Teoría de Conjuntos

Operaciones Básicas

Matemáticas I

Especialidad: Ing en sistema computacionales

Integrantes:

Martin Gomez Mayora

Marco Eduardo Acosta Jimenez

Jose Emmanuel fercano Carlos

Francisco Javier Sevilla Martinez

Bernardo Cipriano Peña

Lidni Joahana Lopez Hernandez

Introducción

Esta primera unidad inicia con el estudio de la teoría de conjuntos, el cual enfocado al ámbito laboral tiene el objetivo de optimizar procesos ya que con un buen análisis se pueden detectar re trabajos y se pueden

simplificar las operaciones realizadas de cualquier área laboral, pero del cual se requiere un buen análisis

matemático para poder abstraer la realidad y ponerla en la forma de conjuntos

Desarrollo del tema:La teoría de conjuntos:

Estudia las propiedades de los conjuntos (una colección de objetos considerada como un objeto en sí.) La colección de objetos pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Simbología aplicada en la teoría de conjuntos

N : Números NaturalesZ : Números EnterosQ : Números RacionalesR : Números RealesC : Complejos{} : conjunto∈ : Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.∉ : No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.

⎜: Tal que. n (C) : Cardinalidad del conjunto C.U : Conjunto Universo.Φ : Conjunto Vacío.⊆ : Subconjunto de.

⊂ : Subconjunto propio de.⊄ : No es subconjunto propio de.> : Mayor que. < : Menor que. ≥ : Mayor o igual que. ≤ : Menor o igual que. ∩ : Intersección de conjuntos. ∪ : Unión de Conjuntos. A' : Complemento del conjunto A. = : Símbolo de igualdad. ≠ : No es igual a. : ... El conjunto continúa. ==> : Entonces. ⇔ : Si y sólo si. ∼ : No (es falso que). ∧ : Y ∨ : O

Determinación de un conjunto

Extensión: Se usa mediante llaves que contienen todos sus elementos de forma explicita

Comprensión: Se usa mediante una formula, regla o proposición que los describa

A a, e, i, o, u A x/x es una letra vocal

Ejemplo: 1

B : Las estaciones del añoExtensión Comprensión

B Verano, invierno, otoño, primavera B x/x es una estación del año

Ejemplo: 2

C.- Los números pares menores de 20 y mayores de 11

Extensión

Comprensión

C 12,14,16,18

C2n/n C

z 5< n <

10

Un numero par del conjunto del elemento n tal que n pertenece a los números enteros y 5 es menor que n y menor que 10

Clases de conjuntos

ConjuntosConjuntos

Conjunto Finito Conjunto EspecialesConjunto Especiales

Números Naturales

(N)

Números Enteros

(Z)

Números Naturales

(N)

Números Enteros

(Z)

Números Reales

(R)

NúmerosComplejos

( C)

ConjuntoUnitario

ConjuntoVacio

( o )

Conjunto Universal

(U)

Conjunto Potencia

Conjunto Finito

Un conjunto es finito, si posee una cantidad limitada de elementos diferentes.

A 2, 4, 6, 8, ………….120

B x | x es un numero par

Un conjunto es infinito, si posee una cantidad ilimitada de elementos diferentes.Aquí encontramos a todos los conjuntos numéricos.

A x | x es un numero entero

B x | x > 2

Conjunto EspecialesConjunto Especiales

Conjunto Vacio: Es aquel conjunto que no posee elementos se denota por

A x | x es un numero impar 9 < x < 11^

AConjunto Unitario: Es aquel conjunto que posee un solo elemento

B x | x es la capital de Oaxaca

C x | x C Z , 4 < x < 6

Operaciones básicas

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, constituyendo el álgebra de conjuntos:

Operaciones:

Unión. La Unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer (segundo) elemento pertenece a A (a B).

Ejemplo de una operación de conjunto:

Durante el mes de Junio, la cervecera del trópico ha fabricado diariamente productos de la presentación Coronita 210 ml y Victorita 210 ml

excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada.Sabiendo que 15 días del mes ha fabricado coronita 210, y 20 días ha fabricado victorita 210. a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos? b) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos de coronita 210? c) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos de victorita 210?

Análisis del problema

1.- se aplica un diagrama de ven en donde el dato de los 4 domingos se ubica directamente en el diagrama

4

a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos?

Sabiendo que hay días en que realizaron producciones de las dos presentaciones y los domingo no laborados, ambas presentaciones no se produjeron entonces sumamos los 15 días de la coronita mas los 20 días de la victoria y los 4 domingos se tendría que las sumas de los días nos daría como resultado que junio tendría 39 días.

Coronita 210 : sus días representa un conjunto

Victorita 210 : sus días representa un conjunto

2.- Debido a que existieron días en que se fabricaron ambos productos y dado que junio sólo tiene 30 días se aplica una diferencia

39 días – 30 días 9 días se fabricaron ambos productos.

49

Coronita 210

Victorita 210

a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos?

Resultado: 9 días se produjeron ambas presentaciones

b) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos de coronita 210?

Por diferencia obtenemos que de los 15 días de producción de coronita 210 le quitamos los 9 días donde ambas presentaciones se realizaron quedando de la siguiente manera:

49

Coronita 210

Victorita 210

15 días 9 días 6 días

6

Respuesta a la pregunta b: 6 días se realizaron solo productos de coronita 210 ml

c) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos de victorita 210?

Aplicamos nuevamente una diferencia obtenemos que de los 20días de producción de victorita 210 ml le quitamos los 9 días donde ambas presentaciones se realizaron quedando de la siguiente manera:

20 días 9 días 11 días

49

Coronita 210

Victorita 210

6 11

Comprobación:La suma de los 6 días + 9 días +11 días + 4 domingos es igual a los 30 días del mes de junio

Respuesta a la pregunta c: 11 días se realizaron solo productos de victorita 210 ml

Conclusión

La teoría de los conjuntos sirve para optimizar procesos ya que con un buen análisis podemos detectar redundancias y se puede simplificar las operaciones realizadas ya sea en los procesos y macroprocesos ayudando a identificar que objetos pertenecen a que cosa y a que lugar.