tema 3: progresiones. - eues.ugr.eseues.ugr.es/wiris/images/stories/file/mates3/tema3/tema3.pdf ·...

Ejercicio 1. Los dos primeros términos de una progresión geométrica son 2501 =a y 3002 =a . Calcular r , 6a y na .

Solución:

2,125030025030012 ==→⋅=→⋅= rrraa

2501 =a , 3002 =a , 3603 =a , 4324 =a , 4,5185 =a ; 08,6226 =a TÉRMINO GENERAL: 12,1250 −⋅= n

na - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 1.

Figura 2.

Figura 3.

Tema 3: Progresiones.

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

2

Figura 4.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 2.

En una progresión geométrica, 6251 =a y 4003 =a . Hallar sus primeros términos.

Solución:

Lo primero es calcular la razón:

8,064,0625/400625400 22213 ±=→==→⋅=→⋅= rrrraa

Hay dos progresiones geométricas que cumplen las condiciones impuestas. Sus razones son 8,0=r y 8,0´ −=r .

• →= 8,0r 625, 500, 400, 320, 256, ... • →−= 8,0´r 625, -500, 400, -320, 256, ...

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 5.

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 3. Progresiones.

3

Figura 6.

Figura 7.

Figura 8.


Ejercicio 3.

En una progresión geométrica de términos positivos, 31 =a y 63 =a . Hallar na , 20a y 21a .


4

Solución:

223/663 22213 ±=→==→=→⋅= rrrraa

Como los términos son positivos, la razón también lo es: 2=r

( ) 123

−⋅=

n

na

( ) ( ) 2153622322323 91819

20 ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=a ( ) 3072215362215362021 =⋅=⋅=⋅= raa


Figura 9.

Figura 10.


Ejercicio 4.

Un centurión le pidió al César que le recompensara por su valentía. El César, mostrándole grandes montones de monedas, le dijo: "Puedes tomar un denario; mañana, 2; al día siguiente, 4; al otro, 8. Así, sucesivamente, cada día duplicarás lo del anterior. Pero lo de cada día deberás llevártelo tú solo y de una sola vez. Te permito usar un carro". Suponiendo que un denario pesara 20 g y que lo máximo que consiguiera llevar en un carro fuera una tonelada, ¿cuántos días duró la recompensa? ¿Cuál fue el número de denarios de la última carretada?


5

Solución:

Denarios que hay en una tonelada 5000020:1000000 =→ Denarios que se lleva cada día 11 221 −− =⋅=→ nn

na ¿Cuál será el mayor valor de n para que 12 −n sea menor que 50000? Utilizando el factor constante obtenemos que 32768215 = y 65536216 = . Así, 16151 =→=− nn La recompensa duró 16 días, y el último día se llevó 32768 denarios.


Figura 11.

Figura 12.

Figura 13.



6

Ejercicio 5. Construye una progresión geométrica cuyo primer término es 125 y cuya razón es 0,4. Solución:

.4,0;1251 == ra Una progresión geométrica tiene como término general: 11

−⋅= nn raa por tanto:

504,01252 =⋅=a

204,0125 23 =⋅=a La progresión geométrica con 4,01251 == rya es:

84,0125 34 =⋅=a ( )...8,20,50,125


Figura 14.

Figura 15.


Ejercicio 6.

De una progresión geométrica conocemos 625,01 =a y 9,03 =a . Halla r y los seis primeros términos.


7

Solución:

.9,0;625,0 31 == aa Sabiendo que 213 raa ⋅= , calculamos

:r ;625,09,0;

625,09,0;625,09,0 22 ==⋅= rrr

−+

=2,12,1

r Existen pues 2 progresiones que cumplen los requisitos: ( )( )

−⋅=+⋅=

−

−

1

1

2,1625,022,1625,01

nn

nn

aa

Calculamos

los 6 primeros términos de cada progresión: ( ) 12,1625,0 −+⋅= n

na ( ) 12,1625,0 −−⋅= nna

( ) 625,02,1625,0 11

1 =+⋅= −a ( ) 08,12,1625,0 144 =+⋅= −a ( ) 625,02,1625,0 11

1 =−⋅= −a ( ) 08,12,1625,0 144 −=−⋅= −a

( ) 75,02,1625,0 12

2 =+⋅= −a ( ) 29,12,1625,0 155 =+⋅= −a ( ) 75,02,1625,0 12

2 −=−⋅= −a ( ) 29,12,1625,0 155 =−⋅= −a

( ) 9,02,1625,0 13

3 =+⋅= −a ( ) 555,12,1625,0 166 =+⋅= −a ( ) 9,02,1625,0 13

3 =−⋅= −a ( ) 555,12,1625,0 166 −=−⋅= −a


Figura 16.

Figura 17.


8

Figura 18.

Figura 19.


Ejercicio 7.

En una progresión geométrica de términos positivos, 21 =a y 63 =a . Halla na , 11a y 12a .

Solución:

.326;;;6;2

1

3

1

3223131 ====⋅===

aa

raa

rraaaa Ya podemos hallar na , 11a y 12a :

Término general: Término 11a : Término 12a :

( ) 132

−⋅=

n

na ( ) 48632111

11 =⋅=−

a ( ) 78,84132112

12 =⋅=−

a


9


Figura 20.

Figura 21.


Ejercicio 8.

En una progresión geométrica, el primer término es 51 =a y la razón es 4,1=r . Averigua, con ayuda de la calculadora, cuál es el término más avanzado cuyo valor es inferior a 1000000. Solución:

:4,1;21 == ra ;6508104,15...8,94,15;74,15 3536

232

11 =⋅==⋅==⋅=→⋅= − aaaraa n

n

.12756004,15;9111304,15 3738

3637 =⋅==⋅= aa

Luego el término buscado es .37a


10


Figura 22.

Figura 23.

Figura 24.


Ejercicio 9.

En una progresión geométrica, 10001 =a y 8,0=r . Averigua, con la calculadora, cuál es el término más avanzado cuyo valor es mayor que 1. Solución:

:8,0;10001 == ra ;5474,18,01000...6408,01000;8008,01000 2930

222

11 =⋅==⋅==⋅=→⋅= − aaaraa n

n


11

.99,08,01000;2379,18,01000 3132

3031 =⋅==⋅= aa Luego el término buscado es .31a


Figura 25.

Figura 26.

Figura 27.


Ejercicio 10.

Calcular la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica en la que:

101 =a 32

=r


12

Solución:

Puesto que 32

=r es menor que 1, podemos aplicar la fórmula:

( ) 303/1

103/21

101

1 ==−

=−

=∞ raS


Figura 28.


Ejercicio 11.

Hallar los siete primeros términos, su suma y la suma de los infinitos términos de una progresión

geométrica en la que 161 =a y 21

−=r .

Solución:

161 =a 21

−=r

161 =a , 82 −=a , 43 =a , 24 −=a , 15 =a , 21

6 −=a , 41

7 =a

( ) ( )

( ) 75,10443

12/1162/14/1

141

21124816 17

7 ==−−−−⋅

=−−⋅

=+−+−+−=r

araS


13

( ) 6,103

322/3

162/11

16 ===

−−=∞S


Figura 29.

Figura 30.

Figura 31.



14

Ejercicio 12.

Identifica las progresiones aritméticas, las geométricas y las que no son progresiones. Obtén el término general de cada una:

a) 1, 89

, 45

, 8

11, ...

b) ,...4,3,2,1

c) 0,2; 0,02; 0,002; ...

d) 2, 23

, 34

, 45

, ...

Solución:

a) Se trata de una progresión aritmética ( )( )dnaan 11 −+= donde a cada término se le suma 81

.

Comprobamos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )811

81141;

45

810

81131;

89

81121;1

81111;

8111 4321 =⋅−+===⋅−+==⋅−+==⋅−+=⋅−+= aaaanan

b) Es una progresión, no geométrica ni aritmética, sino polinomial y no pertenece a este bloque temático. c) Se trata de una progresión geométrica ( )1

1−⋅= n

n raa donde cada término es resultado de multiplicar el anterior por .1,0 Comprobamos:

0002,01,02,0;002,01,02,0;02,01,02,0;2,01,02,0; 144

133

122

111

11 =⋅==⋅==⋅==⋅=⋅= −−−−− aaaaraa n

n d) Es una progresión, no geométrica ni aritmética, sino polinomial y no pertenece a este bloque temático. - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 32.


15

Figura 33.

Figura 34.

Figura 35.


Ejercicio 13.

Halla el primer término y el término general de las siguientes progresiones aritméticas:

a) 5=d ; 378 =a b) 1711 =a ; 2=d Recuerde que daa 718 += ; sustituye y halla 1a

Solución:

a) ( ) ( ) 512;1235377;7 18118 ⋅−+=−+=→=−=−=+= nadnaadaadaa nn

b) ( ) ( ) 213;13201710;10 1111111 ⋅−+−=−+=→−=−=−=+= nadnaadaadaa nn


16


Figura 36.

Figura 37.

Figura 38.

Figura 39.


Ejercicio 14.

Halla la diferencia y el primer término de las progresiones aritméticas siguientes:

a) 182 =a ; 177 −=a b) 154 =a ; 3912 =a

Ten en cuenta que daa 527 += .


17

Solución:

a) ( ) 25718;1275

18175

;5 211227

27 =+=−=−+=→−=−−

=−

=+= daadaaaa

ddaa

b) ( ) 6153;1338

15398

;8 4114412

124 =−=−=−+=→=−

=−

=+= daadaaaaddaa


Figura 40.

Figura 41.

Figura 42.

Figura 43.



18

Ejercicio 15.

Halla el primer término y escribe el término general de las siguientes progresiones:

a) 33 =a ; 101

=r

b) 25,204 =a ; 5,1−=r Solución:

a) ( )1

21

13

11

1 1013003001003

1013;

1013;

−−−

⋅=→=⋅=

=

⋅=⋅=

n

nn

n aaaraa

b) ( ) ( )( )

( ) 1331

141

11 5,166

5,125,20

5,125,20;5,125,20; −−− −⋅−=→−=

−=

−=−⋅=⋅= n

nn

n aaaraa


Figura 44.

Figura 45.

Figura 46.


19

Figura 47.


Ejercicio 16.

Calcular la fracción generatriz de 8,3

utilizando las progresiones geométricas.

Solución:

...008,008,08,03...8888,38,3 ++++=→

Hallamos la suma de los infinitos términos de la progresión 108

, 100

8 ... de razón

101 :

98

10/910/8

10/1110/8

==−

=∞S

935

9838,3 =+=


Figura 48.


20

Figura 49.

Figura 50.


Ejercicio 17.

Depositamos en un banco 1000 € al 4% anual al comienzo de un cierto año. Averiguar el capital disponible al final de cada año, durante 5 años, si no sacamos nada. Solución:

En la unidad 1 vimos que un capital C, puesto al %r durante n años se transforma en ( )nrC 100/1+ .

Los valores de esta expresión para ,...3,2,1=n forman una progresión geométrica de razón (1 + r/100)

[= 1,04 en este problema].

Comprueba que sus primeros términos son: 1000 €; 1040 €; 1081,60 €; 1124,86 €; 1169,86 €; 1216,65 €


21


Figura 51.

Figura 52.


Ejercicio 18.

Durante cinco años, al inicio de cada año, ingresamos 1000 € en un banco, a un interés de un 4% anual. ¿Cuánto dinero tendremos al final del quinto año? Solución:

Al cabo de 5 años, el primer ingreso se convierte en 504,11000 ⋅ . El segundo, después de 4 años, se convierte en ...04,11000 4⋅


22

El último ingreso se convierte en 1000 · 1,04. El capital disponible al final del quinto año es la suma de

cinco términos de una progresión geométrica de razón 1,04:

€32,5416104,1

100004,110001

515

5 =−−⋅

=−−

=r

araS


Figura 53.

Figura 54.


tema 3: progresiones. - eues.ugr.eseues.ugr.es/wiris/images/stories/file/mates3/tema3/tema3.pdf ·...

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