tema 5: conductores en equilibrio electrostático

Campos Electromagneticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla

Tema 5: Conductores en equilibrio electrostatico

1. Introduccion: Cargas libres y ligadas. Caracterısticas de los materiales conductores.

2. Equilibrio electrostatico: Condicion de equilibrio. Propiedades de los conductores en equi-librio.

3. Sistemas de conductores en equilibrio: Problema fundamental de la electrostatica de con-ductores. Influencia y apantallamiento entre conductores. Coeficientes de capacidad. Propiedades.Concepto de condensador. Asociacion de condensadores. Energıa y fuerzas sobre conductores enequilibrio. Presion electrostatica.

4. Metodos de resolucion de problemas de potencial: Metodo de las imagenes. Metodo deseparacion de variables. Otros metodos.

5.1. Introduccion

Hasta el momento hemos desarrollado la teorıa electromagnetica de distribuciones de cargaρ(�r, t) y corriente �j(�r, t) conocidas en todo el espacio. En la practica esta situacion ideal no sesuele dar, sino que los materiales, constituidos por un enorme numero de cargas elementales,soportan distribuciones no conocidas a priori. Las formulas encontradas para los potenciales ycampos no pueden aplicarse por falta de datos.

El problema de aplicar los postulados vistos a la materia es extremadamente complicado si loformulamos en toda su generalidad, puesto que las distribuciones de carga estan formadas porun numero enorme de portadores sobre los que actuan las fuerzas electromagneticas (fuerza deLorentz) y otros agentes mecanicos. Son necesarias herramientas de tipo estadıstico y una seriede simplificaciones que dependen de la naturaleza de los distintos materiales para sacar de esteformidable problema microscopico consecuencias utiles a nivel macroscopico.

Dicho esto para prevenir sobre posibles dificultades teoricas en los capıtulos que siguen, hay queanadir que afortunadamente existen una serie de modelos de comportamiento macroscopico de lamateria que resultan muy utiles en su aplicacion a un gran numero de situaciones y que dan lugara las llamadas leyes constitutivas.

Nos interesa caracterizar la materia segun sus propiedades electricas, y esto se puede hacera partir de la distincion entre cargas libres y ligadas. Una carga libre es aquella que puedemoverse sin restriccion dentro del material, sin formar parte de una unidad neutra. Un materialse considera conductor cuando posee una densidad volumetrica de cargas libres apreciable. Lagama de valores que para esta densidad de carga libre se da en la naturaleza es amplısima, yde ahı surgen comportamientos dispares que van del de los materiales aislantes hasta el de lossuperconductores. Por otra parte, al igual que la expresion “densidad apreciable.es ambiguo, elconcepto de conductor tambien lo es, de manera que se puede dar el caso de que un materialse considere buen conductor en ciertas circunstancias y en otras no. Todos estos matices serandiscutidos en el proximo capıtulo.

Tema 5: Conductores en equilibrio electrostatico 1


Como es bien sabido, existen distintos estados de agregacion de la materia, segun el tipo deinteraccion entre sus partıculas constituyentes (gases, lıquidos, solidos, etc.), aunque no siempreson claros los lımites entre unos estados y otros. Para clarificar ideas podemos considerar en primerlugar los gases, formados por atomos o moleculas electricamente neutros que tienen la capacidadde moverse libremente. Los protones y electrones que constituyen el atomo o molecula no soncargas libres, puesto que forman parte de una unidad neutra. Sin embargo dentro de ese gas esposible la ionizacion por choques debidos a la agitacion termica. A mayor temperatura, mayorgrado de ionizacion tendremos (y como caso lımite se obtiene lo que se denomina un plasma).Estos iones son cargas libres, o portadores de carga.

La situacion en lıquidos no difiere cualitativamente de lo descrito para gases, y solo se apreciauna mayor interaccion entre moleculas debido a las cortas distancias que las separan. El agua encondiciones normales, como ejemplo de lıquido con conductividad apreciable, posee cierta pro-porcion de moleculas disociadas en equilibrio dinamico (hay disociacion y recombinacion a igualritmo), ademas de posibles impurezas tambien disociadas.

Con respecto al estado solido, el caracter conductor viene exclusivamente determinado por laexistencia de electrones libres dentro de una estructura esencialmente rıgida. En solidos molec-ulares, a cuya clase pertenecen los gases nobles o el nitrogeno molecular, todos a bajas temperat-uras, la fuerza que mantiene su estructura tiene su origen en las fuerzas ejercidas entre momentosdipolares de moleculas, llamada fuerzas de van der Waals (que se comentaran en el tema 7) y portanto no existen portadores de carga libre. Tampoco son buenos conductores los solidos ionicos,como el cloruro sodico, puesto que los atomos constituyentes captan o ceden electrones para for-mar iones negativos o positivos respectivamente, que se ordenan en una red tridimensional muyestable. A diferencia del caso anterior, los solidos covalentes, tales como el diamante, formanredes mediante enlaces con electrones no captados ni cedidos, sino compartidos; no obstante, losposibles movimientos de estos electrones se restringen a las inmediaciones de un grupo reducido deatomos y por ello no pueden ser considerados libres. Finalmente, los solidos metalicos (hierro,cobre, plata, etc.) pueden considerarse como un caso lımite del tipo anterior, en el que los elec-trones compartidos estan tan debilmente ligados que es posible encontrarlos en cualquier puntodel material. De hecho una representacion habitual de la situacion es la de una red muy rıgidade iones positivos coexistente con un gas de electrones encerrado en un recipiente cuya pared esla superficie de la pieza metalica. Se trata pues de sustancias a traves de las cuales el transportede carga es muy facil. La teorıa de bandas, de tipo cuantico, describe estos comportamientosmediante niveles de energıa permitidos para los electrones compartidos.

En resumen, en cualquier material tenemos una gran cantidad de carga ligada y una cantidadmuy variable de carga libre. Los campos electromagneticos pueden afectar a ambas distribuciones,dando lugar a la aparicion de densidades netas de carga y corriente apreciables macroscopicamente.En este capıtulo nos ocuparemos de todo lo relacionado con las distribuciones estaticas de cargalibre.

5.2. Equilibrio electrostatico

• Condicion de equilibrio

Consideremos un cuerpo conductor libre de toda fuerza que no sea de origen electrostatico, alque se ha suministrado una cierta carga q, y al que se ha dejado evolucionar el tiempo suficiente



para alcanzar una situacion de equilibrio, caracterizada por no haber cambios posteriores en eltiempo. En el equilibrio debe cumplirse que

�E = 0

en todo punto donde existan portadores de carga, puesto que en caso contrario existirıa una fuerzaneta sobre ellos que modificarıa la distribucion de carga en el material, bien sea en su volumen,bien en su superficie. La condicion que hemos enmarcado es la ley constitutiva se aplica a todoslos conductores en equilibrio electrostatico.

Esta ecuacion es el verdadero punto de partida para analizar los campos producidos por unconductor en equilibrio. Desde un punto de vista fısico podemos entender este resultado teniendo encuenta que un campo no nulo en el interior actuarıa sobre la carga libre en cada punto produciendoun desplazamiento y por tanto una acumulacion (proceso dependiente del tiempo) en otro lugar.Este proceso tiene lugar de hecho durante un cierto tiempo, extremadamente corto en buenosconductores, hasta que la redistribucion de cargas libres en el material consigue anular el campototal en el interior.

• Propiedades de los conductores en equilibrio

Consecuencias de que el campo en el interior sea nulo son las siguientes:

1. No hay densidad volumetrica de carga en el interior.

En efecto, ρ = ε0�∇ · �E = 0.

2. La carga que se suministra al conductor se acumula en la superficie.

Esto es consecuencia trivial de lo anterior: si no hay carga neta en volumen, todo exceso o defectode carga se acumula en la superficie.

3. El conductor es equipotencial.

En Electrostatica podemos definir un potencial escalar tal que �E = −�∇V . La diferencia depotencial entre dos puntos A y B es VB−VA = − ∫B

A�E ·d�r, usando cualquier camino de integracion.

En particular, para dos puntos cualesquiera del conductor y usando un camino de integracioncompletamente incluido en el el calculo resulta ser nulo por serlo el campo, de donde VA = VB.

4. El campo en la superficie del conductor sufre un salto en su valor, que pasa de cero en el interiora

�E(�r) =ρS(�r)

ε0

�n(�r)

en el exterior, donde ρS(�r) es la densidad superficial de carga en ese punto de la superficie y �n(�r)el vector normal en la direccion saliente. El campo solo tiene por tanto componente normal a lasuperficie del conductor.

Para demostrar esto basta recordar, por un lado, que si el conductor es equipotencial el gradientede V en la region exterior es perpendicular a su superficie, por la propiedad que se vio en el primercapıtulo. Como �E = −�∇V , podemos escribir entonces �Eext = E�n. Aplicando la condicion de saltopara la componente normal del campo electrico, establecida en el capıtulo 2, y teniendo en cuentaque el campo en el interior es nulo se obtiene �n · ( �Eext − �Eint) = E = ρS(�r)/ε0.



Por supuesto, este resultado solo es valido en las inmediaciones de la superficie conductora, ycuando nos separamos de ella el campo se modificara en general.

5.3. Sistemas de conductores en equilibrio

• Problema fundamental de la electrostatica

En electrostatica la magnitud fundamental que necesitamos conocer es el potencial en todo puntodel espacio, como ya vimos en el tercer capıtulo. Si todas las distribuciones de carga son conocidasbasta aplicar la formula integral obtenida en dicho capıtulo. Conocido el potencial, el campo seobtiene por aplicacion del gradiente.

Cuando estamos en presencia de piezas conductoras la situacion se complica, puesto que existendistribuciones de carga desconocidas en la superficie de los conductores. Ya no es posible seguirel procedimiento anterior. En cambio podemos plantear un problema de valores de contorno parael cual existen varias tecnicas de resolucion, algunas de las cuales estudiaremos mas adelante. Elproblema fundamental que debemos resolver es la ecuacion de Poisson

∇2V = − ρ

ε0,

valida en τ , la region exterior a los conductores, donde la densidad ρ(�r) se supone conocida. Paratener completamente determinado el problema debemos imponer condiciones en la frontera de τ .Si el infinito forma parte de la frontera de τ , pongamos S∞, se exige habitualmente V (S∞) = 0.Tambien la superficie de los n conductores presentes (Si , i = 1, 2, . . . , n) forman parte de lafrontera de τ . Existen dos posibles condiciones impuestas sobre cada superficie conductora:

(i) Conocemos el potencial, V (Si) = Vi.

(ii) Conocemos la carga total del conductor, qi.

En cualquiera de las dos situaciones el potencial de cada pieza es constante. En el primer casosu valor es conocido y en el segundo no; a cambio conocemos el dato de su carga, que podemosrelacionar con la solucion para el potencial V (�r):

qi =∮

Si

ρS(�r)dS = ε0

∮Si

�E(�r) · �ndS = −ε0

∮Si

∂V

∂ndS.

Si la distribucion de carga volumetrica ρ en τ no existe la ecuacion de Poisson se reduce a la deLaplace y V es una funcion armonica en τ . Una de las propiedades vistas en el primer capıtulofue la unicidad de la solucion de la ecuacion de Laplace con condiciones para la funcion sobrela frontera. Esto permite asegurar que el problema de los n conductores esta bien definido parael primer caso (potencial fijado en la frontera). Si de algun conductor solo se conoce la cargadebemos modificar ligeramente el argumento correspondiente al segundo tipo de condiciones. Estose presenta en la siguiente nota avanzada.

Nota avanzada: Unicidad de la solucion para conductores con carga fijada.

Para simplificar los argumentos consideraremos el caso de un solo conductor en el espacio, delimitado por unasuperficie S.



Sean V1(�r) y V2(�r) dos soluciones que verifican las condiciones de carga q1 fijada en el conductor, pero conV1(S) �= V2(S). Se tendra entonces que

q1 = −ε0∮

S

∂V1

∂ndS = −ε0

∮S

∂V2

∂ndS.

Construyamos la funcion ψ = V1 − V2, que cumplira∮S

∂ψ

∂ndS = 0, ψ(S) = V1(S) − V2(S) = k, ψ(S∞) = 0

(k constante). Teniendo en cuenta que Sτ = S ∪ S∞ podemos utilizar la primera identidad de Green y escribir∮S∪S∞

ψ�∇ψ · d�S =∫

τ

[ψ∇2ψ + |�∇ψ|2

]dτ.

La integral de superficie se descompone en dos, una en el infinito y otra sobre el conductor. En el infinito ψ = 0 yla integral es nula; sobre el conductor se tiene∮

S

ψ�∇ψ · d�S = k

∮S

∂ψ

∂ndS = 0.

Finalmente en la integral de volumen usamos que ∇2ψ = 0 y se llega a que∫τ

|�∇ψ|2dτ = 0.

Como el integrando nunca puede ser negativo se tiene |�∇ψ| = 0. El gradiente es nulo en todo punto y por tantoψ es una funcion constante. Como debe valer cero en el infinito, se concluye que ψ = 0 y las soluciones V1 y V2

coinciden.

Lo anterior demuestra la unicidad de la solucion en el segundo caso (carga fijada), en el supuesto de que no hayacarga fuera de los conductores (ρ = 0).

Nota avanzada: Unicidad de la solucion con carga entre conductores.

Es sencillo extender los resultados anteriores a una situacion con carga entre conductores. Basta construir lasolucion del siguiente modo:

V (�r) = χ(�r) + Vρ(�r), Vρ(�r) =1

4πε0

∫τ

ρ(�r1)dτ1|�r − �r1|

.

De esta forma la funcion χ verifica la ecuacion de Laplace en τ y su valor, aunque no constante, esta determinadoen la superficie de los conductores presentes χ(Si) = V (Si)− Vρ(Si) (o bien conocemos qi y esto da una condicionsuficiente). Los detalles se dejan como ejercicio.

Ejemplo:Entre dos electrodos planos y paralelos, de extension infinita y separados una distancia d se establece una diferenciade potencial V0. En la region intermedia existe una densidad de carga uniforme ρ0. Hallese el potencial y el campoelectrostaticos en la region entre electrodos.

Establezcamos origen de coordenadas en el electrodo a menor potencial, que tomaremos como cero. Segun losejes de la figura, tendremos V (z = 0) = 0 y V (z = d) = V0. Dado que los electrodos son infinitos en las direccionesOX y OY , el potencial es funcion solo de z. El problema electrostatico consiste en resolver la ecuacion de Poisson,que en este caso se reduce a

d2V

dz2= −ρ0

ε0.



z

n1

��x

y

n2

z=0 z=d

V=0 V=V0

E(z)

�S2�

S1

��

V(z)

0 d

=0>0

<0

z

Las condiciones de contorno son las ya fijadas sobre los electrodos. Integrando dos veces esta ecuacion obtenemos

V (z) = −ρ0

ε0

z2

2+ C1z + C2,

donde C1 y C2 son constantes de integracion que debemos determinar a partir de las dos condiciones de contorno:

V (0) = C2 = 0; V (d) = −ρ0

ε0

d2

2+ C1d = V0.

Resulta entoncesC1 =

V0

d+ρ0d

2ε0y la expresion final para el potencial es

V (z) = − ρ0

2ε0(z2 − zd) +

V0z

d.

El campo electrico es �E = −�∇V , o sea,

�E = −dVdz�uz =

[ρ0

2ε0(2z − d) − V0

d

]�uz.

La densidad de carga sobre cada electrodo se calcula una vez conocido el campo a partir de la formula ρS = ε0 �E ·�n.En z = 0 se tiene �n1 = �uz y �E = −(ρ0d/(2ε0) + V0/d)�uz, por lo que ρS1 = −ρ0d/2 − ε0V0/d. En z = d tenemos�n2 = −�uz y �E = (ρ0d/(2ε0) − V0/d)�uz, con lo que ρS2 = −ρ0d/2 + ε0V0/d.

Si ρ0 = 0 el campo es uniforme, con modulo E = V0/d, y dirigido hacia los potenciales decrecientes; las densidadessuperficiales de carga son iguales pero de signo opuesto.

• Influencia y apantallamiento entre conductores

La presencia de un conductor cargado en las inmediaciones de otro conductor produce unaredistribucion de cargas en la superficie de ambos. Esto es lo que se conoce como influenciaelectrostatica. La redistribucion esta motivada por la exigencia de que el campo en el interior delconductor sea nulo. Al acercar el conductor cargado (conductor 1 en la figura) este producira uncampo en todo el espacio que debe ser neutralizado dentro de los conductores por el campoproducido por la nueva distribucion de cargas en el conductor 2.



1E=0 E

E=0

2

++

+

++

+

+

+

++

+

++

+

+++

+

+− −

−−

−

−−−− +

+

+

Recıprocamente, la carga sobre el conductor 1 tambien se redistribuye en el proceso, ¡aun cuandoel otro conductor estuviera descargado!. Piensese que aunque la carga neta fuera cero, habrıaseparacion de carga dando lugar a regiones con densidad positiva y negativa respectivamente, locual produce un campo no nulo en el conductor 1, que produce la separacion. Se trata pues deprocesos acoplados que conducen a una distribucion final con la cual los campos en el interior deambos conductores son nulos.

Un caso particular importante se tiene cuando una pieza conductora hueca rodea a otro conduc-tor, lo cual da lugar a lo que se denomina apantallamiento.

S2

ext

S2

int

SG

S1

2

1

q1

q2int

q2ext

La pieza interior posee una carga q1 y la pieza hueca una carga q2, que en general se distribuira enlas dos superficies cerradas que la delimitan, S int

2 y Sext2 . Podemos saber que carga se acumula en

cada superficie utilizando la ley de Gauss en forma integral aplicada sobre una superficie gaussianaSG interior al conductor 2 que englobe a S int

2 (ver figura). El calculo da

∮SG

�E · d�S =qint

ε0

→ 0 =q1 + qint

2

ε0

,

puesto que en los puntos donde se evalua el campo este es nulo, y por otra parte la carga encerradapor SG es la del conductor 1 y la almacenada en la superficie interior del conductor 2. La conclusiones que qint

2 = −q1. En la superficie exterior a 2 se deposita el resto de la carga suministrada a esteconductor.

Otra caracterıstica propia del apantallamiento es que todas las lıneas de campo van de unasuperficie a la otra, es decir, de S1 a S int

2 o viceversa. En efecto, en ausencia de carga volumetrica en

la region intermedia, �E es solenoidal y no hay fuentes ni sumideros de lıneas de campo. Tampocoes posible que una lınea nazca y muera en la misma superficie, puesto que ello implicarıa una



diferencia de potencial entre dos puntos de un conductor en equilibrio electrostatico. La unicaopcion es la propuesta.

Finalmente establezcamos, en relacion a una situacion de apantallamiento, que un conductorhueco divide el espacio en dos regiones libres de influencia mutua. Estas son el hueco y el espacioexterior a dicha pieza. En efecto, si el potencial de la pieza hueca se fija al valor V2, para el huecose establece un problema de potencial con solucion unica:

∇2V = 0, V (S int2 ) = V2, V (S1) = cte. q(S1) = q1

Llamemos V (�r) a la solucion de este problema. Un cambio que tenga lugar en el exterior modi-ficara el valor de V2, que pasara a ser V2 +k, con k cierta constante. Si proponemos V (�r)+k comonueva solucion para el potencial interior, la nueva condicion en la frontera S int

2 se satisface y demanera trivial se encuentra la carga correcta en el conductor interior:

q(S1) = −ε0

∮S1

∂(V + k)

∂ndS = q1.

Se trata pues de la solucion buscada, que solo se ha visto modificada en una constante, lo cual esintrascendente: ni el campo ni las distribuciones de carga en el interior cambian.

Con respecto al problema exterior, ni siquiera el valor del potencial se modifica cuando tienelugar un cambio en el hueco (que no involucre por supuesto un aporte de carga desde el exterior).El problema exterior esta perfectamente determinado porque la carga sobre su frontera no varıa.

Ejemplo:Consideremos una esfera conductora A de radio a y carga total qA, rodeada de otra esfera hueca B de radiosinterior y exterior b y c respectivamente, concentrica con la primera, con carga total qB. (a) Si conectamos la esferahueca a tierra, ¿como se redistribuye la carga del sistema?. (b) ¿Y si en lugar de esto conectamos su superficieinterior a la esfera interior?.

A B

a

b

c

qA

q =q +qB int ext

qext

qint

Tenemos dos regiones libres de influencia mutua, separadas por la esfera hueca. El primer proceso afecta a laregion exterior, mientras que el segundo afecta al interior. Comenzamos describiendo la distribucion de carga ypotencial iniciales.

La simetrıa esferica nos asegura una distribucion uniforme de la carga depositada en cada una de las tressuperficies. La carga qB se reparte entre las superficies interior (r = b) y exterior (r = c) en la forma qint = −qA(por haber influencia total o apantallamiento del conductor interior) y qext = qB + qA respectivamente. Aplicandola ley de Gauss en forma integral encontramos el valor del campo electrico para las distintas regiones, a saber,�E = E(r)�ur , con

E(r) =

⎧⎪⎨⎪⎩

qA4πε0r2

(a < r < b)qA + qB4πε0r2

(r > c),



y nulo en ambos conductores. Usando la relacion V (r) = −∫ r

∞ �E · d�r se tiene a su vez

V (r) =qA + qB4πε0r

para r > c. En b < r < c (dentro del conductor exterior) el potencial se mantiene constante,

VB =qA + qB4πε0c

,

y en el hueco aplicamos

V (r) − VB = −∫ r

b

qA4πε0r2

dr → V (r) =qA

4πε0

(1r− 1b

)+qA + qB4πε0c

.

A partir de r = a el potencial queda nuevamente constante y vale

VA =qA

4πε0

(1a− 1b

+1c

)+

qB4πε0c

.

(a) Conexion del conductor B a tierra.

En el proximo apartado se explicara con mas detalle que se entiende por conexion a tierra”. Por el momento nosbasta saber que en esas condiciones el conductor fija su potencial a cero.

A B

a

b

c

q’A

q’ =0ext

=-q’int=qA

V =0B

Hacer que el potencial de un conductor sea cero no implica necesariamente que su carga sea nula. En nuestro casopodemos justificar que solo la carga de la superficie exterior se escapa a traves de la conexion a tierra. En efecto,como no hay otras cargas en la region r > c, el problema de potencial en dicha region consiste en resolver la ecuacionde Laplace con condiciones de potencial nulo en toda la frontera (superficie r = c y superficie en el infinito). Es claroque la solucion V (r) = 0 satisface la ecuacion y todas las condiciones de contorno, y por unicidad establecemos quees la solucion buscada. Por otra parte la densidad superficial de carga es ρS = ε0En = −ε0dV/dr = 0, con lo cualla carga total tras la conexion a tierra es q′ext =

∫ρSdS = 0. La carga sobre la superficie interior no se modifica

puesto que para anular el campo en el conductor exterior debe seguir siendo −qA. El campo en el hueco tampococambia, aunque sı el potencial, en una constante aditiva:

V ′(r) =qA

4πε0

(1r− 1b

).

El nuevo potencial del conductor interior es

V ′A =

qA4πε0

(1a− 1b

).



(b) Conexion del conductor A al conductor B.

A B

a

b

c

q’’ =0A

q’’ =q +qext A B

=q’’int

Ahora en el problema interior debemos satisfacer la ecuacion de Laplace sujeta a las condiciones V ′′A = V ′′

B . Lasolucion constante, V ′′(r) = V ′′

B , es admisible e implica que no hay carga depositada en las superficies localizadasen r = a y r = b (por el mismo calculo que se vio en el apartado anterior). Sin embargo esta redistribucion de cargaen el hueco, consistente en la anulacion mutua, no afecta al problema exterior, que mantiene la misma distribucionde carga, campo y potencial:

q′′ext = qA + qB; V ′′(r) =qA + qB4πε0r

(r > c),

y por tanto

V ′′B =

qA + qB4πε0c

.

• Coeficientes de capacidad

En lo que sigue nos centraremos en el estudio de un sistema de n conductores situados en unaregion libre de carga en volumen (ρ = 0). Cada conductor recibe una carga qi, de resultas de locual adquieren potenciales Vi. Hemos visto anteriormente que es equivalente plantear el problemaelectrostatico con cargas o con potenciales fijados. Por comodidad vamos a suponer conocidos lospotenciales de cada conductor.

El objetivo de este apartado es demostrar que existe linealidad entre cargas y potencialesen el sistema de n conductores, ası como caracterizar los coeficientes que ligan unas y otros.

El caso mas simple es el de una esfera conductora de radio R y con carga q, sin otro conductoren su cercanıa. Por simetrıa la carga se distribuye uniformemente en la superficie, dando lugar aun campo tambien con simetrıa radial, �E = E(r)�ur, que ya se determino en el tema 3. La relacionentre la carga y el potencial del conductor esferico es

V = V (r = R) =q

4πε0R.

En esta situacion que puede ser resuelta explıcitamente se observa proporcionalidad entre q y V .La razon entre ambas se conoce como coeficiente de capacidad de la esfera aislada y valeC = q/VS = 4πε0R. En el Sistema Internacional la capacidad se mide en faradios (F), equivalentea coulombio/voltio.

Es interesante aquı hacer notar que una esfera conductora de radio muy grande posee una grancapacidad; si ademas posee una carga no excesiva tendra un potencial casi nulo. Si conectamosun cuerpo conductor de menores dimensiones, mediante un hilo delgado, a la esfera de gran radio,y situada a gran distancia, estaremos fijando el potencial del conductor practicamente a cero,



puesto que cualquier flujo de carga entre ambos no va a cambiar apreciablemente el potencialde la gran esfera. Este proceso es lo que se conoce como conexion a tierra. En la practicacualquier conductor de grandes dimensiones en comparacion con las del objeto que queremosponer a potencial nulo puede hacer de ”tierra”.

Siguiendo con la discusion sobre la relacion carga-potencial en conductores, el problema se com-plica si la pieza tiene forma arbitraria, con superficie S. Aunque no se conozca la solucion explıcita,podemos demostrar la proporcionalidad entre carga y potencial del siguiente modo: supongamosque hemos resuelto el problema cuando la pieza esta a potencial VS = 1 V. Esta solucion puedeescribirse

ϕ(�r) =1

4πε0

∮S

ρS(�r1)dS

|�r − �r1|,

con ρS(�r1) la distribucion superficial de carga sobre el conductor. La carga total sera

q0 =∮

SρS(�r)dS = −ε0

∮∂ϕ

∂ndS.

Si en lugar de un voltio el potencial es λ veces mayor podemos proponer una solucion construidaen base a la anterior, V (�r) = λϕ(�r), que evidentemente satisface tambien la ecuacion de Laplacey cumple la nueva condicion impuesta para el potencial en la superficie conductora. La cargasera ahora

q = −ε0

∮∂V

∂ndS = −λε0

∮∂ϕ

∂ndS = λq0.

Por tanto carga y potencial se ven multiplicados por el mismo factor: son proporcionales.

La demostracion anterior es extensible al caso general de n conductores de superficies Si apotenciales Vi. Construimos las n funciones auxiliares ϕi(�r) definidas en la region exterior a losconductores, donde verifican la ecuacion de Laplace, y que se caracterizan por satisfacer distintascondiciones de contorno sobre los conductores. Estas condiciones son las de potencial nulo sobretodos los conductores excepto el i−esimo, donde vale la unidad:

∇2ϕi = 0, ϕi(Sj) = δij .

Es claro que la combinacion lineal

V (�r) =n∑

j=1

Vjϕj(�r)

satisface todas las condiciones de nuestro problema original, puesto que verifica la ecuacion deLaplace y adquiere el valor Vi prescrito sobre Si. La carga total del conductor i−esimo se puedeobtener conocidas las n funciones auxiliares:

qi = −ε0

∮Si

∂V

∂ndS = −ε0

∮Si

n∑j=1

Vj∂ϕj

∂ndS =

n∑j=1

Vjcij ,

donde hemos definido los llamados coeficientes de capacidad del sistema mediante la expresion

cij = −ε0

∮Si

∂ϕj

∂ndS.

Con esto queda demostrada la linealidad entre cargas y potenciales definidos sobre los conductores.En forma matricial se puede escribir⎛

⎜⎜⎜⎝q1

q2

· · ·qn

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝

c11 c12 · · · c1n

c21 c22 · · · c2n

. . . . . . . . . . . . . . . . .cn1 cn2 · · · cnn

⎞⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝

V1

V2

· · ·Vn

⎞⎟⎟⎟⎠ ,



o, en notacion mas compacta, �q = C�V , donde �q = (q1, q2, . . . , qn), �V = (V1, V2, . . . , Vn) y la matriz,C de dimension n × n construida con los coeficientes cij se la denomina matriz de capacidaddel sistema.

Cada coeficiente cij tiene un significado fısico claro: se trata de la carga en coulombios queadquiere el conductor i−esimo cuando todos los conductores se ponen a tierra excepto el j−esimo,que se pone a un voltio. Sin embargo, a pesar de esta interpretacion, debe quedarnos claro que setrata de magnitudes puramente geometricas, puesto que su valor queda totalmente determinadopor la forma y disposicion espacial de los n conductores. Tambien conviene notar que en el calculode cij no solo intervienen los conductores correspondientes a esos dos subındices, sino todos, atraves de la funcion ϕj .

Los potenciales pueden ser calculados, conocidas las cargas de cada conductor, usando la relacioninversa �V = C−1�q. Los elementos de la matriz inversa se denominan coeficientes de potencialy se simbolizan por pij .

Demostramos que los coeficientes de la matriz de capacidad son simetricos. Para ello nosservimos de la segunda identidad de Green en la que los dos campos escalares que intervienen sondos de las funciones auxiliares genericas que hemos estado manejando, ϕi(�r) y ϕj(�r), definidasen la region τ exterior a los conductores, y cuya frontera la constituyen las superficies de los nconductores, −Sk (normal entrante en el conductor), y una superficie definida en el infinito, S∞.Con todo esto escribimos∮

Sτ

(ϕi

�∇ϕj − ϕj�∇ϕi

)· d�S =

∫τ

(ϕi∇2ϕj − ϕj∇2ϕi

)dτ = 0,

donde hemos usado que ambas funciones satisfacen la ecuacion de Laplace. Segun se ha dicho, lafrontera se desglosa en Sτ = S∞ ∪ (−S1)∪ (−S2)∪ . . .∪ (−Sn). En el infinito el integrando tiendeasintoticamente a cero y por tanto la ecuacion anterior equivale a

n∑k=1

∮Sk

(ϕi

�∇ϕj − ϕj�∇ϕi

)· d�S = 0.

En el integrando evaluamos el potencial ϕi en la superficie Sk, pero este valor es cero salvo cuandok = i, que vale la unidad, y algo analogo ocurre con la funcion ϕj. Del sumatorio solo sobrevivendos terminos, ∮

Si

�∇ϕj · d�S −∮

Sj

�∇ϕi · d�S = 0.

En estos terminos podemos identificar, salvo una constante multiplicativa, los coeficientes cij ycji, que resultan ser iguales.

Otra propiedad facilmente demostrable es que cii > 0 para todo valor del ındice ”i”. La idea esque estos coeficientes representan la carga de uno de los conductores cuando esta a potencial unidady el resto a tierra. Teniendo en cuenta que el campo electrico va en direccion a los potencialesdecrecientes y que las funciones armonicas no poseen maximos salvo en la frontera, las lıneas decampo deben ser salientes del conductor a potencial unidad. Esto implica una carga neta positivay con ello queda determinado el signo del coeficiente cii.

Ejemplo:Dos esferas conductoras de igual radio, R, separados sus centros una distancia D adquieren cargas q10 y q20respectivamente cuando la primera se conecta a un potencial V0 y la otra a tierra. ¿Que cargas adquieren cuandose conectan a potenciales V1 y V2?



Se trata de un sistema de dos conductores en el que la relacion entre cargas y potenciales es

q1 = C11V1 + C12V2

q2 = C12V1 + C11V2,

donde hemos tenido en cuenta que ambas esferas son iguales para sustituir C22 por C11 en la formula general.

A partir de los datos iniciales tenemos que q10 = C11V0 y q20 = C12V0, con lo que los coeficientes C11 y C12 quedandeterminados. Cualquier otra electrificacion de las dos esferas queda completamente determinada; en particular parapotenciales fijados V1 y V2 las cargas resultan

q1 = (q10V1 + q20V2)/V0; q2 = (q20V1 + q10V2)/V0.

• Concepto de condensador

En los circuitos de corriente electrica se utiliza como uno de los elementos basicos el condensador,que se caracteriza por su capacidad de almacenar carga de signo opuesto en dos electrodos en-frentados, o visto de otro modo, de almacenar energıa electrica. Para entender el dispositivo y daruna definicion precisa del concepto de condensador vamos a estudiar una configuracion particulardentro de los sistemas de conductores, formada por tres piezas, una de ellas contenida en otrahueca (ver figura).

2q1

V1 V2

V3

q2

q3

3

1

Hemos elegido esta configuracion porque es a la vez simple y con suficiente riqueza topologicapara ilustrar las propiedades de apantallamiento que requiere un condensador.

La linealidad entre cargas y potenciales se escribe explıcitamente en nuestro caso

q1 = c11V1 + c12V2 + c13V3,

q2 = c12V1 + c22V2 + c23V3,

q3 = c13V1 + c23V2 + c33V3.

Si consideramos en particular la situacion V2 = V3 = 0 y V1 �= 0 se tiene un problema interior notrivial, con el conductor “1cargado con carga q1 = c11V1, pero un problema exterior muy simple.En efecto todas las condiciones se satisfacen si proponemos la solucion V (�r) = 0 en todo el espaciosalvo en el hueco. Las consecuencias son:

(i) q3 = 0. En efecto, sobre este conductor el campo es cero, su derivada normal tambien, ladensidad superficial tambien y, por ultimo, la integral de esta distribucion extendida a toda lasuperficie.

(ii) qext2 = 0. El argumento es totalmente analogo.



(iii) q2 = −q1. Al haber influencia total entre la superficie interior del conductor 2 y la superficiedel conductor 1 se deduce como vimos qint

2 = −q1, pero esta es toda la carga que tiene el conductor2.

Trasladando estos resultados al sistema de tres ecuaciones se deduce que q3 = c13V1 = 0 ⇒c13 = 0 y que q1 = c11V1 = −q2 = c12V1 ⇒ c11 = −c12. Estas relaciones entre coeficientesconstituyen la formulacion matematica del apantallamiento del conductor 1 con el exterior y suinfluencia total con la superficie del 2. Para potenciales arbitrarios en los tres conductores sabemosahora que la carga q1 es siempre

q1 = c11(V1 − V2),

es decir, dependiente exclusivamente de la diferencia de potencial entre los conductores 1 y 2.

Un condensador se define como dos superficies conductoras en influencia total, y que por tantoalmacenan cargas opuestas cuyo valor es proporcional a la diferencia de potencial entre ambas,independientemente del estado de carga del resto del sistema del que formen parte. A la constantede proporcionalidad entre carga y d.d.p. se la denomina capacidad del condensador:

C =q

ΔV

Ejemplos:Rigurosamente hablando, solo con un conductor hueco dentro del cual colocamos otro conductor podemos con-struir un condensador; sin embargo existen situaciones que se aproximan bastante a las condiciones de influenciatotal/apantallamiento que se requieren. Analicemos las geometrıas mas sencillas.

plano cilíndrico esférico

i) Condensador plano: Esta formado por dos placas planas conductoras de area S, paralelas entre sı, enfrentadasy separadas una distancia d. Si la separacion es pequena respecto de la menor distancia que podemos definir enlas placas el campo resulta ser uniforme en la mayor parte de la region entre placas y nulo en el exterior. Existeuna zona de inhomogeneidad del campo en la cercanıa de los bordes, en la que se produce la transicion a uncampo nulo (efectos de borde). El calculo de la capacidad del condensador plano es sencilla si consideramos laaproximacion de placas infinitas. Entonces la carga se distribuye uniformemente sobre los dos electrodos. Por otraparte la superposicion de los campos producidos por dos planos cargados uniforme y opuestamente origina uncampo uniforme E = ΔV/d entre ambos y nulo en el exterior, que estara relacionado con la densidad de cargasegun la formula �n·Δ �E = E = ρS/ε0. Teniendo en cuenta que, por ser una distribucion uniforme de carga, q = ρSS,se obtiene C = ε0S/d.

ii) Condensador cilındrico: Esta formado por dos superficies conductoras cilındricas concentricas de radios a yb, y longitud L. Despreciando efectos de borde, la carga se distribuye uniformemente en ambas superficies. Usandola ley de Gauss en forma integral con una superficie cilındrica de radio a < r < b se obtiene el campo dentro delcondensador, que es radial y de modulo E = q/(2πε0r), segun se vio en un ejemplo en el tema 3. Integrando estecampo entre a y b obtenemos la relacion entre la carga total y la diferencia de potencial, lo cual conduce a unacapacidad C = 2πε0L/ ln(b/a). La condicion que debemos imponer para que los efectos de borde sean despreciables



es b − a << L. Si ademas b − a << a (superficies muy juntas) podemos usar la formula del condensador planocon d = b − a y S = 2πaL, puesto que en tal caso la curvatura de los electrodos no juega un papel importante(justifıquese rigurosamente dicha aproximacion).

iii) Condensador esferico: Esta formado por dos electrodos con dos superficies esfericas concentricas enfrentadas,de radios R1 y R2 (es esencialmente la geometrıa de un ejemplo visto anteriormente, mas concretamente el ”prob-lema interior.allı resuelto). La capacidad es exactamente C = 4πε0R1R2/(R2−R1). Nuevamente si R2−R1 << R1

la curvatura no es relevante y sirve la formula del condensador plano con d = R2 −R1 y S = 4πR21.

• Asociacion de condensadores

Varios condensadores pueden ser conectados entre sı y el resultado se comporta como un nuevocondensador cuya capacidad se puede obtener a partir de las capacidades de los condensadoresconstituyentes. De entre las posibles asociaciones se distinguen dos casos: las conexiones en seriey en paralelo.

q

q1

C1

C1

Α

Conexión en serieΑ

Α

Α

Β

ΒΒ

C2

C2

Cn

Cn

Ceq

-q q -q q -q q -q

Ceq

qT -qT

Β

q2 qn

-q1 -q2 -qn

Conexión en paralelo

(i) Conexion en serie: los electrodos se conectan consecutivamente, formando una cadena sinbifurcaciones (ver figura). Es clave reconocer la presencia de conductores aislados en el interior delconjunto, formado por dos electrodos de dos condensadores distintos (un ejemplo esta encerradopor lınea discontinua en la figura). Si establecemos una diferencia de potencial VT entre el primerelectrodo y el ultimo, aparecera en el primer electrodo una carga q, que por influencia totalinducira otra carga −q en el siguiente. Como este forma parte de un conductor aislado inicialmenteneutro, en el tercer electrodo aparecera una carga q para que la carga neta siga siendo nula trasestablecerse el voltaje. Podemos seguir este razonamiento hasta el electrodo final para determinarque la carga de cada electrodo es alternativamente q y −q. El potencial entre extremos es la sumade las caıdas de potencial individuales:

VT = V1 + V2 + . . . + Vn =q

C1

+q

C2

+ . . . +q

Cn

= qn∑

i=1

1

Cn

.

Teniendo en cuenta que el conjunto solo puede intercambiar la carga depositada en sus electrodosextremos, el condensador equivalente poseera, para una d.d.p. VT una carga q, es decir Ceq = q/VT .Despejando VT y sustituyendo en la ecuacion anterior resulta

1

Ceq=

n∑i=1

1

Cn.

(ii) Conexion en paralelo: todos los condensadores se conectan entre dos puntos comunes adistintos potenciales VA y VB (ver figura). Ahora la carga que el conjunto puede intercambiar con



el exterior es la suma de cargas de los electrodos conectados a un mismo punto: q = q1+q2+. . .+qn.La diferencia de potencial es VAB = VA − VB para cada condensador, por lo que

VAB =q1

C1

=q2

C2

= . . . =qn

Cn

=q1 + q2 + . . . + qn

C1 + C2 + . . . + Cn

=q

Ceq

y por tanto

Ceq =n∑

i=1

Cn.

(iii) Otras conexiones: En muchas ocasiones podemos identificar en una asociacion de conden-sadores subgrupos conectados en serie o en paralelo, que pueden ser sustituidos por condensadoresequivalentes segun las formulas encontradas. En otras, la asociacion es irreducible, como en elejemplo siguiente.

Ejemplo:Obtengase la capacidad del condensador equivalente al de la figura, conocidas las capacidades C1, C2, . . . , C5.

C1

� �

C2

C3

C4

C5

q1

q2

q5

�

�

q3

q4

V0

Esta asociacion no puede ser clasificada como serie o paralelo. Debemos obtener las cargas q1, q2, . . . , q5 sobrelos condensadores, definidas como aquellas situadas en los electrodos que se indican en la figura, una vez queconectamos el sistema a un generador que suministra una tension V0.

Partiendo de que (i) la carga total de conductores aislados internos al sistema (tales como los conjuntos dearmaduras conectadas a los puntos M y N de la figura) es nula, y (ii) la suma de caıdas de potencial de conden-sadores encontrados en cualquier circuito debe ser nula, obtenemos las ecuaciones que permiten obtener las cargas.El sistema lineal resultante es

q1/C1 + q3/C3 = V0

q1/C1 − q2/C2 + q5/C5 = 0q3/C3 − q4/C4 − q5/C5 = 0

−q1 + q3 + q5 = 0−q2 − q5 + q4 = 0.

Como la carga que se intercambia con el resto del circuito es la suma q1 + q2, la capacidad equivalente es C =(q1 + q2)/V0. La resolucion del sistema da finalmente

C =(C1 + C2)(C3C4 + C4C5 + C3C5) + C1C2(C3 + C4)

C3C4 + C4C5 + C3C5 + C2(C3 + C5) + C1(C2 + C4 + C5).



• Energıa y fuerzas sobre conductores en equilibrio

Para un conjunto de n conductores en equilibrio electrostatico las formulas de energıa elec-trostatica se particularizan y simplifican debido al caracter equipotencial de cada pieza. Al tratarsede distribuciones superficiales de carga se tiene

Ue =1

2

n∑i=1

∮Si

V ρSdS =1

2

n∑i=1

Vi

∮Si

ρSdS =1

2

n∑i=1

Viqi.

Teniendo en cuenta los conceptos de coeficientes de capacidad y de potencial obtenemos tresexpresiones alternativas:

Ue =1

2

n∑i=1

Viqi =1

2

n∑i=1

n∑j=1

cijViVj =1

2

n∑i=1

n∑j=1

pijqiqj .

En el caso de un condensador, formado por dos electrodos con cargas opuestas, la primera formaencontrada nos da

Ue =1

2(q1V1 + q2V2) =

1

2q1(V1 − V2),

y usando el concepto de capacidad se obtienen nuevamente tres expresiones alternativas:

Ue =1

2qΔV =

q2

2C=

1

2C(ΔV )2

siendo q la carga del electrodo positivo y ΔV la diferencia de potencial entre el electrodo positivoy el negativo.

Podemos encontrar la fuerza que se realiza sobre una parte movil del sistema de n conductoresa partir de la energıa electrostatica utilizando el principio de los trabajos virtuales. El puntode partida es un balance de energıa en cualquier proceso, dado por el teorema de la energıacinetica, que establece que la variacion de energıa cinetica, T es igual al trabajo realizado portodas las fuerzas sobre el sistema, que en nuestro caso pueden ser: (i) fuerzas electrostaticas delas cargas presentes en el sistema, (ii) fuerzas realizadas por generadores para mantener piezasconductoras a potencial constante (lo cual implica bombeo de carga al sistema), y (iii) fuerzas deotro origen, tıpicamente mecanicas, tales como ligaduras para fijar piezas, etc.:

ΔT = We + Wg + Wm,

donde los subındices se refieren a trabajo electrico, de generadores y mecanico respectivamente, taly como se acaba de discutir. El trabajo de las fuerzas electricas es conservativo, por lo que existeuna energıa potencial que no es otra que la energıa electrostatica del sistema, que cumple We =−ΔUe. El trabajo de los generadores, si existe, se calcula a partir de la interpretacion energeticade potencial, de manera que si la carga del conductor i-esimo se incrementa en Δqi en el proceso,el trabajo del generador conectado, con potencial Vi, sera simplemente Wg,i = ΔqiVi. Finalmente,el trabajo realizado por eventuales fuerzas mecanicas o de otro tipo debe ser calculado a partir dela situacion concreta que se estudie; si las fuerzas son conservativas podremos igualmente definiruna energıa potencial Um, tal que Wm = −ΔUm.

Si en una situacion de equilibrio consideramos un proceso virtual caracterizado por un desplaza-miento δx de una coordenada susceptible de ser variada en el sistema (la distancia entre placas



en un condensador plano, por ejemplo) se tendra que la variacion en la energıa cinetica es nulo,δT = 0. Por otra parte las fuerzas electrostatica y de otro tipo que mantienen la pieza en re-poso cumpliran �Fe + �Fm = 0. Distinguimos dos posibles procesos que permiten calcular la fuerzaelectrostatica sobre la pieza desplazada: i) proceso a carga constante, y ii) proceso a potencialconstante.

i) Proceso a carga constante: Las piezas conductoras estan aisladas y no hay trabajo degeneradores: δWg = 0. Del balance de energıa se deduce, teniendo en cuenta que δWm = Fmxδx =−Fexδx,

δT = 0 = −δUe + 0 − Fexδx.

Por tanto,

Fex = −∂Ue

∂x

∣∣∣∣∣qi

es decir, que podemos obtener la fuerza en la direccion de variacion de la coordenada x derivandola energıa electrostatica, expresada en funcion de la cargas constantes de los conductores, respectode dicha coordenada, y cambiando el signo.

ii) Proceso a potencial constante: Las piezas conductoras estan conectadas a generadores quemantienen el potencial fijado a ciertos valores Vi; el trabajo de los generadores sera

δWg =n∑

i=1

Viδqi.

Pero esta es dos veces la variacion de la energıa electrostatica, 12

∑ni=1 Viqi, cuando los potenciales

estan fijados, por lo que, de manera general en estos procesos, se puede decir que δWg = 2δUe.Del balance de energıa se deduce ahora

δT = 0 = −δUe + 2δUe − Fexδx.

Por tanto,

Fex =∂Ue

∂x

∣∣∣∣∣Vi

donde ahora la energıa debe expresarse en funcion de los potenciales y el signo no se cambia.

Cualquiera de las dos formulas proporciona la fuerza electrostatica en el equilibrio. Es posibleobtener otras expresiones usando procesos mixtos, en los que parte de los conductores estan aisla-dos (con carga constante) y los restantes estan conectados a generadores (con potencial constante);para estos procesos ya no es cierto en general que el trabajo de los generadores sea doble que lavariacion de energıa electrostatica del sistema.

La coordenada x debe entenderse como coordenada generalizada, y por tanto puede tratarsede una longitud, de un angulo o cualquier otra magnitud fısica. Si se trata de un angulo, lacorrespondiente fuerza generalizada que se obtiene de las formulas anteriores es la componentedel momento de las fuerzas electricas en la direccion del eje de giro definido por la coordenadaangular.



Ejemplo:Hallese la fuerza que se ejercen mutuamente las armaduras de un condensador plano, ası como la evolucion temporalde la distancia entre ambas, para (i) un proceso a carga constante; (ii) un proceso a potencial constante.

(i) Proceso a carga constante. Supongamos que las armaduras tienen un area S, masa m y una separacion x quevariara con el tiempo debido exclusivamente a las fuerzas electricas. La capacidad es C(x) = ε0S/x. Si la cargaesta fijada a un valor q0, la energıa del condensador es

UE =q202C

=q20x

2ε0S,

y la fuerza electrica entre armaduras

Fx = −dUE

dx= − q20

2ε0S.

Se trata logicamente de una fuerza atractiva, puesto que las placas estan cargadas opuestamente.

La evolucion temporal de la posicion, x(t), suponiendo que en t = 0 se parte del reposo a una distancia x0, essimplemente m(d2x/dt2) = Fx, y por ser constante la fuerza el movimiento hasta el choque entre armaduras esuniformemente acelerado:

x(t) = x0 −q20t

2

4ε0S.

(ii) Proceso a potencial constante. Ahora la diferencia de potencial entre armaduras se fija en el valor V0. La energıadel condensador es

UE =12CV 2

0 =ε0SV

20

2x,

y la fuerza electrica entre armaduras

Fx =dUE

dx= − ε0SV

20

2x2.

La fuerza varıa con la distancia entre armaduras, aumentando conforme ambas se acercan debido a que la cargaaumenta. Para la situacion inicial, si q0 = C(x0)V0, la fuerza electrica coincide con el calculo realizado en el apartadoanterior.

La evolucion temporal se obtiene integrando la ecuacion de movimiento

d2x

dt2=Fx(x)m

= − A

x2, con A =

ε0SV20

2m.

Multiplicando ambos miembros por x = dx/dt obtenemos una integral primera del movimiento:

xx =12d

dt(x2) = −Ax

x2= A

d

dt

(1x

),

es decir, x2/2 −A/x = B (= const). El valor de B se obtiene imponiendo que en t = 0 es x = x0 y x = 0, con locual B = −A/x0. Debemos integrar otra vez para hallar la evolucion temporal:

dx

dt=

√2A√

1x0

− 1x

→√

2A∫ x

x0

dx√1/x− 1/x0

= t.

Esta integral no es inmediata pero puede ser consultada en tablas. El hecho importante es que la evolucion apotencial constante es distinta de la evolucion a carga constante.

• Presion electrostatica

Sobre la superficie de un conductor se localiza en general una distribucion de carga ρS(�r) y se

produce una transicion en el valor del campo electrico, que va de cero en el interior a �E(�r) =



�nρS(�r)/ε0 en el exterior, en un punto infinitamente proximo a la superficie. Como consecuenciaaparece una fuerza normal en cada punto de esta superficie, que podremos evaluar usando uncampo medio definido sobre la distribucion, 〈 �E〉 = �nρS(�r)/(2ε0). Como la carga en un dS situadoen �r es dq = ρS(�r)dS, la fuerza sera el producto del campo medio por la carga. Se define por tantola presion electrostatica ejercida en cada punto, pE = dFe/dS, por las formulas

pe =ρ2

S

2ε0=

1

2ε0E

2

donde se presenta alternativamente en funcion de la densidad de carga o del campo en el exteriordel conductor.

Ejemplo:

Una esfera conductora de radio R con carga q se divide en dos por su plano ecuatorial. ¿Cual es el comportamientode cada uno de los hemisferios resultantes?

La carga que antes del corte se reparte uniformemente por la superficie no se modifica tras el corte, siemprey cuando permanezcan juntas. Logicamente habra una fuerza de repulsion entre ambos hemisferios, puesto quetienen carga de igual signo. Podemos calcular la fuerza que se ejercen mutuamente a partir del concepto de presionelectrostatica. La densidad superficial es ρS = q/(4πR2) y la presion electrostatica

pE =q2

32ε0π2R4.

Sobre cada elemento de superficie se ejerce una fuerza normal d�F = pE�ndS, que debemos integrar sobre unhemisferio. Aquı es dS = R2senθ dθ dφ. Sin embargo la fuerza resultante esta dirigida segun el eje OZ, por lo que

F = Fz = �F · �uz =∫dS pE�n · �uz =

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

q2R2senθ cos θ dθ32ε0π2R4

.

El resultado es

F =q2

32πε0R2

Hay que insistir en que cuando los hemisferios se separan la distribucion de carga deja de ser uniforme y el calculodeja de ser valido; la fuerza encontrada corresponde a un valor inicial del proceso.

5.4. Metodos de resolucion de problemas de potencial

Existen muchas tecnicas de resolucion para el problema de potencial. De ellas nos centraremosen dos: el metodo de las imagenes, que permite resolver de forma muy simple un numerorestringido de problemas, caracterizados por tener alta simetrıa, y el metodo de separacionde variables, que tambien requiere la existencia de simetrıa en la geometrıa del problema perotiene un mayor rango de aplicabilidad. Otros metodos importantes son el de la funcion de Green,bastante potente, el de transformacion conforme para problemas bidimensionales, y finalmenteuna serie de metodos numericos, tales como el de diferencias finitas, elementos finitos y elementosde contorno.

• Metodo de las imagenes

Consideremos un conjunto de n conductores sujetos a condiciones de potenciales Vi o cargas qi



conocidos en cada pieza. Las distribuciones reales de carga son superficiales, ρS(�r), definidas enlas superficies conductoras Si. Se establece una distribucion de potencial en el espacio, tal que suvalor en cada pieza es constante:

V (�r) =1

4πε0

n∑i=1

∮Si

ρS(�r1)dS1

|�r − �r1|, V (�ri) = ki,

donde �ri ∈ Si y ki es un valor constante, conocido (Vi) o desconocido pero determinable por lacondicion de carga dada, qi. Si sustituimos las distribuciones reales por otras ficticias, ρ(�r), en lasregiones interiores a los conductores, τi, de forma que los potenciales generados en las superficiesconductoras coincidan con los del problema real, podemos decir, por la unicidad de las solucional problema de potencial, que la solucion del problema es tambien

V (�r) =1

4πε0

n∑i=1

∫τi

ρ(�r1)dτ1

|�r − �r1|,

aunque la nueva solucion no es valida en el interior de los conductores (cosa que no debe preocuparpuesto que no es la region que nos interesa). El metodo resulta util cuando i) es posible encontrarpor procedimientos elementales la distribucion de carga ficticia, llamada carga imagen, y ii) suintegracion es facil. No siempre existe una distribucion adecuada al problema, por lo que no setrata de un metodo sistematico, sino basado en la experiencia y la intuicion fısica.

Ejemplo:Hallese el potencial creado en todo el espacio por una carga puntual enfrentada a un plano conductor infinito amasa.

qq'

d d

x

z

Este es un ejemplo basico y obligado, dada su importancia. Sea d la distancia plano-carga. Es evidente que sicolocamos una carga −q en una posicion simetrica respecto del plano, es decir, a una distancia d detras de este,segun la recta normal que pasa por la carga q, la suma de los potenciales creados por la carga real y la cargaimagen sera cero en el plano conductor, que es la condicion que debemos cumplir. El problema original es de difıcilsolucion, puesto que la carga induce en el plano una distribucion superficial no conocida a priori. Esta distribuciones facil de calcular ahora mediante la formula ρS = ε0En, puesto que conocemos V y En = −�n · �∇V .

En definitiva, tomando un sistema de referencia como en la figura, el potencial pedido es V = 0 para x < 0 ypara x > 0 tenemos

V (x, y, z) =q

4πε0

[1√

(x− d)2 + y2 + z2− 1√

(x+ d)2 + y2 + z2

].

Ejemplo:Hallese el potencial creado en todo el espacio por una carga puntual q enfrentada a una esfera conductora a tierrade radio R, siendo d la distancia desde su centro a la carga.



qx

Rq'

d

zAB

Suponemos para comenzar que la esfera esta a potencial cero. Puede comprobarse que un sistema formado pordos cargas de signo opuesto, q1 y −q2, con q1 y q2 cantidades positivas, poseen una superficie a potencial cero conforma esferica (demuestrese). Con esa informacion proponemos que dentro de la esfera conductora, en algun puntodel eje de simetrıa del sistema, se coloque una carga imagen q′ a distancia x del centro de la esfera, que haga que lasuperficie de la esfera tenga potencial cero. En particular esta condicion se aplica a los puntos de corte de la esferay el eje de simetrıa, dando un par de condiciones que determinan los valores de q′ y x:

VA = 0 =q

4πε0(d−R)+

q′

4πε0(R− x),

VB = 0 =q

4πε0(d+R)+

q′

4πε0(R + x).

Por tanto, despejando en ambas −q′/q se tiene

−q′

q=R− x

d−R=R+ x

d+R=R

d=x

R,

donde las dos ultimas igualdades surgen de aplicar la propiedad trivial

a

b=c

d=a± c

b ± d.

De aquı se obtiene definitivamente

q′ = −qRd, x = R

R

d,

con lo que la carga imagen es opuesta a la original y menor en valor absoluto en un factor R/d, y esta situadadentro de la esfera (x < R). La solucion puede ser escrita, respecto del centro de la esfera y tomando eje OZ comoaquel que pasa por la carga,

V (�r) =q

4πε0

[1

|�r − d�uz|− R/d

|�r − (R2/d)�uz|

].

Esta resolucion se puede tomar como base para encontrar la distribucion de potencial para una esfera que noesta a tierra, sino que tiene un potencial V0. Lo unico que tenemos que hacer es anadir una segunda carga imagenq′′ en el centro de la esfera, que elevara el potencial de manera uniforme en r = R en la cantidad prescrita V0 sicumple V0 = q′′/(4πε0R).

Existen dos propiedades importantes acerca de las cargas imagen:

1) La carga total sobre una pieza conductora es igual a la carga imagen total que contiene. Lademostracion consiste simplemente en darnos cuenta de que la carga real y la carga imagen encer-rada por la superficie del conductor es, por la ley de Gauss en forma integral, ε0 por el flujo delcampo electrico en dicha superficie; pero el campo creado por ambas distribuciones es el mismoen la region exterior, y el flujo tambien. (Por cierto, ¿Como podemos aprovechar esta propiedadpara resolver el problema de una esfera conductora descargada enfrentada a una carga puntual,basandonos en el ejemplo anterior?).

2) La fuerza sobre una pieza conductora es igual a la fuerza sobre las cargas imagen que contiene.La demostracion de esta propiedad es algo mas elaborada, pero se basa en la misma idea de



expresar la fuerza en funcion del campo evaluado en el exterior del conductor. La ofrecemos comonota avanzada.

Nota avanzada: Demostracion de la segunda propiedad.

La fuerza sobre la distribucion de carga imagen interior al conductor i-esimo es

�F ′ =∫

τi

ρ �Edτ = ε0

∫τi

(�∇ · �E) �Edτ,

donde se ha usado la ley de Gauss para eliminar ρ. El campo es el producido en el interior por las cargas reales nosustituidas (es decir, no localizadas en las superficies de los conductores) y por las cargas imagen del sistema. Apartir del desarrollo visto en el primer capıtulo para la divergencia de un producto diadico se deduce que

�∇ · ( �E �E) = �E(�∇ · �E) + ( �E · �∇) �E.

Por otra parte�∇( �E · �E) = 2 �E × (�∇× �E) + 2( �E · �∇) �E,

y como el campo es irrotacional obtenemos

�E(�∇ · �E) = �∇ · ( �E �E) − 12�∇( �E · �E),

Usando el teorema de la divergencia para diadas y el teorema del gradiente conseguimos expresar la integral devolumen original en una integral de superficie:

�F ′ = ε0

∮Si

[�E �E · �n− E2

2�n

]dS.

(Por cierto, esta forma de expresar la fuerza sobre todas las cargas contenidas en un volumen dado, consistenteen una integral de superficie

∮T · �ndS de una magnitud tensorial, T = ε0 �E �E − ε0

E2

2 I, con I el tensor unidad,es un resultado general, y aplicable por tanto a muchas otras situaciones. Al tensor T se le denomina tensor deMaxwell.)

Dado que en la superficie del conductor el campo se puede escribir �E = E�n, ambos terminos dentro del corchetese pueden agrupar para dar finalmente

�F ′ =ε02

∮Si

E2�ndS.

Pero esto no es otra cosa que la fuerza en funcion de los campos externos a la pieza, calculada mediante el conceptode presion electrostatica. Se demuestra ası que ambos calculos coinciden.

• Metodo de separacion de variables

El metodo de separacion de variables busca la solucion al problema de potencial dado porla ecuacion de Laplace junto con condiciones de contorno apropiadas, mediante la formulacionde soluciones generales en forma de combinacion lineal de productos de funciones de una solavariable. Estas soluciones generales incluyen un numero infinito de constantes de integracion quese encuentran una vez aplicadas sistematicamente las condiciones de contorno.

Para exponer el metodo consideraremos primero la ecuacion de Laplace en coordenadas carte-sianas:

∂2V

∂x2+

∂2V

∂y2+

∂2V

∂z2= 0.



Proponemos una solucion basica factorizada V (x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z). El apelativo ”separacionde variables”proviene obviamente de que la dependencia con las tres variables se tiene a travesde funciones de cada una de ellas por separado. Sustituyendo esta dependencia en la ecuacion ydividiendo por X(x)Y (y)Z(z) resulta

1

X

d2X

dx2+

1

Y

d2Y

dy2+

1

Z

d2Z

dz2= 0,

que tiene una estructura del tipo f(x) + g(y) + h(z) = 0. Esta ecuacion solo tiene solucion si lasfunciones f , g y h son constantes α, β y γ respectivamente, que cumpliran α+β +γ = 0. Las tresecuaciones resultantes son analogas. Como ejemplo tenemos para la funcion X(x),

1

X

d2X

dx2= α ⇒ d2X

dx2− αX = 0,

que tiene como solucion general

X(x) = Aαe√

αx + Bαe−√

αx

donde Aα y Bα son constantes de integracion, que dependen del valor considerado de α, tambienpor deteminar. Si realizamos un analisis similar con Y (y) y Z(z) llegaremos al mismo tipo desoluciones que para X(x). La solucion mas general a la ecuacion de Laplace se obtendra medianteuna combinacion de soluciones factorizadas:

V (x, y, z) =∑α,β,γ

α+β+γ=0

(Aαe

√αx + Bαe−

√αx)·(Aβe

√βy + Bβe−

√βy)·(Aγe

√γz + Bγe

−√γz).

Una particularidad esencial en la expresion propuesta es que al menos una de las constantes α,β o γ debe ser negativa para cumplir la restriccion impuesta sobre su suma. Si por ejemplo es αla constante negativa, se tendra que

√α es un numero imaginario puro y la dependencia en x no

serıa exponencial sino combinacion de senos y cosenos. En consecuencia no es posible una solucionexponencial en las tres coordenadas: al menos en una de ellas la solucion debe ser oscilatoria.

Hasta aquı el metodo es general y la solucion encontrada no hace referencia a las condiciones decontorno que debe cumplir la funcion V . Estas condiciones son las que debemos utilizar para deter-minar las infinitas constantes de integracion que aparecen en la expresion anterior. Es convenientever con un ejemplo el tipo de razonamiento que se sigue.

x

d

z

V=0

y

V=0

V=F(x)

En la figura se muestra un sistema formado por dos placas conductoras a tierra, paralelas entresı y a una distancia d. Hacia arriba y en la direccion perpendicular al papel son ilimitadas. En lasuperficie horizontal que une sus bordes se ha establecido, mediante una combinacion adecuada



de generadores, una distribucion conocida de potencial. Tomando un sistema de referencia comoel descrito en la figura la funcion incognita es V (x, y, z) y las condiciones de contorno se expresandel siguiente modo:

V (0, y, z) = V (d, y, z) = 0; V (x, 0, z) = F (x); lımy→∞V = 0

donde la funcion F (x) es conocida. La condicion final es de tipo asintotico (no se aplica en un puntofinito como las otras). Esto ocurre en problemas en los que el recinto considerado es ilimitado.

La primera informacion que debemos usar es la ausencia de dependencia de las condiciones conla coordenada z. Esto implica directamente que el potencial no depende de z, es decir γ = 0, ypodemos omitir el tercer parentesis en la expresion general del potencial. Ademas queda α = −β.

A continuacion hacemos uso de la condicion asintotica. Debemos hacer β > 0 y Aβ = 0 paraque la dependencia en y sea exponencial decreciente ( si β < 0 se tendrıa un comportamientooscilatorio y no se cumplirıa el lımite impuesto, y si Aβ �= 0 la solucion crecerıa ilimitadamente,lo cual no es admisible desde un punto de vista fısico). Con las simplificaciones encontradas elpotencial se puede escribir ahora

V (x, y) =∑β

(A′

βei√

βx + B′βe−i

√βx)

e−√

βy

donde hemos agrupado constantes para definir otras nuevas, A′β y B′

β, aun por determinar, al igualque β.

Imponemos seguidamente las condiciones en x = 0 y x = d:

0 = V (0, y) =∑β

(A′β + B′

β)e−√

βy; 0 = V (d, y) =∑β

(A′

βei√

βd + B′βe−i

√βd)

e−√

βy.

De la primera se obtiene necesariamente B′β = −A′

β y de la segunda, usando ya esta nuevainformacion, y teniendo en cuenta que sen(x) = (eix − e−ix)/(2i),

2iA′βsen(

√βd) = 0 ⇒

√βd = nπ,

con n = 1, 2, . . .. Con toda esta informacion el potencial queda

V (x, y) =∞∑

n=1

Cnsennπx

de−nπy/d.

Falta encontrar los nuevos coeficientes Cn que surgen de agrupar constantes con los antiguos A′β.

Para ello debemos utilizar la condicion de contorno restante, V (x, 0) = F (x), que con la expresionencontrada para el potencial se escribira

∞∑n=1

Cnsennπx

d= F (x).

La serie que aparece en esta expresion es justamente el desarrollo de Fourier en senos correspon-diente a la funcion F (x)2. Los coeficientes del desarrollo se relacionan con integrales de nuestra

2Hay que recordar que toda funcion definida en el intervalo [−d, d] puede desarrollarse en serie de senos ycosenos de argumento nπx/d, y que si nuestra funcion F (x) esta definida en el intervalo [0, d] podemos extendersu dominio de definicion por la izquierda exigiendo que F (−x) = −F (x) (funcion impar), con lo que conseguimosque no aparezcan cosenos en el desarrollo.



funcion en virtud de la ortogonalidad de las funciones base:

∫ d

0sen

nπx

dsen

mπx

ddx =

{0 si n �= mmπ/2 si n = m

Si multiplicamos nuestra ecuacion por sen(mπx/d) e integramos entre 0 y d solo sera no nulo untermino, de lo que se deduce

Cmmπ

2=∫ d

0sen

mπx

dF (x)dx,

con lo que los coeficientes quedan determinados.

Como ejemplo sencillo consideremos el caso F (x) = V0, es decir un potencial constante, quepuede ser fijado por un generador conectado a una lamina conductora situada en y = 0. Entoncesse tendra Cn = 2[1 − cos(nπ)]V0/(nπ), que es no nulo si n es impar. El resultado final se escribe

V (x, y) =4V0

π

∞∑n=1impar

1

nsen

nπx

de−nπy/d

La distribucion de lıneas equipotenciales se representa en la figura siguiente:

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

0.6

0.4

0.2

0.8

y/d

0.2 0.4 0.6 0.8 1x/d

V/V =0.10

0.2

0.3

0.4

Los problemas con simetrıa esferica o cilındrica se describen mejor en los sistemas coordena-dos correspondientes, para los cuales la ecuacion de Laplace admite separacion de variables. Lasecuaciones diferenciales que verifican las funciones de una sola variable en que descomponemosel potencial son en general mas complicadas que las exponenciales y funciones sinusoidales quehemos manejado en cartesianas, y sus soluciones son funciones especiales (polinomios de Legen-dre, funciones de Bessel) cuyo valor y propiedades de ortogonalidad se pueden encontrar en librosespecializados.

• Otros metodos

Existe un amplio muestrario de metodos de resolucion de problemas de potencial. Para problemasbidimensionales es en particular muy eficaz el metodo de transformacion conforme, que haceuso de la posibilidad de expresar el potencial bidimensional en forma compleja. Para problemascon geometrıa arbitraria son necesarios metodos mas generales, de caracter numerico, tales como elde diferencias finitas, el de elementos finitos o el de elementos de contorno. Su exposicionse sale del proposito de esta asignatura.


tema 5: conductores en equilibrio electrostático

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