A es un subconjunto propio de B ( ) si y . Para

cualquier conjunto A se verifica que y .

El conjunto formado por todos los subconjuntos de cierto conjunto A se llama

partes de A y se denota . Si entonces .

Ntese algo muy importante: {a}, aunque sea un miembro de A, como tal es

otro conjunto. Es decir, si se tienen dos conjuntos:

{ }

Se encuentra que . Si adicionalmente se tuviera otro conjunto:

{ }

Se pude asegurar que .

Si A y B son conjuntos, diremos que A y B ( ) son iguales si y solo si

y . En smbolos:

CONJUNTOS CON ELEMENTOS REPETIDOS

De la definicin de igualdad se deduce que en un conjunto da lo mismo si se

repiten elementos. As, por ejemplo, {1,1,1,1,2,2,2}={1,2}.


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OPERACIONES

A partir de conjuntos dados, es posible construir nuevos conjuntos:

LEYES DE LA TEORA DE CONJUNTOS

Ley del doble complemento

Leyes de DeMorgan

Propiedades conmutativas

Propiedades asociativas

Propiedades distributivas


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Propiedades de idempotencia

Propiedades de elemento neutro

Propiedades de elemento inverso

Propiedades de dominacin

Propiedades de absorcin

CARDINALIDAD

Para cualquier conjunto finito A, |A| denota el nmero de sus elementos.

Ejemplo 2.1

Sea (donde x, y son

letras minsculas del alfabeto y no representan nada ms, al igual que 3,

5 o {1, 2}). Entonces | |=11.


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a. Si , entonces y tenemos

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

b. Ahora sea { }. Entonces

, no 8.

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn son esquemas, generalmente circunferencias, que

sirven para encerrar y representar conjuntos. La lnea cerrada exterior que

abarca a todos los elementos bajo consideracin, el conjunto universal U.

EJEMPLO 2.2

En el diagrama de la figura 2.1, se han volcado los datos obtenidos en

una encuesta realizada a cierto nmero de personas, donde se les

pregunt si tomaban t o caf. Los nmeros que aparecen se refieren a

las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las

diversas formas posibles: solamente t, t y caf, ninguna de las dos

bebidas, etc.

Figura 2.1. Diagrama de Venn para el ejemplo 2.2


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En base a estos datos dados en la figura 2.1 responderemos a las

siguientes preguntas:

1. Cuntas personas tomaban t? Rta. 6 personas.

2. Cuntas personas tomaban caf? Rta. 9 personas.

3. Cuntas personas tomaban caf y t? Rta. 4 personas.

4. Cuntas personas tomaban ninguna de las dos bebidas? Rta. 1

persona.

5. Cuntas personas no tomaban t? Rta. 6 personas.

6. Cuntas personas no tomaban caf? Rta. 3 personas.

7. Cuntas personas tomaban por lo menos una de esas dos

bebidas? Rta. 11 personas.

8. Cuntas personas tomaban slo una de esas dos bebidas? Rta. 7

personas.

9. Cuntas personas tomaban slo caf? Rta. 5 personas.

10. Cuntas personas tomaban alguna de esas bebidas? Rta. 11

personas.

EJEMPLO 2.3

Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente

productos del tipo A o del tipo B (o ambos), excepto 4 domingos

durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 das del mes

ha fabricado A y 20 das ha fabricado B, a) Cuntos das del mes ha

fabricado ambos productos? b) Cuntos das del mes ha fabricado slo

productos del tipo A? c) Cuntos das del mes ha fabricado slo

productos del tipo B?

Solucin:

El diagrama de Venn para este problema se ilustra en la figura 2.2.

Segn este diagrama de Venn se puede establecer el siguiente sistema

de ecuaciones en base a la informacin proporcionada por el enunciado:


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La primera ecuacin resulta del hecho que el mes de abril tiene 30 das.

Las ecuaciones 2 y 3 se obtienen del enunciado pues se sabe que se

fabrica A por 15 das y B por 20 das. Finalmente, la cuarta ecuacin se

desprende del saber que durante 4 das (domingos) no se trabaj.

Este es un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas. Se lo

resuelve y se obtiene que , a) , b) , c) . El

diagrama de Venn solucionado se presenta en la figura 2.3.

Figura 2.3. Diagrama de Venn Solucin para el ejemplo 2.3


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EJEMPLO 2.4

Un grupo de jvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por

ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automvil). Los

datos de la encuesta fueron los siguientes:

1. Motocicleta solamente: 5

2. Motocicleta: 38

3. No gustan del automvil: 9

4. Motocicleta y bicicleta, pero no automvil: 3

5. Motocicleta y automvil pero no bicicleta: 20

6. No gustan de la bicicleta: 72

7. Ninguna de las tres cosas: 1

8. No gustan de la motocicleta: 61

A partir de los datos dados responda:

a. Cul fue el nmero de personas entrevistadas?

b. A cuntos les gustaba la bicicleta solamente?

c. A cuntos les gustaba el automvil solamente?

d. A cuntos les gustaban las tres cosas?

e. A cuntos les gustaba la bicicleta y el automvil pero no la

motocicleta?

El diagrama de Venn inicial se presenta en la figura 2.4. Segn este

diagrama de Venn se puede establecer el siguiente sistema de

ecuaciones en base a la informacin proporcionada por el enunciado:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Cada ecuacin sale de su respectiva proposicin del enunciado.


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Ahora, hay ocho ecuaciones y ocho incgnitas por lo que el sistema se

resuelve directamente obtenindose el diagrama de la figura 2.5. Con

esta figura se puede dar respuesta a las preguntas de la a) hasta la e).

Figura 2.5. Diagrama de Venn Solucin para el ejemplo 2.4


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Matemticas Discretas 2014-II

Taller 2 de Teora de Conjuntos

Monitor: Luis David Goyes Garcs

Fecha: 12 de octubre de 2014

1. Exprese los siguientes conjuntos por comprensin:

a. b. c. d. e. f. g.

2. Exprese los siguiente conjuntos por extensin: a. b. c. d. e.

3. Cules de los siguientes conjuntos son iguales? a. {1, 2, 3} b. {3, 2, 1, 3} c. {3, 1, 2, 3} d. {1, 2, 2, 3}

4. Sea . Cules de las siguientes proposiciones son verdaderas?

a. b. c. d. { }

e. f. g. { }

h. { }

5. Consideremos los siguientes seis subconjuntos de :


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Cules de las siguientes proposiciones son verdaderas y cules falsas?

a. A=B b. A=C c. B=C

d. D=E e. D=F f. E=F

6. Si A tiene 63 subconjuntos propios, cunto vale |A|? 7. Si un conjunto B tiene 64 subconjuntos de cardinal impar, Cunto vale

|B|?

8. Generalice el resultado del inciso 7. 9. Indique el cardinal de los conjuntos de los incisos 1, 2 y 3. 10. Si , determinar el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:

a. b. c. { }

d. { } e.

11. De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A, B y C; se obtienen los siguientes resultados:

Todos leen alguna de las 3 revistas; todos, menos 40, leen A; 15 leen A

y B pero no C; 6 leen B y C pero no A; 10 leen slo C. El nmero de los

que leen A y C es el doble del nmero de los que leen las 3 revistas. El

nmero de los que leen A y C es el doble del nmero de los que leen las

3 revistas. El nmero de los que leen slo B es el mismo que el total de

los que leen A y C. Segn todo esto, hallar el nmero de los que leen

solamente A.

12. Si y hallar 13. A una reunin donde asisten 50 personas,

5 mujeres tienen 17 aos 14 mujeres no tienen 19 aos 16 mujeres no tienen 17 aos 10 hombres no tienen ni 17 ni 19 aos.

Cuntos hombres no tienen 17 19 aos?

14. De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en la fbrica A, 33 trabajan en la fbrica B, 40 laboran en la fbrica C y 7 estn contratados en las

tres fbricas. Cuntas personas trabajan en dos de estas fbricas

solamente?

15. En una ciudad de 10000 habitantes adultos el 70% de los adultos escuchan radio, el 40% leen los peridicos y el 10% ven televisin,

entre los que escuchan radio el 30% lee los peridicos y el 4% ven


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televisin, el 90% de los que ven televisin, lee los peridicos y slo el

2% de la poblacin total de adultos lee los peridicos, ven televisin y

escuchan radio. Se pide:

a. Cuntos habitantes no escuchan radio, no lee peridicos, ni ven televisin?

b. Cuntos habitantes leen peridicos solamente? 16. Durante todas las noches del mes de octubre, Soledad escucha msica o

lee un libro. Si escucha msica 21 noches y lee un libro 15 noches,

Cuntas noches escucha msica y lee un libro simultneamente?

17. Sean A y B dos conjuntos no vacos donde se tiene:

Indicar el nmero de subconjuntos de B.

18. EJERCICIOS DE REAS SOMBREADAS. Resuelva todos los ejercicios del siguiente enlace (Recuerde ejecutar todos los

complementos de la pgina para poder ver la animacin): http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_153_g_4_t_1.html)


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BIBLIOGRAFA

Discrete and Combinatorial Mathematics. An applied introduction. Third

Edition. Ralph P. Grimaldi. Rose-Hulman Institute of Technology. Addison-

Wesley Publishing Company, Inc. 1994.

Teora de conjuntos. Garca Cu, Jos Luis. Consultado {4 de octubre de

2014} Disponible en: (http://colposfesz.galeon.com/est501/conjunto/teoconj.htm)

Lgica y Teora de Conjuntos. Ivorra Castillo, Carlos. Consultado {11 de

octubre de 2014} Disponible en: (http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Logica.pdf)

Conjuntos. Wikipedia. Consultado {4 de octubre de 2014} Disponible en: (http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto)

Conjunto por comprensin y extensin. Abc color. Consultado {4 de octubre

de 2014} Disponible en: (http://www.abc.com.py/edicion-impresa/suplementos/escolar/conjunto-por-comprension-y-extension-1155735.html)

Apuntes de clase Matemtica Discreta. Dissett, Luis. Segundo semestre de 2004. Captulo 3: Teora de Conjuntos. Disponible en: (http://www.mat.uc.cl/~ldissett/cursos/iic2252-042/apuntes-discreta-0.8.pdf)

Teora elemental de conjuntos. Consultado {11 de octubre de 2014}

Disponible en: (http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm)

Y si contamos? Universidad Nacional de Lujn. Resolucin de problemas

Sencillos relacionados con el rea de la Matemtica. Consultado {12 de

octubre de 2014} Disponible en: (http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/diagvenna1.htm)

Diagramas de Venn - Ejercicios Resueltos. El Blog del Profe Alex. Aprende

matemtica y fsica con problemas resueltos en video Consultado {12 de octubre de 2014} Disponible en (http://profe-alexz.blogspot.com/2011/02/conjuntos-diagramas-de-venn-30.html)

Diagramas de Venn. Utah State University. National Library of Virtual

Manipulative. Consultado {12 de octubre de 2014} Disponible en { http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_153_g_4_t_1.html}

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