Introducción a las Probabilidades

San José, 2014

Sin tener en cuenta la profesión que se haya elegido, algo sí es seguro: enalgún momento se han de tomar decisiones. Con mucha frecuencia estodeberá hacerse sin conocer las consecuencias de tales decisiones. Ejemplode ello son los inversionistas, que deben decidir sobre la conveniencia deinvertir en una acción en particular, esto basado en las expectativas derendimiento futuro de las mismas.

Al mejorar la habilidad parajuzgar la ocurrencia de eventosfuturos, se puede minimizar elriesgo y la especulaciónarriesgada relacionadas con elproceso de toma de decisiones.

Al mejorar la habilidad parajuzgar la ocurrencia de eventosfuturos, se puede minimizar elriesgo y la especulaciónarriesgada relacionadas con elproceso de toma de decisiones.

Probabilidad: corresponde a la posibilidad numérica, medida entre 0 y 1(inclusive), de que se produzca un evento.

Experimento: proceso que da como resultado un evento

Un experimento es toda acción bien definida que conlleva a un resultadoúnico bien definido.

Espacio Muestral: es el conjunto de todos los posibles resultadospara un experimento

Así, al lanzar un dado el especio muestral delmismo es: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

La Probabilidad para el espacio muestralequivale a 1.

P(S) = 1

Modelos de Probabilidad:

a) Frecuencia Relativa (a posteriori)b) Modelo Subjetivoc) Modelo Clásico (a priori)

El Modelo de Frecuencia Relativa utiliza datos que se han observadoempíricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento enel pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente conbase en datos históricos.

El Modelo de Frecuencia Relativa utiliza datos que se han observadoempíricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento enel pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente conbase en datos históricos.

En muchos casos se carece de datos. Por tanto, se hace imposible calcularla probabilidad a partir del desempeño anterior. La única alternativa esestimar la probabilidad con base en nuestro mejor criterio. El ModeloSubjetivo requiere establecer la probabilidad de algún evento basado enla mejor evidencia disponible. En ocasiones una conjetura, este modelo seutiliza cuando s desea asignar probabilidad a un evento que nuca haocurrido

Modelo Clásico: es el que se relaciona con mayor frecuencia con losjuegos de azar.Modelo Clásico: es el que se relaciona con mayor frecuencia con losjuegos de azar.

Uniones, Intersecciones y Relaciones entre eventos

Conjunto: Toda reunión de objetos.

Para que ocurra , tanto “A como B” deben ocurrir. Por tantoverificamos que el elemento pertenece a A y B al mismo tiempo. Loseventos A y B se les denomina eventos No Disyuntos. Ambos sepresentan antes de que ocurra .

A B

A B

Para que un elemento esté en , sólo necesita estar en el conjunto A oel conjunto B o en ambos.

A BPara que un elemento esté en , sólo necesita estar en el conjunto A oel conjunto B o en ambos.

A B

Eventos Mutuamente Excluyentes: si la sucesión de uno de ellosprohíbe que el otro ocurra.

Eventos Colectivamente Exhaustivos: Consta de todos los posiblesresultados de un experimento y constituye su espacio muestral.

Eventos Independientes: en estos casos la ocurrencia de uno de loseventos no tiene nada que ver con la sucesión del otro. Es importante noconfundir independientes con mutuamente excluyentes.

Cuando se obtiene de un conjunto finito, dos eventos son independientes siy sólo si se realiza con reemplazo. En el caso de que el primer elemento nose reemplace antes de sacar el segundo elemento, los eventos sondependientes.

Eventos Complementarios: en estos casos, si uno de los eventos noocurre, el otro debe ocurrir. De igual forma, los eventos complementariosson colectivamente exhaustivos.

El complemento de A se escribe: A

Tablas de Contingencia y Tablas de Probabilidad

Un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento esmediante las tablas de contingencia.

Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cualpodemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla.

Los valores indicados en los márgenes de la tabla se denominanProbabilidades Marginales.Los valores indicados en los márgenes de la tabla se denominanProbabilidades Marginales.

Probabilidad Condicional: corresponde a la probabilidad de que unevento ocurra, dado que antes ya ha ocurrido otro evento. Se denota por

y se comprende como la probabilidad de que A ocurra dado que Bya sucedió. /P A B

Las Dos Reglas de la Probabilidad

Regla de la Multiplicación: Su propósito es determinar la probabilidaddel evento conjunto . Es decir la probabilidad de A y B, para ellose multiplican sus probabilidades tomando en cuenta si A y B son eventosdependientes o independientes.

P A B

Regla de la Adición: Se utiliza para . P A BRegla de la Adición: Se utiliza para . P A B

En este caso es importante recordar que los eventos pueden sermutuamente excluyentes , lo que implica que , así que el calculode .

A B P A B P A P B

Teorema de Bayes

Si recordamos la regla de la probabilidad condicional:

En algunos casos la probabilidad de que A ocurra dado que D ya haocurrido, no solo depende de la ocurrencia de D, esto debido a que puedeexistir algún otro evento C que influya en la ocurrencia de A.

En algunos casos la probabilidad de que A ocurra dado que D ya haocurrido, no solo depende de la ocurrencia de D, esto debido a que puedeexistir algún otro evento C que influya en la ocurrencia de A.

/P A B

P A BP A B P A C

Con el objetivo de aclarar este concepto, utilizaremos y resolveremos unejemplo.

Ejemplo:

Una empresa productora de medicamentos esta probando una nuevamedicina contra el H1N1, descubrió que el 60% de todas las personas quesufren este mal sienten alivio de los síntomas a los cinco días, hayan o noutilizado el medicamento. De quienes sienten alivio, el 40% ha tomado elmedicamento, mientras que el 30% de quienes no han sentido alivio hanprobado el medicamento. El laboratorio farmacéutico desea determinar sies aconsejable tomar el medicamento comparando la probabilidad dealiviarse si se toma el medicamento con la probabilidad de aliviarse sinecesidad de haberlo tomado.

Una empresa productora de medicamentos esta probando una nuevamedicina contra el H1N1, descubrió que el 60% de todas las personas quesufren este mal sienten alivio de los síntomas a los cinco días, hayan o noutilizado el medicamento. De quienes sienten alivio, el 40% ha tomado elmedicamento, mientras que el 30% de quienes no han sentido alivio hanprobado el medicamento. El laboratorio farmacéutico desea determinar sies aconsejable tomar el medicamento comparando la probabilidad dealiviarse si se toma el medicamento con la probabilidad de aliviarse sinecesidad de haberlo tomado.

Experimento

Sienten Alivio

TomanMedicamento

No TomanMedicamento

No sientenAlivio

TomanMedicamento

No sientenAlivio

No TomanMedicamento

Como se puede observar en la grafica (Árbol de probabilidades) muestraque el sentir alivio o no esta presente para ambos eventos, tomar elmedicamento o no tomarlo. Por ello no queda fácil deducir dichaprobabilidad, en este caso el Teorema de Bayes aclara los cálculos.

Experimentoto

0,60

0,40

0,60

0,40

0,30

0,70

Evento A: Sentir AlivioEvento B: No Sentir AlivioEvento C: Tomar Medicamento

0,40 0,60/

0,40 0,60 0,30 0,40P A C

/ 0,67P A C

La probabilidad de sentir alivio dado que tomo el medicamento es de 0,67.Si recordamos la probabilidad del complemento, corresponde a el valor quecompleta para que la probabilidad sea 1. Por tanto la probabilidad de Nosentir alivio, aún después de haber tomado el medicamento será:

/ 1 0,67

0,33

P B C

/ 1 0,67

0,33

P B C

Técnicas de Conteo

En muchas ocasiones las decisiones empresariales exigen contar el númerode subconjuntos que se pueden obtener de un conjunto.Ejemplo: De un grupo de 10 productos, ¿Cuántos subconjuntos de 3productos se pueden ofrecer a los clientes? ¿Cuántas extensionestelefónicas pueden obtenerse a partir de los dígitos de 0-9 para serasignados en una empresa?

En muchas ocasiones las decisiones empresariales exigen contar el númerode subconjuntos que se pueden obtener de un conjunto.Ejemplo: De un grupo de 10 productos, ¿Cuántos subconjuntos de 3productos se pueden ofrecer a los clientes? ¿Cuántas extensionestelefónicas pueden obtenerse a partir de los dígitos de 0-9 para serasignados en una empresa?

Si se considera que dos subconjuntos son diferentes debido a que su ordenes diferente, son consideradas permutaciones.

Ejemplo: ¿Cuántas números de placas diferentes se pueden elaborar apartir de los dígitos de 0-9 de tamaño 6?

10 6

10!

10 6 !

151200

P

Si utilizas una calculadora científica, encontraras que calculadirectamente el número de permutaciones que se pueden obtener detamaño “r” a partir de un numero “n” de datos.

n rPSi utilizas una calculadora científica, encontraras que calculadirectamente el número de permutaciones que se pueden obtener detamaño “r” a partir de un numero “n” de datos.

n rP

Si se considera que dos subconjuntos son idénticos y constituyen el mismoconjunto porque ambos tienen los mismos elementos sin considerar elorden, se denominan combinaciones.

Ejemplo: ¿Cuántos grupos de 3 productos podrían empacarse juntos yofrecerse a los clientes a partir de 10 productos posibles? Consideramosque en este caso el orden de los productos no hace diferencia alguna.

Ejemplo: ¿Cuántos grupos de 3 productos podrían empacarse juntos yofrecerse a los clientes a partir de 10 productos posibles? Consideramosque en este caso el orden de los productos no hace diferencia alguna.

10 3

10!

3! 10 3 !

120

C

Si utilizas una calculadora científica, encontraras que calculadirectamente el número de combinaciones que se pueden obtener detamaño “r” a partir de un numero “n” de datos.

n rC

Lista de Fórmulas:

1)

2)

3)3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

DESEO UNA PROBABILIDAD MUY CERCANA A 1 QUE ELMATERIAL QUE ACABAS DE REVISAR LE SEA DE MUCHOPROVECHO…GRACIAS!