tema 5: expresiones algebraicas. -...

Ejercicio 1.

Efectúa las siguientes sumas de monomios. Cuando el resultado no pueda simplificarse, déjalo indicado:

a) xxxxxx +−++− 117435 = xx 3)1117435( =⋅+−++−

b) 22

2222

37

33258 xxxxxx +−++− = 22

320)

37

311

3258( xx =⋅+−++−

c) ( ) xxxxxxxxxx 112251)371(2537 22222 +=⋅−+−+⋅++=−++−+

d) yxyxyxyx 2222 253 ++− = ( ) yxyx 221253 =⋅++−

e) 423117 33333 −+−+− yyyxx = ( ) ( ) 444213117 3333 −+−=−⋅+−+⋅− yxyx

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para simplificar un polinomio escribimos ‘simplificar’ y después este polinomio entre

paréntesis, para lo que pincharemos en el icono ‘Paréntesis’ dentro de la pestaña

‘Operaciones’ o los escribimos con el teclado. Repetiremos el proceso con cada apartado.

Figura 1

Tema 5: Expresiones algebraicas.

4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]

2

2. Apartado a.

Figura 2

3. Apartado b.

Figura3

4. Apartado c.

Figura 4

5. Apartado d.

Figura 5

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Expresiones algebraicas.

3

6. Apartado e.

Figura 6

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 2. Opera.

a) ( ) ( )xyx 53 2 ⋅ = yxyxx 32 1553 =⋅⋅⋅⋅

b) ( ) ( )yx 33 ⋅ = xyxyyx 3333 2 ==⋅⋅⋅

c) ( ) ( )22 2:3 xxy = 22222

222

29

29

23 yyx

xyx

== −

d) ( ) ( )xx 232⋅⋅ = 322 62323 xxxxx =⋅⋅⋅=⋅

Solución. - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para resolver estos apartados debemos escribir las operaciones de la misma manera que las

vemos en el enunciado, solamente teniendo en cuenta que para insertar potencias y raíces

pinchamos en el icono correspondiente, dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Además debemos

tener cuidado con los paréntesis, ya que se podría alterar el resultado.

Figura 7


4

2. Apartado a. Figura 8

3. Apartado b. Figura 9

4. Apartado c. Figura 10

5. Apartado d. Figura 11



5

Ejercicio 3.

Sean 25xA = , xB 4= , 22xC −= , calcula:

a) CA + = 2222 3)25()2(5 xxxx =⋅−=−+

b) BA ⋅ = 3122 204545 xxxx =⋅⋅=⋅ +

c) CA 32 + = [ ] [ ] ( ) ( ) =⋅−⋅+⋅⋅=−⋅+⋅ 2222 )2(352)2(3)5(2 xxxx

( ) 222 4610 xxx =−+

d) 3B = ( ) 3333 6444 xxx =⋅=

e) CA −2 = ( ) ( ) ( ) 2422*22222 2252525 xxxxxx +=+=−−

f) CBA 102 ++ = ( ) ( ) ( ) =⋅⋅−++=−⋅++ 2222222 1024521045 xxxxxx

22222 )20165(20165 xxxxx =⋅−+=−+

g) ( ) CBA :⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−=−⋅⋅=−⋅ + 2321222 2:202:452:45 xxxxxxx

xx 102

20 23 −=− −

h) BC : = 22

142

42 12

2 xxxxx −

=−

=−

=− −

i) ( ) BCA ⋅: = xxxxxxxxx 10

220

2454

254

254

25 22

2

2

−=−

=⋅−

=⋅−

=⋅

⋅−

=⋅

− −

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para operar podemos escribir lo que queremos calcular todo seguido o, como en este caso

(y de manera más sencilla) dando nombre a los monomios o polinomios y luego operando con

los nombres solamente. Para ello escribimos el nombre, después ‘=’ y a lo que le damos el

nombre. Las operaciones debemos escribirlas dentro del mismo bloque, para lo que pinchamos

en la tecla intro para darle un espacio más. Debemos tener cuidado con esto, ya que si no

están los nombres y las operaciones en el mismo bloque, Wiris no entenderá a qué hacemos

referencia.


6

Figura 12

2. Apartado a.

Figura 13

3. Apartado b.

Figura 14


7

4. Apartado c.

Figura 15

5. Apartado d.

Figura 16

6. Apartado e.

Figura 17


8

7. Apartado f.

Figura 18

8. Apartado g.

Figura 19

9. Apartado h.

Figura 20


9

10. Apartado i. Figura 21


Ejercicio 4.

Sean 353 34 ++−= xxxP , 1135 23 −+= xxQ . Halla QP + y QP − .

Solución.

P+Q= ( ) ( ) =−++++−+=−++++− 11353)53(1135353 2342334 xxxxxxxxx

8532 234 −+++ xxxx

P-Q= ( ) ( ) =+−−++−=−+−++− 11353531135353 23342334 xxxxxxxxxx

14538 234 ++−− xxxx





en intro para darle un espacio más. Debemos tener cuidado con esto, ya que si no están los

nombres y las operaciones en el mismo bloque, Wiris no entenderá a qué hacemos referencia.


10

Figura 22

2. P+Q

Figura 23

3. P-Q

Figura 24


Ejercicio 5. Efectúa.

a) ( )xxx 432 2 − = 2311212 8642324232 xxxxxxxx −=⋅−⋅⋅=⋅−⋅ ++

b) ( )xx 35 3 − = xxxx 155355 33 −=⋅−


11

c) ( )324 2 +− xx = 2322 12834)2(4 xxxxx +−=⋅⋅+⋅⋅−⋅

d) ( )12 2 +−− xxx = xxxxxxxx 222222 11212 −+−=−⋅⋅+⋅⋅− ++ =

xxx 222 23 −+−

e) ( )246 3 +−− xx = 1224612466 33 −+−=−⋅+− xxxx

f) ( )32 24 +−− xxx = xxxxxxxxxxx 323232 35124124 −+−=−+−=⋅−⋅+⋅− ++

Solución. - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para operar con Wiris, sólo tenemos que plantear la operación y pinchar en el icono ‘=’

para obtener el resultado. Para insertar paréntesis, potencias, raíces… pinchamos en sus

iconos correspondientes dentro de la pestaña ‘Operaciones’.

Figura 25

2. Apartado a.

Figura 26



12

4. Apartado c.

Figura 28

5. Apartado d.

Figura 29

6. Apartado e.

Figura 30

7. Apartado f.

Figura 31



13

Ejercicio 6. Halla los productos siguientes:

a) ( )12 ++ yxx = xxyxxxyxx ++=⋅++⋅ 2212

b) ( )322 532 aaa + = 5432223222 10652325232 aaaaaaax +=⋅⋅+⋅⋅=+ ++

c) )( baab + = 22 abbaabbaba +=+

d) ( )11735 2 ++ xx = 5535151157535 22 ++=⋅+⋅+⋅ xxxx

e) )1(2 ++ yxyx = yxyxyxyxyxyxyxyyxyxx 2223211212222 ++=++=++ ++

f) ( )yxxy 325 2 + = 3221221122 151035253525 xyyxxyyxyxyxxy +=⋅+⋅=⋅+⋅ ++

g) ( )16 222 +− xxyx = =+−=+− ++ 22212222222222 666666 yxyxyxyxxyxxyx

222324 666 yxyxyx +−

h) )835(2 23 −+− xx = 16610823252 2323 +−−=⋅+⋅−⋅− xxxx

i) )1(3 32 +− baba = =+−=+− ++ 32132312323232 333333 bababababbaaba

324233 333 bababa +−

j) )853(2 2 +−− xxx = =⋅−⋅+⋅−=⋅−⋅+⋅− ++ xxxxxxxx 825232825232 11212

xxx 16106 23 −+−

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para operar con Wiris, sólo tenemos que plantear la operación y pinchar en el icono ‘=’

para obtener el resultado. Para insertar paréntesis, potencias, raíces… pinchamos en sus

iconos correspondientes dentro de la pestaña ‘Operaciones’.

Figura 32


14

2. Apartado a.

Figura 33

3. Apartado b.

Figura 34

4. Apartado c.

Figura 35

5. Apartado d.

Figura 36


15

6. Apartado e.

Figura 37

7. Apartado f.

Figura 38

8. Apartado g.

Figura 39

9. Apartado h.

Figura 40


16

10. Apartado i.

Figura 41

11. Apartado j.

Figura 42


Ejercicio 7.

Dados los polinomios 53 2 −= xP , 232 +−= xxQ , 52 +−= xR , calcula:

a) RP ⋅ = =⋅−−⋅−⋅+−⋅=+−− 55)2(553)2(3)52)(53( 222 xxxxxx

251015655255323 23212 −++−=⋅−⋅+⋅+⋅− + xxxxxx

b) RQ ⋅ = =⋅+−⋅+⋅−−⋅−⋅+−⋅=+−+− 52)2(253)2(35)2()52)(23( 222 xxxxxxxxxx

=+−−++−=⋅+⋅⋅−⋅−⋅++− ++ 104156525222532352 2231`1212 xxxxxxxxxx

101911210)415()65(2 2323 +−+−=+⋅−−+⋅++− xxxxxx

c) QP ⋅ = =⋅−−⋅−−⋅+−⋅+⋅=+−− 25)3(5523)3(33)23)(53( 2222222 xxxxxxxxxx

=−+−+−=⋅−⋅+−⋅+⋅− ++ 101556932535523333 2234221222 xxxxxxxxxx

1015931015)56(93 234234 −++−=−+⋅−+− xxxxxxxx


17





en intro para darle un espacio más. Debemos tener cuidado con esto, ya que si no están los

nombres y las operaciones en el mismo bloque, Wiris no entenderá a qué hacemos referencia.

Figura 43

2. Apartado a. Figura 44



18

4. Apartado c.

Figura 46


Ejercicio 8. Opera y simplifica:

a) ( ) ( )435232 2 −+− xxx = =−⋅+⋅+−⋅+⋅ )]4(535[)]2(22[ 23 xxxx

( ) 20116201546201546 333 −+=−+−+=−+− xxxxxxx

b) ( )( ) ( )xxxxx 5213 22 +−+− = =⋅+⋅−⋅−⋅−⋅+⋅ ]52[]1331[ 222 xxxxxxxx

=−−−−+−=−−−−+− +++ 23231121212 52335233 xxxxxxxxxx

33433)51()21( 2323 −−−−=−−⋅−+⋅−− xxxxxx

c) )4(2)12)(23( 2 xxxx +−+− = =+⋅−+⋅− )]4(2[)]12()23[( 2 xxxx

=⋅+⋅⋅−⋅−⋅+⋅ ]422[]12221323[ 2 xxxxxx

( ) ( ) =+−−−+=⋅+⋅⋅−⋅−+⋅ + xxxxxxxxxx 822436]422[]1222323[ 22211

294822436 222 −−=−−−−+ xxxxxxx



‘Operaciones’ o los escribimos con el teclado. Repetiremos el proceso con cada apartado.


19

Figura 47

2. Apartado a.

Figura 48

3. Apartado b.

Figura 49

4. Apartado c.

Figura 50



20

Ejercicio 9.

Efectúa )(:)( xQxP en cada caso y expresa el resultado así:

RESTOCOCIENTExQxP +⋅= )()(

a) 5113)( 2 +−= xxxP 6)( += xxQ Solución. 5113 2 +− xx 6+x

xx 183 2 −− 293 −x 5290 +− x 17429 +x 1790 +

5113 2 +− xx = ( 6+x )·( 293 −x )+179

b) 31826)( 23 +++= xxxxP 13)( += xxQ Solución. 31826 23 +++ xxx 13 +x

23 26 xx −− 62 2 +x 31800 23 +++ xxx 618 −− x 30 −x

31826 23 +++ xxx = ( 13 +x )·( 62 2 +x ) -3

c) 31826)( 23 +++= xxxxP xxQ =)(

Solución.

31826 23 +++ xxx x 36x− 1826 2 ++ xx

31820 23 +++ xxx 22x− 3180 ++ x x18− 30 +


21

31826 23 +++ xxx = x ·( 1826 2 ++ xx ) + 3

d) 4115)( 2 −+= xxxP 25)( −= xxQ

Solución. 4115 2 −+ xx 25 −x

xx 25 2 +− 5

13+x

4130 2 −+ xx

52613 +− x

560 +x

4115 2 −+ xx = ( 25 −x )·(5

13+x ) +

56

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para operar daremos nombre a los monomios o polinomios y luego operaremos con los

nombres solamente. Para ello escribimos el nombre, después ‘=’ y a lo que le damos el


en intro para darle un espacio más. Además, en este caso, se trata de una división, y para

conocer el resto, pincharemos en el icono ‘División euclidiana’, después rellenaremos con las

letras que corresponden a los polinomios con los que queremos calcular y pinchamos igual

para obtener nuestro resultado.

Figura 51


22

2. Apartado a.

Figura 52

3. Apartado b.

Figura 53

4. Apartado c.

Figura 54


23

5. Apartado d.

Figura 55


Ejercicio 10. Extraer factor común en cada uno de los siguientes polinomios:

a) 345 1680100)( xxxxA +−=

Solución. Todos los sumandos tienen el factor 3x . Además, 100, 80 y 16 son múltiplos de 4. Por

tanto, podemos sacar 34x como factor común:

)42025(4)( 23 +−= xxxxA

b) xxxxB 8012045)( 35 ++=

Solución.

x5 es factor común a los tres sumandos:

)16249(5)( 24 ++= xxxxB c) xxxxC ++= 23)(

Solución.

x es factor común a los tres sumandos:


24

)1()( 2 ++= xxxxC En todos los casos podemos comprobar que si quitamos el paréntesis realizando la multiplicación obtenemos las expresiones iniciales.

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Factorizamos de la misma manera que simplificamos, escribimos ‘factorizar’ y entre

paréntesis el polinomio correspondiente. Después pinchamos en el icono ‘=’ y obtenemos

nuestro resultado.

Figura 56

2. Apartado a.

Figura 57

3. Apartado b.

Figura 58


25

4. Apartado c.

Figura 59


Ejercicio 11.

Dividir )32(:)61172( 23 ++−− xxxx .

Solución. Al efectuar la división, comprobamos que el cociente es 252 +− xx y el resto es cero.

Por tanto:

)25)(32(61172 223 +−+=+−− xxxxxx

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para realizar esta división pinchamos en ‘División euclidiana’ dentro de la pestaña

‘Operaciones’.

Figura 60

2. Rellenamos con nuestros datos ayudándonos del icono ‘Potencia’ y pinchamos en el icono

‘=’ para obtener nuestro resultado.


26

Figura 61


Ejercicio 12. Simplificar esta expresión:

35)1(2)75(3 +−−+− xxx

Solución.

20123522211535)1(2)75(3 −=+−−+−=+−−+− xxxxxxx



‘Operaciones’ o los escribimos con el teclado.

Figura 62

2. Rellenamos el paréntesis con la expresión que queremos simplificar y pinchamos en el icono



27

Figura 63


Ejercicio 13. Multiplicar por 36 y simplificar esta expresión:

69

)11(212

)5(3+

−−

+−

xx

Solución.

=+−−+−=⋅+−⋅

−+⋅

− 216)11(8)5(96369

)11(23612

)5(336 xxxx

83216888459 +−=++−−−= xxx - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para simplificar un polinomio escribimos ‘simplificar’ y después este polinomio entre



Figura 64




28

Figura 65


Ejercicio 14. En la expresión 334 −+ yx , sustituir x por y47 − y simplificar.

251333162833)47(4334 +−=−+−=−+−→−+ yyyyyyx




Figura 66



Figura 67


29


Ejercicio 15. Multiplicar por 6 y simplificar esta expresión:

65

22

3)4(2

−−

−+− yxyx

Solución.

=−−−+−⋅=⋅−−

−

+−⋅ 5)2(3)4(22

656

2)2(6

3)4(26 yxyxyxyx

1125361644 +−−=−+−+−= yxyxyx - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para simplificar un polinomio escribimos ‘simplificar’ y después este polinomio entre



Figura 68



Figura 69


30


Ejercicio 16.

Simplificar esta expresión: )3)(1(2)5( 2 −+−+ xxx

Solución.

=−+−+ )3)(1(2)5( 2 xxx (efectuaremos las multiplicaciones)

=−−−++= )32(22510 22 xxxx (suprimimos paréntesis)

31146422510 222 ++−=++−++= xxxxxx - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para simplificar un polinomio escribimos ‘simplificar’ y después este polinomio entre



Figura 70



Figura 71



31

Ejercicio 17.

Multiplicar por 4 y simplificar esta expresión: 43

4)2)(2(

2)1( 2

−−+

−− xxx

Solución.

=−−+

⋅−−

⋅43.4

4)2)(2(4

2)1(4

2 xxx

=−−−+−=−−+−−= 3)4()12(23)2)(2()1(2 222 xxxxxx

3434242 222 +−=−+−+−= xxxxx - Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para simplificar un polinomio escribimos ‘simplificar’ y después este polinomio entre



Figura 72



Figura 73



32

Ejercicio 18. Expresar algebraicamente el producto de dos números pares consecutivos.

Solución.

Un número par cualquiera: x2 El siguiente número par: 22 +x El producto: )22(2 +⋅ xx

Simplificando: xx 44 2 + - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para simplificar un polinomio escribimos ‘simplificar’ y después este polinomio entre



Figura 74



Figura 75


Ejercicio 19. Expresar algebraicamente el área total de un cilindro de 15 cm de altura y radio de la base desconocido. --- ¿Qué cálculos se harían?


33

Solución.

rhrAAA LATERALBASETOTAL ππ 222 2 +⋅=+=

rrAh TOTAL ππ 30215 2 +=→=

Es una expresión de 2.º grado con variable r .

r=x Area total=y, entonces: xxy ππ 302 2 +=

Figura 76

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. El primer paso, es escribir el valor de h, para que después Wiris lo introduzca en la

ecuación. Para eso escribimos el nombre ‘h’ y a continuación, el valor, que en este caso es 15.

Figura 77

2. Lo segundo que debemos hacer es un cambio de variable. Como queremos obtener el

resultado como una ecuación de segundo grado cuya incógnita sea x, escribimos como en el

primer paso, la variable que queremos cambiar (en este caso es r) y el número (en este caso

otra variable) por el que queremos sustituirla.

Figura 78


34

3. Ahora, y siempre recordando que debemos hacerlo en un mismo bloque, escribimos la

ecuación como vemos a continuación.

Figura 79

4. Por último, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer la solución algebraica al ejercicio.

Figura 80


Ejercicio 20.

72 += xA , 22 −= xB . Desarrollar 22 BA − y simplificar.

( ) =+−−+=−−+=− )484(7)22(7 2222

222 xxxxxBA

3834847 222 ++−=−+−+= xxxxx




35

‘Operaciones’ o los escribimos con el teclado. Además, debemos tener en cuenta, que

trabajaremos con los nombres de los polinomios y no con ellos expresamente, por lo que

primero los escribiremos, y dentro del mismo bloque trabajaremos con sus nombres.

Figura 81



Figura 82


Ejercicio 21.

Multiplicar la expresión 2

2005200−

−+xx

por )2( −⋅ xx y simplificar el resultado.

)2(200)2(200−⋅=−⋅⋅ xxx

x; xxx

x⋅=−⋅⋅

−200)2(

2200

. Por tanto:

=−−+−=−⋅

−−+ xxxxxx

xx200)2(5)2(200)2(

22005200

400105200105400200 22 −−=−−+−= xxxxxx


36

Solución. - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para simplificar un polinomio escribimos ‘simplificar’ y después este polinomio entre



Figura 83



Figura 84


Ejercicio 22. Un vendedor piensa sacar 200 € por x relojes iguales.

a) Expresar el precio de cada reloj.

Solución. Precio de cada uno de los x relojes:

XCANTIDADTOTALCOSTEPRECIO 200

==


37

b) Si 2 relojes están estropeados y quiere sacar 200 € por los restantes, ¿a

cuánto los debe vender?

Solución. Precio de cada uno de los 2−x relojes:

2200−

=x

PRECIO

Ejercicio 23. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden x y 5+x , expresar la longitud de la hipotenusa. Solución.

251022510)5( 22222 ++=+++=++= xxxxxxxhipotenusa

Figura 85

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para el cálculo con polinomios, simplemente escribimos ayudándonos de los iconos dentro

de la pestaña ‘Operaciones’: paréntesis, raíces, potencias…

Figura 86

2. Rellenamos con nuestros datos y pinchamos en el icono ‘=’ para obtener nuestro resultado.


38

Figura 87


tema 5: expresiones algebraicas. -...

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