tema 1: fracciones y decimales. -...

Ejercicio 1.

Comparar 127

, 85

y 169

.

Solución: Tomaremos como denominador común el mín. c. m. (12, 8, 16) = 48.

85

127

169

4830

4828

4827

4827

31639

169316:48

4830

6865

8568:48

4828

41247

127412:48

<<

<<

=⋅⋅

=→=

=⋅⋅

=→=

=⋅⋅

=→=

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 1.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Tema 1: Fracciones y decimales.

Evidentemente:

Por tanto:

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

2

En ambos casos el numerador es menor que el denominador, pero 7 es mayor

que 6 y por tanto 87

es mayor que 86

.

Estas fracciones son equivalentes, es decir, tienen el mismo valor porque la segunda fracción es resultado de multiplicar en la primera fracción el numerador y el denominador por 2.

211

es mayor que 3. Cuando un número natural se va a comparar con un número

racional debemos convertir uno de ellos en racional o en natural.

Ejercicio 2. Compara mentalmente cada pareja de números: Solución:

a) 43

y 34

75,043= ; es menor que 1 porque el numerador es más pequeño que el denominador.

3,134 = ; es mayor que 1 porque el numerador es más grande que el denominador.

b) 86

y 87

=

=

875,087

75,086

c) 53

y 106

=

=

6,0106

6,053

d) 3 y 2

11

= 5,52

113

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 1. Fracciones y decimales.

3


Figura 2.

Figura 3.

Figura 4.

Figura 5.


4


Ejercicio 3. Ordena estas fracciones de menor a mayor:

127

64

95

43

1813

Solución: Para comparar estas fracciones podemos seguir 2 caminos; hallar el valor de todas las fracciones y

ordenarlos o hallar el mínimo común múltiplo de todos los denominadores para poder compararlas. Si

observamos los denominadores con detenimiento encontramos el mínimo común múltiplo, 36. Las

fracciones pasan a ser las siguientes:

3621

127 3→x

3624

64 6→x

3620

95 4→x

3627

43 9→x

3626

1813 2→x

3620

<3621

<3624

<3626

<3627

es decir 95

<127

<64

<1813

<43

- Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura 6.


5


Ejercicio 4. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado:

a) 1211

97+

b) 4

116 −

c) 543 ⋅

d) 54:6

e) 6:54

f) 61:

54

Solución:

a) 1211

97+ c)

543 ⋅ e) 6:

54

3661

3633

3628

1211

97

=+=+ 5

12543 =⋅ =6:

54

304

61

54

=⋅

b) 4

116 − d) 54:6 f)

61:

54

413

411

424

4116 =−=− =

54:6

430

456 =⋅ =

61:

54

524

16

54

=⋅


Figura 7.


6

Figura 8.

Figura 9.

Figura 10.

Figura 11.

Figura 12.



a) 1225:

87

67

43

−+ b)

−

+⋅

−

3313

229

257

1513

Solución:

a) 1225:

87

67

43

−+


7

=

−+

1225:

87

67

43

=

−+

1225:

24212818

=1225:

2425

21

600300

2512

2425

==⋅

b)

−

+⋅

−

3313

229

257

1513

=

−

+⋅

−

3313

229

257

1513

2252

495044

661

7544

662627

752165

==⋅=

−⋅

−


Figura 13.

Figura 14.



a) 1

43

143

21

+

−−

b) ( )

( )

−⋅−

−⋅−

56

342

31

533


8

Solución:

a) 1

43

143

21

+

−−

=+

−−

143

143

21

=+

−−

44

43

44

43

21

=

−−

47

41

21

=+

47

41

42

73

74

43

4743

=⋅=

b) ( )

( )

−⋅−

−⋅−

56

342

31

533

( )

( )=

−⋅−

−⋅−

56

342

31

533 ( )

( )=

−⋅−

−⋅−

1518

15202

155

1593 ( )

( )=

⋅−

⋅−

1522

1543

=−

−

154

1512

34

124

151512

==

−⋅

−


Figura 15.


9

Figura 16.



a)

−⋅+

−⋅−

43

21

2446

152

53

413

b) 1

34

65

127

65

43

95

32

+⋅

−

−⋅

−

Solución:

a)

−⋅+

−⋅−

43

21

2446

152

53

413

=

−⋅+

−⋅−

43

21

2446

152

53

413

=

−⋅+

−⋅−

43

42

2446

152

159

413

=

−⋅+

⋅−

41

2446

157

413

=+

−

9646

6073

=+

−

964

96576

607

60180

=

9658060

173

⋅60

173=

58096

715346

3480016680

=

b) 1

34

65

127

65

43

95

32

+⋅

−

−⋅

−

=+⋅

−

−⋅

−

134

65

127

65

43

95

32

=+⋅

−

−⋅

−

134

1210

127

1210

129

95

96

721

259236

2436

1081

3624108

1

3636

3612

1081

134

123

121

91

−=−=⋅

−=

−=

+−

−=

+⋅

−

−⋅


10


Figura 17.

Figura 18.


Ejercicio 8. Calcular el 35% de 3.780 € y el 160% de 36.200 personas. Solución:

35% ~ 0,35 (35 centésimas) Por tanto, 35% de 3.780 € es €132335,03780 =⋅ 160% ~ 1,60 (160 centésimas)

Por tanto, 160% de 36.200 personas es 5792060,136200 =⋅ personas


11


Figura 19.

Figura 20.


Ejercicio 9. ¿Qué tanto por ciento representa 3.634 m2 respecto a 15.800 m2? Solución:

23100158003634

=⋅ . Por tanto, 3634 m2 son el 23% de 15800 m2


Figura 21.



12

Ejercicio 10. Calcula. a) El 24% de 300. b) El 112% de 560. c) El 3% de 83200.

d) El 30% de 83200. e) El 230% de 5200. f) El 300% de 40.

Solución: a) El 24% de 300. b) El 112% de 560. c) El 3% de 83200.

7230024,0 =⋅ 2.62756022,1 =⋅ 24968320003,0 =⋅ d) El 30% de 83200. e) El 230% de 5200. f) El 300% de 40.

24960832003,0 =⋅ 11960520030,2 =⋅ 120403 =⋅ - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 22.

Figura 23.

Figura 24.


13

Figura 25.

Figura 26.

Figura 27.


Ejercicio 11. Calcula el tanto por ciento que representa.

a) 45 respecto a 225. b) 6160 respecto a 56000. c) 4230 respecto a 9000.

d) 1922 respecto a 1240. e) 6000 respecto a 4000. f) 975 respecto a 32500.

Solución: a) 45 respecto a 225. b) 6160 respecto a 56000. c) 4230 respecto a 9000.

%20225

10045=

⋅ %1156000

1006160=

⋅ %479000

1004230=

⋅

d) 1922 respecto a 1240. e) 6000 respecto a 4000. f) 975 respecto a 32500.

%1551240

1001922=

⋅ %1504000

1006000=

⋅ %332500

100975=

⋅


14


Figura 28.

Figura 29.

Figura 30.

Figura 31.

Figura 32.

Figura 33.


Ejercicio 12. El agua recogida en un pantano, 690 hm3, ha disminuido un 23%. ¿Cuánta agua hay ahora?


15

Solución:

3,53177,069077,023.01 =⋅→=− Ahora hay 531,3 hm3 de agua en el pantano


Figura 34.


Ejercicio 13. Unas acciones que valían a principios de año 13,70 € han subido un 35%. ¿Cuánto valen ahora? Solución: Las acciones se incrementan un 35%, por tanto el valor de las acciones ahora es del135% sobre el valor inicial, luego:

€.49,18€70,1335,1 =⋅ es el valor actual de las acciones.


16


Figura 35.


Ejercicio 14. En una comunidad autónoma había 69580 parados. Han disminuido un 15%. ¿Cuántos hay ahora? Solución: El número de parados disminuye un 15%, por tanto: 591436958085,0 =⋅ parados. - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 36.



17

Ejercicio 15. El precio de un televisor es de 566,40 €. ¿Cuál era su precio antes de cargarle un 18% de IVA? Solución: El índice de variación es 1 + 0,18 = 1,18. Por tanto, el precio del televisor antes de cargarle el IVA era:

566,40: 1,18 = 480 €


Figura 37.


Ejercicio 16. En unos grandes almacenes, todos los artículos han bajado un 35%. Hemos comprado un cuadro por 195 €, una bicicleta por 78 € y un libro por 14,30 €. ¿Cuánto valía cada cosa antes de las rebajas? Solución: En los tres casos, el índice de variación es 1 - 0,35 = 0,65. Por tanto, los precios de los artículos antes de las rebajas eran:

€2265,0:30,14€12065,0:78€30065,0:195

===

→→→

LibroBicicletaCuadro


18


Figura 38.


Ejercicio 17. El precio de una batidora, después de aplicarle un IVA de un 18%, es de 70,80 €. ¿Cuál es su precio antes de cargarle ese IVA? Solución: Si el precio de la batidora tras aplicar el IVA es 70,80€ entonces: €6018.1/80,70;%11880,70 =→ - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 39.



19

Ejercicio 18. Al estirar una goma elástica, su longitud aumenta un 30% y, en esta posición, mide 104 cm. ¿Cuánto mide sin estirar? Solución: Si la longitud de la goma elástica al estirarla aumenta un 30% y mide 104 cm. entonces:

.8030.1/104;%130104 cm=→ - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 40.


Ejercicio 19. En unas rebajas en las que se hace el 30% de descuento, Roberto ha comprado una cámara fotográfica por 50,40 €. ¿Cuál era su precio inicial? Solución: Si el precio de la cámara tras aplicar el descuento del 30% es 50,40€ entonces:

€7270.0/40,50;%7040,50 =→


20


Figura 41.


Ejercicio 20. Un cartero ha repartido el 36% de las cartas que tenía. Aún le quedan 1184. ¿Cuántas tenía antes de empezar el reparto? Solución: Si se han repartido el 36% de las cartas y quedan 1184, entonces:

cartas185064.0/1184;%641184 =→ - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 42.



21

Ejercicio 21. Unas acciones que valían 1000 € suben el 60%. Después, vuelven a subir el 25%. ¿Cuál es el porcentaje total de subida? Solución:

1ª SUBIDA: €160060,11000€1000 %60 =⋅ →+ 2ª SUBIDA: €200025,11600€1600 %25 =⋅ →+ SUBIDA TOTAL: €2000€1000 → Evidentemente, la subida total es del 100%. ¿Cómo se obtiene directamente? Veámoslo: 1,60 · 1,25 = 2. Es decir, la cantidad inicial, 1, más 100 centésimas. Subida del 100%


Figura 43.

Figura 44.

Figura 45.



22

Ejercicio 22. Una guitarra de 800 € sube el 50%. Después, baja el 50%. ¿Queda como estaba? Solución:

SUBIDA: [ ]50,0150,1€120050,1800€800 %50 +==⋅ →+

BAJADA: [ ]50,0150,0€60050,11200€1200 %50 −==⋅ →− Evidentemente, no queda como estaba. En total, baja 200 €

ÍNDICE DE VARIACIÓN TOTAL = ÍNDICE 1ª VARIACIÓN · ÍNDICE 2ª VARIACIÓN

1,50 · 0,50 = 0,75 = 1 - 0,25. Corresponde a una bajada del 25% - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 46.

Figura 47.

Figura 48.



23

Ejercicio 23. El precio de una enciclopedia de 520 € sube un 10%; después, sube otro 25% y, finalmente, baja un 30%. Solución:

a) ¿Cuál es su precio final?

50,50070,071571525,157257210,1520520 %30%25%10 =⋅ →=⋅ →=⋅ → −++ El precio final es 520 · 1,10 · 1,25 · 0,70 = 500,50 €

b) ¿Cuál es el índice de variación total? ¿A qué porcentaje de aumento o de disminución

corresponde? El índice de variación total es 1,10 · 1,25 · 0,70 = 0,9625

10075,30375,019325,0 −

=−=− . Ha bajado un 3,75 %


Figura 49.

Figura 50.

Figura 51.


24

Figura 52.

Figura 53.


Ejercicio 24. Un comerciante aumenta el precio de sus productos un 30% y, después, pretendiendo dejarlos al precio inicial, los rebaja un 30%. a) Un ordenador que inicialmente costaba 1000 €, ¿cuánto costará en cada paso del proceso?

b) ¿Cuál es la variación porcentual que sufren los artículos respecto al precio inicial? Solución: a) Aumento de los precios: ;130030,11000 =⋅ Disminución de los precios: 91070,01300 =⋅ b) Multiplicamos las 2 variaciones ;91,070,030,1 =⋅ Comprobamos el resultado: 910100091,0 =⋅ - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 54.


25

Figura 55.

Figura 56.

Figura 57.

Figura 58.


Ejercicio 25. Un capital de 42000 € se deposita en un banco al 5% anual. ¿En cuánto se habrá convertido en un año? ¿Y en dos? ¿Y en tres años? Solución: Capital de 42000€ al 5% en un año: 4410005,142000 =⋅

Capital de 42000€ al 5% en dos años: 4630505,105,142000 =⋅⋅

Capital de 42000€ al 5% en tres años: 25,4862005,105,105,142000 =⋅⋅⋅


26


Figura 59.

Figura 60.

Figura 61.

Figura 62.

Figura 63.


Ejercicio 26. Un banco paga el 4,8% anual por depósitos a plazo fijo. Depositamos 160000€. ¿Cuánto dinero podremos retirar al cabo de 4 años? Solución:

Cada año, el capital aumenta un 4,8%; es decir, se multiplica por 1,048. Al cabo de 4 años se habrá multiplicado por 1,0484.


27

Por tanto, el capital final que podremos retirar es:

€47,193003048,1160000 4 =⋅=FC


Figura 64.

Figura 65.


Ejercicio 27. ¿En cuánto se transforman 160000€ depositados 4 años al 4,8% anual, si el periodo de capitalización es mensual? Solución:

Un 4,8% anual significa un 4,8/12 = 0,4% mensual.

En 4 años hay 4 · 12 = 48 meses. Por tanto: €05,193793004,1160000 48 =⋅=FC Si comparamos este resultado con el del ejercicio anterior, vemos que los periodos de

capitalización mensuales son, para el inversor, más ventajosos que los anuales.


28


Figura 66.

Figura 67.

Figura 68.


Ejercicio 28.

¿En cuánto se transforma un capital de 20000 € colocado al 3,6% anual durante 5 años? Solución: Utilizamos la fórmula ( ) añosdenúmeroanualporcentajexinicialCapitalfinalCapital += 1 :

( ) €23869036,0120000 5 =+⋅


29


Figura 69.

Figura 70.


Ejercicio 29. ¿En cuánto se transforman 20000 € colocados 5 años al 3,6% anual, con pago de intereses mensual? Solución: Utilizamos la fórmula ( ) mesesdenúmeromensualporcentajexinicialCapitalfinalCapital += 1 : Si 3,6% es el porcentaje anual, dividido entre 12 obtendremos el interés mensual: %.3,012/6,3 = El número de meses lo calculamos multiplicando el número de años por el número de meses que tiene cada año:

mesesmesesxaños 60125 =

Sustituimos en la fórmula inicial:

( ) €23938003,0120000 60 =+⋅


30


Figura 71.

Figura 72.

Figura 73.


Ejercicio 30. Calcula paso a paso y, después, comprueba el resultado con la calculadora utilizando las teclas de fracción y paréntesis.

a)

+−+⋅−

32:

21

31

43

21

34

b) ( )283

411

323

2

−⋅+

−⋅−

c)

+−

⋅+−

351

212:

41

32

65

25

Solución:

a)

+−+⋅−

32:

21

31

43

21

34

=

+−+⋅−

32:

21

31

43

21

34

=

+−+−

43

31

43

64

=

+

−+−12

9443

64 1

1212

1213

129

128

−=−=−+−


31

b) ( )283

411

323

2

−+

−⋅−

( ) =−⋅+

−⋅− 2

83

411

323

2

( ) =−⋅+

⋅− 2

83

43

323

2

( ) =−⋅+⋅− 283

169

323 =+−

86

48183

815

4890

4836

4818

48144

==−−

c)

+−

⋅+−

351

212:

41

32

65

25

=

+−

⋅+−

351

212:

41

32

65

25

==

−=

⋅−

+−

64:

1222

682:

1222

38

212:

122

1210

1230

411

48132

46

1222

==⋅


Figura 74.

Figura 75.

Figura 76.



32

Ejercicio 31. Calcula y comprueba con la calculadora.

a) 22

31

65

61

21

43

32

−−

−

b)

−⋅

−−−− 3

311

2017

533

83

c)

−

−+

−

32:1

3213

91

32 2

Solución:

a) 22

31

65

61

21

43

32

−−

−

=

−−

−

22

31

65

61

21

43

32

=

−−

−

22

62

65

61

42

43

32

=

−

22

63

61

41

32

=⋅−⋅369

61

161

32

=−2169

482

043218

43218

=−=

b)

−⋅

−−−− 3

311

2017

533

83

=

−⋅

−−−− 3

311

2017

533

83

=

−⋅

−−−−

39

31

2020

2017

533

83

=

−⋅

−−−−

38

203

533

83

=

−−−=

6024

533

83

=

−−−

6024

6036

60180

83

=⋅−60

12083

43

862

83

−=−=⋅−

c)

−

−+

−

32:1

3213

91

32 2

=

−

−+

−

32:1

3213

91

32 2

=

−

−+

−

32:

33

3213

91

96 2

=

−

−⋅+

32:

3113

95 2

=

−

⋅+

=

32:

9113

95

=

−

+

32:

913

95

=−32:

918 3

26

232

23

918

−=−=−⋅=−⋅


33


Figura 77.

Figura 78.

Figura 79.


Ejercicio 32. Reduce a una fracción.

a)

237

213

−

+

b)

127

65

32

41

−

−

c)

21

51

53

87

−

⋅

Solución:

a)

237

213

−

+


34

=−

+

237

213

=−

+

23

214

21

26

=

21127

117

2214

112

27

==⋅

b)

127

65

32

41

−

−

=−

−

127

65

32

41

=−

−

127

1210

128

123

35

−

c)

21

51

53

87

−

⋅

=−

⋅

21

51

53

87

=−

105

102

4021

=−

103

4021

47

120210

310

4021

−=−=−⋅


Figura 80.


35

Figura 81.

Figura 82.


Ejercicio 33. Efectúa y simplifica descomponiendo en factores como en el ejemplo:

51

5573753

2521715

257

2115

=⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

=⋅

a) 2120

53⋅

b) 185

256⋅

c) 3635

712

⋅

d) 2720

169⋅

e) 6584

1213

⋅

f) 3614

3590

⋅

Solución:

a) 2120

53⋅ b)

185

256⋅ c)

3635

712

⋅

=⋅2120

53

=⋅⋅⋅⋅⋅735

5223722

53

133255

532185

256

⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅ =⋅3635

712

35

3322775322=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

d) 2720

169⋅ e)

6584

1213

⋅ f) 3614

3590

⋅

325

333222252233

2720

169

2 ⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅ 57

135322732213

6584

1213

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅ 1332275725332

3614

3590

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅


36


Figura 83.

Figura 84.

Figura 85.

Figura 86.

Figura 87.


37

Figura 88.


Ejercicio 34. Calcula los porcentajes siguientes:

a) 28% de 325 b) 80% de 37 c) 3% de 18

d) 0,7% de 4850 e) 2,5% de 14300 f) 130% de 250

Solución: a) El 28% de 325. b) El 80% de 37. c) El 3% de 18.

9132528,0 =⋅ 6,293780,0 =⋅ 54,01803,0 =⋅

d) El 0,7% de 4850. e) El 2,5% de 14300. f) El 130% de 250.

95,334850007,0 =⋅ 5,35714300025,0 =⋅ 3252503,1 =⋅ - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 89.


38

Figura 90.

Figura 91.

Figura 92.

Figura 93.

Figura 94.


Ejercicio 35. Calcula, en cada caso, la cantidad inicial de lo que conocemos:

a) El 28% es 98. b) El 15% es 28,5.

c) El 2% es 325. d) El 150% es 57.

Solución: a) El 28% es 98. b) El 15% es 28,5.

35028,0/98 = 19015,0/5,28 =


39

c) El 2% es 325. d) El 150% es 57.

1625002,0/325 = 385,1/57 = - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 95.

Figura 96.

Figura 97.

Figura 98.


tema 1: fracciones y decimales. -...

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