tema 2 - semiconductores en equilibrio

8/18/2019 Tema 2 - Semiconductores en Equilibrio

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TEMA 2: SEMICONDUCTORES ENEQUILIBRIO

Una vistaprevia.

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO CURSO 2!"#


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2

A La Nat$ra%e&a 'e% esta'( s)%i'(. B Q$* es $n se+i,(n'$,t(r-.

Revisión histórica.Niveles de energía en átomos.Niveles de energía en sólidos.Enlaces atómicos y bandas de energía.

C E%e,tr(nes /$e,(s en se+i,(n'$,t(res.

El semiconductor intrínseco.Donadores y aceptores.Estadística de portadoresos e!perimentos de la "#unta caliente$y "E%ecto &all$.

D C(n'$,tivi'a' e%*,tri,a en +eta%es

se+i,(n'$,t(res.'omentarios generales del comportamiento de la

movilidad de los portadores de cargas.'onductividad en metales.'onductividad en semiconductores e!trínsecos.'onductividad en semiconductores intrínsecos.

E A0s(r,i)n )pti,a.


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La naturaleza del estado sólido

•

a de(nición de sólido)

*

Dado +ue la asignatura se en%oca al estudio de los dispositivos semiconductores, deestado sólido, podemos comen-ar de(niendo este trmino.'iertamente +ue todos conocemos, al menos, alguna de las propiedades de losmateriales sólidos pero, /es tal conocimiento com0n su(ciente para permitirnos%ormular una de(nición precisa de la palabra "ólido$.

3uchas personas, cuando se les pide +ue de(nan al sólido, comien-an mencionando su"densidad$, tambin se dan vagas ideas de "dure-a$, "peso$ y "masa$, las +ue sonasociadas al trmino "ólido$.


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¿ Qué es un semiconductor?

4abla 1'omparación de comportamientos e!perimentalmente observados de la

resistividad elctrica de metales y semiconductores.3E45E E36'7ND8'47RE19 a resistividad a temperaturaambiente está en el rango de 1: ;cm.

19 a resistividad a temperaturaambiente está en el rango de 1: ;* a 1: ? >cm.

29 a resistividad se incrementa casilinealmente con el aumento detemperatura.

29 a resistividad en un semiconductor sedecre9menta en %orma prácticamentee!ponencial con el aumento de latemperatura.

*9 a resistividad es insensible a la lu-. *9 a resistividad decrece con la

e!posición a la lu-.=9 a resistividad es levemente sensibleal contenido de impure-as.

=9 a resistividad es e!tremadamentesensible a la presencia de ciertasimpure-as.

=

• &istoria

as primeras observaciones registradas de semiconductividad %ueron reali-adas porMi,/ae% Fara'a en 1?*=.o +ue @araday y otros e!perimentadores posteriores vieron %ue +ue ciertos sólidose!hibían resistividades elctricas muy di%erentes de la de los metales. as di%erenciasse pueden resumir en la siguiente 4ablaA

#or compa

ración de los datos de la 4abla 1 la resistividad de buenos aisladores está enel orden de los "!"1 a "!22 Ω*cm. Entonces si nos basamos en las resistividades de lossólidos, los semiconductores aparecen como algo intermedio entre los metales yaisladores teniendo una relación más cercana con los metales +ue con los aisladores.Beremos más adelante +ue estas observaciones cuantitativas son erróneas y, dehecho, totalmente e+uivocadas. #odemos buscar una distinción cualitativa basada en

la estructura atómica de la materia. A. . 3i%s(n en 1C* propuso esta distinción Fdado +ue el argumento de Gilson se basa en la naturale-a de los niveles de energía


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Niveles de energía en átomos:

• El átomo de Hohr

Hohr postula la e!istencia de órbitasestables en las cuales el electrón noirradia con n entero y positivoA

a %uer-a centrí%uga mev2Ir debe estar balanceada

por una %uer-a centrípeta provista por la atracciónelectrostática entre el electrón y el n0cleoA


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Electrón en la órbita

• a energía total es la suma de la energía cintica y potencial

as ecuaciones anteriores pueden ser resueltas para rn y En separadamente

el signi(cado del signo negativo es simplemente +ue la energíapotencial negativa JatractivaK es mayor +ue la energía cintica positivay el electrón en consecuencia está ligado al átomo.

<

2

2

0

1 ** *

2 4 * * *

n e

n

Z q

E m v r π ε = −

2 4

2 2

0

1 * **

32 * * *

e

n

Z q m E

n π ε = −

h

2 2

0

2

* 4 * * *

* *n

e

nr

Z q m

π ε =

h


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Orbitas:

• 7rbitas permitidas

L


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Caas! subcaas " orbitales

• La estructura de subcapas y orbitales para las capas n = 1, 2y 3:

?


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#isosición de electrones en el $i

•

#rincipio de e!clusión de #auli

El ilicio posee un n0cleo de carga 4"#5 al +ue lo rodean dos capas electrónicascompletamente llenas +ue contienen un

total de 1: electrones con%ormando unacarga de 6"!5.os 0ltimos = electrones están en órbitasde mucho mayor diámetro en lassubcapas A y B7 es de notar tambin+ue, de acuerdo con las ecuacionesvistas, para n creciendo los radioscrecen y las energías decrecen como n2.

C


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Niveles de energía en sólidos

•

C(nsi'ere+(s $n +('e%( e%*,tri,( an8%(9(

Diagrama de %recuencias resonantes para N circuitosacoplados

N ,ir,$it(sin'epen'ientes N

;re,$en,ias 'e

res(nan,ia i9$a%es

N ,ir,$it(sa,(p%a'(s

N;re,$en,ias'eres(nan,ia'i;erentes.

1:


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La %eoría de &andas

•

a %ormación de Handas de energía en sólidos a partir deniveles de energía en átomos aislados

4res posibles diagramas de bandas de energía para

sólidos.

11


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Enlaces atómicos " bandas de energía'

• La formación de enlaces covalentes en el

Silicio sólido.

En%a,es at)+i,(s 0an'as'e ener9


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Electrones " (uecos en semiconductores

• l semiconductor intr!nseco.

?r(,es( 'e 9enera,i)n re,(+0ina,i)n 'e pares 'e

e%e,tr(nes/$e,(s en $nse+i,(n'$,t(r p$r(

=intr.

1*

'onsideremos primero el caso

ideal de un semiconductor puroJo intrínsecoK y veamos luegolos e%ectos de agregar átomosde impure-as.5un+ue los átomos en un sólidoestán ubicados en posiciones(Mas dentro de la red cristalina,ellos no están per%ectamenteestacionarios.5 cual+uier temperatura porencima del cero absoluto hayuna cierta energía trmicaJ'alorK disponible +ue causa

+ue los átomos vibren.

i nosotros pensamos +ue los enlaces interatómicos son como resortes +ue

mantienen a los átomos Muntos, entonces, las vibraciones atómicas estiran ycomprimen alternadamente estos resortes. i la temperatura aumenta,tambin lo hacen la amplitud de estas vibraciones y ocasionalmente losenlaces se rompen liberando electrones +ue pueden moverse libremente enel cristal hasta +ue son recapturados en otros enlaces rotos.'uando un enlace se rompe, decimos +ue se ha generado un par e%e,tr)n

/$e,( y cuando un electrón es recapturado para completar un enlace roto

decimos +ue un electrón y un hueco se han re,(+0ina'( o +ue se produMo


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l semiconductor intr!nseco.• M(vi+ient( 'e $n e%e,tr)n per'i'( /a,ia e%

ter+ina% ne9ativ(

Entonces, tenemos dos tipos de portadoresde cargas cuando un par electrón9hueco es

generadoA electrones negativamentecargados en la banda de conducción y

huecos positivamente cargados en la banda

de valencia.

1=

i volvemos a lo e!puesto respecto de lainmovilidad de los electrones de la bandade valencia, podemos decir +ue si seproduce una vacante en un enlace, losniveles de energía disponibles Jentrminos del diagrama de bandasK olugares disponibles Jen trminos deldiagrama de enlacesK proveen estados atravs de los cuales los electrones de labanda de valencia pueden moverse en

respuesta a un campo elctrico. En la(gura 1= vemos cómo la presencia de unavacante pone en movimiento al resto delos electrones en un cristal de i. 'uandose aplica un campo elctrico y loselectrones de enlaces adyacentes pasan aocupar los enlaces rotos ad+uiriendo unmovimiento neto hacia el terminal positivo.

4ambin podemos describir este proceso diciendo +ue la vacante se despla-a hacia elterminal negativo, y esto nos da un conveniente punto de vista por+ue cuando seproduce un estado vacante en la banda de valencia nosotros podemos tratar a loselectrones +ue +uedan como si %uesen colectivamente e+uivalentes a un portador decarga real 4"5 al +ue llamamos "/$e,($. a Musti(cación matemática para estaapro!imación re+uiere de cierto cálculo de mecánica cuántica +ue %ue reali-ado por

hocley +uien mostró +ue está totalmente Musti(cado el hecho de ignorar el procesocomplicado de reOuMo de electrones a travs de la banda de valencia y concentrarnostotalmente en el movimiento de los huecos.


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'oncentración de portadores intrínsecos

lamemos n a la concentración de electrones y p a la de huecos enPIcm* entonces en un semiconductor intrínseco tendremosA

n @ p @ nidonde ni es llamado ,(n,entra,i)n 'e p(rta'(res intr


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E)ectos de Eg " ni como una )unción de los

arámetros más relevantes'

1<


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#onadores " acetores

• ?(r,i)n 'e %a ta0%a peri)'i,a en %a 5$e se (0serva %(s e%e+ent(s$0i,a'(s 'e a,$er'( a s$ n+er( at)+i,( va%en,ia.

a valencia de un átomo es igual a la cantidad de electronese!ternos de órbitas incompletas y la tabla periódica losencolumna de esta manera indicando esta con n0meros

romanos. 1L


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%abla eriódica

1?


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• D(na'(res A,ept(res es5$e+ati&a'(sen %(s 'ia9ra+as 'e en%a,es 'e 0an'as.

1C


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En la tabla 66 se observa +ue la concentración de portadoresintrínsecos en i a *::Q es de 1:1: cm9*.a concentración de átomos de i es de S 1:22 cm9* entonces el iintrínseco tiene cerca de un electrón o hueco por cada S 1: 12 átomos.

i la concentración de Donadores o aceptores es solamente una partepor mil millones, tendríamos ND o N5 de alrededor de S 1:

1* átomos.

o +ue es ::: veces más grande +ue n i, entonces muy pe+ueTas

concentraciones de impure-as son necesarias para +ue el mecanismode ruptura de enlaces provea grandes cantidades de electrones ohuecos.

2:


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Estadística de los ortadores carga'

5ntes de iniciar este estudio haremos una pe+ueTa re%erencia a lapalabra e+uilibrio.i un sistema es aislado en el sentido de +ue no puede actuar sobre lninguna inOuencia e!terna Jcampos elctricos, %uer-as mecánicas, etc.Ky si la temperatura es constante en todo el sistema, entonces se llegaeventualmente a un tipo especial de estado estacionario conocidocomo "E5$i%i0ri( Ter+('in8+i,($ Jo simplemente e+uilibrioK.

En el estado de e+uilibrio, cada proceso +ue ocurre dentro del sistemaes balanceado por un proceso inverso por eMemploA en un contenedorcon gas en e+uilibrio no e!iste un OuMo neto de molculas en algunadirección y, en el promedio cuando algunas molculas se mueven haciala derecha otras lo hacen hacia la i-+uierda. En un semiconductor en

e+uilibrio el proceso de generación está e!actamente balanceado porel de recombinación y la concentración de huecos y electronespermanece constante.

En un semiconductor tenemos cuatro tipos de especies cargadasA E%e,tr(nes.

$e,(s. D(na'(res i(ni&a'(s

21


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'laramente no e!iste una carga neta y podemos mostrar +ue laneutralidad de las cargas prevalece en cual+uier punto JmacroscópicoKdentro del material Jobservemos +ue la palabra "punto$ se utili-a paradenotar una muy pe+ueTa y locali-ada región la +ue es a0n grandecomparada con las dimensiones atómicas. Dado +ue los sólidos están

compuestos por átomos y los átomos contienen distribuciones nohomogneas de cargas, la neutralidad de cargas no se aplica,obviamente en la escala microscópica.'onsideremos un medio de conductividad U y constante dielctrica V, ysupongamos +ue una desviación locali-ada de la neutralidad de cargasocurre en alg0n lugar del medio. &agamos +ue la densidad de cargainicial sea W o y la densidad de carga para un tiempo posterior sea WJtK.

Esta densidad de carga producirá un campo elctrico dado por la ey deXaussA

J?K JCK J1:K

reducimos estas ecuaciones al problema unidimensional y resolvemos

para WJtK, el resultado es de la %ormaA

J11K donde J12K

El tiempo característico, Y, es llamado Tie+p( 'e re%aa,i)n'ie%*,tri,a y, para los semiconductores es del orden de 1:912 a 1:9


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Ecuación de neutralidad de cargas " Le" de acción de masas

• En e+uilibrio, la concentración total de cargas negativas es igual a la concentración

total de cargas positivas oA

J1*K

• Esta ecuación es llamada "E,$a,i)n 'e ne$tra%i'a' 'e ,ar9as$ y es una de las dosecuaciones importantes +ue se utili-an para resolver los problemas estadísticos desemiconductores.

• a segunda ecuación viene dada porA

J1=K

• Esta ecuación es conocida como "Le 'e a,,i)n 'e +asas$ y la introducimossimplemente como un postulado.

• o +ue nos dice la ley de acción de masas es +ue el producto de las concentracionesde electrones y huecos es una constante +ue depende solamente de la temperatura y

la constante de proporcionalidad es Mustamente ni 2

.• Esta ecuación es válida para semiconductores intrínsecos dado +ue baMo las

condiciones intrínsecas n = p = ni de modo +ue, trivialmente np @ ni2. El hechodestacable es +ue se aplica tambin a los semiconductores e!trínsecos.

• Dado +ue el producto np es una constante, si nosotros incrementamos laconcentración de donadores, la concentración de huecos se reducirá automáticamentepara mantener np constante. imilarmente al incrementa p, se decrementará n. En elpró!imo tema se dará una e!plicación más detallada al respecto.

2*


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2=

#ebemos notar *ue si usamos la ecuación +, ara calcular el tiemo de rela-ación dieléctrica en losmetales! las mu" altas conductividades nos dan tiemos irrealmente cortos del orden de +. /+0 o +./+1' %ales resultados son no/)ísicos! dado *ue son órdenes de magnitud más e*ue2as *ue lostiemos de colisión en los metales " son éstas colisiones las *ue determinan la conductividad'Esto es una re3e4ión del (ec(o *ue nuestra derivación es inválida ara los metales " debemosrazonar en )orma mu" cuidadosa en cuanto a lo *ue entendemos or 5conductividad6 " constantedieléctrica6 en la escala de tiemos mu" e*ue2os'

Los tiemos de rela-ación dieléctrica en metales son mu" e*ue2os ero nunca menores a lostiemos de colisión tíicos 7unos +./+8 segundos9'

8n eMemplo numrico puede ser de ayuda para en%ati-ar las consecuencias de laEc. 1=A

'onsideremos una muestra de i dopado con ND Z 1:1


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2

i ND NA entonces n p y esto es conveniente para resolver las J1*K yJ1=K para n primero. JBer el problema ?K. 8sando la Ec. 1= para eliminar p dela Ec. 1*, nos +ueda una ecuación cuadrática para n y la solución seráA

8na ve- +ue n %ue determinado, podemos utili-arlo para calcular p de laecuación J1=K y seráA

i NA es mayor +ue ND es posible resolver primero para p, el procedimientoes el mismo y resultaráA

J1K

J1


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De todos modos, es %recuente el caso en +ueA

2<

Tip( p Tip( nTip( p Tip( n

y, baMo estas circunstancias uno de los dos casos simples se presentanA

Estas apro!imaciones nos dan un error de cerca del 1 \ si es +ueA

i l l ió d d lib


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2L

Es conveniente aclarar +ue la concentración de portadores libres en unsemiconductor depende de dos %actoresA E% ,(nteni'( 'e i+p$re&as. La ,(n,entra,i)n 'e p(rta'(res intr


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# La pr$e0a 'e %a p$nta ,a%iente e% eGperi+ent( 'e E;e,t( a%%:

2?

#or la medición de la conductividad de un semiconductor, es posible determinar +u tipode portadores móviles de cargas están presentes pero ello no nos permite obtener ni su

signo ni la concentración de ellos.a determinación del tipo de conductividad Jsigno de los portadores mayoritariosK esposible de reali-ar mediante la prueba de la #unta 'aliente. a e!periencia se e%ect0a asíA

Dos puntas de prueba sonconectadas a un voltímetro yutili-adas para tocar una muestra

de conductividad desconocida. 8nade las puntas es calentada Jsepuede usar un soldador com0ncomo punta calienteK mientras +uela otra se mantiene %ría o atemperatura ambiente.

En el e+uilibrio trmico, la distribución de velocidades de los portadores es la misma encual+uier punto del cristal Jes decirA los portadores se están moviendo aleatoriamente en

todas las direcciones sin +ue haya un OuMo netoK.'uando calentamos la región de una de las puntas, logramos +ue haya un gradientetrmico allí, lo +ue aumenta la movilidad de los portadores al ad+uirir energía trmica.6nicialmente esto produce un OuMo neto de portadores %uera de la región caliente.i el semiconductor es de tipo N, los portadores mayoritarios serán electrones y la punta%ría será más negativa +ue la caliente en un semiconductor tipo # será al revs y lapunta %ría será más positiva ya +ue los portadores mayoritarios son los huecos.Esta e!periencia nos da una idea de +u tipo de portadores mayoritarios se encuentranpresentes en la muestra anali-ando la polaridad de la punta %ría.


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El E%ecto &all

2C

4omamos una barra

semiconductora de dimensiones L,", t y la colocamos en un campomagntico uni%orme de manera+ue los lados mayores +uedenperpendiculares a la orientacióndel campo.i hacemos circular por ella unacorriente en la dirección !, el

campo H causará una deOe!ión delos portadores de carga y la %uer-a+ue causa tal deOe!ión vendrádada porA

J1CKdonde ]+ representa a los huecos presentes y ;+ son los electrones.

'uando los portadores se hayan desviado, no podrán trasladarse ya +ue no hay caminoe!terno y entonces las caras en H estarán cargadas dando lugar a un campo elctrico

interno.

Este campo elctrico eMerce una %uer-a sobre los portadores y entonces, en el estadoestacionario, +uedando así balanceadas las %uer-as de orent-.

8na ve- obtenido el estado estacionario, los portadores pasarán a travs de la muestrasin su%rir desviación y una tensión contínua aparecerá sobre las caras F +ue puede sermedida.Beamos, ahora, el signo de esta tensiónA


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*:

En la (gura 2: vemos dos muestras, en ambos casos está en el sentido del eMe G yen el sentido de las .

En el caso de la muestra tipo # los portadores son huecos movindose en la misma

dirección de .

En el caso de muestras tipo N los portadores son electrones movindose en direcciónopuesta a .

&agamos +ue n sea la concentración de electrones en la muestra N y p laconcentración de huecos en la muestra ?.Tip( N Tip( ?Tip( N Tip( ?

Notemos +ue , y son obtenidos e!perimentalmente y en consecuencia calculamos n op.

De(nimos la 'onstante de &all comoA

J21K


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*1

y, en trminos de las cantidades medidas e!perimentalmente tenemosA

J22Kando R en las ecuaciones J2:K nos +uedaráA

Tip( N Tip( ?Tip( N Tip( ?

Notemos +ue el signo de ha sido elegido para hacer +ue R sea negativa para

materiales tipo N y positiva para materiales tipo # entonces n y p son siempre positivos. i el e!perimento de e%ecto &all es complementado con una medición de conductividades posible deducir la movilidad de portadores de acuerdo conA

Tip( N Tip( ?Tip( N Tip( ?

a medición de &all puede ser e%ectuada en muestras intrínsecas pero es máscomplicado ya +ue los electrones y huecos contribuyen a B& simultáneamente. i n Z p y

si los electrones y huecos hacen la misma contribución a ^! Jes decir si tienen igual

movilidadK entonces B& Z :. Normalmente los electrones y huecos no tienen la mismamovilidad entonces B es distinto de : uede ser usado ara deducir la relación de


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D C(n'$,tivi'a' e%*,tri,a ense+i,(n'$,t(res +eta%es.

*2

En el tema anterior vimos +ue la conductividad elctrica de un sólido depende dedos importantes parámetrosA la concentración de portadores de carga y lamovilidad de los portadores estamos en condiciones ahora de hacer alg0ncomentario especí(co respecto de la conductividad de los semiconductores ycomparar y contrastar con la de los metales.

" C(+entari( a,er,a 'e% ,(+p(rta+ient( 'e %a %%a+a'a +(vi%i'a' 'ep(rta'(res 'e ,ar9a.

Fa conocemos el concepto de movilidad de portadores de carga y cómo se

relaciona con su dispersión seg0nA

donde m es la masa e%ectiva del portador dispersado, τes el tiempo medio entredispersiones y cuando este tiempo es pe+ueTo, es pe+ueTo y podemos decir+ue hay poca movilidad en cambio si τ es grande, los %enómenos de dispersiónson pobres y es elevado.

•

J2K


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**

En un metal puro o en un semiconductor intrínseco los portadores de carga sondispersados principalmente por las vibraciones del cristal. Dado +ue lasvibraciones están presentes ya sea +ue el material es puro o no, la adición deimpure-as o de%ectos en la malla cristalina puede causar una mayor dispersión ymás baMa movilidad. De todos modos, la movilidad de portadores sigue siendoelevada en los materiales puros y es llamada movilidad limitada de la mallacristalina .

Dado +ue las vibraciones en el cristal aumentan con la temperatura aumentaránlas dispersiones tambin y por ende, se reducirá el valor de .

a dependencia e!acta es di%erente para metales y semiconductores y viene dadaapro!imadamente porA

'uando las impure-as están presentes, causan una dispersión adicional. i lamalla cristalina no está vibrando, la vibración de las impure-as producirá unamovilidad adicional dada porA

donde Ni es la concentración de impure-as. Es de notar +ue al aumentare la

concentración, decrece la movilidad y en los metales la dispersión de lasimpure-as es independiente de la temperatura.a dispersión de impure-as en semiconductores se hace menos e%ectiva con latemperatura y entonces se incrementa.

J2


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*=

'uando ambos tipos de movilidades act0an en una red cristalina la movilidad total vienedada porA

De manera +ue la movilidad se combina de la misma manera +ue las resistencias enparalelo y la movilidad total está determinada por la más pe+ueTa de las movilidades

parciales. a (gura 21 nos muestra un comportamiento de los tres valores parasemiconductores y metales como %unción de la temperatura.

J2?K


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2 C(n'$,tivi'a' en +eta%es

*

&emos visto +ue los metales tienen una concentración de electrones libres delorden de 1:22 cm9*, esto corresponde a un electrón por átomo y, para nuestrainmediata discusión deMaremos establecido +ue la concentración de electrones esesencialmente independiente de la temperatura en metales. 4al conductividadviene dada porA

Esto nos dice +ue solamente hay una %uente de variación deσ

y es .

En un metal puro decrece linealmente con el incremento de la temperaturaocasionando +ue σ se comporte de igual manera.

En un metal impuro, la conductividad es apro!imadamente constante a baMatemperatura Jver @ig 21JaK.K pero tambin decrece al aumentar 4.

En todos los casos la dependencia de σ en metales es pobre Jsolamente linealK ymonótonamente decreciente.

J2LK


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J C(n'$,tivi'a' 'ese+i,(n'$,t(res eGtr


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# C(n'$,tivi'a' ense+i,(n'$,t(res intr


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bsorción ótica

*?

&emos visto +ue @araday y otros han observado una alta dependencia de laconductividad con la lu- en los semiconductores e%ecto +ue se ha dado en llamar

@otoconductividad.

abemos +ue la lu- de %recuencia % está cuanti-ada como unidades discretas llamados%otones +ue transportan una energíaA

i un %otón incide sobre un semiconductor con energía prohibida Eg pueden ocurrir dos

%enómenosA

i el %otón tiene su(ciente energía para promover un electrón a la banda de conduccióny entonces un par electrón hueco es %otogenerado y el %otón es absorbido. El procesoinverso tambin es posible y ese aprovecha en la construcción de diodos emisores delu-.

i no se puede promover el electrón y entonces el %otón atraviesa el semiconductor sininteractuar. De manera +ue podemos decir +ue el semiconductor es transparente paratales %otones.

a absorción de %otones y creación de pares de electrones huecos es llamada absorcióninterbanda. 7tros procesos de absorción pueden ocurrir y en alguno de ellos laabsorción es posible a0n para sin embargo el más importante es el de absorcióninterbanda.Es de notar +ue este proceso de absorción interbanda nos permite e!perimentalmentemedir el valor de E9 por simple medición de la cantidad de lu- transmitida por un cristal

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tema 2 - semiconductores en equilibrio

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