tema30 historia de las matematicas

Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI

Especialización enDocencia Matemática

Tema 30: Historia de las Matemáticas


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Historia de las Matemáticas

Contenido de este documento:

Matemáticas prehelénicas

Grecia: el nacer de una nueva concepción científica

La matemática china

Las matemáticas árabes

De la Edad Media al Renacimiento

El Renacimiento

La aparición del Logaritmo

La concepción de una matemática moderna

Descartes

Pierre Fermat

La transición al Cálculo

Preparando el camino para Newton y Leibniz

1. Matemáticas prehelénicas

La idea de número actual como ente abstracto, que es tan evidente,

es el fruto de una larga evolución y trabajo de abstracción de la mente

humana. En un inicio el único número representado era el uno, como una

marca realizada en un hueso o pedazo de madera, en una piedra, etc. Se

hacía una marca para cada cosa, de esa forma se contaba. De aquí

llegamos, tras largos períodos, hasta la representación; la necesidad de

transmitir cantidades mayores hace necesaria la adopción de una

representación del número. Los signos con las manos son, parece ser, las

formas más primitivas. La asociación de cantidades a las posiciones de

las manos o incluso a lugares del cuerpo, son la base de los signos

numéricos de muchas civilizaciones. Pero una cosa es el número como

cantidad y el signo que lo representa y otra muy distinta es la idea

sucesiva de número y del orden de los números. Los primeros indicios de

Sistemas de Numeración los encontramos en las civilizaciones egipcias,

sumerias y babilónicas. Si bien es cierto que la numeración maya o china

es también muy antigua, esta no ha tenido influencia en la historia de la

matemática europea. El sistema de numeración sumerio se basa en

los conocidos calculi, pequeñas piedras de arcilla datadas de la segunda

mitad del IV milenio a. C., en las que con diversas formas representaban

cifras distintas: el cono pequeño vale 1, la bola 10, el cono grande 60, el

gran cono perforado 3600 y la esfera perforada 36000. Estos objetos

se guardaban en una bola envoltorio hueca, mucho más grande que el

resto, se utilizaba para envolver el contenido. De esta forma, cuando se

cerraba un trato, los calculi se depositaban en el interior de la bola

hueca. La bola sellada hacía perenne el contrato, y si se quería saber el


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contenido, para no tener que romperlo, se realizaba en su superficie

unas muescas que representaban los calculi introducidos.

En Mesopotamia aparece la escritura cuneiforme sobre el 3300 a. C.

cuyo soporte era en arcilla. Se manejaban dos tipos de símbolos: un

clavo para la unidad y una espiga para la decena, y estaba basado en un

sistema de numeración de base 60. En Egipto, la escritura jeroglífica

tenía símbolos para las potencias de diez entre 1 y un millón. En estas

civilizaciones el sistema de numeración es un sistema aditivo, esto es,

para representar el trece se utiliza tres veces el símbolo del uno y una

vez el símbolo del diez, de esta forma no existe todavía en estas culturas

el sistema numérico posicional.

El sistema de numeración romano, según la clasificación de Georges

Ifrah, sería un sistema híbrido entre el aditivo y posicional. Para los

romanos el uno era I, el cinco V, el diez X, el cincuenta L, el cien C,

quinientos Q y mil M. Con la regla de que todo número colocado a la

izquierda de una cifra superior se resta.

El origen de la numeración de posición está en la cultura árabe. Los

primeros datos los encontramos junto al descubrimiento del alfabeto, en

el S. XV a. C., en la zona de Siria-Palestina, los semitas del Noroeste en

un afán de abreviación, buscaron romper con las escrituras inútilmente

complicadas de tipo egipcio o asirio-babilónico. A partir del S. IX a. C. la

escritura alfabética de origen fenicio, de veintidós letras, se expande por

las costas del Mediterráneo y poco a poco fue adoptada por los pueblos

occidentales, que la adaptaron a sus lenguas respectivas, modificándola

y añadiendo algunos signos. Los símbolos actuales nuestros, del 1 al 9

provienen del brahmi, la primera escritura de este tipo data del S. III a.

C. (los edictos de Ashoka en diversas regiones del Imperio de los

Maurya).

Las matemáticas que se reflejan de los documentos obtenidos en

Egipto y Mesopotamia indican un uso de la matemática instrumental, es

decir de indicación más o menos útiles para resolver problemas

similares. La preocupación no radicaba en los objetos matemáticos en sí,

no buscaban sus propiedades ni reglas ni en la fundamentación de las

conclusiones obtenidas, sino que se limitaba a exponer cómo manejar

instrumentalmente esos objetos matemáticos en situaciones concretas.

Hay muchos documentos que se conservan desde la antigüedad: el

papiro de Moscú de 1890 a. C. contiene 25 problemas resueltos; el

Papiro Leather de 1800 a. C. contiene una tabla de 26 descomposiciones

de fracciones unitarias; el papiro de Berlín de 1800 a. C., con dos


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67 1 → 67

134 2

268 4

536 8 → 536

1072 16 → 1072

1675

problemas de ecuaciones, una de ellas de segundo grado; papiro de

Reisner contiene cálculo de volúmenes.

Pero sin duda alguna el más importante documento matemático

egipcio que se conserva es el conocido como Papiro de Rhind o Papiro de

Ahmes. En 1858, el egiptólogo y anticuario escocés Henry Rhind adquirió

en una ciudad comercial del Nilo un papiro de 30 cm de alto y 6 m de

longitud, depositado actualmente en el British Museum. El documento

data de 1650 a. C. El autor es el escriba Ahmes, de ahí los dos nombres

con los que se le conoce, y está escrito con escritura hierática, una

escritura que se adapta mejor al pincel y al soporte sobre el que está

elaborado.

De los métodos utilizados por los egipcios destaca de forma especial

la utilización de las fracciones. Su técnica se basaba principalmente en el

uso de fracciones unitarias. De este modo las fracciones irreducibles de

numerador distinto de uno se descomponían en fracciones unitarias,

aquella cuyo numerador es uno, por ejemplo la fracción

se

descomponía como la suma

De hecho el papiro de Rhind

comienza con una tabla en la que se expresan las fracciones

como

suma de fracciones unitarias distintas para todos los valores desde n = 5

hasta n = 101, de esta forma

,

, y

.

La multiplicación en la época de Ahmes se basa en la duplicación, por

ejemplo para multiplicar 67 por 25, se consideran todas las potencias de

2 menores que 25 desde 20=1, en este caso 1, 2, 4, 8 y 16. Se forma

una tabla de dos columnas, en la primera columna se considera 67 y se

duplica tantas veces como potencias de 2 se consideran, en este caso 4

duplicaciones.

Como el número 25 es suma de

las potencias de dos 1+8+16, se

suman las duplicaciones

correspondientes, esto es,

67+536+1072=1675 obteniendo

el resultado del producto.

En el campo actual de la resolución de ecuaciones algebraicas,

encontramos en las civilizaciones egipcia y babilónica los primeros

antecedentes. En el caso de la civilización egipcia, son los primeros en

aplicar el método, que hoy se conoce como Regula falsi o Método de la

falsa posición, consiste en suponer un resultado cierto y, posteriormente,

calcula la proporción para que el resultado final sea correcto. Por

ejemplo, en el problema 24 se propone, “calcular el valor de un montón,


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si el montón y un séptimo del montón es 19”. La solución dada por

Ahmes es la siguiente: supón que el montón es 7, entonces 87.7

17 .

Pero el resultado correcto debería ser 19, como 198

19.8 , tendremos que

multiplicar 7 por 8

19 , para obtener el valor correcto y lo expresa con

fracciones unitarias como 625,168

1

2

116

En 1930 Neugebauer descubrió que los babilónicos habían trabajado

con ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, en un problema se pide el

lado de un cuadrado tal que si al número de su área le restamos el

número de su lado obtenemos 14,30 (en notación sexagesimal). Esta

ecuación sería la equivalente a la que hoy escribiríamos como

(en notación decimal: ). La solución encontrada era

la siguiente: 1º Toma la mitad de 1, que es 0;30, y multiplica 0;30 por

0;30, que es 0;15; suma este número a 14,30, lo que da 14,30;15. Este

es el cuadrado de 29;30; ahora suma 0;30 a 29;30, cuyo resultado es

30, que es el lado del cuadrado. Es la aplicación directa, en notación

sexagesimal, de la conocida fórmula de resolución de una ecuación

cuadrática Otro elemento que nos muestra

los avances de la matemática babilónica es la resolución de algunas

ecuaciones cúbicas. En Babilonia se habían calculado tablas de

cuadrados, de cubos y de las sumas de los cuadrados y los cubos. Con

ayuda de esas tablas resolvían ecuaciones del tipo . Era

bastante sencillo mirando las tablas obtener . O la ecuación

mirando en las tablas obtenían .

Para las ecuaciones del tipo , los babilonios

usaban su método de sustitución: multiplicaban primero por 12 ambos

miembros y hacían , la ecuación se convierte en ,

de donde mirando en las tablas , por tanto . Las

ecuaciones del tipo se reducían a la forma canónica

multiplicando ambos miembros por

para obtener la ecuación

y resolverla por sustitución.

2. Grecia: el nacer de una nueva concepción científica.

Desde los siglos IX al VII a. C., la crisis social vivida en la Grecia

antigua produjo una serie de corrientes migratorias y colonizaciones de

las costas del Mediterráneo y del mar Negro, lo que se tradujo en unas


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importantes influencias culturales mutuas. El mundo griego descubrió, a

través de las diversas culturas a las que se acercaba, una diversidad de

mitos entre las distintas civilizaciones, claramente incompatibles entre sí.

Desde luego era claro que todos no podían ser verdaderos, pero, dando

un paso más, la pregunta “¿lo serán los mitos griegos?” era inmediata. Y

si éstos eran tan falsos como los demás, ¿dónde estaba la verdad

necesaria?

A mediados del siglo VII a. C., la pérdida sistemática de creencias

produce una profunda crisis intelectual en Grecia, de la que arranca la

filosofía griega, cuya finalidad última era la búsqueda de una explicación

necesariamente verdadera acerca del mundo, de la estructura de lo real

y de sus orígenes. La búsqueda de la verdad, como no podía ser de otra

forma, se apoyó en dos creencias. La primera, que el mundo es

inteligible por la mente humana y la segunda, que en lo que cambia no

puede residir la verdad, la auténtica verdad, la verdad sin condiciones. La

realidad se manifiesta en apariciones cambiantes, y la verdad reside en

el trasfondo inmutable oculto por la realidad aparente.

Las matemáticas griegas se extienden, aproximadamente, en el

período que va entre el 600 a. C. al 640 d. C. Es habitual considerar la

producción matemática griega dividida en tres etapas, con la siguiente

caracterización:

1. Período helénico: 600 al 300 a. C.

a) Períodos jónico y pitagórico: 600 al 450 a. C.

b) Los siglos V y IV: 450 al 300 a. C.

2. Período greco-alejandrino: 300 a. C. al 415 d. C.

a) El siglo III.

Los matemáticos más célebres de este siglo de oro de la

cultura griega son: Euclides, Arquímedes y Apolonio.

b) Los siglos II a. C. al II d. C.

c) Edad alejandrina tardía: 250 al 350 d. C.

Los matemáticos más celebres de esta época son Diofanto y

Pappus (290-350).

d) El final del período alejandrino: 350 al 415 d. C.

3. El final del mundo griego: 415 al 640 d. C.

Es comprensible la relevancia que toman las matemáticas para la filosofía griega. Los números y las figuras geométricas se trataban como

objetos inmutables, no sometidos a cambios, descarnados de cualquier

realidad aparente. Y las matemáticas, pasarán a ser, así, una forma de


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acceso a la verdad. Los nuevos filósofos griegos empiezan a cultivar las matemáticas, pero unas matemáticas puras, alejadas por completo de

aquellas matemáticas aplicadas del mundo prehelénico. Las matemáticas, experimentan un cambio profundo de Egipto y Mesopotamia a Grecia,

pasando de ser una manipulación instrumental de los objetos matemáticos a un estudio de sus propiedades necesariamente

verdaderas, es decir, a buscando una ontología de los objetos

matemáticos.

Las primeras matemáticas griegas, tanto en Thales, que vivió entre

los siglos VII y VI a.C., y su escuela (la Filosofía Natural Jónica), como luego en Pitágoras, que vivió en el siglo VI a.C. y los pitagóricos, tienen

una serie de características distintivas: su objetivo es averiguar propiedades intrínsecas verdaderas de los objetos matemáticos; se trata

de conseguir propiedades necesariamente verdaderas, sencillas y completamente inútiles para las necesidades prácticas de la vida

cotidiana; los teoremas “mostraban” la validez universal de sus afirmaciones.

¿Cuál era éste método que les permitía a Thales y a los pitagóricos estar seguros de que sus afirmaciones eran verdaderas necesariamente?

La demostración, tenía la característica esencial de ser una presentación a la percepción visual; de ahí que el vocablo teorema tenga la misma raíz

griega que teatro, pues en el primer caso indica lo que se contempla, y

el segundo indica contemplar. De este modo los números y las figuras geométricas ponían en evidencia sus propiedades, por un simple proceso

visual que encerraba un grado de certeza irrefutable. Así, Thales para demostrar que “en cualquier círculo cualquier diámetro lo divide en dos

partes iguales”, giraba el círculo media vuelta alrededor del diámetro, con lo que cada semicírculo pasaba a ocupar la posición que ocupaba antes el

otro. De la misma manera, los pitagóricos para demostrar que “la suma de dos números impares cualesquiera es un número par”, disponían los

dos números distribuidos en parejas; como los dos son impares sobrará una unidad en cada uno y al unirlos, ambas constituirán una pareja, con

lo que la suma resultará un conjunto de parejas y consecuentemente un número par.

Este método “empírico visual” más que demostrar en un sentido

actual, a pesar de la aparente irrefutabilidad de sus conclusiones, lo que

hacía era “mostrar”. Y con este método se construyeron las primeras

“matemáticas modernas” durante aproximadamente cien años. Así, con

este método Thales demostró que:

1. Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un

diámetro.

2. Al cortarse dos rectas, los ángulos opuestos por el vértice son

iguales.

3. Si un triángulo tiene dos lados iguales, los ángulos opuestos a


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esos lados son iguales.

4. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de

uno de ellos son respectivamente iguales a dos ángulos y

un lado del otro, entonces los dos triángulos son

congruentes.

5. Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Pero es la aparición de un “monstruo” en el seno de las matemáticas

pitagóricas la que pondrá fin a este método y será, a su vez, el origen

del método axiomático-deductivo, cuya vitalidad ha persistido hasta

nuestros días, con las matizaciones que más adelante realizaremos.

Para la filosofía pitagórica todo objeto estaba formado por un cierto

número de átomos, entendidos como pequeñas esferas indivisibles, por

lo que los entes podían identificarse por el número de estos átomos, de

suerte que todo podía aritmetizarse. Desde esta óptica los pitagóricos

desarrollan la aritmética y también la geometría, que la aritmetizan. Y es

en esta última, en la medida de los segmentos, en donde se produce la

aparición del primer “monstruo” matemático: los segmentos

inconmensurables.

Desde su concepción filosófica, desde su creencia, concluían que

dados dos entes cualesquiera, uno de ellos estaría formado por un cierto

número de esferas indivisibles y el otro por esferas. Los pitagóricos

creían que siempre sería posible encontrar un cierto número ,

suficientemente pequeño, que esté contenido un número exacto de

veces tanto en p como en , de donde se obtendría que y .

La existencia del valor siempre y en todos los casos, permite obtener

una de una unidad de medida común y por tanto “todo es expresable en

términos de números”, todas las cosas son medibles y expresables como

proporciones. Este proceso para calcular r se llamaba antiphairesis, que

no era otra cosa que lo que más tarde aparecerá y se conocerá como

algoritmo de Euclides, para el máximo común divisor de y . Mediante

este procedimiento, vistos los números como segmentos, el segmento

menor se lleva tantas veces como sea posible sobre el mayor, el resto

se llevará, de la misma forma, sobre el menor de los dos anteriores; el

nuevo resto se llevará ahora sobre , y así sucesivamente, llegándose

necesariamente, desde la concepción atomista de los pitagóricos, a un

resto ; por tanto, será la mayor unidad de medida común a

ambos segmentos.

La teoría pitagórica se basaba por tanto en la proporcionalidad. Y es

dentro de ésta donde Hipaso de Metaponto (siglo V a.C.) encontró una

pareja de segmentos inconmensurables, cuando trató de conocer la

proporcionalidad entre el lado del pentágono regular y la diagonal del

mismo. Al aplicar el método de antiphairesis, observó que al cabo de


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tres etapas se volvía a repetir el proceso con el pentágono interior

formado por la intersección de las diagonales, esto es que

, y así

de forma indefinida. Pero si dos segmentos admiten una unidad de

medida común, la antiphairesis debe tener un número finito de pasos;

por lo que, si este proceso no tiene fin debe ser porque no hay ninguna

unidad de medida común a los dos segmentos.

Pero este no era el único número inconmensurable (que no tiene

medida) encontrado, la diagonal de un cuadrado también lo era, y con él

muchos otros números. El razonamiento utilizado para deducir la

inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado con el lado es el

siguiente. Supongamos un cuadrado cuyo lado AB sea impar, si nos

fijamos en la razón

entre la diagonal y el lado, observamos que

también es la razón entre la hipotenusa y el cateto en un triángulo

rectángulo isósceles ABC.

Como , se tiene que . Entonces dado

que es par, tiene que serlo también, puesto que el cuadrado de

cualquier número impar es impar. Ahora bien, si es par, entonces

y por tanto como se tiene que , de

donde, , por lo que , es decir que es par, en

contra de lo supuesto inicialmente.

Esta demostración, que es la misma que se usa en la actualidad,

aparecía incluida en antiguas ediciones de los Elementos de Euclides


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como proposición 117 del libro X. Sin embargo, lo más probable es que

no apareciera en el texto original de Euclides y, por tanto, se suele omitir

en las ediciones modernas.

Las consecuencias de este hallazgo fueron demoledoras y

condujeron a la primera gran crisis de los fundamentos de las

matemáticas. Desde luego dio al traste con la teoría atómica de los

pitagóricos, pero sobre todo invalidó el método empírico-visual aceptado

hasta el momento. ¿Cuál era la naturaleza de los objetos matemáticos?,

¿de qué estaba hecho un segmento?; si los objetos matemáticos no eran

tan simples como se había pensado, el examen directo de los mismos ya

no podía aceptarse como garantía de verdad, la intuición había entrado

en crisis, ¿por quién sustituirla?, ¿qué método podría garantizar la

verdad de los resultados que se obtuviesen?

Así, el concepto de demostración varía radicalmente, frente a la

percepción de la verdad puesta en evidencia al “mostrar” las cualidades

de los objetos matemáticos, aparece la validación de la verdad a través

de un encadenamiento de afirmaciones sobre un sistema de objetos

matemáticos, que comienzan por axiomas y proceden por aplicaciones

sucesivas de las leyes deductivas correctas. La afirmación final de cada

cadena, necesariamente verdadera, es un teorema. Las demostraciones

han de ser procesos finitos, por eso aunque Hipaso de Metaponto

descubre los segmentos inconmensurables, la demostración de ello no

podía fundamentarse en un proceso ilimitado. Es de la mano de los

eleáticos, escuela antagónica de los pitagóricos, que mantenían que la

realidad era una e indivisible, de la que proviene el procedimiento para la

demostración, concretamente de Zenón (s. V a. C.) que introduce la

demostración indirecta o demostración por reducción al absurdo. Este

método será la característica esencial de la obra de Euclides (365–300 a.

C.).

Los Elementos de Euclides, fue concebido como un libro de texto, no

como un compendio del saber de la época, para estudiantes avanzados.

Los Elementos se componen de trece libros a los que en época posterior

se añadieron dos más: el libro XIV de Hypsicles (S. II a. C.) y libro XV,

presumiblemente de Damasquios (S. V d. C.) el contenido del conjunto

de los libros está estructurado de la forma siguiente:

Planimetría

Libro I. Del punto al teorema de Pitágoras del periodo jónico.

Libro II. Álgebra geométrica del periodo jónico.

Libro III. Teoría del Círculo del periodo jónico.

Libro IV. Polígonos regulares inscritos y circunscritos del periodo

jónico.


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Libro V. Extensión de la teoría de las magnitudes a los irracionales

de periodo helénico (Eudoxo).

Libro VI. Proporciones: aplicación a la planimetría del periodo

helénico.

Teoría de números

Libro VII. Teoría de divisibilidad de números primos de origen

pitagórico.

Libro VIII. Números cuadrados y cúbicos, series geométricas de

origen pitagórico.

Libro IX. Teoría de lo par e impar de origen pitagórico.

Irracionales

Libro X. Clases de irracionales cuadráticos. Anexión de áreas. del

periodo helénico (Teeteto).

Estereometría

Libro XI. Estereometría elemental del periodo jónico.

Libro XII. Método de exhausción: pirámide, cono, esfera del

periodo helénico (Eudoxo).

Libro XIII. Poliedros regulares del periodo helénico (Teeteto).

Si consideramos la estructura de cada libro se puede observar que

está estructurado en definiciones, postulados o axiomas, nociones

comunes, proposiciones y lemas. El libro I comienza con 23 definiciones

y cinco postulados. Se puede afirmar que el quinto de estos primeros

cinco postulados (axiomas) ha sido el gran quebradero de cabeza para

muchos matemáticos hasta el siglo XIX, estos postulados son:

1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera

hasta un punto cualquiera.

2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.

3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.

4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.

5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos

internos del mismo lado menores que rectos, las dos rectas

prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el

que están los menores que dos rectos.


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Ninguna proposición de los Elementos ha tenido una vida tan agitada

como la del quinto postulado. Siempre estuvo rodeado de un futuro

incierto. Su redacción, bastante diferente a la de los otros cuatro,

produjo sobre él una gran cantidad de acontecimientos. En algunas

ediciones fue asumido como postulado por la tradición de respetar a su

traductor Adelardo de Bath y en la edición de Giovanni Campano (1482),

así como por varios editores y comentadores renacentistas: Zamberti

(1505), Luca Paccioli (1509), Tartaglia (1543), Commandino(1572). En

otras muchas, quizás a partir de la editio princeps de Simon Grynaeus

(1533), han preferido incluirlo entre las nociones comunes: F. Candalla

(1556), Clavio (1574), Vitale (1682), Gregory (1703).

Pero el trance más radical fue el de parecer una proposición

necesitada de prueba, esta amenaza se cernió sobre él desde un

principio. Proclo, historiador griego y director de la Academia de Atenas

en el S. V, afirma en sus Comentarios al libro I de los Elementos de

Euclides: Debe ser borrado por completo de los postulados porque se

trata de un teorema henchido de dificultades, que Tolomeo se propuso

resolver en un libro, y su demostración requiere varias definiciones y

teoremas. Más aún: La proposición conversa es efectivamente

demostrada por el propio Euclides como un teorema. Proclo alude al

parecer a la proposición 17 del libro I: “La suma de dos ángulos

cualesquiera de un triángulo es menor que dos rectos”, pues el postulado

quinto equivale a decir que las rectas, al llegar a encontrarse por el lado

correspondiente a los ángulos cuya suma es menor que dos ángulos

rectos, forman un triángulo.

En el caso presente -continúa Proclo un poco más adelante-, el hecho

de que las rectas convergen cuando los ángulos rectos son minorados,

es cierto y necesario; por contra, la afirmación de que como convergen

más y más a medida que se prolongan, llegarán alguna vez a

encontrarse, es una afirmación verosímil pero no es necesaria a falta de

un argumento que pruebe que esto es verdad acerca de las líneas

rectas. Pues el hecho de que haya algunas líneas que se aproximan

indefinidamente pero permanecen sin tocarse [asÿmptotoi], por más

improbable y paradójico que parezca, también es cierto y está

completamente comprobado en relación con líneas de otro tipo. ¿Por

qué en el caso de las rectas no es posible lo mismo que ocurre con las

líneas mentadas?

Finalmente, el intento fallido de reducir el postulado desembocó en

el alumbramiento de las geometrías no euclidianas en el siglo XIX.

El nombre de Eudoxo de Cnido (ca. 408 - ca. 355 a. C.) no puede

pasar desapercibido en cualquier estudio sobre ciencia y cultura griega.

Según algunos autores se le puede considerar el más grande de los

matemáticos griegos, tan solo superado por Arquímedes. Discípulo de

Platón, fue médico, astrónomo, geómetra, legislador y geógrafo. Creó la


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primera teoría astronómica de los movimientos celestes. En el terreno

de la matemática su primera contribución fue dar un nuevo enfoque a

las proporciones. El descubrimiento de cada vez más inconmensurables

hizo necesario hacer frente a este tipo de números. ¿Cómo extender los

procedimientos y demostraciones geométricas que se basaban en

longitudes, áreas y volúmenes conmensurables a los inconmensurables?.

Esto, que hoy es algo usual, para los griegos, y sobre todo desde que

Platón introdujera el rigor en el procedimiento deductivo, debía

comenzarse por unas premisas y mediante una cadena de razonamientos

deductivos llegar a una proposición. Esto era la demostración legítima de

la proposición. En este campo, Eudoxo introdujo la idea de magnitud

continua. No se trataba de números sino de entidades, tales como

segmentos, ángulos, áreas, volúmenes y tiempo que podían variar de

una manera continua. No se producía un salto desde el tres al cuatro. Es

importantísima la introducción de este hecho puesto que lleva implícita

en sí misma la idea de cálculo infinitesimal. Para tomar consciencia de la

importancia y dificultad de este concepto consideremos la definición del

axioma 5 del libro V de los Elementos que Euclides tomó de Eudoxo: Se

dice que dos magnitudes están en la misma razón, la primera a la

segunda y la tercera a la cuarta, cuando, tomados cualesquiera

equimúltiplos de la primera y la tercera y cualesquiera equimúltiplos de

la segunda y la cuarta, entonces los primeros equimúltiplos ambos

exceden, son iguales o son menores que los segundos equimúltiplos,

tomados en el orden correspondiente.

Es decir,

si y solo si, dados dos números naturales cualesquiera

y , si entonces , o si entonces , o bien

si entonces . Por ejemplo, para demostrar que

,

elegimos 3 y 5 al azar, si multiplicamos 3 y 4 por 3 obteniendo 9 y 12, si

multiplicamos 6 y 8 por 5, obteniendo 30 y 40, como se verifica que

9<30 entonces se tiene que 12<40, Por el contra, como

podemos

encontrar dos números 3 y 7, tales que multiplicando 3 y 2 por 7

obtenemos 21 y 14 y multiplicando 6 y 5 por 3, obtenemos 18 y 15 y se

tiene que mientras que 21>18 no es cierto que 14>15. Por lo que hemos

encontrado una pareja de números, 7 y 3, que no cumplen la condición

de equimúltiplos.

Hoy día utilizamos esta proposición para caracterizar la igualdad de

proporciones en el sentido de que,

, la definición de

Eudoxo, se utilizó en el S. XIX para generar una cortadura de Dedekind,

tomando los racionales en dos subclases, según que o .

Pero la mayor contribución de Eudoxo a la matemática fue lo que se

conoce como Método de Exhausción. Surge de la comparación entre las

áreas de figuras curvilíneas o, lo que es lo mismo, la cuadratura de estas,


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que era uno de los grandes retos de la matemática griega. En la

proposición 1 del libro X de los Elementos se recoge la base fundamental

de este método: Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la

mayor una magnitud mayor que su mitad y, de la que queda una

magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una

magnitud que será menor que la magnitud dada. Este enunciado equivale

a los que hoy escribiríamos así,

entonces tal que si se verifica que por lo que se

puede afirmar, en términos actuales que

Veamos la aplicación que Eudoxo hizo de este método a la

demostración de que las áreas de dos círculos son en sí como las áreas

de los cuadrados construidos sobre sus diámetros, demostración que los

Elementos de Euclides recogen en la proposición 2 del libro X. Sean dos

círculos y de diámetros y y áreas y . Se trata de probar que

Veamos que no puede ocurrir que

; en ese caso existiría

tal que

; sea como . Inscribimos en los círculos

y dos polígonos regulares de lados y sean y sus áreas

respectivas.

Si consideramos las áreas intermedias entre los polígonos y los

círculos, es obvio que estas áreas intermedias son menores la mitad de

las áreas de los círculos. Por lo tanto, si duplicamos el número de lados

de los polígonos, estas áreas intermedias se van reduciendo hasta que

se tenga , y entonces, dado que , tendremos que

. Ahora bien, se sabe que las áreas de los polígonos semejantes

inscritos en círculos son uno a otro como los cuadrados de los diámetros

(Libro XII, prop. 1 de los Elementos), esto es que

, y como

habíamos supuesto que

resulta que

; por lo tanto si

entonces deberá ser . Pero es el área de un polígono inscrito en

el círculo de área , con lo que también


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Contradicción, es falsa la premisa de que

-.De forma análoga se

comprueba que

tampoco puede ocurrir. Con lo cual la única

posibilidad es que

Arquímedes de Siracusa estudió en Alejandría y fue discípulo de

Euclides. Pero Arquímedes (ca. 287- ca. 212 a. C.) nació y vivió en

Siracusa, su vida ha sido muy novelada, como suele ocurrir con los

grandes. Es sin duda uno de los matemáticos más grandes de la historia.

Fue el primero en expresar con corrección la idea de infinitamente grande

e infinitamente pequeño que expresaba así: Si hay mucho, éste debe ser

a la vez grande y pequeño, y efectivamente grande hasta la inmensidad

y pequeño hasta la insignificancia.

Arquímedes utilizó el método de Eudoxo para resolver los primeros

problemas de integración. Este método, con un razonamiento formal, lo

expuso en Método de los teoremas deducibles mecánicamente. Con él

da una rigurosa demostración de la cuadratura de la parábola en la que

emplea, por primera vez en la historia, la suma de una serie geométrica

infinita. En el año 225 a. C., escribe Sobre la cuadratura de la parábola

donde obtiene el primer avance importante, calcular que el área de un

segmento de parábola es igual a

del área de un triángulo con la misma

base y vértice o

del área de paralelogramo circunscrito.

Dado un segmento parabólico con base en el segmento , el punto

es el más alejado desde la base y se llama vértice del segmento, y la

(perpendicular) distancia de a es su altura. Arquímedes probó que

el área del segmento es cuatro tercios del área del triángulo inscrito .

Esta área, la del segmento de la parábola, es

veces el área de un

triángulo con la misma base y la misma altura.

En la obra titulada Medición del círculo demuestra las tres

proposiciones siguientes:

1. Todo círculo es equivalente a un triángulo rectángulo, uno de los

catetos es igual al radio y el otro al perímetro del círculo.

2. El área del círculo es al cuadrado de su diámetro como 11 es a 14.


- 16-

3. El perímetro de todo círculo es igual al triple del diámetro

aumentado en un segmento comprendido entre

de dicho

diámetro.

Veamos el razonamiento de Arquímedes para demostrar estas

proposiciones. Considera la relación conocida de que el área de un

polígono regular de perímetro y apotema es

. Para demostrar que

Todo círculo es equivalente a un triángulo rectángulo en el que uno de los

catetos es igual al radio y el otro al perímetro del círculo considera las

dos figuras: un círculo de radio , circunferencia y área , y un

triángulo rectángulo con base , altura y área . La proposición

sostiene que y para comprobarlo comprueba que no puede ser

, ni .

Supongamos que el área del círculo es mayor que el área del

triángulo, esto es que o lo que es lo mismo que es positivo.

Al inscribir un cuadrado dentro de un círculo y dividir en dos partes

iguales repetidamente sus lados, se puede llegar a un polígono regular

inscrito en el círculo cuya área difiera del área del círculo en menos que

una cantidad positiva prefijada (Método de Exhausción), o sea que

llamando al área del polígono regular inscrito . De ahí se

deduce que el área del triángulo es menor que el área del polígono

. Por otro lado, el perímetro del polígono es menor que el perímetro

del círculo, al ser este inscrito y su apotema es menor que el radio, se

tiene que

, entonces , contradicción con que

.

Supongamos ahora que ; en ese caso es positiva,

circunscribimos alrededor del círculo un polígono regular, entonces su

área es superior a la del círculo, si llamamos ’ al área del polígono

regular circunscrito, tenemos que, siguiendo un razonamiento similar al

anterior, puedo tomar el polígono de forma que la diferencia con el

círculo sea menor que una cantidad prefijada, esto es ,

resulta entonces que, pero la apotema del polígono es igual al

radio del círculo mientras que el perímetro es mayor que la circunferencia

del círculo, entonces

, entonces está en

contradicción con . Por tanto, al no poder ser el área del círculo ni

mayor ni menor que el área del triángulo, tiene que ser igual a ella.

Arquímedes dedujo la segunda proposición una vez demostrada la

tercera, la cual la deduce del siguiente modo: Arquímedes toma un

hexágono inscrito y otro circunscrito al círculo, entonces el perímetro del

círculo se encuentra comprendido entre el perímetro de los hexágonos

inscritos y circunscritos, esto es


- 17-

Posteriormente duplica el número de lados del hexágono, inscribiendo

un dodecágono y calcula su perímetro, este proceso le obliga a calcular

la raíz de tres con unos métodos similares a los utilizados por los

babilonios, llegando a la aproximación

Después continúa

con los polígonos de 24, 48 y 96 lados. En cada paso tuvo que aproximar

los valores de raíces cuadradas desconocidas y al llegar al polígono de 96

lados encontró que

valor que sustituyó por los valores más sencillos

Volvió a repetir los cálculos con los polígonos circunscritos de 12, 24,

48 y96 lados llegando a que la razón del perímetro del círculo con el

diámetro es menor que

, valor que sustituyó por

. Esto nos da

que Arquímedes llegó, sin conocer todavía , a establecer que su valor

está entre 3.1412989 y 3.1428265.

Arquímedes había obtenido que el área de dos círculos están en la

misma proporción que los cuadrados de sus diámetros, proposición ya

conocida por Euclides, es decir que el área de un círculo es igual que

donde es una constante. Esa constante sabemos que hoy día es

, y

Arquímedes vuelve a sorprendernos con la aproximación

(el valor real

es 0,785398 y el de Arquímedes es 0,785714). Arquímedes ha

calculado el valor de

, como la relación entre el área de un círculo y el

cuadrado de su diámetro. Hay que tener en cuenta que la aproximación

de este valor ha sido una de las constantes en la búsqueda de resultados

matemáticos en toda la historia. De hecho, la demostración de la

irracionalidad de conseguida por Lambert en 1761 se consigue

demostrando la irracionalidad de esa misma fracción de .

En los libros Sobre la esfera y Sobre el cilindro se dedica al cálculo

de superficies no poliédricas y al manejo de longitudes de arcos. Expone

que la relación entre el volumen de un cilindro y de la esfera por él

contenida está en proporción

. Este descubrimiento debió de

satisfacerle especialmente ya que quiso que en su tumba quedara

representada la figura del cilindro y la esfera.

Sobre el método relativo a los teoremas mecánicos, conocido como El

método es sin duda una de las principales obras de Arquímedes. En

1906 Heiberg descubrió en una biblioteca de Constantinopla un

palimpsesto, esto es, un pergamino que se ha lavado para poder volver


- 18-

a escribir de nuevo, que procede del siglo X y lavado en el S. XIII para

escribir textos de carácter religioso. Heiberg mediante técnicas

fotográficas consiguió recuperar 185 páginas donde había copias de:

Sobre la esfera y el cilindro, Sobre el equilibrio de los planos, Sobre

cuerpos flotantes, la mayor parte de Sobre espirales y parte de Sobre la

medida del círculo. Pero además pudo descubrir un nuevo texto

desconocido hasta el momento, lo que será la única copia superviviente

de El Método. Este documento volvió a perderse tras la primera guerra

mundial y apareció en 1991 en manos de una familia parisina que

intentaba venderlo pensando que era un texto religioso. Al texto se le

habían añadido falsas miniaturas de imágenes con la intención de

incrementar su valor. Tras numerosos análisis se comprobó que era el

texto descubierto por Heiberg y en 1998 fue sometido a subasta por la

conocida empresa de subastas Christie’s. Finalmente fue adquirido por

2.2 millones de dólares por una persona anónima y que puso el

documento a disposición de los investigadores en el museo Walters de

Baltimore. En este museo se limpió y proceso el libro con técnicas

modernas de tratamiento de imágenes, lo que ha permitido rescatar el

texto casi en su totalidad.

Esta investigación ha permitido comprobar que Arquímedes llegó a

conclusiones sobre suma de indivisibles muy similares a aquellas que

años más tarde permitieron la invención del Cálculo diferencial por

Newton y Leibniz. Lo fundamental de los trabajos de Arquímedes, tanto

en matemáticas como en física, es su estructuración lógica, el rigor de

sus demostraciones, la originalidad y profundidad de la actividad

intelectual. Así como un magistral dominio de las herramientas de

cálculo.

La muerte de Arquímedes entra en los dominios de la Leyenda. Con el

asedio de Siracusa por los romanos durante la segunda guerra Púnica,

destacó como ingeniero al hacerse cargo de la defensa de la ciudad

cuando ésta fue atacada por Roma. Durante dos años mantuvo en

jaque a la armada de Marcelo; construyó máquinas para lanzar piedras a

gran distancia y palancas con las que, con una sola mano, volcaba los

barcos. De ahí la famosa frase: “Dadme un punto de apoyo y moveré el

mundo”. Se dice, aunque más bien parece cosa de leyenda, que incendió

las embarcaciones de los sitiadores por medio de un sistema de espejos

parabólicos. Finalmente cuando los romanos lograron entrar en Siracusa,

según cuenta Plutarco en Vidas Paralelas, Marcelo quiso conocer a

Arquímedes y ordenó que lo trajeran vivo a su presencia. Arquímedes

absorto en la resolución de un problema no respondió a las órdenes de

un soldado romano quien, sin conocerle, se irritó al no obtener de él

ninguna respuesta y lo mató.

El gran trabajo de Apolonio de Perga (ca. 262- ca. 190 a. C.) en

matemáticas es Cónicas, aunque estas fueron estudiadas mucho antes


- 19-

por otros matemáticos, fue Apolonio quien les dio una forma sistemática.

Se sabe que Apolonio escribió además varias obras: Reparto rápido,

Sección de una razón dada, Secciones en un área dada, Secciones

determinadas, Tangencias, Inclinaciones y Lugares Planos. No se

conserva ningún original de estas obras, sin embargo podemos conocer

el contenido de ellas con bastante precisión según las

descripciones de Pappus. Por ejemplo, de Lugares

planos se sabe que trató los siguientes problemas:

1. El lugar geométrico de los puntos tales que la

diferencia entre los cuadrados de sus distancias

a dos puntos fijos es constante. (La solución es

una recta perpendicular a la que determinan

estos dos puntos).

2. El lugar geométrico de los puntos cuya razón de

distancias a dos puntos fijos es constante y

distinta de uno. (Es una circunferencia, conocida

como “círculo de Apolonio”)

Pero una de las principales contribuciones de

Apolonio es el sistema utilizado para la representación

del movimiento de los planetas: los ciclos y epiciclos.

Propuso dos sistemas:

Sistema epicíclico: el planeta P se mueve girando

uniformemente sobre una circunferencia que tiene su centro C sobre

otra mayor o deferente, con centro en la Tierra (E).

Sistema excéntrico: el planeta P se mueve uniformemente sobre una

circunferencia de centro C que está sobre un círculo menor con

centro en la Tierra (E).

Es evidente que si las distancias de P a C en el sistema epicíclico es la

misma que la distancia de C a E en el excéntrico el movimiento de P es

equivalente en los dos casos.

Este sistema alcanzó gran popularidad entre los astrónomos

durante más de 1800 años debido a que fue adoptado por Ptolomeo

en su Almagesto.

Veamos algunas curiosidades de las Cónicas, de esta obra se

conserva la mitad del original, cuatro de los ocho libros que lo

componen, aunque Thabit ibn Qurra tradujo otros tres al árabe antes de

que se perdieran. En 1710 Edmund Halley publicó una traducción al latín

de los siete libros y desde esta se han realizado después muchas otras

versiones. En esta obra Apolonio da la definición de cono (de dos hojas)

que actualmente manejamos, el generado por una recta que gira sobre

un punto fijo y una circunferencia que no está el en mismo plano que el

punto. Además da el nombre a las cónicas: elipse, parábola e hipérbola

que obtiene y estudia en profundidad en ese cono. Es el primero en


- 20-

considerar la hipérbola como una curva de dos ramas en vez de dos

curvas diferentes.

Además propuso un problema que ha jugado un papel importante a

lo largo de la historia: El lugar geométrico determinado por tres o cuatro

rectas. Se trata de lo siguiente: dadas tres (o cuatro) rectas en un

plano, hallar el lugar geométrico de un punto P que se mueve de tal

manera que el cuadrado de la distancia de P a una de estas rectas es

proporcional al producto de las distancias de las otras dos midiendo

siempre estas distancias en direcciones que formen ángulos dados con

las líneas correspondientes. En el caso de las cuatro rectas el producto

de las distancias a dos de ellas es proporcional al producto de las

distancias a las otras dos. Con los métodos analíticos modernos es fácil

demostrar que este lugar geométrico es una cónica, en el caso de

técnicas geométricas no es sencillo, Apolonio necesitó más de 50

proposiciones para dar la solución. Si las rectas tienen ecuaciones

,

, y los ángulos según los cuales

hay que medir las distancias son y entonces el lugar

geométrico es:

Que al ser una ecuación de segundo grado sobre y es, en general,

el lugar geométrico es una cónica. Posteriormente, Pappus, propuso una

generalización de este problema para más de cuatro rectas y fue esta

generalización del problema la utilizada por Descartes en 1637 para

demostrar la utilidad de su geometría analítica.

Los métodos de Apolonio no difieren en gran medida del

planteamiento analítico moderno, su método se ha llegado a considerar

como una anticipación a la geometría analítica de Descartes. Utiliza

rectas para establecer sistemas de referencia, las distancias medidas

sobre un diámetro a partir de un punto de tangencia son las abscisas y

los segmentos paralelos a la tangente, interceptadas por el diámetro y la

tangente son las ordenadas. Lo que no se consideraban era magnitudes

negativas y cada curva tenía un sistema de referencia propio y diferente

del de otras curvas. No se planteaba describir una curva a partir de un

sistema de referencia, sino al revés, el sistema de referencia depende de

la curva.

Aristarco de Samos (ca. 310 - ca. 230 a. C) escribe sobre el 260 a. C.

el libro Sobre los tamaños de y distancias del Sol y la Luna, en el que

supone un universo geocéntrico, a pesar de que según Arquímedes y

Plutarco, había expuesto un sistema astronómico heliocéntrico. En esta

obra, Aristarco realiza la observación de que cuando la Luna está

exactamente medio llena, el ángulo entre la visual dirigida al centro del


- 21-

Sol y la visual dirigida al centro de la Luna es menor que un ángulo recto

en un treintavo de ese cuadrante (esto es

). Al no disponer

de tablas trigonométricas, Aristarco recurre a las desigualdades

siguientes

, para 0°< α < β < 90°.

De aquí llega a la conclusión de que

, con lo que el Sol

está entre 18 y 20 veces más lejos que la Luna. Hay que destacar que si

bien los resultados se alejan mucho de la realidad, más de 400 veces

más lejos, el procedimiento es totalmente correcto y los resultados

serían válidos si en vez de obtener un ángulo de 87° hubiera obtenido los

89° 50’ correctos. A partir de aquí y con una sencilla semejanza de

triángulos obtuvo la relación de radios entre el Sol y la Luna con la

Tierra.

Para conseguir una estimación de los tamaños reales de la tierra y el

sol, se necesitaba medir el radio de la Tierra. Entonces Eratóstenes de

Cirene (ca.276 - ca. 195 a. C.) realiza los cálculos más precisos de la

época griega. Eratóstenes observó que el día del solsticio de verano, a

mediodía, el Sol alumbraba directamente en vertical el fondo de un pozo

muy profundo en Syena (cerca de Assuan).

Con ayuda de un compañero observaron que en Alejandría, a unos

5000 estadios al norte de Syena, el Sol proyectaba una sombra que

indicaba que el ángulo con el cenit del Sol era de un cincuentavo del

círculo, entonces, por la igualdad de ángulos y , la

circunferencia de la tierra debe ser de 50 veces la distancia entre Syena

y Alejandría. Esto supone un perímetro de 250000 estadios, o bien, como

cada estadio son unos 185 m., unos 46000 Km. Posteriores

aproximaciones llegaron a 252000 estadios, unos 46620 Km.

Otro hecho por el que Eratóstenes es conocido es por su famosa

criba. Es un método para obtener los números primos. Escribe en una

tabla todos los números naturales ordenados de forma creciente, a partir

del dos se va suprimiendo alternativamente uno sí, el siguiente no, a

partir del tercer número (de la sucesión original) se suprime cada tres,

así sucesivamente. Los huecos que quedan son los números primos.

Esto se conoce como “La criba de Eratóstenes”.


- 22-

Claudio Ptolomeo (ca. 83 - ca. 161) escribió el

libro Sintaxis Matemática que tuvo gran

trascendencia en las obras astronómicas y

trigonométricas posteriores, hasta el punto que en

Arabia se le conocía como Almagesto (el más

grande) y desde entonces se le conoce con este nombre. En este libro

se exponen una gran cantidad de tablas trigonométricas y los métodos de

cálculo empleados. Entre esas construcciones está el cálculo de cuerdas

en un círculo, de aquí surge el conocido “teorema de Ptolomeo”:

Teorema: Si es un cuadrilátero convexo inscrito en una

circunferencia, entonces , es decir la suma

de los productos de lados opuestos, es igual que el producto de las

diagonales.

La demostración es sencilla si trazamos el segmento tal que el

ángulo sea igual al ángulo y observamos que el triángulo

es semejante entonces al triángulo y también es semejante a

, entonces

o lo que es lo mismo .

Como también se tiene que

entonces .

Sumando miembro a miembro ambos resultados.

A partir de aquí considera el caso en el que es un diámetro,

entonces si llamamos a , al arco y al arco ,

entonces , ,

y


- 23-

Por lo tanto, el teorema de Ptolomeo conduce a los siguientes

resultados conocidos:

De forma similar se obtendrían

3. La matemática china

La civilización china, una de las más antiguas del mundo situemos

científicamente tiene sus los orígenes unos milenios antes de los griegos.

Entre los muchos autores que podrían destacarse, señalamos al

matemático, geógrafo y astrónomo Zhang Heng (78 - 139), llegó a ser

Astrólogo Jefe y Ministro bajo el Imperio An’ti de China. En el año 123

corrigió el calendario para introducir las estaciones. Posteriormente, en

132, Heng inventó el primer seismoscopio para medir terremotos. El

aparato tenía forma de cilindro con ocho cabezas de dragón rodeando la

parte superior, cada dragón tenía una bola en la boca. Rodeando la parte

inferior había ocho ranas, debajo de cada una de las cabezas de dragón.

Cuando ocurría un terremoto una bola caía desde la boca del dragón

hasta la boca de la rana haciendo ruido. Heng fue la primera persona en

China en construir un Globo celeste giratorio. Escribió sobre el tema en

su libro Hun-i chu donde describe su versión del universo: El cielo es

como un huevo de gallina, y da vueltas como el perdigón de una

ballesta. La tierra es la yema del huevo, completamente sola en el

centro. El cielo es grande y la tierra es pequeña.

La civilización china también realizó aproximaciones al número , en

el S. III Liu Hiu, mediante el cálculo a través de un método similar al de

Arquímedes con un polígono de 3072 lados llega a la aproximación de

3.14159 y, posteriormente, Tsu Cheng-Chih llega al valor de 3.1415927

por exceso y 3.1415926 por defecto, situándolo muy cerca del valor real.

Uno de los documentos más antiguos es el Chui-chang suan-shu o

“Nueve capítulos sobre el arte matemático”, es la obra que

probablemente ejerció la mayor influencia de todos los libros chinos.


- 24-

Contiene 246 problemas sobre agrimensura, agricultura, compañía,

ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de

los triángulos rectángulos. Entre las técnicas de resolución expuestas

destaca el método de la “falsa posición”.

Uno de los problemas más conocidos del noveno y último capítulo de

libro es el “problema del bambú roto”: Hay un bambú de 10 pies de

altura que se ha roto de tal manera que su extremo superior se apoya en

el suelo a una distancia de tres pies de la base, se pide calcular a qué

altura se ha producido la rotura.

Es muy destacable en los Nueve capítulos la introducción de los

cuadrados mágicos; según cuenta una leyenda, en los días del

emperador Yii, famoso ingeniero hidráulico, vio una tortuga del río que

llevaba en su caparazón el siguiente cuadrado mágico:

4 9 2

3 5 7

8 1 6

También destacamos la resolución de un sistema de ecuaciones

mediante el método que hoy conocemos como Método de Gauss. Para a

resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

escribiendo el sistema en columnas y mediante operaciones sobre dichas

columnas de la matriz reduciéndola a la forma triangular

con lo que se obtiene el sistema de ecuaciones

de donde se obtiene fácilmente, y de forma sucesiva que las soluciones

son

Uno de los últimos matemáticos chinos fue Chu Shih-Chieh (ca. 1270 - ca.1330), que escribió dos tratados Suan-hsüeh ch’i-meng o

“Introducción a los métodos matemáticos”, que estuvo desaparecido


- 25-

hasta el S. XIX y que no es más que un libro de matemática elemental. El otro Ssu-yüan yü-Chien o ”Espejo precioso de los cuatro elementos”,

escrito en 1303 y que estuvo también perdido durante un siglo, marca la cota del desarrollo chino donde se dan métodos para resolver

ecuaciones individuales de grados hasta 14. Se desarrolla el método de resolución Horner, llamado por él fan fa, si se pretende resolver la

ecuación obtenemos la primera aproximación, que

es o , se aplica, el fan fa que es la transformación

, para obtener la ecuación , el valor

aproximado de la raíz de esta ecuación está entre y , y es

, por lo tanto la solución a nuestra ecuación es

.

Otro trabajo destacable es el de Ch’in Chiu Shao (cas 1202 - ca.

1261) que en su libro Shu-Shu Chiu-Chang o “Tratado matemático en

nueve secciones” marca un sistema de congruencias simultáneas que

posteriormente fue utilizado por Gauss, Lebesgue y Stieltjes. Además es

curioso que utiliza reiteradamente el método Horner para calcular la raíz

cuadrada de 71824. En primer lugar parte de la ecuación ,

determina que la solución es mayor de , por tanto aplica la

transformación x = y – 200 llegando a la ecuación

. Para esta segunda ecuación encuentra que es una aproximación de

la raíz y aplica la transformación – ., obteniendo la ecuación

de la que es una raíz, y por tanto encuentra que

De una forma análoga llega a resolver ecuaciones cúbicas y

cuárticas.

Otro matemático chino fue Yang Hui (ca. 1238 - ca. 1298) que

escribió Cheng Chu Tong Bian Ben Mo o “Alfa y omega de variaciones en

multiplicación y división”. A él se le deben los primeros cuadrados

mágicos chinos de orden mayor que tres y hasta el orden diez, de hecho

dio dos ejemplos de cada orden hasta el ocho, un ejemplo de nueve y

otro de diez. Este tipo de cuadrado ha intrigado a mucha gente desde

entonces, incluso el mismísimo Benjamin Frankiln, diputado por

Filadelfia y redactor, junto a Jefferson y Adams, de la declaración de

Independencia de los Estados Unidos e inventor del pararrayos, en los

debates políticos del congreso se dedicaba a confeccionar cuadrados

mágicos cuando estos se volvían tediosos.

4. Las matemáticas árabes

Mahoma nace aproximadamente en el año 570 en La Meca y muere

en Medina en el año 632. Un siglo después los árabes tienen el control

del Imperio Bizantino, Egipto, Siria, Persia, la India, etc. En el año 755 el

estado islámico se escindió en dos partes, el reino occidental, con capital


- 26-

en Córdoba, y la oriental en Bagdad. Los árabes recogen la herencia

griega, los trabajos de Diofanto, etc. Alrededor del 800 traducen al árabe

los Elementos de Euclides de los bizantinos. Traducen a Ptolomeo en el

año 827. También, entre otros, a Apolonio, Arquímedes, Herón y las

obras hindúes. Conocieron el sistema posicional de los hindúes, pero a

pesar de que estos últimos aceptaban los números negativos, ellos los

rechazaron. Del 650 al 750 fue un desierto intelectual.

De no ser por el despertar cultural de la civilización árabe durante la

segunda mitad del siglo VIII, se habrían perdido una gran cantidad de

obras y conocimientos de ciencia y matemática. En esa época el imperio

Árabe estaba escindido en dos reinos con capitales en Bagdad y Córdoba.

Las dos capitales atrajeron a científicos y apoyaron fuertemente su

trabajo, si bien Bagdad fue la que realizó una labor más importante. Los

sabios procedentes de Siria, Irán y Mesopotamia, judíos o cristianos,

fueron trasladados a Bagdad y formaron la “Casa de la Sabiduría”

comparable al Museo de Alejandría. Los Califas Al-Mansur , Harun Al-

Rasid y Al-Mamun convirtieron a Bagdad en centro de la cultura, durante

el reinado del segundo, conocido por Las mil y una noches, se tradujeron

al árabe parte de la obra de Euclides, pero fue durante el reinad de Al-

Mamun (809 - 833) cuando se dieron rienda suelta a las traducciones.

Se dice que Aristóteles se le apareció al Califa y a consecuencia de ello

decidió traducir al árabe todas las obras griegas, de los bizantinos

trajeron los Elementos de Euclides, en 827 tradujeron el Almagesto y

Tetrabiblos de Ptolomeo, y muchas otras obras de Arquímedes,

Aristóteles, Apolonio, Herón, Diofanto y obras de origen hindú.

Después de leer y asimilar las obras se dedicaron a mejorarlas e

introducir comentarios en ellas. En este proceso surgen grandes

científicos y matemáticos como Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-

Khwarizmi (ca. 780 - ca. 850). El tratado sobre álgebra Hisab al-jabr

w’al-muqäbala, escrito en el 830, es el más famoso e importante de

todos los trabajos de Al-Khwarizmi. En este libro de inspiración en la obra

de hindú Bramagupta (c. 598), aunque también tiene influencias

babilónicas y griegas, introduce métodos de resolución de ecuaciones

lineales y de todos los tipos de ecuaciones cuadráticas. Al-jabr significa

“restauración” del equilibrio mediante la transposición de términos de

una ecuación; muqäbala significa la “simplificación” de la expresión

mediante la cancelación de términos semejantes de cada lado de la

ecuación. Trata también de problemas geométricos, de cálculo de

volúmenes y áreas y de la aritmética de objetos algebraicos.

Precisamente cuando se tradujo esta obra al latín, se conocen dos

versiones, una en árabe y, la primera del S. XII, se tradujo como Ludus

algebrae et almucgrabalaeque, (Juegos de restauración y simplificación).

En todas las traducciones aparece la adaptación de Al-jabr a la palabra

actual álgebra, por ejemplo, la traducción Liber algebrae et almucabala, a


- 27-

la que le falta el prólogo.

En este prólogo Al-Khwarizmi nos indica que el Califa Al-Mamun le

anima a: ... componer una obra breve sobre el Cálculo por las reglas de

la Completación y de Reducción, limitándose a lo que es a la vez más

fácil y más útil en la aritmética, y tal como lo que los hombres necesitan

constantemente en los casos de herencias, legados, particiones, pleitos,

así como en el comercio y en todas sus relaciones unos con otros, o

donde se necesitan mediciones de tierras, excavaciones de canales,

cálculos geométricos y otros asuntos de muy diversos tipos.

El libro se inicia con una introducción sobre notación posicional para

los números y expone, en seis capítulos, la solución de los seis tipos de

ecuaciones considerando la presencia de los tipos de cantidades: Tesoro

(cuadrados), raíces y números, esto es, x2, x y números. Así se obtienen

las siguientes ecuaciones:

Tesoro igual a raíces

Tesoro igual a números

Raíces igual a números

Tesoro y raíces igual a números

Tesoro y números igual a raíces

Tesoro igual a raíces y números

Donde a, b y c son siempre positivos. En su trabajo evita los

números negativos en solitario y la sustracción de cantidades mayores

que el minuendo. Al-Khwarizmi reconoce que una ecuación cuadrática

puede tener dos raíces, pero da solamente las que son reales y positivas,

aunque sean irracionales. Las soluciones están formuladas en forma de

recetas orientadas a completar cuadrados y aplicados a ejemplos

concretos. Las fórmulas se justifican mediante construcciones

geométricas. Veamos a continuación la forma de resolver ecuaciones de

segundo grado propuestas por Al-Khwarizmi, concretamente nos

referimos al cuarto caso, una ecuación del tipo:

Debes tomar la mitad del número de raíces, esto es cinco,

y multiplicarlo por sí mismo y obtienes 25, al que le sumas

el número 39, con resultado 64. Tomas la raíz cuadrada

de este número que es 8 y le restas la mitad de las raíces

y obtienes 3, que es el valor buscado

En notación moderna tendríamos que

que se

corresponde para una ecuación, en general, de la forma q, con

observar que la ecuación se transforma en

y


- 28-

como

, se tiene que

Al-Khwarizmi aporta una justificación geométrica en la que para

resolver esta ecuación identifica con un cuadrado unido a un rectángulo

de altura x y base 10, esta figura tendrá un área total de 39 unidades.

Continúa con la división del rectángulo en dos partes iguales, de base

5 cada una, trasladando y girando 90° se llega a la figura:

Completando ésta con un cuadrado de lado 5, tendríamos una figura

en la cual el área total es de unidades y que también es un

cuadrado de lado .

Pero, como su área es de 64 unidades, el lado debe ser 8, y por

tanto x debe ser 3. En este caso, aunque Al-Kwarizmi es consciente de

que la solución −7, también es posible, no la contempla por ser

negativa.

Otro ejemplo interesante es la resolución del quinto caso: Divide 10

en dos partes, multiplica cada parte por sí misma, sumas y obtendrás 58

dirhams. La solución que él expone para este problema es la siguiente:

Llamamos a una de las partes x, la otra será , multiplícala por si

misma, así obtendrás , y multiplicando por , tendrás

. Súmalas y obtendrás , 58 dirhams. Enriquece los

del deficiente que añadirás a los 58 obteniendo


- 29-

,

Devuelve esto a un único , lo que harás tomando la mitad de todo lo

que tienes, obtendrás

x.

Haz el equilibrio ahí dentro, es decir quita de los 50 los 29, se quedará

Debes tomar la mitad del número de las raíces, en este caso 5,

multiplícalo por sí mismo, obtienes 25 al que debes restar los números,

en este caso 21, obteniendo 4. Extrae la raíz cuadrada que es 2 y lo

restas del número de la mitad de las raíces, que era 5, y obtienes 3 que

es la solución. Si deseas puedes también sumar ese valor 2 a la mitad

de las raíces que es 5 y obtienes 7, que también es solución. Cuando un

problema está dado en esta forma, puedes ensayar con la adición. Si no

resulta, es indudable que resultará con la sustracción. Este es el único

caso en que hay que tomar la mitad de las raíces, y que puede ofrecer

solución por adición o sustracción.

Si observamos este procedimiento de forma geométrica, vemos que

la solución para este problema es la siguiente: Supone que es un

cuadrado de lado desconocido x y añade un rectángulo de la misma

altura y base indeterminada pero con área 21.

Al ser igual que , como la altura de la figura es x, entonces la base

debe ser 10, por lo que divide esta base por la mitad y levanta un

cuadrado con este lado.

Ahora resta un cuadrado desde la parte superior del cuadrado de

lado 5 y las áreas sombreadas son iguales.

Por lo tanto el área sombreada de la siguiente figura también es 21.

Pero el área del cuadrado grande era 25, por lo que el área del

cuadrado más pequeño es , de donde su lado es 2 y por tanto,

, que es la altura del rectángulo, mide . Utilizando un dibujo


- 30-

semejante Al-Khwarizmi encuentra la otra solución positiva x = 7.

Otros libros interesantes de Al-Khwarizmi son: Algoritmi de numero

Indorum, sólo se conserva una traducción al latín, habla sobre el

funcionamiento del sistema decimal de numeración y del cero que se

usaba en la India; Sindhind zij sobre astronomía, basado en los trabajos

hindúes sobre astronomía y en él expone calendarios; cálculos correctos

de la posición del Sol, la Luna y varios planetas; tablas de senos y

tangentes; astronomía esférica; tablas astrológicas; cálculos de eclipses

y visibilidad de la Luna. Al-Khwarizmi también escribió el mayor trabajo

de la época sobre geografía, en él daba las latitudes y longitudes de 2402

localizaciones de todo el mundo: ciudades, montañas, mares, islas,

regiones geográficas y ríos.

El S. IX es un siglo fundamental para la matemática árabe, además

de las obras de Al-Khwarizmi, tenemos a Abu-I-Hasan Thabit Ibn-Qurra

ibn Marwan al-Harrani (826 - 901), que fue fundador de una escuela de

traductores, especialmente del griego y del sirio. A él se le deben las

traducciones de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo y

Eutocio. De no ser por Ibn Qurra, conoceríamos los cuatro primeros libros

de las Cónicas de Apolonio en vez de los siete primeros. Pero Thabit

además de traducir las obras intentaba generalizar y sugerir

modificaciones. Una de las más notables es la siguiente: si son

números primos de la forma: y

entonces los números y son números amigos, es

decir, cada uno de ellos es igual a la suma de todos los divisores propios

del otro.

En el libro Sobre el movimiento de las estrellas, escrito por Abu

Allah Mohammad ibn Jabir Al-Battani (ca. 850 - 929), que se le conoce

en Europa como Albategnius, nos encontramos las ideas básicas de la

trigonometría moderna. Y en esa misma época Abu’l-Wefa Muhammad

inb Yahya ibn Ismail ibn al-Abbas al Buzgani (940 - 998) ordena el

Almagesto de Ptolomeo reemplazan- do el cálculo con cuerdas por la

utilización de la función seno. Da las fórmulas de seno de ángulo doble y

ángulo mitad. Desarrolló con una formulación clara y precisa el teorema

de los senos para triángulos esféricos, construyó una nueva tabla de

senos de ángulos de cuarto en cuarto grado con ocho cifras decimales,

una tabla de tangentes, y todos sus cálculos los hizo utilizando las seis

razones trigonométricas y sus relaciones.

Su sucesor, Abu Bakr Muhammad ibn al-Hassan al-Hasib al-Karkhi (

ca.1020) se interesó más por el álgebra de Al-Khwarizmi y llegó a

realizar la primera resolución numérica de una ecuación de la forma

c, en la que sólo consideraba las raíces positivas

abandonando la restricción diofántica de no tener en cuenta más que los

números racionales. Se le considera el primer árabe que enunció y probó

teoremas de la teoría de números sobre la suma de cuadrados y de


- 31-

cubos para los primeros números naturales.

Hemos de destacar también a Abu Rayhan Muhammad ibn Al-Buruni

(973- 1048) quien para resolver la inscripción del polígono de nueve

lados en una circunferencia llega a la conclusión de que el problema se

reduce a la resolución de la ecuación , dando una solución

aproximada en fracciones sexagesimales equivalente a 1.8798352468,

con una precisión de al menos seis cifras decimales exactas.

Abu Ali al-Hasan ibn Al-Haytam (ca. 965 - 1039), conocido como

Alhazén en occidente, fue uno de los grandes médicos y matemáticos

árabes. Se conocen más de 92 títulos de sus obras, de ellas 25 versaban

sobre matemáticas. En el tratado más importante, Los tesoros de la

óptica, realiza una contribución muy importante al sustituir los rayos

visuales , que según Ptolomeo partían del ojo, por rayos luminosos que

van desde el objeto hasta el ojo. Analizó el aumento aparente de las

dimensiones de la Luna cerca del horizonte, la estimación de la altura de

la atmósfera partiendo de la observación de que los rayos del Sol

permanecen visibles hasta el momento en el que el Sol está situado a

191º por debajo del horizonte. Dejó un problema, conocido con su

nombre: Dado un espejo esférico, encontrar un punto del mismo que

tenga la propiedad de reflejar hacia un observador un rayo luminoso que

parte de una fuente neta.

Llegamos a Abu-I-Fath Umar ibn Ibrahim al-Jayyami Giyat al-Din (ca.

1048- ca. 1122), que era poeta, algebrista y reformador del antiguo

calendario persa. Escribió un Álgebra que extendía la Al-Khwarizmi hasta

las ecuaciones cúbicas. Para las ecuaciones cuadráticas daba dos tipos

de soluciones: las aritméticas y las geométricas, mientras que para las

ecuaciones cúbicas pensó que no habría posibilidad de dar soluciones

aritméticas, por lo tanto sólo daba soluciones geométricas. Utilizó la idea

expresada por Mecnemo, Arquímedes y Alhazén de utilizar intersecciones

de cónicas para resolver las ecuaciones cúbicas, aunque su éxito se basa

en dar un método general para cubrir todas las ecuaciones cúbicas que

tengan alguna raíz positiva. A este respecto Umar Jayyam expresa la

observación siguiente: esto no puede resolverse por medio de la

geometría plana debido a que tiene un cubo, para resolverlo necesitamos

secciones cónicas. Los métodos que utilizaba Umar Jayyam para resolver

ecuaciones cúbicas se pueden expresar actualmente de una forma más

sencilla: Sea la ecuación cúbica si sustituimos en

ella por obtenemos , que es la

ecuación de una hipérbola, entonces la solución de la ecuación cúbica es

la intersección de la hipérbola y la parábola de ecuación

Para tomar conciencia de la dificultad de método utilizado, hay que

tener en cuenta que Umar Jayyam no tenía bien asimilada la raíz

negativa, la expresión de una cónica en términos de parámetros, los

coeficientes negativos o cero, el conocimiento de todas las intersecciones


- 32-

de cónicas, etc.

A todo esto hay que añadir que, mientras que en el álgebra griega las

soluciones geométricas se obtenían por segmentos y daban segmentos,

el tratamiento de Umar Jayyam era con números. En este sentido

podemos afirmar que, en cierta forma, se anticipa a Descartes cuando

afirma: Quien quiera que piense que el álgebra es un sistema de trucos

para obtener los valores de incógnitas, piensa vanamente. No se debe

prestar ninguna atención al hecho de que el álgebra y la geometría son

en apariencia diferentes. Los hechos del álgebra son hechos geométricos

que están demostrados.

En el texto de su Álgebra expresa que ha encontrado una regla para

hallar las potencias cuartas, quintas, sextas y de grado más elevado de

un binomio, pero hasta ahora no se ha encontrado dicho texto. Se

supone que debido a las conexiones de China con Persia por la antigua

ruta de la seda pudo pasar alguna información científica y entre ella el

conocido triángulo de Pascal, que según todos los indicios, apareció en

China por esa misma época. En este triángulo podría ser la referencia de

Umar Jayyam para las potencias del binomio.

Como hemos visto hasta el momento, los árabes se sentían más

atraídos por el álgebra y la aritmética que por la geometría. Sin

embargo, hay un aspecto de ésta que merece un análisis más detallado.

Ya en la época de Euclides, como habíamos comentado, hubo intentos de

demostrar el quinto postulado de Euclides a partir de los otros cuatro.

Los árabes continuaron con este intento, en este sentido Alhazén

comenzó considerando un cuadrilátero trirectángulo, cuadrilátero

conocido hoy como “cuadrilátero de Lambert”, en su “demostración”

suponía Alhazén que el lugar geométrico de un punto que se mueve

permaneciendo a una distancia constante de una recta dada es siempre

otra recta paralela a la dada, hipótesis equivalente al postulado de

Euclides. Umar Jay- yam criticó, en su obra Comentarios sobre las

dificultades de los postulados de los Elementos de Euclides, este

planteamiento ya que la idea de movimiento había sido excluido, de

forma terminante por Aristóteles, en la geometría. Entonces inició su

planteamiento partiendo de un cuadrilátero que tiene dos lados

semejantes y perpendiculares a la base, lo que hoy se conoce como

“cuadrilátero de Saccheri”, y se pregunta sobre la naturaleza de los

ángulos superiores del cuadrilátero que son necesariamente iguales.

Elimina, en virtud de la convergencia de dos líneas que implica una

intersección común, la posibilidad de que sean agudos y obtusos, por lo

que solo serían rectos.

De esta forma mediante 4 principios y 8 proposiciones desarrolla una

argumentación que, por primera vez en la historia, conduce a la hipótesis

del ángulo agudo, del ángulo obtuso y del ángulo recto. Estas tres

hipótesis fueron ampliamente estudiadas por Girolano Saccheri (1667 -


- 33-

1733) y condujeron respectivamente a la geometría no euclídea de

Bolyai-Lobatchevski y a la geometría de Riemann.

En esa misma obra, Comentarios, realiza una exposición crítica de la

teoría de las proporciones de los Elementos de Euclides. Su formulación

sobre la igualdad de dos proporciones podemos considerarla como un

avance de la teoría de Dedekind y Cantor sobre la definición del número

real, de hecho afirma: dos razones son iguales si pueden ser

expresadas mediante la razón de números enteros, con un nivel de

precisión tan grande como se desee. Es, indudablemente, una igualdad

en la que recurre a la idea actual de límite.

Tras la muerte de Umar Jayyam la ciencia árabe entra en un proceso

de decadencia. Las discordancias de tipo religioso y político podrían estar

entre las causas de esta decadencia. En esta decadencia aún quedan

unos pocos trabajos que destacan. Uno de ellos es el de Nasir al-Din al-

Tusi (1201 - 1274), astrónomo al servicio del nieto de Gengis Khan, que

continuó con los esfuerzos de demostrar el axioma de las paralelas, sus

trabajos fueron publicados en el S. XVII por Wallis y parece ser que son

la base de los trabajos de Saccheri. También escribió el primer tratado

sistemático de trigonometría plana y esférica exponiéndolo como una

materia independiente de la astronomía. También se le debe una de las

primeras críticas a la teoría de ciclos y epiciclos de Ptolomeo, en su

trabajo indicaba que si daban ciertas condiciones el movimiento del

planeta podría ser rectilíneo. El resultado se conoce como el “Teorema

de Nasir al-Din”.

Finalmente señalamos también a Ulugh Beg (1394 - 1449), quien a

los dieciséis años fue gobernador de Samarcanda, convirtiéndola en un

importante centro militar, político y cultural de la zona. Ulugh Beg era en

primer lugar científico, fundamentalmente matemático y astrónomo, pero

también se dedicaba a la poesía, teología e historia. En este último

campo escribió Historia de los cuatro Ulús (tribus oriundas de Gengis

Kan). Construyó el observatorio de Samarcanda y escribió excelentes

libros sobre métodos numéricos de resolución precisa para ecuaciones

cúbicas, teoremas del binomio, fórmulas de trigonometría esférica.

Elaboró tablas precisas de senos y tangentes con hasta ocho decimales

correctos y es especialmente importante su Catálogo de las estrellas de

1437, el primer compendio estelar desde Ptolomeo, que da la posición

de 992 estrellas. Un ejemplo de sus tablas trigonométricas es

mientras que la aproximación correcta es

.

Llegó a establecer que un año solar tiene una duración de 365 días 5

horas 49 minutos y 15 segundos, muy cercana a la que hoy día se

considera de 365 días 5 horas 59 minutos y 45,5 segundos. Teniendo en

cuenta que hay una variación de aproximadamente medio segundo por

siglo, la medida de Ulugh Beg se puede considera muy buena. Al


- 34-

servicio de Ulug Beg se encontraba Ghiyath al-Din Jamshid Mas’ud al-

Kashi (ca. 1380 - ca. 1429), científico y escritor fecundo que cuenta en

su haber numerosas obras sobre matemáticas y astronomía. Su

estimación del número π, utilizando el método Horner, no fue mejorada

hasta finales del siglo XVI. Con este método llegó a dar el valor de 2л,

en forma sexagesimal: 6; 16, 59, 28, 34, 51, 46, 15, 50, y en forma

decimal: 6,2831853071795865. También nos encontramos en su obra el

desarrollo del binomio en la forma del triángulo de Pascal.

5. De la Edad Media al Renacimiento

Para analizar bien el paso de la ciencia por la Edad Media es

inevitable tropezar con el desarrollo de la Iglesia. Demos un breve repaso

a la situación de Europa en esta Edad Media, a principios del S. IV los

hunos condujeron hacia el oeste a los godos y a las tribus germánicas

que ocupaban Europa central.

En el S. V los godos conquistaron el Imperio Romano de Occidente.

Incluso antes de la caída del Imperio Romano, la Iglesia Católica estaba

organizada y era poderosa. La iglesia convirtió gradualmente a los

bárbaros germánicos y godos al cristianismo y comenzó a fundar

escuelas; estas estaban asociadas a monasterios ya existentes, que

conservaban fragmentos de las culturas griega y romana y habían estado

enseñando a la gente a leer los servicios de la iglesia y los libros

sagrados. La necesidad de formar hombres para puestos eclesiásticos

motivó el desarrollo de escuelas superiores.

En la última mitad del s. VIII, algunos dirigentes seglares fundaron

más escuelas. En el imperio de Carlomagno, las escuelas fueron

organizadas por Alcuino de York (730 - 804), un inglés que vino a Europa

por invitación del mismo Carlomagno. Estas escuelas también estuvieron

asociadas a catedrales o monasterios, y enfatizaban la teología cristiana

y la música. En realidad, las universidades en Europa se desarrollaron a

partir de las escuelas eclesiásticas, con profesores suministrados por las

órdenes religiosas, como los franciscanos y los dominicos. Bolonia, la

primera universidad, fue fundada en 1088 y le siguieron las

universidades de París en 1200, Oxford en 1214, Padua en 1222 y

Cambridge en 123. Por supuesto que, en sus comienzos, difícilmente

podían ser consideradas como universidades en el sentido actual.

Además, aunque formalmente eran independientes, estaban

esencialmente dedicadas a los intereses de la Iglesia.

A medida que la Iglesia extendía su influencia, iba favoreciendo e

imponiendo una determinada cultura, el latín era la lengua oficial de la

Iglesia y por ello se convirtió en el lenguaje internacional de la ciencia.


- 35-

Se imponía la necesidad de unos traductores. El principal traductor,

cuyas obras fueron ampliamente utilizadas hasta el siglo XII, fue Anicio

Manlio Severino Boecio (ca. 480 - 524), descendiente de una de las más

antiguas familias romanas. Su Institutione aritmetica libri duo (Tratado

de aritmética en dos libros) basada en la obra de Nicómaco de Gerasa (S.

II) sirvió para dar a conocer a los estudiosos medievales la teoría de

números de Pitágoras. Tradujo algunos libros los Elementos de Euclides y

obras de Aristóteles, escribió una astronomía basándose en Ptolomeo.

Las obras de este traductor junto a Aurelio Casiodoro (ca. 480 - ca. 575)

e Isidoro de Sevilla (ca. 560 - 636) sirvieron de base para la enseñanza

del quadrivium en los centros de enseñanza medievales. En esa época

formaban el quadrivium: aritmética, geometría, astronomía y música.

Estas cuatro materias junto con las del trivium : gramática, lógica y

retórica, constituían las siete artes liberales. De este modo parece que la

división tradicional de Letras y Ciencias sea, en nuestros planes de

estudios, un resto arqueológico del trivium y quadrivium.

Hacia finales del primer milenio, Gerberto (ca. 940 -1003), un francés

educado en las escuelas árabes de España, que más tarde fue el papa

Silvestre II, introdujo el uso de un tipo de ábaco. Al crearse las

universidades, se crean también las llamadas escuelas de ábaco que

podrían considerarse como las primeras escuelas de formación

profesional ya que en ellas se impartía la formación necesaria para los

comerciantes y mercaderes.

A finales de la Edad Media lo que se busca es la restauración de la

ciencia clásica, se pretende volver a la ciencia y cultura griega,

recuperar los momentos dorados del saber humano. Por ello surgen

escuelas de traductores, la más importante fundada por Alfonso X el

Sabio (1252 - 1284) en Toledo. En esta Escuela de Traductores de

Toledo están personas como Gerardo de Cremona (1114 - 1187), que él

solo tradujo del árabe más de ochenta obras; Adelardo de Bath (ca. 1075

- 1160), traductor junto a Pedro Alonso de las Tablas astronómicas de Al-

Khwarizmi (1126), de los quince libros de los Elementos de Euclides

(1142) -Euclides solo escribe trece- y del Almagesto de Ptolomeo;

Roberto de Chester tradujo Álgebra de Al-Khwarizmi en 1145 y otros

muchos más. Desde Toledo se extienden todas estas obras hacia toda

Europa y comienza a admirarse la matemática árabe. Es en esta época

cuando comienza, con las traducciones, la confusión entre el nombre Al-

Khwarizmi y la palabra “algorismo” o “algoritmo”.

En 1202 escribe Leonardo de Pisa (ca. 1180 - 1250), conocido como

Fibonacci, su libro Liber abaci (Libro del ábaco), que curiosamente no

trata sobre el ábaco, sino que es un tratado muy completo sobre

métodos y problemas algebraicos en el que recomienda enérgicamente

el uso de los números hindú-arábigos. El libro comienza defendiendo la

idea de que la aritmética y la geometría están conectadas y cada una se


- 36-

apoya en la otra. Sin embargo, se ocupa mucho más del número que de

la geometría; en primer lugar describe las nueve formas hindúes del

número junto con el signo 0 que llama zephirum (en árabe) y es esa

palabra la que da origen a las palabras “cifra” y “cero”. Él mismo indica el

motivo de tal presentación:

Cuando mi padre, escribano público en la oficina de Bugía

para los mercantes pisanos que a ella afluyen, fue por la

República encargado de dirigirla, me hizo ir junto a él en mi

adolescencia, y dándose cuenta de la utilidad que me

proporcionaría, quiso a continuación que por bastantes días

permaneciera allí para estudiar el ábaco y que sobre él fuera

instruido.

Fui introducido en tal arte de una maravillosa enseñanza

por medio de las nuevas figuras de los hindúes, mucho me

gustó por lo demás conocer tal arte.

Y esforzándome a fondo comprendí todo lo que de él se

estudiaba en sus varios aspectos en Egipto, Siria, Grecia,

Sicilia y Provenza, lugares comerciales que sucesivamente

visité y donde aprendí a confrontarme en disputas...

Asumido en breve tal procedimiento de los hindúes y

aplicándome con celo a él, y añadiendo algunas cosas mías,

y, más aún, adjuntando algunas sutilezas de Euclides, me

he dedicado a componer, en el modo más comprensible

que me ha sido posible, este libro, donde presento con

prueba cierta casi todo lo que en él he introducido. Y todo

esto con el objetivo de que aquellos que, por esta ciencia

se sientan atraídos, vengan instruidos en ella de modo

perfecto, y que la gente latina no se halle excluida de ella

como hasta ahora.

Resulta curioso que el libro que introduce los numerales hindú-

arábigos no haga referencia alguna a la mayor utilidad de estos: a las

fracciones decimales y se expongan todo este tipo de cálculos con

fracciones sexagesimales o unitarias. El libro no es fácil de leer, sin

embargo, tuvo que tener un gran éxito ya que han llegado a nuestros

días más de quince ejemplares. Sin duda alguna el problema de Fibonacci

que más ha inspirado a los matemáticos es el siguiente: ¿Cuántas

parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja

única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se

reproduce a su vez desde el segundo mes?.

Este famoso problema da lugar a la conocida “sucesión de Fibonacci”:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., ... donde para . Una

sucesión que contiene muchas e interesantes propiedades tales como la

relación con la proporción áurea y que despiertan el interés de muchas


- 37-

personas.

Además en 1941, el arquitecto cubista Charles Edouard Jeannet-Gris,

llamado Le Corbusier, patentó el sistema de medida conocido como

Modulor basado en la aplicación de la proporción áurea a la arquitectura.

Consiste en la aplicación del número de oro para construir dos series de

Fibonnacci de números enteros entre las que es posible elegir para

seguir más exactamente las necesidades de cada programa.

Tras el Liber abaci se produjeron muchos tratados similares para

utilizar en las escuelas el ábaco. A los autores de estos tratados se les

llama abacistas y en la actualidad se conservan más de 300 de estos

textos escritos entre los siglos XIII y el XVI.

6. El Renacimiento

La matemática clásica era, para las gentes del S. XV y XVI, una

materia fuertemente esotérica, accesible sólo a aquellos que contaban

con un alto grado de entrenamiento previo, y por lo tanto la divulgación

de los tratados griegos sobre estos temas no fue muy grande. Tan solo

se exceptuaba la parte más elemental de los Elementos de Euclides. Por

otro lado, los estudios latinos medievales sobre geometría elemental y la

teoría de proporciones, así como las contribuciones árabes a la teoría de

las operaciones aritméticas y de los métodos algebraicos, no presentaban

evidentemente dificultades comparables con las que tenían las obras de

Arquímedes o Apolonio. De este modo las ramas más elementales de las

matemáticas fueron el centro de atención general.

Johann Müller (1436 - 1476), matemático y astrónomo alemán,

conocido como Regiomontano había estudiado en las universidades de

Leizpig y Viena, acompañó al cardenal Bearión en su viaje por Italia,

donde aprendió griego y se familiarizó con las corrientes científicas y

filosóficas de entonces. A su regreso a Alemania instaló una imprenta y

un observatorio en Nuremberg con el objeto de promover el interés por

la ciencia y la literatura. Tenía la intención de imprimir traducciones de

las obras de Arquímedes, Apolonio, Herón y Ptolomeo, entre otros

científicos, pero su muerte temprana acabó con el proyecto. La obra de

Regiomontano comienza con la reedición del Almagesto de Ptolomeo,

consideraban que necesitaba de una nueva adaptación y limpieza de las

aberraciones introducidas por la traducción realizada hasta el momento

de las lenguas árabes. Este proyecto dio lugar a varias obras, la primera

de ellas era Epítome del Almagesto de Ptolomeo al que le pone un gran

énfasis en la parte matemática de la obra, que era lo que se omitía casi

siempre. Mucho más importante fue De triangulis omnimodis, escrito

hacia el año 1464, es una exposición sistemática de los métodos de

resolución de triángulos que marcó el verdadero renacimiento de la

trigonometría. El primer Libro del De tríangulis comienza con una


- 38-

exposición de los conceptos fundamentales sobre magnitudes y razones,

inspirada evidentemente por Euclides; a continuación vienen más de 50

proposiciones que tratan de la resolución de triángulos basándose en las

propiedades de los triángulos rectángulos. El Libro II comienza

enunciando con claridad el teorema de los senos y demostrándolo, y

siguen diversos ejemplos de problemas sobre determinación de lados,

ángulos y áreas de triángulos planos, conocidos otros datos.

Entre las novedades que nos encontramos en el De triangulis de

Regiomontano está el uso de “fórmulas” para el área, aunque escritas

con palabras del lenguaje ordinario, pero en cambio esta obra desmerece

un tanto el tratamiento de la función tangente. Sin embargo, la función

tangente sí se incluye en otro tratado trigonométrico de Regiomontano,

sus Tabulae directionum. Las sucesivas revisiones de la obra de Ptolomeo

habían puesto de manifiesto la necesidad de nuevas tablas de funciones

trigonométricas y a calcularlas se dedicaron un cierto número de

astrónomos del siglo XV, entre los que se contaba Regiomontano. Para

evitar el uso de fracciones se acostumbraba, ya desde la antigüedad,

adoptar como radio del círculo básico un valor grande, que recibía el

nombre de sinus totus. En una de sus tablas Regiomontano sigue a sus

predecesores inmediatos utilizando un radio de 600000 unidades,

mientras que para otras adoptó los valores de 10000000 o de

600000000, y para su tabla de tangentes en las Tabulae directionum

eligió como radio 100000. Regiomontano no llama “tangente” a esta

función, sino que usa solamente la palabra numerus para los valores,

grado por grado, en la tabla titulada “Tabula fecunda” o “Tabla

fructífera”. La repentina muerte de Regiomontano se produjo antes de

que se publicaran sus dos obras trigonométricas, lo que retrasó

considerablemente su efecto. Las Tabulae directionum se publicaron el

año 1490 y De triangulis en 1533, aunque se conocían de forma

manuscrita.

El año 1484 apareció en Francia un manuscrito que, tanto por su nivel

como por la importancia de las ideas expuestas, era quizá el más notable

desde la publicación, casi tres siglos antes, del Liber abaci de Fibonacci,

y que, al igual que el Liber abaci, tampoco fue impreso hasta el siglo XIX.

La obra a que nos referimos, titulada Triparty en la science des nombres,

fue escrita por Nicolás Chuquet (?- ca. 1500). El Triparty apenas se

parece a ninguna obra anterior sobre aritmética o álgebra, y los únicos

autores que se citan en ella son Boecio y Campano. Sí se observa, sin

embargo, una evidente influencia italiana, que debe provenir

posiblemente de que Chuquet conociese bien el Liber abaci de Fibonacci.

La primera de las “Tres partes” trata de las operaciones aritméticas

racionales con números, incluyendo una explicación detallada del sistema

de numeración hindú árabe. De los numerales hindú árabes, dice

Chuquet que “la décima figura no tiene o significa ningún valor”. La obra


- 39-

está escrita en un estilo esencialmente retórico, aunque con las

importantes sincopaciones que veremos más adelante, y las cuatro

operaciones fundamentales vienen representadas por las palabras plus,

moins, multiplier par y partyr par, de las que las dos primeras aparecen a

veces abreviadas a la manera medieval como y . En la segunda

parte de la obra, que trata del cálculo con raíces de números, hay ya una

cierta sincopación, y así lo que sería en nuestro lenguaje moderno,

aparece en la forma no demasiado distinta, aunque sí

ambigua,

La última parte y, con mucho, la más importante del Tripart y se

refiere a la “Regle des premiers”, es decir, la regla de las incógnitas o lo

que nosotros llamaríamos álgebra. Durante los siglos XV y XVI se

utilizaron diversos nombres para la «cosa desconocida», tales como res

en latín, chose en francés, cosa en italiano o coss en alemán; en este

contexto la palabra premier que utiliza Chuquet es completamente

inusual. A la segunda potencia le llama champs, mientras que el nombre

latino solía ser el de census, la tercera potencia cubiez, y la cuarta

champs de champ. La segunda mitad de la última parte del Triparty está

dedicada a la resolución de ecuaciones. Aquí nos encontramos con

muchos de los problemas que habían aparecido ya en sus predecesores,

pero también hay por lo menos una novedad importante y es que por

primera vez aparece un número negativo aislado en una ecuación

algebraica. Chuquet no admitía en general el cero como raíz de una

ecuación, pero por lo menos en una ocasión hace observar que el número

buscado era cero; al estudiar ecuaciones de la forma

, donde los coeficientes y los exponentes son todos ellos números

positivos, se encontró con que en algunos casos habría raíces

imaginarias, limitándose a añadir en estos casos que “tel nombre est

ineperible”. El Triparty no se imprimió hasta el 1880, y por lo tanto

debieron conocerlo pocos matemáticos de la época.

Sin duda la obra más importante de Luca Pacioli (1445 - 1514) es la

Summa de arithmetica, geometría, proportioni et proportionalita, escrita

en italiano en 1487 y publicada en 1494, que, a su vez, puede ser

considerada como el mejor y más famoso tratado de ábaco. La Summa

acabó con los tratados de ábaco de manera definitiva. Su influencia fue

tremenda y las razones habría que buscarlas en el hecho de que fue

impresa, lo que facilitó su difusión, y que lo fue en lengua vulgar, en

italiano y no en latín, facilitando el acceso a lectores que no conocían otra

lengua que la propia. La primera parte de la Summa se dedica a la

aritmética y al álgebra y está dividida en nueve distinzioni, cada una de

las cuales se divide en tratados. Entre las fuentes usadas cita a Boecio,

Euclides, Jordano Nemorario, Blaslus de Parma, Alberto de Sajonia,

Arquímedes, Sacrobosco y Leonardo de Pisa, entre otros. La parte

aritmética incluye las operaciones con los números y la aritmética


- 40-

comercial, que recibe un trato muy elaborado, como corresponde a su

importancia en esa época. Se incluyen muchos ejemplos prácticos de

cómo aplicar las operaciones elementales a las diferentes situaciones en

que se ve envuelto un comerciante. En la parte algebraica se incluye la

resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. Sigue después una

tabla de pesos, monedas y medidas, usados en las principales ciudades

italianas y las conversiones entre ellas. La obra termina con un resumen

de la geometría de Euclides.

La parte quizá más original de la obra de Pacioli es la titulada De

computis et scrituris dedicada a la contabilidad. Introduce por primera

vez la llamada contabilidad de doble entrada, conocida también como

contabilidad veneciana o sistema veneciano. Por este motivo a Pacioli se

le considera el padre de la contabilidad moderna. La Summa de Pacioli

compiló todos los conocimientos de álgebra de los siglos anteriores en

una sola obra de carácter enciclopédico y más de 600 páginas. Se

convirtió en lectura básica para los algebristas del siglo XVI, que,

apoyados en ella, pudieron hacer nuevos descubrimientos. Todos ellos

citan a Pacioli en sus obras. Cardano, en su Arithmetica, lo hace de

manera reverencial, a pesar de dedicar un capítulo entero a corregir

innumerables errores de la obra de Pacioli. Rafael Bombelli (1526 -1572),

en la introducción de su Álgebra, llega a afirmar que después de

Leonardo Fibonacci, Pacioli “primo fu que luce diedi a questa scientia”

(fue el primero que dio luz a esta ciencia).

Otro libro destacable de Pacioli, publicado en 1509, es De divina

proportione en el que estudia los polígonos y los poliedros regulares y la

razón que se conocería más tarde como “sección áurea”. En este libro

destacan las ilustraciones de las figuras que se atribuyen a Leonardo Da

Vinci (1452 - 1519).

Italia fue indiscutiblemente una de las principales vías por las que la

ciencia árabe penetró en Europa. Por otra parte, en otras zonas de

Europa, a pesar de la posición privilegiada de Italia, se progresaba con

igual éxito, como hemos visto en el caso de Regiomontano y Chuquet.

En Alemania, fueron tantas las obras de álgebra que se imprimieron que,

durante un cierto tiempo, la palabra germánica Coss (incógnita) se

impuso en otras partes de Europa; el álgebra se llamó incluso durante

una época «arte cósico». Además, los símbolos germánicos + y - para la

adición y la sustracción provocaron el abandono de los símbolos italianos

p y m. Entre las numerosas álgebras germánicas, la del célebre

Rechenmeister (maestro calculista en alemán) Adam Riese (1492-

1559) ocupaba un lugar importante debido a la eficacia y a la precisión

de sus métodos. Titulada Die Coss (la incógnita), y escrita en 1524,

forma parte de los numerosos libros de aritmética que hicieron célebre a

Riese, hasta el punto que aún hoy se utiliza la expresión “nach (según)

Adam Riese” como tributo a la precisión de los procedimientos


- 41-

aritméticos.

En Alemania, durante la primera mitad del siglo XVI, aparecen

muchas obras de álgebra, las más importantes de las cuales son Die Coss

(1525) de Christoph Rudolff (ea. 1500 ca. 1545), Rechnung (1527) de

Apiano (1495 1552), y Arithmetica integra (1544) del célebre

matemático Michael Stifel (ca. 1487, 1567). En Die Coss encontramos

por primera vez en un libro impreso la utilización de fracciones

decimales, así como el símbolo moderno para las raíces. En el libro de

Apiano, obra de aritmética comercial, el triángulo de Pascal aparece

impreso en primera página casi un siglo antes del nacimiento de Blaise

Pascal. El tercer libro, la Arithmetica integra de Stifel, es el más

importante de los libros alemanes de álgebra impresos durante el siglo

XVI. Además de contener el triángulo de Pascal, se ocupa de manera

significativa de los números negativos, los radicales y las potencias.

Stifel, al utilizar coeficientes negativos en las ecuaciones, puede reducir

muchas ecuaciones cuadráticas a una forma única, pero se cree en la

obligación de explicar, siguiendo una regla especial, cuándo debe

emplearse el + y cuándo el -. Aunque no admite los números negativos

como raíz de una ecuación, difunde el uso de los signos - y + en

detrimento de la notación italiana. Conocía bien las propiedades de los

números negativos, aunque los llamó numeri absurdi. Además, llamó la

atención sobre las relaciones entre las progresiones aritméticas y

geométricas, como Chuquet lo había hecho con las potencias de cero a

veinte de dos. Stifel añadió a la tabla de Chuquet las relaciones:

,

:

, :

(aunque sin notación exponencial). Para las potencias

de la incógnita, Stifel utilizaba en su álgebra abreviaturas de las palabras

alemanas coss, zensus, cubus y zenzizensus, pero en un tratado

posterior propuso la utilización de una letra sencilla para la incógnita y la

repetición de esa letra para las potencias de la incógnita, lo que hará el

inglés Harriot en el siglo XVII. La Arithmetica integra fue un tratado

completo de álgebra hasta el año 1544, pero al año siguiente esta

álgebra quedó en cierto modo anticuada como consecuencia de la

publicación de una obra que contenía la resolución de ecuaciones cúbicas

y bicuadráticas. En efecto, la solución de la ecuación cúbica y de la

bicuadrática fue probablemente el más espectacular de los resultados

matemáticos obtenidos por los matemáticos italianos del siglo XVI.

Las necesidades prácticas y científicas del S.XVI (trabajo científico,

avance tecnológico, descubrimientos geográficos, avances en la

astronomía y cartografía) impulsan el desarrollo de la aritmética y el

álgebra. A partir de 1545, fecha de publicación del Ars Magna de

Cardano, se puede considerar que el álgebra, como teoría de la

resolución de ecuaciones algebraicas, es una rama autónoma de las

matemáticas. En los 70 años que van de 1480 a 1550 el álgebra se

constituye en una nueva rama de las matemáticas (la teoría de


- 42-

ecuaciones algebraicas), que es la primera manifestación de la corriente

de ideas que cristalizará en la Revolución Científica. Entre 1580 y 1590

se generaliza y difunde el uso de la coma y cifras decimales, lo que es de

especial importancia para la ampliación del concepto de número. El

álgebra como complemento de la aritmética comercial.

Las características más notables de las matemáticas de la época son:

1. Los métodos algebraicos se conciben como herramientas para

la resolución general de problemas. Se traducen los problemas a

lenguaje algebraico y se desarrolla el cálculo formal (literal) en

detrimento de las justificaciones geométricas.

2. Algebrización de los problemas de geometría plana. Aplicación

sistemática de métodos algebraicos en problemas de geometría.

3. Utilización del álgebra no para resolver problemas específicos,

sino generales. Los métodos generales son en sí mismos objeto

de estudio. Este esfuerzo culmina en 1545 con el Ars Magna de

Cardano.

En 1546, Nicolo Fontana (1499-1557) o Tartaglia, publica Quesiti, et

inventione diverse, una obra de 9 tomos que toca una gran diversidad de

cosas y cuyo último tomo dedica a problemas de aritmética, geometría y

álgebra, acompañándolo de referencias históricas que ha permitido

reconstruir el proceso de descubrimiento de las soluciones de las

ecuaciones cúbicas.

Dice Tartaglia, en el Quesiti XIV del libro noveno, que Zuanne de Coi

(Profesor de Brescia) le propuso resolver dos ecuaciones que conducían a

ecuaciones cúbicas: Encontrad un número el cual multiplicado por su raíz

más 3, me resulte 5. Por otra parte, encontradme tres números con la

condición de que el segundo sea dos más que el primero, que el tercero

sea también dos más que el segundo, y que multiplicados el primero

por el segundo y este producto por el tercero dé 1000. El primer

problema, en lenguaje actual, si es el número y x su raíz, lo

simboliza así , es decir . El segundo problema

tiene la forma , o lo que es lo mismo

. Dice Tartaglia que Fray Luca Pacioli y otros han juzgado este

tipo de problemas como imposibles de resolver. Apostó a Zuanne diez

ducados contra cinco a que no sabría resolverlos, mientras que él

sí, pues había hallado la regla general para resolver los problemas del

primer tipo ( ):”cubo y cuadrado igual a número", añadiendo

que no quiere desvelar dicha regla. Del segundo tipo dice no haber

encontrado la solución.

Al parecer, el primero en resolver las ecuaciones del tipo

fue Scipione del Ferro (1465-1526) alrededor de 1506, quien lo contó

poco antes de morir a su discípulo Antonio María del Fiore (n. 1506)


- 43-

quien, según cuenta Tartaglia en el Quesiti XXV del libro noveno, le acusó

de impostor por no saber resolver las ecuaciones cúbicas. Tartaglia dice

saber resolver las ecuaciones del tipo y por lo

que le desafió. Depositaron un dinero ante notario, que se llevaría el que

más problemas resolviera en cuarenta días, de una lista de treinta

problemas propuestos por el adversario. Tartaglia resolvió todos, pues los

problemas propuestos por Fiore se reducían a ecuaciones cúbicas que

Tartaglia sabía resolver; por su parte, Fiore no resolvió ninguno.

En los Quesiti XXXI a XXXV aparecen diversas epístolas de Gerolamo

Cardano (1501 - 1576) a Tartaglia y Ludovico Ferrari (1522 - 1565) en

las que se solicitan y transmiten información sobre la resolución de las

ecuaciones cúbicas y cuárticas con la intención de justificar la autoría de

la resolución de la cúbica por parte de Tartaglia. El propio Cardano

reconoce estos hechos en el siguiente texto extraído del Ars Magna:

Scipione del Ferro, de Bolonia, hace más de treinta años inventó esta

regla y la comunicó a Antonio Maria del Fiore, de Venecia, quien celebró

un certamen con Niccolo Tartaglia, de Brescia, lo que dio ocasión a que

Niccolo por sí mismo la descubriera, el cual me la dio a mí, suprimida la

demostración, como consecuencia de mis ruegos. Pertrechado de este

auxilio, busqué la demostración por varios caminos, lo que fue muy

difícil.

También admite que la solución de la cuártica fue descubierta por su

secretario Ludovico Ferrari. Ferrari entró al servicio de Cardano,

convirtiéndose en su discípulo y colega. En 1543 Cardano y Ferrari

viajaron a Bolonia, donde examinaron los papeles de Scipione del Ferro,

encontrando la solución de la cúbica disminuida, por lo que Cardano no

se sintió ya obligado por la promesa hecha a Tartaglia y en 1545 publica

Ars Magna, dando a conocer la solución general de la ecuación cúbica.

Ello provocó la respuesta airada de Tartaglia que condujo a un

enfrentamiento público (”cartelli ") en Milán entre Tartaglia y Ferrari, en

el que venció este último.

El titulo completo de la obra de Cardano es Artis Magnae, sive de

regulis algebraicis que quiere decir: “El Gran Arte, o las reglas del

álgebra”. Es el primer tratado “avanzado” de teoría de ecuaciones,

concibiendo las ecuaciones como un método para resolver problemas

numéricos particulares. Se observa una preocupación por fundamentar

los resultados enunciados y se preocupa por dar resultados que sean

generales, aunque se enuncien a partir de la demostración de un caso

particular. Con esta obra nace el álgebra, como rama autónoma de las

matemáticas. En los capítulos XI al XXII se aborda el estudio completo

de las ecuaciones cúbicas. El capítulo XI (titulado Sobre el cubo y la cosa

igual al número) está dedicado al estudio de la cúbica disminuida; se

inicia con el ejemplo y procede a resolver la ecuación de

forma geométrica, mediante la consideración de un cubo descompuesto


- 44-

en seis trozos.

A continuación describimos el procedimiento que sigue Cardano. Se

representa por un cubo de arista al que se añaden en tres de sus

caras concurrentes, tres prismas de volumen y a estos últimos tres

prismas de volumen

Observemos que . Este volumen ,

será 6x si uv=2, y en ese caso la figura nos indica que

. Ahora bien, y pueden determinarse de

nos indica que u3 − v3 = x3 + 6x = 20.

Si – y son las raíces de una ecuación de 2º grado, se tiene que la

suma es 20 y que el producto es -8, ello proporciona una ecuación de

segundo grado, que había estudiado en el capítulo V (considerando los

casos ). Por ello, puede obtener

que y – . Teniendo en cuenta que ,

resulta

El procedimiento general para una ecuación de la forma

es el siguiente:

1. Considerar la identidad que es

inmediata hoy día, pero cuya deducción se hacía de modo

geométrico, como se ha indicado anteriormente.

2. Por analogía de la identidad anterior con , se hace

, ,

3. De

se tiens que

,

que es una ecuación de segundo grado en .

Resolviendo se tiene que

y

; y finalmente que

Y que Cardano dio según los siguientes versos: Quando che’l cubo

con le cose appresso // se agguaglía a qualche numero discreto //

trovan dui altri differnti in esso.// Da poi terrai questo per consueto //

che il lor producto sempre sia eguale // al terzo cubo delle cose neto, //

El residuo poi suo generale // delli lor lati cubi ben sottratti // varrà la

tua cosa principale. Que traducidos es: Cuando está el cubo con las cosas


- 45-

3

preso // y se iguala a algún número discreto// busca otros dos que

difieran en eso. // Después tú harás esto que te espeto // que su

producto siempre sea igual // al tercio cubo de la cosa neto// Después

el resultado general // de sus lados cúbicos bien restados // te dará a ti

la cosa principal.

En definitiva lo que quiere decir es lo siguiente: Cuando está el cubo

con las cosas preso, es decir, cuando en el mismo miembro de la

ecuación se encuentra el cubo, con las cosas, , es decir: . Y

se iguala a algún número discreto, en definitiva Busca

otros dos que difieran en eso. Hay que buscar dos números t y s, que

verifiquen Después tú harás esto que te espeto, que su

producto siempre sea igual, o sea ; al tercio cubo de la cosa neto,

quiere decir que sea igual a un tercio del coeficiente de la elevado al

cubo:

. Después el resultado general, la solución de ese

sistema de ecuaciones, de sus lados cúbicos bien restados, con lados

cúbicos se refiere a sus raíces cúbicas, por lo que tenemos

, te

dará a ti la cosa principal, por lo que

Como en aquella época se exigía que todos los coeficientes fuesen

positivos, Cardano tuvo que considerar como diferentes hasta trece

casos:

2

2

y ver que se pueden reducir a uno de los tres casos denominados “críticos” o “cúbicas disminuidas

En el capítulo XVII titulado “Del cubo, cuadrado, y la cosa igual al

número”, Cardano resuelve una ecuación cúbica completa, . Una ecuación general

puede reducirse

a una ecuación disminuida de la forma mediante la

transformación

Para el caso

, se efectúa el cambio

, considerando la identidad:

) y mediante un

razonamiento similar al anterior se obtiene que:

Y análogamente se hace para sin más que cambiar en el

primer caso por . Por otro lado, puede ocurrir que

, por

lo que aparece la raíz cuadrada de un número negativo, de manera que


- 46-

la ecuación resultaría, históricamente hablando, irresoluble. Sin embargo,

por ejemplos concretos, se sabía que había solución real. Por ejemplo la

ecuación tiene como raíces , Aparece de

este modo lo que se llama el caso de la “cúbica irreducible”. Cardano

pasó por encima de esta dificultad y habrá que esperar hasta 1572 en

que Rafael Bombelli (1526-1573) diera un paso adelante.

El período que separa la publicación del Ars Magna (1545) de Cardano

hasta la aparición, en 1637, de la Geometría de Descartes (1596-1650)

en 1637, constituye la fase más espectacular de formación y constitución

del álgebra simbólica. En menos de cien años se avanzó más que en

todos los siglos anteriores.

Paralelamente al desarrollo del álgebra, de la mano de Stevin (1548-

1620), en 1585, se fundamentan los números decimales, en su obra (en

holandés) De Thiende. Primero define los números decimales y luego

enuncia las reglas para realizar con ellos las operaciones elementales. Su

concepto del número es muy avanzado, pues todos los números son

considerados como iguales y el tipo sólo depende de la elección de la

unidad.

De la escuela alemana destaca Stifel (1486-1567) quien considera

coeficientes negativos en las ecuaciones, aunque no acepta los números

negativos como soluciones. En su obra Arithmetica integra, de 1544,

aparece claramente el concepto de logaritmo. El cálculo logarítmico se

desarrollará a finales de este siglo y principios del siguiente de la mano

de Bürgi (1552-1632) y Napier (1550-1617).

El cálculo de probabilidades está a punto de iniciar su desarrollo de la

mano de Blais Pascal (1623-1662), con un claro e ilustre predecesor en la

figura de Cardano y de sus obras Liber de ludo alae, publicado

póstumamente, y De Regula Aliza, de 1570.

El inglés Robert Recorde (1510-1558) introduce el signo = en su libro

The Wheststone of Witte, de 1557. Se estaba gestando el álgebra

simbólica, pero aún permanecía en la frontera del álgebra sincopada. El

álgebra proporcionaba un lenguaje de operatividad inmediata que servía

para abordar problemas que se pudiesen traducir a este lenguaje y

fundamentaba sus procedimientos en la geometría. Con el álgebra se

habían resuelto muchos problemas, pero habían aparecido otros nuevos,

como:

1. El caso de las cúbicas irreducibles. 2. El problema de las raíces negativas e imaginarias.

3. La relación entre los coeficientes de una ecuación y sus raíces, clave para abordar el problema más general: la resolubilidad de

las ecuaciones de grado superior a cuatro. El proceso de investigación llevó a la creación de un álgebra que se

independiza de las justificaciones geométricas que están en su origen.


- 47-

En este proceso de creación de una nueva rama de las matemáticas Bombelli y Viète tendrán un papel decisivo.

Es la figura central y más brillante del proceso de construcción del

álgebra. Su mérito reside en que ordenó y adecuó todo el material

existente, otorgándole unidad y sentido lógico. En su obra In artem

analyten isagoge (Introducción al arte del análisis) de 1591, expone los

principios fundamentales del álgebra, estableciendo unos postulados en

los que se han de fundar las transformaciones algebraicas, definiendo los

símbolos operativos y las entidades literales. La explicitación de las reglas

del cálculo ofrece por primera vez un modelo para proceder a

demostraciones formales de las proposiciones algebraicas. A partir de

Viète ya se pueden efectuar demostraciones de resultados algebraicos

sin acudir a la geometría; en este sentido, Viète libera al álgebra de las

ataduras de la geometría.

Usa las vocales para representar las incógnitas e indeterminadas y

las constantes para representar los números. Distinguiendo (por primera

vez) entre parámetro e incógnita. Adopta también los símbolos + y -,

pero el resto de su álgebra sigue usando retórica y abreviaturas; por

ejemplo lo designa por “cubus” y por A “quadratus”. El producto

lo representa por “in”, el igual por “aequalis”. Usa una “ley de

homogeneidad”, según la cual sólo pueden compararse magnitudes de

igual dimensión. Tales magnitudes son: el lado, el cuadrado, el cubo, el

cuadrado cuadrado, el cuadrado cubo, etc. y sus géneros son la longitud,

el plano, el sólido, el plano plano, el plano sólido, etc.

Su obra más estrictamente algebraica es De Aequetionem

recognitime et emendatione. Tractatus duos, que versa exclusivamente

sobre teoría de ecuaciones, está escrito en 159 y publicado en 1615. La

ecuación de segundo grado la resuelve del siguiente modo:

Hace , por lo que , teniendo en cuenta

la ecuación se tiene así de donde

y por tanto .

Para la ecuación de tercer grado , mediante el

cambio

se obtiene una cúbica disminuida .

Haciendo

llamando

se tiene tal que .

Por tanto

, multiplicando por

,

, de donde

. Pero como

sabemos que y que

las raíces obtenidas son

y

Como se llega

finalmente a


- 48-

3

La condición muestra que sólo

hay 3 valores de a partir de los 6

(complejos) de . Aunque Viète admite

coeficientes positivos y negativos, racionales

e irracionales, no considera sino las raíces positivas.

En De Aequationem Recognitione et Etmendatione pudo Viète resolver

el caso irreducible de la ecuación de tercer grado, empleando la identidad

trigonométrica cos 3A = 4 cos3 A − 3 cos A, evitando así la fórmula de

Cardano. Este método aún está hoy en uso. Utilizando un recurso

geométrico de trisección de un ángulo, Albert Girard (1595-1632) aporta

un curioso método de resolución:

Sea la ecuación con la condición de que , con

positivos. Recordemos que entonces

, resultando en la

fórmula de Cardano (y de Viète) que

es complejo. Girard

considera una circunferencia de diámetro

.

Por la desigualdad , existirá una cuerda

. Si se triseca

el ángulo , con , entonces es raíz positiva de la

ecuación. En efecto, es un ángulo recto, por lo que

. De la misma manera, el ángulo es recto, por lo que

pero

, luego

De donde:

dónde se ha tenido en cuenta la identidad .


- 49-

p

Luego se verifica la ecuación, resultando que

es raíz positiva

de la ecuación , para lo que hay que construir el ángulo , es

decir, la cuerda

.

Si a partir de se divide la circunferencia en tres partes iguales,

mediante los puntos y , las cuerdas y son los

valores absolutos de las otras dos raíces de la ecuación, ambas

negativas.

Girard escribía las ecuaciones en forma completa, admitiendo como

nulo el coeficiente de una potencia de la incógnita cuando ésta no existe.

En su obra L’Invention Nouvelle en l’Algèbre, de 1629, afirma, sin

demostración, el Teo- rema Fundamental del Álgebra, es decir, que “toda

ecuación polinómica tiene tantas raíces como su grado”, para lo que

considera raíces positivas, negativas, nulas, complejas, simples y dobles.

Incluso, aporta ejemplos en los que las raíces negativas tienen

interpretación concreta. Utiliza las raíces negativas e imaginarias,

llamadas por él raíces imposibles, a los solos efectos de asegurar la regla

general.

7. La aparición de Logaritmos

John Napier (1550 - 1617) no era un matemático profesional y se

dedicaba a administrar sus extensas propiedades. En su tiempo libre se

dedicaba a escribir sobre temas variados y, dentro de la matemática,

sólo estaba interesado en temas relacionados con el número y la

trigonometría. Otro tema de interés para Napier eran las progresiones, o

sucesiones de potencias de un número.

La idea clave de la obra de Napier se puede explicar con gran

sencillez: para conseguir que los términos de una progresión geométrica

formada por las potencias enteras de un número dado estén muy

próximos unos a otros, es necesario tomar este número muy próximo a

uno. En consecuencia, Napier decidió tomar – como el

número dado; entonces los términos de la progresión (decreciente) de

potencias enteras crecientes, están ciertamente muy próximos entre sí,

demasiado próximos de hecho. Para conseguir un cierto equilibrio y evitar

el uso de decimales, multiplicó Napier todas las potencias por .

Entonces, si

L será el “logaritmo” de Napier del número

N; así pues, el logaritmo de será 0, el logaritmo de

será 1, etc. Si dividiéramos tanto los números como los

logaritmos por , tendríamos prácticamente un sistema de logaritmos

de base

, puesto

que no se diferencia ya demasiado del


- 50-

107 e

.

Hay que recordar, sin embargo, que Napier no utilizaba ninguna idea

de lo que es una base de un sistema de logaritmos, siendo como es su

definición diferente de la nuestra. Los principios de su obra los explica

Napier en términos geométricos de la manera siguiente: Sea un

segmento y una semirrecta dados. Sea un punto que parte de

y se mueve a lo largo de con velocidad variable que decrece en

proporción a su distancia a ; supongamos que un punto parte al

mismo tiempo de y se mueve a lo largo de la semirecta con

velocidad uniforme igual a la velocidad inicial del punto ; entonces

Napier llama a la distancia variable el logaritmo de la distancia .

Esta segunda definición geométrica de Napier está de acuerdo, desde

luego, con la primera definición numérica dada más arriba. Para

demostrarlo, sea y . Si lo tomamos igual a y también

tomamos igual a la velocidad inicial de , entonces, en el simbolismo

moderno del cálculo infinitésimal, tenemos que

y

con

. Entonces

, o bien , donde la constante

puede calcularse a partir de las condiciones iniciales y resulta ser ;

así pues,

bien

.

Es decir, que si las distancias y estuvieran divididas por ;

entonces la definición de Napier nos conduciría precisamente a un

sistema de logaritmos de base

, tal como decíamos anteriormente. No

es necesario decir que Napier calculó sus tablas numéricamente y no

geométricamente, desde luego, tal como indica la palabra “logaritmo”

inventada por él. Al principio Napier llamó a sus índices de potencias o

exponentes “números artificiales”, pero más tarde se decidió por la

palabra compuesta de las dos palabras griegas logos (o razón) y

arithmos (o número).

Napier no pensaba, como hemos hecho notar ya, en una base para su

sistema, pero no obstante sus tablas venían calculadas por medio de

multiplicaciones repetidas, equivalentes a elevar a potencias el número

. Obviamente la potencia (o número) disminuye según el índice

(o logaritmo) aumenta, lo cual era de esperar ya que estaba, utilizando

esencialmente como base

que es menor que 1. Una diferencia más

notable entre sus logaritmos y los nuestros consiste en el hecho de que


- 51-

su logaritmo de un producto (o de un cociente) no es igual, en general, a

la suma (o a la diferencia) de los logaritmos.

Si y , entonces y

, y por lo tanto

, de manera que la

suma de los logaritmos de Napier no será directamente el

logaritmo de , sino de

. Modificaciones análogas tienen lugar,

desde luego, en los casos de logaritmos de cocientes, potencias y raíces.

Estas diferencias no son, hay que reconocerlo, demasiado importantes,

ya que se refieren únicamente a la posición de la coma decimal, según

los casos.

La idea de la función logarítmica está ya implícita en la definición de

Napier y en toda su obra sobre los logaritmos, pero el hecho es que esta

relación funcional no ocupaba el primer plano en su pensamiento. Napier

construyó laboriosamente su sistema con un objetivo concreto, la

simplificación de los cálculos, especialmente en el caso de los productos y

cocientes. Además, es muy revelador de que tenía en la mente los

cálculos trigonométricos concretos el hecho de que lo que nosotros

hemos llamados, para simplificar la exposición, logaritmo de Napier de un

número, él lo llama el logaritmo de un seno. En la figura anterior el

segmento recibió el nombre de logaritmo del seno , lo cual no

supone diferencia alguna ni en la teoría ni en la práctica.

La publicación del sistema logarítmico en 1614 fue acogida y aceptada

con gran rapidez, y entre los admiradores más entusiastas de la nueva

teoría estaba Henry Briggs (1561 - 1630), que fue el primer Savilian

Profesor de geometría en Oxford. Al año siguiente, en 1615, Briggs visitó

a Napier en su residencia en Escocia, donde discutieron ambos las

posibles modificaciones del método de los logaritmos. Briggs proponía

que se utilizasen potencias de diez, a lo que contestó Napier que ya

había pensado en ello y que estaba de acuerdo. Napier mismo había

sugerido en un cierto momento una tabla basada en las igualdades

y , para evitar las fracciones, pero al final los

dos hombres llegaron a la conclusión de que lo más conveniente sería

que el logaritmo de uno fuese cero y que el logaritmo de diez fuese uno.

Sin embargo, Napier se encontraba ya viejo y sin las energías

necesarias para llevar a la práctica estas ideas y murió en 1617.

El segundo de sus tratados clásicos sobre los logaritmos, el Mirifici

logarithmorum canonis constructio, en el que daba Napier una

exposición completa de los métodos que utilizó para calcular sus tablas,

apareció póstumamente en 1619. Así pues, recayó en Briggs la tarea de

construir la primera tabla de logaritmos llamados logaritmos vulgares o

de Briggs. En vez de tomar potencias de un número muy próximo a uno,

como había hecho Napier. Briggs comenzó a partir de la igualdad

, y después fue calculando otros logaritmos tomando raíces


- 52-

sucesivamente. Por ejemplo, de obtiene Briggs que

, y análogamente, de

, que

. Continuando de esta misma manera calculó otros logaritmos

vulgares. En el año 1617, el de la muerte de Napier, publicó Briggs su

obra Logarithmorum chilias prima, es decir, los logaritmos de los números

del 1 al 1000, todos ellos con catorce cifras decimales. En 1624, en su

Arithmetica logarithmica, extendió Briggs su tabla hasta incluir los

logaritmos vulgares de los números del 1 al 20000 y del 90000 al

100000, siempre con catorce cifras decimales.

Ahora se podía trabajar ya con los logaritmos exactamente igual que

lo hacemos hoy, puesto que las tablas de Briggs gozan de todas las

propiedades usuales de los logaritmos. Incidentalmente, hay que decir

que nuestros nombres “característica” y “mantisa” se derivan del libro de

Briggs de 1624. Mientras que Brigss calculaba estas tablas de logaritmos

vulgares, un contemporáneo suyo, John Speidell, calculaba los logaritmos

naturales (o neperianos) de las funciones trigonométricas, publicándolos

en su obra New Logarithmes de 1619; de hecho, ya anteriormente, en

1616, habían aparecido algunos logaritmos naturales, en una traducción

inglesa de la primera obra de Napier sobre los logaritmos, hecha por

Edward Wright (1559 1615). Raramente un descubrimiento nuevo se

aceptó tan rápidamente como el invento de los logaritmos, y el resultado

de ello fue la inmediata aparición de tablas de logaritmos que eran más

que suficientes para la época.

8. La concepción de una matemática moderna

Tycho Brahe (1546 1601) apasionado por la astronomía, tras visitar

observatorios extranjeros, volvió a su país en 1571 y se estableció en el

monasterio de Herridsvadd. Al año siguiente, reconoció y pudo estudiar

una nueva estrella de la constelación Casiopea, que fue el objeto de su

primera obra: De nova stella anni 1572. Federico II le regaló la isla de

Hveen, en el Sund, un feudo en Noruega y una pensión. En esta isla hizo

edificar el castillo de Uraniborg (“palacio de Urania”), en cuyas

dependencias se encontraban una imprenta, una fábrica de papel, etc.,

y también el observatorio Stelborg (castillo de las estrellas). Sin

embargo, su independencia religiosa, su desdén por los señores, le

expusieron a toda clase de calumnias y, a la muerte de Federico II en

1588), Cristián IV le retiró la pensión; en 1597, Brahe dejó Uraniborg y

partió hacia Alemania. Rodolfo II le ofreció asilo en Praga, donde

reemprendió sus trabajos. Se le deben notables mejoras en las teorías de

la luna; fue el primer astrónomo que tuvo en cuenta la refracción y


- 53-

confeccionó una tabla de corrección; redactó un catálogo de 777

estrellas. Aunque fue un gran experto en astronomía, su inspiración fue

menor en cosmología: abandonó el sistema heliocéntrico que acababa de

proponer Copérnico, y volvió a un sistema geocéntrico inspirado en el de

Heráclides Póntico, aunque reconocía cierto movimiento de la Tierra.

El material acumulado por Brahe era extraordinariamente amplio y

minucioso sobre el recorrido de los planetas en la bóveda celeste, sin

embargo no se sentía feliz con su colaborador, Longomontano, a quien

había confiado la interpretación matemática de sus observaciones. Por

ese tiempo Johannes Kepler (1571 - 1630) había tomado cierto

reconocimiento por el libro Mysterium cosmographicum publicado en

1595. En este libro daba una audaz visión especulativa de conjunto que

añade a los cinco poliedros regulares seis ámbitos de forma esférica

sobre los cuales pasan las órbitas, supuestas circulares, de los planetas

más conocidos: La tierra es un círculo que es medida de todo.

Circunscríbele un dodecaedro, el círculo que lo circunscribirá será Marte.

Circunscribe a Marte con un tetraedro, el círculo que comprende a éste

será Júpiter. Circunscribe a Júpiter con un cubo. El círculo que comprende

a éste será Saturno. Ahora inscribe en la Tierra un Icosaedro. El círculo

inscrito en este será Venus. Inscribe en Venus un octaedro. El círculo

inscrito en él será Mercurio. Tienes la razón del número de los planetas.

Brahe invita a Kepler para que fuese junto a él a Praga en calidad

de ayudante, pero frustrado y amargado por los resultados obtenidos

hasta el momento sólo puso a disposición de Kepler los datos de Marte.

Kepler se puso a trabajar con verdadero afán, pero el cálculo de la órbita

de Marte oponía dificultades insospechadas. A la muerte de Tycho Brahe,

el Kaiser Rodolfo II nombra a Kepler sucesor de Brahe y en 1609 publica

Astronomia Nova. Por una feliz coincidencia Brahe le había encomendado

la órbita de Marte, la de mayor excentricidad, ello llevó a Kepler a

convencerse de que los datos no se ponían en concordancia con la

hipótesis del círculo. Sólo la hipótesis elíptica producía la precisión

deseada. En Astronomía Nova formula las dos primeras leyes: I) Un

planeta se mueve a lo largo de una órbita elíptica con el sol en uno de

los focos de la elipse y II) El radio vector desde el sol al planeta barre

áreas proporcionales al tiempo empleado.

En la demostración de la segunda ley calculaba el área de un sector

de la elipse y su método consistía en imaginar las áreas como sumas de

las áreas de pequeños arcos de elipse con igual longitud de arco. Kepler

tenía poco tiempo para el rigor griego y fue afortunado al obtener una

respuesta correcta después de cometer errores en sus trabajos. Uno de

ellos es suponer que la velocidad de un planeta es inversamente

proporcional a la distancia del planeta al sol en vez de inversamente

proporcional a la distancia del sol a la recta tangente a la elipse que pasa

por el planeta. Hay que recordar que Kepler había trabajado en las


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secciones cónicas en 1604 exponiendo curiosos resultados en Ad

Vitellionem paralipomena en el que exponía la continuidad de las cónicas

y llegó a identificar la parábola como el caso límite entre la elipse y la

hipérbola.

En 1619 publica Harmonices Mundi en el que se incluye la tercera ley:

III) Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son

proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas. La

obra de Kepler, tanto Nova Astronomia como Harmonices Mundi se

pueden considerar como precursoras del posterior desarrollo de la física,

en ella no sólo se analizaron por primera vez las formas de las órbitas

planetarias, sino que además se desarrollaron ideas (liberadas de la

mística y de la religión) sobre las causas del movimiento planetario. Los

ángeles ya no guiaban a los planetas, sino que una especie de

magnetismo. El mismo Kepler, en 1621, señaló como causa del

movimiento de los planetas una fuerza, que llama vis, emanada del Sol.

En el libro Nova steriometría doliorum vinariorum (Nueva geometría

de los barriles de vino) publicada en 1615 intentaba facilitar a los

mercaderes un método exacto para calcular el volumen de los barriles.

Sus trabajos concentrados sobre sólidos de revolución determina (exacta

o aproximadamente) el volumen de noventa de estos sólidos. El método

de Kepler en su Steriometría consiste en diseccionar el sólido dado en un

(aparentemente) número infinito de infinitesimales piezas, o sólidos

llamados “indivisibles”. Por ejemplo, la esfera es descompuesta en un

número infinito de pequeñas pirámides con altura igual al radio de la

esfera. Así demostró que el volumen de la esfera es un tercio de la

superficie multiplicada por el radio. Como los volúmenes de las pirámides

son un tercio del prisma con la misma base y la misma altura, la suma de

todas las bases nos da la superficie de la esfera y al ser la altura de las

pirámides igual que radio, entonces tenemos que:

Kepler demostró también que el volumen del anillo de un ancla o toro

es generado por revolución de un círculo de radio a sobre un eje vertical

a una distancia b de su centro y es igual al producto del el área del

circulo y la distancia recorrida por su centro, esto es:

. Él dedujo esta fórmula al imaginar el toro diseccionado en

infinitas rebanadas circulares sobre planos que contienen al eje de

revolución.

La principal contribución de Galileo Galilei (1564 -1642) al mundo de

las matemáticas consiste en infundir la mentalidad de que el mundo es

de naturaleza matemática, aunque la matematización a la que procedió

era aún bastante somera. Desempeñó un papel fundamental en la

introducción de las matemáticas para la explicación de las leyes físicas y


- 55-

expresó sus relaciones funcionales con palabras. En sus trabajos sobre el

movimiento, por ejemplo, descubrió que el espacio recorrido por un

cuerpo al caer desde el reposo con movimiento uniformemente acelerado

está en relación con el cuadrado del tiempo empleado en ese recorrido

(esto sirvió cien años más tarde a Newton), que se podía escribir como

(donde s es el espacio, t el tiempo y K una constante). Demostró

que la trayectoria descrita por un proyectil disparado al aire era una

parábola y consideró la curva como el lugar geométrico de un punto

móvil. Usó las matemáticas para probar algunos experimentos de

Arquímedes. Fue profesor de matemáticas en Pisa y Padua.

Puede considerarse el fundador de la mecánica moderna. Determinó

las leyes de caída de los cuerpos y la independencia de la masa de los

cuerpos. Formuló el principio de la relatividad del movimiento. Definió las

leyes del péndulo y utilizó éste para medir el tiempo. Demostró, de forma

poco rigurosa, las leyes del movimiento parabólico. Sus experimentos

acerca de la caída de los cuerpos sobre un plano inclinado le llevaron a

considerar, en el caso límite de un plano horizontal, una primera

formulación del principio de inercia. Construyó varios telescopios que

llegaban a aumentar hasta 30 veces un cuerpo. Con esto des- cubrió

Júpiter, el anillo de Saturno, las manchas y la rotación del Sol sobre su

eje, las fases de Venus, etc. Estudió profundamente la Luna llegando a

medir la altura de sus montañas.

Defendió las ideas heliocéntricas de Copérnico sin considerarlas como

una hipótesis, lo que le produjo un gran enfrentamiento con la Inquisición

de la Iglesia, la prohibición de enseñar esa doctrina y el juicio en 1633

que terminó con su condena, la obligación de abjurar de sus ideas y la

pronunciación de la famosa frase “Eppur, si muove” (Sin embargo, se

mueve) refiriéndose a la tierra. La negación de la inmovilidad de la Tierra

se enfrentaba a las ideas aristotélicas sobre el mundo y sobre todo a los

relatos bíblicos sobre los orígenes del mundo interpretados, en aquella

época, de manera literal. Galileo, en una carta a la Duquesa de Lorena,

manifestaba claramente que la interpretación literal de la Biblia debía

descartarse y no tenía por qué sustituir a la ciencia dado que su objetivo

era, ante todo, religioso.

Las obras de Galileo son: en 1606 publica Le operacioni del Compasso

Geométrico e Militare un libro sobre los distintos usos del compás

geométrico que había diseñado y construido. El 12 de marzo de 1610

publica, Sidereus Nuncios (el mensajero de los astros). De la obra se

hacen 500 ejemplares que se agotan en pocos días debido a su éxito

inmediato. Un libro en el que expone todas las observaciones realizadas

con su nuevo telescopio. En mayo de 1612 publica Discurso sobre las

cosas que flotan en el agua o se desplazan por ella, en donde exponía

experimentos al alcance de todos y de forma que rebatía todos los

argumentos que hasta la fecha le habían expuesto. Demuestra, además,


- 56-

que el aire es 800 veces menos pesado que el agua. En marzo de 1613

publica Historia y demostración a propósito de las manchas solares en el

que expone su versión del origen de las manchas solares. En 1623

publica Il Saggiatore, considerada como una de las obras maestras de la

literatura italiana, es una obra en la que expone sus consideraciones

propias sobre la obra de Copérnico para rebatir las ideas y controversia

surgidas con la aparición de nuevos cometas. En 1632, animado por el

Papa Urbano VIII, escribe Dialogo supra i due massimi sistemi del mondo

ptolemaico e copernicano (Diálogo sobre los dos máximos sistemas del

mundo ptolemaico y copernicano) escrito en forma de dialogo entre tres

amigos: Salviati (un intelectual bien informado científicamente que

defiende la idea de Copérnico), Sagredo (un inteligente profano en la

materia que desea aprender) y Simplicio (un obtuso defensor del sistema

ptolemaico). En 1638, encerrado en su casa por orden de la inquisición,

escribe Consideraciones y demostraciones matemáticas sobre dos

ciencias nuevas en el que inaugura la mecánica moderna y expone sus

todos sus experimentos realizados sobre física. El libro se publicó en

Amsterdam para evitar problemas con la Inquisición.

Entre sus descubrimientos astronómicos podemos destacar:

La existencia de montañas en la Luna, lo que falseaba la

distinción aristotélica entre región sublunar y supra lunar

(celeste).

Las fases de Venus, descubrimiento que refutaba el modelo

Ptolemaico, según el cual Venus se encontraba siempre entre la

tierra y el Sol, y por tanto, sólo podía ser visto desde la Tierra en

fase creciente. La importancia de este descubrimiento se ve

acrecentada por el hecho de haber sido predicho por Copérnico,

aunque no podía comprobarlo.

Descubrimiento de cuatro planetas que giran en torno a Júpiter

(astros mediceos). Estos satélites constituyen un modelo de

sistema solar copernicano.

Descubrimiento de que la Vía Láctea es un gigantesco conjunto

de estrellas, hecho que hacía verosímil la idea de la enorme

extensión del universo y por tanto justifica la inobservancia del

paralaje estelar.

Las manchas solares que giran sobre el Sol, que constituyen un

modelo de la rotación de la Tierra, y falsean la afirmación de la

incorruptibilidad y perfección de los cielos.

Bonaventura Cavalieri (ca 1598-1647), nacido en Milán, religioso

jesuato (no confundir con jesuita) fue alumno de Galileo. Enseñó

matemáticas en Bolonia desde 1629 hasta su muerte. Escribió varias

obras de matemáticas, óptica y astronomía y fue en gran parte el

responsable de la rápida introducción de los logaritmos en Italia. Pero

debe su fama a un tratado, cuya primera versión se publicó en 1635,


- 57-

consagrado al método de los indivisibles. El Tratado de los indivisibles de

Cavalieri es verbal y no muy claro. El autor no dice en ninguna parte de

su obra qué entiende exactamente por el término “indivisible”, que

caracteriza a los elementos infinitesimales utilizados en su método. Para

Cavalieri una superficie está constituida por un número indefinido de

rectas paralelas equidistantes y un sólido por planos paralelos

equidistantes. En el método de Cavalieri no existe ningún proceso de

aproximaciones sucesivas y, contrariamente a la afirmación según la

cual Cavalieri despreciaba los infinitesimales de orden superior, no omite

ningún término, puesto que recurre a la correspondencia biunívoco para

asociar los elementos de dos configuraciones que quiere comparar.

Podemos ilustrar el método de los indivisibles con la siguiente

proposición, conocida en estereometría con el nombre de “Teorema de

Cavalieri”: Si dos sólidos tienen la misma altura y si las secciones que se

obtienen por planos paralelos a las bases y a igual distancia de éstas

están siempre en una razón dada, entonces los volúmenes de los sólidos

están también en la misma razón.

Pero también se le debe otro resultado que iba a tener igualmente

consecuencias importantes. La espiral de Arquímedes y la

parábola habían sido bien conocidas desde la antigüedad, pero

nadie había descubierto previamente ninguna relación entre ellas hasta

que Cavalieri tuvo la idea de comparar indivisibles rectilíneos con

indivisibles curvilíneos. Si se deseara, por ejemplo, torcer la parábola

en torno a su vértice dándole la forma de una espiral de reloj, de

manera que el vértice permanezca fijo mientras que el punto P pase a

ocupar la posición P’, entonces las ordenadas de los puntos de la parábola

las podemos considerar como transformadas en radios vectores por

medio de las relaciones que ahora llamamos coordenadas cartesianas y

polares. Los puntos de la parábola de Apolonio se transformarán

así en los de la espiral de Arquímedes . En este problema

podemos ver una interacción de elementos que pertenecen a la

geometría analítica con otros que corresponden al cálculo infinitesimal, y,

sin embargo, Cavalieri escribía cuando aún ninguna de estas dos ramas

de la matemática había sido inventada formalmente. La falta de rigor en

Cavalieri fue muy criticada por Christiaan Huygens (1629-1695) diciendo

que es necesario en una demostración que al menos sea convincente en

el rigor con que debe ser construida. Huygens ejercía una gran influencia

en Leibniz y así jugó un papel importante en producir un gran avance en

el cálculo. Lo mismo que pasa en otras partes de la historia de la

matemática, vemos aquí que los grandes hitos históricos no aparecen

casi nunca de una manera repentina y espontánea, inesperada, sino que

suelen ser simplemente las formulaciones más claras y precisas que

culminan un largo y espinoso camino de desarrollos irregulares.

Posteriormente John Wallis (1616-1703) generalizó este resultado


- 58-

q para valores de exponentes no enteros en su Aritmetica Infinitorum (La

Aritmética de los Infinitos) de 1655. Aunque el caso en el que

sea un

número racional positivo ya fue abordado por Fermat y Evangelista

Torricelli (1608-1647), este último discípulo de Galileo y Cavalieri. Si bien

estas investigaciones son de fecha anterior a las de Wallis, fueron

publicadas con fecha posterior.

9. Descartes

En esta época aún no existía ninguna organización matemática de tipo

profesional, pero tanto en Italia como en Francia e Inglaterra había ya

algunos grupos de científicos más o menos organizados: la Accademia dei

Lincei (a la que perteneció Galileo) y la Accademia del Cimento en Italia,

el Cabinet Du Puy en Francia y el Invisible College en Inglaterra. Hubo

además, durante el período que estamos considerando, un personaje

que, a título individual, sirvió como central de información matemática

gracias a sus amplios contactos por correspondencia. Se trataba del

fraile minimita Marin Mersenne (1588 1648), muy amigo de Descartes y

de Fermat, así como de muchos otros matemáticos de la época. Si

Mersenne hubiera vivido un siglo antes, el retraso en circular la

información relativa a la resolución de la cúbica no se había producido,

porque en cuanto que Mersenne tenía noticias de alguna cosa nueva,

toda la “República de las Letras” era puntualmente informada acerca de

ella. Así pues, a partir del siglo XVII la matemática se desarrolló más

bien movida por su propia lógica interna que por fuerzas de tipo

económico, social o tecnológico, tal como se pone de manifiesto

claramente en la obra de Descartes, el matemático más conocido de la

época.

René Descartes (1596 -1650) nació en una familia bien acomodada y

recibió una formación sólida y esmerada en el colegio de los jesuitas de

La Flèche, en el los libros de texto de Clavius ocupaban un lugar

destacado. Después se graduó en la Universidad de Poitier, en la que

estudió derecho sin demasiado entusiasmo. Más tarde viajó Descartes

por diversos países durante unos cuantos años, participando en algunas

campañas militares, y sus breves períodos de servicio estuvieron

separados por largos intervalos de viajes independientes y de estudio,

durante los cuales entró en contacto con algunos de los intelectuales

más importantes entonces de varias partes de Europa: Faulhaber en

Alemania y Desargues en Francia, por ejemplo. En París conoció a

Mersenne y al círculo de científicos que discutían y criticaban libremente

el pensamiento peripatético; estimulado por este ambiente intelectual,

Descartes llegó a convertirse en el “padre de la filosofía moderna”, así

como a presentar una nueva concepción científica del mundo y a crear

una nueva rama de la matemática.


- 59-

En el más famoso de todos sus tratados, el Discours de la méthode

pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences

(Discurso del método para dirigir bien la razón y buscar la verdad en las

ciencias), de 1637, anunciaba Descartes su programa de investigación

filosófica, por medio del cual, y a través de la aplicación de la duda

sistemática, esperaba alcanzar unas ideas claras y distintas de las que

sería posible entonces deducir una cantidad innumerable de

consecuencias válidas. Este planteamiento le condujo, en el campo de la

ciencia, a suponer que todo podía explicarse en términos de materia (o

extensión) y de movimiento. El universo entero, según postulaba

Descartes, estaba hecho de materia moviéndose incesantemente en

forma de “vórtices” o remolinos, y todos los fenómenos debían ser

explicados mecánicamente en términos de fuerzas ejercidas por

porciones de materia sobre otras en contacto directo con ellas. La ciencia

cartesiana gozó de una gran popularidad durante casi un siglo, pero

finalmente cedió su lugar a la teoría razonada matemáticamente de

Newton. No deja de ser irónico que fuera en gran parte la matemática de

Descartes la que hizo posible más tarde la derrota de la ciencia

cartesiana.

La primera contribución matemática de Descartes se remonta al

comienzo de su período de viajes y se refiere al descubrimiento de la

fórmula, atribuida generalmente a Euler, v +c = a+2 donde v, c y a

representan, respectivamente, el número de vértices, de caras y de

aristas en un poliedro simple. En 1628 escribe su primer tratado,

Regulae ad directionem ingenii; a continuación una obra de cosmología

titulada El mundo o Tratado de la luz, que estaba ya en manos del

impresor cuando sobrevino la condena de Galileo. Se abstuvo, pues, de

publicar su física, con el fin de no exponerse a polémicas y quizá, incluso,

a persecuciones. Sin embargo, se vio obligado, para completar su obra

científica, a recurrir a los poderes públicos para obtener del Estado

créditos suficientes. Es también el fin que persigue publicando su célebre

Discurso del método y algunos de sus descubrimientos científicos.

Publicado sin el nombre del autor en Leiden en 1637, el Discurso servía

como prefacio a tres tratados científicos: Geometría, Dióptrica y

Meteoros. La Geometría, que fue la única obra de Descartes sobre

matemáticas, contiene sus ideas sobre la geometría de coordenadas y el

álgebra. Pueden encontrarse sus restantes contribuciones matemáticas

en diversas cartas.

En una carta dirigida a Isaac Beckmann en 1628 encontramos el

origen de la geometría analítica de Descartes. Subrayaba en esta carta

que los progresos realizados en aritmética y en geometría en los últimos

nueve años eran tales que ya no estaba interesado en proseguir estudios

en esos campos. Y justificaba esta afirmación dando la regla para

construir todas las cúbicas y las cuárticas por medio de una parábola.


- 60-

Mediante este enfoque geométrico, se situaba en la prolongación directa

de los trabajos de Viète, ya que la construcción de las raíces de las

ecuaciones algebraicas determinadas había sido uno de los principales

temas de estudio de éste último.

Así, este esfuerzo por utilizar la geometría para resolver ecuaciones

algebraicas ilustraba bien el enfoque fundamental que desarrollaría en su

Geometría. Había descubierto que las interrelaciones entre el álgebra y la

geometría resultaban más inteligibles mediante el uso de coordenadas en

el estudio de las ecuaciones con dos incógnitas, y su método,

esencialmente nuevo, consistía en utilizar la representación gráfica de las

ecuaciones indeterminadas. Descartes comprobó el valor de su método

cuando resolvió en poco tiempo el problema de lugar de Pappus con tres

y cuatro rectas, propuesto por Golius. Aunque tenía la impresión de que

los antiguos, no habían podido resolver este problema, se dio cuenta de

las posibilidades que ofrecía su enfoque y, consecuentemente, dio a

conocer la geometría analítica a sus contemporáneos con su célebre

tratado.

La Geometría de Descartes está dividida en tres libros: el primero

trata de los problemas que se pueden construir empleando sólo

circunferencias y rectas. El segundo se refiere a la naturaleza de las

curvas, mientras que el tercero abarca la construcción de “problemas

sólidos o más que sólidos”.

La geometría cartesiana, en el sentido de Descartes, perseguía un fin

muy diferente de nuestra geometría analítica moderna. En efecto, en el

primer párrafo de la Geometría, puede leerse: Todos los problemas de

geometría pueden reducirse fácilmente a términos tales que no hace

falta más que conocer la longitud de algunos segmentos rectos para

construirlos. No se trata, pues, de reducir necesariamente la geometría al

álgebra, sino más bien de realizar una construcción geométrica. Así,

desde las primeras páginas del libro I, Descartes proporciona una base

geométrica al álgebra mostrando que las cinco operaciones aritméticas

corresponden a construcciones sencillas con la regla y el compás.

Después, Descartes introduce su notación algebraica, y en particular su

notación exponencial para las potencias. Resalta a continuación el hecho

de que las potencias tales como etc., se interpretan

geométricamente como segmentos simples y no, según los griegos,

como cuadrados o cubos; en esto rompe con la tradición griega. Para la

resolución de un problema en geometría, Descartes indica cómo se debe

proceder: Se debe, en primer lugar, considerarlo como ya hecho, y dar

nombres a todas las líneas que aparecen necesarias para construirlo,

tanto las que son desconocidas como las otras. Después, sin considerar

ninguna diferencia entre las líneas conocidas y desconocidas, se debe

recorrer la dificultad, según el orden que muestre más naturalmente en

qué medida dependen mutuamente unas de otras, hasta que se haya


- 61-

encontrado el medio de expresar una misma cantidad de dos maneras:

lo que se llama una ecuación.

Descartes afirma a continuación que, si un problema puede ser

resuelto mediante la “geometría de líneas rectas y circulares trazadas

sobre una superficie plana” -geometría de la regla y el compás-, la

ecuación final contendrá “A un cuadrado desconocido” y este segmento

se encuentra fácilmente. Porque, prosigue, si tengo por ejemplo

Construyo un triángulo rectángulo con el lado igual la

raíz cuadrada de la cantidad conocida , y el otro lado, igual

, la

mitad de la otra cantidad conocida que está multiplicada por , la cual es

el segmento desconocido por hipótesis. Prolongando , la hipotenusa

de este triángulo, hasta O, de manera que sea igual a , el

segmento es la línea buscada.

Esto se expresa de esta formal

Descartes aplica su método a otras

ecuaciones de segundo grado y subraya a

continuación que las raíces obtenidas en

estos ejemplos podían encontrarse por

otros métodos, y que los matemáticos antiguos no parecían haber

descubierto un método tan eficaz para el mismo género de problemas. Lo

enlaza a continuación con el célebre problema de lugar de Pappus y,

después de una larga exposición sobre el tema, intenta demostrar que

su método le permite resolver el problema, incluso si el número de rectas

es mayor de seis u ocho.

El libro II es el que se acerca más a nuestra concepción moderna de

la geometría analítica. Después de una exposición crítica sobre las

distinciones aportadas por los griegos en el tema de la clasificación de las

curvas planas, sólidas y lineales propone una nueva clasificación que

reposa esencialmente sobre “la exactitud del razonamiento”. Las curvas

geométricas como la recta, la circunferencia y las cónicas, son curvas

algebraicas descritas exactamente, por oposición a las curvas mecánicas

como la cuadratriz y la espiral logarítmica, que son más bien curvas

trascendentes descritas inexactamente. La clasificación de Descartes

permitió abrir el campo de las curvas admisibles, que era muy restringido

entre los griegos, y preparar el camino de una clasificación de las curvas

basada en parte en la existencia de ecuaciones algebraicas.

El libro III de la Geometría vuelve al tema desarrollado en el libro I,

es decir, la solución de problemas de construcciones geométricas y, en

particular, la construcción de raíces de ecuaciones determinadas.


- 62-

Descartes resuelve así problemas de construcciones geométricas en los

que las longitudes desconocidas (raíces) satisfacen ecuaciones de tercer

grado y grado superior. Nos dice que para la construcción de cada

problema hace falta tener cuidado de escoger siempre la más sencilla de

aquellas mediante las que es posible resolverlo; se debe, pues, conocer

bien la naturaleza de las raíces de las ecuaciones a estudiar y saber, en

particular, cuándo una ecuación es reducible. Este último libro constituye

una exposición elemental de la teoría de ecuaciones, escrita en un

lenguaje y con una notación que se parecen mucho a los de nuestros

libros modernos. Se encuentran en él reglas para combinar, factorizar,

transformar y resolver ecuaciones. También se muestra cómo descubrir

las raíces racionales cuando existen, disminuir el grado de una ecuación

cuando se conoce una raíz, aumentar y disminuir las raíces, cambiar su

signo, determinar el número posible de raíces positivas y negativas,

verdaderas y falsas en el lenguaje de Descartes, mediante la célebre

“regla de los signos”, etc.

En la búsqueda de la solución de problemas de construcciones

geométricas, Descartes no recurre al método gráfico apropiado a un

sistema de coordenadas. Utiliza esencialmente la construcción

geométrica, el conocimiento de una longitud desconocida que satisface

una ecuación y las propiedades geométricas de las cónicas. Su solución

ofrece un aspecto puramente algebraico, y se sirve de las ecuaciones de

las cónicas para deducir hechos referentes a las curvas y a su

construcción geométrica. Su clasificación de los problemas reposa sobre

el grado de las ecuaciones algebraicas obtenidas a partir de la

formulación algebraica de los problemas de construcción. Es así como

una construcción realizada por medio de rectas y circunferencias se

formula en términos de una ecuación de primero o de segundo grado. Los

grados tres y cuatro de una ecuación implican la utilización de las

secciones cónicas. En particular, Descartes afirma, de manera incidental,

que la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo son de grado tres,

porque las rectas y las circunferencias no bastan para su construcción. Si

el grado de una ecuación es superior a cuatro, se pueden necesitar

curvas más complicadas que las secciones cónicas para asegurar su

construcción geométrica.

El grado de la ecuación de una curva resulta ser, en Descartes, una

especie de medida de su simplicidad. Nos recuerda, por otra parte, al

final de su libro, que ha presentado las construcciones más sencillas

posibles para problemas de diferentes clases, lo que significa que ha

utilizado el grado menor posible para resolver un problema de

construcción. En lo que se refiere a las expresiones “sistema de

coordenadas cartesianas” y “producto cartesiano”, podemos decir que son

anacronismos. En efecto, Descartes no elaboró un sistema de

coordenadas que le habría permitido localizar puntos como pudiera


- 63-

hacerlo un geógrafo, de la misma manera que sus coordenadas no son

consideradas como parejas de números. Lo que Descartes hizo, fue

utilizar una recta como una línea de base con un origen. Los valores de x

son entonces longitudes medidas sobre esta recta, mientras que los

valores de y son longitudes medidas desde la recta y que forman un

cierto ángulo constante con esta última. Esto era, de hecho, recurrir a

coordenadas oblicuas para situar puntos en el plano, pero Descartes

prefirió insistir en la idea misma de coordenadas en lugar de servirse de

ellas para trazar las curvas.

Oresme representaba una ley trazando el gráfico de la función

correspondiente, y la curva obtenida ilustraba geométricamente esta

relación de dependencia entre dos variables. A Descartes no le

interesaban los lugares de puntos que satisfacen una ecuación dada,

sino la posibilidad de construir estos puntos. Por otra parte, en la

Geometría no se encuentra ninguna curva trazada directamente a partir

de su ecuación. En lo que se refiere a la utilización de cantidades

negativas, aunque sabía que los segmentos negativos están dirigidos en

el sentido opuesto a los segmentos positivos, no se preocupó de

establecer un principio general aplicable en un sistema de coordenadas.

La determinación de la recta tangente a una curva en un punto dado

es una de las constantes en los problemas de los matemáticos en todas

las épocas. Descartes abordó el problema de las tangentes en 1637

intentando determinar la “normal” a la curva de un punto M dado: Si N es

el punto donde la normal (perpendicular) corta al eje de las x, la

circunferencia descrita con este punto como centro, con radio N M, será

tangente en M a la curva. Pero si N no coincide exactamente con el pie

de la normal, el radio N M cortará a la curva en un segundo punto P que

se aproximará indefinidamente a M, cuando N se aproxime

indefinidamente al punto que coincide con el pie de la normal. Este

método está fundado en el principio siguiente:

Una línea cualquiera variable que corta a una curva dada en un

punto fijo M dado y en un segundo punto P variable que se aproxima

indefinidamente a M, llega a ser tangente a esta curva cuando los dos

puntos de intersección coinciden.

Este primer método de las tangentes

apareció en el libro II de la Geometría, y fue

seguido de otros dos métodos propuestos por

Descartes para apoyar su argumentación en la

polémica que le enfrentó a Fermat. El segundo

método consistía en “determinar la tangente a una curva considerándola

como la posición particular de una secante que gira en torno al pie de la

tangente, hasta que dos de sus puntos de intersección con la curva llegan


- 64-

a coincidir”. Fue propuesto como respuesta a las modificaciones y

correcciones hechas por Descartes a la regla de los máximos de Fermat.

El último método de Descartes, que dio a conocer algunos días después

del segundo, expresa el punto de vista generalmente adoptado ahora: la

tangente está determinada por una recta que gira alrededor del punto de

contacto dado, hasta que el otro punto en el que aquélla corte a la curva

venga a coincidir con el primero.

Aunque Descartes manifestara antes de 1637 un cierto interés por los

métodos infinitesimales, no participó en su desarrollo porque sus

trabajos matemáticos, hay que recordarlo, no representan más que un

episodio en el desarrollo de su filosofía. Sin embargo, con motivo de la

polémica con Fermat, puso de manifiesto su interés matemático en el

problema de las tangentes. Descartes se dio cuenta plenamente de la

importancia de este problema en los siguientes términos: Por esto creeré

haber puesto aquí todo lo que se requiere para los elementos de las

líneas curvas, cuando haya ofrecido, en general, la manera de trazar

líneas rectas que formen ángulos rectos en aquellos de sus puntos que

se quiera escoger. Y me atrevo a decir que éste es el problema más útil y

más general, no sólo que yo sepa, sino incluso que yo haya deseado

jamás conocer en geometría.

Hay que señalar que el método de Descartes es puramente

algebraico y no recurre a conceptos de límite o de infinitésimo. Sin

embargo, queriendo corregir la regla de los máximos y mínimos de

Fermat, utiliza un procedimiento que es prácticamente equivalente a

definir la tangente como límite de la secante. Descartes evitó el uso de

métodos infinitesimales a causa de los riesgos que presentaban y debido

a la ausencia de bases teóricas para el razonamiento infinitesimal. Se

oponía así a un movimiento importante de su época.

10. Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (1601 - 1665) nació en Beaumont-de-Lomagne,

cerca de Montauban. Su padre era comerciante de cueros y después de

dar una sólida formación en su familia, le envió a estudiar Derecho a

Tolouse. Allá pasó el resto de su vida, ejerciendo Derecho; después, a

partir de 1631, fue consejero en el Parlamento, y murió en Castres.

Fermat tuvo una carrera apacible, caracterizada por un cuidado ejemplar

de hacer bien su tarea y, en sus momentos de ocio, supo crearse

ocupaciones literarias y apasionarse por las matemáticas.

Fermat publicó rara vez sus descubrimientos; apenas algunas notas

como apéndices a tratados escritos por otros. Como trabajaba para

entretenerse, sus resultados más bellos aparecen en los márgenes de

estos tratados, y un gran número de sus trabajos se han perdido.

Mantuvo correspondencia con todos los científicos de su época; su


- 65-

reputación de matemático competente fue inmensa, y la estima en la

que se le tuvo fue general. Pascal confesó que era “aquel a quien tengo

por el gran geómetra de toda Europa”, y este personaje tan atrayente, de

un carácter constante, afable, poco susceptible, sin orgullo, contribuyó

ampliamente a la evolución de las matemáticas en campos tan variados

como la geometría analítica, el cálculo diferencial e integral, la teoría de

números y la teoría de probabilidades. Los principales escritos de Fermat

fueron publicados, después de su muerte, por su hijo Samuel en 1679,

bajo el título de Varia opera mathematica. Aunque esta publicación no

encierra más que una parte de su producción, basta por sí sola para

clasificar al célebre habitante de Toulouse como el más importante

matemático francés del siglo XVII.

El trabajo de restauración de los grandes clásicos de Alejandría

emprendido por sus predecesores interesó a Fermat después de 1621

hasta tal punto que se propuso reconstruir los dos libros de Apolonio

sobre los Lugares planos a partir de informaciones contenidas en la

Colección matemática de Pappus. Este trabajo le condujo al problema de

las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas de Apolonio,

que generalizó en términos de esferas tangentes a cuatro esferas dadas.

Esta primera actividad matemática de Fermat le llevó en 1629, a la edad

de 28 años, a un estudio analítico de los máximos y los mínimos.Luego,

algún tiempo después, aplicó el análisis de Viète a los problemas de

lugares geométricos y, en un corto ensayo titulado Ad locos planos et

solidos isagoge, que data como mucho de 1636, presentó en un estilo

moderno, con las notaciones de Viète, los principios fundamentales de la

geometría analítica. Esta obra, muy corta como todos sus ensayos,

comienza con una alusión al hecho de que los estudios sobre lugares

geométricos han podido hacer que en ciertos casos los antiguos parezcan

difíciles a causa de su incapacidad de enunciar el problema en una forma

general. Es así como se propone someter la teoría de los lugares

geométricos a un análisis que indique el camino hacia un estudio general

de los problemas de lugares. Prosigue, a continuación, enunciando el

principio fundamental de la geometría analítica: Cuando una ecuación

contiene dos cantidades desconocidas, hay un lugar correspondiente, y

el punto extremo de una de estas cantidades describe una línea recta o

una línea curva. Esta proposición constituye uno de los enunciados más

significativos de la historia de las

matemáticas. En efecto, introduce no

sólo la geometría analítica, sino

también la muy útil idea de variable

algebraica. En la terminología de

Viète la cantidad desconocida

representaba una magnitud

determinada, mientras que en Fermat

el extremo de una de las variables


- 66-

puede ocupar diversas posiciones consecutivas, de manera que

represente una línea.

El extremo de E es fijo (B) cuando la longitud de A está determinada

a partir de un punto O, que se toma como origen, y hasta el punto C. Así,

Fermat utiliza coordenadas oblicuas, aunque el eje de las y no exista

explícitamente y aunque no emplee coordenadas negativas.

Las cantidades desconocidas y son auténticas variables que

utiliza en ecuaciones algebraicas que representan lugares. Subrayemos

que ni Descartes ni Fermat utilizaron la denominación de “sistema de

coordenadas” o la idea de dos ejes, y que Fermat se limitó a hacer

representaciones geométricas en el primer cuadrante solamente, sin

considerar posibles los valores negativos. En su presentación, introduce

la división clásica de los lugares en tres tipos plano, sólido y lineal de la

manera siguiente: si el extremo de E describe una línea recta o una

circunferencia, tenemos un lugar plano; sí describe una parábola, una

hipérbola o una elipse, es un lugar sólido; para todas las demás curvas,

el lugar correspondiente es un lugar lineal (locus linearis). Según Fermat,

las ecuaciones pueden visualizarse fácilmente cuando las dos cantidades

desconocidas son tales que forman un ángulo dado, que ordinariamente

es recto.

En 1629, Fermat había desarrollado su geometría analítica y, poco

tiempo después, hizo dos descubrimientos importantes estrechamente

ligados a sus trabajos sobre los lugares. El más importante es, sin duda,

una regla para la determinación de los extremos de las funciones

algebraicas que sería descrita, sin demostración, en un pequeño tratado

titulado Methodus ad disquirendam maximam el minimam, escrito en

1637. Se puede enunciar su método de la manera siguiente: se trata

de buscar el máximo o el mínimo de la función f cuya variable es y lo

resuelve así:

Reemplacemos por (donde desempeña el papel de nuestra

habitual) en , y hagamos , dividamos cada

término por y, finalmente, eliminemos todos los términos que

contengan . La ecuación resultante se anula para uno o varios

valores de la variable , y estos valores corresponden a máximos o

mínimos.

Veamos una aplicación de su método al problema de dividir un

número en dos partes de forma que el producto sea máximo. Sea el

número conocido y la cantidad desconocida. Tendremos que

. Para calcular el máximo, sustituimos por , por

consiguiente ,

igualamos a la anterior , y tenemos

, de donde simplificando y dividiendo por E obtenemos


- 67-

. Finalmente, haciendo en la última igualdad,

tendremos 2A = N. Es decir, es máximo cuando

.

Es importante señalar que este método algorítmico, a efectos

prácticos, es equivalente al cálculo

aunque Fermat no

poseía el concepto de límite. Sin embargo, el cambio de variable de a

y los valores próximos utilizados por Fermat constituyen la

esencia del análisis infinitesimal. Hacia 1632, Fermat aplica su método de

los extremos a la determinación de las normales y tangentes o, más

precisamente, de las subtangentes a una curva.

El método de cuadratura, cálculo de áreas encerrada bajo una curva,

conocido como método de los indivisibles de Cavalieri muestra

principalmente que el área de una curva del tipo en los valores 0 y a

es

es lo que hoy día indicamos como

, para todas las

potencias enteras positivas. Sin embargo, Cavalieri después de la

publicación de este resultado en 1635, no proporcionó ninguna

demostración completa más que para . En 1635, Fermat demostró

rigurosamente este resultado general y, en la misma época, consiguió

extenderlo a las potencias fraccionarias positivas por medio de parábolas

generales de la forma . Además, encontró las cuadraturas y

los centros de gravedad de estas parábolas. Se interesó por la

cuadratura de la hipérbola fraccionaria aplicando una técnica equivalente

a la que se utiliza para el cálculo de la integral definida: división del área

bajo la curva en pequeños elementos, estimación de la suma de los

elementos del área mediante rectángulos y de la ecuación analítica de la

curva, procedimiento utilizado por Fermat para expresar el equivalente

de lo que se obtiene sirviéndose del límite de la suma. En cierta manera

podemos afirmar que Fermat llegó a reconocer todos los aspectos de la

integral salvo el de la integral misma.

Fue sobre todo en la teoría de números, inaugurada por Diofanto en

la Antigüedad, donde Fermat se reveló sin rival, como Pascal atestigua

en una carta: Buscad en otra parte quien os siga en vuestras invenciones

numéricas; os confieso que me superan con mucho; no soy capaz más

que de admirarlas. Los trabajos de Fermat en teoría de números están

contenidos en sus “observaciones”, escritas en los márgenes de su

ejemplar del Diofanto de Bachet y en su “correspondencia”. Para hacerse

una idea más exacta de las contribuciones de Fermat a la reina de las

ciencias matemáticas, según Gauss, hay que tener en cuenta sus dos

fuentes: la correspondencia aporta un complemento precioso a sus

observaciones. Los primeros estudios de Fermat en teoría de números

se remontan a 1636, año en el que consigue dilucidar el problema

siguiente: “Sea , donde son racionales.

Demostrar que si x es raíz, entonces es una diferencia de dos números

inconmensurables”. Pero es desde 1638 hasta 1644 cuando Fermat


- 68-

demuestra su verdadero talento. En esta época da a conocer, entre

otras, las proposiciones siguientes:

1. Ningún triángulo rectángulo tiene por área un cuadrado.

2. Las ecuaciones son irresolubles

en términos de números racionales, así como. .

3. Ningún número de la forma es cuadrado o suma de dos

o tres cuadrados.

4. Todo número es la suma de tres números triangulares o más,

de cuatro números cuadrados, de cinco números

pentagonales, etc.

5. es compuesto si n es compuesto; si es primo, es

congruente con 1 módulo , y sus divisores primos son de

la forma .

6. , si es primo.

7. Cuando , con primos entre sí, no tiene

ningún divisor de la forma .

8. (llamado número de Fermat) no es primo si

Uno de sus métodos favoritos de demostración es el conocido como

de “descenso infinito”, que está fundado en una especie de inducción

inversa. En efecto, si se supone que un número goza de una propiedad

específica, y se puede probar que un número inferior goza también de

esta propiedad, por iteración se llega a la conclusión del absurdo de la

suposición, porque los números no pueden decrecer indefinidamente.

En cuanto al célebre “último teorema de Fermat” sobre la ecuación

, no aparece en ninguna parte en su correspondencia. La

referencia que se tiene se debe a la publicación por su hijo publicó de

una Aritmetica de Diofanto con todas las anotaciones al margen de su

padre, en donde figura la famosa frase: Cubum autem in duos cubos,

aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam

in infinitum utra quadratum potestatem in duos eiusdem nomini fas

dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis

exiguitas non caperet (Es imposible dividir un cubo en suma de otros dos

o un bicuadrado en otros dos bicuadrados, en general una potencia

cualquiera superior a dos en dos potencias del mismo grado; he

descubierto una demostración verdaderamente maravillosa pero este

margen es demasiado estrecho para contenerla).

Se han necesitado unos 300 años y construcciones de teorías muy

complicadas para poder demostrarlo. En 1995, Adrew Wiles publicó, tras

un intento fallido en 1993, la última parte de la demostración en Annal of

Mathematics.


- 69-

En 1494, Luca Pacioli publica su Summa de arithmetica, en la que

discute los juegos de azar y sugiere el célebre problema de los puntos,

que consiste en repartir equitativamente la apuesta entre jugadores cuya

destreza es igual, y que convienen en dejar la partida antes de que ésta

termine, con la condición de que, para ganar la partida, el primero debe

alcanzar un número dado de puntos, diferente para cada uno de los

jugadores. Durante el siglo XVI, dos científicos italianos estudiaron sobre

todo las probabilidades en relación con el juego de los dados. En su

manual del jugador titulado Liber de ludo aleae, publicado en 1663,

Jerónimo Cardano enuncia ciertas reglas válidas para resolver problemas

de dados y hace una relación de las precauciones a tomar para evitar las

trampas en los juegos de azar. Según Ore, Cardano formuló

correctamente los principios fundamentales y comprendió en cierta

medida la ley de los grandes números, además de obtener en su forma

casi general la ley de sucesos repetitivos. Por su parte, Galileo resolvió el

problema siguiente: con tres dados, demostrar que el número 10 aparece

más frecuentemente que el 9. Así, en los 216 casos posibles, Galileo

encuentra que 27 son favorables al número 10, contra 25 favorables al

número 9.

A principios del siglo XVII, Kepler afirma, a propósito de la aparición

súbita de una estrella en 1605, que tales acontecimientos, como los del

juego de dados, no pueden producirse fortuitamente. Con esta

afirmación, Kepler demuestra no ser ajeno al campo de las

probabilidades. Sin embargo, el cálculo de probabilidades nace

verdaderamente en 1654, de un intercambio de correspondencia entre

Blaise Pascal (1623 - 1662) y Fermat. Mientras Pascal vivía una actividad

matemática muy intensa, el caballero de Méré, su amigo, le sugirió dos

problemas que se hicieron célebres: el problema de la partida, enunciado

por Pacioli, y el de los dados. Siguió una correspondencia entre Pascal y

Fermat sobre estos problemas y los dos eminentes científicos franceses

llegaron a soluciones originales, ligadas esencialmente al análisis

combinatorio. En particular, la solución de Fermat al problema de los

puntos era válida para un número de jugadores superior a dos.

Subrayemos el hecho de que Fermat encuentra, antes de 1636, la

fórmula

.

Ni uno ni otro publicaron sus resultados sobre el cálculo de

probabilidades, y fue Huygens quien, al corriente de esta

correspondencia, se interesó por ella hasta el punto de reunir los

problemas ya resueltos y añadir algunos nuevos, cinco de ellos de Fermat

y uno de Pascal; el conjunto fue publicado en un pequeño tratado, el

primero que haya aparecido sobre el tema, en 1657.

11. La transición al Cálculo


- 70-

Evangelista Torricelli (1608 1647), físico y matemático italiano, nació

el 15 de octubre de 1608 en Faenza, cerca de Ravena. Estudió primero

en el colegio de los jesuitas de su ciudad natal. A los veinte años fue

enviado a Roma, donde recibió una formación matemática. En 1638,

Torricelli entró en contacto con los trabajos de Galileo y se sintió

profundamente impresionado. En 1641, atrajo la atención de Galileo por

un trabajo sobre el movimiento de los cuerpos pesantes, y este último le

invitó a Florencia. Torricelli se apresuró a responder a esta invitación, y

se convirtió a la vez en secretario y amigo de Galileo durante tres meses.

Sucedió a Galileo como matemático del gran duque de Toscana. Torricelli

mantuvo una correspondencia importante con los matemáticos de su

época, en particular con Roberval y Mersenne. La publicación, en 1644,

de su Opera geométrica fue el origen de una larga polémica que le afectó

mucho. Murió el 25 de octubre de 1647 en Florencia.

Torricelli conocía bien los trabajos de Arquímedes, de Galileo y el

método de los indivisibles de Cavalieri. Sabemos que Cavalieri se había

preocupado poco por el rigor matemático de los indivisibles y por las

dificultades lógicas con que tropezaba su método. Por el contrario, su

joven amigo Torricelli parece haber sido consciente de esas dificultades y

haberse dado cuenta plenamente de las ventajas e inconvenientes del

método. Por eso, no satisfecho de las demostraciones por el método de

Cavalieri, elaboró otras pruebas a la manera de Arquímedes (método de

exhausción) a guisa de suplemento a estas demostraciones. Así, por

ejemplo, en su De dimensione parabolae, Torricelli presentó veintiuna

demostraciones de la cuadratura de la parábola, diez de ellas elaboradas

por el método de los antiguos, y otras once utilizando los indivisibles.

Además, Torricelli y Cavalieri sabían perfectamente que el método de los

indivisibles conducía a veces a resultados absurdos, Y estos dos

discípulos de Galileo imaginaron incluso algunos ejemplos de esta

naturaleza con el fin de refutar los que otros habían encontrado, o de

profundizar aún más en la cuestión.

Sirviéndose del antiguo método de exhausción de los antiguos, del

método de los indivisibles de Cavalieri y, probablemente, de la

composición de movimientos de Galileo, Torricelli llegó a un cierto

número de anticipaciones notables en el cálculo. Mencionemos los

numerosos teoremas sobre las cuadraturas y las tangentes y algunas

rectificaciones de curvas. Sin embargo, hablamos de anticipaciones, a

propósito del cálculo diferencial e integral, porque debía franquearse

todavía otra etapa antes de poder afirmar que el cálculo estaba bien

fundamentado. Aludimos, evidentemente, al teorema fundamental del

cálculo integral que expresa la relación de reciprocidad entre la

diferenciación y la integración. Sin embargo, algunos matemáticos casi

llegaron a elucidar esta relación fundamental antes que Newton y Leibniz.


- 71-

Torricelli reconoce, según parece, esta relación de reciprocidad desde un

punto de vista mecánico en un manuscrito que data de 1647, y que no

fue publicado hasta 1919. Es en los trabajos de Galileo publicados en su

célebre Discorsi e dimostrazione matematiche intorno a due nuove

scienze donde Torricelli busca la inspiración para sus propias

investigaciones sobre esta cuestión. En su Discurso, Galileo representa el

movimiento uniformemente acelerado mediante un diagrama en el que

el tiempo está como abscisa y la velocidad como ordenada. Considerando

los dos diagramas del espacio y de la velocidad como función del tiempo,

Torricelli enunció que las ordenadas de la curva del espacio son

proporcionales a las áreas limitadas por la curva de la velocidad,

mientras que las ordenadas de los puntos sobre la curva de la velocidad

son los coeficientes angulares de las tangentes de la curva del espacio.

Sin duda alguna, Torricelli fue uno de los matemáticos más

prometedores del siglo XVII y, gracias al trabajo de Mersenne, pudo

mantener correspondencia e intercambiar ideas con los grandes

matemáticos franceses de esa época. En la actualidad, Torricelli es

probablemente más conocido como físico, porque, siendo discípulo de

Galileo, su interés por la física le condujo, en particular, a la invención del

barómetro. Murió a los 39 años, en plena posesión de sus facultades

intelectuales y, si el destino hubiera querido prolongar su vida hasta una

duración normal, quizá, los títulos de gloria de Torricelli se habrían

multiplicado otro tanto.

Blaise Pascal (1623 1662), nació en Ciermont Ferrand. Era el segundo

hijo de Etienne Pascal, presidente del Tribunal de Impuestos. Este perdió

a su mujer en 1626 y decidió, en 1631, instalarse con su hijo y sus dos

hijas en París, con el fin de consagrarse a la educación de Blaise. Etienne

Pascal era también un matemático aficionado que, manteniéndose al

corriente de las principales actividades matemáticas de su tiempo, fue

capaz de realizar con éxito algunos estudios de naturaleza matemática.

Por ejemplo, el “caracol de Pascal” recibió ese nombre en honor de

Etienne y fue Gilles Personne de Roberval (1602-1675) quien sugirió esta

denominación. Además, Mersenne nos habla de proposiciones admirables

que al parecer demostró sobre los triángulos y Fermat también habla de

ello.

En 1634 1635, Blaise se inicia en las matemáticas contra la voluntad

de su padre quien, según se dice, temiendo que este estudio le

apasionara hasta el punto de perjudicar su débil constitución y le

distrajera del latín o las lenguas, había prohibido que se le enseñara la

geometría e incluso que su hijo pudiera tener acceso a obras de

matemáticas. Sin embargo, sobre la base de una información que

reducía la geometría a una ciencia consistente en trazar figuras exactas,

el joven Pascal emprende un día, a los doce años, la tarea de demostrar

la trigésimo segunda proposición de Euclides, y su padre le sorprende en


- 72-

ese trabajo. Asombrado por la precocidad de su hijo, Etienne suspende la

prohibición, le facilita los Elementos y Blaise puede, desde ese momento,

dar rienda libre a su inteligencia. Después de haber leído a Euclides, el

joven Pascal se sumerge en los trabajos de Désargues. A los catorce

años es admitido, junto con su padre, en la Academia de Mersenne, que

agrupa a hombres como Mersenne, Désargues, Roberval, Mydorge y

otros. A los dieciséis años, expone allí teorías interesantes, como el

descubrimiento de una propiedad fundamental de las cónicas llamada

desde entonces el “hexágono de Pascal”. En 1640, publica una pequeña

obra titulada Ensayo sobre las cónicas, del que nos quedan solamente

dos ejemplares, uno en París y el otro en Hannover. Este pequeño

ensayo, muy corto, termina con la promesa de un trabajo más extenso y

parece, en efecto, que Pascal prosiguió este estudio a lo largo de su

vida, redactando un trabajo de conjunto en forma manuscrita hacia 1654.

Pero Pascal, aun siendo un geómetra, consagró varios años, a partir

de 1640, a la construcción de una máquina aritmética, destinada a

simplificar los cálculos fastidiosos que debía efectuar su padre como

comisario para la recaudación de impuestos en Normandía. Su salud

comenzó a alterarse cuando cumplió los dieciocho años, pero esto no le

impidió inventar su máquina de calcular cuando sólo tenía diecinueve

años. Más tarde, en Ruán, a los veintitrés años, después de una visita de

Pierre Petit que repitió ante él los experimentos de Torricelli sobre la

gravedad, se apresuró a disponer todo para verificar las conclusiones del

físico italiano, cosa que realizó con éxito. En 1647, gravemente enfermo,

Blaise Pascal se instala en París con su hermana Jaequeline y prepara,

después de una entrevista con Descartes, su experimento del Puy de

Dóme, pues no estaba enteramente satisfecho de los experimentos de

Ruán. Y el 19 de septiembre de 1648, el experimento sobre la gravedad

realizado en el Puy de Dóme (1465 m) fue un éxito completo. En 1651,

Etienne Pascal muere y, un año más tarde, Jaequeline, la hermana menor

de Blaise, entra en el convento de Port Royal. Así, desde 1652 hasta

1654 vive solo en París y emprende la redacción del Tratado del vacío,

revisa el Tratado del equilibrio de los licores y el Tratado de la gravedad,

presenta un “Memorial a la Academia parisina” en el que enumera sus

proyectos científicos, intercambia cartas sobre el problema de las

partidas y el cálculo de probabilidades con Fermat, y redacta el Tratado

del triángulo aritmético y diversos trabajos anejos.

El lunes 23 de noviembre de 1654, es la “noche de fuego” en el curso

de la cual Pascal, que se había convertido parcialmente al jansenismo en

1646, vive un éxtasis religioso intenso que le lleva a abandonar todo para

seguir a los jansenistas. Se une a su hermana en Port Royal y, durante

cuatro años, se consagra a la religión. Habiendo atacado los jesuitas a

los jansenistas, Pascal responde, en 1656 1657, con dieciocho cartas

llamadas las Cartas provinciales que constituyen un monumento de la


- 73-

literatura francesa. Mientras tanto, mantiene una correspondencia

matemática con Fermat, Huygens y De Sluse. Una tarde del año 1658,

Pascal sufre un terrible dolor de muelas y, según parece, como

distracción, aborda el estudio de la cicloide. Es la vuelta de Pascal a las

matemáticas y el desafío lanzado a los matemáticos en una carta circular

anónima que contiene seis proposiciones sobre la ruleta. Después, bajo

el nombre de Amos Dettonville, anagrama transparente de Louis de

Montalte (célebre gracias a las Cartas provinciales), publicó, en diciembre

de 1658, en forma de nueve fascículos, sus métodos y resultados, que

son considerados como los trabajos matemáticos más significativos

publicados durante su vida. A finales de 1659, Pascal, gravemente

enfermo, abandona todo trabajo científico y consagra sus últimos años a

sus Pensamientos y al establecimiento de una línea de autobuses,

comúnmente llamada “empresa de carrozas a cinco sueldos”. El 19 de

agosto de 1662, muere Pascal a los 39 años.

La primera obra impresa de Pascal, Ensayo sobre las cónicas, es el

único estudio de geometría publicado en vida del autor. Se presenta en

la forma de un pequeño anuncio de formato 35 cm x 43 cm, impreso por

un solo lado, con un número inusitado de errores de impresión o

tipográficos, y del que se tiraron 50 ejemplares. Parece como si

Désargues no hubiera encontrado más que un solo oyente para apreciar

las ideas fundamentalmente nuevas que introduce en el campo de la

geometría y sus aplicaciones. Pascal no sólo comprende el interés de un

estudio unitario de las cónicas tal como el que emprende Désargues con

ayuda de consideraciones proyectivas, sino que intenta realizar este

estudio por otro camino, el que anuncia su corto texto de 1640. Según el

testimonio del mismo Pascal, la obra de Désargues le sirvió de inspiración

y modelo. El texto se compone de tres definiciones seguidas de tres

lemas que deben servir de base al futuro tratado de las cónicas, y

después de un esquemático programa de conjunto del que el autor extrae

cinco enunciados de propiedades fundamentales y algunos ejemplos de

problemas que debe tratar.

La primera definición introduce la noción de haz de rectas (ordenación

de líneas) que Pascal extrae de los trabajos de Désargues y que asocia el

caso de las rectas concurrentes al de las rectas paralelas. La segunda

definición se refiere a la noción de sección de cono y enumera los tres

casos generales (elipse, hipérbola y parábola) y dos casos particulares.

Una tercera definición se limita a anunciar el empleo de la palabra recta

en lugar de línea recta. El primer lema formula, en el caso particular de la

circunferencia, la propiedad de alineación de tres puntos de intersección

de los lados opuestos de un hexágono inscrito. El segundo lema afirma

que el eje de un haz de planos pertenece al haz espacial de rectas

determinado por las intersecciones de los planos del haz con otro plano.

El tercer lema extiende el teorema del hexágono (primer lema) a una


- 74-

cónica cualquiera. A continuación, a partir de estos tres lemas y de

algunas de sus consecuencias, Pascal anuncia un tratado completo de las

cónicas y enumera teoremas destinados a dar una idea bastante precisa

de la generalidad de su método, además de ofrecer algunos ejemplos de

los problemas que debe tratar.

Los trabajos ulteriores de Pascal en geometría proyectiva son

descritos y comentados en su “Memorial de la Academia parisina” y en

una carta de Leibniz a Etienne Périer, el 30 de agosto de 1676. En lo que

se refiere al gran Tratado de las cónicas, no fue editado, y su manuscrito

parece definitivamente perdido. La valoración de la obra geométrica de

Pascal no es cosa fácil a causa de la insuficiencia de las informaciones,

por lo que preferimos citar la opinión del historiador René Taton, que es

el especialista en la cuestión: Al revelar la riqueza de un pensamiento

profundamente consciente de la potencia de los métodos proyectivos,

este análisis nos conduce a considerar la obra geométrica de Pascal,

desgraciadamente desaparecida, como una de las creaciones

matemáticas más originales del siglo XVII. Nos confirma igualmente en

la opinión de que la geometría fue uno de los campos de la ciencia donde

el genio de Pascal se manifestó de forma más fecunda.

En 1640, la familia Pascal dejó París para instalarse en Ruán, donde

Etienne había sido nombrado comisario para la recaudación de impuestos

en Normandía. Blaise pensó realizar una máquina que permitiera efectuar

las operaciones aritméticas elementales con el fin de facilitar las penosas

operaciones contables de las que había sido encargado su padre. Pero,

partiendo de este objetivo utilitario, el hijo de Etienne se interesó

pronto por el problema general de la mecanización del cálculo aritmético.

Se ha creído durante mucho tiempo que Pascal había sido el primero en

abordar el problema de la construcción de una máquina aritmética. De

hecho, Wilhelm Schickard (1592 1635), profesor de astronomía,

matemáticas y hebreo en la Universidad de Tubinga, había realizado en

1623 una máquina de ruedas dentadas capaz de calcular, a partir de

unos números dados, instantánea y automáticamente la suma, la

diferencia, el producto y el cociente de estos números.

Desgraciadamente, el ejemplar que había hecho construir para Kepler

fue destruido, y la correspondencia ulterior de Schickard no hace ya

ninguna alusión a esta máquina. Únicamente se han conservado copias

de cartas que incluyen dibujos de la máquina, y se ha podido construir

una máquina que funciona correctamente a partir de las indicaciones de

esas cartas.

Pascal utiliza, según sus palabras, “las luces de la geometría, la física

y la mecánica” para elaborar los planos de su máquina. Contrata obreros,

manda realizar más de cincuenta modelos, debe luchar también con un

imitador, y supera toda suerte de dificultades tanto en el plano técnico

como en el de la confección y la realización de las piezas. Finalmente,


- 75-

puede presentar al público, al canciller Séguier y a la reina Cristina de

Suecia el prototipo final, que se vende a cien libras, y cuyo

funcionamiento explica Roberval a quien lo desea. Existen todavía varios

ejemplares en el Conservatorio Nacional de Artes y Oficios de París y en

otros museos. Aunque la máquina de Pascal sea todavía rudimentaria en

su mecanismo y efectúe sólo las operaciones de adición y sustracción,

tiene el mérito de funcionar eficazmente y de servir, desde 1662, como

prototipo de varios modelos de “sumadoras”, además de interesar a

Leibniz en este problema.

Mientras que Pascal pone a punto diversos trabajos geométricos, su

amigo, el caballero De Méré, le interroga con respecto a problemas del

juego de dados y de las partidas. Por ejemplo, el primer problema del

juego de dados que aparece en la primera carta de Pascal a Fermat

consiste en responder a la cuestión siguiente: un jugador debe obtener

un seis con un dado lanzado ocho veces; supongamos que después de

tres lanzamientos sin éxito, decide retirarse; ¿qué proporción de la

apuesta le corresponde? Este fue el comienzo de una correspondencia

mantenida entre los dos matemáticos franceses, y las seis cartas

intercambiadas sirvieron de punto de partida de la moderna teoría de

probabilidades. Pascal relacionó el estudio de las probabilidades con el

triángulo aritmético y las combinaciones, y de esta manera elaboró un

método de demostración conocido actualmente con el nombre de

“inducción matemática”.

Los estudios de Pascal en análisis versaron casi exclusivamente sobre

las sumaciones, las integraciones necesarias para calcular arcos,

superficies, volúmenes, y para determinar centros de gravedad. Por el

contrario, no se ocupó en absoluto del problema de las tangentes. Pascal

conocía los indivisibles y estaba al corriente de las discusiones sobre la

falta de rigor y los fallos observados en algunos autores. Por eso,

aprovechando las advertencias hechas por algunos críticos del método,

decidió, no obstante utilizar los indivisibles, porque veía en ese lenguaje

una manera breve y elegante de expresar sus ideas.

Al introducir en su Tratado de los senos del cuadrante de

circunferencia la noción de triángulo característico, Pascal estuvo

notablemente cerca del descubrimiento del cálculo diferencial. En efecto,

Leibniz declaró que fue la lectura de ese tratado y, particularmente, la

utilización del triángulo característico, lo que le inspiró la invención del

cálculo diferencial.

Pascal imagina un radio y una división del cuadrante de la

circunferencia en arcos iguales que tenderán a cero cuando su número

aumente indefinidamente. Desde los puntos de división, como por

ejemplo, traza tangentes sucesivas cuyas intersecciones formarán un

polígono regular circunscrito. Pascal llama al triángulo rectángulo el

“triángulo característico”.


- 76-

Sirviéndose de ese triángulo, llega a la integración del seno y

encuentra teoremas equivalentes a lo que hoy día escribiríamos como

Pascal no se consideraba a sí mismo como una persona cuya primera

actividad fuera la matemática, por lo que no creía necesario estar al

corriente de las actividades matemáticas de su época. Era no sólo un

virtuoso aficionado a las matemáticas, sino también un diletante que se

permitía elegir los temas a los que consagraba su tiempo. Pascal fue,

efectivamente, un genio para captar rápidamente lo esencial de una idea

y para introducirla a veces en situaciones completamente nuevas. Sus

trabajos ejercieron una influencia cierta en el desarrollo de las

matemáticas. Subrayemos entre otras, el estímulo ejercido por la

publicación de las Cartas de Dettonville sobre el estudio de la cicloide, la

influencia que ejerció sobre Huygens, con ayuda de Fermat, a propósito

del cálculo de probabilidades. Sus contribuciones originales en el

dominio de las matemáticas son diversificadas y numerosas;

mencionemos solamente la geometría proyectiva, la inducción

matemática, la integración de los senos y el cálculo de probabilidades.

Gérard Désargues (1591 1661) nació en Lyon, donde fue bautizado el

2 de marzo de 1591. Era, según parece, el menor de una familia de

cuatro hijas y cuatro hijos. Su padre fue sucesivamente inquisidor en la

senescalía, recaudador de los diezmos de la ciudad y de la diócesis y

notario real. No se tienen informaciones ni sobre los estudios que hizo, ni

sobre la profesión que escogió. La primera indicación cierta sobre su vida

nos la presenta en 1630, instalado en París, donde le había sido

concedido un privilegio real para diversos escritos que proyectaba

publicar. Desde esta época, participa en la vida científica de la capital y

entabla amistad con Mersenne, Mydorge, Pascal y Claude Hardy.

Ingeniero cuyo talento era, según parece, apreciado por el cardenal de

Richelieu, lleno de curiosidad por todas las cosas, tanto de la ciencia pura

como de la técnica, de genio vivo, original y muy profundo, Désargues


- 77-

se sintió atraído también por ciertas técnicas ligadas a la arquitectura.

Reflexionando sobre las diferentes técnicas referentes a la

perspectiva, la gnomónica, la práctica del corte de las piedras y la

construcción de los cuadrantes solares, Désargues se esforzó por poner a

punto nuevos métodos universales, basados en una comprensión de los

fundamentos geométricos comunes a esas diferentes técnicas. En

1636, publicó un corto texto de perspectiva que muestra que la

geometría en para él bastante más un medio de simplificar y generalizar

las diversas reglas gráficas utilizadas por las diferentes técnicas; y la

perspectiva era, en su opinión, una aplicación directa de la geometría.

Descartes y Fermat descubrieron en esta obra el talento geométrico de

su autor; en cambio, ciertos teóricos de perspectiva no supieron

descubrir su profunda originalidad.

En 1638, Désargues tomó parte en una controversia que implica,

entre otros, a Descartes y Fermat sobre problemas de física y sobre el

famoso problema de la determinación analítica de las tangentes a las

curvas planas. Désargues, estimado por las dos partes enfrentadas,

desempeñó, según parece, un papel muy objetivo, intentando conciliar

las tesis de cada uno y excluir toda animosidad personal. A finales de

1638, discutió con Descartes su nueva teoría geométrica de las cónicas

que estaba a punto de publicar en forma de pequeño tratado. Este

tratado vio la luz en los primeros meses de 1639: fue su célebre Brouillon

project d’une atteinte aux evenemens des rencontres du Cone avec un

Plan (Borrador de un proyecto que trata de los resultados de los

encuentros de un cono con un plano), que recibió una acogida muy tibia;

sólo Pascal tuvo el gran mérito de apreciar todo su valor e interés. Desde

1640 hasta 1644, Désargues parece haber estado profundamente

afectado por las violentas polémicas que se desataron sobre su obra y

sobre sí mismo. Desde 1644 hasta su muerte, acaecida en 1661, vivió

sucesivamente en París, Lyon, y otra vez París en 1657, donde ocupó su

tiempo en realizaciones arquitectónicas y fue de nuevo objeto de vivas

críticas. No se sabe si murió en París, en Lyon o en Condrieu, pero una

cosa es cierta: su obra no fue reconocida en su tiempo, y los ataques de

que fue objeto eran desmesuradamente exagerados. El Borrador, del

que se hicieron sólo cincuenta ejemplares por el propio Désargues, se

convirtió rápidamente en una pieza rara. Gracias a Michel Chasles fue

encontrada una copia en una librería de lance en 1847, copia que sirvió

de base a Poudra para su edición de las Obras completas de Désargues

en 1964. Sin embargo, este documento no era un ejemplar original;

afortunadamente, las investigaciones emprendidas por René Taton han

permitido rastrear un original en la Biblioteca Nacional con la ayuda,

según parece, de Pierre Moisy.

La obra de renovación de la geometría presentida por Durero, Werner

y Maurolico, fue claramente concebida por Désargues. Así, empujado por


- 78-

el deseo de racionalizar las diversas técnicas gráficas la perspectiva, el

trazado de planos y la construcción de cuadrantes solares, había

conseguido no sólo discernir los principios geométricos subyacentes a

estas técnicas, sino también poner de relieve los procedimientos de la

geometría proyectiva y las propiedades de la perspectiva geométrica. Su

Borrador es esencialmente un libro sobre las cónicas en el que Désargues

estudia las propiedades comunes a las tres cónicas: parábola, elipse e

hipérbola, que pertenecen igualmente a la circunferencia, buscando

siempre en las propiedades de la circunferencia las que se conservan por

perspectiva. La técnica utilizada es la proyección a partir de una

circunferencia, y el concepto clave de su obra es el de “involución”. Las

principales ideas rectoras que se encuentran en su obra son las nociones

de punto y de recta en el infinito; la relación involutiva entre los puntos

de un eje, o entre las rectas de un haz; la involución de cuatro puntos,

introducida para la división armónica de puntos; las definiciones de polos,

de polares, de triángulo polar; la involución de puntos conjugados con

respecto a una cónica; la definición del diámetro como el polar de un

punto en el infinito; los ejes, los diámetros conjugados, las asíntotas de

una cónica obtenidas por proyección a partir de una circunferencia, o de

otra cónica.

Diversos problemas de geometría

perspectiva fueron resueltos por

Désargues después de 1639. El más

célebre, al cual va unido su nombre,

fue publicado en 1648 en el Tratado de

perspectiva de Abraham Bosse (1611

1678), su discípulo y amigo. Es el

teorema de Désargues, que enuncia

que dos triángulos perspectivos, y

’, en el espacio o en el plano son

tales que los tres puntos de

intersección de sus lados homólogos

están alineados y

recíprocamente.

La geometría proyectiva fundada sobre la obra original de Désargues

y el Ensayo de Pascal quedó olvidada rápidamente, y sólo el genio de

Monge invirtió parcialmente la marcha de la corriente matemática que

prevaleció durante más de un siglo. Este olvido se explica en gran

medida por el éxito casi inmediato de la Geometría de Descartes, los

progresos fulgurantes del análisis infinitesimal, fundamentado en la

utilización de los indivisibles y el punto de vista analítico que se extendió

muy ampliamente en los métodos del análisis.


- 79-

12. Preparado el camino para Newton y Leibniz

Hasta aquí hemos visto la inmensidad de problemas que se han

tratado y resuelto en esta etapa hasta el siglo XVII. Se ha dilapidado en

general el rigor impecable de la exhaución griega, pero se han ingeniado

magníficos métodos heurísticos de rápido descubrimiento. Se han puesto

de manifiesto hechos significativos (el incremento infinitesimal de la

variable independiente de Fermat y Barrow, el triángulo característico y

sus semejantes vinculados a cada punto de la curva, la relación inversa

entre cuadraturas y tangentes, cte.). En algo más de medio siglo las

técnicas infinitesimales han dado un salto de gigante. A partir de aquí se

plantea, históricamente, la necesidad de dos hechos fundamentales:

1. la generalización y unificación de los problemas y métodos

infinitesimales, es decir la elaboración de un algoritmo aplicable

a todos los problemas

2. la reformulación sobre bases rigurosas del nuevo Análisis

infinitesimal.

La parte 1 es, lo que llamamos, el descubrimiento final del Cálculo

por Newton y Leibniz. La parte 2 es la puesta en orden lógico del Cálculo,

que realiza Cauchy y sus continuadores, la llamada Aritmetización del

Análisis.

Puede decirse que el Cálculo anterior a Newton y Leibniz es una

ingente casuística de métodos heurísticos, aplicados a problemas

geométricos específicos, que se resuelven mediante técnicas ad hoc,

obteniéndose multitud de resultados particulares que, al traducirlos al

lenguaje moderno, muestran los conceptos esenciales del Cálculo, que de

alguna manera yacían en ellos, pero de forma tan fragmentaria que sólo

se referían a problemas individuales y no a teorías generales. Pero la

perspectiva de generalización estaba implícita en esos métodos. Si no se

acertó a encontrar la técnica algorítmico general bastante tuvo que ver

en ello el lenguaje matemático al uso, todavía primitivo, que se utilizaba.

Esto, es patente en el caso de Pascal que con admirable destreza y sin

utilizar fórmula alguna elabora enunciados que pueden traducirse

inmediatamente en fórmulas de nuestro Cálculo integral.

El dominio incomparable del lenguaje le permite evitar el simbolismo

algebraico, con su claridad y precisión, pero su rechazo de las fórmulas le

impidió descubrir el Cálculo diferencial de Leibniz, vía el triángulo

característico, así como la fórmula binomial de Newton, descubrimientos

que como Leibniz reconoce, se hicieron gracias a él. Como consecuencia

del precario lenguaje, era difícil acertar a vislumbrar las posibles

conexiones entre los problemas que se trataban, pero aun en el caso de


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advertirlas, como por ejemplo la relación entre la rectificación de la

parábola y la cuadratura de la hipérbola, o la esencial relación inversa de

las tangentes con las cuadraturas, era difícil formularlas con exactitud, y

mucho más captar el profundo significado y la importancia que tales

conexiones tenían en el camino de la generalización de los métodos.

El gran acierto de Leibniz es precisamente la elaboración de una

notación especialmente afortunada, tan identificada con los propios

conceptos y tan significativamente definitiva, que, a veces, nos resulta

inevitable utilizarla, anacrónicamente, para exponer los resultados

infinitesimales de sus predecesores. Su virtuosismo en la creación del

simbolismo le permitiría traducir en fórmulas los resultados y en

algoritmos los métodos, tanto los de sus antecesores como los

descubiertos por él mismo, lo que a su vez le facilitaría la utilización de

los recursos algebraicos para independizar el discurso matemático de las

figuras geométricas (a las que estuvo esclavizado Barrow, por ejemplo) y

con todo ello reconocer y aislar los conceptos fundamentales del Cálculo

infinitesimal, creando un cuerpo de doctrina dotado de algoritmos

eficaces, es decir funcionando como un Cálculo operacional que resuelve

todos los problemas planteados anteriormente, mediante procedimientos

uniformes y con una proyección a nuevos y más complicados problemas,

como un potente instrumento de investigación. En palabras del propio

Leibniz, se trataba de hacer con las técnicas del Cálculo lo mismo que

había hecho Viète con la teoría de ecuaciones y Descartes con la

Geometría.

El descubrimiento final del Cálculo infinitesimal, requería la

confrontación y contrastación de los métodos geométricos de Cavalieri y

Barrow con los métodos analíticos de Descartes, Fermat y Wallis, con los

métodos aritméticos de Roberval, Fermat y Wallis y con los métodos

cinemáticos de Torricelli, Roberval y Barrow. No se ajusta por tanto del

todo a la realidad histórica la asignación categórica de Newton a la

tradición cinemática representada por Arquímedes, Galileo, Torricelli,

Roberval y Barrow y de Leibniz a la tradición atomística representada por

Demócrito, Kepler, Cavalieri, Fermat, Pascal y Huygens. Las dos

tradiciones afectaron tanto a Newton como a Leibniz. El descubrimiento

final del Cálculo requería asimismo y sobre todo el reconocimiento de la

importancia del teorema fundamental del Cálculo como núcleo de un

algoritmo universal, que establecería una forma general de proceder

aplicable a todos los problemas infinitesimales. El Cálculo de Newton

comienza con la consideración de elementos infinitesimales a la manera

de Fermat y Barrow (cuya aplicación extiende mediante el teorema

binomial), pero en seguida deriva hacia una concepción mecánica,

basada en la idea intuitiva del movimiento continuo, manejando el

concepto de fluente, como cantidad que varía respecto al tiempo y de

fluxión como su velocidad de cambio respecto al tiempo, y utilizando

constantemente las series infinitas para universalizar la aplicabilidad del


- 81-

cálculo fluxional, valiéndose de la derivación término a término. En

cuanto a la integración, Newton cambia radicalmente la concepción

tradicional del área como límite de una suma de infinitesimales, a base

de considerar la razón de cambio del área respecto de la abscisa,

calculando después el área, mediante una antiderivación, dejando

completamente claro, por vez primera, el carácter inverso de la

cuadratura y la tangente.

Newton recoge la influencia de Barrow (que en su versión del

teorema fundamental maneja la integral indefinida a expensas de la

integral definida), trocando la preeminencia que históricamente había

tenido la integración sobre la derivación. Con Newton la derivación

ocupará el papel principal, quedando la integración reducida a ser el

problema inverso. De hecho Newton, con su intuición algorítmica,

concebirá la idea de sustituir todas las operaciones de carácter

geométrico involucradas en el Cálculo, por una única operación analítica,

la derivación, que resolverá además por inversión, la integración

(teorema fundamental del Cálculo), para lo que se auxiliará con el

reciente y poderoso algoritmo de los desarrollos en serie (derivación e

integración término a término).

El Cálculo de Leibniz tiene en cambio una hechura más analítica y

simbólica, siendo las diferencias infinitesimales y la suma de

infinitamente pequeños las bases de su Cálculo diferencial e integral,

respectivamente, lo que le permite, extrapolando el carácter inverso de

la suma y la diferencia, como operaciones, descubrir el vínculo entre

tangentes y cuadraturas, y a través del triángulo característico reducir

todos los problemas de cuadratura a una antiderivación, considerando lo

que se llama la cuadratriz o sumatriz, y auxiliándose, además, con

transformaciones a modo de sustituciones, que son operaciones

totalmente análogas a la integración por partes y por cambio de variable.

A lo largo del recorrido de la etapa empírica del desarrollo del Cálculo

anterior a Newton y Leibniz, hemos visto cómo se iba abriendo paso

lenta y subrepticiamente el concepto de límite. Aunque muchos

matemáticos aplican intuitivamente nociones muy próximas a las

nuestras, contextualizando sus resultados advertimos las dificultades

inherentes al ejercicio del pensamiento aritmético en términos de límites,

que tan imprescindible se fue manifestando durante dos siglos en la

ardua tarea de reconstruir y sistematizar el Análisis, fundamentándolo en

bases rigurosas. Newton, intentando evitar los infinitamente pequeños,

se ve abocado a considerar las primeras y últimas razones de

cantidades evanescentes, que es un remedio más de la idea de límite

aunque ya más próximo al rigor, pero no lo suficiente, como para no

encender la dura crítica del obispo Berkeley. Leibniz en cambio con su

reformulación de los conceptos infinitesimales (los diferenciales)

disfraza, como habían hecho sus predecesores, el concepto de límite bajo

su notación y terminología.


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Como conclusión, Newton y Leibniz, bajo concepciones y métodos

infinitesimales diferentes, fueron capaces de separar la carga geométrica

de los resultados de sus antecesores, encontrando el principio general

que les permitiría reducir las operaciones fundamentales del Cálculo

infinitesimal a un algoritmo universalmente válido, produciendo una

ruptura radical, un cambio sustancial en el tratamiento y resolución de

los problemas. Recogiendo todos los componentes de lo heurístico de la

fase empírica anterior, Newton y Leibniz, sin añadir grandes cotas de

rigor, desarrollan lo algorítmico con la fecundidad, coherencia y

generalidad de sus diferentes sistemas infinitesimales, abriendo la

puerta a lo riguroso en el Análisis moderno. Gracias a la ilustre pléyade

de matemáticos que les precedieron, estos sabios bien pudieron haber

manifestado la frase que se atribuye a diversos científicos: Si he podido

vislumbrar más allá, es porque me he subido a hombros de gigantes.

tema30 historia de las matematicas

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