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Teoría de Conjuntos

Conjunto es una colección de objetos o entidades

distinguibles y bien definidas. Los objetos (números, letras,

puntos, etc.) que constituyen un conjunto se les llama

miembros o elementos del conjunto

DEFINICION DE CONJUNTO

Teoría de Conjuntos

Normalmente se utilizan letras mayúsculas A, B, X, Y …. Para

denotar Conjuntos

Y para denotar a los elementos se utilizan letras minúsculas

a,b,c,…, números, símbolos o variables.

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DEFINICIONES DE CONJUNTO

EXPLICITAMENTE

IMPLICITAMENTE

Un Conjunto

puede ser

definido:

EXPLICITAMENTE escribiendo cada uno de los elementos

que componen el conjunto dentro de llaves o separados por

una coma

DEFINICION DE CONJUNTO EXPLÍCITAMENTE

1.- Sea A el conjunto de las vocales

A= { a, e, i, o, u }

2.- Sea B el conjunto de las vocales

B= { lunes , martes, miércoles, jueves, viernes}

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IMPLICITAMENTE escribiendo dentro de las llaves las características

de los elementos que pertenecen al conjunto , como sigue

DEFINICION DE CONJUNTO IMPLICITA

Sea A es el conjunto de las vocales

Se escribe A= {x/x es una vocal} Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es una vocal

Sea D el conjunto de los números pares

Se escribe D= {x/x es un numero natural par } Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es un

numero natural par”

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de su lista de

elementos.

RELACIÓN DE PERTENENCIA

Se representa de la siguiente manera

Elemento є conjunto …….. Se lee elemento pertenece a conjunto

Elemento conjunto ……. Se lee elemento NO pertenece a conjunto

Ejemplos:

a є A Se lee …… a Pertenece al conjunto A

w є A Se lee …… w No pertenece al conjunto A

3 D Se lee …… 3 No pertenece al conjunto D

є

є

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Podemos decir que un conjunto esta bien definido si podemos

afirmar de manera inequívoca si un elemento pertenece a él o no

CONJUNTO BIEN DEFINIDO

1. Sea T el conjunto de las personas simpáticas

Este conjunto no esta bien definido ya que la idea de ser simpático es

subjetiva, No hay un criterio definido para decir que una persona es

simpática o no

2. Un conjunto es FINITO cuando podemos listar todos sus elementos

3. Un conjunto es INFINITO si no podemos listar todos sus elementos

Ejemplo:

S= {x/x є N, x >= 10} Se lee x tal que x pertenece a los números naturales y x es

mayor o igual a 10

RELACIONES DE IGUALDAD DE CONJUNTO

Relaciones

Entre Conjuntos

Igualdad de Conjuntos

Sub Conjuntos

Conjuntos Especiales

Conjuntos de Pares

Conjunto Vacio

Conjunto Universal

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Si cada elemento de un conjunto A es también elemento de un

conjunto B,

entonces A se llama Subconjunto de B También decimos que A, esta contenido en B

O que B, esta contenido en A

A no es un subconjunto de B,

es decir si por lo menos un elemento de A no pertenece a B

SUBCONJUNTO

A B

B A

A B

B A

Ejemplo:

SUBCONJUNTO

Considere los siguientes conjuntos:

A={ 1, 3, 4, 5, 8, 9 } B={ 1, 2, 3, 5, 7 } C={ 1, 5 }

Podemos decir que:

C A y C B, Ya que 1 y 5 los, elementos de C, también son elementos de A y B

B A Ya que algunos de sus elementos como el 2 y 7 no pertenecen a A

o se que no todos lo elementos de B son elementos de A

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Ejemplo:

SUBCONJUNTO

Considere los siguientes conjuntos:

B={ x/x es un ave} H={ y/y es una paloma}

Podemos decir que:

H B H es un subconjunto de B

Ejemplo:

SUBCONJUNTO

Considere el siguiente conjunto:

A={ x/x є N es par} y B={ y/y є N y es múltiplo de 2}

Podemos decir que…………

B A

A B

B = A

A = B

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Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A = B ) si

todos los elementos de A pertenecen a B y viceversa.

IGUALDAD DE CONJUNTOS

A= { x, y } B= { y, x }

Esto es:

A=B,

entonces x є A, implica que x є B y

Que y є B, implica que y є A.

Ejemplo de Igualdad de Conjuntos……………

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Si

M= { 1, 3, 5, 7, 9 } y

L= {x/x es impar ^ 1 ≥ x ≤ 9 }

Esto significa que

M=L

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CONJUNTO VACIO (Conjuntos Especiales)

Un conjunto VACIO es el que carece de elementos, se simboliza { }

o por Ø .

Ejemplo de conjunto Vacio:

El conjunto cuyos miembros son los hombres

que viven actualmente con mas 500 años de

edad.

CONJUNTO UNITARIO (Conjuntos Especiales)

Es aquel conjunto que tiene un solo elemento

Ejemplo:

A={ 4,4,4} donde n(A)=1

B={ La capital del Perú}

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CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)

Es un conjunto referencial para el estudio de

una situación particular. Por ejemplo si nos

interesa estudiar a los estudiantes de las

diferentes universidades, entonces el conjunto

de universitarios será el conjunto universal. Se

representa por U.

CONJUNTO POTENCIA (Conjuntos Especiales)

El conjunto potencia de A llamado también conjunto de partes de A, es

aquel que esta formado por todos los subconjuntos posibles que

posee el conjunto A.

Notación: P(A)

Ejemplo

Si A = { a, b, c } entonces

P(A)={ {a}, {b}, {c}, { a, b }, { a, c }, { b, c }, { a, b, c, }, {Ø} }

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DIAGRAMA DE VENN (Euler)

Los Diagramas de Venn e Euler son una manera esquemática de

representar los conjuntos y los conceptos de la teoría de conjuntos.

Constituyen un auxiliar didáctico valioso para visualizar las relaciones

de: Pertenencia, Inclusión y las Operaciones con conjuntos.

U

A B

C

El Rectángulo representa conjunto

Universal

Los círculos se han utilizado para

representar a cada uno de los

conjuntos.

DIAGRAMA DE VENN (Euler)

Si A={ 1, 2, 3,} B= { 1 } C={ 8,9 } D={ 8}

U

A

B

C

D

A U C U B U D U

B A D C

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OPERACIONES CON CONJUNTOS

Operaciones con

Conjuntos

Unión

Intersección

Diferencia

Diferencia Simétrica

Complemento

UNION DE CONJUNTOS

La unión de dos conjuntos A y B, denominada por A U B que se lee A

unión B, es el nuevo Conjunto formado por los elementos que

pertenecen a A o B o a ambos conjuntos

A U B ={ x/x Є A V x Є B}

U

A B

En el diagrama de Venn, la región

sombreada corresponde al

conjunto A U B

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INTERSECCION DE CONJUNTOS

A ∩ B ={ X/X Є A Λ x Є B }

U

A B

La intersección de dos conjuntos A y B, denotada A ∩ B, que se lee A

intersección B.

Es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y

a B, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos

En este diagrama de

Venn la región

sombreada corresponde

al conjunto A ∩B

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INTERSECCION DE CONJUNTOS

A U B También se llama suma lógica de los conjuntos A y B

A ∩ B Se denomina también el producto lógico de los conjuntos Ay B

Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }

Dos conjuntos que no tienen

nada en común se llaman

DISJUNTOS

Observe que los elementos c y d pertenecen

simultáneamente a los conjuntos A y B

A ∩ B = { c, d }

INTERSECCION DE CONJUNTOS

Si

A={ a, b, c, d }

B= { c, d }

A ∩ B = { c, d }

U

A

B

U

A B

Si

A={ a, b, c, d }

B= { m, p, q }

A ∩ B = Ø

A ∩ B = Ø, A y B son disyuntos A ∩ B =B porque B A

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DIFERENCIA DE CONJUNTOS

A - B ={ X/X Є A Λ x Є B }

La Diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A – B, que se lee A

menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a

A y que no pertenecen a B

Simbólicamente:

U A

B

U A B

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Simbólicamente: A - B ={ X/X Є A Λ x Є B }

U A

B

U A B

U A B

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DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Ejemplo 1:

Si A={ a, b, c } B= { c, d} A-B={ a, b }

Ejemplo 2:

Si A={ 3, 4, 5, 6 } B= { 4, 5 } A-B={ 3, 6}

Ejemplo 3:

Si A={ 1, 2, 3 } B= { 6, 7 } A-B={1, 2, 3 }

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS

Simbólicamente:

La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que

se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que

pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos

conjuntos

A B ={ X/X Є A V x Є B Λ x Є A ∩ B}

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DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS

Simbólicamente:

La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que

se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que

pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos

conjuntos

A B ={ X/X Є A V x Є B Λ x Є A ∩ B}

A diferencia simétrica de B es igual a

x Tal que x pertenece a A o x pertenece a B, y x pertenece

a A intersección B

DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOS

Simbólicamente: A - B ={ X/X Є A Λ x Є B }

U A B

En el siguiente grafico se muestra A B

Observe que las regiones a la izquierda

y a la derecha corresponden a los

conjuntos A-B y B-A

Por eso también

A B={ A – B } U { B- A }

A B={ A U B } - { B ∩A }

A={ 1, 2, 3, 4 } B= { 4, 5 } A B = { 1, 2, 3, 5 }

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COMPLEMENTEOS DE UN CONJUNTOS

El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denota

A΄, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A

Simbólicamente: A΄={ X/X Є A U Λ x A }

U A

A΄= U – A Ejemplo:

A = { X/X es un numero natural par}

Sea U = N (el conjunto de los números naturales)

A΄ = { X/X es un numero natural impar}=U -A

CONJUNTOS NUMERICOS

Números Naturales

Es la colección de Objetos matemáticos representados por los

símbolos 1, 2, 3, 4, …., etc. Llamados números para contar.

= {1, 2, 3, 4, ….}

Números Enteros

Los números enteros abarca los números negativos incluyendo en

cero y los números positivos. Y se representa

= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ….}

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CONJUNTOS NUMERICOS

Números Racionales

Es el conjunto de los números de la forma donde p y q son

enteros, con q ≠ 0, se representa mediante el símbolo.

= { ,q Є Λ q ≠ 0}

Números Irracionales

Es el conjunto de los números que no pueden ser expresados

como el cociente de dos números enteros

Entre los mas conocidos esta el π

p q

CONJUNTOS NUMERICOS

Números Reales

Es el conjunto formado por todos los números racionales e

irracionales

U

Números Complejos

Es la colección de números de la forma a + bi, donde a y b son

números reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la

propiedad.

i2=-1

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IGUAL

SIMBOLOGIA

ELEMENTO PERTENECE

ES SUBCONJUNTO

є

є

NO ES SUBCONJUNTO

ELEMENTO NO PERTENECE

=

CONJUNTO VACIO { } o Ø

CONJUNTO UNIVERSAL U

CONJUNTO DE PARTES P{A }

UNION

INTERSECCION

DIFERENCIA SIMETRICA

∩

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

DIFERENCIA

U

CONJUNTOS NUMERICOS

NATURALES

___

’

ENTEROS

RACIONALES

IRRACIONALES

REALES

΄

COMPLEJOS

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PROBLEMA

¿Cuantos alumnos hay en un salón de la UTP si 21 usan lentes, 19 son

menores de 20 años y 8 usan lentes y son menores de 20 años?

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Problema

En una encuesta aplicada a 100 jóvenes se obtuvieron los siguientes resultados,

62 practican fútbol, 52 practican vóley, 48 juegan basket y 12 practican los tres

Deportes. Si además se sabe que 27 practican vóley y futbol, 22 practican

vóley y básquet y 25 practican futbol y básquet. ¿Cuántos practican solo un deporte?

Problema

Su en una aula de 60 alumnos, 20 aprobaron solo Literatura, 30 aprobaron

Literatura y Matemática, ¿cuántos alumnos aprobaron sólo Matemática?

(Todos los alumnos aprueban al menos uno de los cursos mencionados)

a)0 b) 5 c) 8 d) 3 e) 10

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Problema

De un grupo de 100 personas, 40 son mujeres, 73 estudian historia,

12 mujeres no estudian historia ¿Cuantos hombres estudian historia?

a) 13 b) 10 c)15 d) 25 e)12

PROBLEMA

De un grupo de 590 alumnos se observó que 200 no postula a la UNI; 300 no

postulan a San Marcos y 50 no postulan a ninguna de estas dos.¿Cuantos

postularon a ambas universidades?

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PROBLEMA.

De los 60 alumnos que componen un salón de clases 32 juegan fútbol y 25

juegan básquet. ¿Cuántos juegan exclusivamente un deporte si 10 no practican

ninguno?

PROBLEMA

En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres

Idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estas idiomas?