cilindros y esferas de pared gruesa

7/23/2019 Cilindros y Esferas de Pared Gruesa

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Diseño de Recipientes a Presión

• Cilindro y esferas de pared gruesa

• Esfuerzos térmicos y su influencia



Cilindro de pared gruesa. Esfuerzos

Casos como: cañones militares,máquinas de expulsióncilíndricas hidráulicas de alta

presión, etc.; con espesor delcilíndrico relativamente grande.

En estos casos se origina unaapreciable variación de losesfuerzos en dirección radial.

Fig. 2.21: Esfuerzos en cilindrode pared gruesa uniforme,sometido a presión interna p

i yexterna p

o.

Ing. Miguel Alvarez 2



Cilindro de pared gruesa. Esfuerzos

La deformación será simétricaalrededor del eje y será constanteen sentido axial.

Fig. 2.21a, por simetría de la cargano existen esfuerzos cortantes enlos bordes del elemento diferencialm nm 1n 1 .

Esta es la razón por la que se usancilindros concéntricos, no hay

esfuerzos cortantes entre cilindroscontiguos.

Fig. 2.21b, el esfuerzo tangencial esigual en ambos lados y el esfuerzoradial normal varía con r .

Del equilibrio de fuerzas en ladirección radial para el elementodiferencial Fig.2.21b y sabiendo quepara φ pequeño sen φ ≈ φ rad, setiene:

Despreciando términos de 2do. orden




Esfuerzos y deformaciones

Asumiendo que la deformaciónlongitudinal es igual para todos lospuntos, luego la deformación delcilindro es simétrica respecto al eje

y por tanto, todos los puntos sedesplazan radialmente en elespesor.

Este desplazamiento es constanteen la dirección circunferencial, perovaría a lo largo del radio.

Si u es el desplazamiento de lasuperficie en r , para la superficie en(r+d r), será:

Para el elemento diferencial, ladeformación radial unitaria será:

La deformación unitaria endirección circunferencial, será:

De Ec. 2.3.4 y 2.3.5 se obtienen los

esfuerzos en función de lasdeformaciones.




Esfuerzos y deformaciones

Reemplazando estos esfuerzos enEc. (2.8.3), se obtiene expresióndel

desplazamiento:

La solución general es:

Reemplazando (2.8.10) en (2.8.7) y2.8.8), da:

Los esfuerzos radiales son igualesa la presión interna e externa, esdecir:

Con lo cual las constantes serán:

Expresión general de esfuerzos,

será: (solución de Lame)




Esfuerzos Generales. Caso de cilindro con

presión interna En Ec. 2.8.15) y (2.8.16), se

observa que el máximo esfuerzotangencial ocurre en radio interiory el esfuerzo radial máximo será

el mayor valor entre p

i y p

o

.

Sumando ambos esfuerzo da unvalor constante, significa que ladeformación en dirección axial esla misma y la sección transversal

permanece plana después de ladeformación.

El máximo esfuerzo cortante será,

En muchos casos p o = 0y losesfuerzos se reducen a:

Ambos esfuerzos tienen su valormáximo en el radio interior.

r es de compresión y menorque t,

El valor mínimo de t ocurre enla superficie exterior (b ).




Esfuerzos en cilindro con presión internap

o

= 0


En Tabla 2.1 se comparanlos esfuerzos tangencialesque resultan de soluciónde Lame y el esfuerzo

promedio aplicado encáscaras o membranas.

Para K=1 .1 la diferenciaes pequeña, si h= 2 0 a el esfuerzo máximo difiereen 1 0 .

El esfuerzo cortantemáximo se da en r= a ,



Esfuerzos en cilindro con presión externapi = 0

Ec. (2.8.15) y (2.8.16) se reducena:

Ambos esfuerzos son decompresión, siendo t de mayormagnitud.

El máximo esfuerzo tangencial decompresión ocurre en lasuperficie interior.

El máximo esfuerzo radial se daen la superficie exterior ( r=b) .

Cuando la presión es en sentidoopuesto, como el caso de vacíointerno del cilindro o por efectode una carga exterior, p

o sereemplazaría por – p o.

Desplazamiento radial u , (2.8.14)en cualquier punto del cilindro:

+

Para r = a y p

o

= 0, da




Deslazamiento en cilindro con presión

externa (pi = 0)

Para r = b y p o = 0, da:

Para r = a y p

i

= 0, da:

Para r = b y p i = 0, da:

El sino negativo significa que eldesplazamiento es hacia el eje delcilindro.

El lejos de esfuerzo longitudinalz, si tiene tapa y lejos de ella es:

Este esfuerzo tiene un valorintermedio al radial y tangencial,y su desplazamiento usualmentees insignificante.

El efecto de este esfuerzo sobre

la deformación se puede obtenersuperponiendo el efecto de uncilindro abierto y ( r y t).

La contracción lateral será:




Desplazamiento (u )

Reemplazando en Ec. (2.4.1), para r = b , se tiene:

Deformación total para recipiente cerrado en r = b , lejos de losextremos del cilindro.

La medición de la deformación radial, en recipiente sometidos apresión alta, puede ser usado para medir la presión durante laoperación a altas temperaturas.




Esfuerzos en esferas de pared gruesa

En forma similar al cilindro depared gruesa, se pueden obtenerlos esfuerzos para la esfera.

El esfuerzo tangencial siempre

tiene el valor máximo y ocurrepara r = a .

Si la esfera esta sometida sólo apresión interna (p o

= 0 ), resulta:




Cilindro compuestos (Ajuste por contracción)

Un cilindro puede serreforzado con otro cilindroexterior de manera queexista una presión de

contacto entre los dos. La presión se produce por

un ajuste de apriete enr= b .

Para el ensamble se puede

calentar el cilindro exterioro enfriar el cilindro interior.

La presión de contactodependerá de la inferenciainicial.




Cilindro compuestos (Ajuste por contracción)

La presión de contacto p se convierte en una presión interna para elcilindro exterior y una presión externa para el cilindro interior.

Para el cilindro interior el desplazamiento en r=b es negativo (u - ) y parael cilindro exterior el desplazamiento en r = b es positivo ( u+) .

La suma de los valores absolutos de ambos desplazamiento será igual ala interferencia radial.

Fig. 2.23: Esfuerzo tangencial para a=6”, b=8”, c=10” y E=30000 KSI;a) esfuerzo debido a la interferencia δ= 0.004”, b) Esfuerzo debido a lapresión interna p = 20 KSI , c) Esfuerzo total.




Esfuerzos térmicos y su influencia.

Resultan al restringir la naturaldilatación o contracción de unelemento debido al cambio detemperatura.

Fig. 2.27 a) la placa es calentadade una temperatura T1 a T2, elcambio unitario de longitud es:

= ∙ (2 1)

α : coeficiente de dilatación

térmica En este caso la placa es libre de

expandirse y no se produce elesfuerzo térmico.

Fig. 2.27 b) La placa restringida adilatarse en y , pero tiene libredilatación lateral en x , debido alefecto de Poisson.




Esfuerzos térmicos y su influencia

Esfuerzo térmico uniaxial,

Fig.2.27 c) Placa restringida en xe y , las deformaciones principalesserán iguales,

1 = 2 = 2 1 = ∆

De Ec. (2.3.4) y (2.3.5) se

obtienen esfuerzos principales:

1 = 2 = −

1− (2.11.3)

Si existiera una 3ra. restricciónperpendicular al plano x-y .

El esfuerzo será:

3 = −

1−2 (2.11.4)

Estos esfuerzos térmicos son los

valores máximos originados poruna restricción total. Fig. 2.28.




Esfuerzos térmicos y su influencia

En dilatación, el signo menos indica que es un esfuerzo de compresión.

En contracción, se produce un esfuerzo de tracción.

Fig. 2.27 consideró un cambio de temperatura uniforme, tal que el signo

y magnitud de los esfuerzos son constantes a través del elemento. Esfuerzos térmicos pueden ser originados por variación de temperatura

dentro de la estructura. Se generan una desigual dilatación debido a lainfluencia de dilatación de fibras adyacentes lo cual impide su normaldilatación.

Las fibras con alta temperatura son restringidas en su dilatación

(esfuerzo térmico) y aquellas con menor temperatura son comprimidas(esfuerzo mecánico).

La variación en la dilatación también debe satisfacer las condiciones deequilibrio de fuerzas internas. La fluencia del material produce un aliviodel esfuerzo térmico.




Esfuerzos Térmicos en cilindros largos

Para este caso, si en el cilindro no hay calentamiento uniforme, desde lasuperficie interior hacia la superficie exterior, los elementos no dilataránen forma uniforme y el esfuerzo térmico se presentará debido a la mutuainterferencia entre dichos elementos.

Como la temperatura es simétrica respecto al eje y constante en toda sulongitud, en forma similar a la teoría de pared gruesa, para secciones acorta distancia del extremo, da para esfuerzos principales:

Las integrales se pueden calcular

si se conoce la ley de variación

de la temperatura en la pared ycon ello se pueden determinar

los esfuerzos térmicos, para casos

particulares.




Esfuerzos térmicos en estado estacionario. Variación logarítmica de temperatura en la pared delcilindro.

Un caso frecuente de esfuerzos térmicos en un recipiente cilíndricoocurre cuando el calor fluye a través de los lados en forma estacionaria.Lo que genera un equilibrio térmico diferente (pero constante) entre lassuperficies interior y exterior del recipiente (espesor de pared).

La temperatura en cualquier punto de la pared esta dada en función dela temperatura de la superficie interior del cilindro Ta.

La variación de temperatura depende del radio exterior e interior.

Un recipiente de pared gruesa es más susceptible a fallar por esfuerzostérmicos que el recipiente de pared delgada.





La disminución de la temperaturaa través del espesor del recipienteorigina un aumento del esfuerzotérmico. Es conveniente considerar

a la temperatura de superficieexterior igual cero (0); de maneraque cualquier otra condición detemperatura superficial se puedeobtener superponiendo sobre estacondición con un calentamiento o

enfriamiento uniforme, que noproduce esfuerzo térmico. VerFig.2.29.





Reemplazando Ec. (2.12.4) en (2.12.1), (2.12.2) y (2.12.3), da:

Si Ta >0 , el esfuerzo radial es de compresión a través del espesor delrecipiente y será cero (0) en las superficies interior y exterior.





El esfuerzo tangencial t y el esfuerzo longitudinal z

tienen la mismamagnitud en las superficies interior y exterior del cilindro y puede sercalculado reemplazando r=a y r=b en las Ec. (2.12.6) y (2.12.7),





Fig. 2.30 muestra la distribución de los esfuerzos térmicos para b/a = 2y Ta > 0 .

t y z son de compresión

al interior del cilindro por

querer dilatarse, pero el

material adyacente lo im-

pide por estar a menor

tempe ratura. En la parte

exterior esfuerzos cambiana tracción gradualmente,

situación contraria a parte

interior.





Cuando se usan materiales frágiles, como: refractarios, concreto, fierrofundido, etc., que tienen poca resistencia a tracción para estascondiciones; las grietas tienden a iniciarse en la superficie exterior y delmismo modo la falla por fatiga se iniciaría en esta ubicación, cuando el

recipiente se someta a una presión interna donde los esfuerzos detracción se sumen a los esfuerzos térmicos.

Cuando el espesor del recipiente es pequeño comparado con el radiointerior del cilindro, las Ec. 2.12.8 y 2.12.9 se pueden simplificar con:

b/a = 1 + m y log e (b/a) en una serie de términos,

Considerando un valor pequeño para m y despreciando términos deorden superior en la serie, se obtienen las Ec. (2.12.11) y (2.12.12).





Para espesores delgados de pared se puede hacer una mayorsimplificación, despreciando el término m/3 en comparación con 1.Reemplazando en Ec. (2.12.11) y (2.12.12), da

Se observa que el esfuerzo máximo es la mitad del caso con el materialtotalmente restringido, dado en la Ec. (2.11.3).




Esfuerzos térmicos en estado estacionario. Variación lineal de temperatura en la pared del cilindro.

Si el espesor del recipiente es pequeño comparado con el radio exterior,se puede usar una variación lineal como sigue,

Reemplazando esta expresión en Ec. (2.12.1), (2.12.2) y (2.12.3), da

Nuevamente los esfuerzos tangenciales y esfuerzos longitudinales sonmáximos en el interior y exterior de la superficie cilíndrica.




Esfuerzos térmicos en estado estacionario.variación lineal de temperatura en la pared del cilindro.

Reemplazando r=a y r=b en las Ec. (2.12.17) y (2.12.18) se obtiene elmáximo esfuerzo tangencial y longitudinal.

Para espesores delgados (a ≈ b), estas ecuaciones se pueden simplificaraún más,

En este caso, se obtienen los mismos esfuerzos térmicos que da lavariación logarítmica de temperatura Ec. (2.12.13) y (2.12.14).




Esfuerzos térmicos en estado estacionario

La distribución de esfuerzostérmicos sobre el espesor depared, también es la misma quepara placa plana empotrada en los

bordes. El empotramiento evita laflexión en la placa, cuando ella sesomete a una variación lineal detemperatura a través del espesor.

Fig. 2.31 muestra la variaciónlineal y variación logarítmica detemperatura. Para b/a = 1.2 ellineal difiere en 7% del logarítmico(max.) y para b/a = 2 es 23% dellogarítmico (max.)


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