tema 4: el lenguaje algebraico. -...

Ejercicio 1. ¿Cuál es el grado de cada uno de los siguientes monomios?

a) 325 zxy− b) 211xy c) 12−

Solución: a) 63215 32 =++→− zxy b) 32111 2 =+→xy c) 012 →− - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 1.

Figura 2.

Figura 3.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Tema 4: El lenguaje algebraico.

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

2

Ejercicio 2.

Efectúa las siguientes sumas de monomios:

a) xxxxxx 781135 22 +−+−+ b) yxyxyxyx 2222 3136 −+−

c) 32 211352 xyxxx +++−

d) 3333 523 zyyzzyyz +−+

Solución: a) xxxxxx 781135 22 +−+−+

22222 23;978115781135 xxxxxxxxxxxxxx =−=++−→+−+−+

xxxxxxxx 92781135 222 +=+−+−+

b) yxyxyxyx 2222 3136 −+−

yxyxyxyxyx 22222 53136 −=−+−

c) 32 211352 xyxxx +++−

xxxxyxxx 532211352 32 =+→+++−

yxxxxyxxx 11552211352 2332 ++−=+++−

d) 3333 523 zyyzzyyz +−+

3333333333 65;23523 zyzyzyyzyzyzzyyzzyyz =+=−→+−+

yzzyzyyzzyyz 333333 6523 +=+−+

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 4. El lenguaje algebraico.

3

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 4.

Figura 5.

Figura 6.

Figura 7.


Ejercicio 3.

Efectúa los siguientes productos de monomios:

a) ( ) ( )253 xx ⋅

b) ( ) ( )32 43 xx ⋅−

c) ( )xx 632 3 −⋅

d)

−⋅

32

53

92 xx

e) ( ) ( )yxy 27 2 ⋅

f) ( ) ( )zxxyz 235 −⋅

Solución:

a) ( ) ( )253 xx ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) 322 155353 xxxxx =⋅⋅⋅=⋅

b) ( ) ( )32 43 xx ⋅−


4

( ) ( ) ( ) ( ) 53232 124343 xxxxx −=⋅⋅⋅−=⋅−

c) ( )xx 632 3 −⋅

( ) ( ) 433 46326

32 xxxxx −=⋅⋅

−⋅=−⋅

d)

−⋅

32

53

92 xx

( ) 553232

152

456

53

92

53

92 xxxxxx −=−=⋅⋅

−⋅=

−⋅

e) ( ) ( )yxy 27 2 ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) 322 142727 xyyxyyxy =⋅⋅⋅=⋅

f) ( ) ( )zxxyz 235 −⋅

( ) ( ) ( )( ) ( ) yzxzxxyzzxxyz 2322 153535 −=⋅⋅−⋅=−⋅


Figura 8.

Figura 9.

Figura 10.

Figura 11.

Figura 12.

Figura 13.


5


Ejercicio 4.

Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los siguientes:

a) 325 cab− b) 36x c) x d) 7

Solución: Para obtener monomios semejantes debemos conservar la parte literal, por tanto:

a)

− 32

3232

72

5cabcab

cab b)

3

33

42

6xx

x c)

xx

x435

d)

289

7


Figura 14.

Figura 15.

Figura 16.


6

Figura 17.


Ejercicio 5.

Di el grado de cada uno de estos polinomios:

a) 323 246 ++− xxx b) 34242 235 xxxxx +−−+ c) 223 3323 −++−+ xxxxx

Solución: El grado de un polinomio es el grado del monomio con mayor grado que forma parte de ese polinomio. a) 6323 6246 →→++− xxxx b) 4235 434242 →→+−−+ xxxxxx c) 2302223 23333323 →→=−+→−++−+ xxxxxxxxx - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 18.


7

Figura 19.

Figura 20.


Ejercicio 6.

Sean 125 3 +−= xxP y 222 24 −+−= xxxQ . Halla QP + y QP − Solución:

→+QP ( ) ( ) 125212225222125 234234243 −−+=−++−−+=−+−++− xxxxxxxxxxxxx

→−QP ( ) ( ) 3425212225222125 234234243 +−++−=++−−++−=−+−−+− xxxxxxxxxxxxxx - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 21.



8

Ejercicio 7.

Halla los productos siguientes y di de qué grado son:

a) ( )132 2 −+ xxx

b) ( )6432 22 +− xxx

c) ( )xx −−− 332

d) ( )15 2 −+ xx

e) ( )1327 25 −−− xxx

f) ( )xxxx +−− 23 327

g) ( )32 534 xxx +−

h) ( )38 22 +xx

i) ( )23 23 xxx +−−

j) ( )[ ]234 2 −+− xxx

Solución: a) ( )132 2 −+ xxx

( ) 3262132 232 gradoxxxxxx →−+=−+ b) ( )6432 22 +− xxx

( ) 412866432 23422 gradoxxxxxx →+−=+− c) ( )xx −−− 332

( ) 32632 33 gradoxxxx →+=−−− d) ( )15 2 −+ xx ( ) 255515 22 gradoxxxx →−+=−+

e) ( )1327 25 −−− xxx

( ) 7721141327 56725 gradoxxxxxx →++−=−−−

f) ( )xxxx +−− 23 327

( ) 472114327 23423 gradoxxxxxxx →−+−=+−− g) ( )32 534 xxx +−

( ) 512204534 23532 gradoxxxxxx →+−=+− h) ( )38 22 +xx

( ) 424838 2422 gradoxxxx →+=+ i) ( )23 23 xxx +−−

( ) 52323 5423 gradoxxxxx →−=+−− j) ( )[ ]234 2 −+− xxx

( )[ ] ( )=−+⋅−=−+− 294234 22 xxxxxx


9

38364 32 gradoxxx →+−−=


Figura 22.

Figura 23.

Figura 24.

Figura 25.

Figura 26.

Figura 27.


10

Figura 28.

Figura 29.

Figura 30.

Figura 31.


Ejercicio 8.

Siendo 34 2 += xP , 735 2 +−= xxQ y 85 −= xR , calcula:

a) QP ⋅ b) RP ⋅ c) RQ ⋅

Solución:


11

a) QP ⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) =+−++−=+−⋅++−⋅=+−⋅+ 219152812207353735473534 223422222 xxxxxxxxxxxxx

219431220 234 +−+−= xxxx b) RP ⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) 241532208538548534 2322 −+−=−⋅+−⋅=−⋅+ xxxxxxxx c) RQ ⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) =−+−+−=+−⋅−+−⋅=−⋅+− 5624403515257358735585735 223222 xxxxxxxxxxxxx

56595525 23 −+−= xxx - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 32.


Ejercicio 9.


12

Opera y simplifica la expresión resultante:

a) ( ) ( ) 222 1222135 xxxxxx +−−−+

b) ( ) ( ) ( ) 832374235 −+−−++− xyyx

c) ( ) ( )

−

++

−−

−⋅ 7

152

54

33215 xxyx

d) ( )( ) ( )12323572 3532 +−−−++− xxxxxx

Solución: a) ( ) ( ) 222 1222135 xxxxxx +−−−+ ( ) ( ) xxxxxxxxxxxxxxx −+=++−−+=+−−−+ 2322323222 1931242351222135

b) ( ) ( ) ( ) 832374235 −+−−++− xyyx

( ) ( ) ( ) 2233

29873

143782155832

374235 −−=−−+−++−=−+−−++−

yxxyyxxyyx

c) ( ) ( )

−

++

−−

−⋅ 7

152

54

33215 xxyx

( ) ( )

=−++−

−−

=

−

++

−−

−⋅=

−

++

−−

−⋅ 1052

56060

390307

152

544

362157

152

54

33215 xxyxxxyxxxyx

1331223105212123010 −−=−+++−−= yxxxyx

d) ( )( ) ( )12323572 3532 +−−−++− xxxxxx

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−−−+−⋅++−⋅=+−−−++− 123272372512323572 352233532 xxxxxxxxxxxxxx

2043381031232216335105 2345352345 +−++−=−++−+−++−= xxxxxxxxxxxxx - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 33.


13

Figura 34.

Figura 35.

Figura 36.


Ejercicio 10.

Extrae factor común en cada expresión:

a) 432 25155 xxx +−

b) 151

93

4

−−xx

c) 33274253 7232 yxyxyxyx ++−

d) ( )3252 32 −− yyxyx

e) ( ) ( ) ( )353332 −−−+− xxx

f) 3322 462 xyyxxy +−


14

g) ( )( ) ( )1271

232

−−−− yyx

Solución: a) 432 25155 xxx +−

( )22432 531525155 xxxxxx +−⋅=+−

b) 151

93

4

−−xx

−−⋅=−−

51

331

151

934

4 xxxx

c) 33274253 7232 yxyxyxyx ++−

( )2352233274253 37227232 yxyxyxyxyxyxyxyx −++⋅=++−

d) ( )3252 32 −− yyxyx

( ) ( )xxyyxyxyxyxyyxyx 15102151023252 2323232 +−⋅=+−=−−

e) ( ) ( ) ( )353332 −−−+− xxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 05323353332 =−+⋅−=−−−+− xxxx

f) 3322 462 xyyxxy +−

( )yxyxyxyyxxy 2312462 23322 +−⋅=+−

g) ( )( ) ( )1

271

232

−−−− yyx

( )( ) ( ) ( ) ( )102

1732

11271

23 22

2

−⋅−

=−−⋅−

=−−−− xyxyyyx


Figura 37.


15

Figura 38.

Figura 39.

Figura 40.

Figura 41.

Figura 42.


16

Figura 43.


Ejercicio 11.

Desarrollar. Solución:

a) ( )235 −x

Es el cuadrado de una diferencia: ( ) ( ) xxxxx 309253523535 2222 −+=⋅⋅−+=−

b) ( )( )3434 +− xx

Es el producto de una suma por la diferencia de los mismos términos: ( )( ) ( ) 916343434 222 −=−=+− xxxx


Figura 44.


17

Figura 45.


Ejercicio 12.

Simplificar.

( ) ( )22 5353 −−+ xx

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) xxxxxxxxx 60303030529305295353 2222 =−−=−/+/−+/+/=−−+


Figura 46.


Ejercicio 13.

Desarrolla los siguientes cuadrados:


18

a) ( )24+x

b) ( )252 −x

c) ( )261 x−

d) 2

43

2

+

x

e) 2

2

212

−x

f) ( )2bax +

Solución: a) ( )24+x ( ) ( ) ( ) 1681644444 222 ++=+++=+⋅+=+ xxxxxxxx b) ( )252 −x ( ) ( ) ( ) 252042510104525252 222 +−=+−−=−⋅−=− xxxxxxxx c) ( )261 x− ( ) ( ) ( ) 222 3612136661616161 xxxxxxxx +−=+−−=−⋅−=−

d) 2

43

2

+

x

169

86

4169

83

83

443

243

243

2

222

++=+++=

+⋅

+=

+

xxxxxxxx

e) 2

2

212

−x

4124

414

212

212

212 2422422

22 +−=+−−=

−⋅

−=

− xxxxxxxx

f) ( )2bax + ( ) ( ) ( ) 2222222 2 babxxababxabxxabaxbaxbax ++=+++=+⋅+=+ - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 47.


19

Figura 48.

Figura 49.

Figura 50.

Figura 51.

Figura 52.


Ejercicio 14.

Efectúa los siguientes productos:

a) ( )( )11 −+ xx

b) ( )( )3232 −+ xx

c)

+

−

21

321

3xx

d) ( )( )baxbax −+


20

Solución: a) ( )( )11 −+ xx ( )( ) 1111 22 −=−+−=−+ xxxxxx b) ( )( )3232 −+ xx ( )( ) 9496643232 22 −=−+−=−+ xxxxxx

c)

+

−

21

321

3xx

41

941

66921

321

3

22

−=−−+=

+

−

xxxxxx

d) ( )( )baxbax −+ ( )( ) 222222 bxababxabxxabaxbax −=−−+=−+ - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 53.

Figura 54.

Figura 55.


21

Figura 56.


Ejercicio 15.

Simplificar:

( ) ( )( )424242 2 −+−− xxx

Solución:

( ) ( )( ) ( ) 32161641616416416164424242 22222 +−=+−+−=−−+−=−+−− xxxxxxxxxx


Figura 57.


Ejercicio 16.

Multiplicar por 12 y simplificar:

( ) ( )

1225

6145

253

423

++

−+

++ xxx

Solución:


22

( ) ( ) 63132510403018189121225

6145

253

423

+−=+−−+++=⋅

+

+−

++

+ xxxxxxx


Figura 58.


Ejercicio 17.

Expresa en forma de producto.

a) 254 2 −x b) xx 8162 ++

c) 122 ++ xx

d) 169 2 ++ xx

e) xx 20254 2 −+

f) 14

2

++ xx

Solución: Podemos hallar de forma intuitiva el resultado en forma de producto de estas expresiones utilizando las

identidades notables:

a) 254 2 −x es el resultado de una suma por diferencia:

( ) ( ) ( ) ( ) 2545252;525;25

24;4;254 22

222222 −=−⋅+

======−=−⋅+− xxx

bbxxaxabababax

b) xx 8162 ++ es el resultado del cuadrado de una suma:


23

( ) ( ) ( ) ( ) xxxxxxab

bbxxaxa

abbabababaxx 8164;842;82416;16

;2;816 222

222

2222 ++=+

=⋅⋅=======

++=+⋅+=+++

c) 122 ++ xx es el resultado del cuadrado de una suma:

( ) ( ) ( ) ( ) 121;212;22

11;1;

2;12 222

222

2222 ++=+

=⋅⋅====

===++=+⋅+=+++ xxx

xxxabbb

xxaxaabbabababaxx

d) 169 2 ++ xx es el resultado del cuadrado de una suma:

( ) ( ) ( ) ( ) 16913;6132;22

11;139;9

2;169 222

222

2222 ++=+

=⋅⋅====

===++=+⋅+=+++ xxx

xxxabbb

xxaxaabbabababaxx

e) xx 20254 2 −+ es el resultado del cuadrado de una diferencia:

( ) ( ) ( ) ( ) xxxxxxab

bbxxaxa

abbabababaxx 2025452;20522;202

525;2524;4

2;20254 222

222

2222 −+=−

=⋅⋅−−=−===

===−+=−⋅−=−−+

f) 14

2

++ xx es el resultado del cuadrado de una suma:

( ) ( ) ( ) 14

12

;

12

2;22

11;124

;4

2;14

222

222

2222

++=

+

=⋅⋅=

===

===

++=+⋅+=+++ xxx

xxxab

bb

xxaxa

abbabababaxx


Figura 59.


24

Figura 60.

Figura 61.

Figura 62.

Figura 63.


25

Figura 64.


Ejercicio 18.

Simplifica las expresiones siguientes:

a) ( )( ) ( )422 2 +−+− xxx

b) ( ) ( )21313 +−− xx

c) ( ) ( )503252 22 ++−− xxx

d) ( )( ) 53245 −+− xx

e) ( ) ( )4053 22 +−+ xx

f) ( ) ( )[ ]222 33 −+−+ xxx

Solución: a) ( )( ) ( )422 2 +−+− xxx ( )( ) ( ) 844422 222 −=−−−=+−+− xxxxx b) ( ) ( )21313 +−− xx


26

( ) ( ) ( ) ( ) 23916913169131313 2222 −−−=−−−−=++−−=+−− xxxxxxxxxx c) ( ) ( )503252 22 ++−− xxx ( ) ( ) ( ) ( ) xxxxxxxxxxxx 23503220502503210252503252 222222 −=−−−−+=++−−+=++−−

d) ( )( ) 53245 −+− xx ( )( ) ( ) ( ) 1771051281510532432553245 22 −+=−−−+=−+⋅−+⋅=−+− xxxxxxxxxx e) ( ) ( )4053 22 +−+ xx ( ) ( ) 252401534053 22222 −=−−+=+−+ xxxxx

f) ( ) ( )[ ]222 33 −+−+ xxx ( ) ( )[ ] xxxxxxxxxx 12696933 2222222 +−=+−−−++=−+−+ - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 65.

Figura 66.

Figura 67.


27

Figura 68.

Figura 69.

Figura 70.


Ejercicio 19.

Multiplica y simplifica el resultado:

a) 41

43

842−−++

xxxx por 8

b) 9

4123

19

32 +−

−+

−+

xxxx por 9

c) ( ) ( ) 52

18

42 2

−+

−− xxx por 8

Solución:

a) 2262448

424

88

48

288

41

43

842−=−−++=−−++=⋅

−−++ xxxxxxxxxxxxx

b) 1024123332999

4123

19

32−=−−−+−+=⋅

+

−−

+−

+ xxxxxxxxx

c) ( ) ( ) ( ) ( ) 242040441616440144285

21

842 422

2

−−=−−−−+=−+−+=⋅

−

+−

− xxxxxxxxxxx


28


Figura 71.

Figura 72.

Figura 73.


Ejercicio 20.

Calcula:

327

3253

+−

−++

xx

xx

Solución:

( )

32122

32753

327

3253

++

=+

−−+=

+−

−++

xx

xxx

xx

xx


Figura 74.


29


Ejercicio 21.

Calcula:

xx

xx

2245 −

++

Solución:

( )

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

2611

22810

22

2452

2245 +

=−++

=−

++

=−

++


Figura 75.



30

Ejercicio 22.

Calcula:

xx

x33

2

++

Solución:

( )

2

2

2

2

22

33333333x

xxx

xxxx

xxxx

xx

++=

++=

⋅+

+=+

+


Figura 76.


Ejercicio 23.

Calcula:

12

13

+−

− xxx

Solución:

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( ) 1

2311

223311

2111

311

21

32

22

−++

=−+

−−+=

−+⋅−

−−+⋅+

=+

−− x

xxxx

xxxxx

xxx

xxxx

x



31

Figura 77.


Ejercicio 24.

Calcula:

1372+

⋅−

xxx

Solución:

( )( ) xx

xxxx

xxx

+−

=+−

=+

⋅−

2

2161723

1372


Figura 78.



32

Ejercicio 25.

Calcula:

1:

35

2 +− xx

x

Solución:

( )( ) xx

xxx

xx

xxx

xx 3

553

1513

51

:3

52

222

2 −+

=−+

=+

⋅−

=+−


Figura 79.


Ejercicio 26. Calcula:

+

−+

⋅x

xxx

x35:

1353

Solución:

13

35135335:

1353

−=

/+///⋅

−/+//

⋅/

=

+

−+

⋅xx

xxx

xxx

xx

x


Figura 80.


33


Ejercicio 27.

Simplifica las fracciones siguientes. Para ello, saca factor común cuando convenga:

a) ( )35152

2

−xxx

b) ( )19)1(3 2

−−

xx

c) 43

32

31593

xxxx

−−

d) ( ) ( )

( )121319

++−+

xxx

e) ( ) ( )( )315

335 22

−+−

xxxxx

f) ( )( ) 3

23

133

xxxxx

−−

Solución:

a) ( )35152

2

−xxx

( ) ( ) 33

3535

3515

2

2

2

2

−=

−⋅⋅

=− xxx

xxxx

b) ( )19)1(3 2

−−

xx

( ) 31

)1(33)1()1(3

19)1(3 2 −

=−⋅⋅/−⋅−⋅/

=−− x

xxx

xx

c) 43

32

31593

xxxx

−−


34

( )( ) 222

2

43

32

531

53313

31593

xxx

xxxxx

xxxx

−−

=−⋅−⋅

=−−

d) ( ) ( )

( )121319

++−+

xxx

( ) ( )

( ) 326

239

121319

==−

=+

+−+x

xx

e) ( ) ( )

( )315335 22

−+−

xxxxx

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) xxxxxxxxx

xxxxxxx

xxxxx 3

339

39

333

3353335

315335 33222

−=−

=−⋅

=+⋅−⋅

=−⋅⋅

+⋅−⋅−⋅⋅=

−+−

f) ( )( ) 3

23

133

xxxxx

−−

( )( )

( )( ) 1

1313

133

3

3

3

23

=−−

=−−

xxxx

xxxxx


Figura 81.

Figura 82.


35

Figura 83.

Figura 84.

Figura 85.

Figura 86.


Ejercicio 28.

Opera y simplifica.

a) x

xxx

2232 −++

b) xxxxx

x482

13

2

2

−++

−+

c) 33

79

22 +

−−

− xx

x

d) xx

xxx

xx 25

15103

1552

2323

++

−++

Solución:

a) x

xxx

2232 −++


36

xx

xxx

xxxx

xx 223

24

22

23

242

232 +

=−++=−

++

b) xxxxx

x482

13

2

2

−++

−+

( )( )

( )1

564144

182

13

114

182

13482

13 22

2

2

+−−−

=++

−++

−+

=++

−+⋅+⋅

−+

=−++

−+ x

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

xx

xxxx

x

c) 33

79

22 +

−−

− xx

x

( )

( ) ( )( )

925214

92732172

993

3337

923

37

92

2

2

2

22

2

2

22 −−−−

=−

−+−−=

−−⋅

++⋅−

+⋅−

−=+

−−

− xxx

xxxx

xx

xxxx

xxx

x

d) xx

xxx

xx 25

15103

1552

2323

++

−++

( ) ( ) ( ) ( )

=++⋅

++

+⋅+−

++

=++⋅

−++

=++

−++

332

3332

31552

5325

31552

51510

3155 23

2

223

2

2323

xxx

xxx

xxxx

xxx

xxxx

xxx

xxx

( ) 35

3)35(3

393155

362992155 2

2232223

−=+

−⋅+=

+−−+

=+

++−−−+ xx

xxx

xxxx

xxxxxx


Figura 87.

Figura 88.


37

Figura 89.

Figura 90.


Ejercicio 29.

Efectúa las siguientes operaciones y simplifica. Ten en cuenta las identidades notables:

a) ( )1:12

−− x

xx

b) 24:)2( 2

+−−

xx

xxx

c) x

xx

xx 1:122 −+−

d) 32 36

xxx −⋅

e) ( )1133

22 −+

⋅−

xxx

xx

f) 22

4:1

2 2

−− xx

xx

g) ( )25

510

5+

⋅+

xx

h) 3

2

46

32

xx

xx

⋅

i) 68

42

34 2

−⋅

−xx

xx

j) ( )118333

2 −⋅

−xx

xx

Solución:

a) ( )1:12

−− x

xx

( ) ( ) ( )x

xxx

xxxx

xxx

x 11

1111

111:1 22 +=

−⋅

−⋅+=

−⋅

−=−

−


38

b) 24:)2( 2

+−−

xx

xxx

( ) ( ) 122

2)2(42)2(

24:)2(

2

2

=+⋅−

+⋅−=

−+

⋅−=+−−

xxxx

xxx

xx

xxx

c) x

xx

xx 1:122 −+−

( ) 1

111:12 22

−=−/⋅

/−

=−+− x

xx

xx

xx

xxx

d) 32 36

xxx −⋅

xx

xx

xxx 1863636 3

2 −=

−⋅=

−⋅

e) ( )

1133

22 −+

⋅−

xxx

xx

( ) ( ) ( )

( ) ( ) xxxxx

xxx

xxx

xx 3

11113

1133

22 =+⋅−

+⋅⋅

⋅−⋅

=−+

⋅−

f) 22

4:1

2 2

−− xx

xx

( )

xxxx

xx

xx

xx

xx

xx 1

2212

12

422

12

224:

12

2

2

=/⋅−⋅/

⋅−

=−

⋅−

=−−

g) ( )25

510

5+

⋅+

xx

( ) ( ) ( ) 1021

521

55

255

55

105

22 +=

+⋅=

+/

⋅⋅/+

=+

⋅+

xxxx

xx

h) 3

2

46

32

xx

xx

⋅

xxxx

xx

xx

xx 1

2223

32

46

32

2

2

3

2

=/⋅/⋅

⋅=⋅


39

i) 68

42

34 2

−⋅

−xx

xx

( ) xx

xxx

xxx

xx

=−⋅

⋅⋅

−=

−⋅

−342

222

3468

42

34 2

j) ( )118333

2 −⋅

−xx

xx

( )( )

( ) xxx

xx

xx

xx

21

118313

118333

22 =−

⋅−⋅

=−

⋅−


Figura 91.

Figura 92.

Figura 93.

Figura 94.


40

Figura 95.

Figura 96.

Figura 97.

Figura 98.

Figura 99.

Figura 100.



41

Ejercicio 30.

Opera y simplifica.

a)

++

−− 325

325:

946

2

2

xx

xx

xx b) ( )( )25515

1255 2

23

2

2

−++

−−− xx

xxx

x

Solución:

a)

++

−− 325

325:

946

2

2

xx

xx

xx

( ) ( )

=

−

−++−

=

−−⋅

+−+⋅

−=

++

−− 9415101510:

946

94325

94325:

946

325

325:

946

2

22

2

2

222

2

2

2

xxxxx

xx

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

103

206

2094

946

2

2

2

2

==−

⋅− x

xx

x

b) ( )( )255151

255 2

23

2

2

−++

−−− xx

xxx

x

( )( )( )

( )( ) 51

25551

25525511

51

255255151

255 2

2

2

2

2

2

2

2

2

23

2

2

−=−

−−−

=−+

+−−

−=

−++

−−− x

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

x


Figura 101.


42

Figura 102.


Ejercicio 31.

Opera y simplifica.

a) ( )( ) ( )2132 2 −−−+ xxxx

b) ( )( ) ( )335 322 −−−+− xxxxxx

c) ( )12661

35

21 2 −

++ xxx

Solución: a) ( )( ) ( )2132 2 −−−+ xxxx ( )( ) ( ) 3532233222132 232232 −+−=+−−+−=−−−+ xxxxxxxxxxxx b) ( )( ) ( )335 322 −−−+− xxxxxx ( )( ) ( ) xxxxxxxxxxxxxxxx 8633535335 3423234322 +−=+−−+−+−=−−−+−

c) ( )12661

35

21 2 −

++ xxx

( ) 2194322061036

123

602

126

63

302

612661

35

21 23223

2232 −−+=−−−++=−−−++=−

++ xxxxxxxxxxxxxxxx


Figura 103.


43

Figura 104.

Figura 105.


Ejercicio 32.

Extrae factor común:

a) xxx 4812 23 −−

b) 233 xxx −+−

c) 2222 42 yxyxxy +−

d) xxx35

31

32 32 −+

Solución:

a) xxx 4812 23 −−

( )12344812 223 −−⋅=−− xxxxxx b) 233 xxx −+−

( )xxxxxx −+−⋅=−+− 133 223

c) 2222 42 yxyxxy +−

( )xyxyxyyxyxxy +−⋅=+− 4242 2222


44

d) xxx35

31

32 32 −+

( )5231

35

31

32 232 −+⋅=−+ xxxxxx


Figura 106.

Figura 107.

Figura 108.

Figura 109.


45


Ejercicio 33.

Desarrolla estas expresiones:

a) ( )26+x

b) ( )27 x−

c) ( )223 −x

d) 2

21

+x

e) ( )22yx −

f) 2

31

52

− yx

Solución: a) ( )26+x

( ) ( ) ( ) 36123666666 222 ++=+++=+⋅+=+ xxxxxxxx b) ( )27 x−

( ) ( ) ( ) 222 14497749777 xxxxxxxx +−=+−−=−⋅−=− c) ( )223 −x

( ) ( ) ( ) 41294669232323 222 +−=+−−=−⋅−=− xxxxxxxx

d) 2

21

+x

41

41

2221

21

21 22

2

++=+++=

+⋅

+=

+ xxxxxxxx

e) ( )22yx −

( ) ( ) ( ) 22222 44422222 yxyxyxyxyxyxyxyx +−=+−−=−⋅−=−

f) 2

31

52

− yx


46

9154

254

9152

152

254

31

52

31

52

31

52 2

22

22 yxyxyxyxyxyxyxyx +−=+−−=

−⋅

−=

−


Figura 110.

Figura 111.

Figura 112.

Figura 113.

Figura 114.

Figura 115.



47

Ejercicio 34.

Efectúa estos productos:

a) ( )( )77 −+ xx

b) ( )( )xx −+ 33

c) ( )( )xx 4343 −+

d) ( )( )11 22 −+ xx

e)

+

− 1

211

21 xx

f)

−

+

xx1111

Solución: a) ( )( )77 −+ xx ( )( ) 49497777 22 −=−++−=−+ xxxxxx b) ( )( )xx −+ 33 ( )( ) 22 933933 xxxxxx −=−+−=−+ c) ( )( )xx 4343 −+ ( )( ) 22 16916121294343 xxxxxx −=−+−=−+ d) ( )( )11 22 −+ xx ( )( ) 1111 422422 −=−+−=−+ xxxxxx

e)

+

− 1

211

21 xx

1411

21

21

411

211

21 22 −=−−+=

+

− xxxxxx

f)

−

+

xx1111


48

22

1111111111xxxxxx

−=−+−=

−

+


Figura 116.

Figura 117.

Figura 118.

Figura 119.

Figura 120.

Figura 121.



49

Ejercicio 35.

Simplifica todo lo posible estas expresiones:

a) ( )( ) ( )2333 +−−+ xxx

b) ( ) ( ) 93232 22 −−−+ xx

c) ( ) ( )( )121213 2 −+−+ xxxx

d) ( )( ) ( )2222 122 −−−+ xxx

Solución: a) ( )( ) ( )2333 +−−+ xxx ( )( ) ( ) ( ) 186699699333 22222 −−=−−−−=++−−=+−−+ xxxxxxxxxx b) ( ) ( ) 93232 22 −−−+ xx ( ) ( ) 92491294129493232 2222 −=−+−−++=−−−+ xxxxxxx c) ( ) ( )( )121213 2 −+−+ xxxx

( ) ( )( ) ( ) ( ) 13231436314123121213 23223222 +++=+−++=−−++⋅=−+−+ xxxxxxxxxxxxxxx

d) ( )( ) ( )2222 122 −−−+ xxx

( )( ) ( ) ( ) 52214214122 22442442222 −=+−−−=−+−−=−−−+ xxxxxxxxxx - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 122.


50

Figura 123.

Figura 124.

Figura 125.


Ejercicio 36.

Completa con el término que falta para que cada expresión sea el cuadrado de una suma o el de una diferencia:

a) xx 4...2 ++ b) xx 10...2 −+ c) ...92 ++x d) ...162 −+x Solución: a) xx 4...2 ++


51

( )

=⋅⋅==

===++=+→++

xbxxabb

xxaxaabbabasumaunadecuadradoxx

42;42?

;2;4... 2

222

2222

.4224;42 2 =→===⋅⋅ b

xxbxbx La expresión completa es .442 xx ++

b) xx 10...2 −+

( )

−=⋅⋅−−=−=

===−+=−→−+

xbxxabb

xxaxaabbabadiferenciaunadecuadradoxx

102;102?

;2;10... 2

222

2222

.2552

10;102 2 =→=−−

=−=⋅⋅− bxxbxbx La expresión completa es .10252 xx −+

c) ...92 ++x

( )

=⋅⋅====

===++=+→++

xxabbb

xxaxaabbabasumaunadecuadradox

632239;9

;2;...9 2

222

2222

La expresión completa es .692 xx ++

d) ...162 −+x

( )

−=⋅⋅⋅−=−======

−+=−→−+xxab

bbxxaxa

abbabadiferenciaunadecuadradox8422416;16

;2;...16 2

222

2222

La expresión completa es .8162 xx −+ - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 126.


52

Figura 127.

Figura 128.

Figura 129.

Figura 130.

Figura 131.


53


Ejercicio 37.

Simplifica estas fracciones algebraicas:

a) 2129

xx b) ( )

( )151

++

xxx c) ( )

3

2

22

xxx +

Solución:

a) 2129

xx

xxxx

xx

43

4333

129

2 =⋅⋅

=

b) ( )( )15

1++

xxx

( )( ) 515

1 xxxx

=++

c) ( )

3

2

22

xxx +

( ) ( )

xx

xxxx

xxx

22

22

22

2

2

3

2 +=

⋅+

=+


Figura 132.

Figura 133.


54

Figura 134.


Ejercicio 38.

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. Para ello, saca factor común:

a) 2

2 4x

xx −

b) xx

x2

32 +

c) ( )21

33++

xx

d) 23

2

242xx

xx++

e) ( )2

23

1248

−−

xxx

f) 24

3 55xx

xx++

Solución:

a) 2

2 4x

xx −

( )

xx

xxxx

xxx 444

2

2 −=

⋅−⋅

=−

b) xx

x2

32 +

( ) 23

23

23

2 +=

+⋅⋅

=+ xxx

xxx

x

c) ( )21

33++

xx

( )( )

( ) 13

113

133

22 +=

++⋅

=++

xxx

xx

d) 23

2

242xx

xx++

( )( ) xxxx

xxxx

xx 2222

242

2

2

23

2

=+⋅+⋅

=++

e) ( )2

23

1248

−−

xxx

( )( )

( ) 124

12124

1248 2

2

2

2

23

−=

−−⋅

=−−

xx

xxx

xxx

f) 24

3 55xx

xx++

( )( ) xxxx

xxxx

xx 55553

3

24

3

=+⋅+⋅

=++



55

Figura 135.

Figura 136.

Figura 137.

Figura 138.

Figura 139.

Figura 140.


Ejercicio 39.


56

Opera y simplifica si es posible.

a) 2

31 xx

x⋅

+ b)

xx

xx 1:

123 +

−+ c)

( ) 12:

13

2 −− xx d) ( )

21:1

2 −+

xx

Solución:

a) 2

31 xx

x⋅

+

( ) xxxxxx

xxx

xxx

+=

+⋅⋅

=+

=⋅+ 22232

33331

b) x

xxx 1:

123 +

−+

123

11231:

123

2

2

−−

=+

⋅−+

=+

−+

xxx

xx

xx

xx

xx

c) ( ) 1

2:1

32 −− xx

( ) ( ) 223

21

13

12:

13

22 −=

−⋅

−=

−− xx

xxx

d) ( )2

1:12 −

+xx

( ) ( ) ( ) ( ) 12

1121

21:1

2

−=

−⋅+⋅+=

−+

xxxxxx


Figura 141.

Figura 142.

Figura 143.


57

Figura 144.


tema 4: el lenguaje algebraico. -...

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