Profesor.- Juan J. Sanmartín Rodríguez – Curso 2012/2013

Leyes de

Kepler

Tema 5

Cosmología

Introducción

Tycho Brahe (1546-1601)

Danés notable, perdió la vida en un

duelo El Rey Federico II le dio una isla

pequeña para que construyera el mejor

observatorio del mundo.

Diseñó, construyó y usó instrumentos muy precisos

para medir las posiciones del cielo. Mantuvo grandes

marcas por años. Ayudó a Kepler a tratar de entender

el movimiento de Marte. Construyó un modelo con el

Sol girando alrededor de la Tierra, pero los planetas

orbitando al Sol. Encontró que los cometas se mueven

entre las órbitas de los planetas (no Tolemaico). El

movimiento de Marte aún no se explica

completamente.

4

Galileo Galilei (1564-1642)

1609 Galileo Galilei (1564-1642) observa el cielo con el telescopio e inicia la etapa de la astronomía instrumental. En los años siguientes observó: montañas en la Luna, manchas en el Sol, fases en el planeta Venus. De manera similar detectó que la Vía Láctea estaba compuesta por numerosas estrellas.

Uno de los primeros en usar experimentos para deducir leyes físicas: leyes de movimiento, velocidad, aceleración, inercia, péndulo, cuerpos cayendo. • Usó telescopios para la astronomía. • Después de su excepticismo inicial, adoptó el modelo de Copérnico ya que las evidencias empíricas lo apoyaban.

Descubrimientos de Galileo

Los cuerpos celestes no son perfectos: montañas sobre la luna, manchas solares.

La Tierra no es solamente el centro de rotación (p.ej. Lunas de Jupiter).

Venus pasa por el frente y por detrás del Sol (no puede ocurrir si el sistema de Tolomeo es correcto).

Johannes Kepler 1571-1630

Nació enfermo y pobre.

1604: Reporta la presencia de una "estrella nueva" en

la constelación del Serpentario.

Johannes Kepler (1571-1630) publica su obra “El

misterio del Universo” obra de enfoque casi místico.

Escribe su frase célebre "entre Marte y Júpiter yo

coloco un planeta“.

1611: Publica “Dioptrik” el primer tratado sobre las bases numéricas de la óptica.

1609: Publica las dos primeras leyes sobre el movimiento de los planetas en el Sistema Solar en el libro "Astronomia nova".

1619 Johannes Kepler (1571-1630) publica la tercera ley del movimiento planetario en su libro "Harmonices mundi".

Johannes Kepler 1571-1630 1621 Willebrod Snell (1591-1626) descubre la refracción de la luz.

1619 Johannes Kepler (1571-1630) postula la existencia de un viento solar en su explicación de la dirección de la cola de los cometas.

1627 Johannes Kepler (1571-1630) publica sus Tabulae Rudolphinae (Tablas Rodolfinas), que constituyeron la base para el cálculo de los movimientos planetarios. Estas tablas obtienen su nombre del Emperador Rodolfo II de Alemania, al cual fueron dedicadas. En ellas se predice por primera vez el tránsito de Venus y Mercurio por el disco del Sol para 1631.

Leyes de Kepler

Elipses Una elipse es un ejemplo de una “sección

cónica”. Los círculos y las hipérbolas

pertenecen a otra familia. Todas son formas

posibles de órbitas.

Una elipse se puede hacer con dos

cuerdas un lápiz. Las cuerdas están en el

foco y si se alejan uno del otro, la elipse

es mas excéntrica (una sola cuerda hace

un circulo.

Leyes de Kepler – Primera Ley

Los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el Sol en uno de los focos.

Nota: no hay nada en el otro foco o en el centro

Leyes de Kepler – Segunda Ley

El radiovector (línea imaginaria que uniría el sol con cada planeta) barre áreas

iguales en tiempos iguales

Segunda Ley quiere decir que los planetas

giran alrededor del Sol mas rápido cuando

están mas cerca de él. Estas leyes valen para

cualquier cosa que esté orbitando alrededor

de cualquier cosa debido a la gravedad.

De esto tenemos que deducir que si el

Sol está en uno de los focos de la elipse

(Primera Ley), habrá un momento en

que el planeta esté más cerca del Sol y

por lo tanto tendrá que ir más rápido en

su órbita para barrer un área igual

Segunda Ley de Kepler Animada

Leyes de Kepler – Tercera Ley Que los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas dividido

entre el cubo de sus radiovectores permanece constante.

La forma mas general de esta ley es:

...3

2

3

2

3

2

Jupiter

Jupiter

Marte

Marte

Tierra

Tierra

R

T

R

T

R

T

Según esto podemos expresar:

Sabemos que la distancia de la Tierra al Sol son aprox. 150.000.000 Km y

su periodo es de 1 año = 365,25 dias

T.- periodo del planeta, tiempo que tarda en dar una

vuelta a su órbita.

R.- radiovector, linea que une el Sol con cada planeta. .

3

2

CteR

T

planeta

planeta

Problema: El planeta Saturno, es el Sr. de los anillos del Sistema solar y el

sexto en su posición con respecto al sol. Dados los siguientes datos calcula el

periodo de Saturno. Consideramos el periodo de la Tierra como 365 días

DSATURNO-SOL=1.429.400.000 km.

DTIERRA-SOL= 149.000.000 km.

m.101,490km149.000.00R

m.101,43000km1.429.400.R

11SolTierra

12SolSaturno

¡¡Cuidado con los datos!!. Tienen que estar en el S.I.

3

2

3

2

Saturno

Saturno

Tierra

Tierra

R

T

R

T

Entonces: (Aplicando la Tercera Ley de Kepler)

s10852,2dia101,49

101,43365T

311

3122

saturno

312

2

311

2

1043,11049,1

365

SaturnoT

Problema: Supongamos ahora un planeta que tarda 200 días en dar una vuelta

al Sol, Calcula a que distancia se encuentra de este.

DTIERRA-SOL= 149.000.000 km.

Consideramos el periodo de la Tierra como 365 dias

m.101,490km149.000.00R 11SolTierra

¡¡Cuidado con los datos!!. Tienen que estar en el S.I.

3

2

3

2

planeta

planeta

Tierra

Tierra

R

T

R

T

Entonces: (Aplicando la Tercera Ley de Kepler)

.1097,9365

2001049,1 103

2

2311

mRplaneta

3

2

311

2200

1049,1

365

planetaR

Leyes de Kepler – Ampliación La forma mas general de esta ley (esencial para determinar todas las

masas en astronomía) es:

centralM

aT

32

Para los planetas del sistema solar (con el Sol como la masa central), si las

unidades del semieje mayor (a) están dadas en UA y el periodo (P) en

años, la constante de proporcionalidad es 1.

Por ejemplo, si Jupiter está a 5 UA, ¿cuál es su periodo orbital?

2.11125;125532 TT

Kepler no entendió las bases físicas de estas leyes (el sospechaba que

surgían debido a que el Sol atraía a los planetas posiblemente a través de

un magnetismo.

Leyes de Kepler

Profesor.- Juan J. Sanmartín Rodríguez – Curso 2012/2013

Gravitación

Universal

Tema 5

Cosmología

Ley de la Gravitación Universal

La gravedad es una fuerza atractiva, y de acuerdo con la Tercera Ley de

Newton, las dos masas (cuerpos) sienten fuerzas iguales y opuestas.

La gravedad es relativamente débil debido al valor tan pequeño de la

constante de la gravitación G, en unidades métricas,

Por lo tanto, se requieren masas grandes para poder sentir una fuerza

apreciable, p.ej. La masa de la Tierra es 5,98x1024 kg.

2

21

d

mmGF iagravitator

Kg

mNG

211107,6

A pesar de la masa grande de la Tierra, la fuerza gravitacional que sientes en la

superficie de la Tierra, tú peso, es solamente unos cuentos cientos de Newtons.

Para el calculo de la fuerza gravitatoria de un objeto o persona sobre la

superficie de un planeta, la distancia d entre ambos cuerpos es el radio del

planeta.

2

/

2

21

planeta

personaobjetoplaneta

iagravitatorR

mMG

d

mmGF

En el caso de un satélite girando alrededor del planeta, al radio del planeta

tenemos que sumarle la altura, es decir, d=Rplaneta+h.

22

21

)( hR

mMG

d

mmGF

planeta

satéliteplaneta

iagravitator

Y para el caso de dos cuerpos celestes.

2

21

2

21

separa

cuerpocuerpo

iagravitatord

MMG

d

mmGF

Problema: Calcula la fuerza gravitatoria con la que la tierra atrae a una persona

de 70 kg. de masa.

Datos necesarios: MTIERRA= 5,98x1024 Kg ; RTIERRA=6400 Km.

¡¡Cuidado con los datos!!. Tienen que estar en el S.I.

N7,681

104,6

701098,51067,6

26

2411

Muy parecido a si calculamos el peso por la fórmula de los temas anteriores.

686,7N9,8170gmPeso

Es por lo que definimos…

2Tierra

personaTierra

iagravitatorR

mMGF

Intensidad de campo gravitatorio

Si igualamos las dos formas de calcular la atracción de un cuerpo por un

planeta.

Entonces se deduce que:

Definimos entonces g como intensidad de campo, que en la superficie

terrestre será…

Pesogmd

mMGF persona

planeta

personaplaneta

iagravitator

2

2

planeta

planeta

d

MGg

smgterrestre 81,974,9

104,6

1098,51067,6

26

2411

La diferencia está en la aproximación de las cantidades.

Problema: El planeta MERCURIO, es el planeta más próximo al sol y el más pequeño.

Dados los siguientes datos: MMERCURIO=3,3 1023 Kg.; DMERCURIO=4.879,4 km. Calcula:

a. El peso de una persona de 87 kg. en la superficie de Mercurio.

b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en la superficie de Mercurio.

c. ¿Con que fuerza atraerá Mercurio a un satélite de 400 kg. situado a 400 km. de

altura.?

d. Calcula la intensidad de campo gravitatorio a la altura del satélite.

Apartado a).-

2mercurio

personamercurio

iagravitatorR

mMGF

Apartado b).- Para el cálculo de la intensidad de campo, es decir, para la g en

Mercurio…

sm7,3

1044,2

103,31067,6

26

2311

N6,321

1044,2

87103,31067,6

26

2311

2mercurio

mercurio

R

MGg

mkmrkm MERCURIOMERCURIOMERCURIO

61044,27,24392

.4,4879

Apartado c).- Ahora vamos a calcular la fuerza con que Mercurio atrae al satélite, al ser

la altura a la que orbita considerable frente al radio de Mercurio tenemos que

considerarla…

2)( satélitemercurio

satélitemercurioiagravitator

hR

mMGF

Apartado d).- Y para finalizar calculamos la intensidad de campo a esa altura…

sm73,2

1041044,2

103,31067,6

256

2311

1091,6N

104102,44

400103,3106,67

256

2311

2)( satélitemercurio

mercurio

hR

MGg

¿Porqué no se caen los Satélites?

Hasta ahora vimos la fuerza con la que atrae un planeta a los cuerpos, en el

caso de un satélite

Tiene que haber una fuerza igual a esta que evite que el satélite caiga.

22

21

)( hR

mMG

d

mmGF

planeta

satéliteplaneta

iagravitator

¿Cuál es esta Fuerza?

Para explicarlo nos tenemos que ir al Tema I - Cinemática

ACELERACIÓN CENTRÍPETA

En el M.C.U. la velocidad cambia de dirección en cada instante, luego existe

aceleración, la aceleración centrípeta.

Cuando viajamos en un vehículo y toma una

curva, la tendencia es a salirnos de la curva. La

aceleración centrípeta lo impide al tirar de

nosotros hacia dentro de la curva.

R

va

2

c

Para una misma velocidad, cuanto mayor sea el radio de la curva, menor será la

aceleración centrípeta.

¿Os acordáis?

Tenemos una Fuerza centrípeta que evita

que nos salgamos de la curva en

contraposición con una Fuerza Centrífuga.

La fuerza centrífuga (F) no es una fuerza propiamente tal, sino que es

producida por la inercia de los cuerpos al moverse en torno a un eje, pues estos

tienden a seguir una trayectoria tangencial a la curva que describen. La fuerza

centrífuga aumenta con el radio del giro (r) y con la masa (m) del cuerpo.

Fuerza Centrífuga

giro

giro

cuerpocentrífugacuerpocentrífugaR

vmamF

2

Y por lo tanto, la Fuerza Gravitatoria es contrarrestada por esta Fuerza

Centrífuga, de modo que al igualar ambas fuerzas.

iagravitatorcentrífuga FF

Obtenemos lo siguiente…

iagravitator

cuerpoplaneta

giro

giro

cuerpocentrífuga Fd

mMG

R

vmF

2

2

Como el Radio de Giro y la Distancia son iguales, obtenemos…

2

2

d

mMG

d

vm

cuerpoplanetagiro

cuerpo

Y deducimos

d

MGv

planeta

giro

Velocidad Orbital

Problema anterior: El planeta MERCURIO, es el planeta más próximo al sol y el más

pequeño. Dados los siguientes datos: MMERCURIO=3,3 1023 Kg.; DMERCURIO=4.879,4 km.

Calcula:

a. El peso de una persona de 87 kg. en la superficie de Mercurio. anterior

b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en la superficie de Mercurio. anterior

c. ¿Con que fuerza atraerá Mercurio a un satélite de 400 kg. situado a 400 km. de

altura?. anterior

d. Calcula la intensidad de campo gravitatorio a la altura del satélite. anterior

e. Velocidad de giro del satélite.

centrífuga

satélitemercurio

giro

satélite

satélitemercurio

satélitemercurioiagravitator F

hR

vm

hR

mMGF

)()(

2

2

Entonces…

hR

MGv

mercurio

mercuriogiro

hKm

smvgiro 100222784

1041044,2

103,31067,6

56

2311

Problema: La Luna es el satélite natural de la Tierra. Conociendo los siguiente datos:

MLUNA=7,2x1022 Kg.; RLUNA= 1740 km. ; MTIERRA=5,98x1024 Kg.; DTIERRA-LUNA= 384000 km.

Calcula:

a. El peso de una persona de masa 80 Kg. en la superficie lunar.

b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en la superficie lunar.

c. ¿Con que fuerza atraerá la Tierra a la Luna y viceversa?.

d. Velocidad de giro lunar.

e. Tiempo que tarda la Luna en dar una vuelta alrededor de la Tierra.

Apartado a).-

2luna

personaluna

iagravitatorR

mMGF

Apartado b).-

sm

R

MGg

luna

luna 59,11074,1

102,71067,6

26

2211

2

N9,126

1074,1

80102,71067,6

26

2211

Apartado c).- 2

LunaTierra

LunaTierraiagravitator

d

MMGF

.109,1

1084,3

102,71098,51067,6 20

28

222411 NF iagravitator

Apartado d).-

sm

d

MGv

LunaTierra

Tierragiro 2,1019

1084,3

1098,51067,6

8

2411

Apartado e).- Calculamos la longitud de la órbita de la luna…

mrL lunaorbita98

_ 104,21084,322

d

dh

hs

ss

v

Lt

giro

orbitaperiodo 4,27

243600

.1035,2.1035,2

2,1019

104,2 66

9

32

Velocidad de Escape

La velocidad de escape

depende de la masa y del

tamaño del cuerpo. Para

la Tierra es cerca de 11

km/s. Cuando la velocidad

de escape es la velocidad

de la luz, el cuerpo central

será un agujero negro.

Es importante notar que

ninguna de estas

velocidades depende de

la masa del cuerpo que

está orbitando o

escapando.

Ampliación - Movimiento Orbital

La fuerza de gravedad siempre

hace que las cosas caigan. La

pregunta es si la trayectoria de

la caída coincide con cualquier

superficie. La forma de la órbita

depende de la velocidad que el

cuerpo tenga en un punto dado.

Velocidades bajas recorrerán distancias

menores, mientras que velocidades grandes

recorrerán distancias mayores. En estos

casos se puede decir que las trayectorias son

cerradas. Sí la velocidad es bastante grande

(mayor o igual a la velocidad de escape), la

orbita será una hipérbola en lugar de una

elipse y el cuerpo no regresará.

Leyes de Kepler

35

Gravitación

Explicación de las Leyes de Kepler

Newton pudo explicar matemáticamente (usando su calculo) que las órbitas

de los planetas son elipses y obedecen las leyes de Kepler. El afirmo que

estos mismo aplica a todos los cuerpos celestes. En particular, pudo mostrar

que el periodo y tamaño de una orbita están dados por:

32

2

)(

4a

MMGP

PlanetaSol

Donde P es el periodo, a es el semieje mayor y G es la constante

gravitacional.

Esta ley, la Tercera Ley de Kepler, se puede usar para encontrar la masa de

cualquier cuerpo en el cual se pueda medir la distancia y el periodo del

cuerpo orbitando (iniciando con el sistema Tierra-Luna).

Cálculo de la Masa de la Tierra

Sabemos que el Sol está cerca de 400 veces mas lejos que la luna, y a la

luna le toma un mes orbitar la Tierra. Entonces, su semieje mayor es cerca

de 1/400 UA y su periodo es cerca de 1/12 años.

6

62

3

2

3

1025.21064

144

121

4001

xxP

aM

Ya que hemos usado UA y años, la masa está dada en masas solares. Así

que la Tierra es cerca de un millón de veces menos masiva que el Sol. Para

poder saber cuantos kilogramos tiene, debemos usar la forma de la Ley de

Kepler dada por Newton y poniendo todas unidades físicas [como P(sec), a

(metros), G (unidades mks).

Ejercicios - Ampliación

¿Cuál sería el periodo orbital de la Tierra si la masa del Sol fuera 9 veces

mayor? Discuta las implicaciones si esto fuera cierto

Suponga que se descubrió un nuevo cometa y que las observaciones

indican que su periodo es de 1000 años, ¿A qué distancia (promedio) se

encuentra del Sol?

Fin

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