Ejercicio 1. Calcular el área total de una pirámide recta hexagonal regular, sabiendo que la arista de la base mide 5 cm, y la arista lateral, 13 cm.

Figura 1.

Solución:

• Cálculo de la apotema de la pirámide (m) y de la apotema de la base (x):

cmm 76,125,213 22 ≈−= cmx 33,45,25 22 ≈−= • Cálculo del área:

24,191

276,1256

256 cmmALATERAL =

⋅⋅=

⋅⋅=

295,642

33,456256 cmxABASE =

⋅⋅=

⋅⋅=

235,25695,644,191 cmAAA BASELATERALTOTAL =+=+= - Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para insertar una raíz cuadrada, una potencia o una fracción, pinchamos en sus iconos

correspondientes, que se encuentran dentro de la pestaña ‘Operaciones’ como ahora veremos. Asimismo

para usar un signo de resta, de suma o de multiplicación, usamos los del teclado (- , + o *).

Tema 10: Cuerpos geométricos.

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

2

Figura 2.

2. Ahora, teniendo clara la explicación anterior, planteamos las operaciones que sean necesarias y al

pinchar obtendremos los resultados. Nosotros las plantearemos seguidas para facilitar el

procedimiento.

Figura 3.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 2.

Calcular el área total de una pirámide recta de 15 cm de altura, cuya base es un cuadrado de 16 cm de lado.

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 10. Cuerpos geométricos.

3

Figura 4.

Solución:

17815 22 =+=m

213621716 cmA LATERALCARA =⋅

= 22 25616 cmABASE == 280025613644 cmAAA BASELATERALCARATOTAL =+⋅=+⋅=

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para insertar una raíz cuadrada, una potencia o una fracción, pinchamos en sus iconos

correspondientes, que se encuentran dentro de la pestaña ‘Operaciones’ como ahora veremos. Asimismo

para usar un signo de resta, de suma o de multiplicación, usamos los del teclado (- , + o *).

Figura 5.

2. Ahora, teniendo clara la explicación anterior, planteamos las operaciones que sean necesarias y al

pinchar obtendremos los resultados. Nosotros las plantearemos seguidas para facilitar el procedimiento.

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

4

Figura 6.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 3.

Un cono tiene 12 cm de altura y 9 cm de radio en la base. Calcular el área lateral y el área total del tronco de cono que se obtiene al cortar el cono por un plano paralelo a la base a 4 cm de altura.

Figura 7.

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 10. Cuerpos geométricos.

5

Solución: • Primero es necesario conocer la generatriz: cmg 15912 22 =+= • Necesitamos calcular el radio de la base menor ( )x y la generatriz del tronco ( )y . Recurriendo a

la semejanza y al teorema de Pitágoras:

cmxx

689

12=→= cmzxz 3699 =−=→−=

cmzy 5344 2222 =+=+=

• Cálculo del área:

( ) ( ) 262,23556914,3 cmyxrALATERAL =⋅+⋅=+= π 22222 57,367614,3914,3 cmxrABASES =⋅+⋅=+= ππ

219,60357,36762,235 cmAAA BASESLATERALTOTAL =+=+=

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para insertar una raíz cuadrada, una potencia o una fracción, pinchamos en sus iconos

correspondientes, que se encuentran dentro de la pestaña ‘Operaciones’ como ahora veremos. Asimismo

para usar un signo de resta, de suma o de multiplicación, usamos los del teclado (- , + o *).

Figura 8.

2. Ahora, teniendo clara la explicación anterior, planteamos las operaciones que sean necesarias y al

pinchar obtendremos los resultados. Nosotros las plantearemos seguidas para facilitar el procedimiento.

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

6

Figura 9.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 4.

Cortamos una esfera de 20 cm de radio obteniendo, en la sección, un círculo de 16 cm de radio. ¿Cuál es el área del casquete esférico que hemos separado de la esfera?

Figura 10.

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 10. Cuerpos geométricos.

7

Solución: • Calculamos la altura, x , del casquete:

cmy 121620 22 =−= cmyx 8122020 =−=−=

• Calculamos el área del casquete:

28,100482014,322 cmRxA =⋅⋅⋅== π

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para insertar una raíz cuadrada o una potencia o una fracción, pinchamos en sus iconos

correspondientes, que se encuentran dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Para usar un signo de

multiplicación, usamos el asterisco (*) del teclado mientras que para insertar π , pinchamos en su icono,

dentro de la pestaña ‘Símbolos’.

Figura 11.

2. Ahora sólo nos queda rellenar las operaciones con nuestros datos y operaciones y pinchar en el icono

‘=’ para conocer el resultado.

Figura 12.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

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8

Ejercicio 5.

Obtén la medida de la superficie del prisma y de la pirámide. La base de ambos es un hexágono regular.

Figura 13. Figura 14.

Solución:

Pirámide: • Cálculo de la altura de la pirámide (m) y de la apotema de la base (x):

cmm 31,11412 22 ≈−= cmx 93,648 22 ≈−= • Cálculo del área:

244,271

231,1186

286 cmmALATERAL =

⋅⋅=

⋅⋅=

232,1662

93,686286 cmxABASE =

⋅⋅=

⋅⋅=

276,43732,16644,271 cmAAA BASELATERALTOTAL =+=+=

Prisma: • Cálculo de la altura de la apotema de la base (x):

cmx 93,648 22 ≈−=

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 10. Cuerpos geométricos.

9

• Cálculo del área:

24808106 cmALATERAL =⋅⋅=

232,1662

93,686286 cmxABASE =

⋅⋅=

⋅⋅=

232,64648032,166 cmAAA BASELATERALTOTAL =+=+=

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para insertar una raíz cuadrada, una potencia o una fracción, pinchamos en sus iconos

correspondientes, que se encuentran dentro de la pestaña ‘Operaciones’ como ahora veremos. Asimismo

para usar un signo de resta, de suma o de multiplicación, usamos los del teclado (- , + o *).

Figura 15.

2. Ahora, teniendo clara la explicación anterior, planteamos las operaciones para el cálculo del área de la

pirámide y al pinchar en ‘=’ obtendremos los resultados. Nosotros las plantearemos seguidas para

facilitar el procedimiento.

Figura 16.

3. Por último, repetimos el proceso para el cálculo del área del prisma.

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

10

Figura 17.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 6.

Calcula el área de estos cuerpos:

Cilindro:

Figura 18.

Solución:

• Cálculo del área:

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 10. Cuerpos geométricos.

11

239,45212622 cmhrALATERAL =⋅=⋅= ππ 222 1,1136 cmrABASE === ππ

249,5651,11339,452 cmAAA BASELATERALTOTAL =+=+=

Cono:

Figura 19.

Solución:

• Cálculo del área:

219,226126 cmrhALATERAL =⋅== ππ

222 1,1136 cmrABASE === ππ 229,3391,11319,226 cmAAA BASELATERALTOTAL =+=+=

Esfera:

Figura 20.

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12

Solución:

• Cálculo del área:

22 39,4524 cmrAESFERA == π

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para calcular estas áreas sólo tenemos que tener en cuenta unas sencillas instrucciones. Para usar un

signo de multiplicación, usamos el asterisco (*) del teclado, para una potencia, pinchamos en el símbolo

‘Potencia’ de la pestaña ‘Operaciones mientras que para insertar π , pinchamos en su icono, dentro de la

pestaña ‘Símbolos’.

Figura 21.

2. Realizamos las operaciones correspondientes al cálculo del área del cilindro.

Figura 22.

3. Planteamos las operaciones para la obtención del área del cono y pinchamos en el icono ‘=’ para

conocer el resultado.

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 10. Cuerpos geométricos.

13

Figura 23.

4. Finalmente, desarrollamos el cálculo del área de la esfera.

Figura 24.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 7. Calcula el área de los siguientes cuerpos:

Figura 25.

Solución: 1º Hallamos el área de una de las caras:

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14

( ) cm82:1026 =−

cma 15115817 22 ==−= 227015

21026 cmA =⋅

+=

2º Obtenemos el área de las bases:

222 10010 cmladoA ===

222 67626 cmladoA ===

3º Sumamos el área de todas las caras a las dos bases:

218566761002704 cmArea =++⋅=

Figura 26.

Solución:

22222 8,157051317)513(')'( cmrrgrrArea =+++=+++= ππππππ - Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para insertar una raíz cuadrada, una potencia o una fracción, pinchamos en sus iconos

correspondientes, que se encuentran dentro de la pestaña ‘Operaciones’ como ahora veremos. Además

para usar un signo de resta, de suma o de multiplicación, usamos los del teclado (- , + o *).

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 10. Cuerpos geométricos.

15

Figura 27.

2. Ahora, teniendo clara la explicación anterior, planteamos las operaciones para el cálculo del área de la

figura 1 y al pinchar en ‘=’ obtendremos los resultados. Nosotros las plantearemos seguidas para

facilitar el procedimiento.

Figura 28.

3. Planteamos el cálculo del área de la segunda figura y pinchamos ‘=’ para conocer la solución.

Figura 29.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

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16

Ejercicio 8. Calcula el área total del cono, del cuerpo que resulta de partirlo por la mitad y del tronco de cono obtenido al cortar por una sección paralela a la base, a 5 cm de la misma.

Figura 30.

Solución:

• Cálculo del área:

266,502208 cmrhALATERAL =⋅== ππ 222 06,2018 cmrABASE === ππ

272,70306,20166,502 cmAAA BASELATERALTOTAL =+=+=

Figura 31.

Solución:

El área es exactamente la mitad, por lo que dividimos el área antes calculada entre dos:

286,3512/72,703 cmArea ==

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 10. Cuerpos geométricos.

17

Figura 32.

Solución:

• Primero es necesario conocer la generatriz: cmg 54,21820 22 =+=

• Necesitamos calcular el radio de la base menor (x) y la generatriz del tronco (y). Recurriendo a la

semejanza y al teorema de Pitágoras:

cmxx

615820

=→= cmzxz 2688 =−=→−=

cmyzy 38,5255 2222 =+=→+=

• Cálculo del área

( ) ( ) 262,23638,568 cmyxrALATERAL =+=+= ππ

22222 16,31468 cmxrABASES =+=+= ππππ 278,55016,31462,236 cmAAA BASESLATERALTOTAL =+=+=

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para insertar una raíz cuadrada, una potencia o una fracción, pinchamos en sus iconos

correspondientes, que se encuentran dentro de la pestaña ‘Operaciones’ como ahora veremos. Asimismo

para usar un signo de resta, de suma o de multiplicación, usamos los del teclado (- , + o *).

Figura 33.

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

18

2. Ahora, teniendo clara la explicación anterior, planteamos las operaciones para el cálculo del área de la

figura 1 y al pinchar en ‘=’ obtendremos los resultados. Nosotros las plantearemos seguidas para

facilitar el procedimiento.

Figura 34.

3. Planteamos el cálculo del área de la segunda figura y pinchamos ‘=’ para conocer la solución.

Figura 35.

4. Por último, planteamos el cálculo del área de la última figura.

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 10. Cuerpos geométricos.

19

Figura 36.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 9. Un cono de 10 cm de radio en la base y 30 cm de altura se corta por un plano paralelo a la base a 12 cm de ella. Calcular el volumen del tronco de cono obtenido. Solución:

• Calculamos el radio de la base menor ( )x :

cmxx

630

1018103018

=⋅

=→=

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

20

• Calculamos el volumen:

322 246358,67859,3141186313010

31 cm

VVV MENORCONOMAYORCONOCONODETRONCO

=−=⋅⋅−⋅⋅=

=−=

ππ

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para insertar una raíz cuadrada, una potencia o una fracción, pinchamos en sus iconos

correspondientes, que se encuentran dentro de la pestaña ‘Operaciones’ como ahora veremos. Asimismo

para usar un signo de resta, de suma o de multiplicación, usamos los del teclado (- , + o *) y para pi, en

su icono correspondiente, dentro de la pestaña ‘Símbolos’.

Figura 37.

2. Ahora, teniendo clara la explicación anterior, planteamos las operaciones para el cálculo del área de la

figura 1 y al pinchar en ‘=’ obtendremos los resultados. Nosotros las plantearemos seguidas para

facilitar el procedimiento.

Figura 38.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 10. Cuerpos geométricos.

21

Ejercicio 10.

Una esfera de 20 cm de radio se corta por dos planos paralelos que distan del centro 5 cm y 15 cm, respectivamente. Calcular el volumen de la porción de esfera comprendida entre ambos planos. Solución:

32 40001020 cmV CILINDRODEPORCIÓN ππ =⋅⋅=

322 33,108355311515

31 cmV CONODETRONCO πππ =⋅⋅−⋅⋅=

334,915833,10834000 cm

VVV CONODETRONCOCILINDRODEPORCIÓNESFERADEPORCIÓN

=−=

=−=

ππ

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para insertar una raíz cuadrada, una potencia o una fracción, pinchamos en sus iconos

correspondientes, que se encuentran dentro de la pestaña ‘Operaciones’ como ahora veremos. Asimismo

para usar un signo de resta, de suma o de multiplicación, usamos los del teclado (- , + o *) y para pi, en

su icono correspondiente, dentro de la pestaña ‘Símbolos’.

Figura 39.

2. Ahora, teniendo clara la explicación anterior, planteamos las operaciones para el cálculo del área de la

figura 1 y al pinchar en ‘=’ obtendremos los resultados. Nosotros las plantearemos seguidas para

facilitar el procedimiento.

Figura 40.

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

22

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 11.

Calcula el volumen de estos prismas, obtenidos cortando un cubo de 12 cm de arista:

Figura 41.

Solución:

En primer lugar, calculamos el volumen del cubo: 333 172812 cmladoVCUBO === Como vemos, el área pintada es exactamente la mitad de la del cubo, por lo que dividimos la anterior entre dos para conocerla: 38642/1728 cmV doselecciona ==

Figura 42.

Solución: En primer lugar, calculamos el área en blanco, que es un cubo más pequeño:

34321266 cmladoladoladoVCUBO =⋅⋅=⋅⋅= Después, restamos esta área calculada al volumen del cubo mayor que calculamos para la figura anterior:

312964321728 cmV doselecciona =−=

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 10. Cuerpos geométricos.

23

Como podemos ver, el área seleccionada es un cuarto del cubo total.

Figura 43.

Solución: En primer lugar, el valor de los lados de la base del prisma:

48,87266 222222 ==→+=→+= aacba Después, calculamos el volumen del prisma: ( ) ( ) 32 92,8621248,8 cmhladoladoVPRISMA =⋅=⋅⋅= - Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para insertar una raíz cuadrada, una potencia o una fracción, pinchamos en sus iconos

correspondientes, que se encuentran dentro de la pestaña ‘Operaciones’ como ahora veremos. Asimismo

para usar un signo de resta, de suma o de multiplicación, usamos los del teclado (- , + o *).

Figura 44.

2. Cálculo del volumen de la primera figura.

Figura 45.

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

24

3. Cálculo del volumen de la segunda figura.

Figura 46.

4. Cálculo del volumen de la tercera figura.

Figura 47.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 12. Calcula el volumen de estas pirámides cuyas bases son polígonos regulares:

Figura 48.

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 10. Cuerpos geométricos.

25

Solución: En primer lugar, calculamos el valor de la base de la pirámide: 222 14412 cmladoABASE === Después, calculamos la altura con el Teorema de Pitágoras: cmhbha 91215 22222 =−=→+=

Por último, calculamos el volumen de la pirámide: 3432914431

31 cmhAV BASEPIRÁMIDE =⋅⋅=⋅⋅=

Figura 49.

Solución: En primer lugar, calculamos el valor de la base de la pirámide:

232,1662

93,6482

cmapperímetroABASE =⋅

=⋅

=

Para calcular la apotema, utilizamos el Teorema de Pitágoras:

cmap 93,648 22 =−= Para calcular el perímetro, realizamos la siguiente operación:

cmcmPerímetro 4886 =⋅= Después, calculamos la altura con el Teorema de Pitágoras:

cmhbha 69,12815 22222 =−=→+=

Por último, calculamos el volumen de la pirámide: 353,70369,1232,16631

31 cmhAV BASE =⋅⋅=⋅⋅=

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

26

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para insertar una raíz cuadrada, una potencia o una fracción, pinchamos en sus iconos

correspondientes, que se encuentran dentro de la pestaña ‘Operaciones’ como ahora veremos. Asimismo

para usar un signo de resta, de suma o de multiplicación, usamos los del teclado (- , + o *).

Figura 50.

2. Cálculo del volumen de la primera figura.

Figura 51.

3. Cálculo del volumen de la segunda figura.

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 10. Cuerpos geométricos.

27

Figura 52.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 13. Calcula el volumen del tronco de cono y el del tronco de pirámide.

Figura 53.

Solución:

Calculamos la altura de la sección superior del cono mayor para calcular la altura del cono mayor:

cmxxxxxx 1530263088

56

=→=→+=→+

=

Por lo tanto, sabemos que la altura del cono mayor es igual a: 15+5 cm=20 cm. Calculamos el volumen:

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

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322 93,77449,56542,134015631208

31 cmVVV menorConomayorConoconodeTronco =−=⋅⋅−⋅⋅=−= ππ

Figura 54.

Solución: Calculamos la altura de la sección superior de la pirámide mayor para calcular la altura de la pirámide

mayor:

cmxxxxxx 1530263088

56

=→=→+=→+

=

Por lo tanto, sabemos que la altura de la pirámide mayor es igual a: 15+5 cm=20 cm. Calculamos el volumen:

38,6404688,1108156,93312032.166

31 cmVVV menorPirámidemayorPirámidepirámidedeTronco =−=⋅⋅−⋅⋅=−=

Para el cálculo del valor de la base de la pirámide mayor:

232,1662

93,6482

cmapperímetroABASE =⋅

=⋅

=

Para calcular la apotema de la pirámide mayor, utilizamos el Teorema de Pitágoras:

cmap 93,648 22 =−= Para calcular el perímetro de la pirámide mayor, realizamos la siguiente operación:

cmcmPerímetro 4886 =⋅= Para el cálculo del valor de la base de la pirámide menor:

26,932

2,5362

cmapperímetroABASE =⋅

=⋅

=

Para calcular la apotema de la pirámide menor, utilizamos el Teorema de Pitágoras:

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 10. Cuerpos geométricos.

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cmap 2,536 22 =−= Para calcular el perímetro de la pirámide menor, realizamos la siguiente operación:

cmcmPerímetro 3666 =⋅= - Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para insertar una raíz cuadrada, una potencia o una fracción, pinchamos en sus iconos

correspondientes, que se encuentran dentro de la pestaña ‘Operaciones’ como ahora veremos. Asimismo

para usar un signo de resta, de suma o de multiplicación, usamos los del teclado (- , + o *).

Figura 55.

2. Cálculo del volumen del tronco del cono.

Figura 56.

2. Cálculo del volumen del tronco de la pirámide.

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

30

Figura 57.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 10. Cuerpos geométricos.

31

Ejercicio 14. Calcular el volumen de este tronco de pirámide de bases cuadradas:

Figura 58.

Solución:

• Calculamos las alturas de las pirámides que forman el tronco:

810

3xx +

=

xx 3308 += 166 =→= hx

• =−= MENORPIRÁMIDEMAYORPIRÁMIDETRONCO VVV 322 3,129366311616

31 m=⋅⋅−⋅⋅

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para insertar una raíz cuadrada, una potencia o una fracción, pinchamos en sus iconos

correspondientes, que se encuentran dentro de la pestaña ‘Operaciones’ como ahora veremos. Asimismo

para usar un signo de resta, de suma o de multiplicación, usamos los del teclado (- , + o *).

Figura 59.

2. Cálculo del volumen del tronco de la pirámide.

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

32

Figura 60.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: