tema6-introduccion a las probabilidades

May 3, 2023

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

1

ESTADISTICA GENERAL

Si el único propósito del investigador es describir los resultados de un experimento concreto, los métodos analizados anteriormente pueden considerarse suficientes. No obstante, si lo que se pretende es utilizar la información obtenida para extraer conclusiones generales sobre todos aquellos elementos del tipo de los que han sido estudiados, entonces estos métodos constituyen sólo el principio del análisis, y debe recurrirse a métodos de inferencia estadística, los cuales implican el uso inteligente de la teoría de la probabilidad.

Introducción

Nociones de probabilidad Todos los días nos hacemos preguntas sobre probabilidad. E

incluso quienes no han visto mucho de esta materia en cursos anteriores, tienen una idea intuitiva lo suficientemente correcta para lo que necesitamos de ella en este curso.

¿Cuál es la probabilidad de ganar la

Tinka ?

¿Cuál es la probabilidad de aprobar el

curso?

¿Cuál es la probabilidad de que mi

hijo sea varón?

¿Es baja la probabilidad de tener

un accidente?

Conceptos básicos de probabilidad

El cálculo de probabilidades nos suministra las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, constituyendo la base para la estadística inductiva o inferencial.

En general, llamaremos experimento, al conjunto de acciones reales o imaginarias, realizadas con la finalidad de obtener resultados.

Se denominan experimentos determinísticos, aquellos que realizados de una misma forma y bajo las mismas condiciones iniciales, ofrecen siempre el mismo resultado (Se conoce el resultado del experimento antes de realizarlo).Diremos que un experimento es aleatorio (ξ), si se verifican las siguientes condiciones:Puede repetirse indefinidamente, siempre en las mismas condiciones; Antes de realizarlo, no puede predecirse el resultado que se va a obtener; El resultado que se obtenga, Wi, pertenece a un

conjunto de resultados posibles, previamente conocido. A este conjunto de resultados posibles, se denomina espacio muestral y lo denotaremos mediante la letra Ω. Los elementos del espacio muestral se denominan puntos muestrales.


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Es decir, un experimento aleatorio es todo proceso que se puede repetir de manera indefinida, obteniéndose resultados imprevisibles (los resultados del experimento no pueden predecirse con exactitud antes de realizar el experimento).

6


Además, un experimento es aleatorio, si su resultado se desconoce, pero puede conocerse los posibles resultados del mismo. En este caso, las condiciones experimentales determinan solamente el comportamiento probabilístico (distribución probabilística) de los resultados observables

No sabemos qué resultado se obtendrá, pero sí qué valores puede tomar.


La probabilidad es una medida de la incertidumbre

• La empresa AB S.A, tiene una oportunidad de 50% de superar esta crisis.

• El cliente tiene 80% de posibilidades de cancelar su deuda de crédito hipotecario.

¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara al lanzar una moneda?.

¿Cuál es la probabilidad de obtener un “tres” al lanzar un dado?.


¿Cuál es la probabilidad de obtener un número del 1 al 6 al lanzar un dado?

¿Cuál es la probabilidad de obtener un “siete” al lanzar un dado?


May 3, 2023

ESPACIO MUESTRAL Dado un experimento aleatorio ξ, se llama espacio muestral de ξ, denotado por , al conjunto de todos los resultados posibles del experimento.

ξ Ω = w1, w2, ........, wn, ........

ξ Ω =1, 2, 3, 4, 5, 6 , ó ξ Ω =w ε N / 1≤ w ≤ 6

n(Ω) = 6En este caso, cada wi es un punto muestral, que corresponde a un resultado del experimento

Ej. Consideremos un experimento aleatorio tal que: ξ : Lanzamiento de un dado y el registro del número que aparece en la cara superior


SUCESO O EVENTO Un suceso o evento de un experimento aleatorio ξ, es cualquier subconjunto del espacio muestral correspondiente a ξ.

Si E E es un evento de Ej. Sea el experimento que consiste en lanzar un dado. Considere los siguientes eventos asociados a dicho experimento:

E : El resultado es un número par, yF : El resultado es un número mayor que 4.

El espacio muestral asociado es: ξ = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y los eventos E y F, estarán dados por: E=w є /w es par=2, 4, 6; F=w є /w > 4=5, 6


Evento imposible : E = ΦEvento seguro : F = Evento simple : G1 =w1 ; G3 =w3 Evento compuesto : H = w1υw5

= w1,w5


Algunos eventos especiales:

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OPERACIONES CON EVENTOS.- Sean los eventos A y B definidos en un mismo espacio muestral :a) UNIÓN: La unión o reunión de A y B, que se denota AUB, es el evento

AUB=w / wA ó wB

A B

13

Operaciones con eventos

“El evento AUB ocurre, si al menos uno de los dos eventos A ó B ocurren”.

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Propiedades de la unión.-1) AU Φ = A2) AUA = A3) AU = 4) AUB = BUA5) AU(BUC) = (AUB)UC

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b) INTERSECCIÓN: La intersección de A y B, que se denota A∩B, es el evento

A∩B=w / wA y wB

A B

15

A∩B


“El evento A∩B ocurre, si los dos eventos A y B ocurren”.

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Propiedades de la intersección.-1) A∩Φ=Φ2) A∩A=A 3) A∩=A4) A∩B=B∩A5) A∩(B∩C)=(A∩B)∩C6) (AUB)∩C =(A∩C)U(B∩C)7) (A∩B)UC =(AUC)∩(BUC)

16


May 3, 2023 17May 3, 2023

Observación.-1. Si A∩B=Φ, se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes, incompatibles ó disjuntos.

B

17

A

2. Si AB=Ω, se dice que A y B son eventos colectivamente exhaustivos.

AB


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c) COMPLEMENTO : El complemento de A, que se denota , se define como el evento formado por los elementos de que no están en A. También se le denomina evento opuesto o contrario.

= w / w A

A

A

A

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A


“El evento A ocurre, si el evento A no ocurre”.

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Propiedades del complemento.-1) Φ = 2) = Φ3) A = A4) AUB = A∩B5) A∩B=AUB

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Operaciones con eventosd) DIFERENCIA: La diferencia de A y B, que se denota A-B, es el evento que está formado por todos los elementos que están en A pero no en B.

A-B=w / wA y wB= A∩B

A B

A-B = A∩B

“El evento A-B ocurre, si el evento A ocurre, pero el evento B no ocurre”. Es decir, si solamente A ocurre


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e) DIFERENCIA SIMETRICA: La diferencia simétrica de A y B, que se denota AB, es el evento formado por todos los elementos que están en A pero no en B ó los que están en B pero no en A.

A B=w / w(A-B) ó w(B-A)= (A-B)U(B-A) = (A∩B)U(B∩A)

= (AUB) – (A∩B)

A B

A-B = A∩B

“El evento AB ocurre, si ocurren solamente A ó solamente B”.

B-A = A∩B

May 3, 2023

Observación: Partición de un espacio muestralUna sucesión de eventos E1, E2, ….., En, forman una partición de un espacio muestral , si:1.Son mútuamente excluyentes: Ei∩Ej = Φ, i≠j, y

2.Son colectivamente exhaustivos: υEi = Ω

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E1 E2 E3 En…..


Ω

Eventos o Sucesos (Resumen)Ω

ΩA

A’

Ω

A

B

Ω

A

B

Ω

A

B

UNIÓN INTERSECCION

Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (Ω).

Se llama evento a un subconjunto de dichos resultados. Se llama evento contrario (complementario) de un evento

A, A’, al formado por los elementos que no están en A. Se llama evento unión de A y B, AUB, al formado por los

resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos).

Se llama evento intersección de A y B, A∩B ó simplemente AB, al formado por los elementos que están en A y B.

Ejemplo: Si realizamos el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire, tenemos:

Puntos muestrales Wi : 1, 2, 3, 4, 5, 6

Espacio muestral Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Φ Evento imposibleΩ Evento seguro

3 Evento simple, unitario ó elementalEventos 1,2,3 Evento compuesto 4,5 Evento compuesto 2,4,6= 1,3,5 Evento complementario

. . . . . . .

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TÉCNICAS DE CONTEO2.1. Objetivo

Determinar el numero de maneras diferentes en que puede ocurrir un experimento aleatorio o un evento sin necesidad de enumerarlo explícitamente.

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2.2. Principio de la multiplicaciónSea un experimento ξ1 que puede ocurrir de m maneras diferentes y un experimento ξ2 que puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces: en total. los dos experimentos ξ1 y ξ2 ocurrirán de m x n maneras diferentes.Ejemplos: - Una computadora se ensambla en dos etapas, para la primera se tiene disponibles 6 líneas de armado, y para la segunda 5. ¿De cuantas maneras diferentes puede moverse el producto en el proceso de armado?

26

TÉCNICAS DE CONTEO

- Suponga que tiene que viajar de la ciudad A a la ciudad C, pasando por la ciudad B. Para ir de A hacia B tiene que ser por vía terrestre y tiene disponibles 7 empresas, para ir de B hacia C debe ser por vía aérea y tiene dos líneas aéreas. ¿De cuántas formas diferentes puede viajar de la ciudad A hacia la ciudad C?

TÉCNICAS DE CONTEO2.2.1. Producto cartesiano Se utiliza para describir un espacio muestral generado por un experimento de la forma ξ1 y ξ2, que ocurre de m x n maneras diferentes.

Sea ξ1 1

Sea ξ2 2 ξ = ξ1 y ξ2 = 1 x 2

Ejemplo: Se lanza una moneda 3 veces, determinar el espacio muestral generado.Por el principio de la multiplicación, este experimento ocurre de: 2 x 2 x 2 = 8 maneras; y cada resultado es una terna ordenada.Sea ξ1 1 = C,SSea ξ2 2 = C,SSea ξ3 3 = C,S

ξ = ξ1 y ξ2 y ξ3 = 1 x 2 x 3

=(C,C,C),(C,C,S),(C,S,C),(S,C,C),(C,S,S),(S,C,S),(S,S,C),(S,S,S)

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TÉCNICAS DE CONTEO

Ejemplos: - Una persona desea adquirir un artefacto que se vende en cualquiera de 4 tiendas de la zona A de la ciudad o en cualquiera de 5 tiendas de la zona B. ¿De cuantas maneras diferentes puede adquirir el artefacto?

2.3 Principio de AdiciónEn total los dos experimentos ξ1 ó ξ2 (en el sentido excluyente) ocurrirán de m+n maneras diferentes.

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- Suponga que tiene que viajar de la ciudad A a la ciudad B, y tiene 5 empresas por vía terrestre y 3 líneas aéreas. ¿De cuántas formas diferentes puede realizar dicho viaje?

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2.4 PermutacionesSon arreglos de los elementos de un conjunto tomando en cuenta el orden en que ellos se ubican. 2.4.1 Permutaciones de los n elementos de un conjunto tomados todos

TÉCNICAS DE CONTEO

!nnP n

29

Ejemplos: - De cuantas maneras se puede presentar 5 libros de una colección que se compone de 5 libros.-De cuántas formas pueden ubicarse 6 personas en la cola de atención de la ventanilla de un banco?. ¿y si dos de ellas desean estar juntas?. ¿De cuántas formas, si tres de ellas no desean estar juntas?

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Ejemplos: −De cuántas maneras se puede presentar 4 cuadros de una colección que se compone de 12 cuadros.−Cuántos números de 4 cifras diferentes y mayores que 5000, se pueden formar con los siguientes dígitos : 1, 3, 4, 6,7 y 9.−Cuántos números de 4 cifran pueden formarse con los dígitos 0,1,.,9 si:

o Se permite las repeticiones. o No se permite las repeticiones. o El último dígito debe ser cero y no se permite las

repeticiones.

)!(!kn

nPnk -=

2.4.2 Permutaciones de n elementos tomados k

TÉCNICAS DE CONTEO

30

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2.4.3 Permutaciones con ReposiciónSi un experimento ε puede ocurrir de n maneras

diferentes y se ha de repetir k veces, entonces el numero de maneras que puede ocurrir ξ en las k repeticiones es nk.Ejemplos:

-Para un análisis estadístico se debe tomar una muestra de tamaño 3 a una población de 20 elementos. ¿cuántas muestras diferentes se podrá tomar si la selección se hace con reposición?-Con los dígitos 1, 2, 3, 4 ,5 y 6 ¿Cuántos números posibles de tres cifras se pueden formar?, si i) Cada número se usa una sola vez. ii) cada número puede usarse mas de una vez.-Se lanza una moneda 3 veces, determinar el número de elementos que tiene el espacio muestral generado.

TÉCNICAS DE CONTEO

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2.4.4 Permutaciones por gruposSi un conjunto tiene n resultados agrupados en n1, n2, …..,

nk elementos similares, entonces el numero de maneras diferentes en que pueden ser ordenados es:

!n ... !n !nn!P

k21

nn,...,n,n k21

Ejemplo: -¿Cuántas palabras diferentes pueden formarse con las letras de la palabra BIOLOGIA?-En una urna se tiene: 2 bolillas rojas, 3 bolillas verdes y 4 bolillas negras. De cuántas maneras diferentes puede agrupar dichas bolillas?

TÉCNICAS DE CONTEO

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2.5 CombinacionesSon arreglos de los elementos de un conjunto sin

tomar en cuenta el orden en que ellos se ubiquen.

k)!-(n k!n!

kn

C nk

Ejemplos: -¿Cuantos grupos de 3 alumnos se pueden formar de un total de 30 alumnos?-Si en un grupo de 9 personas se encuentran 4 administradores, 3 ingenieros y 2 economistas. Determine cuántos equipos de tres personas se pueden formar. ¿Y si el equipo debe tener una persona de cada especialidad?. ¿Y si en el equipo debe haber 2 administradores?. ¿En cuentos de estos equipos se tiene por lo menos 2 administradores?

TÉCNICAS DE CONTEO

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PROBABILIDAD

Es un número entre 0 y 1 inclusive, que mide la creencia ó “posibilidad” de ocurrencia de un evento específico, que es el resultado de un experimento.

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0P[ocurra un evento]1

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Enfoques de la probabilidadProbabilidad Clásica

Ej. Se lanza un dado “legal”. Cual es la probabilidad que el resultado sea un número par.

) n(Ωn(E)

posibles casos#Edefavoracasos#P(E)

PROBABILIDAD

2

43

5 6

1 E

5.063)( EP

Concepto de Frecuencia RelativaProbabilidad de un evento (o suceso), es la frecuencia relativa, ó (%) de veces que ocurriría el evento (o suceso) al realizar un experimento repetidas veces.

PROBABILIDADEnfoques de la probabilidad

Estudiantes según Carrera - FACEE – URP -

Facultad fj hj(%)

Administración 44944,90

%

Contabilidad 38738,70

%

Economía 16416,40

%

T o t a l 1000100,00

%nflimhlimP(E) E

nEn

Probabilidad Subjetiva• Es asignado en base a cualquier información que se

disponga.• La probabilidad refleja el grado de seguridad (creencia)

de que un evento ocurra

PROBABILIDADEnfoques de la probabilidad

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Axiomas de probabilidad

( ) 0P E ( ) 1P

( ) ( ) ( ) :P EU F P E P F si E F

4) Si E1, E2, E3, E4,...,En, es una sucesión de eventos disjuntos dos a dos, entonces:

n

i

n

i

EiPEiP11

)()(

PROBABILIDAD

3)

38

1)

2)

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Teoremas de Probabilidad

2)

0 ( ) 1P E

( ) ( ) ( ) ( )P EU F P E P F P E F

( ) 1 ( )cP E P E

( ) ( ) ( )P E F P E P E F

( ) ( )Si E F P E P F

PROBABILIDAD

3)4)5)6)

39

1)0) P(Φ

Probabilidad del Complemento

100601)(

10060100)(

AP

AP

En un salón de 100 alumnos, 60 son mayores de edad ¿Cuál es la probabilidad de escoger al azar un estudiante que no sea mayor de edad?En este caso:El experimento ξ: Seleccionar al azar un estudiante , y el evento A, es tal que: A : El estudiante seleccionado es mayor de edad

6040A

A

n(Ω)=100

4.010040)( AP

O, según el teorema:

4.010040

100601

)()(1)(1)(

n

AnAPAP

Si además en el aula hay 50 estudiantes hombres, de los que 25 son mayores de edad; ¿cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un estudiante que sea mayor de edad o mujer?

Probabilidad de la Unión

Sea el evento B: la estudiante seleccionada es una mujer

15

75.0100

75

100

155352

)n(

n(AUB)P(AUB)

A

B

35

2525

Probabilidad de la Unión

P(AB)=P(A)+P(B)–P(AB)

A

B50

60

35

75.010075

10035

10050

10060

(AUB) P

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un estudiante que no sea mayor de edad ó no sea mujer?

)(1)()( BAPBAPBAP

65.035.01)( BAP

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un estudiante que no sea ni mayor de edad ni mujer?

)(1)()( BAPBAPBAP

25.075.01)( BAP

Probabilidad con leyes de Morgan

PROBABILIDAD DE UN EVENTOESPACIOS MUESTRALES FINITOS

Sea ξ Ω=w1, w2, ........, wn y sea E ⊂ Ω, un evento de Ω P(E)= ?Pueden darse las siguientes situaciones:A. Si E está constituido por un solo elemento (Evento simple):

E = wi; i = 1, 2, ......, n.A cada evento elemental E=wi le asignamos un número real pi=Pwi, llamado probabilidad del evento wi, que satisface:

i) pi ≥ 0 ; i = 1,2, ....., n

ii)p1 + p2 + ... + pn = 1

n

1i ιp

B. Si E está constituido por k resultados (1 ≤ k ≤ n), digamos E = wj1, wj2, ........, wjk; j1. j2, .... ,jk, representa cualquier índice k de 1 á n.De modo que:P(E) = P(wj1, wj2, ........, wjk); es decir:P(E) = P(wj1wj2 ........ wjk)

P(E) = P(wj1)+P(wj2 )+ ........ +P(wjk); de donde:

P(E) = pj1+pj2+...+pjk

PROBABILIDAD DE UN EVENTOESPACIOS MUESTRALES FINITOS

n1i jip

Ejemplo: Suponga que un experimento tiene sólo 3 resultados posibles (w1, w2 y w3). Suponga además que la ocurrencia de W1 es dos veces mas probable que la de W2, la cual es tres veces mas probable que w3. Hallar pi=P(wi) ; i=1, 2, 3.En este caso:

ξ Ω = w1, w2, w3, además:p1 = 2p2 y p2 = 3p3, Pero como: p1 + p2 + p3 = 1, se tiene que: 6p3 + 3p3 + p3 = 1; de modo que:p1 = 6/10; p2 = 3/10 y p3 = 1/10

ESPACIOS MUESTRALES FINITOSPROBABILIDAD DE UN EVENTO

Suposición frecuente: Todos los resultados son igualmente probablesSea: E =wj1, wj2, ........, wjk un evento de Ωentonces ocurre que:

P(Ω) = P(w1, w2, ........, wn)=1 = P(w1)+ P(w2)+....+

P(wn)=1ó, lo que es lo mismo: p1+p2+... +pn=1Pero, si ocurre que: p1 = p2= .... = pn = p; entonces se tiene que: np = 1 es decir: p = 1/n ; i =1, 2, ..., nDe modo que: P(E) = P(wj1, wj2, ........, wjk)

= p1+p2+......+pk=kpEs decir: P(E) = k/n

PROBABILIDAD DE UN EVENTOESPACIOS MUESTRALES FINITOSResultados igualmente probables

Probabilidad CondicionalSe lanza un dado ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor de 4 SI sabemos que el número que ha salido es par?

¿Entre cuántos puntos muestrales se debe escoger?

A: obtener un número parB: obtener un número menor de 4. P(B/A)

31

2

46

AB

5

24

63

5

1A

B

y, si dividimos el numerador y denominador por n(Ω), obtenemos:

Sólo entre tres: el número de puntos del evento A

Probabilidad Condicional

31)/( ABP

)()()/(

AnABnABP

Pero:

)()(

)()()/(

APBAP

APABPABP

Probabilidad de Intersección¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par Y menor de 4?A: obtener un número parB: obtener un número menor de 4.

P(AB)

24

63

5

1A

B

3/16/36/1

)()()/(

APBAPABP

y además:

61)( BAP

Que es idéntico al resultado obtenido en el caso anterior

De lo anterior.....

P(B/A)= P(BA)P (A)

P(A/B)= P(AB)P (B )

P( AB ) = P(A)P(B/A)= P(B)P(A/B)

MULTIPLICACION DE PROBABILIDADES

Probabilidad condicionalSe llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que ocurrió B:

)()()|(

BPBAPBAP

“tam

año”

de

uno

resp

ecto

al

otro

Error muy frecuente:- No confundir probabilidad condicionada con

intersección.- En ambos medimos efectivamente la intersección,

pero…• En P(A∩B) con respecto a P(Ω)=1• En P(A|B) con respecto a P(B)

A

E espacio muestral

B

Intuir la probabilidad condicionada

B

A

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,10

B

A

¿Probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B?P(A|B)=1 P(A|B)=0,8

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,08

Intuir la probabilidad condicionada

A

B

A

B

¿Probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B?P(A|B)=0,05 P(A|B)=0

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,005

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0

Cualquier problema de probabilidad puede resolverse en teoría, mediante aplicación de los axiomas. Sin embargo, es más cómodo conocer algunas reglas de cálculo:

– P(A’) = 1 - P(A)– P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)– P(AB) = P(A) P(B|A)

= P(B) P(A|B)Probabilidad que ocurran los eventos A y B, es igual a

la probabilidad que ocurra A y que también ocurra B, sabiendo que ocurrió A.

Algunas reglas de cálculo prácticas

• Dos eventos son independientes si el que ocurra uno, no añade información sobre el otro. Es decir, la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro.

• A es independiente de B P(A|B) = P(A) P(AB) = P(A) P(B)

Independencia de eventos

• Si A y B son dos eventos independientes definidos en un mismo espacio muestral, entonces se cumple que:

i) P(A∩B) = P(A) P(B)Además, son independientes también los siguientes

eventos:ii)A y B’ P(A∩B’) = P(A) P(B’) iii)A’ y B P(A’∩B) = P(A’) P(B) iv)A’ y B’ P(A’∩B’) = P(A’) P(B’)

Ejemplo (I)

• Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a una estudiante mujer de la población de estudiantes de la FACEE-URP. El resultado está en la tabla.

• ¿Cuál es la probabilidad de que una estudiante mujer sea estudiante de Economía?– P(E)=64/1000=0,064=6,4%– Noción frecuentista de probabilidad

NO SIADMINISTRACION 189 280 469CONTABILIDAD 108 359 467ECONOMIA 6 58 64

TOTAL 303 697 1000

CLASIFICACION MAYOR DE 21 AÑOS TOTAL

Ejemplo (II)

¿Probabilidad de estudiar Contabilidad o EconomíaP(CUE)=467/1000+64/1000=0,531

Estudiar Contabilidad y estudiar Economía son eventos disjuntos Es decir: C∩E=ɸ

P(C∩E) = 0¿Probabilidad de estudiar Economía o ser mayor de 21 años?

P(EUM)=64/1000+697/1000-58/1000=0,703 Estudiar Economía y ser mayor de 21 años No son eventos

disjuntos Es decir: E∩M≠ɸ ¿Probabilidad que una mujer estudie Administración?

P(A)=469/1000=0,469P(A)=1-P(A’)=1-P(CUE) =1-0,531=0,469


TOTAL 303 697 1000


Ejemplo (III)

Si es mayor de 21 años… ¿probabilidad de estudiar economía?P(E|M)=58/697=0,098

¿Probabilidad de ser mayor de 21 años y estudiar Economía?P(M∩E) = 58/1000=0,058

Otra forma:P(M∩E)= P(M)xP(E/M)


TOTAL 303 697 1000


058,01000

58

697

58*

1000

697

Ejemplo (IV)

¿Son independientes mayor de 21 años y estudiante de Economía?Una forma:

P(E)=64/1000=0,064P(E/M)=58/697=0,098

La probabilidad de estudiar economía es mayor si ha ocurrido que la persona es mayor de 21 años. En este caso, se añade información extra, luego ¡ No son independientes!


TOTAL 303 697 1000


Otra forma:P(M∩E)=58/1000 = 0,058P(M)xP(E)=(697/1000)x(64/1000) = 0,045

La probabilidad de la intersección no es igual al producto de probabilidades, luego, ¡No son independientes!.

Sistema exhaustivo y excluyente de eventos

Son una colección de eventos:

A1, A2, A3, A4…Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.¿Recuerda cómo son los intervalos en tablas de frecuencias?

A1 A2

A3 A4

Eventoseguro

A1

A2

A3

A4

Divide y vencerás

A1 A2

A3 A4

B

Todo evento B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema.B = (B∩A1)U(B∩A2)U(B∩A3)U(B∩A4)

Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples. Es cierto, Funciona.

Eventoseguro

A1

A2

A3

A4

B

B

B

B

Teorema de la probabilidad totalA1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de eventos, entonces podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + P(B∩A3) + P(B∩A4) =P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ …

Eventoseguro

A1

A2

A3

A4

B

B

B

B

P(A1)P(A2)P(A3)

P(A4)

P(B|A1)

P(B|A2)

P(B|A3)

P(B|A4)

Ejemplo (I): En una aula, el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%.

•¿Qué porcentaje de fumadores hay?– P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)

= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2

= 0,13 13%

T. Prob. Total.Hombres y mujeres forman un sistema exhaustivo y excluyente de eventos

Estudiante

MujerNo fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,70,1

0,20,3

0,8

0,9

Las rutas a través de nodos representan intersecciones. Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

Teorema de Bayes

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de eventos, entonces……si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 ) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

P(B))AP(B /B)P(A i

i

Ejemplo (II): En esta aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.¿Qué porcentaje de fumadores hay?

P(F) = =0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,13 (Resuelto antes)Se elije a un individuo al azar y es… fumador¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

No fuma

Fuma

Estudiante

MujerNo fuma

HombreFuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

46,013,0

2,03,0)(

)|()()(

)()|(

FP

HFPHPFP

FHPFHP

tema6-introduccion a las probabilidades

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