unidad i introduccion a la teoria de probabilidades

ING. ORLANDO F. OCHOA CH. Pgina 1 UNEFA-PROBABILIDAD Y ESTADISTICA-2007

Captulo 1 : Introduccin a la teora de probabilidades

1.1. Introduccin:

Muchos de los eventos o acontecimientos que ocurren en la vida diaria se

presentan sin seguir una ley que los rija, es decir ocurren en forma casual o

casustica, a este hecho es lo que comnmente se denomina Azar.

Sobre las actividades que se realizan o eventos que ocurren en el quehacer

cotidiano, ya sean cientficos o no, actan una serie de factores los cuales son

imposible ponderar y que pueden modificar parcial o totalmente el resultado de

estas actividades o acontecimientos, este conjunto de factores conforman lo

que se denomina azar, casualidad y en ocasiones se les llama suerte.

El ejemplo ms sencillo de lo anterior es el clsico lanzamiento de una

moneda, al lanzarla estamos seguros por una parte que la moneda caer y

que puede ser cara o sello, pero no podemos asegurar cual de las dos figuras

es la que saldr. As mismo, cuando se extrae una carta de un juego de

barajas, tenemos la certeza de que extrajimos una carta de una de las pintas

de la baraja, pero no sabemos que pinta es y mucho menos que calificacin

tiene la carta; en ambos casos el evento o suceso est sometido a los factores

que conforman el azar.

Muchas personas sin conocer la teora de probabilidades, hacen

aseveraciones donde esta se encuentra involucrada, a menudo se escuchan

expresiones como: es casi seguro que Sonia apruebe el examen de

Matemtica, es probable que llueva en Semana Santa, con toda seguridad

Miranda le ganar a Cojedes en los Juegos Nacionales, etc. En las

aseveraciones anteriores puede notarse que en todas ellas existe una

situacin de incertidumbre; esto es, que a pesar que la persona que emite la

aseveracin expresa cierto grado de seguridad o confianza en lo que dice,

debemos recordar que hay muy pocas cosas en la vida acerca de las cuales

podemos estar completamente seguros.

Con esto se quiere destacar que ninguna inferencia es cien por ciento segura

y la probabilidad de que sea cierta resulta ms evidente en unos casos que en

otros.

Buscando la explicacin de la ocurrencia de estos hechos casuales, los

cientficos a travs de clculos matemticos han llegado a determinar ciertas


regularidades en la presencia de hechos casuales, pudiendo de esta forma

predecir el nmero de veces que puede ocurrir un hecho considerado como

casual, el estudio de estos eventos y la determinacin de sus regularidades

han dado origen al clculo o teora de probabilidades.

1.2. Resea histrica:

Ao 1650: Blaise Pascal Piere Fermet de Toullouse:

Nace la definicin clsica de probabilidad por una consulta realizada por el

caballero De Mer al matemtico francs Blaise Pascal, dada la importancia

que haban alcanzado los juegos de azar en la poca. Se define como: La

probabilidad de que se presente un determinado suceso es igual al

cociente entre el nmero de casos que son favorables a ste suceso y el

nmero total de casos posibles, con tal que todos estos sean mutuamente

simtricos.

Ao 1710 James Bernoulli Abraham de Moivre

Bernoulli en 1713 publica la obra El Arte de la Conjetura, expone el

teorema que lleva su nombre y que eleva la teora de probabilidad de la

resolucin de problemas particulares a sustentar leyes de carcter general.

Moivre, elabora la obra La Doctrina de las Probabilidades, en ella aparece

la primera enunciacin del teorema de la multiplicacin as como las

primeras indicaciones sobre la distribucin normal de las probabilidades.

Ao 1812: Laplace

Publica la obra: Thorie Analytique des Probabilits, la cual se considera

clsica dentro de la Teora de Probabilidades; contiene una exposicin

sistemtica sobre la teora matemtica del juego de azar y un gran nmero

de aplicaciones a las cuestiones cientficas y prcticas. En base a esta

publicacin Gauss y Laplace independientemente uno de otro, crearon una

teora de errores sistemticos, al discutir las aplicaciones de la teora de

probabilidad matemtica, al anlisis numrico de los errores de medidas en

las observaciones fsicas y astronmicas.

Siglo XIX: Quetelet y sus discpulos

Se realizan investigaciones acerca de las aplicaciones de la teora de

probabilidades a la Demografa y otras ciencias sociales; las Matemticas

Actuariales alcalzaron un enorme desarrollo obtenindose en consecuencia

un gran adelanto en el Seguro de Vida.

Modernamente Maxwell, Boltzmann y Gibbs, introducen la probabilidad en

el campo de la Fsica Matemtica, en su tratado Mecnica Estadstica.


Actualmente, la aplicacin de la probabilidad es tan amplia que abarca

mltiples campos cientficos, siendo de gran ayuda en la resolucin de

problemas de Economa, Biologa, Psicologa, Ingeniera, Climatologa, etc.

1.3. Experimento aleatorio y determinstico, espacio muestral, punto

muestral, evento o suceso, evento simple, evento compuesto:

1.3.1. Experimento determinstico y experimento aleatorio:

Un experimento es una accin cualquiera que sea, pero bien definida.

En Estadstica, este concepto se utiliza en una forma ms amplia que en

otras ciencias como la Biologa, Qumica, Fsica, etc., y se entiende como

cualquier proceso que proporciona datos, numricos o no numricos.

En los diferentes campos de la actividad cientfica se realizan

frecuentemente experimentos bajo condiciones similares o constantes,

obtenindose en cada uno de ellos resultados. Estos resultados son

obtenidos por el uso o aplicacin de las leyes conocidas de una

determinada disciplina y por lo tanto es posible predecir el resultado final sin

realizar el experimento. En estos casos se est en presencia de un

experimento determinstico.

En otras ocasiones, aun cuando el investigador ponga todo su empeo en

controlar el estado inicial de un experimento que se repite bajo las mismas

condiciones, le ser prcticamente imposible predecir el resultado de una

prueba o ensayo particular debido a que ste variar de una observacin a

otra en forma irregular. En estos casos se dice que se est en presencia de

un experimento aleatorio, cuyos resultados estn sujetos al azar;

entendindose este como la caracterstica de suceso imprevisible.

En estadstica esta definicin se modifica aadiendo una propiedad

adicional: El azar es la caracterstica de un experimento que produce

resultados diversos, impredecibles en cada situacin concreta, pero cuyas

frecuencias, a la larga, tienden a estabilizarse hacia un valor "lmite" en el

infinito.

En general se puede decir que un experimento aleatorio es aquel que

puede dar lugar a ms de un resultado, por lo que no se puede predecir uno

de ellos en una prueba particular.


1.3.2. Espacio muestral:

1.3.2.1. Definicin:

Se denomina espacio muestral, al conjunto formado por todos los

resultados posibles de un experimento.

Ejemplos:

a) Si se lanzan dos monedas al mismo tiempo, se pueden obtener cuatro

resultados diferentes, cara 1 cara 2, cara 1 sello 1, cara 2 sello1,

cara 2 sello 2, (CC, CS, SC, SS), es decir el espacio muestral del

experimento ser un conjunto E de cuatro elementos.

E = {CC, CS, SC, SS}

b) Si el experimento es lanzar un dado para determinar el nmero que

sale en la cara superior del mismo , el espacio muestral estar

compuesto de seis resultados posibles, es decir:

E = {1,2,3,4,5,6}

c) Sea el caso de un experimento donde se lanza una moneda y un

dado, los resultados posibles sern:

E = {(1C),(1S),(2C),(2S),(3C),(3S),(4C),(4S),(5C),(5S),(6C),(6S)}.

1.3.2.2. Determinacin del espacio muestral:

La determinacin de un espacio muestral de un experimento consiste en

definir los elementos o eventos que lo constituyen, para ello, se aplican

las tcnicas de conteo que son los diferentes mtodos utilizados para

cuantificar los elementos de un evento en cuestin (el nmero de

muestras posibles a formar un determinado nmero de elementos).

Las bases para entender el uso de las tcnicas de conteo son el principio

multiplicativo y el aditivo, los que a continuacin se definen y se hace uso

de ellos.

a) Principio multiplicativo:

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el

primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1


maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-

simo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede

ser llevada a efecto de;

N1 x N2 x ..........x Nr= nmero de maneras o formas

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la

actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.

Ejemplo:

Cuntas placas para automvil pueden ser diseadas si deben

constar de tres letras seguidas de cuatro nmeros, si las letras deben

ser tomadas del abecedario (26 letras) y los nmeros de entre los

dgitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y nmeros, b. No es

posible repetir letras y nmeros, c. Cuntas de las placas diseadas

en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d.

Cuantas de las placas diseadas en el inciso b empiezan por la letra

D seguida de la G.

Solucin:

a. Considerando 26 letras del abecedario y los dgitos del 0 al 9

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75.760.000 placas para

automvil que es posible disear

b. 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78.624.000

placas para automvil

c. 1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302.400 placas para automvil

d. 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120.960

placas para automvil

b) Principio aditivo:

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cul tiene formas

alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas

puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa

puede realizarse de N maneras o formas ..... y la ltima de las

alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces

esa actividad puede ser llevada a cabo de,


M + N + .........+ W = nmero de maneras o formas

Ejemplo:

Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cul ha

pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy

y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra

que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8

u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser

automtica o semiautomtica, mientras que la lavadora de la marca

E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos

colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica y la

lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que

es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay

semiautomtica. Cuntas maneras tiene esta persona de comprar

una lavadora?

Solucin:

M = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca

Easy

W = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca

General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

Cmo podemos distinguir cuando hacer uso del principio

multiplicativo y cuando del aditivo?


Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual

requiere para ser llevada a efecto de la ejecucin de una serie de

pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la

actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser

llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

c) Combinaciones y permutaciones:

Factorial de un nmero (n!): se denomina factorial de un nmero n!

al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.

n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n

Se define 0! = 1, para que la relacin n! = n (n 1)! sea tambin

vlida para n = 1.

Ejemplo:

10! =1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10 = 3,628,800

8! = 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8 = 40,320

6! = 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 6 = 720, etc.

Las combinaciones y permutaciones son los diferentes arreglos u

ordenamientos que podemos realizar con los elementos de un conjunto.

Combinacin: Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa

el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que

constituyen dicho arreglo.

Ejemplo:

"Mi ensalada de frutas es una combinacin de manzanas, uvas y

cambures": no importa en qu orden pusimos las frutas, podra ser

"bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la

misma ensalada.

Permutacin: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el

lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituyen

dicho arreglo.

Una permutacin es una combinacin ordenada.


Ejemplo:

"La combinacin de la cerradura es 472": ahora s importa el orden.

"724" no funcionara, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Ejemplo:

De cuantas formas diferentes se pueden ordenar los nmeros 1, 2 y 3,

si: a) se toma en consideracin el orden, b) si no se toma en

consideracin el orden.

a) Si se toma en consideracin el orden:

(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1) es una permutacin

b) Si no se toma en consideracin el orden:

(1,2,3) es una combinacin

Frmula para permutaciones:

=!

!

nPr = Permutaciones de r objetos tomadas de entre n objetos es:

Frmula para las combinaciones:

, =!

! !

Cn,r = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos

Ejemplos:

Cuantas representaciones diferentes sern posibles formar, si se

desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal

y Segundo Vocal?, s esta representacin puede ser formada de

entre 25 miembros del sindicato de una pequea empresa.

Solucin:

Por principio multiplicativo:


25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una

representacin de ese sindicato que conste de presidente, secretario,

etc.

Por Frmula:

n = 25, r = 5

25P5 =25!

2520 ! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x..x 1) / (20 x 19 x

18 x ... x 1)=

= 6,375,600 maneras de formar la representacin

Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaa

pro limpieza del ncleo de la universidad, cuantos grupos de limpieza

podrn formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de

ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, cuantos de los

grupos de limpieza tendrn a 3 mujeres?, c.cuntos de los grupos

de limpieza contarn con 4 hombres por lo menos?

Solucin:

a) n = 14, r = 5

Cn,r =n!

r! nr !=

14!

5! 145 !=

14x13x12x11x10x9!

5!x9!= 2002 grupos

Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo

hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con

hombres y mujeres.

b) n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5

En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3

mujeres y 2 hombres

C8,3 * C6,2 = (8! / (8 3)!3!)*(6! / (6 2)!2!)

= (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!)

= 8 x7 x 6 x 5 /2!

= 840 grupos con 3 mujeres y 2

hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5 personas

c) En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o

ms


Los grupos de inters son = grupos con 4 hombres + grupos con 5

hombres

= C6,4 * 8C1 + C6,5 * C80 = 15 x 8 + 6 x 1 = 120 + 6

= 126

d) Pruebas ordenadas:

Se le llama prueba ordenada al hecho de seleccionar r objetos de entre

n objetos contenidos en una urna uno tras otro. Una prueba ordenada

puede ser llevada a efecto de dos maneras:

1. Con sustitucin (con reemplazo):

En este caso se procede a seleccionar el primer objeto de entre los n

que hay, se observa de qu tipo es y se procede a regresarlo a la

urna, luego se selecciona el siguiente objeto, lo anterior se repite

hasta que se han extrado los r objetos de la prueba, por tanto el

nmero de pruebas ordenadas de con sustitucin se obtiene:

Nmero total de pruebas ordenadas con sustitucin = n x n x n x

......x n = nr

Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar

el segundo objeto, dado que se ha regresado a la urna el primer

objeto, tambin se tendrn n objetos y as sucesivamente.

2. Sin sustitucin (sin reemplazo):

En este caso se procede a seleccionar el primer objeto, el cual no es

regresado a la urna, luego se selecciona el segundo objeto, lo

anterior se repite hasta completar los r objetos de la prueba, por lo

que el nmero total de pruebas ordenadas sin sustitucin se obtiene:

Nmero total de pruebas ordenadas sin sustitucin = n(n-1)(n-

2)..(n-r +1) = nPr

Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar

el segundo objeto, hay n 1 maneras, dado que el primer objeto no

se regresa a la urna, luego cuando se extrae el r-simo objeto, hay (n

r +1) de que sea seleccionado.


Ejemplos:

Cuntas maneras hay de que se asignen tres premios de un

sorteo en donde el primer premio es una departamento, el

segundo premio es un auto y el tercer premio es un centro de

cmputo, si los participantes en este sorteo son 120 personas, a.s

la asignacin se puede hacer con sustitucin, b.s la asignacin se

puede hacer sin sustitucin.

Solucin:

a. Por principio multiplicativo:

120 x 120 x 120 = 1,728,000 maneras de asignar los premios

Por frmula: n =120, r = 3

nr = 1203 = 1,728,000 maneras de asignar los tres premios

Hay que considerar que en este caso, al regresar cada boleto

que es extrado de la urna, las personas que participan en el

sorteo tienen la posibilidad de no ganar uno solo de los

premios, de ganar un premio, dos de los premios o los tres

premios. Cosa que generalmente no ocurre.

b. Por principio multiplicativo:

120 x 119 x 118 = 1,685,040 maneras de asignar los premios

Por frmula:

n = 120, r = 3

120P3 = 120! / (120 3)! = 120! / 117! = 120 x 119 x 118 =

1,685,040 maneras de asignar los premios

Hay que hacer notar que en este caso, como los boletos que

son seleccionados ya no regresan a la urna de donde fueron

extrados, los participantes solo pueden recibir un premio en


caso de que fueran de los afortunados. Esta es la forma en

que generalmente se efecta un sorteo.

e) Producto cartesiano:

Sea el experimento en el cual se lanza una moneda y un dado a la

misma vez, el espacio muestral del experimento vendr dado por todos

los resultados posibles que se pueden obtener, la determinacin de

estos resultados puede realizarse a travs de un producto cartesiano de

dos conjuntos, en los cuales el primer conjunto, A representa los

sucesos que origina la moneda, es decir sus elementos sern {cara,

sello} = {C,S}, de igual forma los elementos del conjunto que representa

el dado ser B = {1,2,3,4,5,6}, de acuerdo a lo anterior el espacio

muestral del experimento estar conformado por doce sucesos probable

que son los elementos que conforman el conjunto de pares ordenados

del producto cartesiano A x B, as tenemos:

A = {C,S}

B = {1,2,3,4,5,6}

A x B = {(C1),(C2),(C3),(C4),(C5),(C6),(S1),(S2),(S3),(S4),(S5),(S6)}

f) Diagrama de rbol:

Un diagrama de rbol es una representacin grfica de un experimento

que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un nmero

finito de maneras de ser llevado a cabo.

Ejemplo:

Se lanza una moneda y un dado, los sucesos que se pueden

presentar si en la moneda sale cara (C), son los siguientes:

MONEDA DADO SUCESOS

1 (C,1)

2 (C,2)

CARA (C) 3 (C,3)

4 (C,4)

5 (C,5)

6 (C,6)


g) Diagramas de Venn:

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la

Matemtica y Lgica de clases conocida como teora de conjuntos.

Estos diagramas se usan para mostrar grficamente la agrupacin de

cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante

un crculo o un valo. La posicin relativa en el plano de tales crculos

muestra la relacin entre los conjuntos.

Ejemplos:

Supngase que el conjunto A representa, por ejemplo, a todas las

criaturas vivas con solo dos piernas motrices y que el conjunto B

contiene a todas las criaturas que pueden volar. El rea donde

ambos crculos se superponen (que recibe el nombre de interseccin

entre A y B), contendra por tanto todas las criaturas que, al mismo

tiempo, pueden volar y tienen slo dos piernas motrices.

El diagrama nos indica:

A(dos patas)

B(vuelan)

A y B(dos patas y vuelan)

A y no B(dos patas y no vuelan)

no A y B(ms o menos de dos patas, y vuelan)

no A y no B(ni tienen dos patas ni vuelan)

Un grupo de jvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por

ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automvil). Los datos

de la encuesta fueron los siguientes:

I) Motocicleta solamente: 5

II) Motocicleta: 38


III) No gustan del automvil: 9

IV) Motocicleta y bicicleta, pero no automvil:3

V) Motocicleta y automvil pero no bicicleta: 20

VI) No gustan de la bicicleta: 72

VII) Ninguna de las tres cosas: 1

VIII) No gustan de la motocicleta: 61

De acuerdo la informacin anterior, se pide determinar:

a. Cul fue el nmero de personas entrevistadas?

b. A cuntos le gustaba la bicicleta solamente?

c. A cuntos le gustaba el automvil solamente?

d. A cuntos le gustaban las tres cosas?

e. A cuntos le gustaba la bicicleta y el automvil pero no la motocicleta?

Tratemos de volcar los datos en un diagrama de Venn para tres conjuntos.

Nos encontraremos con que slo cuatro de ellos (los nmeros I), IV), V) y

VII) se pueden volcar directamente:

Ahora con el dato II) se puede completar la nica zona que falta en el

conjunto MOTO, haciendo la diferencia 38 - (20+5+3) = 10:

Luego utilizaremos el dato VI), pues si consideramos todas las zonas,

excepto las cuatro correspondientes al conjunto BICI, debern sumar 72,

luego 72 - (20+5+1) = 46:


Despus de ello, podremos usar el dato III), pues si consideramos todas las

zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto AUTO, debern

sumar 9, luego 9 - (5+3+1) = 0:

Por ltimo utilizaremos el dato VIII) pues si consideramos todas las zonas,

excepto las cuatro correspondientes al conjunto MOTO, debern sumar 61,

luego 61 - (46+0+1) = 14:

Con lo que estamos en condiciones de responder a todas las preguntas:

o A 99 personas.

o A ninguna.

o A 46 personas.

o A 10 personas.

o a 14 personas.


1.3.3. Evento o suceso, punto muestral, suceso elemental o evento simple,

evento compuesto :

1.3.3.1. Evento o suceso:

Un evento o suceso, es todo resultado o grupo de resultados que pueden obtenerse mediante la realizacin de un experimento aleatorio; tambin se denomina punto muestral. . Ejemplos:

En el caso del lanzamiento de un dado podemos definir los eventos o

sucesos siguientes:

a) B = { Sale el nmero 4} = {4}

b) D = {Sale un nmero impar} = {1,3,5}

c) F = {Sale un nmero mayor que 2 y menor que 5} = {3,4}

1.3.3.2. Suceso elemental o evento simple:

Es aquel suceso o evento constituido por un solo resultado del experimento. La caracterstica fundamental de ste hecho, es que no se puede descomponer a partir de la combinacin de otros sucesos.

1.3.3.3. Evento compuesto:

Son aquellos eventos que se forman a partir de dos o ms sucesos simples, tomando en consideracin las operaciones entre conjuntos (unin, interseccin, complemento, etc).

Ejemplos:

Sea el experimento de lanzar un dado y observar el nmero que sale en la cara superior, es decir el espacio muestral es E = {1,2,3,4,5,6} Algunos sucesos simples de E, sern:

A = {Sale un nmero par} = {2,4,6}

B = {Sale un nmero impar} = {1,3,5}

C = {Sale un nmero menor que 5} = {1,2,3,4}

Definamos un grupo de sucesos o eventos compuestos:

a) B C = {Sale un nmero impar o sale un nmero menor de 5}

b) A C = { Sale un nmero par o sale un nmero menor de 5}


c) A = {No sale un nmero par}

Para determinar los sucesos o eventos compuestos planteados, es

necesario recordar:

A B = {x E | x A x B}

A B = {xE | x A x B}

A = {xE | x B x A}

De acuerdo a las definiciones anteriores, se tiene:

B C = {1,3,5,2,4}

A C = {2,4,6,1,3}

A = {1,3,5}

1.3.4. Evento o suceso seguro y evento o suceso imposible:

Evento o suceso seguro:

Es aquel que se verifica siempre despus de realizado un experimento aleatorio, es el mismo espacio muestral (E).

Evento o suceso imposible:

Es aquel que nunca se verifica despus de un experimento aleatorio. Como debe ser un subconjunto del espacio muestral (E), la nica probabilidad es que el suceso imposible sea el conjunto vaco.

1.4. Eventos unin, interseccin, diferencia y complemento:

Unin, ():

La unin de dos eventos A y B, es el evento que contiene todos los puntos muestrales que pertenecen a A o B o a ambos

A B = {x E | x A x B}

Interseccin() :

Dados dos eventos A y B, la interseccin de A y B es el evento que contiene los puntos muestrales que pertenecen tanto a A como a B.

A B = {xE | x A x B}


Complemento(A o Ac) :

Dado un evento A, se denomina evento complemento de A (Ac), a un evento que contiene todos los puntos muestrales que no se encuentran en el evento A.

A = Ac = {xE | x B x A}

1.5. Eventos mutuamente excluyentes:

Son aquellos eventos que no pueden ocurrir simultneamente al realizar una sola vez el experimento, es decir la ocurrencia de uno de los eventos implica la no ocurrencia del otro.

1.6. Concepto de probabilidad, diversos enfoques:

1.6.1. Definicin a priori:

Si un suceso A puede ocurrir de a maneras (favorables) y deja de ocurrir

de b maneras (desfavorables), siendo las dos igualmente posibles y de tal

forma que no pueden ocurrir a la vez ms que uno de ellos, La probabilidad

de ocurrencia de A, P(A), ser igual a:

() =

+

Esta corriente es la ms antigua, y parte del supuesto de que todos los

resultados posibles (puntos muestrales) de un experimento son igualmente

probables. Esto es, todos tienen la misma probabilidad de ser obtenidos.

Este razonamiento puede resumirse de la siguiente manera: la probabilidad

de un suceso asociado a un experimento aleatorio, no es ms que la razn

entre el nmero de casos favorables del suceso en cuestin y todos los

posibles resultados del experimento. Con la condicin de que todos esos

puntos muestrales tengan igual posibilidad de ocurrencia.

1.6.2 Definicin estadstica:

Si un experimento aleatorio se realiza un gran nmero de veces (N grande),

la frecuencia relativa con la que ocurre un evento tiende a estabilizarse en

un determinado valor al cual llamaremos probabilidad de ese evento.


() = ()

= ()

Esta definicin se basa en las propiedades de estabilidad de las frecuencias

relativas, indicando, adems que la probabilidad surge de una investigacin

estadstica.

1.6.3 Definicin subjetiva:

Es producto de la experiencia o de la intuicin personal y expresa el grado

de confianza (en una escala de 0 a 1) que tiene el individuo de que un

resultado experimental ocurra. Los seguidores de esta corriente consideran

a la probabilidad de una proposicin particular cualquiera, como una medida

de confianza personal de que tal proposicin se llevar a cabo. As,

diferentes individuos, aun bajo la misma evidencia, pueden tener distintos

grados de confianza y asignar distintas medidas de probabilidad a un

evento, de acuerdo con el grado de creencia de su posible ocurrencia.

En general, no importa por cual enfoque o corriente se le asignen

probabilidades a los eventos; sta siempre ser un cociente o una

proporcin representada, por el nmero de eventos simples favorables al

experimento sobre el total de casos posibles o realizaciones del

experimento.

1.7. Axiomas de probabilidad:

1.7.1. Primer axioma:

La probabilidad de todo evento o suceso es un nmero no negativo, es

decir:

P(Xi) 0

1.7.2. Segundo axioma:

La suma de las probabilidades de todos los sucesos posibles mutuamente

excluyentes de un experimento aleatorio es la unidad. Esto es:

P(X1) + P(X2) + P(X3) + + P(Xn) = 1


Esto se deriva de la condicin de que la suma de de todos los sucesos

mutuamente excluyentes es igual al espacio muestral (E), la expresin

anterior la podemos escribir como:

P(S) = 1

De estos dos axiomas se desprende que la probabilidad de ocurrencia de

cualquier evento vara entre 0 y 1; lo cual se puede indicar de la forma

siguiente:

0 P(Xi) 0

1.7.3. Tercer axioma:

Sean Xi y Xj dos sucesos cualesquiera mutuamente excluyentes del

experimento aleatorio; la probabilidad de que ocurra uno de los dos sucesos

ser igual a la suma de sus probabilidades. Estos es:

P(Xi o Xj) = P(Xi) + P(Xj)

1.8. Clculo de probabilidades:

Las aplicaciones de las probabilidades estn referidas generalmente a cierto nmero de eventos relacionados entre s y pocas veces a un solo evento en particular, por ello es necesario estudiar el clculo de probabilidades en este sentido, basndose el clculo en los axiomas citados anteriormente.

1.8.1. Regla aditiva, suceso suma o regla de la O: 1.8.1.1. Sucesos mutuamente excluyentes:

Dos o ms eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos). Cuando se tienen dos sucesos mutuamente excluyentes y se quiere determinar la probabilidad de obtener al menos uno de ellos; es decir obtener A o B, pero nunca los dos al mismo tiempo.

P(A o B) = P(A) + P(B)


Ejemplos:

Si en el lanzamiento de un dado definimos los eventos A como la aparicin del nmero dos y B como la aparicin del nmero cinco. Cul ser la probabilidad de obtener un dos o un cinco en un lanzamiento del dado?

= +

P(A) =1

6

P(b) =1

6

P AoB =1

6+

1

6=

2

6=

1

3= 0.333

Sea A el evento obtener un total siete puntos al lanzar dos dados y

B el evento de obtener un total de once Cul es la probabilidad de obtener siete u once al lanzar los dos dados?

(7) =6

36 ; (11) =

2

36

= +

=6

36+

2

36=

8

36=

2

9= 0,222

1.8.1.2. Sucesos mutuamente no excluyentes o compatibles:

Dos o ms eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultnea. Son sucesos o eventos que tienen por lo menos un punto muestral o evento simple en comn, la probabilidad de ocurrencia ser:

P(A o B) = P(A) + P(B) P(A B)

Ejemplos:

Se lanzan una moneda y un dado.Cul es la probabibilidad de obtener cara en la moneda o un tres en el dado?

E = {(C1),(C2),(C3),(C4),(C5),C6),(S1),(S2),(S3),(S4),(S5),(S6)}

P(C) =6

12=

1

2

P(3) =2

12=

1

6

P(C3) =1

12


P(A o B) = P(A) + P(B) P(A B)

= P(C) + P(3) P(C3) =6

12+

2

12

1

12=

7

12= 0,583

En una pequea empresa ensambladora (50 trabajadores), se espera que todos los trabajadores terminen su trabajo a tiempo y que pasen la inspeccin final. A veces, alguno de los trabajadores no satisfacen el estandar de desempeo, ya sea porque no terminan a tiempo su trabajo o porque no ensamblan bien una pieza. Segn el informe del jefe de produccin 5 de los 50 trabajadores no terminaron su trabajo a tiempo, 6 de los 50 trabajadores ensamblaron mal una pieza y 2 de los 50 trabajadores no terminaron su trabajo a tiempo y armaron mal una pieza.Cul es la probabilidad de que el jefe de produccin de a un trabajador una calificacin baja de desempeo?

L = evento no se termin el trabajo a tiempo D = evento se arm mal la pieza

P(L) =5

50= 0,10

P(D) =6

50= 0,12

P(LD) =2

50= 0,04

= P(L) + P(D) P(LD) = 0,10 + 0,12 0,04 = 0,18

1.8.2. Regla multiplicativa, probabilidad compuesta o regla de la Y:

1.8.2.1. Sucesos independientes:

Cuando la ocurrencia de un evento no afecta la ocurrencia de los dems eventos, es decir, no afecta la probabilidad de los dems. Se asocia a la idea de con reemplazamiento, cuando se extrae una carta, tarjeta, ficha, etc., sta se coloca nuevamente en el lugar de donde provino y por lo tanto no se alteran las probabilidades de los dems en la prxima extraccin. La probabilidad de ocurrencia de dos o ms sucesos cuando stos son independientes es igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos.

P(A x B) = P(A) x P(B)


Ejemplos:

Se lanza un dado azul y uno blanco, sean los eventos: A obtener un nmero menor o igual a cuatro en el dado blanco y B obtener un nmero mayor o igual a cinco en el dado azul. Cul es la probabilidad de la ocurrencia conjunta de A y B?

Evento A = nmero mayor o igual a 5 en dado azul P(A) = 2/6

Evento B = nmero menor o igual a 4 en dado blanco P(B) = 4/6

Espacio muestral:

D

A

D

O

A

Z

U

l

6 (1,6)

(2,6)

(3,6)

(4,6)

(5,6)

(6,6)

5 (1,5)

(2,5)

(3,5)

(4,5)

(5,5)

(6,5)

4 (1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

(5,4)

(6,4)

3 (1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

(5,3)

(6,3)

2 (1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

(5,2)

(6,2)

1 (1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

(5,1)

(6,1)

1 2 3 4 5 6

DADO BLANCO

P(AB) = PA . PB =2

6.4

6=

8

36= 0,22

Una caja contiene 3 bolas rojas y 8 negras, todas del mismo material y del mismo tamao. Si se extraen dos bolas en sucesin y con reemplazo Cul es la probabilidad de que ambas sean rojas?

P(A y B) = P(A). P(B)

P(A) =3

11 , P(B) =

3

11

P(A y B) =3

11.

3

11=

9

11


1.8.2.2. Sucesos dependientes:

Cuando la ocurrencia de un evento afecta la probabilidad de ocurrencia

de los dems. Se asocia a la idea de sin reemplazamiento, es decir,

que al hacer una extraccin de una ficha, tarjeta, carta, etc., sta queda

fuera del lugar de donde fue extrada, con lo cual se altera el nmero de

casos posibles en la siguiente extraccin, lo cual influye en las

respectivas probabilidades de los restantes elementos.

P(S1 x S2 x . X Sn) = P(S1) x P(S2/S1) x .. x P(Sn/Sn-1)

Ejemplos:

De una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules, se extraen 3

bolas sin reemplazo. Cul es la probabilidad de que sean extradas en el

orden roja, blanca y azul?

Suceso R = extraer una bola roja en la primera extraccin P(R) = 6/15

Suceso B = extraer una bola blanca en la segunda extraccin P(B) = 4/14

Suceso A = extraer una bola azul en la tercera extraccin P(A) = 5/13

Por ser eventos dependientes y requerirse que los eventos se den

conjuntamente, la probabilidad pedida viene dada por:

P(RyByA ) = P(R)P(BR

)P

(A

B.R)

=6

15.

4

14.

5

13=

120

2730=

4

91= 0,04

1.8.3. Probabilidad condicional:

Son aquellos sucesos cuya ocurrencia est condicionada a la ocurrencia de

otro suceso o hecho anterior.

Sea un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde

p(E)0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A

(el que tambin es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya

ocurri, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo

condicional, la que se determina como se muestra en la figura;


=

Donde:

p(AE) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurri

p(AE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo

p(E) = probabilidad de que ocurra E

Luego:

=

=

Por tanto:

=

=

Ejemplo:

Una clase de matemtica avanzada est formada por 10 estudiantes de

segundo ao, 30 de cuarto y 10 graduados. Tres estudiantes de

segundo, 10 de de cuarto ao y cinco graduados obtuvieron la

calificacin A. Si se selecciona al azar un estudiante y se encuentra que

su calificacin es A, Cul es la probabilidad de que sea graduado?

A = probabilidad de que obtenga calificacin A

B = probabilidad de que el estudiante sea graduado.


=

=

=

1.8.4. Probabilidad Total:

Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2,

...,An que cumplen:

1. Son incompatibles dos a dos, Ai Aj =

2. La unin de todos ellos es el suceso seguro,

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad

de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que

se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la

probabilidad del suceso B viene dada por la expresin:

Ejemplos:

Una compaa dedicada al transporte pblico explota tres lneas de una

ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la

primero lnea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la

tercera lnea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobs

se avere es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada lnea.

Determina la probabilidad de que, en un da, un autobs sufra una avera.


El suceso "sufrir una avera" (Av) puede producirse en las tres lneas, (L1,

L2, L3). Segn el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las

probabilidades del diagrama de rbol adjunto, tenemos:

P(Av) = P(L1) P(Av/L1) + P(L2) P(Av/L2) + P(L3) P(Av/L3) =

= 0.6 0.02 + 0.3 0.04 + 0.1 0.01 =

= 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

Una empresa del ramo de la alimentacin elabora sus productos en cuatro

factoras: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de produccin total que se fabrica

en cada factora es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y

adems el porcentaje de envasado incorrecto en cada factora es del 1%,

2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. Cul es la

probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?

Llamando M = "el producto est defectuosamente envasado", se tiene que

este producto puede proceder de cada una de las cuatro factoras y, por

tanto, segn el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las

probabilidades del diagrama de rbol siguiente, tenemos:

P(M) = P(F1) P(M/F1) + P(F2) P(M/F2) + P(F3) P(M/F3) + P(F4) P(M/F4) =

= 0.4 0.01 + 0.3 0.02 + 0.2 0.07 + 0.1 0.04 = = 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028


1.9. Teorema de Bayes:

En el ao 1763, dos aos despus de la muerte de Thomas Bayes (1702-

1761), se public una memoria en la que aparece, por vez primera, la

determinacin de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han

podido ser observados. El clculo de dichas probabilidades recibe el nombre

de teorema de Bayes.

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de

cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se

conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad

P(Ai/B) viene dada por la expresin:

Este teorema es aplicable cuando los eventos para los que se quiere aplicar la

probabilidad revisada son mutuamente excluyentes y su unin es todo el

espacio muestral, por lo tanto son eventos colectivamente exhaustivos.

Ejemplos:

Tres mquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente,

del total de las piezas producidas en una fbrica. Los porcentajes de

produccin defectuosa de estas mquinas son del 3%, 4% y 5%.

a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea

defectuosa.

b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la

probabilidad de haber sido producida por la mquina B.

c. Qu mquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada

pieza defectuosa?

Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La

informacin del problema puede expresarse en el diagrama de rbol

adjunto.

a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa,

P(D), por la propiedad de la probabilidad total,


P(D) = P(A) P(D/A) + P(B) P(D/B) + P(C) P(D/C) =

= 0.45 0.03 + 0.30 0.04 + 0.25 0.05 = 0.038

b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparndolas con el valor de P(B/D) ya

calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

La mquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza

defectuosa es A

Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y

1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y

extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, cul es la probabilidad de

haber sido extrada de la urna A?


Llamamos R = "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama

de rbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia

de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes,

tenemos:

1.10 Bibliografa:

Anderson, D., Sweeney D., Williams T. Estadstica para

Administracin y Economa.

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Dcima Edicin., Mxico.

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Bello, Cuarta Edicin,

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