teoria de conjuntos

Raz. Matemático Walter Olivera Ricalde

No existe una definición; solo se puede dar una idea conceptual como colección, agrupación, clase o agregado de objetos, llamados elementos.

Notación:Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas (A,B,C,D,….) y los elementos con letras minúsculas (a,b,c,…..). Así el conjunto de los diez primeros números naturales positivos:

Se observa que los elementos que van separados por punto y coma y encerrados entre llaves, determinan el conjunto N.

Determinación de un conjunto:

(I) POR EXTENSIÓN:

Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombra a todos y cada uno de los elementos.

(II) POR COMPRENSIÓN:

Un conjunto queda determinado por compresión, cuando se nombra una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto, generalmente se emplea x/x: “x tal x”

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. Relación De Pertenencia

Es una relación que vincula un elemento con un conjunto.

* Si un elemento esta en un conjunto,

se dice que pertenece

* Si no esta en un conjunto, se dice

que no pertenece

Ejemplo:

Dado:

Así diremos que:

2. Relación De Inclusión O Subconjunto

Se dice que el conjunto A esta incluido en B, si todos los elementos de A están en B. Se denota como: ”A incluido en B”

Si:

Ejemplo:

Se observa que todos los elementos de A son también elementos de B, luego:

.

3. Relación de igualdad de conjuntosDos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos.

-1-


Si: Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si, A es subconjunto de B y B es subconjunto de A.

Cardinal de un conjuntoEl cardinal de un conjunto es el número de elementos de dicho conjunto y se denota como n(A).

CLASES DE CONJUNTOS

1. CONJUNTO FINITOCuando el conjunto tiene un determinado numero de elementos diferentes.Ejemplos:

2. CONJUNTO INFINITOCuando el proceso de contar los elementos del conjunto no tiene limite.Ejemplos:

3. CONJUNTO VACÍOLlamado también conjunto nulo; es aquel conjunto que carece de

elementos. Se denota como:

* El conjunto vació se le considera incluido en cualquier otro conjunto.

* El conjunto vació no tiene ningún subconjunto propio y su número

cardinal:

Ejemplos:

4. CONJUNTO UNITARIOLlamado también singlé ton, es aquel conjunto que tiene un solo elemento.Ejemplos:

5. CONJUNTO UNIVERSAL (U) Es aquel conjunto que abarca a todos los conjuntos dados y se les representa por regiones planas rectangulares.

6. CONJUNTO POTENCIASe llama conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se le denota como P(A).Ejemplos:

* Dado:

Su conjunto potencia será:

* Dado:

El número de elementos de P(A) o numero de subconjuntos de A, está dado

por:

-2-

M N

P

A

B

U


Donde “n” representa el numero de elementos del conjunto A.Ejemplos:

Si:

Si:

Si:

Numero de subconjuntos propios: Dado el conjunto A, su número de subconjuntos

propios será: .No se

considera el mismo conjunto A.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. UNIÓN O REUNIÓN (U)Para dos conjuntos A y B se llama unión o reunión al conjunto formado por los elementos de A, de B o de ambos. Se denota como

Si:

Luego:

2. INTERSECCIÓN Para dos conjuntos A y B se llama intersección de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B (elementos comunes).Se denota como .

Si:

Luego:

3. DIFERENCIA (–)Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A con B, al conjunto formado por todos los elementos de A, que no son elementos de B, Se denota por A–B.

Si:

Luego:

4. DIFERENCIA SIMÉTRICA

Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia simétrica de A y B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a la unión de A y B; pero no pertenecen a la intersección de A y B.

Se denota por:

Formas usuales:

-3-

A BU

A B

U

A B

U

AB

AB


Si:

Luego:

5. COMPLEMENTACIÓNPara dos conjuntos A y B, donde A es un subconjunto de B. Se denota ; se lee complemento de A respecto a B.

* El complemento de un subconjunto A respecto del conjunto universal U.

Ejemplo:

Si:

Hallar:

Resolución:

Como:

Rpta.

PROBLEMAS RESUELTOS

Ejemplo 01.

Si:

Hallar la suma de los términos del

conjunto:

a) 10 b) 12 c) 14d) 13 e) 11

Solución:

Luego:

Piden: Rpta.

Ejemplo 02.

Si:

Señale la expresión falsa:

a) b)

c) d)

e)

Solución:Se observa en el conjunto A que los elementos 5 y 9 pueden formar un

conjunto , luego , lo

falso seria (d).

Ejemplo 03.

-4-

A B

U


De un grupo de 41 personas 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan ¿Cuántos trabajan y estudian?a) b) c) d) e)

Solución:

Del grafico, se tiene:*

….. ( I )

*

* Reemplazando en ( I )

Rpta.

Ejemplo 04.De un grupo de 17 personas, 13 tienen bigote, 4 son calvos y 3 son calvos que usan bigotes. ¿Cuántos no son calvos ni usan bigotes?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Solución:

Formando ecuaciones:

Rpta.

Ejemplo 05.Se tienen 65 banderas que tienen por lo menos dos colores. 25 tienen rojo y azul, 15 banderas rojas y blancas y 35 tienen blanco y azul. ¿Cuántas banderas tienen los 3 colores mencionados?a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

Solución:“x”: # banderas que tienen 3 coloresNo hay banderas de un solo color

De la figura se tiene que:

Rpta.

Ejemplo 06.Cotos come fréjoles y/o tallarines en su almuerzo, cada día, durante el mes de febrero de 1988. Si come 19 días fréjoles y 23 días tallarines. ¿Cuántos días come fréjoles con tallarines?a) 12 b) 8 c) 10d) 14 e) 13

Solución:

-5-

41

15

Estudian Trabajan

y z w

17

z

con bigote calvos

x 3 y

13 4

15 x 35 x

25 x

R A

B

x

3515

25

19 x 23 xx

F T


Rpta.

Ejemplo 07.En un grupo de 55 personas, 25 hablan Ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas?a) 40 b) 37 c) 25d) 22 e) 38

Solución:

Del grafico se tiene que:* …. ( I )

*

…. ( II )

* ( I ) en ( II )

Rpta.

Ejemplo 08.¿Cuántos subconjuntos se formaran con 6 elementos?a) 63 b) 64 c) 61d) 68 e) n.a.Solución:Recordado que:

Rpta.

Ejemplo 09.Cuantos sub conjuntos tiene “A”

a) 16 b) 8 c) 32d) 64 e) n.a.

Solución:

Reemplazando en:

Total de sub conjuntos es:

Rpta.

Ejemplo 10.

Si

Hallar la suma de los términos del

conjunto:

a) 10 b) 14 c) 11d) 12 e) 13

Solución:

Luego:

Piden: Rpta.

Ejemplo 11.Dado:

Unitarios

Hallar:

-6-

x

y

z

a b

c

I 25 F 32

A 33

5


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Solución:

De donde:

Luego: Rpta.

Ejemplo 12.En un aula de 43 alumnos, 5 son mujeres que estudian R.M. y 28 son hombres y el número de hombres que no estudian R.M. es el doble del número de mujeres que tampoco lo hace. ¿Cuántos hombres estudian R.M.?a) 6 b) 7 c) 8d) 10 e) n.a.

Solución:

* El número de mujeres que no estudian R.M. es:

* El numero de hombres que estudian R.M. esta dado por:

Rpta.

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Si:

Cual de las expresiones es verdadera:I.

II.

III.

IV.

a) I y II b) Solo II c) Solo IVd) III y IV e) Todos

02. Si:

Hallar la suma de los elementos de:

a) 4 b) 3 c) 8d) 6 e) 7

03. Sean los conjuntos:

Indicar el conjunto del resultado de:

a) b) c)

d) e)

04. Si el conjunto A es unitario. Hallar el valor de “X”.

a) 6 b) 9 c) 8d) 10 e) 7

05. Si el conjunto “A” tiene 4 elementos. ¿Cuántos sub conjuntos tendrá?a) 20 b) 16 c) 8d) 10 e) 32

06. observa el diagrama:

-7-

20

x

10

5

H 28 M 15

4

2

6

1 3

7

B

C

5

A


Indicar el resultado de la operación:

a) b) c)

d) e)

07. Del problema anterior. Hallar la suma de los elementos del resultado de:

a) 7 b) 11 c) 9d) 8 e) 6

08. De un grupo de 30 estudiantes del quinto grado de primaria, 10 alumnos no estudian ni hacen la tarea, 20 alumnos no estudian y 15 alumnos no hacen la tarea. ¿Cuántos alumnos estudian y hacen su tarea?a) 10 b) 1 c) 5d) 8 e) 15

09. A los alumnos del sexto grado les tomaron examen de Matemática, Lenguaje e Historia y los resultados fueron lo siguiente: 13 aprobaron solo Matemática. 15 aprobaron solo Historia. 11 aprobaron solo Lenguaje. 2 aprobaron Matemática, Historia y Leguaje. 1 aprobó Matemática e Historia pero no Leguaje. 9 aprobaron Matemática y Lenguaje pero no Historia. 4 aprobaron Lenguaje e Historia pero no Matemática. 3 no aprobaron ningún curso.De acuerdo al reporte. ¿Cuántos alumnos fueron evaluados?a) 60 b) 65 c) 45

d) 55 e) 40

10. Una persona come huevo o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Enero. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevos y tocinos?a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14 11. Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:

Motocicleta solamente: 5 Motocicleta: 38 No gustan de automóvil: 9 Motocicleta y bicicleta, pero no de

automóvil: 3 Motocicleta y automóvil pero no de

bicicleta: 20 No gustan de la bicicleta: 72 Ninguna de las tres cosas: 1 No gustan de la motocicleta: 61

¿A cuántos de los jóvenes deportistas les gusta la bicicleta? Examen 2008a) 13 b) 14 c) 23d) 27 e) 26

12. En un grupo de 55 personas, 25 hablan ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 de los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo 2 de estos idiomas?a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 35

13. ¿Cuántas de las siguientes operaciones con conjuntos son conmutativos?I. Unión II. IntersecciónIII.Diferencia IV. Diferencia simétricaV) Producto cartesiano

-8-


a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) Todas

14. ¿Cuántos subconjuntos se pueden formar con 6 elementos?a) 32 b) 23 c) 46d) 64 e) 128

15. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:I. Cuando el conjunto A contiene uno o

más elementos que no contiene B, diremos que B es un subconjunto propio de A.

II. Todo conjunto es subconjunto del conjunto universal

III. Al conjunto universal se le designa el valor de 1

IV. El conjunto vació es subconjunto e todo conjunto.

a) VFVV b) FVVV c) VVVVd) VVFV e) FVFV

16. Si se determina por comprensión el conjunto:

Se tiene:

a)

b)

c)

d)

e) Todas las expresiones anteriores

17. ¿A que operación de conjuntos corresponde el siguiente gráfico?a)

b)

c)

d)

e)

18. En un aula 80 alumnos han rendido 3 exámenes de ellos 42 aprobaron el primero, 38 el segundo, 49 el tercero, 18 los tres exámenes; además 10 aprobaron solamente los 2 primeros. ¿Cuántos alumnos aprobaron por lo menos 2 exámenes?a) 28 b) 29 c) 30d) 31 e) 32

19. De 81 personas se sabe que 48 van a la playa, 42 al cine, 50 al teatro, 21 a la playa y al cine, 18 al cine y al teatro, 35 a la playa y al teatro, además todos van por lo menos a un lugar. ¿Cuántas personas van a los 3 lugares?a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15 20. Durante el mes de febrero de 1994 Walter Olivera fue a ver su novia Mariana en las mañanas o en las tardes o en ambas horas, si 14 días lo vio en la mañana y 20 días la vio en las tardes. ¿Cuántos días la vio en ambas horas?a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

21. Sean A y B dos conjuntos tales que:

Hallar:

a) 36 b) 34 c) 28d) 32 e) 30

22. Supóngase que Rosa come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de enero (31 días). Si come tocino durante 25 mañanas y huevos durante 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come solamente huevos?a) 7 b) 6 c) 9d) 5 e) 10

-9-

AB

C


23. De 120 personas de una universidad obtuvo la información: 72 alumnos estudian el curso A, 62 alumnos estudian el curso B, 36 alumnos estudian el curso C, 12 alumnos estudian los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian exclusivamente 2 cursos?a) 25 b) 20 c) 9d) 28 e) 22

24. De un grupo de 40 personas, se sabe que: 15 de ellas no estudian ni trabajan; 10 personas estudian y 3 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan solo una de las dos actividades?a) 22 b) 24 c) 28d) 27 e) 26

25. Si:

Hallar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

26. Siendo:

¿Calcular la suma de los elementos de ?

a) 18 b) 16 c) 21d) 20 e) 22

27. De un grupo de 40 personas se sabe que: 24 bailan, 10 mujeres cantan, 8 personas no cantan ni bailan y 7 mujeres cantan y bailan. ¿Cuántos hombres sólo cantan?a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6

28. En un instituto de 77 alumnos, se sabe que de los 3 idiomas que enseñan, los que estudian sólo un idioma son 28 más, de los que sólo estudian 2 idiomas. Si además son 3 las personas que estudian los 3 idiomas. ¿Determinar cuantos estudian solo dos idiomas?a) 20 b) 21 c) 24d) 25 e) 23

29. Un club tiene 48 jugadores de fútbol, 25 de básquet y 30 de béisbol. Si el total de jugadores es 68 y sólo 6 de ellos figuran en los 3 deportes. ¿Cuántos figuran exactamente en 1 deporte?a) 36 b) 37 c) 38d) 39 e) 40

30. Según la figura. Cuales son las zonas que representan a:

a) 5

b) 5

c) 5 , 2

d) 5 , 2 , 3

e) 5,6

-10-

A BU

5 2 713 46C


01. C 11. D 21. B02. E 12. C 22. B03. C 13. B 23. D04. D 14. D 24. A05. B 15. C 25. C06. A 16. B 26. A07. E 17. D 27. D08. C 18. D 28. E09. D 19. E 29. D10. C 20. B 30. B

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teoria de conjuntos

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