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Historia de las matemáticas www.librosmaravillosos.com Ian Stewart en los últimos 10.000 años 1 Preparado por Patricio Barros

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historia de las matemáticas

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  • Historia de las matemticas www.librosmaravillosos.com Ian Stewarten los ltimos 10.000 aos

    1 Preparado por Patricio Barros

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    2 Preparado por Patricio Barros

    Prefacio

    Las matemticas no nacieron plenamente formadas. Fueron hacindose gracias a

    los esfuerzos acumulativos de muchas personas que procedan de muchas culturas

    y hablaban diferentes lenguas. Ideas matemticas que se siguen utilizando hoy

    datan de hace ms de 4.000 aos.

    Muchos descubrimientos humanos son efmeros; el diseo de las ruedas de carro

    fue muy importante para el Reino Nuevo Egipcio, pero hoy da no es exactamente

    tecnologa de vanguardia. Las matemticas, por el contrario, suelen ser

    permanentes. Una vez que se ha hecho un descubrimiento matemtico est a

    disposicin de cualquiera, y con ello adquiere una vida propia. Las buenas ideas

    matemticas difcilmente pasan de moda, aunque la forma de implementarlas puede

    sufrir cambios espectaculares. Hoy seguimos utilizando mtodos para resolver

    ecuaciones que fueron descubiertas por los antiguos babilonios. Ya no utilizamos su

    notacin, pero el vnculo histrico es innegable.

    De hecho, la mayora de las matemticas que se ensean hoy en la escuela tienen

    ms de 200 aos.

    La inclusin de las matemticas modernas en los programas de estudio en los aos

    sesenta del siglo pasado llev la asignatura al siglo XIX. Pero, contra lo que pueda

    parecer, las matemticas no se han quedado quietas. Hoy da, se crean ms

    matemticas nuevas cada semana que las que los babilonios pudieron manejar en

    dos mil aos.

    El progreso de la civilizacin humana y el progreso de las matemticas han ido de la

    mano. Sin los descubrimientos griegos, rabes e hindes en trigonometra, la

    navegacin en ocanos abiertos hubiera sido una tarea an ms aventurada de lo

    que fue cuando los grandes marinos abrieron los seis continentes. Las rutas

    comerciales de China a Europa, o de Indonesia a las Amricas, se mantenan unidas

    por un invisible hilo matemtico.

    La sociedad de hoy no podra funcionar sin matemticas. Prcticamente todo lo que

    hoy nos parece natural, desde la televisin hasta los telfonos mviles, desde los

    grandes aviones de pasajeros hasta los sistemas de navegacin por satlite en los

    automviles, desde los programas de los trenes hasta los escneres mdicos, se

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    basa en ideas y mtodos matemticos. A veces son matemticas de mil aos de

    edad; otras veces son matemticas descubiertas la semana pasada. La mayora de

    nosotros nunca nos damos cuenta de que estn presentes, trabajando entre

    bastidores para facilitar esos milagros de la tecnologa moderna.

    Esto no es bueno: nos hace creer que la tecnologa funciona por magia, y nos lleva

    a esperar nuevos milagros cada da. Por otra parte, es tambin completamente

    natural: queremos utilizar estos milagros con tanta facilidad y tan poco esfuerzo

    mental como sea posible. El usuario no debera cargarse con informacin

    innecesaria sobre la maquinaria subyacente que hace posible los milagros. Si todos

    los pasajeros de un avin tuvieran que superar un examen de trigonometra antes

    de embarcar en el avin, pocos de nosotros dejaramos la tierra alguna vez. Y

    aunque eso podra reducir nuestra pisada de carbono, tambin hara nuestro mundo

    muy pequeo y provinciano.

    Escribir una historia de las matemticas verdaderamente completa es virtualmente

    imposible. La disciplina es ahora tan amplia, tan compleja y tan tcnica, que ni

    siquiera un experto podra entender por completo un libro semejante; dejando

    aparte el hecho de que nadie podra escribirlo. Morris Kline se acerc con su pico

    Pensamiento matemtico desde la antigedad hasta los tiempos modernos. Tiene

    ms de 1.200 pginas de letra pequea, y deja fuera casi todo lo que ha sucedido

    en los ltimos cien aos.

    Este libro es mucho ms corto, lo que quiere decir que he tenido que ser selectivo,

    especialmente en lo que se refiere a los siglos XX y XXI. Soy plenamente consciente

    de todos los temas importantes que he tenido que omitir. No hay geometra

    algebraica, ni teora de cohomologa, ni anlisis de elementos finitos, ni ondeletes.

    La lista de lo que falta es mucho ms larga que la lista de lo que se ha incluido.

    Mis elecciones se han guiado por lo que probablemente es la formacin bsica de los

    lectores y por la concisin con que pueden explicarse las nuevas ideas.

    La historia sigue aproximadamente un orden cronolgico dentro de cada captulo,

    pero los captulos estn ordenados por temas. Esto es necesario para darle una

    coherencia narrativa, si lo pusiera todo en orden cronolgico, la discusin saltara de

    forma aleatoria de un tema a otro, sin ningn sentido de direccin.

    Esto podra estar ms cerca de la historia real, pero hara el libro ilegible. Por eso,

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    cada nuevo captulo empieza con una vuelta al pasado, y luego toca algunos de los

    hitos histricos por los que pas la disciplina en su desarrollo. Los primeros

    captulos se detienen a mucha distancia en el pasado; los ltimos captulos recorren

    a veces todo el camino hasta el presente.

    He tratado de dar una idea de las matemticas modernas, por lo que entiendo

    cualquier cosa hecha en los ltimos 100 aos ms o menos, seleccionando temas de

    los que los lectores pueden haber odo hablar y relacionndolos con las tendencias

    histricas generales. La omisin de un tema no implica que carezca de importancia,

    pero creo que tiene ms sentido dedicar algunas pginas a hablar de la

    demostracin de Andrew Wiles del ltimo Teorema de Fermat de lo que la

    mayora de los lectores han odo hablar que, por ejemplo, a la geometra no-

    conmutativa, de la que tan slo el fundamento ocupara varios captulos.

    En definitiva, sta es una historia, no la historia. Y es historia en el sentido en que

    cuenta un relato sobre el pasado. No se dirige a historiadores profesionales, no hace

    las finas distinciones que ellos creen necesarias, y a veces describe ideas del pasado

    a travs de los ojos del presente. Esto ltimo es el pecado capital para un

    historiador, porque hace que parezca que los antiguos estaban luchando por llegar a

    nuestro modo de pensamiento actual. Pero creo que es defendible y esencial si el

    objetivo principal es partir de lo que ahora sabemos y preguntar de dnde proceden

    dichas ideas. Los griegos no estudiaron la elipse para hacer posible la teora de las

    rbitas planetarias de Kepler, ni Kepler formul sus tres leyes del movimiento

    planetario para que Newton las convirtiera en su ley de la gravedad. Sin embargo,

    la historia de la ley de Newton se basa firmemente en el trabajo griego sobre la

    elipse y el anlisis de Kepler de los datos observacionales.

    Un subtema del libro son los usos prcticos de las matemticas. Aqu he ofrecido

    una muestra muy eclctica de aplicaciones, pasadas y presentes. Una vez ms, la

    omisin de un tema no indica que carezca de importancia.

    Las matemticas tienen una historia larga y gloriosa aunque algo olvidada, y la

    influencia de la disciplina sobre el desarrollo de la cultura humana ha sido inmensa.

    Si este libro transmite una minscula parte de la historia, habr alcanzado lo que yo

    me propuse.

    Coventry

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    Mayo De 2007

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    Captulo 1

    Fichas, cuentas y tablillas

    El nacimiento de los nmeros

    Las matemticas empezaron con los nmeros, y los nmeros

    siguen siendo fundamentales, incluso si la disciplina ya no se

    limita a los clculos numricos. Sobre la base de los nmeros, las

    matemticas han construido conceptos ms sofisticados y se han

    desarrollado hasta constituir un rea muy amplia y variada del

    pensamiento humano, que va mucho ms all de lo que

    encontramos en un tpico temario escolar. Las matemticas de

    hoy tratan ms de estructuras, pautas y formas que de los

    propios nmeros. Sus mtodos son muy generales, y a menudo

    muy abstractos. Tienen aplicaciones en la ciencia, la industria, el

    comercio..., incluso las artes. Las matemticas son universales y

    ubicuas.

    Empez con nmeros

    Durante muchos miles de aos, matemticos de muchas y diferentes culturas han

    creado una enorme superestructura cimentada en los nmeros: geometra, clculo

    infinitesimal, dinmica, probabilidad, topologa, caos, complejidad, etc. La revista

    Mathematical Reviews, que registra cada nueva publicacin matemtica, clasifica la

    disciplina en casi un centenar de reas mayores, subdivididas en varios miles de

    especialidades. Hay ms de 50.000 matemticos investigadores en el mundo, que

    publican ms de un milln de pginas de

    matemticas nuevas cada ao. Matemticas

    genuinamente nuevas, no slo pequeas variaciones sobre resultados ya existentes.

    Los matemticos tambin han investigado en los fundamentos lgicos de su

    disciplina, y han descubierto conceptos an ms fundamentales que los nmeros:

    lgica matemtica, teora de conjuntos. Pero, una vez ms, la motivacin principal,

    el punto de partida del que fluye todo lo dems, es el concepto de nmero.

    Los clculos con nmeros pueden ser duros; obtener el nmero correcto puede ser

    difcil. Incluso as, es mucho ms fcil utilizar nmeros que especificar qu son

    Los nmeros parecen muy simples y

    directos, pero las apariencias engaan.

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    realmente. Los nmeros cuentan cosas, pero no son cosas: podemos coger dos

    tazas, pero no podemos coger el nmero dos.

    Los nmeros se denotan por smbolos, pero no son smbolos: diferentes culturas

    utilizan diferentes smbolos para el mismo nmero. Los nmeros son abstractos, y

    sin embargo nuestra sociedad se basa en ellos y no funcionara sin ellos. Los

    nmeros son una construccin mental, y sin embargo tenemos la sensacin de que

    seguiran teniendo significado incluso si la humanidad fuera barrida por una

    catstrofe mundial y no quedara ninguna mente para contemplarlos.

    Las primeras marcas

    La historia de las matemticas empieza con la invencin de smbolos escritos para

    denotar nmeros. Nuestro familiar sistema de dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

    para representar todos los nmeros imaginables, por grandes que sean, es una

    invencin relativamente reciente; naci hace unos 1.500 aos, y su extensin a los

    decimales, que nos permite representar nmeros con alta precisin, no tiene ms

    de 450 aos. Los computadores, que han introducido los clculos matemticos en

    nuestra cultura de forma tan profunda que ya no notamos su presencia, llevan con

    nosotros tan slo unos 50 aos.

    Y slo hace 20 aos que disponemos de computadores suficientemente potentes y

    rpidos para servirnos en nuestros hogares.

    Sin nmeros, la civilizacin tal como ahora la conocemos no podra existir. Los

    nmeros estn por todas partes, como sirvientes ocultos que corren de un lado a

    otro entre bastidores: llevan mensajes, corrigen nuestra ortografa cuando

    escribimos a mquina, programan nuestros vuelos de vacaciones al Caribe, llevan el

    registro de nuestros bienes, garantizan que nuestros medicamentos sean seguros y

    efectivos. Y, en contrapartida, hacen posibles las armas nucleares y guan bombas y

    misiles hacia sus objetivos.

    No todas las aplicaciones de las matemticas han mejorado la condicin humana.

    Cmo surgi esta industria numrica verdaderamente enorme?

    Incluso entonces, los contables ya estaban registrando quin era el propietario de

    qu, y de cunto; incluso si todava no se haba inventado la escritura y no haba

    smbolos para los nmeros. En lugar de smbolos numerales, aquellos contables

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    antiguos utilizaban pequeas fichas de arcilla. Unas eran conos, otras eran esferas y

    otras tenan forma de huevos.

    Haba cilindros, discos y pirmides. La

    arqueloga Denise Schhmandt-Besserat dedujo

    que estas fichas representaban productos bsicos de la poca. Las esferas de arcilla

    representaban fanegas de grano, los cilindros representaban animales, los huevos

    jarras de aceite. Las fichas ms antiguas datan del 8.000 a.C. y fueron de uso

    comn durante 5.000 aos.

    El hueso de Ishango, con las pautas de marcas y los nmeros que pueden

    representar

    Con el paso del tiempo, las fichas se hicieron ms elaboradas y ms especializadas.

    Haba conos decorados para representar barras de pan, y tabletas en forma de

    Todo empez con pequeas fichas de

    arcilla, hace 10.000 aos en el Prximo

    Oriente.

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    diamante para representar cerveza. Schmandt-Besserat se dio cuenta de que estas

    fichas eran mucho ms que un artificio de contabilidad. Eran un primer paso vital en

    el camino hacia los smbolos numerales, la aritmtica y las matemticas. Pero ese

    paso inicial fue bastante extrao, y parece dado por accidente.

    Izquierda. Las marcas de cuenta tienen la ventaja de que pueden ir aadindose de

    una en una, durante largos periodos, sin alterar o borrar marcas anteriores. Se

    siguen utilizando hoy, a menudo en grupos de cinco con el quinto trazo cruzando

    diagonalmente los cuatro anteriores. Derecha. La presencia de marcas de cuenta

    an puede verse en los numerales modernos. Nuestros smbolos 1,2, 3 se derivan,

    respectivamente, de un solo trazo, dos trazos horizontales unidos por una lnea

    inclinada, y tres trazos horizontales unidos por una lnea inclinada

    Se dio porque las fichas se utilizaban para llevar registros, quiz con fines

    impositivos o financieros, o como prueba legal de propiedad. Las fichas tenan la

    ventaja de que los contables podan ordenarlas rpidamente para calcular cuntos

    animales o cunto grano posea o deba alguien. El inconveniente era que las fichas

    podan ser falsificadas. As que para asegurar que nadie interfera en las cuentas,

    los contables guardaban las fichas en recipientes de arcilla, como si estuvieran

    precintadas. Podan descubrir rpidamente cuntas fichas, y de qu tipo, haba

    dentro de un recipiente dado rompindolo. Siempre podan hacer un nuevo

    recipiente para un almacenamiento posterior.

    Sin embargo, romper repetidamente un recipiente y renovarlo era una forma muy

    poco eficaz de descubrir lo que haba dentro, y los burcratas de la antigua

    Mesopotamia pensaron algo mejor. Inscribieron smbolos en el recipiente que hacan

    una lista de las fichas que contena. Si haba dentro siete esferas, los contables

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    dibujaban siete esferas en la arcilla hmeda de la vasija.

    En algn momento los burcratas mesopotmicos se dieron cuenta de que, una vez

    que haban dibujado los smbolos en el exterior del recipiente, ya no necesitaban los

    contenidos, y ya no tenan que romper el recipiente para ver qu fichas haba

    dentro.

    Este paso obvio pero crucial dio lugar a un conjunto de smbolos numerales escritos,

    con diferentes formas para diferentes clases de bienes. Todos los dems smbolos

    numerales, incluidos los que hoy utilizamos, son los descendientes intelectuales de

    este antiguo artificio burocrtico. De hecho, es posible que la sustitucin de fichas

    por smbolos haya constituido tambin el nacimiento de la propia escritura.

    Marcas de cuenta

    Estas marcas de arcilla no eran ni mucho menos los ms antiguos ejemplos de

    escritura numeral, pero todos los ejemplos anteriores son poco ms que rayas,

    marcas de cuenta, que registran nmeros como una serie de trazos, tales como

    | | | | | | | | | | | | |

    para representar el nmero 13. Las marcas ms viejas conocidas de este tipo, 29

    muescas grabadas en un hueso de pata de babuino, tienen unos 37.000 aos. El

    hueso se encontr en una cueva en las montaas Lebombo, en la frontera entre

    Swazilandia y Sudfrica, por lo que la cueva se conoce como la Cueva de la

    Frontera, y el hueso es el hueso de Lebombo. A falta de una mquina del tiempo, no

    hay modo de estar seguros de lo que representan las marcas, pero podemos hacer

    conjeturas informadas. Un mes lunar tiene 28 das, de modo es posible que las

    muescas estn relacionadas con las fases de la Luna.

    Hay reliquias similares de la Europa antigua. Un hueso de lobo encontrado en la

    antigua Checoslovaquia tiene 57 marcas dispuestas en once grupos de cinco con

    dos sueltas, y tiene unos 30.000 aos. Dos veces 28 es 56, de modo que esto

    podra ser un registro lunar de dos meses. Una vez ms, parece que no hay modo

    de comprobar esta sugerencia. Pero las marcas parecen deliberadas, y debieron

    hacerse por alguna razn.

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    Otra antigua inscripcin matemtica, el hueso de Ishango en Zaire, tiene 25.000

    aos (estimaciones previas de 6.000-9.000 aos fueron revisadas en 1995). A

    primera vista las marcas a lo largo del borde del hueso parecen hechas casi al azar,

    pero quiz haya pautas ocultas. Una fila contiene los nmeros primos entre 10 y 20,

    a saber, 11, 13, 17 y 19, cuya suma es 60. Otra hilera contiene 9, 11, 19 y 21, que

    tambin suman 60. La tercera hilera recuerda un mtodo utilizado a veces para

    multiplicar dos nmeros por duplicacin y por divisin por dos repetida. Sin

    embargo, las pautas aparentes pueden ser una simple coincidencia, y tambin se ha

    sugerido que el hueso de Ishango es un calendario lunar.

    Las marcas de cuenta tienen la ventaja de que pueden irse aadiendo de una en

    una, durante largos periodos, sin alterar o borrar marcas anteriores. Se siguen

    utilizando hoy, a menudo en grupos de cinco con el quinto trazo cruzando

    diagonalmente los cuatro anteriores.

    La presencia de marcas de cuenta es profunda, y an puede verse en los numerales

    modernos. Nuestros smbolos 1, 2, 3 se derivan, respectivamente, de un solo trazo,

    dos trazos horizontales unidos por una lnea inclinada, y tres trazos horizontales

    unidos por una lnea inclinada.

    Las marcas se convierten en numerales

    El camino histrico desde las fichas de los contables a los numerales modernos es

    largo e indirecto. Con el paso de los milenios, los pueblos de Mesopotamia

    desarrollaron la agricultura, y su forma de vida nmada dio paso a un asentamiento

    permanente en una serie de ciudades-estado: Babilonia, Erido, Lagash, Sumer, Ur.

    Los primitivos smbolos inscritos en tablillas de arcilla hmeda se transformaron en

    pictogramas smbolos que representan palabras mediante imgenes simplificadas

    de lo que las palabras significan y posteriormente los pictogramas se simplificaron

    y quedaron reducidos a un pequeo nmero de marcas con forma de cua, que se

    impriman en la arcilla utilizando un estilete seco con un extremo plano y afilado.

    Podan hacerse diferentes tipos de cuas manejando el estilete de diferentes

    maneras. Hacia el 3.000 a.C. los sumerios haban desarrollado una elaborada forma

    de escritura, ahora llamada cuneiforme: en forma de cua.

    La historia de este periodo es complicada; diferentes ciudades se hicieron

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    dominantes en tiempos diferentes. La ciudad de Babilonia, en particular, alcanz

    gran importancia, y aproximadamente un milln de tablillas de arcilla babilnicas

    han sido extradas de las arenas mesopotmicas. Unos pocos cientos de ellas tratan

    de matemticas y astronoma, y muestran que los babilonios tenan un amplio

    conocimiento de ambas disciplinas. En particular, eran astrnomos expertos y

    desarrollaron un simbolismo sistemtico y sofisticado para los nmeros con el que

    podan representar datos astronmicos con alta precisin.

    Los smbolos numerales babilnicos van mucho ms all de un simple sistema de

    recuento, y son los ms antiguos smbolos conocidos en hacerlo.

    Se utilizan dos tipos diferentes de cua: una cua delgada y vertical para

    representar el numero 1, y una cua gruesa horizontal para el nmero 10.

    Estas cuas se disponan en grupos para indicar los nmeros 2-9 y 20-50.

    Sin embargo, esta pauta se detiene en 59, y la cua delgada toma entonces un

    segundo significado, el nmero 60.

    Se dice por ello que el sistema de numeracin babilnico es de base 60, o

    sexagesimal. Es decir, el valor de un smbolo puede ser un nmero, o 60 veces

    dicho nmero, o 60 veces 60 veces dicho nmero, dependiendo de la posicin del

    smbolo. En esto es similar a nuestro familiar sistema decimal, en el que el valor de

    un smbolo se multiplica por 10, o por 100, o por 1.000, dependiendo de su

    posicin. En el nmero 777, por ejemplo, el primer 7 significa siete cientos, el

    segundo significa setenta y el tercero significa siete.

    Para un babilonio, una serie de tres repeticiones del smbolo para 7

    tendra un significado diferente, aunque basado en un principio similar. El primer

    smbolo significara 7 x 60 x 60, o 25.200; el segundo significara 7 x 60 = 420; el

    tercero significara 7. Por lo tanto, el grupo de tres significara 25.200 + 420 + 7,

    que es 25.627 en nuestra notacin. An pueden encontrarse hoy reliquias de los

    nmeros babilonios de base 60.

    Los 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora y 360 grados en un crculo

    completo se remontan a la antigua Babilonia.

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    Smbolos babilnicos para los nmeros 1-59

    Puesto que es difcil escribir a mquina en cuneiforme, los estudiosos escriben los

    numerales babilnicos utilizando una mezcla de nuestra notacin de base 10 y su

    notacin de base 60. As, las tres repeticiones del smbolo cuneiforme para 7 se

    escribirn como 7, 7, 7.Y algo como 23, 11, 14 indicar los smbolos babilnicos

    para 23, 11 y 14 escritos en orden, con el valor numrico (23 x 60 x 60) + (11 x

    60) + 14, lo que da 83.474 en nuestra notacin.

    Los babilonios

    Nosotros no slo utilizamos diez smbolos para representar nmeros arbitrariamente

    grandes: tambin utilizamos los mismos smbolos para representar nmeros

    arbitrariamente pequeos. Para hacerlo empleamos la coma decimal. Los dgitos

    a la izquierda de la coma representan nmeros enteros; los que estn a la derecha

    de la coma representan fracciones. Fracciones especiales son los mltiplos de una

    dcima, una centsima y as sucesivamente. Por lo tanto 25,47, pongamos por

    caso, significa 2 decenas + 5 unidades + 4 dcimas + 7 centsimas.

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    Los babilonios conocan este truco y lo utilizaron con un efecto extraordinario en sus

    observaciones astronmicas. Los estudiosos denotan al equivalente babilnico de la

    coma decimal por un punto y coma (;), pero sta es una coma sexagesimal y los

    mltiplos a su derecha son mltiplos de 1/60, (1/60 x 1/60) = 1/3600 y as

    sucesivamente. Como ejemplo, la lista de nmeros 12, 59; 57, 17 significa

    12 x 60 + 59 + 57/60 + 17/3600

    que es aproximadamente 779,955.

    Se conocen casi 2.000 tablillas babilnicas con informacin astronmica, aunque

    muchas de stas son pura rutina, consistentes en descripciones de maneras de

    predecir eclipses, tablas de sucesos astronmicos regulares y breves extractos.

    Unas 300 tablillas son ms ambiciosas y ms excitantes; tabulan observaciones del

    movimiento de Mercurio, Marte, Jpiter y Saturno, por ejemplo.

    Por fascinante que pueda ser, la astronoma babilnica es algo tangencial a nuestra

    historia principal, que es la de las matemticas puras babilnicas. Pero parece

    probable que la aplicacin a la astronoma fuera un acicate para la bsqueda de las

    reas ms cerebrales de dicha disciplina. Por ello es justo reconocer cun precisos

    eran los astrnomos babilonios cuando se trataba de observar sucesos celestes. Por

    ejemplo, encontraron que el periodo orbital de Marte (estrictamente, el tiempo

    transcurrido entre apariciones sucesivas en la misma posicin en el cielo) era 12,

    59; 57, 17 das en su notacin, aproximadamente 779,955 das, como ya se ha

    sealado.

    La cifra moderna es 779,936 das.

    Para qu les servan los nmeros

    La tabla babilnica de Jpiter: Los babilonios utilizaban su sistema de numeracin

    para el comercio y la contabilidad cotidiana, pero tambin lo utilizaban para un fin

    ms sofisticado: la astronoma. Para esto, la capacidad de su sistema para

    representar nmeros fraccionarios con gran precisin era esencial. Varios

    centenares de tablillas registran datos planetarios. Entre ellas hay una nica tablilla,

    muy daada, que detalla el movimiento diario del planeta Jpiter durante un

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    periodo de unos 400 das. Fue escrita en la misma Babilonia, alrededor del 163 a.C.

    Una entrada tpica de la tablilla lista los nmeros

    126 8 16; 6, 46, 58 -0;0,45,18

    -0;0,11,42 +0;0,0,10,

    que corresponden a varias cantidades empleadas para calcular la posicin del

    planeta en el cielo. Ntese que los nmeros se escriben con tres lugares

    sexagesimales, ligeramente mejor que cinco cifras decimales.

    Tabla babilnica de Jpiter

    Los antiguos egipcios

    Quiz la ms grande de las civilizaciones antiguas fue la de Egipto, que floreci en

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    las orillas del Nilo y en el Delta del Nilo entre el 3150 a.C. y el 31 a.C., con un

    extenso periodo predinstico anterior que se extiende hacia atrs hasta el 6000

    a.C. y un declive gradual bajo el dominio romano del 3 1 a.C. en adelante. Los

    egipcios eran constructores consumados, tenan un sistema muy desarrollado de

    creencias y ceremonias religiosas y eran registradores obsesivos. Pero sus logros

    matemticos eran modestos comparados con las alturas alcanzadas por los

    babilonios.

    El antiguo sistema egipcio para escribir nmeros naturales es muy simple y directo.

    Hay smbolos para los nmeros 1, 10, 100, 1.000, y as sucesivamente. Repitiendo

    estos smbolos hasta nueve veces, y combinando luego los resultados, se puede

    representar cualquier nmero natural. Por ejemplo, para escribir el nmero 5.724

    los egipcios agruparan cinco de sus smbolos para 1.000, siete smbolos para 100,

    dos smbolos para 10 y cuatro smbolos para 1.

    Smbolos numerales egipcios

    Las fracciones provocaban graves dolores de cabeza a los egipcios. En diversos

    perodos utilizaron varias notaciones diferentes para fracciones. En el Reino Antiguo

    (2.700-2.200 a.C.), una notacin especial para nuestras fracciones 1/2, 1/4, 1/8,

    1/16, 1/32 y 1/64 se obtena por divisin por dos repetida. Estos smbolos utilizaban

    partes del jeroglfico ojo de Horus u ojo de la cobra.

    El sistema egipcio ms conocido para las fracciones fue ideado durante el Reino

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    17 Preparado por Patricio Barros

    Medio (2.200-1.700 a.C.). Empieza con una notacin para cualquier fraccin de la

    forma 1 /n, donde n es un entero positivo. El smbolo (el jeroglfico para la

    letra R) se escribe sobre los smbolos egipcios estndar para n. Por ejemplo, 1 /n se

    escribe . Las dems fracciones se expresan entonces aadiendo varias de estas

    fracciones unidad. Por ejemplo,

    5/6 = 1/2 + 1/3.

    Es interesante que los egipcios no escriban 2/5 como 1/5 + 1/5. Parece que su

    regla era: utilizar fracciones unidad distintos. Haba tambin notaciones diferentes

    para algunas de las fracciones ms simples, tales como 1/2, 2/3 y 3/4.

    La notacin egipcia para las fracciones era engorrosa y muy poco adecuada para el

    clculo. Les serva bastante bien en los registros oficiales, pero fue casi

    completamente ignorada por las culturas posteriores.

    El nmero 5724 en jeroglficos egipcios

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    18 Preparado por Patricio Barros

    Fracciones especiales formadas con partes del ojo de la cobra

    Smbolos especiales para fracciones especiales

    Nmeros y personas

    Guste o no la aritmtica, no se pueden negar los profundos efectos que han tenido

    los nmeros en el desarrollo de la civilizacin humana. La evolucin de la cultura y

    la de las matemticas han ido de la mano durante los ltimos cuatro milenios. Sera

    difcil desenredar causa y efecto; yo dudara en argumentar que la innovacin

    matemtica impulsa el cambio cultural, o que las necesidades culturales determinan

    la direccin del progreso matemtico. Pero ambas afirmaciones contienen algo de

    verdad, porque matemticas y cultura evolucionan conjuntamente.

    Hay, no obstante, una diferencia significativa. Los cambios culturales estn muy en

    la superficie. Los nuevos tipos de vivienda, las nuevas formas de transporte,

    incluso los nuevos modos de organizar las burocracias gubernamentales, son

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    19 Preparado por Patricio Barros

    relativamente obvios para todo ciudadano. Las matemticas, sin embargo, tienen

    lugar fundamentalmente entre bastidores. Cuando los babilonios utilizaban sus

    observaciones astronmicas para predecir eclipses solares, por ejemplo, el

    ciudadano medio quedaba impresionado por la precisin con que los sacerdotes

    predecan estos sucesos sorprendentes, incluso si la mayora de los sacerdotes

    tenan poca o ninguna idea de los mtodos empleados. Ellos saban cmo leer

    tablillas que listaban datos de eclipses, pero lo que importaba era cmo utilizarlos.

    Cmo se haban construido era un arte arcano, que quedaba para los especialistas.

    Algunos sacerdotes pueden haber tenido una buena educacin matemtica todos

    los escribas instruidos la tenan, y los sacerdotes instruidos tomaban, en sus

    primeros aos, prcticamente las mismas lecciones que los escribas, pero una

    apreciacin de las matemticas no era realmente necesaria para disfrutar de los

    beneficios que surgan de los nuevos descubrimientos en la disciplina. As ha sido

    siempre y, sin duda, as seguir siendo. Los matemticos apenas reciben crdito por

    cambiar nuestro mundo. Cuntas veces vemos todo tipo de milagros modernos

    atribuidos a los computadores, sin la ms mnima apreciacin de que los

    computadores slo trabajan eficazmente si son programados para utilizar

    sofisticados algoritmos procedimientos para resolver problemas y que la base

    de todos los algoritmos est en las matemticas?

    Las matemticas ms visibles son las relacionadas con la aritmtica, pero la

    invencin de las calculadoras de bolsillo, las cajas registradoras que suman cunto

    hay que pagar, y los programas de pago de impuestos que nos hacen las cuentas,

    estn ocultando cada vez ms a la aritmtica entre bastidores. Pese a todo, la

    mayora de nosotros somos conscientes de que la aritmtica est all. Dependemos

    por completo de los nmeros, ya sea para seguir las obligaciones legales, recaudar

    impuestos, comunicar instantneamente con el otro lado del planeta, explorar la

    superficie de Marte o evaluar el ltimo medicamento maravilloso. Todas estas cosas

    se remontan a la antigua Babilonia y a los escribas y maestros que descubrieron

    maneras eficaces de registrar nmeros y calcular con ellos. Aqullos utilizaban sus

    habilidades aritmticas con dos fines principales: asuntos cotidianos y mundanos de

    los seres humanos ordinarios, tales como la contabilidad y la medida de tierras, y

    actividades intelectuales como predecir eclipses o registrar los movimientos del

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    20 Preparado por Patricio Barros

    planeta Jpiter a travs del cielo nocturno.

    Hoy hacemos lo mismo. Utilizamos matemticas sencillas, poco ms que aritmtica,

    para centenares de tareas minsculas: cunto tratamiento antiparsitos poner en el

    estanque de un jardn, cuntos rollos de

    papel de pared tenemos que comprar

    para empapelar el dormitorio o si

    ahorraremos dinero yendo un poco ms

    lejos en busca de gasolina ms barata. Y nuestra cultura utiliza matemticas

    sofisticadas para la ciencia, la tecnologa y, cada vez ms, tambin para el

    comercio. La invencin de la notacin numeral y la aritmtica figuran, junto a las

    del lenguaje y la escritura, como unas de las innovaciones que nos transformaron

    de monos adiestrables en seres humanos genuinos.

    Para qu nos sirven los nmeros

    La mayora de ios modernos automviles de gama alta estn ahora equipados con

    navegacin por satlite, y sistemas individuales de navegacin por satlite pueden

    comprarse a un precio relativamente barato. Un pequeo dispositivo, acoplado a

    nuestro automvil, nos dice dnde estamos exactamente en cualquier momento y

    nos presenta un mapa a menudo con espectaculares grficos en colores y con

    perspectivas que muestra las carreteras vecinas. Un sistema de voz puede incluso

    decirnos por dnde ir para llegar a un destino especificado. Si esto suena como algo

    sacado de la ciencia ficcin, lo es. Un componente esencial, que no es parte de la

    pequea caja acoplada al automvil, es el sistema de posicionamiento global (GPS),

    que comprende 24 satlites que orbitan alrededor de la Tierra (a veces ms, cuando

    se lanzan los satlites de reemplazo). Estos satlites envan seales, y estas seales

    pueden utilizarse para deducir la posicin del automvil con un margen de unos

    pocos metros.

    Las matemticas entran en juego en muchos aspectos de la red GPS, pero aqu

    mencionamos slo uno: cmo se utilizan las seales para calcular la posicin del

    automvil.

    Las seales de radio viajan a la velocidad de la luz, que es aproximadamente

    300.000 kilmetros por segundo. Un computador a bordo del automvil un chip

    La evolucin de la cultura y la de las matemticas

    han ido de la mano durante los ltimos cuatro

    milenios.

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    21 Preparado por Patricio Barros

    en la caja que compramos puede calcular la distancia del automvil a cualquier

    satlite dado si conoce cunto ha tardado la seal en viajar desde el satlite al

    automvil.

    Este tiempo es normalmente del orden de una dcima de segundo, pero ahora es

    fcil medirlo de forma precisa. El truco consiste en estructurar la seal de modo que

    contenga informacin sobre el tiempo.

    En efecto, el satlite y el receptor en el automvil cantan una misma cancin, y

    comparan su comps. Las notas procedentes del satlite irn ligeramente

    retrasadas respecto a las producidas en el automvil. En esta analoga, las letras

    podran ir as:

    Automvil una paloma, trtala con cario que es...

    Satlite si a tu ventana llega una paloma...

    Aqu la cancin del satlite va unas tres palabras detrs de la misma cancin en el

    automvil. Satlite y receptor deben generar la misma cancin, y notas

    sucesivas deben ser identificables, de modo que la diferencia de tiempo es fcil de

    observar.

    Por supuesto, el sistema de navegacin por satlite no utiliza realmente una

    cancin. La seal consiste en una serie de pulsos breves cuya duracin est

    determinada por un cdigo pseudo- aleatorio. ste consiste en una secuencia de

    nmeros que parece aleatoria pero que realmente est basada en una regla

    matemtica. Tanto el satlite como el receptor conocen la regla, de modo que

    pueden generar la misma secuencia de pulsos.

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    22 Preparado por Patricio Barros

    Captulo 2

    La lgica de la forma

    Los primeros pasos en geometra

    En matemticas hay dos tipos principales de razonamiento: el

    simblico y el visual. El razonamiento simblico tuvo su origen en la

    notacin numeral, y pronto veremos cmo llev a la invencin del

    lgebra, en cuyos smbolos pueden representarse nmeros

    abstractos (la incgnita) antes que concretos (7).

    A partir de la Edad Media las matemticas se basaron cada vez ms

    en el uso de smbolos, como confirmar una ojeada a cualquier libro

    de texto moderno de matemticas.

    Los comienzos de la geometra

    Adems de smbolos, los matemticos usan diagramas, lo que abre varios tipos de

    razonamiento visual. Las imgenes son menos formales que los smbolos, y por esta

    razn su uso ha sido mal visto a veces. Hay una sensacin ampliamente extendida

    de que una imagen es de algn modo menos rigurosa, lgicamente hablando, que

    un clculo simblico. Es cierto que las imgenes dejan ms lugar para diferencias de

    interpretacin que los smbolos. Adems, las imgenes pueden contener hiptesis

    ocultas: no podemos dibujar un tringulo general; cualquier tringulo que

    dibujemos tendr un tamao y una forma particulares, que quiz no sean

    representativos de un tringulo arbitrario. Sin embargo, la intuicin visual es una

    caracterstica tan poderosa del cerebro humano que las imgenes desempean un

    papel destacado en matemticas. De hecho, despus del nmero, introducen un

    segundo concepto importante en la disciplina: la forma.

    La fascinacin de los matemticos por las formas se remonta a muy atrs. Existen

    diagramas en las tablillas de arcilla babilnicas. Por ejemplo, la tablilla catalogada

    como YBC 7289 muestra un cuadrado y dos diagonales. Los lados del cuadrado

    estn marcados con numerales cuneiformes para 30.

    Sobre una diagonal est marcado 1;24,51,10 y debajo de ella 42;25,35, que es su

    producto por 30 y, por lo tanto, la longitud de dicha diagonal. De modo que 1; 24,5

    1,10 es la longitud de la diagonal de un cuadrado ms pequeo, con lados unidad.

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    23 Preparado por Patricio Barros

    El teorema de Pitgoras nos dice que esta diagonal es la raz cuadrada de 2, que

    escribimos 2. La aproximacin 1; 24, 51, 10 para 2 es muy buena.

    Tablilla YBC 7269 y sus numerales cuneiformes

    El primer uso sistemtico de diagramas, junto con un uso limitado de smbolos y

    una fuerte dosis de lgica, se da en los escritos geomtricos de Euclides de

    Alejandra. La obra de Euclides segua una tradicin que se remontaba al menos al

    culto pitagrico, que floreci alrededor del 500 a.C., pero Euclides insista en que

    cualquier enunciado matemtico debe tener una demostracin lgica antes de que

    pueda asumirse como verdadero. Por ello los escritos de Euclides combinan dos

    innovaciones distintas: el uso de figuras y la estructura lgica de las

    demostraciones. Durante siglos la palabra geometra estuvo estrechamente

    asociada con ambas.

    En este captulo vamos a seguir la historia de la geometra desde Pitgoras,

    pasando por Euclides y su precursor Eudoxo, hasta el periodo final de la Grecia

    clsica y los sucesores de Euclides, Arqumedes y Apolonio. Estos primeros

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    24 Preparado por Patricio Barros

    gemetras prepararon el camino para todo el trabajo posterior sobre pensamiento

    visual en matemticas. Tambin fijaron cnones de demostracin lgica que no

    fueron superados durante milenios.

    Pitgoras

    Hoy casi damos por supuesto que las matemticas ofrecen una clave para las leyes

    subyacentes en la Naturaleza. La primera reflexin sistemtica en esta lnea de la

    que hay noticia procede de los pitagricos, un culto ms bien mstico que data

    aproximadamente del 600 a.C. al 400 a.C. Su fundador, Pitgoras, naci en Samos

    alrededor del 569 a.C. Cundo y dnde muri es un misterio, pero en el 460 a.C. el

    culto que l fund fue atacado y destruido, y sus lugares de reunin asaltados y

    quemados. En uno de ellos, la casa de Miln de Crotona, fueron masacrados ms de

    cincuenta pitagricos.

    Muchos supervivientes huyeron a Tebas en el Alto Egipto. Posiblemente Pitgoras

    era uno de ellos, pero incluso esto es una conjetura pues, leyendas aparte, no

    sabemos prcticamente nada sobre Pitgoras. Su nombre es bien conocido,

    bsicamente debido a su famoso teorema sobre tringulos rectngulos, pero ni

    siquiera sabemos si Pitgoras lo demostr.

    Sabemos mucho ms sobre la filosofa y las creencias de los pitagricos. Entendan

    que las matemticas tratan con conceptos abstractos, no con la realidad. Sin

    embargo, crean tambin que estas abstracciones estaban encarnadas de algn

    modo en conceptos ideales, que existan en algn reino extrao de la

    imaginacin, de modo que, por ejemplo, un crculo dibujado en la arena con un palo

    es un intento fallido de un crculo ideal, perfectamente redondo e infinitamente fino.

    El aspecto ms influyente de la filosofa del culto pitagrico es la creencia en que el

    universo se funda en los nmeros.

    Expresaban esta creencia en simbolismo mitolgico y la apoyaban con

    observaciones empricas. Por el lado mstico, consideraban que el nmero I es la

    fuente primaria de todas las cosas en el universo.

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    25 Preparado por Patricio Barros

    La armona del mundo

    El principal apoyo emprico para el concepto pitagrico del universo numrico

    proceda de la msica, en donde haban advertido algunas notables relaciones

    entre sonidos armnicos y razones numricas simples. Utilizando experimentos

    sencillos, ellos descubrieron que si una cuerda pulsada produce una nota de un

    tono particular, entonces una cuerda de longitud mitad produce una nota

    extraordinariamente armoniosa, ahora llamada la octava. Una cuerda de una

    longitud dos tercios produce la siguiente nota ms armoniosa, y una de tres

    cuartos de longitud tambin produce una nota armoniosa.

    Hoy estos aspectos numricos de la msica se remiten a la fsica de las cuerdas

    vibrantes, que se mueven en pautas ondulatorias. El nmero de ondas que pueden

    encajar en una longitud dada de cuerda es un nmero entero, y estos nmeros

    enteros determinan las razones numricas simples. Si los nmeros no forman una

    razn simple, entonces las ilotas correspondientes interfieren, produciendo

    batidos discordantes que son desagradables al odo. La historia completa es ms

    compleja, e incluye aquello a lo que el cerebro est acostumbrado, pero hay un

    argumento fsico preciso tras el descubrimiento pitagrico.

    Los nmeros 2 y 3 simbolizaban los principios femenino y masculino. El nmero 4

    simbolizaba la armona, y tambin los cuatro elementos (Tierra, Aire, Fuego, Agua)

    a partir de los cuales est hecho todo. Los pitagricos crean que el nmero 10 tena

    profunda trascendencia mstica, porque 10 = 1 + 2 + 3 + 4, que combina la unidad

    primaria, el principio femenino, el principio masculino y los cuatro elementos.

    Adems, estos nmeros formaban un tringulo, y la totalidad de la geometra griega

    se basaba en propiedades de los tringulos.

    Los pitagricos reconocan la existencia de nueve cuerpos celestes: el Sol, la Luna,

    Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Jpiter y Saturno, ms el Fuego Central, que era

    diferente del Sol. Tan importante era el nmero 10 en su visin de la cosmologa

    que crean que haba un dcimo cuerpo, la Anti-Tierra, perpetuamente oculto a

    nosotros tras el Sol.

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    26 Preparado por Patricio Barros

    Como hemos visto, los nmeros 1, 2, 3,..., llevaban de manera natural a un

    segundo tipo de nmero, las fracciones, que los matemticos llaman nmeros

    racionales. Un nmero racional es una fraccin a/b donde a, b son nmeros

    naturales (y b es distinto de 0; de lo

    contrario, la fraccin no tiene sentido).

    Las fracciones subdividen a los nmeros

    naturales en partes arbitrariamente

    finas, de modo que en particular la

    longitud de una lnea en una figura

    geomtrica puede aproximarse tanto

    como queramos por un nmero racional.

    Parece natural imaginar que con

    suficientes subdivisiones se llegara al

    nmero exactamente; si fuera as, todas

    las longitudes seran racionales.

    Si esto fuera cierto, hara la geometra

    mucho ms sencilla, porque dos longitudes cualesquiera seran mltiplos enteros de

    una longitud comn (quiz pequea), y por ello podran obtenerse empalmando

    montones de copias de esta longitud comn. Esto quiz no suena muy importante,

    pero con ello toda la teora de longitudes, reas y especialmente figuras

    semejantes figuras con la misma forma pero diferentes tamaos sera mucho

    ms sencilla. Todo podra demostrarse utilizando diagramas formados a partir de

    muchos montones de copias de una forma bsica.

    Por desgracia, este sueo no puede realizarse. Segn la leyenda, uno de los

    seguidores de Pitgoras, Hipaso de Metaponto, descubri que este enunciado es

    falso. En concreto, demostr que la diagonal de un cuadrado unidad es irracional:

    no es una fraccin exacta. Se dice (con base dudosa, pero es una buena historia)

    que cometi el error de anunciar este hecho cuando los pitagricos estaban

    cruzando el Mediterrneo en barco, y sus compaeros de culto quedaron tan

    irritados que le arrojaron por la borda y se ahog.

    Lo ms probable es que simplemente fuera expulsado del culto. Cualquiera que

    fuera su castigo, parece que a los pitagricos no les gust su descubrimiento.

    El nmero diez forma un tringulo

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    27 Preparado por Patricio Barros

    La interpretacin moderna de la observacin de Hipaso es que 2 es irracional. Para

    los pitagricos, este hecho brutal era un duro golpe para su creencia casi religiosa

    en que el universo estaba enraizado en los nmeros (por lo que ellos entendan los

    nmeros naturales). Las fracciones razones de nmeros enteros encajaban muy

    bien en esta visin del mundo, pero los nmeros que demostrablemente no eran

    fracciones no lo hacan. Y por ello, ya fuera ahogado o expulsado, el pobre Hipaso

    se convirti en una de las primeras vctimas de la irracionalidad, por as decir, de las

    creencias religiosas.

    Estas dos formas son semejantes

    Irracionales

    Finalmente los griegos encontraron una manera de manejar los irracionales.

    Funciona porque cualquier nmero irracional puede ser aproximado por un nmero

    racional. Cuanto mejor es la aproximacin, ms complicado se hace dicho racional,

    y siempre hay algn error. Pero haciendo el error cada vez menor, hay una

    posibilidad de aproximar las propiedades de los irracionales explotando propiedades

    anlogas a las de los nmeros racionales que los aproximan. El problema est en

    establecer esta idea de una forma que sea compatible con la aproximacin griega a

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    28 Preparado por Patricio Barros

    la geometra y la demostracin. Esto resulta ser factible, pero complicado.

    La teora griega de los irracionales fue

    concebida por Eudoxo alrededor del 370

    a.C. Su idea consiste en representar

    cualquier magnitud, racional o irracional,

    como la razn de dos longitudes; es

    decir, en trminos de un par de

    longitudes. As, dos-tercios se

    representa por dos lneas, una de

    longitud dos y otra de longitud tres (una

    razn 2:3). Anlogamente, 2 se

    representa por el par formado por la

    diagonal de un cuadrado unidad y su

    lado (una razn 2:1). Ntese que

    ambos pares de lneas pueden

    construirse geomtricamente.

    El punto clave consiste en definir cundo dos de estas razones son iguales. Cundo

    es a:b = c:d? A falta de un sistema de nmeros apropiado, los griegos no podan

    hacerlo dividiendo una longitud por otra y comparando a + b con c + d. En su lugar,

    Eudoxo encontr un engorroso pero preciso mtodo de comparacin que poda

    realizarse dentro de las convenciones de la geometra griega. La idea consiste en

    tratar de comparar a y c formando mltiplos enteros ma y nc. Esto puede hacerse

    empalmando m copias de a extremo con

    extremo, y lo mismo con n copias de b.

    Utilizamos los mismos dos mltiplos m y

    n para comparar mb y nd. Si las razones a:b y c:d no son iguales, dice Eudoxo,

    entonces podemos encontrar m y n para exagerar la diferencia a tal extremo que

    ma > nc pero mb < nd. De hecho, podemos definir la igualdad de razones de esta

    manera.

    Esta definicin requiere acostumbrarse. Est hecha muy cuidadosamente a medida

    de las limitadas operaciones permitidas en la geometra griega.

    Sin embargo funciona; permiti a los gemetras griegos tomar teoremas que podan

    Es la razn a:b igual a la razn c:d?

    La teora griega de los irracionales fue concebida

    por Eudoxo alrededor del 370 a.C.

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    29 Preparado por Patricio Barros

    ser demostrados fcilmente para razones racionales y extenderlos a razones

    irracionales.

    Teorema de Pitgoras: si el tringulo tiene un ngulo recto, entonces el rea del

    cuadrado ms grande, A, es la misma que la de los otros dos, B y C. juntos

    A menudo utilizaban un mtodo llamado exhaustion, que les permita demostrar

    teoremas que nosotros demostraramos actualmente utilizando la idea de lmite y

    el clculo infinitesimal. De esta manera demostraron que el rea de un crculo es

    proporcional al cuadrado de su radio. La demostracin parte de un hecho ms

    simple, que se encuentra en Euclides: las reas de dos polgonos semejantes estn

    en la misma proporcin que los cuadrados de los lados correspondientes.

    El crculo plantea nuevos problemas porque no es un polgono. Por ello, los griegos

    consideraron dos secuencias de polgonos: una dentro del crculo, y la otra fuera.

    Ambas secuencias se acercan cada vez ms al crculo, y la definicin de Eudoxo

    implica que la razn de las reas de los polgonos aproximantes es la misma que la

    razn de las reas de los crculos.

    Euclides

    El gemetra griego ms conocido, aunque probablemente no el matemtico ms

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    30 Preparado por Patricio Barros

    original, es Euclides de Alejandra. Euclides fue un gran sintetizador, y su texto de

    geometra, los Elementos, se convirti en un xito de ventas perenne. Euclides

    escribi al menos diez textos sobre matemticas, pero slo cinco de ellos

    sobreviven; todos a travs de copias posteriores, y diez slo en parte. No tenemos

    documentos originales de la antigua Grecia. Los cinco supervivientes euclidianos son

    los Elementos, la Divisin de figuras, los Datos, los Fenmenos y la ptica.

    Los Elementos es la obra maestra geomtrica de Euclides, y ofrece un tratamiento

    definitivo de la geometra de dos dimensiones (el plano) y tres dimensiones (el

    espacio). La Divisin de figuras y los Datos contienen varios complementos y

    comentarios sobre geometra. Los Fenmenos estn dirigidos a los astrnomos, y

    tratan de la geometra esfrica, la geometra de figuras dibujadas en la superficie

    de una esfera. La ptica es tambin geomtrica, y podra considerarse mejor como

    una incipiente investigacin de la geometra de la perspectiva: cmo transforma el

    ojo humano una escena tridimensional en una imagen bidimensional.

    Quiz la mejor manera de pensar en la obra de Euclides es como un examen de la

    lgica de las relaciones espaciales. Si una forma tiene ciertas propiedades, stas

    pueden implicar lgicamente otras propiedades. Por ejemplo, si un tringulo tiene

    los tres lados iguales un tringulo equiltero, entonces los tres ngulos deben

    ser iguales. Este tipo de enunciado, que lista algunas hiptesis y luego afirma sus

    consecuencias lgicas, se denomina un teorema. Este teorema concreto relaciona

    una propiedad de los lados de un tringulo con una propiedad de sus ngulos. Un

    ejemplo menos intuitivo y ms famoso es el teorema de Pitgoras.

    Los Elementos se dividen en 13 libros, que se siguen unos a otros en una secuencia

    lgica. Analizan la geometra del plano y algunos aspectos de la geometra del

    espacio. El punto culminante es la demostracin de que hay exactamente cinco

    slidos regulares: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

    Las formas bsicas permitidas en geometra plana son lneas rectas y crculos, a

    veces en combinacin; por ejemplo, un tringulo est formado por tres lneas

    rectas. En geometra espacial encontramos tambin planos, cilindros y esferas.

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    31 Preparado por Patricio Barros

    Poliedros regulares

    Un slido es regular (o platnico) si est formado por caras idnticas. Los pitagricos

    conocan cinco slidos de este tipo

    1. El tetraedro, formado a partir de cuatro tringulos equilteros.

    2. El cubo (o hexaedro), formado a partir de seis cuadrados.

    3. El octaedro, formado a partir de ocho tringulos equilteros.

    4. El dodecaedro, formado a partir de 12 pentgonos regulares.

    5. El icosaedro, formado a partir de 20 tringulos equilteros.

    Ellos los asociaron con los cuatro elementos de la antigedad tierra, aire, fuego

    y agua y con un quinto elemento, la quintaesencia.

    Para los matemticos modernos lo ms interesante en la geometra de Euclides no

    es su contenido, sino su estructura lgica. A diferencia de sus predecesores,

    Euclides no se limita a afirmar que un teorema es verdadero.

    El ofrece una demostracin.

    Qu es una demostracin? Es una especie de historia matemtica, en la que cada

    paso es una consecuencia lgica de algunos de los pasos previos. Cada enunciado

    que se afirma tiene que justificarse haciendo referencia a enunciados previos y

    demostrando que es una consecuencia lgica de ellos. Euclides comprendi que este

    proceso no puede llevarse hacia atrs indefinidamente: tiene que empezar en

    alguna parte, y estos enunciados iniciales no pueden ser demostrados, o de lo

    contrario el proceso de demostracin empieza realmente en algn lugar diferente.

    Para empezar a rodar, Euclides hizo una lista de varias definiciones: enunciados

    claros y precisos de lo que significan ciertos trminos tcnicos, tales como lnea o

    crculo.

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    32 Preparado por Patricio Barros

    Euclides de Alejandra

    325 - 265 a. C.Euclides es famoso por su libro de geometra, Los Elementos, que fue un

    importante, de hecho el principal, texto de enseanza de la geometra durante dos

    milenios.

    Sabemos muy poco de la vida de Euclides.

    Ense en Alejandra. Alrededor del 450

    a.C. el filsofo griego Proclo escribi:

    Euclides... vivi en la poca del primer

    Ptolomeo, pues Arqumedes, que sigui de

    cerca al primer Ptolomeo, menciona a

    Euclides... Ptolomeo pregunt en cierta

    ocasin [a Euclides] si haba un camino

    ms corto para estudiar geometra que los

    Elementos, a lo que ste contest que no

    haba ningn camino real a la geometra.

    Por lo tanto era ms Joven que el circulo

    de Platn, pero ms viejo que Eratstenes

    y Arqumedes... era un platnico, pues

    simpatizaba con su filosofa, e hizo de la

    construccin de las denominadas figuras platnicas slidos regulares] el objetivo

    de los Elementos.

    Una definicin tpica es un ngulo obtuso es un ngulo mayor que un ngulo

    recto. La definicin le proporcionaba la terminologa que necesitaba para enunciar

    sus hiptesis indemostradas, que clasificaba en dos tipos: nociones comunes y

    postulados. Una tpica nocin comn es cosas que son iguales a la misma cosa son

    iguales entre s. Un postulado tpico es todos los ngulos rectos son iguales entre

    s.

    Hoy da agrupamos ambos tipos y les llamamos axiomas. Los axiomas de un

    sistema matemtico son las hiptesis subyacentes que hacemos sobre el mismo.

    Consideramos los axiomas como las reglas del juego, e insistimos en que se juegue

    de acuerdo con las reglas. Ya no preguntamos si las reglas son verdaderas, ya no

    pensamos que slo pueda jugarse a un juego. Alguien que quiera jugar a este juego

    concreto debe aceptar las reglas; si no lo hace, es libre de jugar a un juego

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    33 Preparado por Patricio Barros

    diferente, pero no ser el juego determinado por estas reglas concretas.

    En los das de Euclides, y durante los casi los 2.000 aos siguientes, los

    matemticos no pensaban as ni mucho menos. En general vean los axiomas como

    verdades autoevidentes, tan obvias que nadie poda cuestionarlas seriamente.

    Por ello Euclides hizo todo lo que pudo para hacer todos sus axiomas obvios... y

    estuvo muy cerca de conseguirlo. Pero un axioma, el axioma de las paralelas, es

    inusualmente complicado y poco intuitivo, y muchos trataron de deducirlo de

    hiptesis ms sencillas. Ms tarde veremos a qu notables descubrimientos llev

    esto.

    Paso a paso, a partir de estos comienzos simples, los Elementos continan

    ofreciendo demostraciones de teoremas geomtricos cada vez ms sofisticados. Por

    ejemplo, la Proposicin 5 del Libro I demuestra que los ngulos en la base de un

    tringulo issceles (un tringulo con dos lados iguales) son iguales.

    Este teorema fue conocido por generaciones de escolares Victorianos como el pons

    asinorum o puente para asnos: el diagrama se parece a un puente, y era el primer

    obstculo serio para los estudiantes que trataban de aprender la asignatura de

    memoria en lugar de entenderla. La Proposicin 32 del Libro I demuestra que los

    ngulos de un tringulo suman 180. La Proposicin 47 del Libro I es el Teorema de

    Pitgoras.

    Euclides deduca cada teorema de teoremas previos y varios axiomas. Construy

    una torre lgica, que suba cada vez ms hacia el cielo, con los axiomas como

    cimientos y la deduccin lgica como el mortero que una los ladrillos.

    Hoy nos sentimos menos satisfechos con la lgica de Euclides porque tiene muchas

    lagunas. Euclides da muchas cosas por supuestas; su lista de axiomas est lejos de

    ser completa. Por ejemplo, puede parecer obvio que si una recta pasa por un punto

    dentro de un crculo, entonces debe cortar al crculo en alguna parte, al menos si se

    prolonga lo suficiente. Ciertamente parece obvio si se dibuja una imagen, pero hay

    ejemplos que demuestran que no se sigue de los axiomas de Euclides. Euclides lo

    hizo bastante bien, pero supuso que propiedades aparentemente obvias de los

    diagramas no necesitaban una demostracin ni una base axiomtica.

    Esta omisin es ms seria de lo que podra parecer. Hay algunos ejemplos famosos

    de razonamiento falaz que surgen de errores sutiles en las figuras.

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    34 Preparado por Patricio Barros

    Uno de ellos demuestra que todo tringulo tiene dos lados iguales.

    Jerigonza?

    El Libro V de los Elementos va en una direccin muy diferente, y ms bien oscura,

    de la de los Libros I-IY No parece geometra convencional. De hecho, a primera

    vista se lee bsicamente como una jerigonza. Qu tenemos que hacer, por

    ejemplo, con la Proposicin I del Libro V? Dice: si ciertas magnitudes son

    equimltiplos de otras magnitudes, entonces si cualquier mltiplo de una de las

    magnitudes lo es una de las otras, dicho mltiplo tambin lo ser de todas.

    El lenguaje (que he simplificado un poco) no ayuda, pero la demostracin aclara lo

    que Euclides pretenda. El matemtico ingls del siglo XIX Augustus de Morgan

    explicaba la idea en lenguaje simple en su libro de texto de geometra: Diez pies y

    diez pulgadas son diez veces tanto como un pie y una pulgada.

    Qu quiere Euclides aqu? Son trivialidades vestidas como teoremas?

    Son sinsentidos msticos? En absoluto.

    Este material puede parecer oscuro,

    pero nos lleva a la parte ms profunda de los Elementos: las tcnicas de Eudoxo

    para tratar razones irracionales. Hoy da los matemticos prefieren trabajar con

    nmeros, y puesto que stos son ms familiares, interpretar a menudo las ideas

    griegas en dicho lenguaje.

    Euclides no poda evitar enfrentarse a las dificultades de los nmeros irracionales,

    porque el clmax de los Elementos y para muchos su principal objetivo era la

    demostracin de que existen exactamente cinco slidos regulares: el tetraedro, el

    cubo (o hexaedro), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Euclides demostr dos

    cosas: no hay otros slidos regulares, y estos cinco existen realmente, pueden

    construirse geomtricamente y sus caras encajan perfectamente, sin el ms mnimo

    error.

    Dos de los slidos regulares, el dodecaedro y el icosaedro, incluyen al pentgono

    regular: el dodecaedro tiene caras pentagonales, y las cinco caras del icosaedro que

    rodean a cualquier vrtice determinan un pentgono.

    Son trivialidades vestidas como teoremas? En

    absoluto.

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    35 Preparado por Patricio Barros

    Los pentgonos regulares estn directamente relacionados con lo que Euclides

    llamaba razn extrema y media. Sobre una lnea recta AB, se construye un punto

    C de modo que la razn AB : AC es igual a AC : BC. Es decir, la lnea entera guarda

    la misma proporcin con el segmento ms grande que el segmento ms grande

    guarda con el ms pequeo. Si

    dibujamos un pentgono e inscribimos

    una estrella de cinco puntas, los lados

    de la estrella estn relacionados con los

    lados del pentgono por esta razn

    particular.

    Hoy da llamamos a esta razn el

    nmero ureo. Es igual a 1 + (5/2), y

    este nmero es irracional. Su valor

    numrico es aproximadamente 1,618.

    Los griegos pudieron demostrar que era

    irracional explotando la geometra del

    pentgono. Por ello Euclides y sus

    predecesores eran conscientes de que, para tener una comprensin adecuada del

    dodecaedro y el icosaedro, deban entender los irracionales.

    Esta es, al menos, la visin convencional de los Elementos.

    David Fowler argumenta en su libro Las matemticas de la Academia de Platn que

    hay una visin alternativa: en esencia, la inversa. Tal vez el objetivo principal de

    Euclides era la teora de los irracionales, y los slidos regulares eran tan slo una

    aplicacin.

    Razn extrema y media (ahora llamada razn urea). La razn entre la lnea

    superior y la del centro es igual a la razn entre la lnea central y la inferior

    La razn entre las diagonales y los lados

    es urea

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    36 Preparado por Patricio Barros

    La evidencia puede interpretarse de una forma u otra, pero una caracterstica de los

    elementos encaja mejor en esta teora alternativa. Buena parte del material sobre

    teora de nmeros no es necesario para la clasificacin de los slidos regulares;

    entonces, por qu Euclides incluy este material?

    Pi con enorme precisinEl valor de ha sido calculado ahora con varios miles de millones de cifras

    decimales, utilizando mtodos ms sofisticados. Tales clculos son de inters por

    sus mtodos, para poner a prueba sistemas de computacin, y por pura

    curiosidad, pero el resultado mismo tiene poca importancia. Las aplicaciones

    prcticas de n no requieren, en general, ms de cinco o seis cifras. El rcord

    actual es 51.539.600.000 cifras decimales, calculadas por Yasumasa Kanada y

    Daisuke Takahashi. Ellos realizaron dos clculos independientes utilizando dos

    mtodos diferentes, para obtener 51.539.607.552 cifras de n. Los resultados

    coincidan en los primeros 51.539.607.510 cifras, por lo que redujeron la

    proclamacin de su rcord a 51.539.600.000 cifras exactas.

    Sin embargo, el mismo material est estrechamente relacionado con los nmeros

    irracionales, lo que podra explicar por qu fue incluido.

    Arqumedes

    El ms grande de los matemticos antiguos fue Arqumedes. Hizo importantes

    contribuciones a la geometra, estuvo en la vanguardia de las aplicaciones de las

    matemticas al mundo natural y fue un ingeniero consumado.

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    37 Preparado por Patricio Barros

    Arqumedes de Siracusa

    287 - 212 a.C.Arqumedes naci en Siracusa, en la Magna Grecia (la actual Sicilia), hijo del

    astrnomo Fidias. Visit Egipto, donde supuestamente invent el tornillo de

    Arqumedes, que hasta hace muy poco era ampliamente utilizado para elevar

    agua del Nilo para irrigacin. Es probable que visitara a Euclides en Alejandra, y

    seguro que mantuvo correspondencia con matemticos alejandrinos.

    Sus habilidades matemticas fueron insuperables y de amplio alcance. Les dio un

    uso prctico y construy enormes mquinas de guerra basadas en su ley de la

    palanca, capaces de lanzar rocas enormes

    contra el enemigo. Sus mquinas fueron

    utilizadas con gran efecto en el sitio

    romano de Alejandra en el 212 a.C. Utiliz

    incluso la geometra de la reflexin ptica

    para concentrar los rayos solares sobre

    una flota romana invasora e incendiar las

    naves.

    Sus libros conservados (slo en copias

    posteriores) son Sobre equilibrios en el

    plano, la Cuadratura de la parbola, Sobre

    la esfera y el cilindro, Sobre los cuerpos

    flotantes, Medida del crculo y El arenario,

    junto con El mtodo, descubierto en 1906

    por Johan Heiberg.

    Pero para los matemticos, Arqumedes ser siempre recordado por su obra sobre

    crculos, esferas y cilindros, que ahora asociamos con el nmero (pi), que es

    aproximadamente 3,14159. Por supuesto, los griegos no trabajaban directamente

    con n: ellos lo vean geomtricamente como la razn entre la circunferencia de un

    crculo y su dimetro.

    Culturas anteriores haban advertido que la circunferencia de un crculo es siempre

    el mismo mltiplo de su dimetro, y saban que este mltiplo era aproximadamente

    3 1/7, quiz un poco mayor. Los babilonios utilizaban 3 1/8. Pero Arqumedes fue

    mucho ms lejos; sus resultados iban acompaados de demostraciones rigurosas,

    en el espritu de Eudoxo. Hasta donde saban los griegos, la razn entre la

    circunferencia de un crculo y su dimetro podra ser irracional. Ahora sabemos que

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    38 Preparado por Patricio Barros

    realmente es as, pero la demostracin tuvo que esperar hasta 1770, cuando

    Johann Heinrich ide una. (El valor que se da a veces en la escuela, 3 1/7, es

    conveniente aunque slo aproximado.) Sea como fuere, puesto que Arqumedes no

    pudo demostrar que es racional, tuvo que suponer que podra no serlo.

    Tornillo de Arqumedes

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    39 Preparado por Patricio Barros

    El palimpsesto de Arqumedes

    La geometra griega trabajaba mejor con polgonos: formas hechas de lneas rectas.

    Pero un crculo es curvo, de modo que Arqumedes se acerc al mismo

    aproximndolo por polgonos. Para estimar l compar la circunferencia de un

    crculo con los permetros de dos series de polgonos: una serie situada en el

    interior del crculo, y la otra a su alrededor.

    Los permetros de los polgonos dentro del crculo deben ser ms cortos que el

    crculo, mientras que los de fuera del crculo deben ser ms largos que el crculo.

    Para hacer el clculo ms fcil, Arqumedes construa sus polgonos bisecando

    repetidamente los lados de un hexgono regular (un polgono de seis lados) para

    obtener polgonos regulares con 12 lados, 24, 48 y as sucesivamente. Se detuvo en

    96. Sus clculos demostraban que

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    40 Preparado por Patricio Barros

    3 10/71 < < 3 1/7

    es decir, est en algn lugar entre 3,1408 y 3,1429 en notacin decimal actual.

    La obra de Arqumedes sobre la esfera es de especial inters, porque no slo

    conocemos su demostracin rigurosa sino la forma en que la encontr que

    decididamente no era rigurosa. La demostracin se da en su libro Sobre la esfera

    y el cilindro.

    l demuestra que el volumen de una

    esfera es dos-tercios del de un cilindro

    circunscrito, y que las reas de aquellas

    partes de la esfera y del cilindro que

    yacen entre dos planos paralelos

    cualesquiera son iguales. En lenguaje

    moderno, Arqumedes demostr que el

    volumen de una esfera es 4r3/3, donde

    r es el radio, y el rea de su superficie

    es 4r2 Estos hechos bsicos se siguen

    utilizando hoy.

    La demostracin hace un uso

    consumado de la exhaustion. Este

    mtodo tiene una limitacin importante:

    hay que saber cul es la respuesta antes de tener muchas posibilidades de

    demostrarla. Durante siglos los estudiosos no tenan ninguna idea de cmo

    Arqumedes conjetur la respuesta.

    Pero en 1906 el estudioso dans Heiberg estaba estudiando un pergamino del siglo

    XIII en el que haba escritas unas oraciones. l advirti lneas tenues de una

    inscripcin anterior que haba sido borrada para dejar lugar para las oraciones.

    Descubri que el documento original era una copia de varias obras de Arqumedes,

    algunas de ellas previamente desconocidas.

    (Y lo que es ms sorprendente, ahora se sabe que el mismo manuscrito contiene

    fragmentos de obras perdidas de otros dos autores antiguos.)

    Una obra de Arqumedes, el Mtodo de los teoremas mecnicos, explica cmo

    Una esfera y su cilindro circunscrito

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    41 Preparado por Patricio Barros

    conjeturar el volumen de una esfera. La idea consiste en hacer rebanadas

    infinitamente delgadas de la esfera y colocar las rebanadas en un plato de una

    balanza; en el otro plato se cuelgan rebanadas similares de un cilindro y un cono,

    cuyos volmenes Arqumedes ya conoca. La ley de la palanca da el valor buscado

    para el volumen.

    El pergamino fue vendido por dos millones de dlares en 1998 a un comprador

    privado.

    Problemas para los griegos

    La geometra griega tena limitaciones, algunas de las cuales super introduciendo

    nuevos mtodos y conceptos. Euclides slo admita las construcciones geomtricas

    que podan realizarse usando una vara no marcada (regla) y un par de compases

    (en lo sucesivo comps; la palabra par es tcnicamente necesaria, por la

    misma razn por la que cortamos papel con un par de tijeras, pero no seamos

    pedantes). A veces se dice que l hizo de esto un requisito, pero no est explicitado

    como una regla sino que est implcito en sus construcciones. Con instrumentos

    extra idealizados de la misma manera que la curva trazada por un comps est

    idealizada como un crculo perfecto son posibles nuevas construcciones.

    Por ejemplo, Arqumedes saba que se puede trisecar un ngulo utilizando una vara

    recta en la que hay dos marcas fijas. Los griegos llamaban a tales procesos

    construcciones neusis.

    Ahora sabemos (como los griegos debieron haber sospechado) que una triseccin

    exacta del ngulo con regla y comps es imposible, de modo que la contribucin de

    Arqumedes se extiende a lo que realmente es posible. Otros dos problemas

    famosos de la poca son la duplicacin del cubo (construir un cubo cuyo volumen

    sea el doble del de un cubo dado) y la cuadratura del crculo (construir un cuadrado

    con la misma rea de un crculo dado). Se sabe tambin que ambos son imposibles

    utilizando regla y comps.

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    42 Preparado por Patricio Barros

    Para qu les serva la geometra

    Alrededor del 250 a.C. Eratstenes de Cirene utiliz la geometra

    para estimar el tamao de la Tierra.

    l advirti que a medioda en el solsticio de

    verano, el Sol estaba casi exactamente

    encima de Siena (actualmente Asun),

    porque se reflejaba en el fondo de un pozo

    vertical.

    El mismo da del ao, la sombra de una alta columna indicaba que

    la posicin del Sol en Alejandra estaba a un cincuentavo de un

    crculo completo (unos 7,2) respecto a la vertical. Los griegos

    saban que la Tierra era esfrica, y Alejandra estaba casi en

    direccin norte desde Siena, de modo que la geometra de una

    seccin circular de la esfera implicaba que la distancia de

    Alejandra a Siena es la cincuentava parte de la circunferencia de

    la Tierra.

    Eratstenes saba que una

    caravana de camellos tardaba

    50 das en ir de Alejandra a

    Siena, y recorra una distancia

    de 100 estadios cada da; luego

    la distancia de Alejandra a

    Siena son 5.000 estadios, lo

    que hace la circunferencia de la

    Tierra de 250.000 estadios. Por

    desgracia no sabemos con

    seguridad qu longitud tena un

    estadio, pero se estima en 157

    metros, lo que lleva a una circunferencia de 39.250 km. La cifra

    moderna es 39.840 km.

    Cmo midi Eratstenes el tamao de

    la Tierra

    Una ampliacin trascendental de las operaciones permitidas en geometra, que dio

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    43 Preparado por Patricio Barros

    fruto en el trabajo rabe sobre la ecuacin cbica alrededor del ao 800 y tuvo

    aplicaciones importantes en mecnica y astronoma, fue la introduccin de una

    nueva clase de curvas, las secciones cnicas.

    Secciones cnicas

    Estas curvas, que son extraordinariamente importantes en la historia de las

    matemticas, se obtienen seccionando un cono doble con un plano. Hoy abreviamos

    el nombre en cnicas. Se dan en tres tipos principales:

    La elipse, una curva ovalada cerrada que se obtiene cuando el plano corta

    slo a una mitad del cono. Los crculos son elipses especiales.

    La hiprbola, una curva con dos ramas infinitas, que se obtiene cuando el

    plano corta las dos mitades del cono.

    La parbola, una curva transicional entre elipses e hiprbolas, en el sentido

    en que es paralela a una recta que pasa por el vrtice del cono y yace en el

    cono.

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    44 Preparado por Patricio Barros

    Una parbola slo tiene una rama, pero se extiende hasta el infinito.

    Las secciones cnicas fueron estudiadas con detalle por Apolonio de Perga, quien

    viaj desde Perga, en Asia Menor, a Alejandra para estudiar con Euclides. Su obra

    maestra, las Secciones cnicas de aproximadamente el 230 a.C., contiene 487

    teoremas. Euclides y Arqumedes haban estudiado algunas propiedades de los

    conos, pero se necesitara todo un libro para resumir los teoremas de Apolonio. Una

    idea importante merece mencin aqu. Es la nocin de los focos de una elipse (o de

    una hiprbola). Los focos son dos puntos especiales asociados con estos dos tipos

    de cnica. Entre sus principales propiedades distinguimos una: la suma de las

    distancias de un punto cualquiera de la elipse a sus dos focos es constante (igual al

    dimetro mayor de la elipse). Los focos de una hiprbola tienen una propiedad

    similar, pero ahora tomamos la diferencia de las dos longitudes.

    Los griegos saban cmo trisecar

    ngulos y cmo duplicar el cubo

    utilizando cnicas. Con la ayuda de otra;

    curvas especiales, especialmente la

    cuadratriz, tambin podan cuadrar el crculo.

    Las matemticas griegas aportaron dos ideas cruciales al desarrollo humano. La

    ms obvia fue una comprensin sistemtica de la geometra. Utilizando la geometra

    como una herramienta, los griegos entendieron el tamao y la forma de nuestro

    planeta, su relacin con el Sol y la Luna, incluso los movimientos complicados del

    resto del Sistema Solar. Utilizaron la geometra para excavar largos tneles

    partiendo de ambos extremos para encontrarse en el centro, lo que reduca el

    tiempo de construccin a la mitad. Construan mquinas gigantescas y poderosas,

    basadas en principios simples como la ley de la palanca, con fines tanto pacficos

    como blicos. Explotaron la geometra en la construccin de buques y en la

    arquitectura, donde edificios como el Partenn nos muestran que matemticas y

    belleza no estn tan alejadas. La elegancia visual del Partenn deriva de muchos

    trucos matemticos astutos, utilizados por el arquitecto para superar las

    limitaciones del sistema visual humano y las irregularidades en el propio terreno en

    el que descansaba el edificio.

    La segunda aportacin griega fue el uso sistemtico de la deduccin lgica para

    Los griegos saban cmo trisecar ngulos y cmo

    duplicar el cubo utilizando cnicas... tambin

    podan cuadrar el crculo.

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    45 Preparado por Patricio Barros

    asegurar que lo que se estaba afirmando tambin poda justificarse.

    El argumento lgico nad de su filosofa, pero encontr su forma ms desarrollada y

    explcita en la geometra de Euclides y sus sucesores. Sin slidos fundamentos

    lgicos no podran haber aparecido las matemticas posteriores.

    El nuevo estadio de Wembley. En su construccin se han utilizado principios bsicos

    descubiertos en la Antigua Grecia y desarrollados durante los siglos siguientes por

    muchas culturas

    Ambas influencias siguen siendo hoy vitales. La ingeniera moderna la fabricacin

    y el diseo asistido por computador, por ejemplo descansa firmemente sobre los

    principios geomtricos descubiertos por los griegos. Todo gran edificio que se

    levanta est diseado de modo que no se venga abajo; muchos estn diseados

    para resistir terremotos. Cualquier torre, cualquier puente colgante, cualquier

    estadio de ftbol es un tributo a los gemetras de la antigua Grecia.

    El pensamiento racional, la argumentacin lgica, son igualmente vitales. Nuestro

    mundo es demasiado complejo, y potencialmente demasiado peligroso, para que

    basemos nuestras decisiones en lo que queremos creer y no en lo que es realmente.

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    46 Preparado por Patricio Barros

    Hipara de Alejandra

    370 - 475Hipara es la primera mujer matemtica de la que hay noticia. Era hija de Ten

    de Alejandra, tambin un matemtico. Probablemente fue de su padre de quien

    aprendi las matemticas. Hacia el ao 400 ella se haba convertido en la

    directora de la Escuela Platnica de Alejandra, donde daba clases de filosofa y

    matemticas.

    No sabemos si Hipara hizo contribuciones originales a las matemticas, pero

    ayud a Ten a escribir un comentario

    sobre el Almagesto de Ptolomeo, y quiz

    tambin le haya ayudado a preparar una

    nueva edicin de los Elementos en la que

    se basaron todas las ediciones posteriores.

    Ella escribi comentarios sobre la

    Aritmtica de Diofanto y las Cnicas de

    Apolonio.

    Entre los estudiantes de Hipara haba

    varias figuras destacadas en la religin en

    auge de la cristiandad, entre ellas Silesio

    de Cirene. Hay registro de algunas de las

    cartas que ste le escribi, donde alaba

    sus capacidades. Por desgracia, muchos

    de los primeros cristianos consideraban

    que la filosofa y la ciencia de Hipara estaban enraizadas en el paganismo, lo que

    llev a algunos a rechazar su influencia. En el 412, Cirilo, el nuevo patriarca de

    Alejandra, entr en rivalidad poltica con Orestes, el prefecto romano. Hipara

    era buena amiga de Orestes y sus capacidades como maestra y oradora fueron

    vistas como una amenaza por los cristianos. Ella se convirti en un blanco de los

    disturbios polticos y fue descuartizada por una turba. Una fuente culpa a una

    secta fundamentalista, los monjes de Nitria, que apoyaban a Cirilo. Otra, culpa a

    la plebe alejandrina. Una tercera fuente afirma que ella form parte de una

    rebelin poltica, y su muerte era inevitable.

    Su muerte fue brutal, desmembrada por una multitud con tejas cortantes

    (algunos dicen que con conchas de ostras). Su cuerpo mutilado fue entonces

    quemado. Este castigo puede ser prueba de que Hipara fue condenada por

    brujera la primera bruja importante en ser asesinada por los primeros

    cristianos porque el castigo para la brujera prescrito por Constantino II era

    que sus carnes sean desgarradas hasta los huesos con ganchos de hierro.

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    47 Preparado por Patricio Barros

    El mtodo cientfico est construido deliberadamente para superar un deseo

    humano profundamente asentado que

    consiste en suponer que lo que

    queremos que sea cierto lo que

    afirmamos conocer es realmente cierto. En ciencia se pone el acento en tratar

    de demostrar que aquello de lo que uno est profundamente convencido es falso.

    Las ideas con ms probabilidad de ser correctas son las que sobreviven a los

    intentos rigurosos de refutarlas.

    Para qu nos sirve la geometra

    La expresin de Arqumedes para el volumen de una esfera se sigue utilizando

    hoy. Una aplicacin, que requiere conocer con gran precisin, es la unidad

    patrn de masa para el conjunto de la ciencia. Durante muchos aos, por

    ejemplo, un metro se defina como la longitud de una barra metlica concreta

    cuando se meda a una temperatura concreta.

    Muchas unidades bsicas se definen ahora en trminos de cosas tales como

    cunto tarda un tomo de un elemento especfico en vibrar un enorme nmero

    de veces. Pero otras an se basan en objetos fsicos, y la masa es uno de estos

    casos. Un kilogramo se define actualmente como la masa de un cilindro

    concreto, hecho de platino e iridio y conservado en Pars. El cilindro se ha

    construido con una precisin extraordinariamente alta. La densidad del metal

    tambin ha sido medida con mucha precisin. La frmula es necesaria para

    calcular el volumen del cilindro, que relaciona densidad con masa.

    Principio de trazado de rayos y una imagen de muestra

    ... cualquier estadio de ftbol es mi tributo a los

    gemetras de la Antigua Grecia.

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    48 Preparado por Patricio Barros

    Otro uso moderno de la geometra se da en los grficos por computador. Las

    pelculas hacen un amplio uso de imgenes generadas por computador (CGI), y

    a menudo es necesario generar imgenes que incluyen reflexiones en un

    espejo, en un vaso de vino, algo que atrape la luz. Sin tales reflexiones la

    imagen no parecera realista. Una manera eficaz de hacerlo consiste en

    rastrear rayos. Cuando miramos una escena desde una direccin particular,

    nuestro ojo detecta un rayo de luz que ha rebotado en los objetos de la escena y

    entra en el ojo procedente de dicha direccin. Podemos seguir la trayectoria de

    este rayo trabajando hacia atrs. En cualquier superficie reflectante rebota de

    modo que el rayo original y el rayo reflejado forman ngulos iguales en la

    superficie. La traduccin de este hecho geomtrico en clculos numricos

    permite al computador rastrear el rayo hacia atrs por muchos rebotes que

    pudieran ser necesarios antes de que choque con algo opaco. (Pueden ser

    necesarios varios rebotes; por ejemplo, si el vaso de vino est colocado delante

    de un espejo.)

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    49 Preparado por Patricio Barros

    Captulo 3

    Notaciones y nmeros

    El origen de nuestros smbolos numerales

    Estamos tan acostumbrados al sistema de nmeros actual, con su

    uso de los diez dgitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 (en los

    pases de Occidente), que puede producir sorpresa el advertir que

    hay modos completamente diferentes de escribir nmeros. Incluso

    hoy, diversas culturas la arbiga, la china, la coreana usan

    diferentes smbolos para los diez dgitos, aunque todas ellas

    combinan estos smbolos para formar nmeros mayores utilizando el

    mismo mtodo posicional (centenas, decenas, unidades).

    Pero las diferencias en notacin pueden ser ms radicales que eso.

    No hay nada especial en el nmero 10. Resulta que es el nmero de

    dedos de las manos en el ser humano, que son ideales para contar,

    pero si en su lugar hubiramos desarrollado siete dedos, o doce,

    sistemas muy similares hubiesen funcionado igua