tema 6 equilibrio

7/30/2019 Tema 6 Equilibrio

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Posicin: Es el vector que indica el lugar donde est un objeto respecto a un punto de

referencia.

O

P

OPr

La magnitud de la posicin tiene

dimensiones de longitud

En el SI se mide en metros (m) y sus

mltiplos y submltiplos ms frecuentes.

En el sistema ingls, se mide pies o

pulgadas, etc. 1 ft=0.3048 m

1 in=25.4 mm


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Fuerza: La interaccin de un objeto con los dems se conoce como la fuerza sobre l.

La lnea de accin es la lnea recta infinita a

lo largo de la cual acta la fuerza; esta est

caracterizada por el ngulo que forma con un

eje fijo.

Esta fuerza es una cantidad vectorial que se caracteriza por su punto de aplicacin,

su magnitud, su direccin,

lnea de accin

punto de aplicacin

F

la cual est determinada por la lnea de accin

sentido

y el sentido.


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Dimensiones de la fuerza:2tiempo

longitudmasanaceleracimasafuerza

En el SI, la unidad de fuerza es elNewton (N) y en unidades bsicas es kg m/s2

Dina: Es la unidad de fuerza en el Sistema CGS. Se define como la fuerza que, aplicada a la

masa de un gramo, le comunica una aceleracin de 1 cm/s.

Kilopondio (smbolo kp): Tambin denominado kilogramo-fuerza (smbolo kgf), se define

como la fuerza que imprime una aceleracin gravitatoria estndar (9.80665 m/s2 32.174

pies/s2) a la masa de un kilogramo.

N806.9kp1

N10dina1 5

Una lb es una fuerza gravitacional ejercida sobre una libra con una aceleracin gravitacional

constante de 9.80665 m/s (32.1742 ft/s).

N44822.4lb1


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Las fuerzas se pueden clasificar principalmente en:

Fuerzas entre superficie o de contacto

Fuerzas entre cuerpos o a distancia

Una fuerza de contacto se convierte en una fuerza concentrada cuando el rea sobre la cual

se distribuye la fuerza es tan pequea, comparada con la superficie del cuerpo sobre el que

acta, que puede considerarse como un punto. Este punto recibe el nombre de punto de

aplicacin de la fuerza.

Una fuerza entre cuerpos o a distancia es una fuerza entre objetos que no se tocan. Porejemplo, la fuerza gravitacional, la fuerza elctrica, la fuerza magntica, las fuerzas

nucleares, etc.


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Sistema de fuerzas:

Concurrentes: Cuando las lneas de accin de todas las fuerzas se cortan en un punto

comn.

Cualquier nmero de fuerzas tratada como un grupo.

No Concurrentes: Lo contrario a concurrentes.

F1

F2

F3

F4

F5

F6

punto de concurrencia


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Colineales: Cuando se encuentran en la misma lnea de aplicacin.

F1

F2

F3


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Coplanarias: Cuando se encuentran en el mismo plano.

x

y

z


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No Coplanarias: Cuando no se encuentran en el mismo plano.

x

y

z


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Paralelas : Las lneas de accin son paralelas.

No Paralelas : Las lneas de accin no son paralelas.

F1F2

F3F4


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El estado de movimiento de un cuerpo es el resultado directo de sus interacciones con los

cuerpos que los rodean.

Las interacciones se describen

convenientemente por un concepto

matemtico denominado fuerza.

El estudio de la dinmica es bsicamente el

anlisis de la relacin entre la fuerza y sus

efectos en el movimiento de los cuerpos.

Las fuerzas


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La Ley de Inercia o Primera ley del movimiento de Newton

Se pensaba que se necesitaba alguna

influencia, una fuerza, para mantener un

cuerpo en movimiento a rapidez constante.

Antes de que Newton formulara su

mecnica, se pensaba que un cuerpo estaba

en su estadonatural cuando permaneca en

reposo.

Para que se moviera con velocidad

constante, aparentemente tena que ser

impulsado en alguna forma, por un empuje o

una traccin. De otro modo, dejara de

moverse
http://1.bp.blogspot.com/-oXZdTkYuZSA/TflNN7f4JAI/AAAAAAAAAAg/Z9T7E6-LTb4/s1600/ley-de-la-fuerza.jpg


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Nuestra experiencia nos indica que, un

objeto se mantiene en movimiento durante

un intervalo de tiempo ms grande, mientrasms lisa sea la superficie por la que se

mueve.

Por ejemplo, si un disco de jockey es

impulsado sobre una superficie de asfalto

recorre una distancia menor que si la

superficie es de cemento o de hielo. Esto sedebe a que, en las superficies de cemento y

hielo, la friccin (interaccin que se opone

al movimiento) es menor que en la de

cemento.


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Esto nos indica que si en una superficie no hay friccin, el objeto se mantendra

movindose hasta que la superficie se termine o halla algo que lo detenga.


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De esta manera, un cuerpo que no est sujeta

a interaccin alguna, denominado como

partcula libre, no debe cambiar su estado demovimiento o reposo.

Estrictamente no existe tal situacin, ya quetodo cuerpo est sujeto a interacciones con el

resto del mundo.

Pero, entonces, sera imposible observarla

porque, en el proceso de la observacin,

siempre hay una interaccin entre elobservador y el cuerpo observado.

Sin embargo, en la prctica, podemos considerar que una partcula es libre si su interaccin

neta con otras partculas se cancela, dando una interaccin neta nula, o lo suficientemente

pequea para poder despreciarla.


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Este hecho fue planteado por Galileo, pero

fue Newton quin lo plasm en una de sus

tres famosas leyes: La ley de inercia, hoytambin conocida como la Primera ley del

movimiento de Newton.

todo cuerpo mantiene su velocidad

constante, mientras la suma de lasinteracciones que actan sobre l sea igual

a cero.
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Newtons_laws_in_latin.jpg


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Si la interaccin sobre el cuerpo se encuentra

equilibrada, el cuerpo no se mueve si est en

reposo o no cambia su velocidad si estmovindose. En este caso se dice que el

cuerpo se encuentra en equilibrio.


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La tendencia de un cuerpo a mantener su

estado de reposo o movimiento rectilneo

uniforme se llama inercia.


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Mientras ms masa tenga un cuerpo, ms

difcil es cambiar su estado de reposo o

movimiento rectilneo uniforme

Para cuantificar el concepto de masa se define un patrn de medida.

En unidades del SI, la unidad de masa es el

kilogramo (kg).

Un kilogramo, por definicin, es de exactamente la masa de un cilindro particular de platino

iridio, conservado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Svres, Francia.

Newton usaba el trmino masa como

sinnimo de cantidad de materia.

Actualmente, se define a la masa como la

medida de la inercia de un cuerpo.


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Otras unidades de la masa son, por ejemplos:

En sistema cgs, la unidad de masa es el gramo (gr), que es una milsima de un kilogramo

1000 g = 1 kg

En el mundo molecular, se ha definido una unidad de masa conocida como unidad de masaatmica unificada (u) y, por definicin equivale a 12veces la masa un tomo de carbono

(12C). El equivalente en kilogramos de 1 u, hoy en da, es

1u=(1.66056550.0000086)x10-27 kg

Slug es una unidad de masa en el sistema de unidades FPS (Foot-Pound-Second system:Sistema Pie-Libra-Segundo), se define como: la masa que se desplaza a una aceleracin de

1 ft/s cuando se ejerce una fuerza de una libra sobre ella

1 slug=14.58893064245951 kilogramos


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Teniendo en cuenta que el movimiento es

relativo, cuando se enuncia la ley de inercia,

debe decirse en qu sistema de referencia

est el observador del movimiento del

objeto, que se supone en estado de

equilibrio.

Tal observado se conoce como un observador inercial, y el sistema de referencia que l

utiliza se conoce como un sistema inercial de referencia.
http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/animaciones_files/finercia.swf


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Ejemplo. Un objeto se arroja verticalmente hacia arriba. En la cspide de la trayectoria, el

objeto est: a) en equilibrio instantneo, b) en reposo instantneo, c) instantneamente en

reposo y equilibrio, d) ni en reposo ni en equilibrio.

Respuesta:

Durante todo el movimiento el objeto est

sometido a la interaccin con la Tierra, por

lo que no puede estar en equilibrio en ningn

punto de la trayectoria.

En la cspide de la trayectoria, la velocidad

se hace instantneamente cero, por lo que en

ese punto el objeto se encuentra en reposoinstantneo.

Por lo tanto, el objeto se encuentra en reposo instantneo


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Ejemplo. Cul de las siguientes afirmaciones que describen un cuerpo en equilibrio no es

cierta?

a) La suma de todas las interacciones que actan sobre un cuerpo es cero.

b) El cuerpo se mueve a velocidad constante.c) El cuerpo permanece en reposo.

d) El cuerpo se mueve con rapidez constante.

Respuesta:

La velocidad es un vector. Si es constate, deben ser constantes tanto su magnitud como su

direccin de la velocidad.

Pero para que un objeto est en equilibrio, la velocidad debe ser constante.

Entonces, la respuesta que no es cierta es la d).

Adems, la rapidez es igual a la magnitud de su velocidad.


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Ejemplo. Cul es la masa, en kg y g, de una molcula de H2O? y de 2x1023 molculas?

Respuesta:

La masa atmica del hidrgeno es de 1.0080 u y la del oxgeno es de 15.999 u, as que una

molcula de agua tiene una masa atmica de

gr2.99049x10

kg2.99049x10

kg10x1.6618.015u18.015u999.15u0080.12OH

23-

26-

272

gr5.98098

kg5980.98

kg2.99049x1010x2OH10x2 -2623223


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Equilibrio

Primera Ley de Newton o Ley de Inercia: Si la fuerza resultante que acta sobre una

partcula es cero, sta permanecer en su estado de reposo o movimiento rectilneouniforme.

Por definicin, si la resultante de todas las fuerzas que actan sobre un partcula es igual a

cero, la partcula esta en equilibrio

equilibrioenpartcula0F

equilibrioenpartcula

0F

0F

0F

z

y

x

Estas ecuaciones representan las condiciones necesarias y suficientes para lograr el

equilibrio de una partcula en el espacio.


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Estas ecuaciones pueden usarse para resolver problemas de partculas en equilibrio si no

hay ms de tres incgnitas que encontrar.

Para resolver este tipo de problemas se traza un diagrama de cuerpo libre que muestre lapartcula en equilibrio y todas las fuerzas que actan sobre ella.

Enseguida se escriben las ecuaciones de equilibrio y se resuelve el sistema resultante.

Un diagrama de cuerpo libre o diagrama de cuerpo aislado debe mostrar todas las fuerzas

externas que actan sobre el cuerpo.

En estos diagramas, se escoge un objeto o cuerpo y se asla, reemplazando las cuerdas,

superficies u otros elementos por fuerzas representadas por flechas que indican susrespectivas direcciones.

Por supuesto, tambin debe representarse la fuerza de gravedad y las fuerzas de friccion. Si

intervienen varios cuerpos, se hace un diagrama de cada uno de ellos, por separado.


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Ejemplos:

Sistema de fuerzas Diagrama de cuerpo libre


27/55



28/55


W


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Ejercicio 2.102. Un contenedor se sostiene por medio de tres cables que estn unidos al

techo como se muestra en la figura. Determine el peso W del contendor si la tensin en el

cable AD es de 4.3 kN.


30/55

x

z

y

W

kmm320jmm600AC

360 mm

320 mm

450 mm 500 mm

600 mm

A

B

C

D

kmm360jmm600imm500AD

jmm600imm450AB

Respuesta:


31/55

jmm600imm450AB

mm750mm600mm450AB 22

j54i

53

mm750j

mm600i

mm450

AB

ABAB

j

F5

4i

F5

3j

5

4i

5

3FF ABABABAB


32/55

kmm320jmm600AC

mm680mm320mm600AC 22

k178j

1715

mm680k

mm320j

mm600

AC

ACAC

kF17

8jF

17

15k

17

8j

17

15FF

ACACACAC


33/55

kmm360jmm600imm500AD

mm860mm360mm600mm500AD 222

k

4318j

4330i

4325

mm860k

mm360j

mm600i

mm500

AD

ADAD

kN8.1jN0.3iN5.2k43

18j

43

30i

43

25N3.4FAD

jWW


34/55

jF5

4iF

5

3F ABABAB

kF17

8jF

17

15F ACACAC

kN8.1jN0.3iN5.2FAD

jWW

0N8.1F17

8F

0WN0.3F17

15F

5

4F

0N5.2F5

3F

ACz

ACABy

ABx

N708.9W0WN0.38

15N8.1

3

4N5.2

0WN0.38

17N8.1

17

15

3

5N5.2

5

40WN0.3F

17

15F

5

4

N825.38

17N8.1F0N8.1F178

N167.43

5N5.2F0N5.2F

5

3

ACAB

ACAC

ABAB


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Ejercicio 2.45: Una componente de mquina con forma irregular se mantiene en la posicin

mostrada en la figura por medio de tres sujetadores. Si FA=940 N, determine las magnitudes

de las fuerzas FB y FC ejercidas por los otros dos sujetadores.


36/55

5070

x

y

FB

FC

FA

Respuesta:


37/55

x

y

230

110

FB

FC

FA=940

0110senF230senF0senFF

0110cosF230cosF0cosFF

CBAy

CBAx

0110senF230senF

N940110cosF230cosF

CB

CB

230sen

110senFF CB

N940110cosF230cos230sen

110senF CC

N940230tan110sen110cosFC

N47.831

230tan

110sen110cos

N940FC

N96.1019

230sen

110senFF CB


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Ejercicio 2.51: Los cuatro elementos de madera que se muestran en la figura estn unidos

con la placa de metal y se encuentran en equilibrio sometidos a la accin de cuatro fuerzas.

Si FA=2.3 N y FB=2.1 N, determine las magnitudes de las otras dos fuerzas.


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x

y

FB FA

FCFD

210

45

330

135

330,N3.2FA 210,N1.2FB

45,FF CC

135,FF DD

Respuesta:


40/55

330,N3.2FA

210,N1.2FB

45,FF CC

135,FF DD

0135senF45senF210senN1.2330senN3.2F

0135cosF45cosF210cosN1.2330cosN3.2F

DCy

DCx

N2000.2210senN1.2330senN3.2135senF45senF

N1732.0210cosN1.2330cosN3.2135cosF45cosF

DC

DC

45cosN2000.2135sen45cosF45sen45cosF

45senN1732.045sen135cosF45sen45cosF

DC

DC

N6781.145sen135cos135sen45cos

45senN1732.045cosN2000.2F

45senN1732.045cosN2000.245sen135cosF135sen45cosF

D

DD

N4332.145sen45cos

135sen45cosF45cosN2000.2F DC


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Ejemplo: Un embalaje de madera de 75 kg que descansaba entre dos edificios, es levantado

hacia la plataforma de un camin que lo quitar de ah. El embalaje est soportado por un

cable vertical unido en A a os cuerdas que pasan pro poleas fijas a los edificios en B y C.

(a) Haga el diagrama de cuerpo libre. (b) Encuentre las tensiones de las cuerdas AB y AC.

R t ( ) P t li l t i d l d di d l


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Respuesta: (a) Puesto que se va a analizar las tensiones de las cuerdas, un diagrama del

cuerpo libre debe incluir estas tensiones y el peso del embalaje de madera.

TAB

TAC

W

Las fuerzas ejercidas por las dos cuerdas

no se conocen, pero sus magnitudes son

iguales a las tensiones de las cuerdas AB

y AC y sus direcciones corresponden a

las lneas de las cuerdas en sentido

alejndose de A.

50 30


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TAB

TAC

W

50 30

(b) Las fuerzas ejercidas por las dos cuerdas

no se conocen, pero sus magnitudes son

iguales a las tensiones de las cuerdas AB y

AC y sus direcciones corresponden a las

lneas de las cuerdas en sentido alejndosede A.

Mtodo Trigonomtrico: Puesto que el punto

A est en equilibrio, las tres fuerzas que

actan deben sumar cero.40

80

50

60

W=75 N

60sen

T

40sen

T

80sen

W ABAC

N95.4880sen40senWT

40senT

80senW ACAC

N95.6580sen

60senWT

60sen

T

80sen

WAB

AB

TAB

TAC


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Mtodo Algebraico: Fijamos un sistema de

referencia y encontramos las componentes

de las fuerzas aplicando las condiciones de

equilibrio para obtener el sistema deecuaciones a resolver.

x

yTAB

TAC

W

50 3050senTT

50cosTT

AByAB

ABxAB

30senTT

30cosTT

ACyAC

ACxAC

N75W

0W

y

x

0N7530senT50senT

030cosT50cosT

ACAB

ACAB


45/55

50cos

30cosTT030cosT50cosT ACABACAB

N7530sen50tan30cosT30senT50sen50cos

30cosT ACACAC

0N7530senT50senT

030cosT50cosT

ACAB

ACAB

N7530senT50senT ACAB

N95.65T

N95.4830sen50tan30cos

N75T

AB

AC


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Ejemplo (Problema resuelto 2.4): En la operacin de descarga de un barco, un automvil de

3500 lb es soportado por un cable. Se ata una cuerda a cable en A y se tira para centrar al

automvil sobre la posicin deseada. El ngulo entre el cable y la vertical es de 2, mientras

que el ngulo entre la cuerda y la horizontal es de 30. Cul es la tensin de la cuerda?


47/55

Respuesta: Diagrama de cuerpo libre.

W

TAB

TAC30

2


48/55

W

TAB

TAC30

2 92,TT ABAB

92senTT

92cosTT

AByAB

ABxAB

330,TT ACAC

330senTT

330cosTT

ACyAC

ACxAC

270,lb3500W

lb3500W

0W

y

x

0lb3500330senT92senT

0330cosT92cosT

ACAB

ACAB


49/55

0lb3500330senT92senT

0330cosT92cosT

ACAB

ACAB

92cos

330cosTT ACAB

lb3500330sen92tan330cosT330senT92sen92cos

330cosT ACACAC

lb03.144330sen92tan330cos

lb3500TAC


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Ejemplo (Problema resuelto 2.5): Determine la magnitud, direccin y sentido de la fuerza F

ms pequea que mantendr el equilibrio al paquete que se muestra al margen. Ntese que

la fuerza ejercida por los rodillos sobre el paquete es perpendicular al plano inclinado.


51/55

Respuesta: Diagrama de cuerpo libre.

Ante que nada, debemos tener en cuenta que

son tres fuerzas y que su suma debe ser cero

para estar en equilibrio, entonces deben

formar un tringulo cuyos lados F y P debenser perpendiculares para minimizar el ngulo

.

De esta forma, =15 y la fuerza

debe ser aplicada subiendo la

rampa.

15

x

y

W

P

F

Con esta informacin hacemos el diagrama

de cuerpo libre para calcular la magnitud F.


52/55

15

x

y

W

P

F

PP

0P

y

x

0F

FF

y

x

15cosmgW

15senmgW

y

x

015cosmgP

015senmgF

015cosmgP

015senmgF


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Ejemplo (Problema resuelto 2.9): Un cilindro de 200 kg se sostiene por medio de dos cables

AB y AC que se amarran en la parte alta de una pared vertical. Una fuerza horizontal P

perpendicular a la pared lo sostiene en la posicin mostrada. Determine la magnitud de P y

la tensin de cada cable.

Respuesta:


54/55

x

y

z

W

FAC

FAB

P

kF78.0jF09.0iF62.0F

k78.0j09.0i62.0AB

m86.12m10m2.1m8AB

km10jm2.1im8AB

ABABABAB

222

kF70.0jF08.0iF70.0F

k77.0j08.0i64.0AC

m19.14m10m2.1m10AC

k

m10j

m2.1i

m10AC

ACACACAC

222

jPP

kN1962kmgW

Respuesta:

jPP

kN1962W


55/55

jPP kN1962W

kF78.0jF09.0iF62.0F ABABABAB

kF70.0jF08.0iF70.0F ACACACAC

0N1962F70.0F78.0F

0F08.0F09.0PF

0F70.0F62.0F

ACABz

ACABy

ACABx

ACACAB F13.1F62.0

70.0F

0N1962F58.1N1962F70.0F13.178.0N1962F70.0F78.0 ACACABACAB

N96.1401FN67.1240N58.1

1962F ABAC

N82.223F08.0F09.0P ACAB

tema 6 equilibrio

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