introduccion a las probabilidades y estadisticas en gcia de proyectos

Diapositiva 1

Prof. Maxwell Martnez AquinoMTODOS CUANTITATIVOS EN GERENCIA DE PROYECTOS Postgrado en Gerencia de Proyectos

Prof. Maxwell Martnez AquinoMtodos cuantitativos en Gerencia de Proyectos AGENDABienvenida/Presentacin.Horario.Textos a utilizar.Evaluaciones.Contenido del curso.Postgrado en Gerencia de Proyectos

Mtodos cuantitativos en Gerencia de Proyectos TEXTOS

GOODPASTURE, John C. Quantitative Methods in Project Management. ISBN 1-932159-15-0.NEWBOLD P., CARLSON W., THORNE B. Estadstica para Administracin y Economa. Editorial Pearson Prentice Hall. 6ta edicin.LOPEZ CASUSO, R. Introduccin al Clculo de Probabilidades e Inferencia Estadstica. Publicaciones U.C.A.B. 2006.WESTON, F.J., BRIGHAN, E.F. Fundamentos de administracin financiera. Edit. Mc Graw Hill.VAN HORNE, James C. (1986). Fundamentos de administracin financiera. Edit. Prentice Hall.Postgrado en Gerencia de Proyectos

Prof. Maxwell Martnez Aquino

Prof. Maxwell Martnez AquinoMtodos cuantitativos en Gerencia de Proyectos Contenido del ProgramaCaptulo I: Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos. Captulo II: Finanzas para Proyectos.Captulo III: Mtodos cuantitativos en Contratos de Proyectos.Postgrado en Gerencia de Proyectos


Probabilidad. Variables aleatorias y sus funciones en los proyectos. Distribuciones de probabilidad para gerencia de proyectos. Estadsticos claves usados en proyectos. La aritmtica de operaciones con Estadsticos y Variables aleatorias. Estadstica de la Distribucin de Probabilidades. El Teorema del Lmite Central y la Ley de los Grandes Nmeros. Intervalos de confianza y Lmites para proyectos. Covarianza y Correlaciones en proyectos. Captulo I: Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos

Postgrado en Gerencia de ProyectosMtodos cuantitativos en Gerencia de Proyectos


ProbabilidadCaptulo I: Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos



Postgrado en Gerencia de ProyectosMtodos cuantitativos en Gerencia de Proyectos Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos

No hay hechos ciertos sobre el futuro.

Todos los Proyectos son nicos Recursos disponibles, mbito de desarrollo, Actividades a ejecutar, Tiempo de ejecucin y sobre estos no hay certeza (Incertidumbre, Azar) Riesgos.

El xito de un Proyecto depende de Manejo de la incertidumbre (Riesgo) Gerencia del Riesgo Probabilidad y Estadstica.

Objetivo: Determinar la Probabilidad de que ocurran sucesos futuros, reduciendo en gran medida el riesgo al momento de tomar decisiones y logrando que estas sean mas eficientes.

Prof. Maxwell Martnez AquinoProbabilidad

Postgrado en Gerencia de ProyectosMtodos cuantitativos en Gerencia de Proyectos Probabilidadque significa? La Probabilidad es la verosimilitud o certeza numrica de que ocurra un evento (o grupo de eventos) y se mide en valores entre 0 y 1 (y a veces se expresa en valores entre 0% y 100%).

Mientras mas probable es que ocurra el suceso o evento, mas prxima a 1 ser la probabilidad que se le asigne:

Prof. Maxwell Martnez AquinoCaptulo I: Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos

Probabilidad

Postgrado en Gerencia de ProyectosMtodos cuantitativos en Gerencia de Proyectos Ya que no es posible predecir el resultado exacto de un evento entonces debemos evaluar todos los posibles resultados.

Probabilidadque significa?

Realizar Inversiones (Proyectos) Comercializar un nuevo producto (Ventas) Reponer inventarios (Compras) Otorgar crditos (Solvencia) Realizar Presupuestos (Costos) Evaluar ejecucin de tareas (Tiempos) Evaluar resultados (Calidad)Eventos aleatoriosProf. Maxwell Martnez AquinoCaptulo I: Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos

Probabilidad

Prof. Maxwell Martnez AquinoPostgrado en Gerencia de ProyectosMtodos cuantitativos en Gerencia de Proyectos

Ejplo: Probabilidad de que al lanzar un dado salga un nmero par:

Clculo de ProbabilidadesLa probabilidad de un suceso A se calcula como el cociente entre el nmero de casos favorables (evaluados) y todos los casos posibles:

Ejplo: Probabilidad de que al lanzar un dado salga el nmero 2:

Cuando el nmero de casos posibles en infinito, se acostumbra repetir el experimento un nmero elevado de veces.Captulo I: Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos

Probabilidad


Ejplo: Probabilidad de obtener 7 puntos al lanzar dos dados:

Frecuencia RelativaLa probabilidad de un suceso A se asocia al concepto de Frecuencia Relativa la cual se calcula como el cociente entre el nmero de veces que se observa un evento A y todos los casos posibles observados (poblacin o espacio muestral M):

Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos

Probabilidad


Frecuencia RelativaEjemplo. Para estimar la duracin de la actividad de preparado del terreno y armado de la estructura metlica de la base, para la construccin de un galpn de 800 m2, se tiene como referencia los tiempos reales de los ltimos 20 galpones construidos de acuerdo a la tabla. Calcule los niveles de probabilidad para cada posible duracin.


Probabilidad


El espacio (1-p). Para el estudio de la probabilidad de sucesos o eventos, se deben establecer las consideraciones para su uso:* Si P es la probabilidad de ocurrencia de un evento A, 1-P es la probabilidad de ocurrencia de todos los otros posibles eventos B, C, D,...

* La Probabilidad de ocurrencia de un evento siempre tendr valores que oscilen entre 0 y 1.* Si P es la probabilidad de ocurrencia de un evento, 1-P es la probabilidad de que el mismo no ocurra.


Probabilidad


Probabilidad subjetiva.Cuando se utilizan los conceptos de probabilidad para la toma de decisiones, es necesario conocer la fuente de los datos que se manejan.La Probabilidad subjetiva es el grado en que una persona cree que ocurrir un evento; depende de la informacin que tenga la persona y del modo en la que la interpreta. No se basan en experimentos ni en estudios de las poblaciones. En muchos casos es denominada el Juicio de expertos.Ejemplos de este tipo de Probabilidad subjetiva son:* La probabilidad de que llueva hoy es de 30%.* La probabilidad de que suba el precio de una accin para la prxima semana es de 0,5.Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos

Probabilidad

Variables aleatorias y su funcin en los proyectosCaptulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos




Variable aleatoria.

Es una caracterstica o medida cuyos valores se deben al azar. Puede tomar diferentes valores (dentro de un rango de valores posibles) con diferentes probabilidades cada uno.

En el campo de los Proyectos, por ejemplo:.- la duracin o tiempo de una actividad, y.- el nivel de costoson variables aleatorias que requieren de atencin y evaluacin para la administracin efectiva de los proyectos, ya que el azar representa un riesgo asociado. Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosVariables aleatorias y su funcin en los proyectos


Variable aleatoria Continua.Es aquella que puede tomar cualquier valor (infinitos) dentro de un rango de valores. Ejemplo: Peso de un producto, Duracin de una actividad, Costo final de una actividad, etc.

Variable aleatoria Discreta.Es aquella que solo puede tomar un nmero limitado de valores dentro de un rango definido. Ejemplo: Nmero de unidades vendidas, Nmero de trabajadores contratados, Nmero de piezas defectuosas, etc.Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosVariables aleatorias y su funcin en los proyectos


Funcin de Probabilidad f(x).Cuando administramos proyectos, actividades, empresas o cualquier otro evento donde el resultado dependa del azar, debemos evaluar las probabilidades de los distintos resultados que podamos obtener. Por ejemplo:

.- la duracin o tiempo de una actividad puede oscilar entre 45 y 60 das, dependiendo de las condiciones ambientales, pericia y asistencia del personal, disponibilidad de equipos y materiales, etc..- el nivel de costo de un material puede oscilar entre 1.200 y 1.400 dlares/tonelada dependiendo del proveedor, da de entrega, etc..- el nivel de ventas y el precio del producto a fabricar puede oscilar entre distintos valores dependiendo de la poca del ao, la situacin econmica, etc.Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosVariables aleatorias y su funcin en los proyectos


Funcin de Probabilidad f(x). Para evaluar las probabilidades de estos distintos resultados que podamos obtener, se utiliza la Funcin de Probabilidad (Distribucin de Probabilidad) asociada a la variable a estudiar.

La Funcin de Probabilidad es una representacin de todos los resultados o eventos posibles de un experimento y de la probabilidad asociada a cada uno de los posibles resultados.

Es aquella funcin f(x) que mide la probabilidad de que la variable X tome un valor determinado.Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosVariables aleatorias y su funcin en los proyectos


Funcin de Probabilidad f(x).

Se presenta normalmente en forma de tabla, de un grfico o de una frmula.Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosVariables aleatorias y su funcin en los proyectos


Funcin de Probabilidad Discreta.Es aquella en la cual la variable aleatoria X slo puede tomar solamente un nmero de valores concreto y finito dentro del rango establecido y a cada valor le corresponde su probabilidad de ocurrencia.Ejemplo: nmero de vehculos ensamblados por da.

Funcin de Probabilidad Continua.Es aquella en la cual la variable aleatoria X puede tomar un nmero de valores infinito dentro del rango establecido (si el instrumento utilizado para medirlo lo permite). A cada valor le corresponde su probabilidad de ocurrencia.Ejemplo: volumen a vaciar de concreto. Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosVariables aleatorias y su funcin en los proyectos


Funcin de Probabilidad Acumulada F(x). (Funcin de Distribucin).En el manejo de algunas variables en proyectos, es mas til saber que probabilidad de que un evento se de entre dos valores especficos en lugar de un solo valor en particular.La Funcin de Distribucin es aquella funcin F(x) que mide la probabilidad de que la variable X tome un valor igual o menor a un nmero determinado, esto es, la Probabilidad Acumulada.Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosVariables aleatorias y su funcin en los proyectos

Para variables contnuasPara variables discretas


Funcin de Probabilidad.

Ejemplo: Probabilidad de lanzar una moneda tres veces y obtener cara.

Posibles resultados:(1er, 2do y 3er lanzamiento)

ninguna caraSSS, una caraCSS, SCS, SSCdos carasCCS, CSC, SCCtres carasCCC

Total de eventos posibles = 8Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosVariables aleatorias y su funcin en los proyectos



Ejemplo: Probabilidad de lanzar una moneda tres veces y obtener cara (continuacin)Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosVariables aleatorias y su funcin en los proyectos



Ejemplo: Probabilidad de lanzar una moneda tres veces y obtener cara (continuacin)Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosVariables aleatorias y su funcin en los proyectos


Cmo seran los grficos de probabilidad y probabilidad acumulada?Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosVariables aleatorias y su funcin en los proyectosDuracin de la ActividadProbabilidadProbabilidad acumulada3 das5 das7 das10 das12 das0,100,300,400,150,050,100,400,800,951,00Funcin de Probabilidad.Ejemplo: Duracin del armado de la estructura metlica de la base del equipo de produccin A.

Distribuciones de probabilidadparagerencia de proyectosCaptulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos




Distribucin uniforme.

Es una distribucin continua en donde las probabilidades f(x) de ocurrencia de todos los posibles resultados entre a y b son las mismas, es decir, tienen la misma oportunidad de ocurrir.Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDistribuciones de probabilidad para gerencia de proyectos

Probabilidad acumuladaProbabilidad de un punto


Distribucin uniforme. Ejemplo: Para realizar la actividad de preparacin y vaciado de una placa de concreto, se sabe que el tiempo (medido en horas) se ajusta a una Distribucin uniforme, siendo el nmero mnimo de horas requeridas de 32 horas y el mximo de 80 horas. Determine:a) La Probabilidad de que el trabajo se realice exactamente en 40 horas. Grafique lo solicitado en la curva de probabilidad correspondiente.b) Si se realiza la contratacin de una cuadrilla temporal de personal, cual es la probabilidad de realizar el trabajo entre 50 y 60 horas. Grafique lo solicitado en una curva de probabilidad correspondiente.Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDistribuciones de probabilidad para gerencia de proyectos


Distribucin Triangular.

Se utiliza normalmente como una descripcin subjetiva de una poblacin en la que slo hay datos limitados de la muestra, y sobre todo en los casos en que la relacin entre las variables se conoce, pero los datos son escasos (posiblemente debido al alto costo de la recoleccin).

Se basa en el conocimiento de la cantidad o valor mximo (optimista), la cantidad o valor mnimo (pesimista) y una "conjetura" sobre la cantidad o valor moda (mas probable).

Es ampliamente utilizada en la gestin de proyectos (como una entrada en PERT y en el mtodo del camino crtico CPM), para los eventos del modelo que tienen lugar dentro de un intervalo definido por un valor mnimo y un valor mximo.Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDistribuciones de probabilidad para gerencia de proyectos


Distribucin Triangular. Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDistribuciones de probabilidad para gerencia de proyectos

xf(x)cba

Probabilidad acumuladaProbabilidad de un punto


Distribucin Triangular.

Ejemplo:

El tiempo de secado de un vaciado de concreto sigue una Distribucin triangular, siendo el nmero mnimo de das requerido de 8, mximo de 15 y moda de 9. Determine:a) La Probabilidad de que el secado est listo en un perodo mximo de 10 das.b) La Probabilidad de que el secado est listo en un perodo entre 10 y 12 das. Grafique lo solicitado en la curva de probabilidad correspondiente.Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDistribuciones de probabilidad para gerencia de proyectos


Distribucin Normal.

Es aquella cuya Funcin de Probabilidad fx tiene una grfica en forma de campana y sus caractersticas principales son:.- es asinttica al eje de las x. Tiende a cero al alejarse de los extremos..- su valor mximo est en x=, es decir f() mximo (mxima probabilidad o valor ms probable).- es simtrica alrededor de .Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDistribuciones de probabilidad para gerencia de proyectos


Cualquier variable X de distribucin normal se puede convertir a la forma estndar Z , (variable tipificada). Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDistribuciones de probabilidad para gerencia de proyectos

Distribucin Normal.

Propiedades La variable aleatoria Z , conocida como variable normal tipificada producto de una variable aleatoria independiente X de distribucin normal, es igualmente una variable aleatoria normal de media igual a cero (=0) y desviacin tipica uno (=1):


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDistribuciones de probabilidad para gerencia de proyectosDistribucin Normal.

Ejemplo

A fin de optimizar los tiempos y los costos de la construccin de locales, se realiza un estudio de los tiempos de duracin de la preparacin de las mezclas. Se determin que esta variable sigue una curva normal de media 20 (=20) y varianza 9 (2=9). x~N(20,9)

Determine:.- La probabilidad de que una preparacin dure entre 25 y 27 das..- La probabilidad de que un preparacin dure 23 das o menos..- La probabilidad de que un preparacin dure 21,95 das o mas..- La probabilidad de que un preparacin dure 19 das o menos..- El Tiempo x o menor que garantice una probabilidad de 67%.


Distribucin X2 de Pearson .

Se obtiene en una variable u producto de la suma del cuadrado de varias variables y de distribucin normal, siendo estas obtenidas al estandarizar (tipificar) variables x de distribucin normal:

X1, X2, Xn con medias 1, 2, n y varianzas 21, 22, 2ny1, y2, yn con medias 1 n cero y varianzas 21 2n uno

Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDistribuciones de probabilidad para gerencia de proyectos



La variable u sigue una distribucin X2 (ji-cuadrado) con n grados de libertad. Los grados de libertad indican el nmero de variables independientes y cuyos cuadrados se suman. Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDistribuciones de probabilidad para gerencia de proyectos



Ejemplo

El tiempo (u) de entrega de material de una empresa, se distribuye de acuerdo a una distribucin X2 con 10 grados de libertad. Determine la probabilidad de que una entrega sea atendido en 3,94 das o menos.

Si el tiempo se distribuye como X2 con 24 grados de libertad, determine la probabilidad de que una entrega requiera para ser atendida de 28,2 minutos o mas.

Si el tiempo se distribuye como X2 con 16 grados de libertad, determine la probabilidad de que una entrega sea atendida en un lapso entre 6,91 hasta 11,91 minutosCaptulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDistribuciones de probabilidad para gerencia de proyectos


Distribucin t-Student. Es aquella que se obtiene al dividir una variable aleatoria x de distribucin normal tipificada entre una variable u distribuda como ji-cuadrado con n grados de libertad, independientes entre ellas:

X con media y varianza 2 distribuda normalmenteu con n grados de libertad distribuda como ji-cuadradoCaptulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDistribuciones de probabilidad para gerencia de proyectos


Distribucin t-Student. t sigue una distribucin t-student con n grados de libertad (los grados correspondientes a la variable ji-cuadrado).Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDistribuciones de probabilidad para gerencia de proyectos


Distribucin t-Student.

Ejemplo El rendimiento (t) de una inversin de una empresa ABC se distribuye de acuerdo a una distribucin t-student con 11 grados de libertad. Determine la probabilidad de obtener un rendimiento de 1,363% o menos (inclusive prdidas) si se realiza la inversin.

Si el rendimiento se distribuye como t con 13 grados de libertad, determine la probabilidad de obtener ganancias o inclusive una prdida de hasta 0,694% con la inversin (-0,694%).

Si el rendimiento se distribuye como t con 25 grados de libertad, determine la probabilidad de obtener una prdida de 2,06% o una prdida mayor con la inversin (-2,06%).Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDistribuciones de probabilidad para gerencia de proyectos

Estadsticos claves usados en proyectosCaptulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos




Los datos y los mtodos estadsticos que se disponen en muchas ramas de aplicacin, la cual comprende la gerencia de proyectos, son de suma importancia para la administracin de los todos los distintos procesos.

En el rea de los proyectos, estos servirn para estimar, proyectar, medir avances, asignar costos y valores agregados, cuantificar riesgos y medir cualquier factor que sea requerido.

Los mtodos estadsticos proveen parte de las herramientas que son requeridas para la Toma de decisiones.Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEstadsticos claves usados en proyectos


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEstadsticos claves usados en proyectosMedia aritmtica (promedio).

Es un indicador estadstico que se utiliza para obtener un valor representativo cuando se trabaja con variables aleatorias.Ejemplo: La duracin de una Actividad A (en das) en los ltimos ocho proyectos ejecutados fue la siguiente:

( Para una Muestra )( Para la Poblacin ) n , N : numero de datos Xi : datos ( 1, 2, 3, ... i )


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEstadsticos claves usados en proyectosValor Esperado.

Sin embargo, cuando los posibles valores de la variable tienen diferente probabilidad de que se den, entonces el indicador estadstico que se utiliza para obtener un valor representativo es el Valor Esperado.Ejemplo: La duracin de una Actividad A es de 8 das con una probabilidad de 0,35 o de y 5 das con una probabilidad de 0,65Cual es el Tiempo esperado para el prximo proyecto?( Para una Muestra )( Para la Poblacin ) n , N : numero de datos Xi : datos ( 1, 2, 3, ... i )


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEstadsticos claves usados en proyectosValor Esperado. Ejemplo: El Costo total de una tarea (en BsFx1000) en tres diferentes equipos de trabajo ha tenido el valor que se muestra en la tabla. Calcule el Valor Esperado de cada equipo para el prximo proyecto a ejecutar.ProyectoEquipo AEquipo BEquipo CProyecto 120,2520,5020,10Proyecto 230,2530,2530,15Proyecto 340,2540,1540,25Proyecto 450,2550,1050,50


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEstadsticos claves usados en proyectosMediana (Me).

Es el valor que ocupa la posicin del centro cuando se ordenan los datos de mayor a menor (o viceversa). Cuando el nmero de datos es par, se suman los dos datos centrales y se divide entre 2.La Mediana permite separar el grupo en dos partes iguales: los valores mas altos y los valores mas bajos.Ejemplo: Ingresos mensuales por ventas (en BsF x 1000) en cada mes de febrero. 5 , 8 , 8 , 11 , 11 , 11 , 14 , 16


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEstadsticos claves usados en proyectosModa (Mo).

Es el valor que mas se repite en un grupo de datos.Si hay un solo valor con mayor frecuencia se dice que la distribucin es unimodal , bimodal para 2 valores , multimodal para mas de 2. La Moda permite ver el valor (o valores) que mas sobresale en el grupo (Muestra o Poblacin), eso es, el valor mas probable.Ejemplo: Ingresos mensuales por ventas (en BsF x 1000) en cada mes de febrero. 5 , 8 , 8 , 11 , 11 , 11 , 14 , 16


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEstadsticos claves usados en proyectosModa.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEstadsticos claves usados en proyectosRelacion entre media - mediana modaPermiten conocer la forma de la curva en cuanto a su simetra, esto es, hacia que extremo tiende a estar la mayora de los datos.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEstadsticos claves usados en proyectos Desviacin estndarEs la medida de desviacin mas usada. Se calcula al obtener la raz cuadrada de la varianza.

( Para una Muestra ) ( Para la Poblacin )

( Para una Muestra ) ( Para la Poblacin )

Varianza Permite medir la variabilidad o grado de dispersin de una variable.

Estadstica de la Distribucin de Probabilidades. Aproximacin estimada a tres puntosCaptulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos




Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEstadsticos claves usados en proyectosSumando y restando la Desviacin estndar a la media de los datos (poblacin o muestra), se obtienen rangos (intervalos) que cubren un determinado porcentaje o probabilidad de los datos.

Usos de la Desviacin estndar

La Desviacin estndar tiene entre sus usos ms importantes el de permitir definir rangos de la variable con probabilidades especficas, para distribuciones simtricas.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEstadsticos claves usados en proyectosDetermine los diferentes intervalos de 68,3%, 95,5% y 99,7% de probabilidad utilizando la Desviacin estndar.Equipo CPlaca 1150,10Placa 2180,33Placa 3200,41Placa 4210,16Ejemplo: Calcular la Varianza y Desviacin estndar para los siguientes datos de Tiempo de fraguado de una placa de concreto (en das):

La aritmtica de operaciones con Estadsticos y Variables aleatoriasCaptulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos




Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosLa aritmtica de operaciones con Estadsticos y Variables aleatoriasCuando se requiere hacer operaciones aritmticas, el clculo con variables aleatorias puede realizarse (en la mayora de los casos) tal cual se realizan con las variables determinsticas.

Por consiguiente se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir variables de tipo aleatorio.

Por ejemplo, podemos definir nuevas variables aleatorias Z=X+Y o W=X2.

Igualmente podemos transformar una variable aleatoria en una variable determinstica mediante el uso del Valor Esperado.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosOperaciones AritmticasCondicionesVariable aleatoriaSiFuncin de probabilidadSiCuando las variables aleatorias son dependientes, las funcin de probabilidad resultante suele afectarse.Funcin de probabilidadacumuladaValor esperado, MediaSiVarianzaSi

Cuando las variables aleatorias son dependientes, se suele calcular la Covarianza.Desviacin estndarNoDebe sumarse primero las Varianzas y luego calcular la raz cuadradaModa, MedianaNo

Se deben determinar una vez combinadas las variables.La aritmtica de operaciones en Estadstica y Variables aleatorias


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosAsignacin#1) El Departamento de compra de la empresa donde usted labora est realizando el presupuesto para la adquisicin de un material a utilizarse en un proyecto a ejecutarse para el ao siguiente. Se sabe que el consumo habitual de dicho material sigue una Distribucin Normal con media 120 toneladas y una varianza de 16 toneladas. Determine:a. Si se compra la cantidad de 125 toneladas, cual es la probabilidad de que no se pueda cubrir el requerimiento del proyecto. Grafique lo solicitado en una curva de probabilidad.b. Cuantas toneladas deberan comprarse a fin de garantizar que se cumpla al menos con un 95,05% de certeza con el requerimiento del proyecto. Grafique lo solicitado en una curva de probabilidad.c. Si se realiza un convenio con un proveedor para el suministro del material y se acuerda una cuota mnima de 110 toneladas y una cuota mxima de 128 toneladas, cual es la probabilidad de que falte o sobre material en el proyecto. Grafique lo solicitado en una curva de probabilidad.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosAsignacin#2) A fin de realizar la evaluacin econmica de un Proyecto de una empresa, se deben evaluar algunas de las premisas que se van a utilizar en la preparacin de dicha evaluacin. Las tres principales premisas a evaluar son las que se muestran en la tabla, con sus respectivas Distribuciones de Probabilidad. a) Determine la Probabilidad de que las Ventas se ubiquen entre 125 y 175 MMBsF. Grafique lo solicitado en la correspondiente curva de probabilidad.b) Para determinar el ingreso que se genere por las acciones en dlares que tiene colocada la empresa, determine el Rendimiento "k" de manera que P( k Rendimiento 3,5) sea de 0,1467. Grafique lo solicitado en la correspondiente curva de probabilidad.c) Determine la Probabilidad de que el Consumo de Materia Prima se ubique entre 5,23 y 14,85 toneladas. Grafique lo solicitado en la correspondiente curva de probabilidad.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosAsignacin#3) Para una Actividad A de un proyecto a ejecutarse para el prximo semestre, se requiere determinar el Tiempo de ejecucin de la misma. Para ello se cuenta con los tiempos de referencia de los ltimos 12 proyectos, cuyo Tiempo de ejecucin se muestran en la tabla.

a) Determine un intervalo central de Tiempo de ejecucin (mnimo y mximo) con un nivel de certeza de 95,5%. Grafique la curva de probabilidad tipo indicando todos los parmetros correspondientes.

El Teorema del Lmite Central y laLey de los Grandes NmerosCaptulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos




Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosLa ley de los grandes nmeros

Tambin llamada ley del azar, establece que al repetir un experimento aleatorio un nmero grande de veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental (resultado) tiende a aproximarse a un nmero fijo, llamado probabilidad.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosAs mismo, la Ley de los Grandes Nmeros establece que el promedio de una Muestra Estadstica conformada por un gran nmero de elementos, tender a estar ms cerca de la Media () de la Poblacin completa estudiada.La ley de los grandes nmeros


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEstimadores de Mxima Verosimilitud

Para poder realizar clculos de las probabilidades de la variables que estamos manejando en los proyectos, es necesario conocer los parmetros de la poblacin, lo cual generalmente es imposible ya que solo contamos con una muestra de todos los posibles valores de la poblacin. Sin embargo, basados en la Ley de los Grandes Nmeros, se puede hacer uso de los Estimadores de Mxima Verosimilitud, con los cuales podemos estimar los parmetros de la poblacin.Muestra- EstimadorPoblacin - Parmetros


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEstimadores de Mxima Verosimilitud

El mejor estimador del parmetro de la poblacin es aquel estimador que se acerque mas al valor real del parmetro. El Estimador Mximo Verosmil garantiza esta condicin ya que cumple con una serie de propiedades:

- Insesgado: su sesgo es cero, esto es, cuando el valor esperado del estimador es igual al parmetro de la poblacin que se est estimando.

- Eficientes: el riesgo (Error Cuadrtico Medio) del Estimador1 (mejor estimador) es menor que el riesgo de un Estimador2, (o cualquier otro estimador).

- Consistente: a medida que aumenta el tamao de la muestra n, el Estimador se va aproximando al parmetro de la poblacin.

- Suficiente: usa toda la informacin sobre el parmetro que est contenida en la muestra.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEstimadores de Mxima Verosimilitud: Media y Varianza muestral.

Siendo X1, X2,Xn una muestra aleatoria de tamao n, obtenida de una poblacin con funcin de probabilidad f(x) con media y varianza 2 , la Media muestral es la media aritmtica de los elementos de la muestra, siendo la Media muestral una variable aleatoria.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEn este calculo no se utiliza la probabilidad de cada valor, sin embargo, la Ley de los Grandes Nmeros establece que el Promedio y la Varianza de una Muestra Estadstica conformada por un gran nmero de elementos, tender a estar ms cerca de la Media y de la Varianza de la Poblacin completa estudiada.

La Varianza muestral viene dada por:Estimadores de Mxima Verosimilitud: Media y Varianza muestral.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosTeorema del Lmite Central

En muchos casos, cuando trabajamos con proyectos, no conocemos las funciones de probabilidad de las variables que estamos trabajando.

No obstante, basndonos en el Teorema de Lmite Central, podemos ajustar las variables a un funcin de Distribucin Normal.

Tanto las Medias muestrales, como las sumas para obtener los Costos totales o los Tiempos totales u otra variable que se requiera totalizar, pueden ser ajustadas a la distribucin normal y realizar los clculos de probabilidad requeridos.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosTeorema del Lmite Central

Si X1, X2, X3,,Xn son variables aleatorias independientes, cuyas funciones de probabilidad no son conocidas, con media i y varianza 2i estimados a travs de la Media y Varianza muestral:

La suma Sn de las variables X es una variable aleatoria con media y varianza 2 .

La variables Sn tiende a distribuirse normalmente.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEjemplo. El Departamento de proyectos de la empresa donde usted labora est realizando el presupuesto para un proyecto a ejecutarse para el ao siguiente. Se determin que el Costo Total del proyecto corresponde al total de los 16 componentes que se muestran en la tabla, los cuales fueron calculados en base a los datos de los ltimos proyectos ejecutados y representados por el promedio y la varianza muestral de cada Componente del Costo. Determine:a) La Probabilidad de que el Costo Total se ubique en BsF. 530 millones o menos en un mes cualquiera. Grafique y represente el rea solicitada en una curva de probabilidad para el Costo Total.b) La Probabilidad de que el Costo Total se ubique entre BsF. 535 y 565 millones. Grafique y represente el rea solicitada en una curva de probabilidad para el Costo Total.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEjemplo.

Para preparar el Presupuesto de un Proyecto, se debe realizar la determinacin del Impuesto Total que debe pagar una empresa durante el ejercicio fiscal.

Para calcular el Impuesto Total, se deben sumar:

el Impuesto sobre la renta cuya media es 15% y su varianza 2%, mas el Impuesto al Valor Agregado cuya media es 12% y su varianza 1%, mas el Impuesto a los Activos empresariales cuya media es 7% y su varianza 2%, mas el aporte al Seguro Social Obligatorio cuya media es 3% y su varianza 1%, mas el aporte por Poltica Habitacional cuya media es 4% y su varianza 1%.

1) Determine la probabilidad de que el Impuesto Total sea de 35,415% o menos. Grafique lo solicitado en la curva de probabilidad correspondiente.2) Determine la probabilidad de que el Impuesto Total sea de 45,975% o mas. Grafique lo solicitado en la curva de probabilidad correspondiente.2) Determine la probabilidad de que el Impuesto Total se ubique entre 36,87% y 46,16%. Grafique lo solicitado en la curva de probabilidad correspondiente.



A fin de evaluar los proyectos de inversin de plantas industriales, se debe considerar el Costo de Capital, esto es, lo que le cuesta el obtener sus fondos de capital de las diferentes fuentes. Para determinar el Costo de Capital de una determinada empresa, se suma el costo de las diferentes fuentes u orgenes de dicho capital, siendo estas:

- Costo de Deuda nueva con media de 15% y varianza 2%- Costo de Deuda despus de impuesto con media de 12% y varianza 1%- Costo de acciones preferentes con media de 7% y varianza 2%- Costo de las utilidades retenidas cuya media es 3% y varianza 1%Costo de nuevas acciones comunes cuya media es 4% y su varianza 1%.

a) Determine la probabilidad de que el Costo de Capital sea de 35,415% o menos. Grafique lo solicitado en la curva de probabilidad correspondiente.b) Determine la probabilidad de que el Costo de Capital sea de 45,975% o mas. Grafique lo solicitado en la curva de probabilidad correspondiente.c) Determine la probabilidad de que el Costo de Capital se ubique entre 36,87% y 46,16%. Grafique lo solicitado en la curva de probabilidad correspondiente.

Intervalos de Confianza y Lmites para proyectos Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos




Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosIntervalos de Confianza

Cuando utilizamos el trmino Estimacin por Intervalos estamos definiendo un Rango (valor mximo y valor mnimo, o valor optimista y valor pesimista) dentro del cual estimamos que se ubique el Parmetro del Proyecto que se busca establecer (costo, tiempo, recurso, etc.).

El Intervalo de Confianza para el parmetro desconocido est determinado por el rango:

donde la probabilidad de que el valor del parmetro est dentro del Rango, es 1-.

El valor 100 x (1- )% se conoce como Coeficiente de Confianza.



Un Intervalo con un determinado Coeficiente de Confianza 100x(1-)% y un tamao de muestra n, es ms preciso que cualquier otro intervalo si es simtrico alrededor del estimador.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDonde t corresponde a una t-student con n-1 grados de libertad. (n corresponde al tamao de la muestra)

Intervalos de Confianza

La Media Muestral es una variable aleatoria que sigue una curva normal.

En la mayora de los casos se desconocen tanto la media como la varianza 2 de la poblacin. Pero se cumple que el Intervalo para la media de la poblacin es:


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEjemplo. Para una Actividad A se debe estimar los Tiempos de duracin optimista y pesimista. Encuentre un Intervalo de Confianza del 80% para el Tiempo de la Actividad A, sabiendo que su varianza 2 es desconocida, partiendo de una muestra de 8 elementos que arrojaron los siguientes resultados medidos en semanas:

9, 14, 10, 12, 7, 13, 11 y 12

Y el Intervalo para la duracin de la Actividad es:



Para muestras grandes (mayores a 31) la distribucin t-student tiende a aproximarse a la distribucin normal y no conocindose la varianza de la poblacin, el Intervalo para la Media Muestral es:


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEjemplo. Se desea estimar el Costo de un Actividad de la cual no se conoce su varianza. Se toma una muestra de 65 elementos arrojando una media muestral de 30 millones y una varianza muestral de 9. Halle el intervalo con un nivel de confianza para el 99%.Y el Intervalo para el Costo de la Actividad es:



Usted debe realizar la evaluacin econmica de un Proyecto de la empresa para el prximo ao. Para ello debe proyectar como seran las Ventas en dicho perodo.

Decide tomar una muestra de las ventas de 12 meses cuyos datos se observan en la tabla. Asumiendo que no se conoce la varianza de las ventas (poblacin):Determine con un nivel de confianza de 80% el intervalo para las ventas estimadas.



Se requiere hacer un estudio de mercado de una poblacin que permita evaluar los ingresos estimados de un proyecto a desarrollar. Para ello se busca conocer el monto promedio mensual por persona de su Gasto en vestido y calzado.

Para dicha poblacin se decide realizar un estudio para calcular la media, utilizando en este caso un intervalo para el mismo. Para ello se toma una muestra diferente de 10 datos tal como se muestra en la tabla. Determine:

a) El Intervalo en el cual usted ubicara la Media de la poblacin, con un Nivel de confianza de 95%. Grafique lo solicitado en una curva de probabilidad.



Usted est evaluando un proyecto para la construccin de un nuevo puente sobre el ro, por lo que debe evaluar la Tasa de Inflacin a utilizar para la estimacin de costos futuros.Para ello debe estimar la media de la Tasa de Inflacin, calculando en este caso un intervalo para dicha tasa.

Usted toma una muestra de la Tasa de Inflacin de los ltimos aos tal como se muestran en la tabla. Determine:

a) El Intervalo en el cual usted ubicara la Media de la Tasa de Inflacin, con un Nivel de confianza de 98%. Grafique lo solicitado en una curva de probabilidad.



A nivel macroeconmico, una de las relaciones que se analizan de sus variables se hace utilizando la Ley de Okun, la cual permite contar con variables que sirvan para la evaluacin de proyectos a escala nacional. Dicha Ley establece que el Crecimiento del Producto Interno Bruto (PIB) de una economa depende de la Tasa de Desempleo que dicha economa presente.

En la siguiente tabla se muestran los datos de una muestra de la Tasa de Desempleo y de la rata de Crecimiento del PIB para cierta economa de un pas A en los ltimos 13 aos.

Determine el Intervalo para la Tasa de Desempleo y para el Crecimiento del Producto Interno Bruto (PIB) con un nivel de 80% de confianza, de acuerdo a los datos presentados en la muestra. Dibuje las Curvas de Probabilidad respectivas.

Covarianza y Correlacin en proyectosCaptulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos




Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosCovarianza y Correlacin en proyectos

Muchas de las variables que definen un proyecto estn de cierto modo relacionadas; esto es, si una de ellas sube o se incrementa, la otra variable tambin lo hace.

Por ejemplo, la Duracin de una actividad est relacionada con su Costo. Si la actividad Dura ms de lo previsto, su Costo final tambin se ver incrementado.

Inclusive, si las variables tienen un alto grado de dependencia, podr entonces utilizarse una de ellas para proyectar o estimar el valor final de la otra variable.

Esta evaluacin se realiza mediante el Anlisis de Correlacin.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDiagrama de dispersin (1er paso: anlisis grfico)

Permite observar de una manera grfica la relacin que existe entre dos variables ( X - Y ).

Se representan en el eje cartesiano, colocando en el eje x a la variable independiente y en el eje y a la variable dependiente.

Se dibuja un punto por cada par de datos que se obtenga.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDiagrama de dispersin (1er paso: nlisis grfico)

Tipos de relacin

Lineal positiva: Aumenta la variable dependiente al aumentar la variable independiente.

Lineal negativa: Disminuye la variable dependiente al aumentar la variable independiente.

Sin relacin: No se observa relacin entre las variables.

Relacin no lineal: Se observa relacin entre las variables, pero no de tipo lineal.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosLa Covarianza(2do paso:comprobacin numrica)

Es una medida numrica de la asociacin lineal entre dos variables (X y Y), resumiendo la informacin del Diagrama de dispersin.

Ejemplo: Costo versus DuracinLa covarianza es cero (o cercano) si no hay relacin entre las variables o la relacin no es lineal.

La covarianza es mayor que cero si hay relacin positiva.

La covarianza es menor que cero si hay relacin negativa.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEl coeficiente de correlacin ( r ) (2do paso:comprobacin numrica)

La magnitud de la Covarianza depende de las unidades con la que se midan las variables (cm - mt , kg -gr ) por lo tanto no es fcil ver en que grado las variables se relacionan. Para resolver esto, se usa el Coeficiente de correlacion.

r = 0 (o cercano) si no hay relacin entre las variables o la relacin no es lineal.

r = 1 (o cercano) si hay relacin positiva.

r = -1 (o cercano) si hay relacin negativa.

1 r -1 siempre


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEl coeficiente de correlacin ( r ) (2do paso:comprobacin numrica)

Ejemplo: Costo versus Duracin


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosRecta de regresin(3er paso)

Permite relacionar y estimar el valor de una variable aleatoria dependiente Y conociendo el valor de la variable asociada (independiente) X.


Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosEjemplo: Para entregar pedidos de mercanca, una empresa estudia el tiempo de entrega en funcin de la distancia donde se ubica el sitio de entrega. A continuacin se presentan los datos de las ltimas diez entregas. Determine la recta de regresin.

1.- Cuanto tiempo tardara en entregar una mercanca en una ciudad a 1.000 km de distancia?

2.- Cuanto debera cobrar por entregar un pedido a 1.100 km si el costo unitario de transporte es de BsF 250 por da?

Prof. Maxwell Martnez AquinoFINCaptulo IPostgrado en Gerencia de Proyectos

MTODOS CUANTITATIVOS EN GERENCIA DE PROYECTOS

Prof. Maxwell Martnez AquinoANEXOS Postgrado en Gerencia de Proyectos

MTODOS CUANTITATIVOS EN GERENCIA DE PROYECTOS


Ejplo: Probabilidad de obtener 5 o 7 puntos al lanzar dos dados:

Caso O : Regla de la adicin . a) La probabilidad de ocurrencia de dos (o mas) eventos en particular, es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que los dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.


Probabilidad


Ejplo: En un restaurante de hamburguesas, 75% de los clientes consume mostaza, 80% salsa de tomate y 65% consume los dos. Cual es la probabilidad de que un cliente consuma al menos una (mostaza o salsa de tomate)?Donde P(A y B) es la probabilidad de ocurrencia simultnea de los eventos A y B.

Caso O : Regla de la adicin . b) La probabilidad de ocurrencia de dos (o mas) eventos en particular, si es que los eventos no son mutuamente excluyentes, es decir, que los dos si pueden ocurrir al mismo tiempo.


Probabilidad


Caso O : Regla de la adicin. Ejemplo. Un Proyecto consiste en tres actividades que utilizan el mismo recurso R. La probabilidad de xito del proyecto disminuye de acuerdo a la probabilidad de que el recurso R sea requerido por dos o mas de las actividades.


Probabilidad


Caso O : Regla de la adicin. Ejemplo. En una Estudio de mercado, 10 personas tienen como preferencia solamente el producto A, 15 prefieren solamente el producto B, 20 prefieren A y B y 5 no tienen preferencia por ninguno de estos productos.

Calcule la probabilidad que de una persona seleccionada al azar tenga preferencia por A o B o ambos productos.Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos

Probabilidad


Caso O : Regla de la adicin. Ejemplo. En una Estudio de mercado, 10 personas tienen como preferencia solamente el producto A, 15 prefieren solamente el producto B, 20 prefieren A y B y 5 no tienen preferencia por ninguno de estos productos.

Calcule la probabilidad que de una persona seleccionada al azar tenga preferencia por A o B o ambos productos.Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectos

Probabilidad


Caso Y: Regla de la multiplicacin. a) La probabilidad de que se den simultneamente dos sucesos A y B (suceso interseccin de A y B), para sucesos independientes (el hecho de que ocurra uno no altera la probabilidad de que ocurra elotro), es igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B:

Ejplo: Al lanzar dos dados, cual es la probabilidad que en un dado salga 1 y en el otro salga un 6?


Probabilidad


Cul es la probabilidad de que el primer auto pare y el segundo no lo haga?


ProbabilidadCaso Y: Regla de la multiplicacin. Ejemplo. Un hotel ubicado en una autopista fuera de la ciudad observ que el 20% de los autos que pasan por ah, se detienen a alquilar un cuarto.

Cul es la probabilidad de que los prximos dos carros se detengan?


Probabilidad condicionada. Es la probabilidad de que se de un suceso A con la condicin de que haya ocurrido un suceso B ; se representa P(A/B) y se calcula de la siguiente manera:

Ejplo: En un restaurante de hamburguesas, 75% de los clientes consume mostaza, 80% salsa de tomate y 65% consume los dos. Cual es la probabilidad de que un cliente que consuma salsa de tomate, utilice mostaza?


Probabilidad


Caso Y: Regla de la multiplicacin. b) La probabilidad de que se den simultneamente dos sucesos A y B (suceso interseccin de A y B), para sucesos dependientes, es igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al cumplimiento del suceso A :

Ejplo: En un restaurante de hamburguesas, 75% de los clientes consume mostaza, 80% salsa de tomate y 65% consume los dos. Cual es la probabilidad de que un cliente que haya consumaido salsa de tomate, utilice mostaza?


Probabilidad


Caso Y: Regla de la multiplicacin. Ejemplo. P(B termine a tiempo dado que A termine tarde) = 0,40P(B termine tarde dado que A termine tarde) = 0,60

Cual es la Probabilidad de que la Actividad B termine a tiempo si la Actividad A termina tarde?


Probabilidad


Distribucin Beta.

Se utiliza para variables aleatoria continua que toma valores en elintervalo [0,1], lo que la hace muy apropiada para modelar proporciones. Su importancia radica en su ajuste a una gran variedad dedistribuciones, pues adopta formas muy diversas dependiendo de cules sean los valores de los parmetros de forma y .Captulo I : Introduccin a las Probabilidades y Estadsticas para proyectosDistribuciones de probabilidad para gerencia de proyectos

introduccion a las probabilidades y estadisticas en gcia de proyectos

Documents