teoria de conjuntos

5/9/2018 Teoria de Conjuntos - slidepdf.com

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INTRODUCCION A LOS CONJUNTOS

1. Introducción a la teoría de conjuntos

1.1 Noción de conjunto

El concepto de conjunto es de fundamental importancia en matemáticas y en particular en el estudio de estructuras

discretas que permiten modelar y resolver problemas en el campo de la computación.

Un conjunto es una colección de objetos bien definidos. A los objetos de la colección se les

llama miembros o elementos del conjunto.

El adjetivo bien definido se usa para significar que cualquiera que sea el objeto considerado, se pueda determinar s

está o no en el conjunto que se analiza. En consecuencia, se evita tratar con conjuntos como el conjunto de las fruta

más deliciosas.

Entre los ejemplos más importantes de conjuntos en matemáticas se encuentran los sistemas numéricos: el conjunto

los números naturales, el conjunto de los números enteros, el conjunto de los números racionales y el conjunto de los

números reales.

Se utilizan letras mayúsculas como A, B, C. . . . para representar conjuntos.

Ejemplo:

y El conjunto V de las vocales puede ser escrito como:

V = { a, e , i, o , u }

y El conjunto C de números enteros impares positivos menores que diez puede ser expresado por:

C = { 1, 3, 5, 7, 9 }

Aún cuando los conjuntos son usados, casi siempre, para agrupar elementos con propiedades comunes, estos pued

estar constituidos por elementos de distinta naturaleza. Por ejemplo {2 , Pedro , C olombia, manzana, casa} es el conju

que contiene los cinco elementos: 2, Pedro , C olombia, manzana, y casa.

Cuando es posible, es costumbre describir un conjunto, cuyos elementos tienen una característica en comú

escribiendo algunos de sus elementos seguidos por puntos suspensivos.

Ejemplo : El conjunto de los números naturales puede ser especificado por N = { 1,2 ,3, . . . }

El conjunto de los números enteros puede ser especificado por: Z = { . . . , - 2, - 1, 0, 1, 2, . . . }

Como vimos en los ejemplos anteriores, hay conjuntos que pueden ser especificados escribiendo algunos de

elementos pero esta no siempre resulta ser la forma más apropiada, además casi ningún conjunto infinito puede

descrito de esta forma. Por consiguiente, necesitamos una forma para describir estos conjuntos implícitamente

manera más frecuente como hacemos una especificación implícita es por medio de un predicado o propiedad

cumplen los elementos del conjunto. Por ejemplo, nos podemos referir al conjunto de los números enteros mayore

iguales que 15 escribiendo:{ x Z x 15 }



Definición: 1.1.1Conjuntos definidos por comprensión. Un conjunto A está escrito por comprensión si es de la forma

XXX

Donde , p(x) es un pred icado sobre el con j unto U.

1.2 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Hay dos relaciones importantes que se tienen entre conjuntos: contenencia e igualdad

Definición: 1.2.1 Contenencia entre conjuntos. Sean A y B conjuntos. A es un subconjunto de B si cada elemento de

es un elemento de B. Si A es subconjunto de B escribimos . En sí mbolos tenemos que,

si y solamente si

Cuando A es subconjunto de B se dice también que, A está contenido en B o que, B contiene a A.

Ejemplo:

y y y y y El conjunto P de enteros pares es un subconjunto de los enteros. Es decir,y En el sistema de los números reales se tienen las siguientes contenencias

importantes:

Si A no está contenido en, es decir, si hay un elemento que está en A y no está en B, escribimos .

Ejemplo:

y y El conjunto R de números primos no está contenido en el conjunto M de números naturales impares. Es

decir

y De acuerdo a la definición de contenencia, cuando la implicación es verdadera. Utilizaremos

este hecho en la demostración de las siguientes propiedades sobre contenencia entre conjuntos.

Teorema 1.2.1 Para cualquier conjunto A, se tiene que:

(i)

(ii)

(iii)



Demostración:

y Como no tiene elementos, la proposición es falsa. Por lo tanto la implicación es verdadera

y Puesto que todo elemento pertenece a U, la proposición es verdadera. Por lo tanto la

implicación es verdadera 2.

y es verdadera3.

Definición: 1.2.2 Igualdad entre conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales si tienen losmismos elementos, es decir

Ejemplo:

y y y

Cuando se quiere demostrar que A = B teniendo en cuenta la definición anterior, debemos probar que i) y

ii) .

Ilustraremos esta forma demostrar la igualdad entre dos conjuntos en la demostración de las siguientes propiedadsobre igualdad entre conjuntos.

Teorema 1.2.2 Dados A, B y C conjuntos, se tiene que:

y A =A.

y .

y .

Demostración:

(i) .

Esto implica que:

.

.

Ejercicio:

y Demostrar las partes (i) y (iii) del teorema anterior.

Negando la definición de igualdad entre conjuntos, deducimos que dos conjuntos no son iguales si no tienen losmismos elementos: 5



Es decir,

Ejemplo:

y y y

Decimos que A es subconjunto propio de B si .

Utilizamos la notación para indicar que A es subconjunto propio de B. Por ejemplo, .

Contenencia e igualdad entre conjuntos definidospor comprensión

En el caso que los conjuntos estén descritospor comprensión, las relaciones de contenencia e igualdad sepueden

expresar en términos de los predicados que definen los conjuntos.

Sean,

Como:

Entonces,

Por lo tanto,

Como:

Entonces,

.

En otros términos,

Por lo tanto,



Ejemplo:

y y y y y

1.3 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

En esta sección se estudiaran varias operaciones que combinan conjuntos dados para crear nuevos conjuntos.

Definición: 1.3.1 unión entre conjuntos. Sean A y B conjuntos. La unión de A y B está definida como el conjunto de

todos los elementos que están en A, o están en B, o en ambos A y B. En sí mbolos,

Por lo tanto,

En consecuencia:

Definición: 1.3.2 Intersección entre conjuntos. Sean A y B conjuntos. La intersección de A y B está definida como elconjunto de todos los elementos que están en ambos A y B. En sí mbolos,

Por lo tanto,

En consecuencia:

Ejemplo:

Sean . Entonces,

y



y y y y y y y y y .

Ejemplo:

y y y y y y

Definición: 1.3.3 Conjuntos disyuntos. Si dos conjuntos no tienen elementos en común, se dice que son disyuntos. sí mbolos,

Ejemplo:

y y y y

Las operaciones de intersección y unión entre conjuntos son ejemplos de operaciones binarias: dados dos conjunto

y B como operandos, los resultados son también conjuntos, en este caso los operadores sonrespectivamente.

La siguiente definición del complemento de un conjunto, es un ejemplo de operación unaria: dado un conjunto A

como operando esta operación da como resultado un nuevo conjunto . El operador complemento es denotapor .

Definición: 1.3.4 Complemento de un conjunto. Sea U un universo y A un subconjunto de U. El complemento de A eel conjunto de todos los elementos que no están en A. En sí mbolos,

Por lo tanto,



En consecuencia:

Ejemplo:

,

y y y

Ejemplo:

,

y y y y

Ejemplo:

y y y y

Operaciones entre conjuntos definidos por comprensión.

En el caso particular que los conjuntos estén descritos por comprensión, las operaciones entre ellos se pueden indien términos de los predicados que definen los conjuntos.

Sean

Como:

Entonces,



En este caso,

En consecuencia:

Como:

Entonces,

En este caso,

En consecuencia:

Como:

Entonces,

En este caso,

En consecuencia:

Ejemplo:

Sean

y y y



y y

Entonces,

y y y y y y y y y y y y y

y

y y y y y

1.4 EL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

Uno de los resultadosmás importantes acerca de conjuntos es quebajo las operaciones de unión, intersección ycomplemento se satisfacen ciertas leyes algebraicas a partir de la cuales podemos desarrollar un álgebra deconjuntos. El álgebra de conjuntos es un ejemplo de una estructura conocida como un álgebra de Boole; otro ejemp

es el álgebra de la lógica, donde son las operaciones que actúan sobre proposiciones.

En esta sección trataremos las leyes básicas del álgebra de conjuntos.

Teorema 1.4.1 Si A y B son conjuntos, entonces



( i )

( ii )

Demostración:

( i ) Para demostrar que debemosmostrar que .

.Definición de

( ii ) Para demostrar que debemosmostrar que .

Definición de


( i )

( ii )

Ejercicio: Demostrar el teorema anterior.


( i )

( ii )

Demostración:

( i ) Hay que demostrar dos implicaciones: 8

y Supongamos que . Para demostrar la igualdad debemosmostrar las dos contenencias:

(a.1) Definición U.

hipótesis

9



(a.2) Es verdadera por el teorema (1.4.4.i i ).

y Supongamos que

por el teorema (1.4.4.i ).

De esta forma, reemplazando por B por la contenencia anterior obtenemos:

.

Ejercicio: Demostrar la parte ( i i ) del teorema anterior.

Teorema 1.4.4 Leyes de absorción Para cualesquier conjuntos A y B,

( i ) .

(i i ) .

Demostración:

( i ) teorema ( 1.4.2.i )

Por lo tanto,

teorema ( 1.4.3.i )

Ejercicio: Demostrar la parte ( i i ) del teorema anterior.

Teorema 1.4.4 Leyes de absorción Para cualesquier conjuntos A, B y C, se cumple lo siguiente:

( i ) Leyes conmutativas

( a )

( b )

( i i )Leyes asociativas

( a )

( b )

( i i i ) Leyes distributivas

( a )

( b )



( i v ) leyes de impotencia

( a )

( b )

( v ) leyes de identidad

( a )

( b )

( c )

( d )

( v i ) leyes de complemento

( a )

( b )

( c )

( d )

( e )

( v i i ) leyes de Morgan

( a )

( b )

Primera Ley El complementario de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de los complementario

de dichos conjuntos.

Es decir, todo elemento que pertenece al complementario de la unión pertenece a la intersección de los

complementarios de los conjuntos

Recíprocamente



Es decir, todo elemento que pertenezca a la intersección de los complementarios de dos conjuntos pertenece

complementario de la unión de dichos conjuntos.

De ambas inclusiones deducimos que ambos conjuntos son iguales

Segunda Ley El complementario de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de los

complementarios de dichos conjuntos.

La demostración es lógicamente análoga a la anterior.

de donde se deducen las dos inclusiones.

Demostración:

( i i i.a ) hay que demostrar las dos contenencias:

( 1 )

( 2 )

( 1 )

( 2 )

Ejercicio: Demostrar las demás partes del teorema anterior.

Usando las leyes del álgebra de conjuntos que hemos desarrollado anteriormente, podemos probar todas las

propiedades elementales sobre conjuntos sin referirnos a las definiciones de lo sí mbolos . El siguienteun ejemplo de como tales pruebas se pueden realizar.

Ejemplo:



o Demostrar

y Demostrar

PRINCIPIO DE DUALIDAD

Si en una proposición se intercambian en todos los casos en que sepresente por y viceversa, y donde

aparezca U por y viceversa, entonces la nueva proposición que resulta se llama dual de la primera.

Ejemplo:

El dual de,

Obsérvese que la frase dual de cada una de laspropiedades enunciadas anteriormente, sobre álgebra de conjuntos

está también enunciada como una propiedad.

Teorema 1.4.6 Si t es un teorema que trata de conjuntos e incluye sólo entonces el dual de t también es unteorema de la teoría de conjuntos.

La utilización de este teorema reduce el trabajo de forma considerable en la demostración de propiedades. En cadauna de las propiedades enunciadas anteriormente sobre álgebra de conjuntos, para cada par de proposiciones duasólo se necesita demostrar una de ellas y recurrir a este teorema para quede establecida la demostración de la otraproposición del par.

El teorema anterior está basado en el siguiente principio:

El principio de dualidad: Si ciertos axiomas implican sus propios duales, entonces el dual de cualquier teorema quesea consecuencia de los axiomas, es también consecuencia de los axiomas. Pues dado cualquier teorema y sudemostración, el dual del teorema se puede demostrar delmismo modo empleando el dual de cada paso de laprimera demostración.

Ejemplo:

Demostrar:



El dual de este teorema fue demostrado en un ejemplo anterior; por tanto, este teorema es cierto por el principio ddualidad.

Familia de conjuntos

Ocurre a veces que los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos. Para evitar decir conjunto de conjuntossuele decir familia de conjuntos o colección de conjuntos . Utilizaremos letras como

A, B, C, , para denotar familias o colecciones de conjuntos

Ejemplo:

El conjunto es una familia de conjuntos.

Sus elementos son los conjuntos .

Una colección de conjuntos importante es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado.

Definición: 1.4.1 Conjunto potencia. Sea A un conjunto. Al conjunto de todos los subconjuntos de A se le llama elconjunto potencia de A o las partes de A,y se denota P(A). Es decir,

Por lo tanto,

En consecuencia:

Recordemos que dado un conjunto A se cumple que: .

Por lo tanto, para cualquier conjunto A se tiene que: y .

Ejemplo:

y y

Intersección y unión generalizadas

Puesto que la unión e intersección de conjuntos satisfacen las leyes asociativas, los conjuntos

y están bien definidos cuando A, B, y C son conjuntos. Obsérvese que contiene aquellos

elementos que están en por lomenos uno de los conjuntos A, B, y C, y que contiene aquellos elementosque están en A, B, y C.

Ejemplo:

Sean



Entonces,

y y

En general, podemos considerar uniones e intersecciones de un número arbitrario de conjuntos. Para esto,introducimos las siguientes definiciones.

Definición: 1.4.2 Unión generalizada de conjuntos. La unión de la colección de conjuntos es elconjunto de elementos que pertenece a por lomenos un conjunto de la colección.

Si usamos la notación . Para denotar la unión de los conjuntos o demanera másabreviada, la notación

Entonces

Por lo tanto,

En consecuencia:

Ejemplo:

y Sean

Entonces,

y Sean

Entonces,

Ahora generalizamos la intersección de conjuntos

Definición: 1.4.3 Intersección generalizada de conjuntos. La intersección de la colección de conjuntoses el conjunto de elementos que pertenece a todos los conjuntos de la colección.



Si usamos la notación . Para denotar la intersección de los conjuntos o demaneramás abreviada, la notación

Entonces,

Por lo tanto,

En consecuencia:

Ejemplo:

y Sean

Entonces,

y Sean

Entonces,

FAMILIA DE CONJUNTOS CON ÍNDICES

En la ultima sección al considerar la colección de conjuntos tenemos lo que se llama una familia de

conjuntos con índices. Si llamamos entonces vemos que a cada elemento le corresponde un

conjunto . En este caso se dice que es el conjunto de índices, y que la suscrita de , es decir, cada , un índice de la colección conjuntos.

Más generalmente, utilizamos un conjunto cuyos elementos (no necesariamente números) sirven como

índices para designar los elementos de una colección . La familia es llamada una

familia de conjuntos con índices, es llamado su conjunto de índices y los elementos de son llamados índices. U

notación compacta para designar la familia es:

Ejemplo:



y Sea , donde

Entonces,

y Sea , donde

Entonces,

Obsérvese que puede suceder que , con .

y Sea , donde

Entonces,

y Sea el conjunto de palabras en español.

Si definimos , entonces,

Obsérvese que los elementos del conjunto de índices, en este caso, no son números.

y Sea

Entonces,

Nótese que en la sección anterior las operaciones de intersección y unión de conjuntos fueron generalizadaspara la

familia con índices, con conjuntos de índices . Ahora extendemos estas definiciones a

cualquier familia de conjuntos con índices

Definición: 1.4.4. Sea una familia de conjuntos con índices. La unión de la familia consiste en

aquellos elementos que pertenecen almenos a uno de los de la familia. En sí mbolos,

Por lo tanto,

En consecuencia:



Ejemplo:

y Sea , donde .

Entonces,

y Sea , donde .

Entonces,

y Sea , donde .

Entonces,

y Sea , donde .

Entonces,


Si definimos,

Entonces,

y Sean para .

Entonces,

Ahora definimos la intersección generalizada para una familia con índices:

Definición: 1.4.5. Sea una familia de conjuntos con índices. La intersección de la familia consiste e

aquellos elementos que pertenecen a todos los de la familia. En sí mbolos,

Por lo tanto



En consecuencia: .

Ejemplo:

y Sea , donde .

Entonces,

y Sea , donde .

Entonces,

y Sea , donde .

Entonces,

Sea , donde .

Entonces,


Si definimos, .

Entonces,

y Sean para .

Entonces,

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