1º estabilidad iii - tubos pared gruesa, discos, piezas curvas y torsión
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Estabilidad III
ESTABILIDAD III
BIBLIOGRAFÍA:
Teoría de la Elasticidad - Timoshenko Goodier - Ed. UrmoElasticidad y Plasticidad - Guzman Saleme - Ed. C.E.I.L.P. Introducción a la Mecánica de los Sólidos - Laura Maurizi - Ed. EUDEBAResistencia de Materiales - Timoshenko - Tomo II - Ed. E. CalpeCurso Superior de Resistencia de Materiales - Seely Smith - Ed. NigarROAK’S Fórmulas for Stress and Strain Young - Mc Graw Hill Structural Engineering and Applied Mechanics - Data Handbook (Vol. 3: Plates; Vol 4:
Shells Hsu) - Ed. Gulf Publishing Company Teoría de la Estabilidad Elástica - Timoshenko - Ed. Ediar Introducción a la teoría de Vibraciones de Sistemas discretos y continuos - Laura Maurizi
- Ed. EUDEBA
TEMAS:
TEORÍA MATEMÁTICA DE LA ELASTICIDAD:
En coordenadas polares existen aplicaciones interesantes, fáciles de resolver en este tipo de coordenadas, y hay tres temas asociados:
Torsión de piezas con secciónes no circulares Simplemente conexas
Multiplemente conexas
PLACAS (hay muy pocos casos)CÁSCARAS (Todo depósito es una cáscara, dependiendo del espesor) PANDEO (se deja por visto en Estabilidad II)VIBRACIONES
CONVENCIÓN PARA LAS SOLICITACIONES
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Estabilidad III
TEORÍA MATEMÁTICA DE LA ELASTICIDAD
La teoría de la elasticidad se basa en un supuesto: la continuidad; es decir, se considera a la materia “continua” según una función matemática perfectamente definida.
Un cuerpo sometido a tensiones Z
Si lo cortamos y trazamos en él los ejes ortogonales x, y, z, nos queda:
Aparecen tensiones normales ; y tensiones tangenciales .Si con esto trazamos un cubo elemental de tensiones.
El cubo elemental representa dos puntos consecutivos de un cuerpo sometido a fuerzas en el espacio. Las caras que coinciden con el centro de coordenadas representan el punto original. Las otras caras que no pasan por el centro de coordenadas representan el punto inmediatamente posterior. Por lo tanto, por la ley de continuidad matemática, la tensión en ese punto posterior tiene un incremento, en función de la dirección en que se desplaza. Por Ej. si nos desplazamos en x la tensión x se incrementa en esa dirección, lo mismo pasa y y z.
A partir del cubo elemental podemos encontrar las ecuaciones diferenciales de equilibrio haciendo la sumatoria de fuerzas con respecto a los tres ejes (x , y , z)
3
xz
yz
y
x
Este cubo elemental de tensiones tiene que estar en equilibrio ya que en caso contrario se mueve.
Estabilidad III
Para el eje x y sabiendo que el producto de la tensión de una cara por el área de esa cara me da una fuerza resulta:
Por lo tanto
Aunque debería haber quedado (por haber elegido mal los sentidos)
x zx yx
x yx zx
x z y
x y zX
0
0
X= fuerza másica o volumétrica
Y como para el eje Y y el eje Z son razonamientos análogos, el sistema de ecuaciones diferenciales de equilibrio; se obtiene simplemente por sumatorias de fuerzas de los ejes X, Y, y Z.
x yx zx
xy y zy
xz yz z
x y zX
x y zY
x y zZ
0
0
0
Tenemos (si consideramos conocidas las fuerzas X, Y, Z) un sistema altamente indeterminado, pues contamos con tres ecuaciones y nueve incógnitas.El grado de indeterminación de este sistema puede reducirse un poco si consideramos el teorema de Cauchy, el cual dice que en dos planos perpendiculares las tensiones tangenciales son de igual valor, pero de sentidos opuestos. Para demostrarlo trasladaremos los ejes al centro del cubo elemental y tomamos momentos de todas las fuerzas con respecto a cada eje. Evidentemente, la sumatoria de fuerzas tiene que dar cero para cumplir las condiciones de equilibrio.
Ej.:
TEOREMA DE CAUCHY
Analizando los momentos respecto a los ejes del cubo elemental se llega al Teorema de Cauchy .Si el cubo gira respecto al eje x los momentos actuantes serán:
4
Ecuación Diferencial de Equilibrio
Estabilidad III
Si consideramos el eje x y las fuerzas que pueden hacer girar al cubo con respecto a este eje vemos que son tensiones tangenciales y sus correspondientes incrementos. Haciendo la sumatoria igual a cero, queda:
zy zy
zy
yz yz
yz
zy
zy
zyz
yz
dy dxdz
zdz dy dx
dzdz dx
dy
ydz dx
dy
dzdxdz
dydxdz
dzdxdy
y
dydzdx
2 2 2 20
22 2
22 2
02 2
Realizando y desarrollando, luego agrupando, entonces queda:
Por ser infinitésimos de orden superior dz2
2 y
dy2
2 se hacen despreciables. Por lo tanto
quedará:zy = yz
Volviendo al sistema de ecuaciones diferenciales de equilibrio:
x xy xz
xy y yz
xz yz z
yz zy
xz zx
xy yx
x y zX
x y zY
x y zZ
0
0
0
Por Cauchy se demuestra que el sistema indeterminado de ecuaciones diferenciales queda reducido ahora a seis incógnitas.
Para salvar la indeterminación podemos trabajar de dos maneras:En estabilidad II trabajamos con el método de las deformaciones; ahora vamos a trabajar con las condiciones de contorno. Para ello, tomamos un cubo del borde (superficie externa donde aplicamos las cargas). En este tendremos una sola cara exterior que es la ABC , y caras interiores OAC , OAB y OBC.
Tenemos una figura más general como el tetraedro. A continuación analicemos el equilibrio del tetraedro que tiene un plano cualquiera ABC, en el cual N es la Normal y una tensión cualquiera (que se puede descomponer en una tensión normal y dos tangenciales).
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son iguales en valor absoluto y deberían haber sido también divergentes (con sentido opuesto)
zy = -yz
Hasta ahora hablamos de un cubo elemental como el sombreado diagonal; pero ahora vamos a plantear alguno como el sombreado vertical, o sea del contorno.
Estabilidad III
El vector formará un determinado ángulo con los ejes x, y y z; por esta razón lo puedo descomponer en x, y y z.
Voy a tener que hacer lo mismo que hice con el cubo elemental pero ahora con este cuerpo. El problema que tenemos es que el plano ABC tiene un cierto ángulo con los otros tres planos. Pero si tomamos el plano ABC como un plano base que llamamos “dA”, los otros tres planos son proyecciones en los ejes cartesianos ortogonales de ese plano ABC. De esta manera el sistema de ecuaciones se reduce bastante.
Descomponiendo a según x, y y z y haciendo el equilibrio de fuerzas y teniendo en cuenta que las áreas no son otras que el área ABC multiplicada por los cosenos directores correspondientes, se obtienen las tres ecuaciones de Px, Py y Pz.
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2 2 2 2 2
N
= x l + y m + z n
Área ABC =dAOBC =dA cos (N) = d.A.lOAC = dA cos (Nv) = dA.mOAB =dA cos (Nw) = dA.n
Una vez obtenidas las tres ecuaciones, podemos averiguar el valor de la tensión y luego la tensión normal y la tensión tangencial .
Estabilidad III
TENSIONES PRINCIPALES
La tensión principal es la máxima posible cuando la normal del plano coincide con la dirección de .
Para calcular cuales serían las tensiones principales, analicemos el tetraedro anterior suponiendo en principio que la tensión normal coincide con .
Las tensiones principales actúan sobre los planos principales.Reemplazando en las ecuaciones obtenidas del tetraedro Px, Py y Pz por los valores en
función de , nos queda el siguiente sistema de ecuaciones.
La solución que satisface este sistema es aquella en la cual el determinante de los coeficientes sea igual a cero.
x yx zx
xy y zy
xz yz z
0
Desarrollando y agrupando los términos de este determinante queda lo siguiente:
X X yx zx
y Xy y zx
z xz yz z
m n
m n
m n
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Estabilidad III
PLANOS PRINCIPALES
Interesa saber en que planos actúan estas tensiones principales.Resolviendo la ecuación de tercer grado (3-I12+I2-I3) vuelvo al determinante de los
coeficientes y en la ecuación característica hago:
X yx zx
xy y zy
xz yz z
m n
m n
m n
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
0
0
0
Para poder determinar l2 , m2 y n2 debo sustituir por 2. De esta manera obtengo los cosenos directores de los tres planos principales.
Hallar la tensión tangencial máxima, es mucho más complicado que hallar la tensión normal máxima.
8
Para averiguar l1 , m1 y n1 sustituyo por 1 y obtengo lo que buscaba.
Estabilidad III
Z x 1
X 3 2
z
Y z Reemplazando, entonces nos quedarán:
Es una indeterminación ya que tengo una ecuación y tres incógnitas que son l, m y n. Pero además se sabe que: l2 + m2 + n2 = 1 despejando, por ejemplo, n n2 = 1 - l2 - m2 . Reemplazando 2 será función de l4 y m4; de aquí voy a tomar la función de , la derivamos una vez con respecto a l, igualamos a cero, derivamos respecto a m y nuevamente la igualamos a cero; entonces nos quedan las expresiones siguientes:
1 32
2 32
2 3
1 32
2 32
2 3
1
20
1
20
m
m m
Las soluciones son l 0 y m 0; para hallar l, hago m = 0 en la primera ecuación; para hallar m , en la segunda, hago l = 0.
Luego debo calcular n con los valores de l y m obtenidos.Luego debería despejar l en función de m y n y hacer todo de nuevo y verificar.Por último debería despejar m en función de l y n, hacer todo de vuelta y verificarlo;
con esto obtendría los siguientes valores.Resolviendo este sistema se demuestra que los planos en los que aparece la tensión
tangencial máxima son los planos bisectrices de donde actúan las tensiones principales.
Las tensiones tangenciales son cero y en este caso era cuando las rayas de Hackmam daban a 45º. Estas rayas se producían en el ensayo de tracción.
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La idea es rotar los ejes de tal manera que coinciden con las tensiones principales máximas, de esta manera los ejes pasan a ser ejes principales de inercia, siendo:
Buscamos máximos y mínimos
Estos son los valores de
Estabilidad III
DEFORMACIONES
Este cubo no solamente se va a desplazar sino también se va a distorsionar.Vamos a hacer el dibujo en el plano para no complicarlo.
uu
ydy
vv
ydy
B B’
xy
A’ dy O’
v vv
xdy
O u A
dx uu
xdy
Si solamente se desplaza no está sometida a deformaciones.El punto O se desplaza hasta O’ mediante la dirección del vector u (en la dirección x)
y mediante el vector v (en la dirección y). Se desplazaría mediante w en la dirección Z pero hemos simplificado el dibujo.
El punto A se deslaza pero como se distorsiona se desplaza también
. El punto B se desplaza y se distorsiona .
Para pasar de A hasta A’ tengo (u + u) y para pasar de B hasta B’ tengo (v + v).
Las deformaciones específicas eran x, y y xy ; l0 = dx
Vemos que el alargamiento específico sobre cada eje son función de los corrimientos; es decir, cada alargamiento es la derivada de un corrimiento con respecto al eje del que se trate.
La distorsión será la suma de los ángulos y .
es x en un elemento diferencial y por lo tanto es despreciable.
El ángulo de distorsión de un plano (por ej. el xy) es la suma de las derivadas cruzadas correspondiente a dicho plano. Es decir:
10
Estabilidad III
De aquí surge la ecuación de compatibilidad.
X
y
xy
u
xv
y
u
y
v
x
Haciendo las derivadas segundas como se indican ahora:
2
2
3
2
2
2
3
2
2 3
2
3
2
2 2
2
2
2
x
xy xy y x
y
u
x y
y
x
u
y x
x y
v
x y
u
x y x y x y
Esta es una de las ecuaciones de compabilidad.
LEY DE HOOK PARA UN ESTADO PLANO DE TENSIONES
Yendo a las ecuaciones diferenciales de equilibrio.
remplazo en función de
11
Estabilidad III
2 1 2 1 1 1
2 1
2 1
0
0
2 2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
E x y E x y E y E x
x y y x
x y y y x x
x y
x y
xy xy
x y y x
xy x y y x
xy x y y x
x y
x y
y podemos escribir
por lo que nos quedarán las
2
ecuaciones de compatibilidad
en el plano
ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO
Despreciando las fuerzas masicas y trabajando en el plano xy, escribiendo de nuevo y ordenando las ecuaciones.
x yx
xy y
x x xy
y xy y
x y
x y
m
m
0 1
0 2
3
4
12
Estabilidad III
es la derivada 2º de la ecuación
derivo con respecto de x
luego con respecto a y
Tomando las ecuaciones de equilibrio y derivándolas con respecto a x e y ( y ecuaciones) para el estado plano, llegamos a la ecuación 12
Derivando la ecuación respecto de x y la ecuación respecto de y se obtiene.
Queremos obtener la relación que existe entre las deformaciones y las tensiones.
Si a la ecuación la escribo en función de las tensiones. Reemplazamos xy por la
ecuación de la pag. 11 y utilizamos las ecuaciones y (los términos se cancelan)
2 12 2
2
2
2
xy
x y y xx y y x
13
Ley de Hooke en estado bidimensional
Estabilidad III
Despejando
2xy
x y de la ecuación 12 y reemplazando en la anterior, se obtiene:
12
2
2
2
2
2
2
2
x y
x y y xx y y x
Desarrollando y agrupando convenientemente:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 0
x y x y x y y x
x x y y
x y x y x y x x
x y y x
Sacando factor común por grupos sale la ecuación de compatibilidad.Cualquier tensión que cumpla esta ecuación de compatibilidad satisface las ecuaciones
de equilibrio, tensiones en un plano cualquiera, deformación, etc. Entonces, todos los problemas de aquí en más van a consistir en tratar de encontrar cuanto valen las tensiones que satisfacen la ecuación de compatibilidad.
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
x y
x y
x y x y
x y
Trabajando con la ecuación , la y la última obtenida. Con todas las ecuaciones de la Teoría de la deformación saco otra ecuación más que es la de las deformaciones en el plano.
FUNCIÓN DE TENSIÓN DE AIRY = F (X;Y)
Airy estudió una función (phi) que era una función de dos variables = f(x;y) pero de que forma son x e y.
Las tensiones tienen que cumplir con las condiciones.
x y xy yxy x x y
2
2
2
2
2
La función de Airy debe cumplir con la
ecuación 12.
reemplazando en la de xy se obtiene:
4
4
4
2 2
4
4
20
x x y y
Una función se Airy por ejemplo puede ser de la forma
x yx
yx y ex5 sen
coshln
14
13
Estabilidad III
En general da buenos resultados formando polinomios y aplicando determinados casos concretos.Lineal
2º grado
Se dividen los coeficientes por “2” para simplificar luego las derivadas.
Haciendo cero alguno de los coeficientes (a2, b2, c2) puedo tener también corte o axil solamente. Por ej. haciendo b2 = a2 = 0 podría resolver un caso de tracción o compresión en el eje x. Haciendo a2 = c2 = 0 tengo el caso de corte (ver pag. 16).
Tracción y compresión son función de Airy
22 2
2
22
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
ax b xy
cy
cy
ax
bx yx y xy; ;
Ejemplo:
P P h
b l
x
h
h
dA P
c dA P dA b dy
c b dy P c bh
cP
bh
2
22
22
2
Distintos Casos
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xy
Estado combinado de tensiones.
Estabilidad III
Hay que poner de manifiesto que la elección del par de ejes cartesianos es importante porque para la misma ecuación tengo dos comportamientos distintos.
16
Tracción o compresión eje x
Corte puro
Tracción o compresión eje x e y
y
x
y
x
Tracción o compresión eje y
Estabilidad III
3º Grado
33 3 2 2 3 3
3 3 23
3 2 3 32
33 2
23
2 3 3
23
2 3 3
23
3 3
3 2 2 2 3 2
2 2 2 2
3 3
ax
bx y
cxy
dy
x
ax b xy
cy
y
b xc xy
dy
xa x b y
yc x d y
x yb x c y
y x
xy
x
y
xy
c x d y
a x b y
b x c y
3 3
3 3
3 3
Flexión
Para resolver en caso de axil y flexión, superpongo 3 y2 (principio de superposición)Queda: = C2 +d3y
3 en a3 = b3 = c3 = 0 flexión d3 0
2 en a2 = b2 = 0
axil c2 0
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y
x
y
x
y
xy
Estabilidad III
La torsión en secciones rectangulares no guarda las condiciones de la resistencia de materiales según la cual las secciones planas permanecen planas después de la deformación. Por lo tanto no es seguro que este caso sea de torsión pura. Si fuera una sección circular podría ser.
d a b d
c
) 3 3 3
3
0
0
1er CONCLUSIÓN: SI ES DE MENOR GRADO QUE LA EC. DIF. I LAS CONSTANTES PUEDEN SER ABSOLUTAMENTE ARBITRARIAS.
Hasta aquí las reacciones de compatibilidad no hace falta verificarlas darán cero ya que la derivada de tercer orden es una constante.
4º Grado
Estas ecuaciones ya no responden a estados de tensión sencillos porque ya tenemos funciones de 2º grado; y haciendo cero los coeficientes a4 y c4 depende de x y de y:
A4 = c4 = 0 y = b4 xy = f(x;y)
Además viendo lo que valen x, y y xy vemos que ahora si tienen derivada segunda respecto de x de y o respecto de las cruzadas. Por lo tanto hay que derivarlo para ver si satisfacen o no las ecuaciones.
Verificar con:
Dejemos de lado que estado de tensión puede representar y veamos si cumple la ecuación de compatibilidad.
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x
xy
c x
c y
3
3
Tracción por peso propio Torsión pura
Estabilidad III
Vemos que el coeficiente e4 debe estar en función de los coeficientes a4 y c4 para satisfacer la ecuación de compatibilidad.
Si a b c d e
a y
a x
x
y
xy
4 4 4 4 4
42
42
0 0
0
Estado de tensiones m uy raro
Para hallar la fuerza de corte hacemos lo siguiente: sabemos que en los extremos (en
la superficie) xy = 0 y en ese punto . Reemplazando en la fórmula de xy nos queda:
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A B
En caso de una viga empotrada en B
y
y3
y2
y1
h/2
h/2x
y
x
Si superpongo esto me queda
Superponiendo 2 y 4 puedo investigar vigas cargadas en voladizo con esfuerzos cortantes puros (flexión y corte)
dy
b
Estabilidad III
xy
xy xy
d hb
bd
h
dy
dh dA P
4
2
2
22
4 2 4 2
2 20
2 8
8
fuerza de corte
4
dy
dh dA P
dy
dh dA dA b dy
d by dy
d h bdy Ph
h
h
h
4 2 4 2 4 2 4 2
4 2
2
2 42
2
2
2 8 2 8
2 8
y sabiendo que el momento de inercia es :
Reemplazando el valor de d4 obtenido, en la formula de x x = d4 · x · y
nos queda:
Función de Airy de 5º GradoVamos a ver una función de 5º grado que corresponde a un estado de tensión para el
caso de una carga uniformemente distribuida
Esta función 5 tiene que cumplir con la ecuación de compatibilidad.
Ahora calculamos las tensiones:
20
Estabilidad III
Ahora debemos analizar si corresponde a alguna caso de resistencia de materiales. Primero vamos a ver si cumple la ecuación de compatibilidad.
reemplazo en la ecuación de compatibilidad
Esta ecuación no da cero. Entonces agrupo x e y:
Sacando factor común 2x y 2y:
Resulta evidente que, para que esto se cumpla, tienen que ser cero los términos entre paréntesis; y para esto e5 y f5 deber ser función de las otras:
ahora reemplazo los coeficientes e5 y f5 en las formulas de xy , x y y
21
C
C
1
x
y
Estabilidad III
Con estas tres ecuaciones debemos analizar que estado de tensión representan.Queremos llegar a resolver el problema de carga uniformemente distribuida. Entonces debo buscar cual de estas constantes a, b, c, d, e o f me puede llevar a analizar una carga uniformemente repartida.Sabemos que y en el borde superior es constante. La única expresión independiente de x (que no va a crecer con y) es el cuarto término de la fórmula 14 de y que está relacionado con d5. Por lo tanto debo analizar que tensiones me quedan para el siguiente caso:
En x = 0y = 0
A medida que voy subiendo en y aparecen x y y pero no aparecen tensiones de corte xy.x y y van a ser constantes en función de y.Si
Si me muevo en y hacia el borde superior, aumentan x y y hasta llegar al borde (c) donde están los valores máximos.
Si me muevo en x (por ej. x=2) x pasa a ser una diferencia pero y se mantiene constante, es independiente de x.
Por lo tanto en el borde superior para cualquier valor de x, y siempre va a valer lo mismo. Entonces esta caso me permitiría analizar el caso de una viga cargada uniformemente, con algunas limitaciones. Pero x tiene que ser una función lineal, ya que la
viga está sometida a flexión.
22
No tengo nada
2
Estabilidad III
Vemos también que xy es una parábola y para desplazarla debemos sumarle otra función
Entonces a esta función d5 debo superponerle otras funciones para que represente el caso de una viga uniformemente cargada.
Si tomamos una viga simplemente apoyada:
En 5, xy no responde al xy que corresponde al esfuerzo rasante o al corte puro para esas situaciones de una viga simplemente flexionada. Para eso le superponemos un caso de corte que corresponde a la función polinómica 3 con estas condiciones:
y para contrarrestar el nuevo y le superponemos una 2 con las siguientes condiciones.
Conociendo a2, b3 y d5 tenemos las verdaderas expresiones matemáticas que rigen la distribución de tensiones para el caso de una viga simplemente apoyada y carga uniforme. Para hallar estas constantes vamos a trabajar con las condiciones de borde, es decir, vamos a ver que valores toman las tensiones en algún punto particular de la viga.
Para y = c xy = 0 (borde inferior)Para y = + c y = 0 (borde superior)Para y = - c y = - q (extremos)
Para x = l
Para x = l
Para x = l
Estas son las seis condiciones de borde de las cuales nos tenemos que valer para resolver este sistema de ecuaciones de a2, b3 y d5 y establecer las verdaderas expresiones matemáticas que llevan a un estudio más exacto del caso de una viga con carga uniformemente distribuida.Empezamos a trabajar con la primera condición de borde
y = C xy = 0
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Estabilidad III
xy = -d5xc2 – b3 x = 0
-d5 c2 – b3 = 0 19
con la segunda condición de borde
despejo b3 de la ecuación 19
b3 = -d5 c2 22
reemplazo b3 en la ecuación 20
reemplazo la 22 y 23 en la 21 , nos queda:
Esta relación entre d5 y q nos permite calcular a2, b3 y d5 en función de q.
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Estabilidad III
Obtenidas las expresiones de a2, b3 y d5 debo reemplazarlas en las ecuaciones de x, y
y xy 18.1 18.2 18.3
Recordando que
Y b = 1; h = 2c
reemplazando Jx en 28, 29 y 30
Con estas ecuaciones se verifican
pero no se verifica
para que se verifique esta última condición debemos introducir una función 3 que haga cero la integral.
y para que esta 3 verifique la integral (que ha sido modificada por la
introducción de 3) es necesario que d3 valga:
25
Estabilidad III
y nos queda
Serie Trigonométrica
Vamos a trabajar ahora con una función sinusoidal:
verificamos la ecuación de compatibilidad
Resolviendo la ecuación diferencial:
F(y) = c1 · cosh a · y +c2 senh a · y + c3 cosh a · y + c4 senh a · y
En definitiva la función es:
recordando que:
26
Estabilidad III
Estas ecuaciones no nos dicen nada porque no sabemos cuanto valen c1, c2 c3 y c4. Entonces debemos calcular esas constantes y para ello vamos a utilizar las condiciones de borde.
Para y = c y = -B sen axxy = 0
y = -A sen axxy = 0
donde A y B son amplitudes
Vemos que en ambos bordes las tensiones tangenciales son nulas. Ahora reemplazamos este valor de y para y = c en la ecuación hallada en función de y hago y = c, y después hacemos lo mismo para y = -c, de forma que nos queda:
Reemplazo en xy:
Resolviendo el sistema (hay 4 ecuaciones con cuatro incógnitas)
Volviendo a las ecuaciones de x, y y xy y reemplazando los valores de c1, c2, c3 y c4:
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Estabilidad III
Si la carga en el borde superior es igual a la carga en el borde inferior, es decir si A y B son iguales, se anula el segundo término en las tres ecuaciones.
CONCLUSIONESSi A = B
Ej.:y x y xy
1 -0,165 -2,26980,8 -0,073 -2,26920,5 -0,02080,3 -0,05870 -0,0798-0,2 -0,0704
28
Estabilidad III
-0,5 -0,0379-0,7 -0,01628
Vemos que y es prácticamente constante para placas más largas que anchasPara el caso de vigas infinitamente largas y de espesor despreciable y = 0, entonces
Esto es la y para placas donde l es lo suficientemente mayor que c.
Simplificación a series exponenciales
Tanto el cosh como el senh pueden expresarse en forma de series exponenciales.
despreciando los términos menores que
, reemplazando y operando nos
queda:
teniendo una viga infinita y un estado de cargas variables cualquiera.Un estado de cargas variables cualquiera, lo puedo expresar como una serie de Fourier.
donde =a ; A0: carga constante
Si las cargas son iguales
Reemplazo los valores de An y Bn en y y obtengo
29
b b
qs
qi
A0
En estas fibras y vale lo mismo
Estabilidad III
donde:
Caso de aplicación
Esto me permite determinar la tensión que generan dos cargas puntuales iguales sobre una placa o una viga de largo considerable.
30
p
p
p
p
Estabilidad III
COORDENADAS POLARESComo ejemplos serán los casos del estado plano de tensiones en el cual veremos
cilindro de pared gruesa sometidos a presiones externas o internas; piezas de gran curvatura (gancho).
Se resuelven más fácilmente en coordenadas polares que en coordenadas cartesianas.
(r3 es: r + el incremento; lo mismo sucede con r2 y r4. Se adopta esta nomenclatura para simplificar). Proyectamos las fuerzas respecto de la tg y sobre el radio y hacemos una sumatoria de fuerzas. Si está en equilibrio la sumatoria deberá ser igual a cero. Además suponemos b = 1.
Por ser ángulos pequeños send d 2 2
dividiendo por dr . d
31
Estabilidad III
dividiendo por r:
r r
r r
r
rR
r
r
r rr
Ecuaciones diferenciales de equilibrio
10
1 20
respecto del radio
normal a cualquier radio
La otra ecuación diferencial de equilibrio va a surgir de hacer la proyección de fuerzas sobre la normal. La demostración es similar.
Hay que transformar esta ecuación de compatibilidad en coordenadas polares.
= f(x,y)
4
4
4
2 2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2 0
0
x x y y
x y x y
f r
r x y
y
x
f r
;
arctg
;
Lo primero que hacemos es hallar
r
x xx y x y x
x
x y
x
r
r
y yx y x y y
y
x y
y
r
2 21
2 2 21
2
2 21
2
2 21
2 2 21
22 2
1
22
1
22
.cos
sen
32
r4
r2
Ecuación diferencial de equilibrio en la dirección del radio r
Estabilidad III
Para hallar multiplicamos por si mismo.
De igual manera hallamos y
De esta manera hallamos la ecuación de compatibilidad en coordenadas polares.
33
Estabilidad III
DEFORMACIONES
El corrimiento “u” va a ser en el sentido radial.
La variación del perímetro será
perímetror u d r d
r d
por lo que
perr d ud rd
rdper
u
r
, por lo tanto
v
r
u
r
Distorsión : r
r es la sumatoria de las zonas sombreadas.
34
d
rv
r
v
r es solo el corrimiento.
Pero no es solamente esto, porque si aumento el radio también aumento el perímetro.El perímetro inicial viene dado por (r d).El perímetro final viene dado por (r + u)d
Estabilidad III
CILINDROS DE PARED GRUESAVamos a utilizar las coordenadas polares para analizar tres casos concretos que se presentan en la práctica: cilindro de pared gruesa (caso de conductos, armas de fuego, reactores químicos donde se producen elevadas presiones en los procesos), rotores de máquinas (turbinas, motores eléctricos) y piezas con gran curvatura (lo que no significa que tengan gran radio de curvatura)
Se presentan algunas condiciones que mejoran con el tiempo partiendo de las ecuaciones diferenciales de equilibrio.
r r r
r r
r r rR
r r r
r r r r r r r r
10
1 20
1 1 1 10
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
Para estos tres casos hay simetría con respecto a , entonces, vamos a analizar como si fueran funciones de las tensiones radiales y no función de las tensiones tangenciales; entonces todo es función de las radiales = f(r). Por lo tanto todo esto se reduce, por condiciones de simetría (de ), a los siguiente:
35
Discos de Rotación
Piezas de gran curvatura
Estabilidad III
Al ser función de r solamente, no se trata de derivadas parciales () sino de diferenciales (d).
General Simetría en
r r
r r
r r r r
d
dr
r
d
dr
r r r
1 1 1
1 10
2
2
2
2
2
2
2
2
2
;
;
;
por condiciones de simetría con respecto a , las expresiones de r y y r son las que están a la derecha; si no hay simetría, las expresiones están en función de y r y están a la izquierda.
CILINDROS DE PARED GRUESA
A partir de lo anterior empezamos a analizar un cilindro de pared gruesa.Primero debo definir cuando tengo un cilindro de pared gruesa y cuando tengo un
cilindro de pared delgada.El criterio que se adopta es el siguiente: si el espesor es mayor de 1/10 del radio exterior
lo analizamos como un cilindro de pared gruesa, si es menor lo analizamos como un cilindro de pared delgada.
En el caso genérico tenemos un cilindro con un radio exterior, radio interior, presión interna y presión externa. A partir de este caso analizaremos los casos particulares.
Hay que hallar la solución de esta ecuación diferencial; que será:
Conociendo vuelvo a la ecuación r y (para el caso de simetría con respecto a ), reemplazo a derivo con respecto a r y obtengo r y .
36
Estos serán los casos que habrá que analizar para los casos de rotación, cilíndricos de pared gruesa y piezas de gran curvatura.
“R” se desprecia en este tipo de cálculos y se tiene en cuenta solamente en el caso de discos giratorios.
Estabilidad III
De las condiciones de borde se sacan las constantes “A”, “B” y “C”. las condiciones de borde serán: la tensión radial para un radio igual al radio exterior (r = Re) tiene que ser igual y de sentido contrario a la presión que está actuando sobre ese borde; el mismo razonamiento es válido para el radio interior. Ahora tenemos tres incógnitas y dos ecuaciones. Sin embargo, la constante B para discos cerrados (como son los cilindros de pared gruesa y delgada) vale cero.
u
u
r
r
v u
r
1
Los valores a analizar para casos
generales y luego vamos a particularizar
para nuestro caso.
En función de la ley de Hooke r y valen
Reemplazando r y en r
Integrando con respecto a r
f() es la constante de integración y como integramos con respecto de r, será función de la variable .
37
Estabilidad III
Integrando en función de :
donde g(r) es una constante de integración.
Una vez que tenemos esto vamos a la ecuación de la distorsión:
para que esta ecuación sea cero, se deberá cumplir que:
Esta ecuación es la que nos interesa analizar por lo siguiente: hay un corrimiento v para = 0º y otro corrimiento v para = 360º y son distintos. Para que esto no suceda (no puedo tener corrimientos distintos para 360º y 0º) B tiene que ser igual a cero.por lo tanto v=f(r)
De estas ultimas ecuaciones podemos despejar A y C
38
Estabilidad III
* estas son las ecuaciones de Lamé, que dan las variaciones de r y para cualquier valor de r comprendido entre el radio exterior y el radio interior. Es decir que son las dos ecuaciones generales para resolver cualquier caso de cilindros de pared gruesa.
Trabajando con estas ecuaciones podemos deducir las tensiones máximas y mínimas, como son las tensiones en los bordes, como dimensionar, como hacer para que un tubo de pared gruesa resista más, etc.
39
Estabilidad III
A B
(rB = - Po)
Vamos a analizar que presión tiene que ser la mayor de las dos.
1º) Pi > Po
r
- A B +
2º) Pi < Po r
A B
40
Estabilidad III
3º) Pi = 0 Po 0Po 0
Pi =0
4ª)
Para determinar cuanto es mayor A respecto de B había que comparar cuanto es mayor Re
2+Ri2 respecto de 2 Ri
2; o bien saber cuanto es mayor Re2 respecto de Ri
2.
A B
r
(-)
(+)
La mayor tensión tangencial está siempre en el punto interior y es siempre mayor que
la tensión radial. Por lo tanto: el punto interior A, nos dice si existirá o no la falla.
DEFORMACIONES
r
u
r
v
r
u
r
Deformación tangencial: a fin de tomar valores prácticos tendremos:
41
> r debo verificar con por ser lo mayor de las dos tensiones.
Es el caso de un tubo cilíndrico con vena fluida y enterrado bajo nivel o colocado bajo agua a gran profundidad (no está lleno de fluido) por eso Pi = 0
Estabilidad III
Analizo que presión es mayor que la otra y así puedo sacar el corrimiento u.Cuanto mayor es la presión interior, entonces mayor es la pared del recipiente.
42
Estabilidad III
CILINDROS DE PARED GRUESA
Arrancando de la ecuación se llega a las
ecuaciones reducidas
r
p
e
pr
e
20 ;
(SEELY - SMITH EJERCICIO 181 – pag. 291)
Aplicando teoría de la rotura:
t
Este es el espesor t según la teoría de la máxima tensión tangencial.Si P = entonces el espesor “t” se hace infinito. (desarrollando)
43
Cuál es el límite que puede tener el espesor de un tubo y en función de esto aplicar Teoría de Rotura
y en función de esto debo determinar el espesor “t”.Po = 0
CONDICIONES: 1º) r =Ri
Estabilidad III
Si p t R
t R R t
i
i i
1
TEORÍAS DE LA ROTURAMáxima tensión principal
Máxima tensión de corte
Máxima energía de distorsión
Condiciones Límites: f - Pi = 0 o f = Pi
f> Pi
Para poder aplicar la teoría de la máxima tensión tangencial, se dice que ocurre cuando se alcanza la tensión tangencial de fluencia, f, en el ensayo a tracción simple, y, en
ese caso
f
f
2, por lo tanto, la condición, aplicando la teoría de la máxima tensión
tangencial sería f
Pi2
.
Sin embargo no es tan así:La tensión de la máxima tensión principal camina bien para materiales
frágiles mientras que para materiales dúctiles camina la teoría de la máxima tensión tangencial.
La teoría que mejor camina para materiales dúctiles es la de la energía de deformación.
La energía de deformación máxima depende del estado de tensiones, ya sea este simple, doble o triple.
1 2
2
2 3
2
1 3
2 2
3 1
2
2 2
2
f
ii
e i
PR
R R
Desarrollando y reagrupando queda
f
iP3
por lo que la condición para esta teoría de rotura será f
P3 . Es más exacta.
44
1= Tangencial1=r Radial3=l Longitudinal o radial
Estabilidad III
Esta es la teoría de Von Misses - Henry - Hubber
Para un solo tubo tendremos un diagrama del siguiente tipo:
El tubo II origina sobre el tubo I como si estuviera sometido a una presión aplicada desde el exterior por lo tanto tendremos un diagrama según 2. Así como está montado, con apriete; el tubo I ejerce presión sobre el tubo II, pero esta es una presión interior, por que el diagrama se verá según 3.
Como resultado final de todo esto, el diagrama obtenido deberá ser como 3. o sea, que será un pretensado.
El problema es averiguar cual va a ser la presión de zunchado, y la otra va a ser lo mismo y además determinar cual va a ser la interferencia entre el zuncho y la camisa.
Para poder determinar la presión de zunchado, Pz, lo vamos a hacer en función de los corrimientos.
Cuando caliento el tubo II y lo meto sobre el tubo I, va a haber un Corrimiento. El tubo I se corrió y el tubo II, también.
El desplazamiento, , va a ser en valor absoluto la sumatoria de los corrimientos del tubo I y del tubo II.
2
3
45
I
II
1
De esta manera debo encontrar un método que me permita bajar el espesor “t” tratando de que todas las fibras trabajen a la máxima tensión posible. ¿Cómo se logra esto?Se puede lograr por: Zunchaje o Autozunchaje.
R1R2
R3
Estabilidad III
Para el tubo II van a ser Po = 0 y Pi 0; Re =R3 y Ri =R2 desarrollando y sustituyendo y r se obtiene el corrimiento u2.
46
Para determinar el corrimiento uII se considera que
Pi = 0 Po = Pi
Estabilidad III
Para materiales iguales deberá ser = uI+uII( es en valor absoluto) PoI = PiII = PZ
u uP R r
R R E
r R v R v r
r
P R r
R R E
r R v r v R
r
P R
r E
r v R v
R R E R Rr v R v
r R E
I IIz
I
I I z
II
II II
z
I
I I
IIII II
I
22
22
12
212
12 2
2
22
32
22
232 2
32
2
22 2
12
22
12
32
22
232
2
1 1 1 1 11 1
Si se acepta que , entonces quedará ; con
E y v v
P R
E
R R vR vR
R R
R R vR vR
R R
P R
R R R R ER R R R R vR R vR R vR R vR R R R R R
P R
E
R R R R vR R
II I II
z
z
z
222
12
12
22
22
12
22
32
22
32
32
22
2
22
12
32
22 2
232
24
12
32
12
32
12
22
22
32
24
24
12
32
22
32
23
22
32
12
22
22
32 2 2 2
2
22
12
32
12
23
32
12
32
22
12
32
12
23
32
12
22
12
32
12
2
2 1
R R R R
P R
E
R R vR
R R R R
P R
E
R v R
R R R R
Z
z
ojo Rever los signos de y r
Timoshenko - Goodier Mecánica de la Elasticidad.
A B C D
I II
47
Reemplazando r por R2 sale:Pz ya la calculamos entonces hay que calcular las tensiones, para esto se considera:“A” es el punto interior del tubo I“B” es el punto exterior del tubo I o sea que es el radio 2 sobre el
tubo I“C” es el punto interior del tubo II, o sea que es el radio 2 sobre el
tubo II“D” es el punto exterior del tubo II; es el punto definitivo o
extremo.
Estabilidad III
rAe i
e i
i e
e i
e
i
rAPz
rAPz
rAPz
rAPz
R R Po Pi
R R r
PiR PoR
R Rcon
R R Po
R R
r R Pi Pz
R R Pz Pi
R R R
PiR PzR
R RPi
R Pz R Pz PiR PiR
R RPi
R R
R RPi
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
1
1
22
12
22
12
12
12
22
22
12
22
22
22
12
22
12
22
12
22
12
0
0
0
;
;
Ahora el punto C pertenece al tubo II y es el radio interior del mismo
48
Estabilidad III
Ce i
e i
i e
e i
e
i
APz
CPz
R R Po Pi
R R r
PiR PoR
R Rserá
R R Po
R R
r R Pi Pz
R R Po Pi
R R R
PiR PoR
R RPz
R R
R R
PzR R
R R
2 2
2 2 2
2 2
2 2
3
2
2
32
22
32
22
22
22
32
32
22
32
22
32
22
32
22
32
22
0;
;
Así se obtienen en las proporciones más eficientes del trabajo del Zuncho.Existe una tensión límite que va a determinar el diseño efectuado
trabajo
t A
PzR
R RPi
R R
R R
2 22
22
12
32
22
32
12
Datos Incognitas
t
Pi
R
Pz
R
RInterferencia
1
2
32 3 2 3
, ,
Se despeja Pz en función de la Pi; entonces se calculan los radios
Calculamos y por superposición y tengo 3 incógnitas (Pz, R3 y Rz). Entonces la idea es obtener una sola ecuación con dos incógnitas y después (buscamos máximos y mínimos).De A despejo Pz y lo reemplazo en la ecuación C, entonces elimino pz y quedará todo en función de R2 y R3
Pi R pi R
a
R Pi R R R R
b
R
Pi R R R R
c
aR bR C Rb b ac
a
b
aR R
b
a
tb tb tb tb
tb
3 4
0
04
2
2
2
22
12
34
24
14
22
12
32
12
22
12
22
34
32
32
2 3 1
Desarrollando
solución
?
49
Ri
Pi A B C D
= t
Estabilidad III
Para hallar el máximo de R3 lo derivo con respecto de R2 y la igualo a cero, entonces ya no existen incógnitas, y ahora puedo despejar R2.
Con este valor de R2 voy a la fórmula de R3 en función de R2 y puedo determinar R3.
R R
Pi
R R
R R
Pi
R R R R
R R
Pi Pi
Pi
k
R R k R R k R R k
tb
tb
tb tb
tb
min
32
22
22
12
22
12
14
12
22
14
22
12
2
22
12 2
2 1 2 1
1
3
2 0
1 2 1
3
derivando con respecto a R e igualando a cero.
Pi - 3 Pi + Pi +
2
tb tb tb
Vuelvo a la fórmula de R32 y entonces:
R R
Pi
R R
R R
Pimintb
tb
3 222
12
22
12
1
3
De la ecuación o de la ecuación despejo Pz y con esa Pz determino la interferencia ““
el se reparte entre los cilindros de Zunchaje mediante la tolerancia de fabricación.
50
Estabilidad III
Datos: R1, Pi, tb. Si tenemos un cilindro compuesto con varios zunchos, no tenemos una fórmula que nos diga cuanto valen los radios; entonces tenemos que proceder por tanteo. Se dan por tanteo los demás radios y se verifica con . Si da un valor grande se prueba de nuevo.
Se comienza calculando desde el exterior (siempre)
trabajamos por superposición: en los dos primeros términos analizamos como si fuera un tubo, sometido a una presión interna Pi, de radio exterior R4 y radio interior R1; en los otros dos términos tomamos un tubo de radio exterior R4 y radio interior R3 sometido a una presión interna Pi = P’z.
Despejamos P’z y luego con P’z calculo II-III
Ahora trabajamos con en r = R2. Por superposición: en los dos primeros términos calculamos la debida solo a la presión interior; en los dos últimos términos trabajamos con un tubo donde Re = R3; Ri = R2; Pi = Pz y P0 = P’z.
III
II tb
I
1 2 3 4 PZ
P’Z
Ri
51
Estabilidad III
Ahora despejamos Pz y con Pz calculo I-II.
Con este valor calculo los radios originales
Cuando se trabaje con tres cilindros hay que empezar a probar por el método de tanteo. Se establecen primero los radios o presiones y hay que empezar a verificar desde afuera hacia adentro.
52
Estabilidad III
AUTOZUNCHAJE Otro de los métodos para aumentar la resistencia
de un tubo de pared gruesa es el denominado autozunchaje. Autozunchaje significa plastificar el tubo de modo tal que el estado de cargas tenga la siguiente forma:
Antes de aplicar Pi lo cargo negativamente.La idea es que resista mayor tensión con las menores dimensiones posibles.Para cargarlo negativamente podría someterlo a una presión exterior de tal manera que
lo plastifique.
Lo voy a someter a una Pi y lo voy a plastificar hasta cierto radio.Hay que sacar la carga y esperar un determinado tiempo hasta que el material se
recupere. Entonces la parte elástica queda cargada negativamente.
53
Estabilidad III
Cuando ponemos un tubo a trabajar, el mismo esta precargado de tal manera que cuando
lo cargamos, el resultado final será una superposición del estado precargado y del estado de carga. Por lo tanto podemos aplicar presiones que originen tensiones mayores que la tensión de trabajo supuesta.
¿Como calcular esas tensiones de plastificación totales o parciales? Viendo el gráfico de la izquierda deberíamos analizar el equilibrio de esa capa de plastificación.
PiR
R R
R
r
PiR
R R
R
r
i
e i
e
ri
e i
e
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
1
1
Puedo plantear estas dos ecuaciones y encarar la solución por dos teorías; una es la de la máxima tensión tangencial.
Vamos a estudiar el caso de autozunchaje hasta un radio genérico cualquiera. Vamos a plastificar no todo el tubo sino una zona parcial.
En el estudio de la plastificación vamos a utilizar las ecuaciones de equilibrio y una condición crítica de plastificación que depende del tipo de teoría de rotura. Aplicando la teoría de la máxima tensión tangencial:
f
rr fo bien
22
54
Rp = radio de plastificaciónSe puede llegar hasta la plastificación total.
Estabilidad III
La ecuación de equilibrio es:ó
entonces:
integrando:Esta es la expresión de la tensión radial para una presión interior que plastifique una fibra
hasta un radio genérico cualquiera r.Para hallar la constante de integración, recurrimos a las condiciones de borde. Sabemos
que en el radio interior la tensión es igual (y de signo contrario) a la presión Pi.
Reemplazando C en r nos queda:
Para hallar hacemos:
55
Estabilidad III
El otro camino es analizando el equilibrio de esa fuerza de plastificación.
Estas son las ecuaciones de r y en la zona plastificada para cualquier zona comprendida entre el radio interior, Ri, y el radio de plastificación, Rp,
Fuera de la zona plastificada o sea en la zona elástica, se siguen empleando las ecuaciones de Lamé.
ri
e i
e
i
e i
e
PiR
R R
R
r
PiR
R R
R
r
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
1
1
56
Estabilidad III
Para
Remplazando y haciendo:
(que es valida para r=Rp)nos queda:
La transición se produce en:r=Rp
La presión de plastificación es:
Esta es la presión que tengo que aplicar para plastificar hasta un radio Rp.Remplazando pp en las ecuaciones de Lamé, nos queda:
Esta ecuación es valida para:
57
Estabilidad III
PLASTIFICACIÓN TOTAL
Si quiero plastificar todo el tubo hay que volver a las ecuaciones de , y tengo que considerar las condiciones de borde en el radio exterior, donde la tensión radial vale cero, para poder calcular la constante de integración.
Remplazo C en
Ecuación válida para comprendido entre Ri y Re.
Para hallar hacemos:
Para un punto r=Ri la tensión radial será:
Entonces la presión de plastificación vale:
ESTADO DE TENSIONES DEBIDO A CARGAS POR TEMPERATURA PARA EL ZUNCHAJE
También puede ser que este circulando un fluido a 90°C que produce tensiones de origen térmico.
Va a ser un estado transitorio.Las tensiones que originará la tensión interna van a producir un estado tal que deberán
sumarse a los estados anteriores.r
T = es r debido a la carga térmica o sea a la temperatura.
58
Estabilidad III
Los superíndices primas (‘r y ‘) son debidos a la presión exterior o interiorLos superíndices z son debido al zunchaje.Los superíndices T son debido a la carga o cargas térmicas.
Lo vamos a desarrollar como si actuara solamente la temperatura.Aclaración: la temperatura es de régimen permanente, entonces permanecerá constante a
través del tiempo.
Ecuaciones cartesianas
2
T
x
T
y
T
zEspacio
T
x
T
yPlano
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
para poder efectuar la demostración hay que transformar estas ecuaciones cartesianas a coordenadas polares:
d T
dr r
dt
dr
2
2
10
Esta será la ecuación diferencial que habrá que resolver para evaluar “T”.
Esta ecuación se evaluará por las condiciones de borde. Cuando r=Re la temperatura es la exterior T0; cuando r=Ri la temperatura es la interior Ti.
Con estas dos expresiones hallamos A y B y luego las reemplazamos en la ecuación de T.
Ti
Ri
Re
To
59
Estabilidad III
Esta ecuación expresa como varía la temperatura para régimen permanente.Si quiero determinar r y cuando tengo una variación de temperatura debo plantear las
deformaciones específicas.
Entonces de la ecuación diferencial de equilibrio:
Despejamos en función de r:
Volvemos a las ecuaciones de las deformaciones y reemplazamos :
derivando esta última ecuación respecto del radio “r” nos queda:
60
Estabilidad III
Ahora nos queda una ecuación diferencial en función de r.Resolviendo esta ecuación diferencial, se llega a una expresión de r
para resolver la segunda integral, habría que hacer:
está hecho presuponiendo solamente Temperatura interior, o sea que: T0 = 0 (Ver en Timoshenko).
Con:
Para hallar A’ y B’ hay que plantear las nuevas condiciones de borde, que son las siguientes:
Así obtenemos r para el caso de una elevación de Temperatura. Para calcular nos vamos a la ecuación de equilibrio.
61
Estabilidad III
Las mismas fórmulas son aplicables a las caras exterior e interior aplicando una variación de temperatura t = T0 - Ti en el lugar de Ti.
Con esas consideraciones se puede aplicar ésta fórmula para cualquier caso que se nos ocurra.
62
Estabilidad III
DISCOS GIRATORIOSVamos a analizar las tensiones que pueden producirse en un disco giratorio, por efecto de la fuerza centrífuga.
Vamos a empezar el análisis partiendo con un disco plano, o sea, de espesor constante (t = cte.), que lo único que hace es girar y ni siquiera tiene un agujero donde está el eje.
Nos interesa poder analizar elementos del rotor de una turbina, etc., sometidos a estados de tensiones bastante completos.
La ecuación diferencial de equilibrio es:
Donde R es la fuerza centrífuga. En este caso las fuerzas másicas R no las puedo despreciar, porque no es ni más ni menos que la fuerza centrífuga que se origina en un disco giratorio debido al giro de la masa del disco. Esta fuerza centrífuga es:
63
Estabilidad III
despejando y remplazando en la derivada, queda:
En definitiva, para saber cuales son las tensiones radiales y tangenciales que se originan en un disco giratorio por causa de la fuerza centrífuga, lo único que tengo que hacer es averiguar cuanto vale esta constante F.
1º) Desplazamiento:
remplazo u en la ecuación de r y nos queda:
por la Ley de Hooke:
64
= densidad del material
Estabilidad III
sustituyo y r en las ecuaciones de las deformaciones y se obtiene:
Me queda una ecuación en función de y r. Como necesito saber cuanto vale F, en lugar de expresar la ecuación en función de y r, escribo todo en función de F.
derivando todo esto respecto del radio r, se tiene:
sacando factor común por grupo (2 r2) y multiplicando por r
Esta es la ecuación diferencial obtenida, que tiene una solución particular y una solución general.
Esta es la ecuación que nos da la solución general de F, con el cual podemos calcular r y
Según estas formulas de r y , para un disco que gira y es macizo, tanto la r como la se hacen infinitas. Ri < r < Re
Para un disco macizo C1 = 0 NECESARIAMENTE porque sino C
r1
Para hallar C vamos a utilizar las condiciones de borde:
65
Estabilidad III
Por lo tanto me quedará en función de la velocidad angular 2, y de los radios exterior, Re, y de cálculo, r.
La máxima estará en el punto central y la mínima estará en el borde externo.Nota : r y son iguales en el centro.
66
Estabilidad III
DISCO CON ESPESOR CONSTANTE CON AGUJERO CENTRAL
r CC
r
vr
CC
r
vr
12
2 2
12
2 2
3
81 3
8
Ahora la r ya no será infinita entonces debo replantear las nuevas condiciones de borde. No es necesario hacer cero a C1 en este caso, ya que r no llega a valer cero.Las nuevas condiciones de borde son:
CC
R
vR
CC
R
vR
ee
ii
12
2 2
12
2 2
3
80
3
80
Sistema de dos ecuaciones
con solo dos incognitas
Voy a la ecuación de C en función de C1 y operando obtengo finalmente el valor de C.
67
Re
Ri
Estabilidad III
Con los valores C y C1 voy a las expresiones de y r y saco las expresiones para un disco con agujero central.
para obtener tengo que hacer exactamente lo mismo:
Estos valores de r y son para discos giratorios de espesor constante con agujero central u orificio central.¿Cómo hallar r máxima? el camino puede ser derivar con respecto a r e igualando a cero.
En ese punto se tiene la máxima r.La máxima va a estar en el punto interior R i y la mínima en el borde exterior Re.
Estamos calculando las tensiones en función del número de vueltas , y del radio r, al cual lo pongo en cualquier lugar y en función del material, o sea del v y de la densidad, .
Ahora puedo analizar al revés:
Este valor E también depende del material.A fin de establecer una relación entre los radios tengo:
RirMax r Re
68
r
Estabilidad III
Remplazando D y E en las ecuaciones de r y , queda:
Tengo que averiguar a que velocidad puede girar el disco para que las tensiones no superen el límite elástico. Conocidas las dimensiones de Re y Ri y conocido el material, puedo saber cual es el efecto sobre la velocidad angular.
Para dimensionar voy a emplear por ser el valor más grande [ >r Por lo tanto de la ecuación de despejo , luego remplazo r por Ri
Ya que mi único dato era la Fuerza centrífuga, que era función de la velocidad angular, . Entonces D y E dependen del material que estoy utilizando.
Disco giratorio de espesor constante sometido a presiones
t
69
decisión del proyectista)
Estabilidad III
r e ie i
e ie i
vR R
R R
rr
vR R
R R
r
v
vr
3
8
3
8
1 3
3
2 2 22 2
22
2 2 22 2
22
Para una presión interior, Pi, solamente:
Ecuaciones de Lamé
Si tengo que analizar el problema de un disco que gira junto con un eje, voy a tener que sumar las r y producidas por la fuerza centrífuga y la velocidad angular , más la r y
producidas por la presión de zunchaje entre eje y disco.En cambio si existe presión exterior, Po, solamente:
ro e
e i
i
o e
e i
i
P R
R R
R
r
P R
R R
R
r
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
1
1
Ecuaciones de Lamé
Si tengo un disco giratorio con presión exterior Po, hago la sumatoria de las r y las sumatorias de las y lo que me dan serán la r y la y ahí no se acaban los problemas sino que recién empiezan los problemas.
Todas las deducciones se basan en esto:
Para la presión exterior, Po, en los casos en que tengo un espesor variable ... ni siquiera, me conviene calcularlo así; debo sustituir por algún efecto que me produzca lo mismo.
70
Estabilidad III
En los casos normales, Po, es hacia afuera; entonces cuando los superpongo voy a tener que cambiarles el signo.
El efecto en bobinados, paletas y acanaladuras es hacia afuera.La presión interior, Pi, será en el sentido indicado si es un montaje o zunchaje,
entonces a la presión interior no le vamos a modificar el signo.
(Volumen, V)dv = 2 dr t
Para calcular los alabes en una turbina existen fórmulas.Para estos casos tomar c de Lamé y superponer esto.
R1
Re
Po
71
Estabilidad III
Suponiendo que pi=0
Como po va en sentido inverso debido a la corona
De donde rT = r’ + r”
(*)
Para hay que hacer lo mismo
Suponiendo pi=0
por cambio de signo de po
72
Po = (-)
Estabilidad III
T = ’+ ”
(*)
(*): rT y T tienen en cuenta tensiones debida a discos de rotación + término debido a la corona o lo que corresponda.
73
Estabilidad III
DISCOS DE ROTACIÓN DE ESPESOR VARIABLELo que habíamos visto hasta ahora sobre discos giratorios eran todos de espesor
constante.Normalmente en un rotor de turbina el espesor no es constante, sino que es variable.Como las mayores tensiones están en el borde interno pudo reducir la sección externa
para soportar las mayores tensiones.Vamos a analizar una pequeña porción.
Haciendo la sumatoria de fuerzas sobre la vertical:
Desarrollando todos los productos nos queda:
74
d2
d2
Estabilidad III
Si el espesor es constante, el segundo termino se anula.
ESPESOR VARIABLE PERO DE IGUAL RESISTENCIA:
En estos perfiles debe cumplirse la condición:
r = = tb.
de acuerdo a esto nos queda:
Suponiendo un disco macizo ri = r = 0 ; t = t0 la 5 se transforma en:
ln ln ln
ln
t c t tr
t
to
r
t to e
tb
tb
rtb
0 1 0
2 2
2 2
2
2
2
6
22
despejo t
Suponiendo ahora un disco con agujero central de radio r = r1 y espesor t = t1 , de 6 tenemos:
75
Fórmula a aplicar para discos de espesor variable r y t
Estabilidad III
Reemplazando este valor en la ecuación 6 obtenemos finalmente:
8
Fórmula que nos permite trazar el perfil.
ESPESOR VARIABLE SEGÚN UNA LEY MATEMÁTICA
Otro perfil que se suele utilizar, es aquel en el cual el espesor sigue una ley hiperbólica.
El espesor varía según una ley hiperbólica donde c y n pueden tener cualquier valor
real.Tenemos que plantear un sistema de ecuaciones para poder hallar las tensiones. Tenemos
solamente una, que es la ecuación de equilibrio, por lo tanto mediante las deformaciones vamos a establecer otra ecuación. Recordando las deformaciones específicas según la ley de Hooke:
76
Estabilidad III
r r
r
rr
u
r
du
dr Eu
r E
Ed
dr
u
rE
du
drr u
rE
r
du
dr
u
r
d
dr
d
dr
19
110
1112 2
1
de las ecuaciones 9 10 y 11 queda:
con la ecuación 3, que es la ecuación de equilibrio para discos de rotación de espesor variable:
Con esta última ecuación (multiplicada por r) y la ecuación 12, armo un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:
Por medio de este sistema se pueden calcular las tensiones.Hallar y r es un trabajo excesivamente laborioso por lo cual solo enunciaremos las
fórmulas finales
77
derivándola respecto de r
Nota: = nu
Estabilidad III
r
n
A r A r r
A r A r r
nn
nt
c
r
1 22 2
1 22 2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
21 1
4
'
' ' '
+
1 y 2 dependen de n y
'
'
'
'
'
'
3
8 3
1 3
8 3
1
1
1
2 2 2
2
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 2 2
1 2 2 1
1 1 1 1
2 1 1 2
n n g
n n g
ARi Re Re Ri Ri Re
Re Ri Re Ri
ARi Re Re Ri Ri Re
Re Ri Re Ri
A A n
A A n
r Re r Ri
r Re r Ri
Vemos que para poder calcular tanto r como . El dato que vamos a tener que obtener de alguna manera es r (tanto en borde exterior como en el interior), para aplicarlo a A1 y A2.
Entonces el verdadero problema para calcular esto a través de A1, A2, A’1 y A’2, es saber cuanto vale r en el borde exterior y en el interior. Recordemos que, al igual que en el cilindro de pared gruesa, r en el borde exterior y en el interior va a ser exactamente igual a las presiones que tengamos en esos bordes, cambiadas de signo.
Para turbinas:
78
Nota: = nu
A1 y A2 dependen del material
Estabilidad III
Donde Gs: peso de todas las paletas.Rs: radio desde el centro de giro al centro de gravedad del sistema formado por las
paletas.Ak: área de la corona que sujeta la paleta (área rayada).Rk: distancia del centro de gravedad de la corona al centro (eje) de rotación.: densidad del material de la corona (que generalmente es el mismo que el del rotor).t: espesor del punto de unión de la corona y disco.
r actúa en la unión de la corona con el disco.
r en el radio interior vale:
Cuando el rotor esta construido junto con el eje, no hay presión de zunchaje. No es extraña esta construcción para turbinas.
En este caso:
79
Estabilidad III
PARA UNA FORMA CUALQUIERA DE DISCO
(Método gráfico aproximado)
r
r
c c W r
c c W r
r s c c w
r t c c w
12 2
1 12 2
2 21
12 2
1
TRAMO r r2
wr
12
t
t
t2r2 12r r r r
R R
12233445
80
Estabilidad III
r
r
r s c c w
s t
r t c c w r
2 21
12 2
12 2
1
Tomo
del cambio de sección 1- 2
/
r r r
r r r r r
r r
r r
r
r
y y y
y y y y y
y y y
y
y y
r s c c w
r t c c w
con los nuevos valores
22 2
1
2 12 2
1
/ ;
; '
'
'
s t Pe
Pe w
z
z
r
r
rR
r r
rR
r
r
5
5
5 5 5
5 5
5
0 0
se adopta a gusto (valores cercanos a cero)
Para y
z : factor de corrección
r
81
Estabilidad III
Ejemplo:
DISCO DE IGUAL RESISTENCIA:
t t e e rtbR r
12
6 2
2 2
2
12 2
87 951 10 314 1593
2 100018
, ,
Según una ley matemática:
Nota: = NU
82
Estabilidad III
n
nn
n
n n n n
A
A
A
1 1 745
21 1
40 745
3
8 35 583 10
1 3
8 33 214 10
500 10 5 583 10 98696 044 65 10 10 65
65 10 65 10
36262 2186
500 10 5 583 10
1 2
2
6 6
1
0 745 6 2 0 745 2 0 745
1 745 0 745 0 745 1 745
1
2
1 745 6
1
2
,
,
' , ' ,
, ,
,
,
, , ,
, , , ,
,
98696 044 65 10 10 65
65 10 65 10
127 3107
2 1 745 2 1 745
0 745 1 745 1 745 0 745
2
,
,
, ,
, , , ,
A
83
Estabilidad III
A A n A A n
A A
r r r
r r r
r
1 1 1 2 2 2
1 2
1 6686 1 1686 2
1 6686 1 1686 2
1 1
37974 463 20 883
17511 05 31 2339 0 8491
37974 463 20 883 0 4888
' '
' , ' ,
, , ,
, , ,
, ,
, ,
84
Estabilidad III
FLEXIÓN DE PIEZAS DE GRAN CURVATURA
Se trata de otro caso de coordenadas polares con distribución de tensiones simétricas
respecto de un eje la ecuación de equilibrio: d
drRr
r
0
d
dr rr r
0 1
ecuación de compatibilidad:
d
dr r
d
dr r
d
dr r
d
dr
4
4
3
3 2
2
2 3
2 1 10 2
cuya solución general es:
A r Br r c r Dln ln2 2 3
y las tensiones:
r
r
r
d
dr
A
rB r C
d
dr
A
rB r C
11 2 2
3 2 2
2
2
2 2
ln
ln
4
5
y se calculan asi para todos los puntos
de radio comprendidos entre R y R .
A, B y C los voy a tener que resolver por
Las condiciones de borde, entonces hay que
determinarlos a todos.
i e
En los casos de coordenadas polares analizados anteriormente (cilindros de pared gruesa y discos de rotación) se demostró por medio del corrimiento v
v 6 4Br
EK
sen
que para discos cerrados es incongruente que
v v 0 270 cosa que ocurre si aplicamos 6
Este hecho se evitará si B = 0
Como en este caso se trata de piezas abiertas B 0 hay que calcularlo. Este cálculo se realiza por medio de las condiciones de borde.
Supongamos la pieza de la figura sometida solamente a flexión.
Ro = radio fibra mediaNota: = NU
85
(Se desprecia la fuerza másica R)
Estabilidad III
las condiciones de borde son :
En función de la sección transversal de la pieza debe calcularse dA.
Son válidas las ecuaciones de equilibrio: d
drRr
r
0
y la ecuación de la compatibilidad: d
dr
d
r dr r
d
dr r
d
dr
4
2
3
2
2
2 3
2 1 10
La solución general de la ecuación de compatibilidad es: A r Br r Cr Dln ln2 2
Nos falta una tercera ecuación que surge de:
Resolviendo la integral por partes:
d
drr
d
drdr M
d
drr M
RiRe
Ri
Re
RiRe
RiRe
10
En esta igualdad el 1er término del 1er miembro puede obtenerse de la condición de borde.
r r
d
dr
d
dr
1 2
2
Si tomo y hago la derivada respecto del radio obtengo r y si vuelvo a derivar (dr) obtengo
Ri
Re
Ri
Re
Ri
Re
drd
drdr
d
dr 0 0 0
2
2 11
r
r
A
rB r C
A
rB r C
2
2
1 2 2
3 2 2
ln
ln
: y para y todos los puntos de
radios comprendidos entre R y Ri e
86
Estabilidad III
Reemplazando este valor en 10 resulta:
RiRe M 12
Si en 12 reemplazamos a por su valor 3 y operamos:
ARe
RiB Re Re Ri Ri c Re Ri Mln ln ln 2 2 2 2 13
A, B y C los voy a tener que resolver por las condiciones de borde, por lo que hay que determinar a todos.
7 , 8 y 13 forman un sistema de tres ecuaciones con 3 incógnitas1ª condición de borde r = Ri la fórmula de la r para ese punto toma la siguiente forma:
I r RA
RB R C
II r RA
RB R C
ii
i r
ee
e r
) ln
) ln
2
2
1 2 2 0
1 2 2 0
esto quiere decir y cumple que las
fibras de arriba se comprimen y las
de abajo se alargan
A
RiB Ri C
A
ReB Re C
ARe
RiB Re Re Ri Ri c Re Ri M
2
2
2 2 2 2
1 2 2 0
1 2 2 0
ln
ln
ln ln ln
Del cual se pueden calcular las incógnitas por cualquiera de los métodos conocidos.
dA y M
dA 0
dAd
dr
d
drdA 0 0
2
2
2
2,
En función de la sección transversal de la pieza deberá calcularse dA a partir de aquí este análisis es únicamente válido para una sección rectangular.
dA t drd
drtdr t
d
drdr
td
drdr
d
drdr
d
drR
R
R
R
R
R
i
e
i
e
i
e
2
2
2
2
2
2
2
2
0 0
0 0 0
yendo a la integral dA y ; haciendo t=1 lo hago desaparecer
d
drtdr r M
d
drr dr M
d
dr
d
drdr
d
drdr M M
R
R
R
R
o por lo visto
R
R
R
R
R
R
i
e
i
e
i
e
i
e
i
e
2
2
2
2
con esta última corroboración debo construir mi tercera ecuación para poder resolver el sistema
87
esto se resuelve integrando por partes
Estabilidad III
I A r Br r Cr D
II A r Br r Cr D
III AR
RB R R R R C R R M
solución general de la ecuación
R
R
e
ie e i i e i
i
e
) ln ln
) ln ln
) ln ln ln
2 2
2 2
2 2 2 2
con I, II y III puedo resolver por cualquier método que se me ocurra, resolviendo este sistema el valor de A, B y C respectivamente.
AM Re Ri
ReRi
Re Ri Re RiRe
Ri
BM Re Ri
Re Ri Re RiRe
Ri
CM Re Ri Re Re Ri Ri
Re Ri Re RiRe
Ri
4
4
2
4
2
4
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
ln
ln
ln
ln ln
ln
14
15
16
Como las ecuaciones 14, 15 y 16 tienen el mismo denominador lo llamaremos N:
N Re Ri Re RiRe
Ri
2 2 2 2 2
2
4 ln 17
Remplazando A, B y C en l a resolución de r y , y haciendo el denominador NReemplazando los valores de 14, 15, 16 y 17 en las expresiones 4 y 5 de las tensiones, quedan las expresiones 18 y 19.
r
M
N
Re Ri
r
Re
RiRe
r
ReRi
Ri
r
A
rB r C
M
N
Re Ri
r
Re
RiRe
r
ReRi
Ri
rRe Ri
4 18
3 2 2
4 19
2 2
22 2
2
2 2
22 2 2 2
ln ln ln
ln
ln ln ln
se debe aclarar r para cada punto que se quiera calcular.
Estas fórmulas nos dan la ley de variación de las tensiones en una pieza curva sometida a flexión pura y de sección rectangular. Para secciones distintas de la rectangular (sección constante) habrá que obtener la ley de variación del espesor t y calcular las expresiones resultantes.
La dificultad de estos cálculos lleva a emplear métodos más simplificados de resistencia de materiales.
Las curvas de r y de serán logarítmicas, entonces la hipótesis de que las secciones planas permanecen planas después de la deformación no se cumple. Si fueran planas las curvas de r y serían lineales, como decíamos en resistencia de materiales
88
Estabilidad III
no serán sino que van a ser algo así
Las máximas tensiones estarán hacia la curvatura o del lado del centro de curvatura.La fibra neutra no será la fibra baricéntrica que quedará desplazada hacia el centro de
curvatura de la pieza.Si analizamos las unidades de las ecuaciones 18 y 19, vemos que no son unidades de
tensión. Esto se debe a las simplificaciones que hicimos con t=1 para evaluar la integral:
Entonces las tensiones expresadas en las ecuaciones 18 y 19 son las tensiones por unidad de espesor.
Vamos a ver otro método que nos sirve para cualquier sección, basada en las mismas hipótesis de la Resistencia de Materiales. En principio, para hacer este análisis, admitimos que la sección giró.
R0: distancia a la fibra baricéntrica.
El alargamiento específico de una fibra cualquiera resulta:
para calcular l, utilizo la tangente:
para ángulos pequeños:
89
A
RB R C
A
RB R C
r dA M
dA
ii
ee
2
2
1 2 2 0
1 2 2 0
0
ln
ln
Estabilidad III
Remplazando el valor de obtenido en la ley de Hooke, nos queda la ecuación 20:
De 20 surge que la tensión sigue una ley hiperbólica. Sin embargo esta ecuación no sirve todavía para calcular cuanto vale la tensión, ya que no conozco d ni d. De la condición de inexistencia de esfuerzo axial:
dAE y d
Ro y ddA
Ed
d
y
Ro ydA
0 0
0 21
De la ecuación 21 surge que la fibra neutra no es más la fibra baricéntrica sino otra fibra desplazada hacia el centro de curvatura. Por lo tanto, las máximas tensiones están dirigidas siempre hacia el centro de curvatura.
Como la suma de las áreas deben ser iguales para mantener la condición inicial, la tensión en el lado cóncavo es la mayor.
Para determinar la tensión partiremos de la condición de momentos.
y dA M
E y d
R y dy dA M
Ed
d
y
R ydA M
n
n
2
22
la integral y
R ydA
n
2
puede expresarse como:
y
R y
R ydA y dA Rn
y
R ydAn
n n
23
90
Se toma Rn porque es la nueva posición del eje neutro.
Habrá que calcular r dA dA y y con ellas recalcular
r
A
rB r C
A
rB r C
2
2
1 2 2
3 2 2
ln
ln
Estabilidad III
de 21 sabemos que y
R ydA
n 0 la 22 nos queda:
Ed
dy dA M y dA A e
Siendo e la distancia entre la línea neutra y la fibra baricéntrica:
Ed
dA e M E
d
d
M
A e
24
Si reemplazamos este valor en la ecuación 20 resulta:
M y
A e R yn
25
Esta será la fórmula final de tensión. Sin embargo sigue siendo una fórmula problemática puesto que e no es un valor conocido y hay que averiguarlo en cada caso.
La fibra baricéntrica se saca con la sección y el radio de curvatura.
La fibra neutra es la fibra que no sufre deformación para mi estado de solicitación.
Casos más prácticos que estos métodos
El triángulo chiquito:
91
Esto es entre las fibras neutras y cualquier otra l
l0
Estabilidad III
d y
d y
Rn y d
[Rn es el radio de la fibra neutra
Por la ley de Hooke :
E
E d y
Rn y d
o bienE d
d
y
Rn y
E d
Rn y d
y
Rn y
Y ahora la tensión dejó de ser lineal y ha pasado a ser hipérbola que es función de y.
dA y M y dA 0
Partiendo de que
Ed
d
y
Rn y
Un radio genérico vale:
Remplazando este valor de y en la integral 26:
92
l
y
d
Hasta aquí se siguen cumpliendo todas las hipótesis de partida. Si bien sigue el perfil hiperbólico no se donde está la fibra neutra.
Estabilidad III
DETERMINACIÓN DEL RADIO DE LA FIBRA NEUTRA
Anteriormente hemos visto que la tensión tangencial en una pieza curva sometida a flexión es:
También dijimos que:
Veamos de donde sale dicha fórmula:
De la condición de equilibrio dA 0
Ed
d
y
Rn ydA
y
Rn ydA
0 0 1
De la figura r = Rn - y y = Rn - r reemplazando en 1
El problema consiste en determinar el dA para cada sección en particular. Para el caso de la sección de la figura dA = t . dr.
¡Cual va a ser el dA que voy a tener que tomar? Con el Rn vamos a tratar de resolver cuanto vale .
93
M = par flectorA = área de la piezaRo = radio de la fibra media e = separación entre fibra media y fibra neutraRn = radio fibra neutray = distancia de la fibra neutra a una fibra cualquiera
Esta es la fórmula que nos permite calcular el radio de la fibra neutra a partir del centro de curvatura.
En Timoshenko Tomo II está tabulada cuanto vale la fibra neutra para distintas secciones
Estabilidad III
Rnt h
t drr
Rnh
drr
RnhReRi
Ri
Re
Ri
Re
ln
Con la vamos a averiguar cuanto vale
debo resolver la integral
por lo que se había demostrado antes
Momento estático
de la sección
dA Ed
d
Ed
d
y
Rn y
Ed
d
y
Rn yy dA M
Ed
d
y
Rn ydA M
y
Rn yy
Rn y
Rn yy
Rn y
Rn ydA ydA Rn
y
Rn ydA
ydA A e
y
Rn ydA
y
Rn ydA Ae
Ed
d
M
Ae
M
Ae
y
Rn y
0
0
2
2
2
Existe otra fórmula que es la de Winkler-Bach, que utiliza la fibra baricéntrica acoplándole un coeficiente (z).
FÓRMULA DE WINKLER-BACH
Esta fórmula permite calcular la flexión de piezas curvas a partir de la fibra media. Es decir que no es necesario la determinación del radio Rn de la fibra neutra. También tiene en cuenta la forma de la sección.
94
Estabilidad III
y = distancia de la fibra media a una cualquiera
m1 = punto extremo fibra media sin deformar
n1 = punto extremo fibra neutra sin deformar
P1 = punto extremo fibra cualquiera sin deformarm’1 y P’1 puntos extremos de las fibras después de la flexión que origina un giro relativo d
m m1 = fibra media sin deformar
n n1 = fibra neutra sin deformar
P P1 = fibra cualquiera sin deformar
La deformación específica de la fibra media O es :
01 1
11 1 0 11 2
m m
m mm m m m'
Como m m1 es en realidad un pequeño arco m m1 = Ro . d por lo que 2 queda:
m m Ro d1 1 0 3'
La deformación específica de la fibra cualquiera P es:
P P
P P1 1
1
4'
Tomando el punto auxiliar H P1 P’1 = P1 H - P’1 H por lo que 4
P H P H
P P
'1 1
1
5
95
La idea es tratar de expresar el de una fibra cualquiera en función de 0
Estabilidad III
De la figura 2 se deduce que:
P H m m Ro d
P H y d1 1 1 0
1
'
De la figura 1: P P1 = (Ro - y) d
Por todo esto 5 es:
y d R d
R y d
yd
dR
R y
y d R d
R y dsi
d
d
y R
R y
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
6
7 es la expresión de en funsión de 0
puede expresarse de la siguiente forma sin que sufra alteraciones la igualdad.Esta fórmula se puede trabajar matemáticamente sumándole y restándole el producto
0 · y
y R y y
Ro y
R y y
Ro y
y
Ro y
0 0 0 0
0 0 0
0 0
8
9
10
Esta fórmula nos da la deformación específica de una fibra cualquiera en función de la deformación específica de la fibra media 0.
Con esta ecuación de y yendo a la ley de Hooke, empezamos a deducir la fórmula de la tensión.
e0 es positiva porque la fibra media esta comprimida. Recordando que si una pieza esta sometida a flexión pura:
96
y como = E ·
para saber cuanto vale la tensión debo calcular 0 y ( - 0)
Estabilidad III
remplazando s por su valor según la ecuación 11, nos queda la ecuación 11.1.
Tomando M(-1)
Como y dA 0 por ser el momento estático de superficie respecto a una fibra baricéntrica 12 queda:
M Ey
R ydA E A
y
R ydA y
R y
R ydA y dA R
y
R ydA
y
R ydA R
y
R ydA
0
2
00
2
0
0
00
0
2
00
0
13
14
donde R0 es el radio de la fibra baricéntrica.La integral depende de la forma que tenga la sección y se denomina coeficiente de
Winkler Bach y se lo designa con la letra Z. La integral se calcula por tabla según la forma de la sección.
Ahora hay que plantear la otra condición: la suma de tensiones no debe dar ningún esfuerzo axil, porque si no estoy fuera del caso de flexión pura.
97
Como esta integral depende de la forma y medidas de la sección se toma:
y
R ydA Z A
0
15
Estabilidad III
La fórmula que utilizo es:
Y remplazando 0 por B y (-0) por A nos queda.
Esta formula solo nos da la tensión tangencial (al igual que el método de la fibra neutra) para secciones constantes.
La fibra mas solicitada es la que esta hacia el centro de curvatura.
Estas son todas ; la r en muchos casos se desprecia aunque a veces no será correcto hacerlo; ¿Cuando no hay que despreciarlo?
Determinación de tensiones radiales
98
+
-
Estabilidad III
La ley matemática exacta es la que vimos para una sección rectangular y daba una curva logarítmica. Este es un método aproximado para calcular la tensión radial.
Si igualamos esas dos fuerzas
T R y t
T
R y tT dA
r
r
0
0
;
La integral que debemos resolver es similar a la integral de la fórmula 14.
Toda la fórmula está dividida por t, entonces t es importante y r es muy pequeña, pero en este caso:
En donde Z es el factor WINKLER-BACH en función de la sección. Por todo esto:
99
22
Td
Tdsen
R anula a T
T dA
R R y d t
C
y
r
0
Estabilidad III
y
R ydA R Z A
M E Ro Z A
dA
Ey
R ydA
E dA Ey
R ydA
Ey
R ydA E A
y
R ydA
A
Z AA
o
o
o
2
00
0
0 00
0 0
0 0
0
0
0
0
16
17
0
0
0
18
19
20
y 13 queda:
De la condición de equilibrio =
Recordando 15 la 19 da
de 17
de 20
si reemplazamos a por 22
de 11.1 de donde
0 0
0 0
00
00
0 0
00
0 00
0 0
21 22
23
24
124 1
M
E R Z A
M
E R Z A
Z A A
ZA A Z A
ZA A Z AM
E R Z A
AM
E R
M
E R A
N E A EM
E R A ZZ A N
M
R E A.
Por último si en 11 introducimos los valores de 0 y ( - 0)
EM
E R A
M
E R Z A
y
R y
M
R A Z
y
R y
N
A
M
R A Z
y
R y
0 0 0
0 0 0 0
11
25 11
26
Deformaciones
100
Para flexión pura Para flexión compuesta
La teoría de Winkler-Bach no es aplicable a perfiles de alas anchas y delgadas
tComo el ala es corta, capaz que no pasa nada ...
tAparte del momento flector de partida se produce la fuerza T que me produce una segunda flexión que quizás sea más importante que el momento flector de partida
Estabilidad III
Queremos ver cuanto se acercan o separan los puntos A y B. Tenemos que utilizar el teorema de Castigliano:
Donde:A: área de sección recta elementalN: esfuerzo normalE: módulo de elasticidad longitudinalG: módulo de elasticidad transversalQ: esfuerzo de corteM: momento flexorP: cargaU: energía de deformación totalds: longitud del bloque, medida sobre el eje baricéntrico de la pieza
TENSIONES RADIALES
En todo lo que hemos calculado = y no se consideró r , se despreció. Una manera de calcular r es la siguiente:
re i e
ie
ei
i
e i e
ie
ei
ie i
n
N
R R
r
R
RR
r
RR
R
r
nR R
r
R
RR
r
RR
R
rR R
4
4
2 2
22 2
2 2
22 2 2
ln ln ln
ln ln ln
El calculo de tensiones tangenciales se hace por hipótesis simplificativas de resistencia de materiales.
Tomando el área A´ de toda el área A se ve que las tensiones producen fuerzas T
101
que dan una componente dirigida hacia el centro de curvatura. Para mantener el equilibrio debe aparecer una fuerza R causada por las tensiones radiales.
La tensión T va a estar contrarrestada por una r en el otro sentido
r
nA
R A R y t
Z
Z
0 0
1
A’ es el pedacito donde quiero calcular la r
Estabilidad III
T dAC
y
r
r
r
R y d t Td
T R y t
T
R y t
0
0
0
22
27
sen
La 26 es, de acuerdo con 25
TM
R A Z
y
R ydA
TM
R AdA
M
R Z A
y
R ydA
TM
R AdA
M
R Z A
y
R ydA
TM A
R A
M
R Z A
y
R ydA
C
y
C
y
C
y
C
y
C
y
C
y
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
11
28
Muy fácilmente se demuestra que y
R ydA
C
y
0 es la misma integral que en el caso de la
fórmula de WILKER-BACH pero para la sección rayada A’
y
R ydA Z A
TM A
R A
M Z A
R Z A
M A
R A R y t
Z
Z
C
y
0
0 0
0 0
29
1 30
con lo que la 28 queda
y de la 27
r
Para el caso de perfiles normales, las alas se llevan las mayores tensiones; Wilker - Bach no funciona para perfiles de ala ancha . 2L o
Las alas se llevan las mayores tensiones.
102
ny
AE Rn y
y’= distancia a la fibra más alejadaRn = Radio de la fibra neutra
RnAdA
r
Fórmula de Winkler-Bach
M
Rn A Z
y
Rn y1
1
Tensión circunferencial
Estabilidad III
FLEXIÓN DE PIEZAS CURVAS
Todas estas fórmulas tienen un campo donde no se las puede aplicar.
Las alas se llevan las dos T máximas, la chapa que forma el ala está sometida a la fuerza que yo tengo.
En un perfil con alas anchas y angostas aparecerá una fuerza perpendicular al área de la pieza; esto hace que el perfil resista mucho menos de lo esperado.
La forma para resolver esto es trabajar con el perfil de ancho reducido.
103
b/2 b/2
b’/2 b’/2
b’
b
b’= b < 1 siempre >< 1
G = hasta 1,67 para grandes relaciones
En Seely-Smith están las tablas de los coeficientes y en función del radio de curvaturaG es la tensión transversal
Estabilidad III
Ejemplo:
10 1120
25 2 1 10
40
60
50
40
50
2
62
1
2
3
mmkg
cm
r mm Ekg
cmR mm
mm
mm
mm
P kg
adm
,
104
Deformación debida a
La forma para resolver esto es trabajar con un perfil de alas reducidas
b’= b 1 siempreG = no siempre 1
Por este criterio de Bleis (fotocopias del SEELY & SMITH)
Estabilidad III
Determinación de los momentos y puntos más solicitados:
Expresión de Z:
A = 0,7854 cm2
M
R A Z
y
R y
kg cm
cm
kg cm
0 0
2
2
11
200
2 5 0 78541
1
0 0102
0 5
2 5 0 5
2597 14
, , ,
,
, ,
,
105
ZR
C
R
C
R
C
C cm R cm
Z
Z
1 2 2 1
0 5 2 5
1 22 5
0 52
2 5
0 5
2 5
0 51
0 0102
2 2
2 2
, ,
,
,
,
,
,
,
,
Estabilidad III
CASOS DE SECCIONES CON ALAS DELGADAS
El valor de la fuerza radial p distribuida sobre el ala está dada por:
pb r
b dtt
r
t
1
22 1
0
Llamando m a la tensión media en el ala si no flexionara tendríamos:
m x
E
r2
En la figura se ha indicado la forma de variación de que de acuerdo a 2 disminuye desde un máximo M a un mínimo para x = b.
Si en 2 hacemos E
r x queda:
b b men x b ;
Siendo
1 406
1 0 925 0 0079
2
2 4
2,
, ,
b
r t
Por comodidad el diagrama se lo transfiere en uno rectangular equivalente donde se considera cte. en un “ancho reducido” del ala igual a (2b’+b0). El factor de reducción es tal que:
b’= . b
106
Estabilidad III
1
0 563 0 0083
1 0 925 0 0079
2 4
2 4
, ,
, ,
La fuerza radial distribuida p dada por 1 produce tensiones ‘ cuyo máximo corresponde a x = 0 y viene dada por la expresión
' m
3
2 437 0 0259
1 0 925 0 0079
2 4
2 4
, ,
, ,
, y valen para = 0,25
El proceso operativo es:
a) Dado el perfil y la curvatura se calcula
b
t r
2
b) Se determina , y para el ala superior e inferior al igual que
c) Se calcula el ancho reducido del ala
2 20 0b b b b'
d) Para la sección reducida se halla z que luego se utiliza para determinar el diagrama de tensiones longitudinales en todo el perfil por medio de:
N
A
M
A R Z
y
R y1
1
e) Del diagrama así obtenido, se extrae el valor de m correspondiente al punto medio del ala.
f) Se calcula la tensión transversal del ala ‘ mediante
' m
z
z
kg cm
kg cm
1 24
0 52
4
0 5
4
0 51
0 0039
200
4 0 78541
1
0 0039
0 5
4 0 5
2373 64
2 2
2
, , ,
,
, ,
,
,
,
107
Estabilidad III
ESLABONES DE CADENAS
108
Estabilidad III
Por el Teorema de Castigliano:
UM
EJds Un
n
EJdS
n
EJR d
R
EJn d
UM
EJ
M
Mds
M
M
EJM
PRds
EJM
PRR d
M dPR
dPR
d
P R
M P R
2 2 22
00 0
0
00
2
00
2
0
2
0
2
0
1
2
1
2 2
0 1
1
21 0
1
21
2 20
2
20 1817
Energía interna de deformación
Resolviendo
M0
cos
cos
cos
.
,
El signo (-) significa que el M tomado en la figura es de sentido contrario.
' ''
cos , cosP
A
P R P R
A R Z
y
R y2
0 1817 2 11
1
109
No es una incógnita estática puesta de manifiesto para resolver el sistema hiperestático; diferencial de largo: dS = R d
La deformación que tenemos que resolver
UnR
EJMo
Pd
UnR
EJMo
PRd
2 2
2 21
0
2
cos
cos
Estabilidad III
TRAMO AB:
M M
PR M
M
M MP
x
M MPRAB
AB
0
0
0
02
1 1 2
21
coscos
TRAMO BC:
M MM
MBCBC 00
1
110
M = M0
Unn
EJds
n
EJds 1
2
1
2
2
0
22
0
En definitiva va a quedar
UnR
EJn d
EJn ds
UnR
EJn
dM
dMd
EJn
dM
dMds
UnR
EJM
PRd
EJM ds
2
1
2
2
1
20
2 21
1
2
2
0
2 2
0
0
00
2 0
00
00
200
cos
Esta es la integral a resolver
A
Un es la energía interna total (de los dos tramos)
No tengo momento generado por P
d2 ; dado que d = 0
UM
EJds
M
EJdsn
R 1
2
1
2
2 2
00
2
Estabilidad III
TRAMO AC:
M
EJ
M
Mds
M
EJ
M
Mds
M
EJds
M
EJds
M
EJRd
M
EJds
R
EJM
P Rd
EJM ds
R
EJM d
P Rd
P Rd
EJM ds
R M dP R
dP R
d
AB AB BC BC
AB BC
AB BC
0 0
0
2
0
0
2
0
0 000
2
00
2
0
2
0
2
00
00
2
0
2
0
0
0
0
21
10
2 2
10
2 2
cos
cos
cos
2
00
0 02
0
0
2 2 2 20
M ds
R MP R P R
M
sen
Trabajaremos, ahora, con el valor exacto dado en las ecuaciones:
00
0
00
2
1
1
20
M
E R Z A
E AP
M
R
M
E R Z A E A
P M
Rd
+ cos
111
Es la solución de la integral A
M
PR
R0
21
2
2
ecuación 21
Estabilidad III
Esta ecuación nos da la variación angular total de la parte curva del eslabón, que para este caso ya no sería nula sino igual y contraria a la variación angular de la parte recta, de modo que:
112
Por la sección “A-A”
Estabilidad III
ANILLO CON CARGA DISTRIBUIDA
M M q R R x q R xR x
x R
M M q R qR
M M q R qR
M
E J
M
MRd
M
M
M q R qR
d
M d q R d q R d qR
D
D
D
D D D
0
02
2
02
22
00
2
0
02
22
0
2
02
0
22
0
2 2
0
2
2
12
1 1
12
1
0 1
12
1 0
2
cos
cos cos cos
cos cos
cos cos
cos
1
1
4
2
0
2
02
cos
d
M q R
113
Aplicando el teorema de Castigliano hay que igualar a cero y despejar M0
Estabilidad III
ESLABÓN CON CARGA DISTRIBUIDA
M M q R qR
M M
M
E JR d
M
E Jds
R M q R qR
d M ds
R M d q R d q R d qR
d q R d
qR
AB
BC
AB BC
02
22
0
0
2
0
02
22
0
2
00
03
0
23
0
2
0
2 33
0
2
0
2
3
12
1
0
12
1 0
2
2
cos cos
cos cos
cos cos
cos
despreciando la carga distribuida
d M ds 0
2
00
2
0
114
Estabilidad III
R M q R qR
qR
M
M R q R q R q R
M R q R
M R q R
MR
q
2 2 2 2 2
1
20
2 2 4 80
2 2 4 80
2 80
2
2
03
3 3
0
2
0
03 3 3
03
03
0
sen cos
R
M q RR
Mq R
RM
q
3
03
0
3
0
2
8
8
12
2
4 2 4
115
Estabilidad III
TORSIÓN DE PIEZAS DE SECCIÓN NO CIRCULAR
En las piezas de sección circular se demostró en su momento, y en forma muy sencilla, que las expresiones de la tensión y el ángulo unitario de torsión eran:
Mt
J
d Mt
G Jp p2 ;
Además la distribución de tensiones es la indicada en la figura
Para analizar el caso de una sección no circular, partiremos del caso del análisis de la distribución de tensiones de la sección circular, tratando de extenderla a otra no como por ejemplo una sección rectangular o una viga simplemente apoyada.
La primera suposición que podemos hacer es decir que la tensión es perpendicular al centro de torsión (siendo éste el centro geométrico de la pieza).
Como dicho se puede descomponer en zy y zx, tomando un cubo elemental en el borde se observa por el teorema de Cauchy que existen tensiones en caras distintas a la sección transversal, lo que resulta inadmisible con el caso de torsión pura que solo prevee
116
Estabilidad III
solicitaciones en la sección transversal por lo tanto: LA TENSIÓN NO PUEDE SER PERPENDICULAR A LA DISTANCIA AL CENTRO POLAR.
La segunda suposición es que la tensión sea tangente al contorno.
Esta suposición es válida para todos los puntos con excepción de los vértices.
¿Cómo hace el cubo elemental para girar el ángulo que describe por torsión? Para
No puede deformarse de esta manera por dos motivos:
a- Si admitimos esta deformación hay tensiones en caras laterales (inadmisible con la hipótesis de torsión pura) y la sección plana resulta alabeada en el espacio
b- En los vértices la tensión es nula.
Es decir que si admitimos que, en las secciones circulares, las secciones planas permanecen planas después de la deformación, la deformación de ese elemento hace aparecer
117
De todo esto se llega a la conclusión que en secciones no circulares la tensión es tangencial al contorno y nula en los vértices (teorema de Cauchy).Analicemos ahora el caso de la deformación.
Estabilidad III
tensiones en la cara lateral. Entonces la única opción es que el cubo gire y salga del plano transversal, y la sección se alabea en el espacio.
Para que el cubo elemental pueda rotar sin deformarse, la sección plana después de la deformación deja de ser plana.
Este es el problema que ocurre al torsionar en barras que no tienen sección circular.La solución al problema de torsión para secciones llenas no circulares fue hallado por
Saint Venant en 1855 y consiste en hallar una función de tensión en función del Mt y luego hallar las tensiones en función de dicha función de tensión.
Sin embargo Saint Venant realizó el análisis en forma inversa:1º)Establece la relación entre las tensiones y la función de tensión.2º)La relación entre la función de tensión y el Mt.3º)La característica de la función de tensión.
Supongamos el siguiente cuerpo sometido a torsión pura:
118
Este alabeo de las secciones transversales se observa muy fácilmente en una barra de goma de sección rectangular cuyas caras laterales se reticulan.
En puntos medios la tensión T = 0La función de tensión , no depende de Z, y si depende de x e y, solamente.
Estabilidad III
SECCIÓN NO CIRCULAR LLENA
El análisis consiste en hallar una ecuación de tensión que responda a todos los casos de torsión. Pero en este caso el método de la función de Airy no es práctico. Entonces lo que hizo Saint Venant fue ver que condiciones y que limitaciones va a tener esa función que el quiere encontrar.
Suponemos una barra sometida a torsión pura.
xy x y z
zx zy
x yx zx
xy y zy
xz yz z
zx
zy
xz yz
x y z fuerzas másicas nulas
x y zx
x y zy
x y zz
z
z
x y
0
0 0
0
0
0
0
0
0
, ,
;
Por la teoría de la elasticidad las ecuaciones de equilibrio son:
se transforman en
Eliminando las variables que son cero, las ecuaciones de equilibrio se transforman en 1 , 2 y 3, ya que tenemos torsión pura y solo existen zx y zy.
Las ecuaciones 1 y 2 nos dicen que zx y zy son independientes de z. Esto quiere decir que en los puntos B, B1, B2 y B3 las tensiones son iguales ya que solo varía la coordenada z (x e y permanecieron constantes). Esto implica que nuestra función de tensión dependerá de x e y , = f (x;y).
Dicha función de tensión = f (x;y) debe satisfacer la ecuación 3 , de aquí resulta que la relación entre , xz y yz para cumplir con 3
xz yzy x
4 5;
Remplazando 4 y 5 en 3, queda la ecuación:
2 2
0 6x y x y
Considerando ahora las deformaciones y las distorsiones :
119
1
2
3
Estabilidad III
Derivando las ecuaciones 7:
Derivando a cada una de las por las variables de sus subíndices obtenemos las fórmulas 9, 10 y 11.
9 , 10 y 11 forman un sistema de tres ecuaciones con 6 incógnitas por lo cual se necesitan otras tres más. Todavía no conocemos ni .Volviendo a las ecuaciones 8 y derivando:
1. xy por z y x, a xz por x e y, a yz dos veces por x.2. xy por z e y, a xz dos veces por y, a yz por x e y.3. xy dos veces por z, a xz por z e y, a yz por x y z.4. x por z e y, a y por x y z, a z por x e y.
De forma que se obtienen las tres ecuaciones restantes. Mostraremos el desarrollo de una de ellas (la primera).
2 3 3
2
2 3 3
2
2
2
3
2
3
2
12
xy
xz
yz
z x
u
x y z x z
y x
u
x y z
w
x y
x x z
w
x y
Sumando y restando en forma conveniente las ecuaciones 12 .
120
Relaciona las distorsiones en función de las deformaciones específicas
Estabilidad III
14, 15 y 16 son las ecuaciones restantes.Si en el sistema formado por las ecuaciones 9, 10, 11, 14, 15, 16 reemplazamos a las
deformaciones y por sus expresiones correspondientes a la ley de Hooke y poniendo G en función de E. La ley de Hooke:
Pero como estamos en un estado triple, al alargamiento originado por x hay que restarle las contracciones producidas por las otras dos tensiones que son perpendiculares a x, y nos queda:
donde:G: módulo de elasticidad transversal.E: módulo de elasticidad longitudinal.
Remplazando x, xy, xz, yz en la 14, queda:
Operando con las ecuaciones 9, 10, 11, 14, 15, 16, llegamos a otras 6 ecuaciones, a saber:
121
Estabilidad III
1 0
1 0
1 0
1 0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x y z x
x y z y
x y z z
x y z x y
x x y z
y x y z
z x y z
xy x y z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
1 0
x y z x z
x y z y z
yz x y z
yz x y z
Como para nuestro caso salvo xz y yz todas las demás tensiones valen cero, nos queda:
1 0 17
1 0 18
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x y z
x y z
xz
yz
Si aquí reemplazamos a xz y yz por sus valores 4 y 5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
x y z y
x y z x
que pueden expresarse
y x y z
x x y z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
Recordando que no es función de z, el tercer miembro dentro del paréntesis es cero en ambas ecuaciones.
y x y
x x y
2
2
2
2
2
2
2
2
0 19
0 20
122
Estabilidad III
Para que se cumplan las igualdades 19 y 20 solo hay una posibilidad: que el término dentro del paréntesis sea constante:
2
2
2
2 21x y
F cte
Supongamos que por torsión en punto B pasa a la posición B’; es decir, que el punto B rota sobre el mismo plano.
Donde 2 es el ángulo que rotó por causa de la torsión. Si el punto B pasa al B’ significa que hubo dos corrimientos: un corrimiento u y otro v.
Si escribimos las ecuaciones de las tensiones según la ley de Hooke para torsión, y reemplazamos las distorsiones por las ecuaciones 8 que nos definían las distorsiones en función de los corrimientos:
Si el ángulo de rotación 2 es infinitesimal, entonces:
Los corrimientos u y v los calculo en función de 1:
123
Estabilidad III
Además:
Por lo tanto:
Además sen ; cos
y
r
x
r
u ry
ry
v rx
rx
El ángulo unitario de torsión vale:
z
z
u z y
v z x
Llevando los valores de estos corrimientos a las expresiones 22 y 23 nos da:
Derivando el primer término del paréntesis con respecto de z en ambas ecuaciones, nos queda:
124
Estabilidad III
Quiero llegar a F; entonces, derivando:
2
2
2
2
2
2
yG G
w
x y
xG G
w
x y
Restando:
De la comparación entre 21 y 26 hallo el valor de la constante F.
2
2
2
2 2 27x y
F G
De la condición inicial de sección sometida solamente a torsión, el momento torsor vale:
Tenemos dos integrales que no sabemos cuanto valen.Resolviendo por partes las integrales entre 2 puntos de contorno.(Por las condiciones de
contorno)
y d y dy
x d x dx
m
n
m
n
29
30
125
Estabilidad III
Las ecuaciones 29 y 30 tampoco nos dicen nada, porque no sabemos cuanto vale . Podemos tratar de definir cuánto vale la función en un punto del contorno por medio de las condiciones de borde para un plano cualquiera. (x = y = z = 0).
Condiciones de contorno
Remplazando x, xy, xz, y, yz y z, por los valores de hipótesis (torsión pura), nos queda:
Si en 31 reemplazamos a las tensiones por las expresiones 4 y 5
La 32 implica que es constante en el borde se la puede tomar como cero, por lo que 29 y 30 valen:
y d dy
x d dx
Reemplazando en 28 nos da:
Mt dx dy dy dx
Mt dx dy
2 33
La expresión final que nos vincula la función de tensión con el Mt de Saint Venant, dió soluciones exactas para secciones que pudieran expresarse como fórmulas matemáticas, como los casos de elipse, rectángulo, triángulo y semicírculo. Como ejemplo veremos el caso de la elipse.
ELIPSE
126
La ecuación de la elipse es x
a
y
b
2
2
2
2 1 0
Se adopta una función de tensión
m
x
a
y
b
2
2
2
2 1 que cumple con las condiciones
de: 1) = f (x;y) 2) es nula en los bordes
3)
2
2
2
2x ycte
Laplaciano de orden 2 (dos)
2
2
2
2 0x y
Estabilidad III
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 22
2
x
m
a y
m
b
x y
m
a
m
bF F m
a b
a bm
F a b
a b
;
Por lo que la función original vale:
Para el caso de la elipse:
127
Estabilidad III
A a b Jb a
Jb a
Mt Fa b
a b
b a
a
b a
ba b
MtF a b
a ba b
Mt Fa b
a bya establecimos que F m
a b
a b
Mt ma b
a b
a b
a b
Mt m a b mMt
x y
; ;3 3
2 2
2 2
3
2
3
2
2 2
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
3 3
2 2
4 4
4 4
1
2
1
22
1
22
a b
Quiero conocer en función del Mt.Volviendo a la fórmula de resulta:
Mt
a b
x
a
y
b
y
Mt y
a b
Mt y
ab
Mt
abAxz xz
2
2
2
2
3 3 3
1
2
2 2
yz
yz
xMt x
a b
Mt x
a b
Mt
a bb
2
2 2
3 3 3
Las tensiones en los puntos I y II valen:
Para el punto I
es la mayor yz
está ubicada sobre el radio menor
xz
yz
cte
a b
cte
a ba
cte
a b
3
3 2
0 0
128
y=0
x=0xz
I
II yz
Con A y b: llegué a una fórmula final similar a la obtenida para sección circular.
Para el punto II
es la mayor xz xz
está ubicada sobre el radio mayor
yz
cte
a bb
cte
a b
cte
a b
Nota cte MtMt
3 2
3 0 0
21
2
Estabilidad III
ANALOGÍA DE LA MEMBRANA ELÁSTICATABLA 14
Fórmula aproximada para las tensiones tangenciales de torsión y ángulos de torsión obtenidas con el análisis matemático.
Sección transversalRelación entre la torsión tangencial y el momento
tensor
Relación entre el ángulo de torsión por unidad de
longitud y el momento tensor
bt ht
t b h
T
G1
12 22
Nota: Para valores de y , ver tabla 13.
T = momento torsor = ángulo de torsión por unidad de longituda = área de la sección transversal
129
Estabilidad III
J = momento de inercia polarG = módulo de elasticidad transversal.
b/h
1 0,208 0,1411,5 0,239 0,1962 0,246 0,229
2,5 0,256 0,2493 0,267 0,2634 0,282 0,2816 0,299 0,29910 0,312 0,312 0,333 0,333
TABLA 13
Recordando que
Jb a
y Jb a
Mt
b ay
Mt
Jy
Mt
b ax
Mt
Jx
x y
xz xzx
yz yzy
3 3
3
3
4 4
4
2
4
2
De aquí se puede deducir que la máxima tensión se encuentra en los puntos más cercanos al baricentro.
F G
FMt a b
a b
2
22 2
3 3
Resulta:
22
2 2
3 3
2 2
3 3
Mt a b
a bG
Mt a b
G a b
CASO DE LA SECCIÓN RECTANGULAR Y SUS APLICACIONES
No nos interesa en este caso hacer la demostración de Saint Venant para algunas otras secciones. Los resultados finales pueden verse en la tabla 14.
130
El ángulo de torsión se obtiene
Estabilidad III
Se interesa hacer notar que la fórmula para una sección cuadrada o rectangular.
T
b ho
Mt
b h
b h
T
Go
b h
Mt
G
2 2
3 3
1 1
Puede ser aplicada para cualquier sección que pueda descomponerse en rectángulos estrechos y largos (perfiles) adoptando los valores de = = 0,333 = 1/3
3
3
2
3
Mt
b h
Mt
G b h
ANALOGÍA DE LA MEMBRANA
El modelo matemático de Saint Venant es complicado y solo provee de soluciones para algunos tipos de secciones. Por causa de ello se desarrollaron métodos experimentales para obtener las soluciones a las secciones más complicadas. Uno de los más exactos es el de la analogía de la membrana ideado por Prandlt; observó que la ecuación diferencial
2
2
2
2 2x y
G
es la misma ecuación diferencial que tiene una membrana elástica, originalmente plana, que se deforma por una corriente de aire a presión.
131
Estabilidad III
Esta función de tensión nos da una superficie que:
a- Su volumen es proporcional al momento torsor.
b-
c- La pendiente en la dirección y y
es la tensión xz.
d- La pendiente en la dirección x x
es la tensión yz.
La membrana elástica tiene un contorno que coincide con el de la sección en estudio y se encuentra en equilibrio por la acción de la presión P interna y una carga constante por unidad de longitud a lo largo de su contorno y tangente a la misma.
s . dy = fuerza por unidad de longitud
z
x
z
x
z
xdx
2
2
132
Estabilidad III
Las fuerzas verticales que actúan son :
a) p . dx . dy
b) s . dy . sen = s . dy . = sz
xdy
s dy s dy s dy
z
x
z
xdxsen
2
2
c) sz
ydx
=
s dxz
y
z
ydy
2
2
De las expresiones de la analogía de la membrana surgen las siguientes conclusiones:
1º.Para las tensiones: como las tensiones son proporcionales a las pendientes, para un cierto ángulo de torsión resulta que:
a) La tensión en puntos del contorno convexos hacia afuera (punto A) es menor que la que se produciría si el borde fuera recto y en vértices salientes la tensión es nula (coincidente con el análisis de Saint Venant).
b) La tensión en puntos del contorno cóncavo (punto B) es mayor que la que existiera si la sección fuera recta, y teóricamente en un vértice interior la tensión sería infinita.
c) La tensión máxima en una sección no aparece siempre en el mismo lado, puede estar en el punto más cóncavo del contorno o cerca de uno de los puntos del
133
S es la fuerza que actúa sobre la membrana
Estabilidad III
contacto del mayor círculo inscripto que permita la sección. Veamos algunos ejemplos. No sabemos donde está la máxima.
2º.Para el ángulo unitario de torsión: ya que el Mt necesario para producir un ángulo de torsión es proporcional al volumen encerrado surge que:
a) un elemento o sección rectangular larga y estrecha no es tan rígido como otra sección cuadrada de igual superficie.
b) la rigidez torsional de una sección rectangular larga y estrecha es aproximadamente la misma que una sección L, U, I, etc., siempre y cuando el ancho permanezca constante y la longitud de la línea media sea igual a la de la sección rectangular.
c) Cualquier orificio en la superficie reduce más la rigidez que lo que el corte reduce el área.
d) Cualquier aumento de la superficie aumenta la rigidez.
Recurrir a la tabla 14 y con ella a la tabla 13. Consultar SEELY-SMITH
134
Estabilidad III
TORSIÓN DE TUBOS DE PARED DELGADA POR ANALOGÍA DE LA MEMBRANA
1º. SECCIÓN SIMPLEMENTE CONEXA
Supongamos un tubo de sección cualquiera y espesor e = constanteAm = área media lm = largo total de la línea media
Si de 36 despejamos h h = . e y reemplazando en 38 Vol. = Am . . e , luego: Mt = 2 . Am . . e
Mt
Am e239
La fórmula 39 es válida para espesor constante. Para un espesor no constante:
Para sacar el ángulo unitario de torsión nos valemos del teorema de la energía interna
U Mte
Gd
m
1
2 240
2
0
Si reemplazamos a por la ecuación 39
135
Se puede decir por aproximación de considerar al trozo de membrana como recto.
h
e36
Además Mt = 2 . Volumen 37
Vol. = Am . h 38
Estabilidad III
1
2 8
441
442
2
20
20
2
MtMt
Am G
d
e
Mt
Am G
d
epara nuestro caso e cte
Mt m
Am e G
m
m
En caso de que el espesor no sea constante se procede de la siguiente manera:
Para la tensión se divide por el espesor mínimo, es decir:
má xmín
Mt
Am e
2
Para el ángulo unitario de torsión se divide a la sección en tramos de espesor constante y
se suman los cocientes me
, siendo m el largo de la línea media de cada tramo.
Mt
Am G
m
e4 2
2º. SECCIÓN DOBLEMENTE CONEXA
El ángulo unitario de torsión
136
Por iguales consideraciones que en el caso anterior, las tensiones son:
Estabilidad III
Mt
Am G
d
e
m
4 20
Esta última ecuación, volviendo a la ecuación 40
Mt = 2 . . Am .e
puede transformarse en:
Mucho más útil para nuestro caso ya que es variable;
2G Am = lm
Volviendo a la figura.
Toda la pieza está sometida a un ángulo de torsión
Para completar el área A1 en la 1ª ecuación m3 se recorre de C a F, para la 2ª ecuación m3 se recorre de F a C, de allí que en la segunda ecuación se reste.
Datos medibles Am
Lm
137
Estabilidad III
Tomando:
31 1 2 2
3
1 1 1 2 2 2
1 1 3 3 1
2 2 3 3 2
2
2
243
e ee
Mt Am e Am e
Am m G Am
Am m G Am
1
3 2 1 3 3 1 2
1 3 2 12
2 3 1 22
1 2 3 1 2
2
2
3 1 2 1 3 1 2
1 3 2 12
2 3 1 22
1 2 3 1 2
2
31 2 1 2 1 2
1 3 2 12
2
2
2
2
Mt e m Am e m Am Am
e e m Am e e m Am e e m Am Am
Mt e m Am e m Am Am
e e m Am e e m Am e e m Am Am
Mt e m Am e m Am
e e m Am e
e m Am e e m Am Am3 1 12
1 2 3 1 2
2
Conocidas 1 , 2 y 3 ; puede calcularse por medio de cualquiera de las 43 , por ejemplo:
1 1 3 3
12
m m
G Am
SECCIONES MÚLTIPLEMENTE CONEXAS
Doble
d Am G
n
m
20
nd Am G Am G
h
eLm
h h
eLm
nd Am G
nd Am G
nd Am G
Am Ge
me
m debería serh
eLm
h h
eLm
Am Ge
me
m
como h
2 20
22 1
2 2
1 20 0
2 20
11
11
2 1
33
1
2
11
12 1
31
12 1
3
22
22 1
3
h
e
h
e
h h
e
Am Gh
em
h h
em
Am Gh
em
h h
em
en el contorno h
; ;11 2 1
3
11
12 1
3
12
21 2
3
2
2
0
Triple
138
e
Sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas que resuelto nos da:
Estabilidad III
Mt Ami hi
nd G Am
G Amh
em
h h
em
h h
em
G Amh
em
h h
em
h h
em
G Amh
em
h h
em
h h
em
Dondeh
e
h
e
h
e
i
2
2
20
20
20
3
11
13 1
15
2 1
14
22
23 2
13
1 2
13
33
61 3
15
2 3
13
11
22
: ; ; 6
h h
e
h h
e
h h
e
Mt Am h Am h Am h
hm
e
m
e
m
eh
m
eh
m
eG Am
hm
eh
m
e
m
e
m
eh
m
eG Am
hm
eh
m
eh
m
e
1 2
14
1 3
15
2 3
13
1 1 2 2 3 3
11 5
1
4
12
4
13
5
11
14
12
2 3
1
4
13
3
12
15
12
3
13
6
2
2 0
2 0
; ;
m
e
m
eG Am
h Am h Am h Am Mt
sistema deecuaciones
5
1
3
13
1 1 2 2 3 3
2 0
2 2 2
139
A resolver, por ejemplo por método de determinantes.
Am2
Am3
Am1
Mt
Estabilidad III
TORSION DE PERFILES EN LOS CUALES SE RESTRINGE EL ALABEO DE ALGUNA SECCION
140
Estabilidad III141
Estabilidad III142
Estabilidad III143
Estabilidad III
Las flechas indican la dirección del flujo
144
Q
J
s
b
s x th tala
2
Pb
Q x th t
J tQ b h t
J
PQ b h t
JMt Q d P h t
Q e P h t
eP h t
Q
má x
má x
má x
2
2
2
4
2
ala
2e
Estabilidad III
CENTRO DE CORTE – TORSION QUE SE ORIGINA EN LOS PERFILES
Mt = Mt1 - Mt2
Mt G b h V h Mt J G
Mt G b h Mt C J bH se parece al Jp pero no es lo mismo
Mt
J G
Mt h
Jrigidez a la torsión C
yh d
dx
d y
dx
h d
dxQ
dM
dxE J
d y
dxE J
h d
dx
d y
dx
h d
dxMt Q h E J
h d
dx
Mt C E Jh d
dx
13
2
13
13
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2 2
2 2
2
2 2
1
31
3
1
3
2
2 2
2 2
2
2 Ecuación diferencial
145
yMt
bh
Mt
bh G
Mt yh J G
1
3
1
1
3
2
3
2
3
= Ángulo unitario de torsión, esta referido a la unidad de medida [m, cm, inch, feet
Estabilidad III
Ecuación de la Elástica
ECUACIÓN DIFERENCIAL
Juntando 3 y 4 podré armar el sistema para resolverlo
es la única incógnita entonces la transformo en una ecuación diferencial
donde: x es el largo de la viga.
Para poder resolver los casos de perfiles a los cuales se les restringe el alabeo de una o mas secciones, hay que resolver esta ecuación diferencial considerando las condiciones de borde que tienen (si esta empotrado, donde está empotrado) considerando los valores de x, el ángulo ; y de ahí determino el valor de las constantes A y B.
146
Ecuación diferencial para cualquier sección que se me ocurra tomar
Estabilidad III
Hay que despejar A y B. La fórmula quedará de la siguiente manera para un perfil C:
de (6) surge que el ángulo giró el extremo libre.
Para obtener la máxima tensión tangencial de torsión debo de calcular Mt2 que me da la torsión sin alabeo.
para perfiles:
Me falta la flexión, entonces debo calcular el momento flector por la ecuación de la elástica.
147
Estabilidad III
Lo que me hará variar será:1º donde esta aplicado el torsor?2º Cuales son las reacciones de vínculo?
De aquí van a surgir las distintas soluciones.
148
Estabilidad III
ÍNDICE
BIBLIOGRAFÍA:........................................................................................................................................... 2
TEMAS:.......................................................................................................................................................... 2
CONVENCIÓN PARA LAS SOLICITACIONES........................................................................................2
TEORÍA MATEMÁTICA DE LA ELASTICIDAD......................................................................................3
TEOREMA DE CAUCHY........................................................................................................................... 5TENSIONES PRINCIPALES...................................................................................................................... 7PLANOS PRINCIPALES............................................................................................................................ 8DEFORMACIONES.................................................................................................................................. 10LEY DE HOOK PARA UN ESTADO PLANO DE TENSIONES.............................................................11ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO...............................................................................12FUNCIÓN DE TENSIÓN DE AIRY = F (X;Y)..........................................................................15
CONCLUSIONES........................................................................................................................................ 28
COORDENADAS POLARES...................................................................................................................... 31
DEFORMACIONES.................................................................................................................................. 34
CILINDROS DE PARED GRUESA............................................................................................................ 36
Cilindros de pared gruesa..................................................................................................................... 37CILINDROS DE PARED GRUESA........................................................................................................44
TEORÍAS DE LA ROTURA.............................................................................................................................. 45
AUTOZUNCHAJE....................................................................................................................................... 54
PLASTIFICACIÓN TOTAL............................................................................................................................... 58ESTADO DE TENSIONES DEBIDO A CARGAS POR TEMPERATURA PARA EL ZUNCHAJE.......................................59
DISCOS GIRATORIOS............................................................................................................................... 63
DISCO CON ESPESOR CONSTANTE CON AGUJERO CENTRAL......................................................67
DISCOS DE ROTACIÓN DE ESPESOR VARIABLE...............................................................................73
ESPESOR VARIABLE SEGÚN UNA LEY MATEMÁTICA....................................................................75PARA UNA FORMA CUALQUIERA DE DISCO.....................................................................................79
FLEXIÓN DE PIEZAS DE GRAN CURVATURA.....................................................................................84
DETERMINACIÓN DEL RADIO DE LA FIBRA NEUTRA.....................................................................92FÓRMULA DE WINKLER-BACH...........................................................................................................94TENSIONES RADIALES........................................................................................................................ 101
FLEXIÓN DE PIEZAS CURVAS.............................................................................................................. 103
CASOS DE SECCIONES CON ALAS DELGADAS.................................................................................106
ESLABONES DE CADENAS..................................................................................................................... 108
ANILLO CON CARGA DISTRIBUIDA...................................................................................................113
ESLABÓN CON CARGA DISTRIBUIDA..............................................................................................114
TORSIÓN DE PIEZAS DE SECCIÓN NO CIRCULAR..........................................................................116
SECCIÓN NO CIRCULAR LLENA......................................................................................................118
ANALOGÍA DE LA MEMBRANA ELÁSTICA.......................................................................................130
149
Estabilidad III
CASO DE LA SECCIÓN RECTANGULAR Y SUS APLICACIONES....................................................132ANALOGÍA DE LA MEMBRANA........................................................................................................132
TORSIÓN DE TUBOS DE PARED DELGADA POR ANALOGÍA DE LA MEMBRANA...................136
1º. SECCIÓN SIMPLEMENTE CONEXA............................................................................................1362º. Sección doblemente conexa............................................................................................................ 137Secciones múltiplemente conexas......................................................................................................... 139
TORSION DE PERFILES EN LOS CUALES SE RESTRINGE EL ALABEO DE ALGUNA SECCION..................................................................................................................................................................... 142
CENTRO DE CORTE – TORSION QUE SE ORIGINA EN LOS PERFILES..........................................147
150