TEORA DE CONJUNTOS

OBJETIVOS: Establecer correctamente la nocin de conjunto y su notacin. Utilizar adecuadamente los smbolos de pertenencia e inclusin y representar los conjuntos adecuadamente. Reconocer los conjuntos especiales y determinar su correspondiente cardinal. Resolver problemas utilizando los Diagramas de Veen-Euler y Lewis Carroll.

I.S.T. CEVATEC MATEMATICA I

PROF. CESAR F. HUAMAN AYALA Nocin de ConjuntoConcepto no definido del cual se tiene una idea subjetiva y se le asocian ciertos sinnimos tales como coleccin, agrupacin o reunin de objetos abstractos o concretos denominados integrantes u elementos susceptibles de ser comparados.

Ejemplos: Los das de la semana Los pases del continente americano. Los jugadores de un equipo de ftbol.

Notacin Generalmente se denota a un conjunto con smbolos que indiquen superioridad y a sus integrantes u elementos mediante variables o letras minsculas separadas por comas y encerrados con llaves.

Ejemplo:A = los das de la semanaB = a, e, i, o, u

Relacin de Pertenencia ()Se establece esta relacin slo de integrante a conjunto y expresa si el integrante indicado forma parte o no del conjunto considerado.

....pertenece a ..... : ... no pertenece a ..:

Esto quiere decir que dado un integrante u elemento y un conjuntoIntegrante conjuntou elemento

Ejemplo: C = 1,2, 1,2, 5, 16 2 C 8 C 1,2 C 5 C

incorrecto

Determinacin de un ConjuntoConsiste en precisar correctamente que elementos forman parte del conjunto. Puede hacerse de 2 formas:

a)Por Extensin o forma tabular.Cuando se indica generalmente a todos y cada uno de los integrantes

Ejemplo:A = a, e, i, o, uC = 2,4,6,8

Es evidente que el orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenece a l.

De este modo en el conjuntoA = a,e,i,o,u = a,o,u,i,eNo todos los conjuntos pueden ser expresados por extensin, entonces se recurre a otra forma de determinacin.

b) Por Comprensin o forma constructivaCuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada.

Esquema / (se lee tal que)

A = ..........................

Regla de RestriccinCorrespondenciay/o caractersticao forma general(propiedad comn)del elementoB = n/n es una vocalC =n-1 / n ZZ ,1 n 7

CONJUNTOS NUMERICOS1.Conjunto de los nmeros naturalesIN = 1,2,3,4.... EJM 17 IN IN O = IN* = 0,1,2,3,....ObservacinCero (0) es natural

2.Conjunto de los Nmeros EnterosZZ = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

ZZ , - 24 ZZ 3.Conjunto de los Nmeros RacionalesQ = a/b / a ZZ b ZZ b 0

3 Q porque : 3 =

0,5 Q porque 0,5 =

0,333... Q porque 0,333... =

= 3,141592... Q porque Aplicacin IDado el conjuntoB = 1, , , 2 1, 1,2,3

Indicar que proposiciones son verdaderas o falsas* B* 1 B* 1 B* 3 B* 1,2 B* BAplicacin IIDeterminar por extensin y comprensin los siguientes conjuntosP = 2, 6, 12, 20,..., 10100Q = 3x+1/x ZZ - 3 < x < 3

Cardinal de un ConjuntoSe llama Nmero Cardinal de un conjunto A a la clase de los conjuntos coordinables con A (es decir el nmero cardinal es una clase de equivalencia). Vulgarmente se acostumbra a sealar que el nmero cardinal, es el nmero de elementos del conjunto A y se denota como n (A) card (A)

Ejemplo:A = 3, 6, 9, 12, 15 entonces n (A) = 5P = 2,2,3,3,3,5,7 entonces n (P) = 4

Diagramas de Venn EulerEs la representacin geomtrica de un conjunto mediante una regin de plano limitado por una figura geomtrica cerrada en cuyo interior se indican los elementos que forman el conjunto

Ejemplo: A a,b,c,d,eA. a. b. c . d. e

Diagrama (Lewis Carroll)Su verdadero nombre es Charles-Dogston autor de Alicia en el pas de las Maravillas utilizando un lenguaje lgico matemtico utiliza el Diagrama en conjuntos disjuntos haciendo particin del universo.

HMSCFEjemplo:H : HombresM : MujeresS : SolterosC : CasadosF : Fuman

Relacin de Inclusin ()

Subconjunto ConjuntoConjunto Conjunto

Se dice que un conjunto est incluido en un segundo conjunto, cuando todos los elementos del primero forman parte del segundo conjunto.

: incluido o contenidoA B: A esta contenido en BA es subconjunto en BB contiene a A

A B x A : x A x B

B

A

Observacin:El vaco est includo en cualquier conjunto.

Conjuntos Disjuntos o AjenosDos conjuntos se denominan disjuntos cuando no poseen ningn elemento en comn.

Ejemplo: C = x / x es un hombreD = x / x es una mujer C y D son disjuntos-Si dos conjuntos son disjuntos ambos sern diferentes.-Si dos conjuntos son diferentes entonces no siempre sern disjuntos.

Ejemplo:E = 5,2,a,b , F = 4,3,c,dE y F son disjuntos E FG = 1,3,c,d,7, H = 2,8,e,f,cG H pero G y H no son disjuntosDe ah que A y B son coordinables, luego: n (A) = n (B)

Clases de Conjuntos

Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen segn esto tenemos:

Finito: Si posee una cantidad limitada de elementos es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algn momento.

Ejemplo:N = 3n + 2 / n ZZ 1 n 4N es finito pues n (N) =4P = x/x es un da de la semanaP es finito pues n (U) = 7Infinito: Si posee una cantidad ilimitada de elementos. Ejm:M = x/x Q 1 < x 2M es infinito pues n (M) = ...?

Conjuntos Especiales1.Vaco o Nulo. Es aquel conjunto que carece de elementos.Notacin ; . Ejm.:A = x/o < x < 5 x = 100 = = * A : A* *

2.Unitario o Singleton (singular)Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.B = x/x > 0 x = 9 = 3

Aplicacin: Si los siguientes conjuntos son unitarios e iguales, calcule a + b + c.A = (2a + b); cB = (2c - 7); (5b + 2)

3.Universal: Es un conjunto referencial para el estudio de una situacin particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto y se le denota generalmente por U.

Ejemplo:A = 2,6,10,12B = x+3/x es impar 0