tema 3: Álgebra. -...

Tema 3: Álgebra.

Ejercicio 1. Descomponer en factores irreducibles el siguiente polinomio: 2346 404215 xxxx Solución:

404215404215 2422346 xxxxxxxx

Ya hemos extraído el factor x dos veces. Ahora busquemos las raíces enteras de 404215 24 xxx

)40,20

aplicando la regla de Ruffini y probando con los divisores de 40 ,10,8,5,4,2,1( . Comprobamos

que 1, -1 y 2 no son raíces (hazlo).

-2 si es raíz. Por tanto: )2011)(2(404215 2324 xxxxxxx

0201121 4022422

40421501

Buscamos las raíces enteras de . Probamos con los divisores de 20 (ya no hemos de probar con

1, -1 y 2). Comprobamos que -2 no es raíz (hazlo).

201123 xxx

)43)(5(2011 223 xxxxxx

0431

201555

201121

Como el factor que queda es de segundo grado, comprobamos si tiene raíces resolviendo la ecuación

correspondiente: no tiene raíces. Por tanto, es irreducible. La descomposición queda así: 0432 xx

23 40 xx

432 xx

246 4215 xxx )5()2( xx ).43( 2 xx

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 1.

MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 2.

Efectuar: 1

12

)1(

27

x

x

xx

x

x

x

Solución:

Hallamos el m.c.m. de los denominadores: m.c.m. )1()]1(),1(,[ xxxxxx

Reducimos las fracciones a común denominador y operamos:

)1(

2277

)1(

)12()2()1)(7(

1

12

)1(

2

)1(

17 22

xx

xxxxxx

xx

xxxxx

xx

xx

xx

x

xx

xx

.510

2

2

xx

xx


Figura 2.


Ejercicio 3.

Calcular: 3

1

2

3)

2

x

x

x

xa

2

2 23:

1

22)

x

x

x

xxb

2

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 3. Álgebra.

Solución:

6

33

623

33

)3)(2(

)1)(3(

3

1

2

3)

2

23

2

2322

xx

xxx

xxx

xxx

xx

xx

x

x

x

xa

253

22

2323

22

)23)(1(

)22(

231

2223:

1

22)

2

234

2

2342222

2

2

xx

xxx

xxx

xxx

xx

xxx

x

x

x

xx

x

x

x

xxb


Figura 3.

Figura 4.


Ejercicio 4.

Efectuar:

3

1:

1

1

2

2 x

x

x

Solución: Hacemos la división del paréntesis y después multiplicamos:

3


22

3

)1(2

3

)1)(1(2

3

)1)(1(

3

21

3:

1

12

2

2

222

x

x

x

x

xx

x

xx

x

xx

23

1:

1

1

2

22 xx

x

x

Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 5.

-

nlace con el ejercicio resuelto en la Web: E

jercicio 5.

esolver las siguientes ecuaciones:

olución:

E

R 0910) 24 xxa 032) 24 xxb 05) 24 xxc S

09100910) 224 2

yyxxa yx

399

111

2

810

2

3610010

x

xy Soluciones: -1, 1. -3, 3.

032032) 224 2

yyxx yx b

33

1

2

42

2

1242

x

xparasolucióndaNoy Soluciones: 3,3

0505) 224 2

yyxxc yx

55

000)5(

xy

xyyy Soluciones: 5,5,0

4


5


Figura 6.

-


jercicio 6.

esolver las siguientes ecuaciones:

E

xxa 132)R 4732) xxb

Solución:

xxa 132)

132 xx Elevamos al cuadrado ambos miembros:

omprobación:

2:0441232 22 xSoluciónxxxxx

2111322 C la solución es válida.

4732) xxb

espejamos una de las dos raíces: 7432 xx D elevamos al cuadrado ambos miembros:

78)7(163 7826 xx xxx Aislamos en un miembro el término en el que está la raíz:2

levamos al cuadrado ambos miembros:

omprobación:

E 114,20228116)7(6467652 2122 xxxxxxx

C

.4111571143142114

.43191723222

22

11

válidaesnoxx

válidaesxx La solución de la ecuación es x = 2 (única).


6


Figura 7.

-


jercicio 7.

a)

E

62

16

x

x

x Resolver estas ecuaciones: b)

4

34

5

322

x

x

xx

x

Solución:

) Para eliminar los denominadores de la ecuación multiplicamos ambos miembros por:

012195)2(6)1()2(6 2 xxxxxxx Operando

).2( xx

a

5

4

3

10

24036119

x

s las soluciones sobre la ecuación inicial, se ve que ambas son válidas. Soluciones:Comprobada5

4,3 21 xx

b) Para suprimir los denominadores de la ecuación multiplicamos ambos miembros por

09219)5(3)5)(4(4)32(4 22 xxxxxxx Operando

).5(4)5(4 2 xxxx

4

23

2

2719

2

36836119

x

omprobadas las soluciones sobre la ecuación inicial, se ve que ambas son válidas. Soluciones:C 4,23 21 xx


7


Figura 8.

-


jercicio 8.

ecuaciones:

E

27

13)

21 xa 15) 652

xxb Resolver las siguientes

olución:

esamos

23)21 xc 1222) 1 xxd

S

27

1 a) Expr como potencia de base 3: 3

33

3

1

27

1

24313327

13 22311 22

xxxxx Soluciones:

) Expresamos el segundo miembro como potencia de base 5:

2,2 21 xx

b 051

3

2

2

2425506555 20652

xxxxx Soluciones:

) Puesto que el segundo miembro no se puede poner como potencia entera de base 3, hemos de tomar

3,2 21 xx

c

logaritmos y recurrir a la calculadora:

3690702,06309298,013log/2log16309298,03log/2log12log3log) 222 xxx1(

Soluciones:607,0x 6075,0,6075,0 21 xx

) Hacemos el siguiente cambio de variable: Por tanto,

Solución:

.1222 1 xx .2 yx yxx 2222 1

d

2424123122 xyyyy x

2x


8


Figura 9.

-

Figura 10.

Figura 11.

Figura 12.


jercicio 9.

esolver:

E R 350loglog) xa 32log)3(log) 2

52 xb )310(loglog2) xxc

Solución:

) tendremos en cuenta que: a

202050

1000100051000log)50log(

1000log3

)(logloglog

loglog 10

xsoluciónx

xxBABA

significa

) Tendremos en cuenta que:

b aBBa 22 loglog

11232log)3(log 52

52 xsolucionxxx


9

c) Utilizando las propiedades de los logaritmos:

Posibles soluciones:

a solución no es válida por que en la ecuación original aparece y no se puede hallar el logaritmo

222 0103310)310(log xxxxxx 5,2 21 xx log

L 52 x

o negati

xlog

de un númer vo. Por tanto la solución única es .21 x

(Si la ecuación inicial fuera , serían válidas las dos soluciones).


Figura 13.

ecuación inicial fuera , serían válidas las dos soluciones).


Figura 13.

)310(loglog 2 xx )310(loglog 2 xx - -


jercicio 10.

sistemas de ecuaciones:

E

xyyx

yxa

92) Resolver los siguientes

Solución:

oslo por el método de sustitución. Despejamos y en la 1ª ecuación:

4)log(

5loglog2)

xy

yxb

) Resolvám .92 xya

Sustituimos en la 2ª: xxxxxx 9939292

15,609021188193)9(93 21222 xxxxxxxxx Elevamos al cuadrado ambos miembros:

Soluciones:

21,15 22 yx

3,6 yx 11


10

Comprobadas sobre el sistema inicial, vemos que la primera solución es válida, pero la segunda no.

)

Solución

b

4loglog4)log( yxxy

5loglog25loglog2 loglog)(log yxyx BABA

Aplicamos el método de reducción. Sumamos, miembro a miembro, laecuaciones:

s dos

1log

3log

134log4log3

3log9log3

y

x

xyx

xx 10,1000 yx

log:


Figura 14.


Ejercicio 11.

te sistema:

)18(208,4

1 2

te

te Resolver es

Solución:

Este sistema describe los movimientos de dos móviles, uno con aceleración uniforme y otro con velocidad

o resolvemos por el método de igualación:

constante.

La solución buscada es el lugar y el momento de encuentro de ambos móviles (e en metros y t en segundos).

L

241 t 12024 et

72

0172896)18(208,4)18(202

1222 tttttt 108072 22

11

et

8,4 t


11

Los dos móviles coinciden en dos momentos: a los 24 s están ambos a 120 m de la salida, y a los 72 s, a 180

de la salida.

Figura 15.

0 m



Ejercicio 12.

esolver el siguiente sistema:

01

2

y

x

x

xy R

Solución:

Sustituimos la 1ª ecuación en la 2ª: 02

1

x

x

x multiplicamos por )2( xx :

020)2( 2 xxxxx

42

2 12 x

x

11

,122

11 y

yxx

Comprobamos en el sistema inicial, ambas soluciones son válidas


Figura 16.



12

Ejercicio 13.

esolver este sistema:

Solución:

Transformaremos la ecuación intentando que desaparezcan los logaritmos y las potencias.

:

yx

yxyx

242

5log)log()(log R

yxyxyxyxyx

yx

yx

yx32645555loglog

1ª ecuación

2ª ecuación: yxyxyx 222222 22

El sistema queda así: sustituimos la 2ª en la 1ª:

yx

yx

2

32 643)2(2 xyyy solución: 4,6 yx

Figura 17.


Figura 18.



E

13

2x

3x

jercicio 14.

Solución:

Las soluciones del sistema son las comunes a las dos inecuaciones:

042

093

x

x Resolver:

2

3

42

93

042

093

x

x

x

x

x

x

2x 3x

)3,2[32/23/ xxxyxx


Figura 19.

-


Ejercicio 15.

esolver las inecuaciones:

Solución:

a parábola corta al eje X en 1 y en 4.

alo toma valores negativos o nulos. Por tanto:

R

045) 2 xxa 045) 2 xxb 045) 2 xxc

045) xx 2 d

L 452 xxy En el interv 4,1

-2 30

y


Las soluciones de la inecuación a) son los puntos del intervalo

Las soluciones de b) son los puntos del intervalo

4,1 .

.4,1 Las soluciones de c) y d) son los valores de x para los cuales la parábola

está encima del eje X. Por tanto:

s con Wi

Figura 20.

Soluciones de c): ).,4[]1,(

Soluciones de d): ]1,( ).,4[ - Ahora lo resolveremo ris:

Figura 21.

14


E

15

nlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 16. Resolver las inecuaciones:

parábola queda toda ella por encima del eje X.

or tanto, la inecuación a) no tiene solución, y cualquier número real es solución de la inecuación b).

Figura 22.


Figura 23.

075) 2 xxa 075) 2 xxb

Solución: La P

-


16

Figura 24.


Ejercicio 17.

Resolver el sistema:

Solución:

Soluciones de la primera inecuación:

Soluciones de la segunda inecuación:

Soluciones comunes:

Figura 25.

093

0452

x

xx

4,1

3,

)3,1[ 0



4 2 1 3

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