HISTORIA DE LAS MATEMATICASNACIMIENTO: HASTA VI-V a.C.El concepto de nmero surgi como consecuencia de la necesidad prctica de contar objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras... (basta recordar por ejemplo, que la palabra clculo deriva de la palabra latina calculus que significa contar con piedras). La serie de nmeros naturales era, obviamente, limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de nmeros representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemtica moderna. Paralelamente a la ampliacin de los nmeros se desarroll su simbologa y los sistemas de numeracin, diferentes para cada civilizacin. Estudiaremos cuatro culturas o civilizaciones, localizadas en esta misma pgina:

Antigua Civilizacin Egipcia Mesopotamia o Antigua Babilonia China Antigua India Antigua Grecia Clsica

ANTIGUA CIVILIZACIN EGIPCIA. La informacin disponible sobre la civilizacin desarrollada a lo largo del Nilo es, lo suficientemente fiable, como para ser considerada la primera civilizacin que alcanz un cierto desarrollo matemtico. Nuestros conocimientos sobre las matemticas del Antiguo Egipto se basan principalmente en dos grandes papiros de carcter matemtico y algunos pequeos fragmentos, as como en las inscripciones en piedra encontradas en tumbas y templos. Desarrollaron el llamado "sistema de numeracin jeroglfico", que consista en denominar cada uno de los "nmeros clave" (1, 10, 100, 1000...) por un smbolo (palos, lazos, figuras humanas en distintas posiciones...). Los dems nmeros se formaban aadiendo a un nmero u otro del nmero central uno o varios de estos nmeros clave. Un sistema de numeracin posterior a ste, pero de similares caractersticas sera el sistema de numeracin romano. Tambin crearon fracciones, pero slo como divisores de la unidad, esto es, de la forma 1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estas fracciones. Aparecen tambin los primeros mtodos de

operaciones matemticas, todos ellos con carcter aditivo, para nmeros enteros y fracciones. Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde la incgnita x se denominaba "montn". En geometra los avances en el clculo de reas y volmenes, encontraron, por ejemplo, para el rea del crculo un valor aproximado del nmero pi de 3'1605. Sin embargo el desarrollo geomtrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. Tambin encontramos rudimentos de trigonometra y nociones bsicas de semejanza de tringulos.

MESOPOTAMIA O ANTIGUA BABILONIA. Bajo esta denominacin se engloban los Estados situados entre el Tigris y el Eufrates y que existieron desde el ao 2000 a.C. hasta el ao 200 a.C. Actualmente la informacin sobre esta civilizacin (en cuanto a matemticas se refiere) es mucho mayor que la existente sobre la civilizacin egipcia, debido a que en lugar de papiros, utilizaban escritura cuneiforme sobre tablillas de arcilla, mucho ms resistentes al paso del tiempo. De las ms de 100.000 tablillas conservadas, slo 250 tienen contenidos matemticos y de ellas apenas 50 tienen texto. Al igual que sucede con los papiros, las tablillas contienen nicamente problemas concretos y casos especiales, sin ningn tipo de formulacin general, lo que no quiere decir que no existiera, pues es evidente, que tales colecciones de problemas no pudieron deberse al azar. Utilizaron el sistema de numeracin posicional sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo smbolo poda representar indistintamente varios nmeros que se diferenciaban por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de notacin fraccionario, que permiti establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolucin y simplificacin del mtodo fraccionario permiti el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemticos de pocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximacin de races cuadradas. Desarrollaron el concepto de nmero inverso, lo que simplific notablemente la operacin de la divisin. Encontramos tambin en esta poca los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas; pero sin duda la gran aportacin algebraica babilnica se centra en el campo de la potenciacin y en la resolucin de ecuaciones cuadrticas, tanto es as que llegaron a la solucin para ecuaciones de la forma x2+px=q, p>0, q>0 y tambin ax2+bx=c mediante el cambia de variable t=ax. Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el clculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algortmos para el clculo de sumas de progresiones, tanto aritmticas como geomtricas. Su capacidad de abstraccin fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones diofnticas, algunas de las cuales estn ntimamente unidas con conceptos geomtricos, terreno ste, en el que tambin superaron a la civilizacin egipcia, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: rea del cuadrado, del crculo (con una no muy buena aproximacin de pi igual a 3), volmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilizacin conoca el teorema de

Pitgoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general.

CHINA ANTIGUA. Aunque la civilizacin china es cronolgicamente comparable a las civilizaciones egipcia y mesopotmica, los registros existentes son bastante menos fiables. La primera obra matemtica es "probablemente" el Chou Pei (horas solares) 1200 a.C.? y junto a ella la ms importante es "La matemtica de los nueve libros" o de los nueve captulos. Esta obra, de carcter totalmente heterogneo, tiene la forma de pergaminos independientes y estn dedicados a diferentes temas de carcter eminentemente prctico formulados en 246 problemas concretos, a semejanza de los egipcios y babilnicos y a diferencia de los griegos cuyos tratados eran expositivos, sistemticos y ordenados de manera lgica. Los problemas resumen un compendio de cuestiones sobre agricultura, ingeniera, impuestos, clculo, resolucin de ecuaciones y propiedades de tringulos rectngulos. El sistema de numeracin es el decimal jeroglfico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la divisin de fracciones se exige la previa reduccin de stas a comn denominador. Dieron por sentado la existencia de nmeros negativos, aunque nunca los aceptaron como solucin a una ecuacin. La contribucin algebraica ms importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un mtodo genrico de resolucin muy similar al que hoy conocemos como mtodo de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, tranformndolos en ceros de manera escalonada. Inventaron el "tablero de clculo", artilugio consistente en una coleccin de palillos de bamb de dos colores (un color para expresar los nmeros positivos y otro para los negativos) y que podra ser considerado como una especie de baco primitivo. Esta orientacin algortmica de las matemticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-econmicas de esta sociedad. Con el desarrollo del "mtodo del elemento celeste" se culmin el desarrollo del lgebra en China en la edad media. Este mtodo, desarrollado por Chou Shi Hi, permita encontrar races no slo enteras, sino tambin racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao . El mtodo del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos "mtodo de Horner", matemtico que vivi medio siglo ms tarde. Otro gran logro de la poca medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos slidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera similar al que hoy conocemos como tringulo de Tartaglia o Pascal. No se puede decir que la geometra fuese el punto fuerte de la cultura china, limitndose principalmente a la resolucin de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenz en China un largo periodo de estancamiento.

INDIA ANTIGUA. Son muy escasos los documentos de tipo matemtico que han llegado a nuestras manos, pese a tener constancia del alto nivel cultural de esta civilizacin. Aun ms que en el caso de China, existe una tremenda falta de continuidad en la tradicin matemtica hind y al igual que ocurra con las tres civilizaciones anteriores, no existe ningn tipo de formalismo terico. Los primeros indicios matemticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrndose en aplicaciones geomtricas para la construccin de edificios religiosos y tambin parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeracin posicional y decimal. Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C cuando la contribucin a la evolucin de las matemticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). La caracterstica principal del desarrollo matemtico en esta cultura, es el predominio de las reglas aritmticas de clculo, destacando la correcta utilizacin de los nmeros negativos y la introduccin del cero, llegando incluso a aceptar como nmeros validos las nmeros irracionales. Profundizaron en la obtencin de reglas de resolucin de ecuaciones lineales y cuadrticas, en las cuales las races negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron tambin, sin duda para resolver problemas astronmicos, mtodos de resolucin de ecuaciones diofnticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la ecuacin x2=1+ay2, denominada ecuacin de Pelt. Como resumen acabaremos diciendo que en la historia de la India se encuentran suficientes hechos que ponen en evidencia la existencia de relaciones polticas y econmicas con los estados griegos, egipcios, rabes y con China. Matemticamente se considera indiscutible la procedencia hind del sistema de numeracin decimal y las reglas de clculo.

GRECIA La actividad intelectual de las civilizaciones desarrolladas en Egipto y Mesopotamia, ya haba perdido casi todo su impulso mucho antes que comenzara la Era Cristiana, pero a la vez que se acentuaba este declive, surgan con una fuerza indescriptible nuevas culturas a lo largo de todo el Mediterrneo; y de entre ella, la cultura helnica fue la principal abanderada en el terreno cultural. Tanto es as, que las civilizaciones anteriores a la Antigua Grecia se conocen como culturas prehelnicas. El helenismo nunca logr la unidad, ni en su poca de mximo apogeo ni cuando fue amenazado con la destruccin. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandra, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y nico cuya grandeza perdura hasta nuestros das. Este logro inslito se llama MATEMTICAS. Salvo excepciones, los productores se agrupaban en escuelas. En los matemticos de esta poca los problemas prcticos relacionados con las necesidades de clculos aritmticos, mediciones y construcciones geomtricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemticas que obtuvo la denominacin de "logstica". A la logstica fueron atribuidas: las operaciones con nmeros enteros, la extraccin numrica de races, el clculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, clculo con fracciones,

resolucin numrica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2 grado, problemas prcticos de clculo y constructivos de la arquitectura, geometra, agrimensura, etc... Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitgoras se advierte un proceso de recopilacin de hechos matemticos abstractos y la unin de ellos en sistemas tericos. As por ejemplo, de la aritmtica fue separada en una rama independiente la teora de nmeros, es decir, el conjunto de conocimientos matemticos que se relacionan con las propiedades generales de las operaciones con nmeros naturales. En esta poca ya resultaban conocidos los mtodos de sumacin de progresiones aritmticas simples. Se estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los nmeros; fueron introducidas las proporciones aritmticas, geomtricas y armnicas y diferentes medias: la aritmtica, la geomtrica y la armnica. Junto a la demostracin geomtrica del teorema de Pitgoras fue encontrado el mtodo de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de nmeros "pitagricos", esto es, ternas de nmeros que satisfacen la ecuacin a2+b2=c2. En este tiempo transcurrieron la abstraccin y sistematizacin de las informaciones geomtricas. En los trabajos geomtricos se introdujeron y perfeccionaron los mtodos de demostracin geomtrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitgoras, los problemas sobre la cuadratura del crculo, la triseccin de un ngulo, la duplicacin del cubo y la cuadratura de una serie de reas (en particular las acotadas por lneas curvas). Se descubri de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la irracionalidad de la raz cuadrada de 2 por la va de reduccin al absurdo. Este descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboracin de la teora de la divisibilidad. La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teora matemtica general tanto para los nmeros racionales como para los irracionales. Paralelamente, al ampliarse el nmero de magnitudes medibles, debido a los nmeros irracionales, se origin una reformulacin de la geometra, dando lugar al lgebra geomtrica. Esta nueva rama inclua entre otros conceptos el mtodo de anexin de reas, el conjunto de proposiciones geomtricas que interpretaban las cantidades algebraicas, divisin urea, expresin de la arista de un poliedro regular a travs del dimetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el lgebra geomtrica estaba limitada a objetos de dimensin no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducan a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacan imposibles los problemas que no admitieran solucin mediante regla y comps. La historia sobre la resolucin de los tres problemas geomtricos clsicos (sobre la cuadratura del crculo, la triseccin de un ngulo, la duplicacin del cubo) est llena de ancdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cnicas, clculo aproximado del nmero pi, el mtodo de exhaucin como predecesor del clculo de lmites o la introduccin de curvas trascendentes. Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicion la necesidad de creacin de una teora general de las relaciones, teora cuyo fundamento inicial lo constituy el algoritmo de Euclides. Construccin axiomtica de las Matemticas. Las primeras teoras matemticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo,

crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonoma y especificidad de las matemticas. El carcter abstracto del objeto de las matemticas y los mtodos de demostracin matemtica establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesin lgica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella poca se exponan los primeros sistemas matemticos de denominaban "Elementos". Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras una de las obras matemticas ms impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", como denominaremos a esta obra a partir de ahora, estn constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesin de teoremas. A veces se aaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, estn prximos al ltimo libro de Euclides. Mtodos infinitesimales. En la construccin de las teoras matemticas en la Grecia Antigua, muy temprano se especfico una clase especfica de problemas para la solucin de los cuales, era necesario investigar los pasos al lmite, los procesos infinitos, la continuidad ... Algunos grupos de cientficos antiguos buscan la salida de estas dificultades en la aplicacin a la matematica de las ideas filosficas atomicistas. El ejemplo ms notable lo constituye Demcrito. Igualmente florecieron teoras totalmente contrarias a esta concepcin. Tengamos en cuenta, por ejemplo, las paradojas de Zenn. Otro de los mtodos ms antiguos de este gnero es el mtodo de exhaucin, atribuido a Euxodo y aplicable al clculo de reas de figuras, volmenes de cuerpos, longitud de curvas, bsqueda de subtangentes... Con el mtodo se demuestra la unicidad del lmite, pero no se soluciona el problema sobre la existencia de lmite; aun as se considera la primera forma del mtodo de lmites. Los mtodos infinitesimales en la Antigua Grecia, sirvieron de punto de partida para muchas investigaciones de los matemticos de los siglos XVI y XVII. particularmente se estudiaban los mtodos de Arqumedes, en especial aquellos referidos al clculo de volmenes. El propio Leibniz escribi que "estudiando los trabajos de Arqumedes cesas de admirar los xitos de los matemticos actuales". Durante la poca de Euclides y Arqumedes, las matemticas cambiaron fuertemente, tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formacin de nuevas teoras ms pausado, hasta llegar a interrumpirse. Entre las nuevas teoras desarrolladas ocupa el primer lugar la teora de las secciones cnicas, que surgi de las limitaciones del lgebra geomtrica. El inters hacia las secciones cnicas creci a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltos con su ayuda. Sin duda, la obra ms completa, general y sistemtica de las secciones cnicas se debe a Apolonio de Perga. Estos tres ltimos matemticos citados, Euclides, Arqumedes y Apolonio, sobresalieron por encima de todos los de su tiempo y sus obras son las que han hecho que se denomine como "Edad de Oro" de la matemtica al periodo comprendido entre los aos 300 y 200 a.C. Tras ellos se entr en un lento declive de forma que los resultados perdieron generalidad, hacindose cada vez ms particulares y especiales.

En la poca del dominio romano destaca la evolucin en problemas de clculo, siendo necesario sealar la "Mtrica" de Hern de Alejandra, formulada en forma de recetario de reglas: regla de extraccin de races cuadradas y cbicas; clculo de reas y volmenes; y en especial la conocida frmula de Hern para calcular el rea del tringulo conocidos los tres lados. Igualmente son destacables los mtodos de Diofanto que encontr soluciones a ms de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente de segundo grado, denominadas ecuaciones diofnticas. La fase final se caracteriza por la aparicin de "comentaristas" que comentaban las obras clsicas, signo evidente del descenso de creatividad. Entre ellos citaremos a Gmines de Rodas (100 a.C), Teon de Alejandra (s. IV), Pappo de Alejandra (s. IV), Proclo (s.V) y Eutoquio (s. VI). Resumiremos afirmando que las matemticas de la Antigua Grecia, representan uno de los primeros ejemplos del establecimiento de las matemticas como ciencia, desarrollndose en su seno, dentro de ciertos lmites, los elementos de las ciencias matemticas ulteriores: lgebra, anlisis infinitesimal, geometra analtica, mecnica terica y el mtodo axiomtico.

MATEMTICAS ELEMENTALESRecordemos que este periodo abarca un enorme periodo de tiempo, alrededor de 2000 aos, desde los siglos VI-V a.C. hasta el siglo XVI. En el ao 529 el emperador Justiniano cerr las escuelas griegas, pese a lo cual la ciencia griega sigui presentando una cierta unidad. En el siglo VII el pensamiento cientfico griego, ampliamente difundido, si bien no produce ya obras originales, se encuentra ampliamente confrontado a otras tradiciones. En estas condiciones surgen los rabes, creando un imperio tan extenso como sorprendente. Las condiciones de vida econmicas y polticas que se formaron, favorecieron el desarrollo de las matemticas, exigido por las necesidades del Estado, la irrigacin, las construcciones, el comercio y la artesana, desarrollndose en el arsenal de los matemticos rabes, muchos procedimientos de clculo y algortmos especiales. En el continente europeo, las matemticas no tienen tan antiguo origen como en muchos pases del Medio y Lejano Oriente, alcanzando slo xitos notorios en la poca del Medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.

Imperio Musulmn Europa Medieval y Renacimiento

IMPERIO MUSULMN. Durante el primer siglo del Imperio Musulmn no se produjo ningn desarrollo cientfico, ya que los rabes, no haban conseguido el impulso intelectual necesario, mientras que el inters por el saber en el resto del mundo, haba desaparecido casi completamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenz el desenfrenado proceso de traducir al rabe todas las obras griegas conocidas. Se fundaron escuelas por todo el Imperio, entre las que destaca Bait Al-Hikma (Casa de la Sabidura). Entre los miembros de esta escuela destaca un nombre propio Mohammed ibn-Musa Al-Khowarizmi que escribi ms de media docena de obras matemticas y astronmicas, dos de las cuales han tenido especial importancia en la historia. La primera de ellas est basada en una traduccin rabe de Brahmagupta y en la que se da una reproduccin exacta del sistema de numeracin hind, lo que ha originado la creencia popular de que nuestro sistema de numeracin procede del rabe. El "nuevo" sistema de numeracin vino a ser conocido como "el de Al-Khowarizmi" y a travs de deformaciones lingsticas deriv en "algorismi" y despus en algoritmo, trmino que, actualmente, posee un significado mucho ms amplio. Igualmente, a travs del titulo de su obra ms importante, el Hisab al-jabr wa-al-muqabala, nos ha transmitido otro nombre mucho ms popular, la palabra "lgebra". En esta obra se estudian seis tipos de ecuaciones cuadrticas, as como un sin fin de elementos griegos. Con posterioridad a Al-Khuwarizmi se desarrollaron infinidad de procedimientos de clculo y algoritmos especiales, entre ellos: - obtencin del nmero pi con 17 cifras exactas mediante polgonos inscritos y circunscritos en la circinferencia realizada por Kashi (s. XV). Despus de ms de 150 aos, en 1593, en Europa, Vite encontr slo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para

repetir el clculo de Kashi. - clculo de races por el mtodo conocido actualmente como de Ruffini-Horner, posiblemente como resultado de la estrecha colaboracin con los matematicos chinos. Adems fue advertida y expresada la serie del desarrollo binomial y fue tambin enunciada la tabla de coeficientes binomiales. - extraccin aproximada de races, utilizando la interpolacin lineal. - sumacin de progresiones aritmticas y geomtricas. Asimismo, en virtud de la frecuente aplizacin en los clculos de las irracionalidades, el lmite entre los nmeros racionales y los irracionales comenz a difuminarse, amplindose la concepcin de nmero real positivo. La idea de una concepcin nica del nmero real obtuvo pues, en el oriente Medio cierto perfeccionamiento. Los trabajos algebraicos rabes entre los siglos IX-XV adems de la resolucin de ecuaciones de primer y segundo grado, incluan tambin las ecuaciones cbicas. A estas ltimas conducan diferentes tipos de problemas como la divisin de la esfera por un plano, la triseccin del ngulo, la bsqueda del lado de un polgono regular de 9 lados... Otra direccin en la resolucin de ecuaciones cbicas, se basaba en la obtencin de la imagen geomtrica de la raz positiva, por medio de la interseccin de secciones cnicas, convenientemente elegidas. Sin embargo el gran defecto del lgebra de esta poca era la ausencia de una simbologa, lo que contuvo el desarrollo del lgebra. Adems de la separacin del lgebra, el rasgo caracterstico ms importante de las matemticas rabes fue la formacin de la trigonometra. En relacin con los problemas de astronoma, confeccionaron tablas de las funciones trigonomtricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud, tanto en trigonometra plana como esfrica. Entre las obras geomtricas destacan las de Omar Khayyam (s. XVI) y Nasir Edin (s. XIII), directamente influenciadas por las obras clsicas, pero a las que contribuyeron con distintas generalizaciones y estudios crticos, como los relativos al axioma euclideano del paralelismo, que pueden considerarse como estudios precursores de la geometra no euclideana.

EUROPA MEDIEVAL Y EL RENACIMIENTO. En el continente europeo, las matemticas no tienen un origen tan antiguo como en muchos pases del Lejano y Medio Oriente, alcanzando slo xitos notorios en la poca del medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento. El punto de arranque de las matemticas en Europa fue la creacin de los centros de enseanza. Con anterioridad, tan solo algunos monjes se dedicaron a estudiar las obras de ciencias naturales y matemticas de los antiguos. Uno de los primeros centros de enseanza fue organizado en Reims (Francia) por Gerberto (Silvestre II) (940-1003). Fua posiblemente el primero en Europa que ense el uso de los numerales hind-arbigos. Sin embargo hubo que esperar a que los musulmanes rompieran la barrera lingstica, hacia el siglo XII, para que surgiera una oleada de traducciones que pusieran en marcha la maquinaria matemtica. El trabajo de los traductores fue sensacional. As Gerardo de Cremona (1114-1187) tradujo del rabe ms de 80 obras. Durante el siglo XIII surgi la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250) ms conocido como Fibonacci. Alrededor del ao 1202 escribi su clebre obra "Liber Abaci" (el libro del baco), en el que se encuentran expuestos: el clculo de nmeros segn el sistema de numeracin posicional; operaciones con fracciones comunes, aplicaciones y

clculos comerciales como la regla de tres simple y compuesta, la divisin proporcional, problemas sobre la determinacin de calidad de las monedas; problemas de progresiones y ecuaciones; races cuadradas y cbicas... Fibonacci qued inmortalizado por la famosa "sucesin de Fibonacci" y el famoso problema de los conejos. Otra obra importante fue el "Practica Geometriae" dedicada a resolver problemas geomtricos, especialmente medida de reas de polgonos y volmenes de cuerpos. Otro contemporneo, aunque no tan excepcionalmente dotado fue Jordano Nemorarius (1237-?) a quien debemos la primera formulacin correcta del problema del plano inclinado. El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) generaliz el concepto de potencia, introduciendo los exponentes fraccionarios, las reglas de realizacin de las operaciones con ellos y una simbologa especial, anticipndose de hecho a la idea de logaritmo. En una de sus obras lleg a utilizar coordenadas rectangulares, aunque de forma rudimentaria, para la representacin grfica de ciertos fenmenos fsicos. Ya en el siglo XV, poca de las grandes navegaciones, la trigonometra fue separada de la astronoma, alzndose como ciencia independiente de la mano de Regiomontano (14361474), que trat de una manera sistemtica todos los problemas sobre la determinacin de tringulos planos y esfricos. Regiomontano enriqueci adems el concepto de nmero, introduciendo los radicales y las operaciones con ellos, ampliando as las posibilidades de resolucin de ecuaciones. Nicolo Tartaglia (1500-1557), Fiore y Scipin del Ferro (1456-1474) desarrollaron frmulas para la bsqueda de ecuaciones de tercer grado. Pero fue Jernimo Cardano (1501-1576) quien introdujo un mtodo regular de resolucin de ecuaciones de tercer y cuarto grado en su obra "Ars Magna". En esta obra se expresan diversos teoremas que relacionan races y coeficientes, as como la divisibilidad de un polinomio por factores (x-x1), donde x1 es raz del polinomio. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el lgebra literal al lgebra simblica. Fue Franois Vite (1540-1603) quien dio un sistema nico de smbolos algebraicos consecuentemente organizado, gracias al cual result por primera vez posible, la expresin de ecuaciones y sus propiedades mediante frmulas generales. Vite estableci en todo momento, una fuerte conexin entre los trabajos trigonomtricos y algebraicos, de forma que de igual manera que se le considera el creador del lgebra lineal, se le podra considerar como uno de los padres del enfoque analtico de la trigonometra, esto es, la goniometra. Para hacer ms fciles los clculos, los matemticos desarrollaron ciertos procedimientos en los que, el papel fundamental lo jugaban determinadas relaciones trigonomtricas, lo que llev a la confeccin de numerosas tablas trigonomtricas. En la elaboracin de tablas trabajaron, por ejemplo, Coprnico (14731543) y Kepler (1571-1630). Semejantes mtodos se utilizaban tan frecuentemente que recibieron el nombre de "prostaferticos". Ellos fueron utilizados por los matemticos de Oriente Medio, Vite, Tycho Brahe, Wittich, Brgi y muchos otros. Estos mtodos siguieron utilizndose incluso despus de la invencin de los logaritmos a comienzos del siglo XVII, aunque sus fundamentos, basados en la comparacin entre progresiones aritmticas y geomtricas, comenzaron a fraguarse mucho antes. En 1614 fue publicada por John Neper (1550-1617) la obra "Canonis mirifici logarithmorum descriptio" y en ella las primeras tablas de logaritmos de funciones trigonomtricas. Aos ms tarde, en estrecha colaboracin con Henry Briggs (1561-1630) desarrollaron el sistema logartmico decimal. La teora de las funciones logartmicas fue seguidamente

desarrollada, alcanzando su culminacin en los trabajos de Leonard Euler. Junto a estos avances cientfico-matemticos comenzaron a desarrollarse las primeras mquinas de clculo.

MATEMTICAS CONTEMPORNEASSIGLO XIXEl siglo XIX merece ser llamado ms que ningn otro periodo anterior la edad de Oro de la Matemtica. Los progresos realizados durante este siglo superan con mucho, tanto en calidad como en cantidad, la produccin reunida de todas las pocas anteriores. este siglo fue tambin, con la excepcin de la poca Heroica de la Antigua Grecia, el ms revolucionario de la historia de la Matemtica. Las particularidades del nuevo periodo se manifiestan ya nada ms comenzar el siglo. En lgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y Galois sobre la resolucin de ecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el lgebra una serie de conceptos generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer lugar el concepto de grupo. El descubrimiento en los aos 20-30 por Lobachevski y tambin por J. Bolyai y Gauss de los hechos fundamentales de la geometra hiperblica no euclideana y en los aos 60-70 la bsqueda de sus interpretaciones, provocaron en el sistema de ciencias geomtricas transformaciones de carcter revolucionario. El sistema de disciplinas que forman parte del anlisis matemtico, sufri en sus fundamentos una muy profunda reconstruccin sobre la base de la creada teora de lmites y la teora del nmero real. A finales de siglo, los recursos del anlisis se complementaban con lo que ya se ha venido a llamar aparato epsilon, delta. Junto a este desarrollo del anlisis matemtico clsico, se separaron de l disciplinas matemticas independientes: la teora de ecuaciones diferenciales, la teora de funciones de variable real y la teora de funciones de variable compleja. Antes de estudiar estos aspectos ms detalladamente citemos tres rasgos que tienen un carcter general para la mayora de las ciencias matemticas: 1. En primer lugar debe tenerse en cuenta la ampliacin del contenido del objeto de las matemticas, debido fundamentalmente a las exigencias crecientes de las ciencias afines. 2. En segundo lugar la necesidad de fundamentar las matemticas en su conjunto, producindose una revisin crtica de los conceptos primarios y afirmaciones. 3. La tercera particularidad es la ampliacin considerable del campo de aplicaciones, condicionado por el aumento de posibilidades del aparato del anlisis matemtico.

lgebra Moderna.o o o

Teora General de Ecuaciones Algebraicas. Teora de Grupos. lgebra Lineal. Teora de Lmites. Teora de Funciones. Teora de Nmero Real y Teora de Conjuntos.

Anlisis Matemtico.o o o

Teora de las funciones de variable compleja. Transformacin de la geometra.

lgebra Moderna: El lgebra moderna es un campo extraordinariamente amplio yramificado en el que se recogen un gran nmero de disciplinas cientficas e independientes cuyo objeto comn son las operaciones algebraicas, las cuales representan abstracciones lejanas de las operaciones del lgebra elemental. Teora General de las Ecuaciones algebraicas: Este fue el problema fundamental del lgebra durante el siglo XIX, entendindose como la bsqueda de las races de la ecuacin con ayuda de operaciones racionales y la operacin de la extraccin de la raz. En este poca se introdujeron una serie de conceptos, entre ellos el concepto de grupo, que yacen en la base del lgebra moderna. Tengamos en cuenta los trabajos de K.F. Gauss, N.H. Abel y E. Galois, relativos a la demostracin de la no resolubilidad en radicales de las ecuaciones de grado mayor que cinco y la creacin de la teora de Galois. Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en lgebra siendo muy joven, advirtiendo ya en 1796 la relacin entre la bsqueda de races de la ecuacin xn-1=0 y la divisin de la circunferencia en partes iguales. Tres aos ms tarde demostraba el teorema fundamental del lgebra, dando en 1815, 1816 y 1849 tres nuevas demostraciones. Recordemos que la primera formulacin de este teorema, sin demostrar, fue la dada por Descartes. para la demostracin de este teorema necesit construir los campos de desarrollo de los polinomios. Otro de los notables descubrimientos algebraicos de comienzo de siglo es la demostracin de la irresolubilidad en radicales de las ecuaciones de quinto grado. Por este camino llev P. Ruffini sus investigaciones a finales del siglo XVIII, pero el primer xito real lo obtuvo Niels Henrik Abel. Tras esto, Abel realiz investigaciones fundamentales en el campo de la teora de funciones analticas, e investig una serie de funciones especiales como las elpticas e hiperblicas. Pero Abel no pudo dar un criterio general de resolubilidad en radicales de las ecuaciones con coeficientes numricos. Sin embargo, la solucin a este problema no se hizo esperar largamente y se debe a Evaristo Galois. El objeto fundamental de sus investigaciones fue el determinar cuando son resolubles mediante radicales las ecuaciones polinmicas.El aparato algebraico introducido tuvo, sin embargo, una significacin que sala de los marcos del problema indicado. Su idea del estudio de la estructura de los campos algebraicos y la comparacin con ellos de la estructura de los grupos de un nmero finito de sustituciones, fue la base fructfera del lgebra moderna. la teora actual de Galois, se ha convertido en una disciplina matemtica compleja y ramificada, que incluye un amplio material sobre las relaciones entre las propiedades de las ecuaciones, los nmeros algebraicos y los grupos. Teora de Grupos: Galois y Ruffini introdujeron de forma independiente el concepto de grupo. En la primera mitad del siglo XIX, los resultados de la teora de grupo jugaron un papel auxiliar, especialmente en la teora de las ecuaciones algebraicas, formndose, predominantemente, la teora de los grupos finitos. Posteriormente, ya en los aos 50, en trabajos de Cayley y otros, comenzaron a aparecer

definiciones abstractas ms generales de grupo. este proceso se aceler desde el ao 1870 con los trabajos de C. Jordan, quien hizo un resumen de los resultados de la teora de grupos finitos en su aplicacin a la teora de nmeros, teora de funciones y geometra algebraica. A finales de siglo, aparecieron las primeras aplicaciones de la teora de grupo, resolvindose, por ejemplo, el problema de la clasificacin de todas las redes cristalinas espaciales gracias a los trabajos de E.S Fiedorov . Los grupos discretos finitos, a los que pertenecen los grupos de Fiedorov, obtuvieron extensin en la teora de los espacios multidimensionales en relacin con la teora de los poliedros regulares en stos. Posteriormente se plante la investigacin de los grupos infinitos, tanto discretos como continuos y tambin sobre la creacin de un aparato de clculo adaptado a las necesidades de la teora de grupo. los logros fundamentales sobre estas cuestiones pertenecen a los discpulos de C. Jordan, F. Klein y S. Lie. En la confluencia de los siglos XIX y XX la teora de grupos se ramific desmesuradamente, formando el ncleo del lgebra actual. Ella se compone de una serie de teoras altamente desarrolladas: los grupos finitos, los grupos discretos infinitos, los grupos continuos, entre ellos los grupos de Lie. Los mtodos tericos de grupos penetraron en una serie de disciplinas matemticas y sus aplicaciones. Los descubrimientos de De Broglie, Schrdinger, Dirac y otros, en la mecnica cuntica y en la teora de la estructura de la materia mostraron que la fsica moderna debe apoyarse en la teora de los grupos continuos, en particular en la teora de la representacin de grupos por operadores lineales, la teora de los caracteres y otras elaboradas por Cartan, H. Weyl y otros cientficos. Pas medio siglo desde los trabajos de Gauss, Abel y Galois y el centro de gravedad en las investigaciones algebraicas se traslad a la teora de grupos, subgrupos, anillos, estructuras. En al lgebra comenz el periodo de las matemticas modernas. lgebra Lineal: La historia del lgebra del siglo XIX quedara incompleta si no atendisemos a la formacin del lgebra lineal, surgida de la teora de los sistemas de ecuaciones lineales y relacionada con la teora de determinantes y matrices. Durante la segunda mitad de siglo se realizaron investigaciones muy importantes de la teora de los invariantes de las ecuaciones. En este camino del desarrollo, creci la teora de las formas que encontr aplicacin adems de en el lgebra, en la teora de nmeros, la geometra diferencial, la geometra algebraica y la mecnica.

Anlisis Matemtico: El anlisis matemtico, hacia el siglo XIX se convirti en un sistema de disciplinas ramificado y sigui ocupando un lugar central en las matemticas. El flujo inagotable de nuevos resultados tericos y el campo de aplicaciones el cual se ampla continuamente, condicionaron el que en la estructura general de las matemticas ocuparan un lugar especial, principalmente, las disciplinas analticas. Las ecuaciones diferenciales se convirtieron en el medio operativo fundamental del anlisis. El aparato del anlisis matemtico en este siglo era un conjunto de procedimientos y mtodos de solucin de numerosos problemas que creca rpidamente. Todos estos mtodos aun podan dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el clculo diferencial, el clculo integral y la teora de ecuaciones diferenciales que rpidamente se independizaba de este ltimo. Los contornos de la teora en formacin de

funciones de variable compleja, la teora de las funciones especiales... se delineaban aun lentamente. Teora de Lmites: Uno de los lugares centrales del anlisis lo ocupa el concepto de lmite. Sobre l se apoya todo el aparato de las demostraciones infinitesimales. los matemticos del siglo XVIII probaron un conjunto de procedimientos para fundamentar el anlisis infinitesimal, pero la insatisfactorio de casi todos estos mtodos se hizo rpidamente evidente. A finales del siglo XVIII y principios del XIX era ms que evidente la necesidad de costruccin de la teora de lmites como base del anlisis matemtico y una reconstruccin radical de este ltimo. Este proceso de reconstruccin se revel claramente en los aos veinte de este siglo, sobre todo en los trabajos de Agustn-Luis Cauchy y en sus famosas conferencias, las cuales fueron publicadas en tres libros: "Curso de anlisis" (1821); "Resumen de conferencias sobre el clculo de infinitesimales" (1823) y "Conferencias sobre aplicaciones del anlisis a la geometra" (dos tomos 1826,1828). Estos libros tienen una importancia especial, porque en ellos por primera vez, el anlisis matemtico se construye sucesivamente sobre la teora de lmites. El primero de los libros est dedicado al estudio de las funciones elementales, tanto de variable real como compleja, incluyendo el estudio de las series infinitas. Asimismo se introduce por primera vez, una magnitud infinitesimal como una variable cuyo lmite es igual a cero. Expuso tambin la cuestin de la convergencia de las series, as como sus criterios de convergencia. En el segundo de los libros se expone el clculo diferencial e integral de funcin de variable real, destacando la aparicin de una demostracin analtica de existencia de integral definida de una funcin continua. Teora de Funciones: En la primera mitad de siglo se realiz una investigacin profunda de los fundamentos del anlisis matemtico, utilizando los mtodos y resultados de la teora de conjuntos y la teora de funciones de variable real. Los mritos principales en este rama, corresponden a Bernard Bolzano, aunque sus resultados fundamentales vieran la luz despus de su muerte. ya en 1817, Bolzano formul y demostr el teorema de que si un conjunto de nmeros reales est acotado entonces tiene extremo, adelantndose en cuarenta aos a Weierstrass. Igualmente se adelant a Cauchy en el estudio del criterio de convergencia de sucesiones y dio una definicin rigurosa de continuidad de funciones. Estudi profundamente las propiedades de las funciones continuas y demostr en relacin con stas una serie de notables teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una funcin continua toma todos los valores comprendidos entre su mximo y su mnimo. Tambin ampli la clase de curvas continuas, aplicando el mtodo de acumulacin de singularidades y obtuvo, entre otras funciones originales, la funcin que no tiene derivada en ningn punto y conocida actualmente como funcin de Bolzano. En otra de sus obras "Paradoja del Infinito" encontramos las bases de la posterior teora de conjuntos. Teoras de Nmero Real y Teora de Conjuntos: En el ao 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K. Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo nico objetivo era el de dotar de una teora rigurosa al nmero real, problema ste considerado vital para una correcta fundamentacin del anlisis.

As Dedekind defini el nmero real como una cortadura en el conjunto de los nmeros racionales, dando al conjunto de los nmeros reales una interpretacin geomtrica en forma de lnea recta. Cantor, por su parte, identific al nmero real con una sucesin convergente de nmeros racionales. La creacin de la teora de conjuntos infinitos y los nmeros transfinitos pertenece tambin a G. Cantor. l demostr la no equivalencia de los conjuntos de nmeros racionales y reales. Durante los aos 1879 a 1884 elabor de forma sistemtica la teora de conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de punto lmite, de conjunto derivado... La teora general de las potencias de conjuntos, las transformaciones y operaciones sobre conjuntos y las propiedades de los conjuntos ordenados constituyeron fundamentalmente la teora abstracta de conjuntos. Las cuestiones de fundamentacin de la teora de conjuntos, junto con la investigacin de los lmites de su aplicacin se convirtieron durante el siglo XX en una ciencia especial, la "lgica matemtica", la cual forma una parte importante de los fundamentos de las matemticas modernas. El campo de aplicacin del anlisis matemtico creci rpidamente merced a un sin fin de investigadores de los mtodos matemticos de la fsica y la mecnica: Green, Stokes, Thomson, Hamilton, Maxwell... Entre estas aplicaciones cabe destacar la creacin del aparato analtico para la investigacin de los fenmenos electromagnticos, la teora matemtica de la conductividad del calor, o la construccin del aparato matemtico de la nueva mecnica.

Teora de las funciones de Variable Compleja: La teora actual de las funcionesde variable compleja abarca un amplio dominio de las matemticas, hacindose difcil enumerar todas sus ramificaciones. Consideremos en primer lugar las premisas acumuladas hasta este momento. El concepto de nmero imaginario y despus complejo se conoca desde tiempos remotos, introduciendo con posterioridad el conjunto de operaciones. Durante los siglos XVII y XVIII se establecieron, ya de una forma significativa, un conjunto de importantes aplicaciones de los nmeros complejos en diversas ramas de la ciencia. Sin embargo todos los resultados en esta materia se entremezclaban sin la formulacin de una concepcin nica. En el siglo XIX lleg el momento de crear la teora general de las funciones de variable compleja. Esta etapa de la historia, ya en el siglo XIX, se caracteriz por la introduccin de definiciones precisadas de los conceptos fundamentales. Ante todo se trat del surgimiento de las interpretaciones geomtricas del concepto de nmero complejo. Un tratamiento terico lo suficientemente general de la cuestin surgi inicialmente, en los trabajos de Gauss y despus en los de Cauchy. En 1831 Gauss public un trabajo sobre la teora de los residuos bicuadrticos donde expuso la fundamentacin terica y la interpretacin geomtrica de los nmeros complejos, dndoles por primera vez la denominacin que se ha conservado hasta nuestros das. En una carta de Gauss al astrnomo y matemtico Bessel, escrita en 1811 y publicada en 1880 daba la interpretacin precisa de los nmeros imaginarios, la definicin de integral en el plano complejo, el teorema integral, (conocido actualmente como teorema de Cauchy) y el desarrollo de una funcin analtica en series de potencias. de estos aspectos merece especial atencin la integracin en el plano complejo, ya que la utilizacin de las

variables complejas en los clculos de integrales definidas difciles ejerci una grandsima influencia sobre el desarrollo de la teora de funciones de variable compleja. Laplace acudi a la interpretacin en variable compleja, desarrollando el mtodo de resolucin de ecuaciones lineales en diferencias y diferenciales, conocido bajo la denominacin de transformada de Laplace. sta y otras transformadas similares, permitieron resolver de forma efectiva muchos problemas de electrotecnia, hidrodinmica, mecnica y conductividad trmica entre otros. Fue precisamente esta presin de los problemas prcticos, lo que llev a la necesidad de elaborar una teora de funciones de variable compleja y a estudiar sus relaciones con las dems partes del anlisis infinitesimal. El cumplimiento de esta tarea fue realizado fundamentalmente por Cauchy. Sus primeros trabajos publicados en 1825, tuvieron como objetivo aplicar las magnitudes imaginarias al clculo de integrales definidas, formulando el teorema integral. Durante los aos siguientes 1826-1829 cre la teora de los residuos, desarrollndola en aos posteriores y buscando nuevas aplicaciones. Junto a los trabajos de Cauchy surgieron otros muchos sobre la teora de funciones de variable compleja, entre los que cabe mencionar los realizados por Abel, Jacobi, Laurent y Liouville. Durante los aos 40 qued superado el aislamiento de las ideas sobre funciones de variable compleja, merced sobre todo a los trabajos de B. Rieman (1826-1866) en los cuales aparecan amplias analogas que vinculaban esta teora con otros campos de las matemticas. Los resultados fundamentales de Rieman aparecen en sus obras "Fundamentos de la teora general de funciones de variable compleja" (1851) y en "Teora de las funciones de Abel" (1857). Entre los problemas analizados por Rieman citaremos el de en qu medida las funciones analticas se determinan por sus condiciones en la frontera. Otro punto de desarrollo fue la interpretacin geomtrica de los nmeros complejos y de las funciones de variable compleja, desarrollando las denominadas "superficies de Rieman". tambin investig diversas clases de funciones que satisfacan ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes algebraicos. Partiendo de las ideas de Rieman surgieron gran cantidad de trabajos cuyos autores elaboraron diferentes aspectos de la teora de funciones de variable compleja. Otra direccin en el desarrollo de la teora de funciones de variable compleja, denominada analtica se form en los trabajos de Weierstrass (1815-1897), quien elabor un sistema de fundamentacin lgica apoyndose en la rigurosa teora de los nmeros reales, como un medio en el cual funcionan todos los conceptos y mtodos fundamentales. As, en este poca, la mayora de las investigaciones sobre el tema, se realizaban en el plano de desarrollo de una de las tres direcciones: la teora de las funciones diferenciales de Cauchy, las ideas geomtricas y fsicas de Rieman y la direccin analtica de Weierstrass. Fue a finales de siglo y a comienzos del siglo XX cuando se unificaron conceptos, creando una concepcin nica general de la teora de funciones de variable compleja.

Transformacin de la Geometra: La geometra hacia comienzos del siglo XIXrepresentaba ya un amplio complejo de disciplinas surgidas del anlisis y

generalizaciones de los datos sobre las formas espaciales de los cuerpos. Junto a las partes elementales, se incluyeron en la geometra casi todas aquellas partes que la conforman actualmente. La geometra analtica realiz un gran camino de desarrollo y determin su lugar como parte de la geometra que estudia las figuras y transformaciones dadas por ecuaciones algebraicas con ayuda del mtodo de coordenadas utilizando los mtodos del lgebra. La geometra diferencial se caracteriz por la utilizacin de los conceptos y mtodos del clculo diferencial, lo que conllev relaciones estables con el anlisis matemtico y con numerosos problemas aplicados. Una de las caractersticas principales de la geometra que se desarroll durante la segunda mitad del siglo XIX, fue el entusiasmo con que los matemticos estudiaron una gran variedad de transformaciones. De ellas, las que se hicieron ms populares fueron las que constituyen el grupo de transformaciones que definen la denominada geometra proyectiva. Los mtodos aparentemente detenidos en su desarrollo desde la poca de Desargues y Pascal, de estudio de las propiedades de las figuras invariantes respecto a la proyeccin, se conformaron en los aos 20 del siglo XIX en una nueva rama de la geometra: la geometra proyectiva, merced sobre todo a los trabajos de J. Poncelet. Otro aspecto esencial durante este siglo fue el desarrollo de las geometras no euclideanas. Podramos considerar fundador de esta geometra al matemtico ruso Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856). Su obra mostraba que era necesario revisar los conceptos fundamentales que se admitan sobre la naturaleza de la matemtica, pero ante el rechazo de sus contemporneos tuvo que desarrollar sus ideas en solitario aislamiento. El punto de partida de las investigaciones de Lobachevski sobre geometra no euclideana fue el axioma de las paralelas de Euclides, sin demostracin durante siglos. Lobachevski, que inicialmente intent demostrar dicho axioma, rpidamente se dio cuenta que ello era imposible, sustituyendo dicho axioma por su negacin: a travs de un punto no contenido en una recta se puede trazar ms de una paralela que yace en el mismo plano que la primera. El ao 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta geometra no euclideana o lobachevskiana, siendo en ese ao cuando el autor present muchos de los trabajos que avalaban la nueva teora. En 1829 Janos Bolyai (1802-1860) lleg a la misma conclusin a la que haba llegado Lobachevski. E incluso el mismo Gauss que apoyaba y elogiaba a escondidas, nunca de forma pblica, los trabajos de Bolyai y Lobachevski, es posible que mantuviera los mismos puntos de vista pero los call por temor a comprometer su reputacin cientfica. La geometra no euclideana continu siendo durante varias dcadas un aspecto marginal de la matemtica, hasta que se integr en ella completamente gracias a las concepciones extraordinariamente generales de Rieman.

GEOMETRALa historia del origen de la Geometra es muy similar a la de la Aritmtica, siendo sus conceptos ms antiguos consecuencia de las actividades prcticas. Los primeros hombres llegaron a formas geomtricas a partir de la observacin de la naturaleza. El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuy a los egipcios el descubrimiento de la geometra, ya que, segn l, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometra significa medida de tierras.

Los egipcios se centraron principalmente en el clculo de reas y volmenes, encontrando, por ejemplo, para el rea del crculo un valor aproximado de ( de 3'1605. Sin embargo el desarrollo geomtrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. Tambin encontramos rudimentos de trigonometra y nociones bsicas de semejanza de tringulos.

Tambin se tienen nociones geomtricas en la civilizacin mesopotmica, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: rea del cuadrado, del crculo (con una no muy buena aproximacin de (=3), volmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilizacin conoca el teorema de Pitgoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general.

No se puede decir que la geometra fuese el punto fuerte de las culturas china e india, limitndose principalmente a la resolucin de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. Tambin hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron a enunciados de algunos casos particulares del teorema de Pitgoras, e incluso que desarrollaron algunas ideas sobre la demostracin de este teorema.

En los matemticos de la cultura helnica los problemas prcticos relacionados con las necesidades de clculos aritmticos, mediciones y construcciones geomtricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemticas que obtuvo la denominacin de "logstica". A la logstica fueron atribuidas: las operaciones con nmeros enteros, la extraccin numrica de races, el clculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, clculo con fracciones, resolucin numrica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2 grado, problemas prcticos de clculo y constructivos de la arquitectura, geometra, agrimensura, etc...

Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitgoras se advierte un proceso de recopilacin de hechos matemticos abstractos y la unin de ellos en sistemas tericos. Junto a la demostracin geomtrica del teorema de Pitgoras fue encontrado el mtodo de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de nmeros "pitagricos", esto es, ternas de nmeros que satisfacen la ecuacin a2+b2=c2. En este tiempo transcurrieron la abstraccin y sistematizacin de las informaciones geomtricas. En los trabajos geomtricos se introdujeron y perfeccionaron los mtodos de demostracin geomtrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitgoras, los problemas sobre la cuadratura del crculo, la triseccin de un ngulo, la duplicacin del cubo, la cuadratura de una serie de reas (en particular las acotadas por lneas curvas). .Paralelamente, al ampliarse el nmero de magnitudes medibles, debido a la aparicin de los nmeros irracionales, se origin una reformulacin de la geometra, dando lugar al lgebra geomtrica. Esta nueva rama inclua entre otros conceptos el mtodo de anexin de reas, el conjunto de proposiciones geomtricas que interpretaban las cantidades algebraicas, divisin urea, expresin de la arista de un poliedro regular a travs del dimetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el lgebra geomtrica estaba limitada a objetos de dimensin no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducan a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacan imposibles los problemas que no admitieran solucin mediante regla y comps. La historia sobre la resolucin de los tres problemas geomtricos clsicos (sobre la cuadratura del crculo, la triseccin de un ngulo, la duplicacin del cubo) est llena de ancdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cnicas, clculo aproximado del nmero pi, el mtodo de exhaucin como predecesor del clculo de lmites o la introduccin de curvas trascendentes. Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicion la necesidad de creacin de una teora general de las relaciones, teora cuyo fundamento inicial lo constituy el algoritmo de Euclides. Las primeras teoras matemticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonoma y especificidad de las matemticas. El carcter abstracto del objeto de las matemticas y los mtodos de demostracin matemtica establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesin lgica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella poca se exponan los primeros sistemas matemticos de denominaban "Elementos". Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras la obra matematica ms impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", como denominaremos a esta obra a partir de ahora, estn constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesin de teoremas. A veces se aaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, estn prximos al ltimo libro de Euclides.

En "Los Elementos" de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados que sirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometra. Es de especial inters, por la controversia que origin en pocas posteriores el quinto axioma, denominado "el de las paralelas", segn el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durante siglos se asumi este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadas geometras no eucldeas, que rebatieron este postulado. Con posterioridad a Euclides y Arqumedes, las matemticas cambiaron fuertemente, tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formacin de nuevas teoras ms pausado, hasta llegar a interrumpirse. Entre las nuevas teoras desarrolladas ocupa el primer lugar la teora de las secciones cnicas, que surgi de las limitaciones del lgebra geomtrica. El inters hacia las secciones cnicas creci a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltos con su ayuda. Sin duda, la obra ms completa, general y sistemtica de las secciones cnicas se debe a Apolonio de Perga. En la poca del dominio romano destacan algunos recetarios en forma de reglas que permitan el clculo de algunas reas y volmenes; y en especial la conocida frmula de Hern para calcular el rea del tringulo conocidos los tres lados.

Durante el primer siglo del Imperio Musulmn no se produjo ningn desarrollo cientfico, ya que los rabes, no haban conseguido el impulso intelectual necesario, mientras que el inters por el saber en el resto del mundo, haba desaparecido casi completamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenz el desenfrenado proceso de traducir al rabe todas las obras griegas conocidas, fundndose escuelas por todo el Imperio. Destacaremos como avance anecdtico, pero no por ello carente de valor, la obtencin del nmero pi con 17 cifras exactas mediante polgonos inscritos y circunscritos en la circinferencia realizada por Kashi (s. XV). Despus de ms de 150 aos, en 1593, en Europa, Vite encontr slo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir el clculo de Kashi. El rasgo caracterstico ms importante de las matemticas rabes fue la formacin de la trigonometra. En relacin con los problemas de astronoma, confeccionaron tablas de las funciones trigonomtricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud, tanto en trigonometra plana como esfrica. Entre las obras geomtricas destacan las de Omar Khayyam (s. XVI) y Nasir Edin (s. XIII), directamente influenciadas por las obras clsicas, pero a las que contribuyeron con distintas generalizaciones y estudios crticos, como los relativos al axioma euclideano del paralelismo, que pueden considerarse como estudios precursores de la geometra no euclideana.

En el continente europeo, las matemticas no tienen un origen tan antiguo como en muchos pases del Lejano y Medio Oriente, alcanzando slo xitos notorios en la poca del medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento. Podemos considerar la obra de Fibonacci "Practica Geometriae" como el punto de arranque de la geometra renacentista. Esta obra est dedicada a resolver determinados problemas geomtricos, especialmente medida de reas de polgonos y volmenes de cuerpos. Otro contemporneo, aunque no tan excepcionalmente dotado fue Jordano Nemorarius (1237-?) a quien debemos la primera formulacin correcta del problema del plano inclinado. El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) lleg a utilizar en una de sus obras coordenadas rectangulares, aunque de forma rudimentaria, para la representacin grfica de ciertos fenmenos fsicos.

Ya en el siglo XV, poca de las grandes navegaciones, la trigonometra fue separada de la astronoma, alzndose como ciencia independiente de la mano de Regiomontano (14361474), que trat de una manera sistemtica todos los problemas sobre la determinacin de tringulos planos y esfricos. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el lgebra literal al lgebra simblica. Fue Franois Vite (1540-1603) quien dio un sistema nico de smbolos algebraicos consecuentemente organizado, estableciendo en todo momento, una fuerte conexin entre los trabajos trigonomtricos y algebraicos, de forma que de igual manera que se le considera el creador del lgebra lineal, se le podra considerar como uno de los padres del enfoque analtico de la trigonometra, esto es, la goniometra. Para hacer ms fciles los clculos, los matemticos desarrollaron ciertos procedimientos en los que, el papel fundamental lo jugaban determinadas relaciones trigonomtricas, lo que llev a la confeccin de numerosas tablas trigonomtricas. En la elaboracin de tablas trabajaron, por ejemplo, Coprnico (1473-1543) y Kepler (1571,1630). Semejantes mtodos se utilizaban tan frecuentemente que recibieron el nombre de "prostaferticos". Ellos fueron utilizados por los matemticos de Oriente Medio, Vite, Tycho Brahe, Wittich, Brgi y muchos otros. Estos mtodos siguieron utilizndose incluso despus de la invencin de los logaritmos a comienzos del siglo XVII, aunque sus fundamentos, basados en la comparacin entre progresiones aritmticas y geomtricas, comenzaron a fraguarse mucho antes.

Durante el siglo XVII surgieron casi todas las disciplinas matemticas, producindose en lo que a la geometra se refiere el nacimiento de la geometra analtica. Sin duda los dos grandes en esta materia y poca fueron Ren Descartes (1596-1650) y Pierrede Fermat (1601-1655).

La ltima parte de la famosa obra de Descartes "Discurso del Mtodo" denominada "Gometrie", detalla en su comienzo, instrucciones geomtricas para resolver ecuaciones cuadrticas, centrndose seguidamente en la aplicacin del lgebra a ciertos problemas geomtricos. Analiza tambin curvas de distintos rdenes, para terminar en el tercer y ltimo libro que compone la obra, con la construccin de la teora general de ecuaciones, llegando a la conclusin de que el nmero de races de una ecuacin es igual al grado de la misma, aunque no pudo demostrarlo. Prcticamente la totalidad de la Gometrie est dedicada a la interrelacin entre el lgebra y la geometra con ayuda del sistema de coordenadas. Simultneamente con Descartes, Pierre de Fermat desarroll un sistema anlogo al de aqul. Las ideas de la geometra analtica, esto es, la introduccin de coordenadas rectangulares y la aplicacin a la geometra de los mtodos algebraicos, se concentran en una pequea obra: "introduccin a la teora de los lugares planos y espaciales". Aquellos lugares geomtricos representados por rectas o circunferencias se denominaban planos y los representados por cnicas, especiales. Fermat abord la tarea de reconstruir los "Lugares Planos" de Apolonio, describiendo alrededor de 1636, el principio fundamental de la geometra analtica: "siempre que en una ecuacin final aparezcan dos incgnitas, tenemos un lugar geomtrico, al describir el extremo de uno de ellos una lnea, recta o curva". Utilizando la notacin de Vite, represent en primer lugar la ecuacin Dx=B, esto es, una recta. Posteriormente identific las expresiones xy=k2; a2+x2=ky; x2+y2+2ax+2by=c2; a2-x2=ky2 con la hiprbola, parbola circunferencia y elipse respectivamente. Para el caso de ecuaciones cuadrticas ms generales, en las que aparecen varios trminos de segundo grado, aplic rotaciones de los ejes con objeto de reducirlas a los trminos anteriores. La extensin de la geometra analtica al estudio de los lugares geomtricos espaciales, la realiz por la va del estudio de la interseccin de las superficies espaciales por planos. Sin embargo, las coordenadas espaciales tambin en l estn ausentes y la geometra analtica del espacio qued sin culminar. Lo que s est totalmente demostrado, es que la introduccin del mtodo de coordenadas deba atribuirse a Fermat y no a Descartes, sin embargo su obra no ejerci tanta influencia como la Gometrie de Descartes, debido a la tardanza de su edicin y al engorroso lenguaje algebraico utilizado. El desarrollo posterior de la geometra analtica, mostr que las ideas de Descartes sobre la unificacin del lgebra y geometra no pudo realizarse sino que siguieron un camino separado aunque relacionado. El surgimiento de la geometra analtica, aliger sustancialmente la formacin del anlisis infinitesimal y se convirti en un elemento imprescindible para la construccin de la mecnica de Newton, Lagrange y Euler, significanda la aparicin de las posibilidades para la creacin del anlisis de variables.

Ya en el siglo XVIII se complet el conjunto de las disciplinas geomtricas y, excluyendo slo las geometras no euclideanas y la apenas iniciada geometra analtica, prcticamente todas las ramas clsicas de la geometra, se formaron en este siglo. As adems de la consolidacin de la geometra analtica, surgieron la geometra diferencial, descriptiva y proyectiva, as como numerosos trabajos sobre los fundamentos de la geometra. Entre los diferentes problemas y mtodos de la geometra, tuvieron gran significado las aplicaciones geomtricas del clculo infinitesimal. De ellas surgi y se desarroll la geometra diferencial, la ciencia que ocup durante el siglo XVIII el lugar central en al sistema de las disciplinas geomtricas. Estudiemos por separado cada una de estas ramas: Geometra Analtica: Bajo esta denominacin se considera aquella parte de la geometra donde se estudian las figuras y transformaciones geomtricas dadas por ecuaciones algebraicas. Las puertas a esta rama fueron abiertas, ya en el siglo XVII por Descartes y Fermat, pero slo incluan problemas planos. Hubo de ser Newton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra, "Enumeracin de las curvas de tercer orden", clasificando las curvas segn el nmero posible de puntos de interseccin con una recta, obteniendo un total de 72 tipos de curvas, que se podan representar por ecuaciones de cuatro tipos. Si designamos ax3+bx2+cx+d=A, entonces las soluciones indicadas sern: xy2+ey=A ; xy=A ; y2=A ; y=A. Sin embargo, lo verdaderamente importante de esta obra fue el descubrimiento de las nuevas posibilidades del mtodo de coordenadas, definiendo los signos de las funciones en los cuatro cuadrantes. Con posterioridad a Newton, las curvas de tercer orden fueron estudiadas por Stirling, Maclaurin, Nicolle, Maupertius, Braikenridge, Steiner, Salmon, Silvestre, Shall, Clebsch y otros. Fue Euler quien, en 1748, sistematiz la geometra analtica de una manera formal. En primer lugar expuso el sistema de la geometra analtica en el plano, introduciendo adems de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. En segundo lugar, estudi las transformaciones de los sistemas de coordenadas. Tambin clasific las curvas segn el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades generales. En otros apartados de sus obras trat las secciones cnicas, las formas cannicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintticas de las secciones cnicas y clasific las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando la inexactitud de la clasificacin newtoniana. Tambin estudi las tangentes, problemas de curvaturas, dimetros y simetras, semejanzas y propiedades afines, interseccin de curvas, composicin de ecuaciones de curvas complejas, curvas trascendentes y la resolucin general de ecuaciones trigonomtricas. Todo estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra "Introduccin al anlisis..." que Euler dedic exclusivamente a la geometra analtica. En la segunda mitad del siglo se introdujeron slo mejoras parciales, pues en lo fundamental, la geometra analtica ya estaba formada. Destacaremos entre otros los nombres de G. Monge, Lacroix y Menier.

Geometra diferencial: Esta disciplina matemtica se encarga del estudio de los objetos geomtricos, o sea, las curvas, superficies etc... Su singularidad consiste en que partiendo de la geometra analtica utiliza mtodos del clculo diferencial. A comienzos de siglo ya haban sido estudiados muchos fenmenos de las curvas planas por medio del anlisis infinitesimal, para pasar posteriormente a estudiar las curvas espaciales y las superficies. Este traspaso de los mtodos de la geometra bidimensional al caso tridimensional fue realizado por Clairaut. Sin embargo, su obra fue eclipsada, como casi todo en esta poca, por los trabajos de Euler. El primer logro de Euler en este terreno, fue la obtencin de la ecuacin diferencial de las lneas geodsicas sobre una superficie, desarrollando a continuacin una completa teora de superficies, introduciendo entre otros el concepto de superficie desarrollable. A finales de siglo, es desarrollo de esta rama entr en un ligero declive, debido principalmente a la pesadez y complejidad del aparato matemtico. Geometra descriptiva y proyectiva: Los mtodos de la geometra descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones tcnicas de la matemtica y su formacin como ciencia matemtica especial, se culmin en los trabjos de Monge, cuya obra en este terreno qued plasmada en el texto "Gometrie descriptive". En la obra se aclara, en primer lugar, el mtodo y objeto de la geometra descriptiva, prosiguiendo a continuacin, con instrucciones sobre planos tangentes y normales a superficies curvas. Analiza en captulos posteriores la interseccin de superficies curvas y la curvatura de lneas y superficies. El perfeccionamiento de carcter particular y la elaboracin de diferentes mtodos de proyeccin contituyeron el contenido fundamental de los trabjos sobre geometra proyectiva en lo sucesivo. La idea del estudio de las propiedades proyectivas de los objetos geomtricos, surgi como un nuevo enfoque que simplificara la teora de las secciones cnicas. Las obras de Desargues y Pascal resuelven este problema y sirven de base a la nueva geometra.

Como acabamos de ver la geometra hacia comienzos del siglo XIX representaba ya un amplio complejo de disciplinas surgidas del anlisis y generalizaciones de los datos sobre las formas espaciales de los cuerpos. Junto a las partes elementales, se incluyeron en la geometra casi todas aquellas partes que la conforman actualmente. La geometra analtica realiz un gran camino de desarrollo y determin su lugar como parte de la geometra que estudia las figuras y transformaciones dadas por ecuaciones algebraicas con ayuda del mtodo de coordenadas utilizando los mtodos del lgebra. La geometra diferencial se caracteriz por la utilizacin de los conceptos y mtodos del clculo diferencial, lo que conllev relaciones estables con el anlisis matemtico y con numerosos problemas aplicados.

Una de las caractersticas principales de la geometra que se desarroll durante la segunda mitad del siglo XIX, fue el entusiasmo con que los matemticos estudiaron una gran variedad de transformaciones. De ellas, las que se hicieron ms populares fueron las que constituyen el grupo de transformaciones que definen la denominada geometra proyectiva. Los mtodos aparentemente detenidos en su desarrollo desde la poca de Desargues y Pascal, de estudio de las propiedades de las figuras invariantes respecto a la proyeccin, se conformaron en los aos 20 del siglo XIX en una nueva rama de la geometra: la geometra proyectiva, merced sobre todo a los trabajos de J. Poncelet. Otro aspecto esencial durante este siglo fue el desarrollo de las geometras no euclideanas. Podramos considerar fundador de esta geometra al matemtico ruso Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856). Su obra mostraba que era necesario revisar los conceptos fundamentales que se admitan sobre la naturaleza de la matemtica, pero ante el rechazo de sus contemporneos tuvo que desarrollar sus ideas en solitario aislamiento. El punto de partida de las investigaciones de Lobachevski sobre geometra no euclideana fue el axioma de las paralelas de Euclides, sin demostracin durante siglos. Lobachevski, que inicialmente intent demostrar dicho axioma, rpidamente se dio cuenta que ello era imposible, sustituyendo dicho axioma por su negacin: a travs de un punto no contenido en una recta se puede trazar ms de una paralela que yace en el mismo plano que la primera. El ao 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta geometra no euclideana o lobachevskiana, siendo en ese ao cuando el autor present muchos de los trabajos que avalaban la nueva teora. En 1829 Janos Bolyai (1802-1860) lleg a la misma conclusin a la que haba llegado Lobachevski. E incluso el mismo Gauss que apoyaba y elogiaba a escondidas, nunca de forma pblica, los trabajos de Bolyai y Lobachevski, es posible que mantuviera los mismos puntos de vista pero los call por temor a comprometer su reputacin cientfica. La geometra no euclideana continu siendo durante varias dcadas un aspecto marginal de la matemtica, hasta que se integr en ella completamente gracias a las concepciones extraordinariamente generales de Rieman.

LGEBRA Y ARITMTICAEn la antigedad, el lgebra fue una parte inseparable de la Aritmtica, ms tarde se separ de ella. sta es la razn por la que en gran parte de la literatura cientfica a la hora de estudiar ambas ramas se hace de una manera conjunta. La aritmtica ser la ciencia que se ocupa de los objetos concretos, esto es, de los nmeros. En cambio el lgebra es, en esencia, la doctrina de las operaciones matemticas analizadas desde un punto de vista abstracto y genrico, independientemente de los nmeros o objetos concretos.

El concepto de nmero surgi como consecuencia de la necesidad prctica de contar objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras... (basta recordar por ejemplo, que la palabra clculo deriva de la palabra latina calculus que significa contar con piedras). La serie de nmeros naturales era, obviamente, limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de nmeros representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemtica moderna. Paralelamente a la ampliacin de los nmeros se desarroll su simbologa y los sistemas de numeracin, diferentes para cada civilizacin. Los egipcios desarrollaron el llamado "sistema de numeracin jeroglfico", que consista en denominar cada uno de los "nmeros clave" (1, 10, 100, 1000...) por un smbolo (palos, lazos, figuras humanas en distintas posiciones...). Los dems nmeros se formaban aadiendo a un nmero u otro del nmero central uno o varios de estos nmeros clave. Un sistema de numeracin posterior a ste, pero de similares caractersticas sera el sistema de numeracin romano. Tambin crearon fracciones, pero slo como divisores de la unidad, esto es, de la forma 1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estas fracciones. Aparecen tambin durante la expansin de esta civilizacin los primeros mtodos de operaciones matemticas, todos ellos con carcter aditivo, para nmeros enteros y fracciones. Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde la incgnita x se denominaba "montn".

En la civilizacin mesopotmica utilizaron el sistema de numeracin posicional sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo smbolo poda representar indistintamente varios nmeros que se diferenciaban por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de notacin fraccionario, que permiti establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolucin y

simplificacin del mtodo fraccionario permiti el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemticos de pocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximacin de races cuadradas. Desarrollaron el concepto de nmero inverso, lo que simplific notablemente la operacin de la divisin. Encontramos tambin en esta poca los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas; pero sin duda la gran aportacin algebraica babilnica se centra en el campo de la potenciacin y en la resolucin de ecuaciones cuadrticas, tanto es as que llegaron a la solucin para ecuaciones de la forma y tambin mediante el cambio de variable t=ax. Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el clculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algortmos para el clculo de sumas de progresiones, tanto aritmticas como geomtricas. Su capacidad de abstraccin fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones Diofnticas, algunas de las cuales estn ntimamente unidas con conceptos geomtricos.

En la Antigua Civilizacin China el sistema de numeracin es el decimal jeroglfico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la divisin de fracciones se exige la previa reduccin de stas a comn denominador. Dieron por sentado la existencia de nmeros negativos, aunque nunca los aceptaron como solucin a una ecuacin. La contribucin algebraica ms importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un mtodo genrico de resolucin muy similar al que hoy conocemos como mtodo de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, tranformndolos en ceros de manera escalonada. Inventaron el "tablero de clculo", artilugio consistente en una coleccin de palillos de bamb de dos colores (un color para expresar los nmeros positivos y otro para los negativos) y que podra ser considerado como una especie de baco primitivo. Esta orientacin algortmica de las matemticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-econmicas de esta sociedad. Con el desarrollo del "mtodo del elemento celeste" se culmin el desarrollo del lgebra en China en la edad media. Este mtodo, desarrollado por Chou Shi Hi, permita encontrar races no slo enteras, sino tambin racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma . El mtodo del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos "mtodo de Horner", matemtico que vivi medio siglo ms tarde. Otro gran logro de la poca medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron

elementos slidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera similar a lo que hoy conocemos como tringulo de Tartaglia o Pascal.

Los primeros indicios matemticos de la civilizacin india se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C. y parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeracin posicional y decimal. Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C. cuando la contribucin a la evolucin de las matemticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). La caracterstica principal del desarrollo matemtico en esta cultura, es el predominio de las reglas aritmticas de clculo, destacando la correcta utilizacin de los nmeros negativos y la introduccin del cero, llegando incluso a aceptar como nmeros validos los nmeros irracionales. Profundizaron en la obtencin de reglas de resolucin de ecuaciones lineales y cuadrticas, en las cuales las races negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron tambin, sin duda para resolver problemas astronmicos, mtodos de resolucin de ecuaciones diofnticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la ecuacin , denominada ecuacin de Pelt. Matemticamente se considera indiscutible la procedencia hind del sistema de numeracin decimal y las reglas de clculo.

El helenismo nunca logr la unidad, ni en su poca de mximo apogeo ni cuando fue amenazado con la destruccin. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandra, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y nico cuya grandeza perdura hasta nuestros das. Este logro inslito se llama MATEMTICAS. En los matemticos de la poca helnica los problemas prcticos relacionados con las necesidades de clculos aritmticos, mediciones y construcciones geomtricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemticas que obtuvo la denominacin de "logstica". A la logstica fueron atribuidas: las operaciones con nmeros enteros, la extraccin numrica de races, el clculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, clculo con fracciones, resolucin numrica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2 grado, problemas prcticos de clculo y constructivos de la arquitectura, geometra, agrimensura, etc... Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitgoras se advierte un proceso de recopilacin de hechos matemticos abstractos y la unin de ellos en sistemas tericos. As por ejemplo, de la aritmtica fue separada en una rama independiente la teora de nmeros, es decir, el conjunto de conocimientos matemticos que se relacionan con las propiedades generales de las operaciones con nmeros naturales. En esta poca ya resultaban conocidos los

mtodos de sumacin de progresiones aritmticas simples. Se estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los nmeros; fueron introducidas las proporciones aritmticas, geomtricas y armnicas y diferentes medias: la aritmtica, la geomtrica y la armnica. Fue encontrado el mtodo de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de nmeros "pitagricos", esto es, ternas de nmeros que satisfacen la ecuacin a2+b2=c2. Se descubri de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la irracionalidad de la raz cuadrada de 2 por la va de reduccin al absurdo. Este descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboracin de la teora de la divisibilidad. La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teora matemtica general tanto para los nmeros racionales como para los irracionales. Paralelamente, al ampliarse el nmero de magnitudes medibles, debido a los nmeros irracionales, se origin una reformulacin de la geometra, dando lugar al lgebra geomtrica. Esta nueva rama inclua entre otros conceptos el mtodo de anexin de reas, el conjunto de proposiciones geomtricas que interpretaban las cantidades algebraicas, divisin urea, expresin de la arista de un poliedro regular a travs del dimetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el lgebra geomtrica estaba limitada a objetos de dimensin no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducan a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacan imposibles los problemas que no admitieran solucin mediante regla y comps. La historia sobre la resolucin de los tres problemas geomtricos clsicos (sobre la cuadratura del crculo, la triseccin de un ngulo, la duplicacin del cubo) est llena de ancdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cnicas, clculo aproximado del nmero pi, el mtodo de exhaucin como predecesor del clculo de lmites o la introduccin de curvas trascendentes. Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicion la necesidad de creacin de una teora general de las relaciones, teora cuyo fundamento inicial lo constituy el algoritmo de Euclides. En la poca del dominio romano destaca la evolucin en problemas de clculo, siendo necesario sealar la "Mtrica" de Hern de Alejandra, formulada en forma de recetario de reglas: regla de extraccin de races cuadradas y cbicas; clculo de reas y volmenes; y en especial la conocida frmula de Hern para calcular el rea del tringulo conocidos los tres lados. Igualmente son destacables los mtodos de Diofanto que encontr soluciones a ms de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente de segundo grado, denominadas ecuaciones diofnticas. Resumiremos afirmando que las matemticas de la Antigua Grecia, representan uno de los primeros ejemplos del establecimiento de las matemticas como ciencia, desarrollndose en su seno, dentro de ciertos lmites, los elementos de las ciencias matemticas ulteriores: lgebra, anlisis infinitesimal, geometra analtica, mecnica terica y el mtodo axiomtico.

Durante el primer siglo del Imperio Musulmn no se produjo ningn desarrollo cientfico, ya que los rabes, no haban conseguido el impulso intelectual necesario, mientras que el inters por el saber en el resto del mundo, haba desaparecido casi completamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenz el desenfrenado proceso de traducir al rabe todas las obras griegas conocidas. Se fundaron escuelas por todo el Imperio, entre las que destaca Bait Al-Hikma (Casa de la Sabidura). Entre los miembros de esta escuela destaca un nombre propio Mohammed ibn-Musa Al-Khowarizmi que escribi ms de media docena de obras matemticas y astronmicas, dos de las cuales han tenido especial importancia en la historia. La primera de ellas est basada en una traduccin rabe de Brahmagupta y en la que se da una reproduccin exacta del sistema de numeracin hind, lo que ha originado la creencia popular de que nuestro sistema de numeracin procede del rabe. El "nuevo" sistema de numeracin vino a ser conocido como "el de Al-Khowarizmi" y a travs de deformaciones lingsticas deriv en "algorismi" y despus en algoritmo, trmino que, actualmente, posee un significado mucho ms amplio. Igualmente, a travs del titulo de su obra ms importante, el Hisab al-jabr wa-al-muqabala, nos ha transmitido otro nombre mucho ms popular, la palabra "lgebra". En esta obra se estudian seis tipos de ecuaciones cuadrticas, as como un sin fin de elementos griegos. Con posterioridad a Al-Khuwarizmi se desarrollaron infinidad de procedimientos de clculo y algoritmos especiales, entre ellos:

obtencin del nmero pi con 17 cifras exactas mediante polgonos inscritos y circunscritos en la circinferencia realizada por Kashi (s. XV). Despus de ms de 150 aos, en 1593, en Europa, Vite encontr slo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir el clculo de Kashi. clculo de races por el mtodo conocido actualmente como de Ruffini-Horner, posiblemente como resultado de la estrecha colaboracin con los matematicos chinos. Adems fue advertida y expresada la serie del desarrollo binomial y fue tambin enunciada la tabla de coeficientes binomiales. extraccin aproximada de races, utilizando la interpolacin lineal. sumacin de progresiones aritmticas y geomtricas.

Asimismo, en virtud de la frecuente aplicacin en los clculos de las irracionalidades, el lmite entre los nmeros racionales y los irracionales comenz a difuminarse, amplindose la concepcin de nmero real positivo. La idea de una concepcin nica del nmero real obtuvo pues, en el oriente Medio cierto perfeccionamiento. Los trabajos algebraicos rabes entre los siglos IX-XV adems de la resolucin de ecuaciones de primer y segundo grado, incluan tambin las ecuaciones cbicas. A estas ltimas conducan diferentes tipos de problemas como la divisin de la esfera por un plano, la triseccin del ngulo, la bsqueda del lado de un polgono regular de 9 lados...

Otra direccin en la resolucin de ecuaciones cbicas, se basaba en la obtencin de la imagen geomtrica de la raz positiva, por medio de la interseccin de secciones cnicas, convenientemente elegidas. Sin embargo el gran defecto del lgebra de esta poca era la ausencia de una simbologa, lo que contuvo el desarrollo del lgebra.

En el continente europeo, las matemticas no tienen un origen tan antiguo como en muchos pases del Lejano y Medio Oriente, alcanzando slo xitos notorios en la poca del medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.

El punto de arranque de las matemticas en Europa fue la creacin de los centros de enseanza. Con anterioridad, tan solo algunos monjes se dedicaron a estudiar las obras de ciencias naturales y matemticas de los antiguos. Uno de los primeros centros de enseanza fue organizado en Reims (Francia) por Gerberto (Silvestre II) (940-1003). Fue posiblemente el primero en Europa que ense el uso de los numerales indo-arbigos. Sin embargo hubo que esperar a que los musulmanes rompieran la barrera lingstica, hacia el siglo XII, para que surgiera una oleada de traducciones que pusieran en marcha la maquinaria matemtica. El trabajo de los traductores fue sensacion