tema v cilindros de pared gruesaula.ve › ... › images › mecanica › mecanica_materiales ›...

Tema V

Cilindros de pared gruesa

Ecuaciones fundamentales para el caso de un cuerpo sometido a cargas

simétricas (con respecto al eje Z)

TE

TE

TE

rzz

zr

zrr

1

1

1

Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa

ecuaciones fundamentales

TE

TE

TE

rz

r

rr

1

1

Haciendo σz=0 se tiene que:



212

212

212

1

1

1

ETJG

ETJG

ETJG

zz

rr



TE

TE

TE

rzz

z

zrr

r

11211

11211

11211


Las ecuaciones anteriores también pueden ser escritas así:


Haciendo σz=0 se tiene que:

0

11

11

2

2

z

r

rr

TE

TE


La deformación axial puede escribirse también como:



TErz

1

Haciendo z=0 se tiene:

ETE

ETE

r

rr

11

11



Haciendo z=0 se tiene:



ETE

ETE

r

rr

11121

11121

Ecuación de equilibrio para un elemento de volumen simétrico


ecuación de equilibrio

02

2

drdzrdFdzddrrdddrdzdzrd rrrr


0

rrr F

drd

r

Dividiendo entre (rdΦdrdz) se obtiene:

Caso general de esfuerzo plano (σz=0) considerando espesor

constante (t=ctte)


2

2

22

2 111

rF

rotacióndeinerciadefuerzalaesFdonde

FEdr

rdTrru

drrdu

rdrrud

r

r

r

caso general de esfuerzo planoIntegrando dos veces con respecto a robtendríamos:

2

21222

22122

2

21

322

11831

1183

811

1

1

1

rECECrrETrdrrT

rE

rECECrrdrrT

rE

rCrCr

ErdrrT

rru

r

r

r

rr

r

r


Caso general de deformación plana (z=0) con espesor constante (t=ctte)

2112

121

12111821

11

12111823

1

18121

11

122

22122

2

22122

2

21

32

1

1

1

CErrET

rECECrrETdrrT

rE

rECECrdrrT

rE

rCrCr

EdrrT

rru

z

r

r

r

rr

r

r


Cilindros de pared gruesa sometidos a presión interna y externa

Cilindros sometidos a esfuerzo plano σz=0, cilindrosabiertos o cortos (discos).

Cilindros sometidos a deformación plana z=0,extremos del cilindro restringidos o cilindros muylargos.

Cilindros con tapas (σz y z diferentes de cero).

Cilindro de pared gruesa sometido a presión internasolamente.


Cilindro de pared gruesa sometido a presiónexterna solamente.

Cilindro de pared gruesa con presión interior yexterior iguales.

Cilindro dentro de un medio elástico infinito.


cilindros de pared gruesa sometidos a presión interna y externa

Cilindro sometido a esfuerzo plano σz=0,cilindros abiertos o cortos

(discos)

P1 P1

P1r1 r2

P2P2

P2 P2


cilindro sometido a esfuerzo plano

r

CrCru 21

0

11

11

221

221

z

r

rECEC

rECEC


A partir de las ecuaciones de esfuerzoplano, haciendo T(r)=0 y w=0

Condiciones de borde


21

22

1212

22

2

21

22

2122

21

1

1

1

rrPrPr

EC

rrPPrr

EC

Desplazamiento

2

2

1

222

1

2

11

21

22

22

21

11

1111

rr

PKy

rr

PKdonde

rrr

EK

rrr

EKru


Esfuerzos

0

11

11

21

2

22

1

21

2

22

1

z

r

rrK

rrK

rrK

rrK


Deformaciones

21

122

21

212

221

2

1111

1111

KKE

rr

EK

rr

EK

rr

EK

rr

EK

z

r


Cilindros sometidos a deformación plana z=0; extremos del cilindro

restringidos o cilindros muy largos

P2 P2

P2 P2

P1 P1 P1r1 r2


cilindros sometidos e deformación plana

r

CrCru 21

2112

1211

1211

1

221

221

CEr

ECECr

ECEC

z

r


A partir de las ecuaciones de deformaciónplana tenemos haciendo T(r)=0 y w=0tenemos:


21

22

2122

21

2

21

22

1212

22

1

1

211

rrPPrr

EC

rrPrPr

EC


Desplazamiento en función de las presiones interna y externa


rrr

PPrrE

rrr

PrPrE

ru 1121121

22

2122

21

21

22

1212

22

Esfuerzos en función de las presiones interna y externa

21

22

2221

21

21

22

222

211

221

22

1222

21

21

22

222

211

221

22

1222

21

2

1

1

rrPrPr

rrrPrP

rrrPPrr

rrrPrP

rrrPPrr

z

r


Desplazamiento

2

2

1

222

1

2

11

21

2

2

22

2

1

11

21211

rr

PKy

rr

PKdonde

rrrK

rrrK

Eru


Los esfuerzos y deformaciones anteriorespueden ser escritos también de la siguientemanera

Esfuerzos

21

21

2

22

1

21

2

22

1

2

11

11

KK

rrK

rrK

rrK

rrK

z

r


Deformaciones

0

21211

21211

21

2

22

1

21

2

22

1

z

r

rrK

rrK

E

rrK

rrK

E


Cilindros con tapas (σz y z diferentes de cero)

P2P2

P2 P2

P1

P1

P1 P1

P2

P2

P2

P2

P2

P2

r1 r2


Cilindros con tapas (σz y z diferentes de cero)

z

r

rr

z

r

rr

rECECrrETdrrT

rE

rECECrdrrT

rE

rCrCru

111831

11183

22122

2

22122

2

21

1

1


21

22

2122

21

2

21

22

2221

21

1

1

1

rrPPrr

EC

ErrPrPr

EC z


Desplazamiento en función de las presiones interna y externa

rErrr

PPrrE

rrr

PrPrE

ru z

111

21

22

2122

21

21

22

2221

21


Esfuerzos en función de las presiones interna y externa

21

22

222

211

21

22

222

211

221

22

1222

21

21

22

222

211

221

22

1222

21

1

1

rrrPrP

rrrPrP

rrrPPrr

rrrPrP

rrrPPrr

z

r


Desplazamiento

2

2

1

222

1

2

11

21

22

22

21

11

121121

rr

PKy

rr

PKdonde

rrr

EK

rrr

EKru


Los esfuerzos y deformaciones anteriorespueden ser escritos también de la siguientemanera

Esfuerzos

21

21

2

22

1

21

2

22

1

11

11

KK

rrK

rrK

rrK

rrK

z

r


Deformaciones

21

212

221

212

221

21

121121

121121

KKE

rr

EK

rr

EK

rr

EK

rr

EK

z

r


Cilindro de pared gruesa sometido a presión interna solamente

Cilindros sometidos a presión interior en esfuerzoplano σz=0.

Cilindros sometidos a presión interior endeformación plana z=0.

Cilindros sometidos a presión interior con tapas σzy z diferentes de cero.


Cilindros sometidos a presión interior en esfuerzo plano σz=0

P1 P1

P1r1 r2

P2=0


Desplazamiento

rrr

EKru 11 2

22

1


12

1

2

11

rr

PKdonde

Esfuerzos

0

1

1

22

1

22

1

z

r

rrK

rrK


Deformaciones

1

221

221

2

11

11

KE

rr

EK

rr

EK

z

r


Esfuerzo tangencial máximo y mínimo

12min

2

1

211max

2

1

Krr

rrKrr


Espesor relativo

1

12

21

2

1

2

21

12

rrrr

rrrr

rt

pro


Distribución de los esfuerzos en un cilindro de pared gruesa sometido a

presión interior


Valores para cilindro hueco, sometido a presión interior


Cilindros sometidos a presión interior en deformación plana z=0

P1 P1 P1r1 r2

P2=0


Desplazamiento

rrrK

Eru

22

2

1211


12

1

2

11

rr

PKdonde

Esfuerzos

1

22

1

22

1

2

1

1

K

rrK

rrK

z

r


Deformaciones

0

211

211

22

1

22

1

z

r

rrK

E

rrK

E


Cilindros sometidos a presión interior con tapas σz y z diferentes de cero

P1 P1

P1r1 r2

P1


Desplazamiento

rrr

EKru 121 2

22

1


12

1

2

11

rr

PK

Esfuerzos

1

22

1

22

1

1

1

K

rrK

rrK

z

r


Deformaciones

1

221

221

21

121

121

KE

rr

EK

rr

EK

z

r


Cilindro de pared gruesa sometido a presión externa solamente

Cilindros sometidos a presión exterior en esfuerzo plano σz=0.

Cilindros sometidos a presión exterior en deformación plana z=0.

Cilindros sometidos a presión exterior con tapas σz y z diferentes de cero.


Distribución de los esfuerzos en un cilindro de pared gruesa sometido a

presión exterior


Cilindros sometidos a presión exterior en esfuerzo plano σz=0

r1 r2

P2P2

P2 P2

P1=0


Desplazamiento

rrr

EKru 11 2

12

2


2

2

1

22

1

rr

PK

Esfuerzos

0

1

1

21

2

21

2

z

r

rrK

rrK


Deformaciones

2

212

212

2

11

11

KE

rr

EK

rr

EK

z

r


Esfuerzo tangencial máximo y mínimo

2

2

2

12min

2max

1

2

Pt

r

rrK

K

propro


Valores para un cilindro sometido a presión exterior


Cilindros sometidos a presión exterior en deformación plana z=0

P2P2

P2 P2

r1 r2


Desplazamiento

rrrK

Eru

21

2

2211


2

2

1

22

1

rr

PK

Esfuerzos

2

21

2

21

2

2

1

1

K

rrK

rrK

z

r


Deformaciones

0

211

211

21

2

21

2

z

r

rrK

E

rrK

E


Cilindros sometidos a presión exterior con tapas σz y z diferentes

de cero

P2

P2

P2

P2

P2

r1 r2

P2

P2

P2 P2

P2


Desplazamiento

rrr

EKru 121 2

12

2


2

2

1

22

1

rr

PK

Esfuerzos

2

21

2

21

2

1

1

K

rrK

rrK

z

r


Deformaciones

2

212

212

21

121

121

KE

rr

EK

rr

EK

z

r


Cilindros de pared gruesa con presión interior y exterior iguales

PP

P

P

P

P

P

P

r ==-P


P

Pr

Cilindro dentro de un medio elástico infinito

P1

r1 r2=


Esfuerzos

1

21

1

21

Prr

Prr

r


Deformaciones

1

21

11

1

1

Prr

E

Prr

Er


Esfuerzo Cortante Máximo

2231

maxr

rrr

PPrr 111

22

2122

21

max

En vista de que σθ normalmente es de tensión, mientras que σr es de compresión y ambos exceden a σz en magnitud, por lo tanto:


Cambio de las dimensiones del cilindro

Cambio de diámetro

Cambio de longitud

zrErrD 22

rzz ELLL


Cilindros compuestos

El método de solución para cilindros compuestoses descomponer el problema en tres efectosseparados:

- Presión por contracción sólo en el cilindro interior(cilindro).

- Presión por contracción sólo en el cilindro exterior(camisa).

- Presión interna sólo en el cilindro compuesto.


Cilindros compuestosMecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa

Cilindros compuestos

P1r2

r3

r1

Cilindro

Camisa

Pc


(Ea, a)

(Eb, b)

Esfuerzos tangenciales para el cilindro

12

221

23

21

22

23

21

22

21

22

2

121

23

21

23

21

22

22

1

'

'

2

PrrrrrrP

rrrrrr

PrrrrP

rrrrr

c

c

B

c


Esfuerzos tangenciales para la camisa

3121

23

21

22

23

22

2122

21

23

21

22

23

22

23

22

23

22'

'

rrenPrr

rPrr

r

rrenPrrrrrrP

rrrr

c

c

A

B


Esfuerzos radiales para el cilindro

212

221

23

21

22

23

11

'

'

rrenPrrrrrrP

rrenP

cr

r

B

C


Esfuerzos radiales para la camisa

3

2122

21

23

21

22

23

0'

'

rren

rrenPrrrrrrP

A

B

r

cr


Presión de contactoMecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa

En el diseño de cilindros compuestos esimportante relacionar la diferencia de diámetro delos cilindros acoplados con los esfuerzos que seproducirán. Esta diferencia de diámetros(tolerancia) se obtiene generalmente porcontracción, es decir, calentando el cilindroexterior hasta que se deslice libremente en elcilindro interior, cuando el cilindro exterior seenfría y se contrae sobre el cilindro interior seobtiene la presión de contacto

presión de contacto


Sea δb y δa los cambios de diámetro delcilindro exterior e interior respectivamente, ypuesto que la deformación perimetral es iguala la deformación diametral, se tiene que:

abrr ab 22



22

22

1

1

rrrrE

rrrrE

bbb

aaa

rbb

raa

cilindro

camisa

donde



cr

c

Prr

Prrrrrr

a

a

2

21

22

21

22

2

El esfuerzo tangencial y radial para el cilindro viene dado por:



cr

c

Prr

Prrrrrr

b

b

2

22

23

23

22

2

El esfuerzo tangencial y radial para la camisa viene dado por:



bb

c

aa

c

rrrr

EP

rrrr

EP

b

a

22

23

23

22

21

22

21

22

Sustituyendo los esfuerzos anteriores en lasecuaciones de deformaciones obtenemos:

Presión de contacto

bb

aa

c

rrrr

Er

rrrr

Er

rP 2

223

23

222

21

22

21

222

bb

ca

a

c

rrrr

EPr

rrrr

EPrr 2

223

23

222

21

22

21

222

Donde:



21

23

22

23

21

22

322 rr

rrrrr

rEPc

Si Ea = Eb = E y a = b =


Ajustes de interferencia

Los ajustes de interferencia so aquellos en los que lapieza interior es mas grande que la exterior y requierela aplicación de una fuerza “F” durante el ensamble.Una vez terminado el ensamble se presenta ciertadeformación de las piezas y existe presión (presión decontacto) en la superficie que se ensambla. Despuésdel ensamble no se genera movimiento entre laspiezas, pero no existe un requisito particular para lapresión resultante entre las piezas que se ajusten. Losajustes de interferencia pueden ser de dos clases:ajustes forzados y ajustes por encogimiento.


Ajustes forzados

FN1: Ajuste de impulso ligero. Sólo se requiereligera presión para ensamblar las piezas. Seutilizan para partes frágiles y donde no debantransmitirse fuerzas considerables medianteunión.

FN2: Ajuste de impulso medio. Clase depropósito general que se emplea a menudo parapiezas de acero cuya sección es moderada.


Ajuste forzado

FN3: Ajuste de impulso pesado. Se utiliza parapiezas de acero pesadas.

FN4: Ajuste de fuerza. Se utiliza para ensamblesde alta resistencia donde se requiere altaspresiones resultantes.

FN5: Ajuste de fuerza. Similar a la clase FN4pero se utiliza cuando se requiere presiones masaltas.


Ajustes de fuerza y por encogimiento


Ajustes de fuerza y por encogimiento (continuación de la tabla)


Fuerza normal, Fuerza de fricción entre las superficies de contacto y torque máximo admisible antes de

que se produzca deslizamiento

LrPrFT

LrPNF

LrPN

c

c

c

222

2

2

2

2

2


tema v cilindros de pared gruesaula.ve › ... › images › mecanica › mecanica_materiales ›...

Documents