UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADEscuela de Ciencias Bsicas, Tecnologa E Ingeniera Curso 100402 Probabilidad

TRABAJO COLABORATIVO 2PROBABILIDAD

DIEGO FERNANDO NIO NILTON YAIR PEAEDILBERTO BETANCOURTSERGIO ANDRS SALAZARVIOLETH LASSO V.

GRUPO: 8

TUTORHECTOR URIEL VILLAMIL GONZALEZ

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAUNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNAD-2014INTRODUCCINPara el desarrollo del siguiente trabajo nosotros como estudiantes de las diferentes escuelas tuvimos que revisar los siguientes contenidos especficos de la unidad 2 de variables aleatorias y distribuciones de probabilidad del mdulo de Probabilidad.

El desarrollo de esta gua est basado en problemas, cuyo propsito es alcanzar un mayor conocimiento en la solucin de variables aleatorias y distribuciones de probabilidad, en donde se reconoce el problema planteado en la gua, luego en grupo analizar y plantear soluciones y con el apoyo de los contenidos, ideas grupales se interactuara con los compaeros de curso desarrollando por fases un taller, los cuales les servir para darles aplicacin en las diferentes reas de preparacin como futuros profesionales.

DESARROLLO DEL TRABAJO

A- ASPECTOS TEORICOS: Resumen de la Unidad.

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIAUna variable aleatoria es pues, una funcin que asigna un nmero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Ellas se denotan con una letra mayscula, tal como X; es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultados de resultados en el espacio muestral, y es como una funcin porque transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numricas. Esta funcin asigna un nmero real a un resultado de un experimento aleatorio, es una variable que toma un determinado valor para concluir un resultado.Al transformar los resultados de un acontecimiento o experimento en un nmero real, est representando una probabilidad de diferente manera como se est llevando a cabo y de esta manera se permite un fcil entendimiento de experimento aleatorio.Ejemplo: Consideramos el lanzamiento de una moneda. El espacio muestral de este experimento aleatorio esta constituido por los resultados cara o sello.Si se define X (sello)= 0 Y X (cara)= 1, se transforman los dos posibles resultados del espacio muestral en cantidades numricas reales.De esta manera P(X=0) representa la probabilidad de que el resultado al lanzar la moneda es cara; y P(X=1) representa la probabilidad de que el resultado al lanzar la moneda es sello. VARIABLE ALEATORIA DISCRETAUna Variable Aleatoria Discreta surge de realizar un experimento aleatorio el cual es cuantificable, mientras que las continuas se basan en medir; una variable aleatoria X es discreta si solo puede tomar un conjunto numerables de valores, es discreta si el nmero de valores que puede tomar es finito o infinito contable.Esta variable consiste en actuar en una variable aleatoria solo si su resultado es contable, el cual se representa con nmeros enteros.Ejemplo: La numeracin de los premios de la ruleta, el cual representa el valor de la variable aleatoria en la tabla anterior; otro ejemplo podra ser el nmero de habitantes del departamento del valle del cauca. ESPERANZA MATEMATICA Y VARIANZA DE VARIABLES ALEATORIAS.

En estadstica la esperanza matemtica (tambin llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria, es el nmero que formaliza la idea de valor medio de un fenmeno aleatorio. Representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado nmero de veces. La esperanza matemtica de una variable aleatoria discreta se define como:

La esperanza matemtica de una variable aleatoria continua se define como:

Ahora, la varianza de una variable aleatoria es una caracterstica numrica que proporciona una idea de la dispersin de la variable aleatoria respecto de su esperanza. Decimos que es un parmetro de dispersin. La definicin es la siguiente:

Es, por tanto, el promedio terico de las desviaciones cuadrticas de los diferentes valores que puede tomar la variable respecto de su valor medio terico o esperanza. En el caso de las variables discretas, la expresin se convierte en:

Mientras que para las variables continuas tenemos:

TEOREMA DE CHEBYSSHEV.

La desigualdad de Chebyshev es un resultado estadstico que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita est a una cierta distancia de su esperanza matemtica o de su media. La desigualdad recibe su nombre del matemtico ruso Pafnuti Chebyshev. El teorema se expresa de cualquiera de las siguientes maneras:

Permite determinar los lmites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas sin tener que especificar sus funciones de probabilidad. Es aplicable a cualquier variable aleatoria con cualquier distribucin de probabilidad, ya sea discreta o continua.

DISTRIBUCIN BINOMIALDado un experimento aleatorio con n ensayos repetidos, tal que: Cada ensayo es independiente. Cada ensayo o es xito p o es fracaso q = (1 - p). La probabilidad de xito p de cada ensayo es constante.Para una variable aleatoria x que corresponde a la cantidad de ensayos de xito, la frmula de probabilidad binomial es:

Frmula de distribucin binomial acumulada:

Media y Varianza:

DISTRIBUCIN DE POISSONDado un intervalo de reales y una divisin en subintervalos pequeos, donde: La probabilidad de un subintervalo es 0, cuando hay mltiples aciertos. La probabilidad de ocurrencia en todos los subintervalos es la misma. Los conteos de las ocurrencias en los subintervalos son independientes.Entonces, un nmero promedio de ocurrencias en un intervalo real y una variable aleatoria x tienen como funcin de probabilidad:

Frmula de Poisson acumulativa:

La media y desviacin estndar son el mismo nmero promedio de ocurrencias .

DISTRIBUCIN UNIFORME CONTINUAEs la ms sencilla de las distribuciones continuas, surge al considerar una variable aleatoria que toma valores equiprobables en un intervalo finito. Su nombre se debe al hecho de que la densidad de probabilidad de esta variable aleatoria es uniforme sobre todo su intervalo de definicin.La distribucin uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad.Diremos que una variable aleatoria sigue una distribucin uniforme en un intervalo, consi la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor en cualquier sub intervalo es proporcional a la longitud del sub intervalo.La funcin de densidad es:Abreviadamente esta distribucin la indicaremos por:DISTRIBUCIN EXPONENCIAL Y CHI-CUADRADO

Chi Cuadrado() es una distribucin de probabilidad continuacon un parmetroque representa losgrados de libertadde lavariable aleatoria

Dondeson variables aleatoriasnormalesindependientesdemediacero yvarianzauno. El que la variable aleatoriatenga esta distribucin se representa habitualmente as: .

Distribucin exponenciales unadistribucin de probabilidadcontinua con un parmetrocuyafuncin de densidades:

Sufuncin de distribucinacumulada es:

Donderepresenta elnmero e.Elvalor esperadoy lavarianzade unavariable aleatoriaX con distribucin exponencial son:

La distribucin exponencial es un caso particular dedistribucin gammaconk= 1. Adems la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucin exponencial es una variable aleatoria expresable en trminos de la distribucin gamma.

B- EJERCICIOS

EJERCICIOS CAPITULO 4

EJERCICIO 1. Un inspector de aduanas decide revisar 2 de 6 embarques provenientes de Madrid por la va area. Si la seleccin es aleatoria y 3 de los embarques contienen contrabando; encuentre la distribucin de probabilidad para Y, donde Y es la variable aleatoria que representa el nmero de embarques que el inspector podra encontrar con contrabando. Encuentre el valor esperado.SOLUCION 1) Numeraos los embarques del 1-6, sean el 1,2 y 3 los que tienen droga y 4,5 y 6 los que no tienen droga. Las combinaciones posibles de inspeccin son C (6,2) = 6x5/2 = 15 las que no tienen ningn embarque con droga.Son las combinaciones de 4,5 y 6 C (3,2) = 3x2/2 = 3 las que tienen dos embarques con droga.Son las combinaciones 1,2 y 3 C (3,2) =3x2/3 = 3 las que tienen un embarque con droga.Las podemos calcular como el resto 15-3-3=9 O podemos calcularla como uno cualquiera de 1, 2,3 con otro de 4, 5,6 que seria.3 x3 =9 Luego la distribucin de probabilidad de Y es P (0) =3/15 =0.2 P (1)= 9/15 =3/5 =0.6 P (2) =3/15 = 1/5= 0.2 YEl valor esperado es E= 0x0.2 + 0.6x1 + 0.2x2 = 0 + 0.6 + 0.4 =1

EJERCICIO 2.- Se seleccionan al azar dos calcetines y de manera sucesiva, se sacan de un cajn que contiene tres calcetines cafs y cuatro verdes, Defina la variable aleatoria X que represente el nmero de calcetines cafs que se selecciona. Encuentre la funcin de probabilidad f(X), y el valor esperado E(X). SOLUCIN: X (Calcetines Cafs)=1X (Calcetines Verdes)=2Se transforman los dos posibles resultados del espacio muestral en cantidades numricas. De esta manera P(X=1) representa la probabilidad de que el resultado al sacar el calcetn sea caf. Valor Esperado: consideramos la distribucin de una variable aleatoria X.Ejercicio 2, Capitulo 4

X12

F(x)34

La medida est dada por: De manera que la probabilidad que se escoja un calcetn caf dentro de los 7, es de 11 posibilidades.

EJERCICIO 3.- En una lotera se venden 200 boletos, de los cuales uno gana $500.000, 2 son ganadores de $100.000, siete son ganadores de $50.000, cinco son ganadores de $20.000 y cincuenta de $5.000. Sea X la variable aleatoria que representa la ganancia del jugador, Determinar la funcin de probabilidad y el valor esperado del juego.

SOLUCION

La funcin de probabilidad es la siguiente:

F(x=500.000) = F(x=100.000) = F(x=50.000) = F(x=20.000) = F(x=5.000) =

Una explicacin sencilla acerca de la anterior funcin es; cuando (x = 500.000) entonces es igual a 1/200 pues el problema nos dice que tan solo 1 persona entre 200 podra ser la ganadora de $500.000, y as hacemos con los dems estimados, (X= 100.000) = 2/200, pues solo 2 personas son ganadores de $100.000.Ahora hallamos el valor esperado E(x) de la siguiente manera:E(x) = (0) + (500.000) + (100.000) + (50.000) + (20.000) + (5.000)E(x) = 0 + 2.500 + 1.000 + 1.750 + 500 + 1.250 E(x) = 7.000 Se multiplica entre 0, pues es el estimado de las personas que no ganaran nada El valor estimado del juego es de $ 7.000

EJERCICIO 4.-Un jugador lanza un dado corriente. Si sale un nmero igual o menor a 4, gana tantos cientos de dlares como marca el dado, pero si sale un nmero mayor a 4, pierde tantos cientos de dlares como marca el dado. Determinar la funcin de probabilidad y la esperanza matemtica del juego.SOLUCIONX$PX . P

11001/6100/6

22001/6200/6

33001/6300/6

44001/6400/6

5-5001/6-500/6

6-6001/6-600/6

Esperanza negativa

EJERCICIO 6.- Una variable aleatoria X representa el nmero de arrestos que puede tener un adolescente que ha presentado problemas judiciales. Si la funcin de probabilidad de la variable aleatoria est representada en la siguiente tabla. Cul es el valor esperado de esta variable?

Solucin:

Para desarrollarlo utilizamos la formula de valor esperado, tambin llamado media o esperanza matemtica:

EJERCICIOS CAPITULO 5EJERCICIO 1.En una clase de ciencias naturales de 12 alumnos se elegira un representante de grupo, para lo cual se usara el nmero de lista de cada alumno. Se anotan 12 papeles con nmeros del 1-12 respectivamente. Se doblan y se meten en un frasco. Luego se extrae al azar un papel para designar al representante.Determine la probabilidad de que el nmero que salga sea menor que 5.Determine la probabilidad de que el nmero sea mayor que 3 pero menor que 7.SOLUCIONP(A) = n/E Los casos posibles en este problema son 12. E=12Evento A: extraer un nmero menor que 5.n =4 (si sale 1, 2, 3,4)P(A)= 4/12 = 1/3 = 0.333 33.3%Evento B: extraer un nmero mayor que 3, pero menor que 7n = 3 (si sale 4, 5,6)P(A)= 3/12 = = 0.25 25%

EJERCICIO 2.- Segn datos de la secretaria de movilidad, el 23% de los conductores de buses urbanos manejan con imprudencia. Calcule la probabilidad de que cuatro de los prximos 10 buses que pasen sean conducidos con imprudencia.

SOLUCIN: X es una variable aleatoria que se distribuye como una binominal con p=0.23 y n=10.Sea X=4 buses que se conduzcan con imprudencia:

De manera que la probabilidad de que cuatro de los 10 buses que pasen sean conducidos con imprudencia en un 0.179%.

EJERCICIO 5.- En la inspeccin del pavimento y el asfalto de una calle de una zona lujosa de Bogot, se determin que hay aproximadamente un hueco cada cuatro kilmetros, por lo que el nmero de huecos promedio por kilmetro es de 0,25. Encuentre la probabilidad de que en un tramo cualquiera de dos kilmetros de pavimento se detecte mximo un hueco. SOLUCION

Si el nmero de huecos promedio por kilmetro es de 0.25, entonces en un tramo de 2 kilmetros, el promedio se duplica a 0.5 y la probabilidad de encontrar slo un hueco est dada por la distribucin de Poisson:

EJERCICIO 9.- La gerencia de recursos humanos de un peridico sabe que al acudir a cierta escuela a reclutar editores tendr xito con una probabilidad de 0,15. Determine la probabilidad de que la primera contratacin ocurra en la quinta entrevista?

Solucin:

Para solucionarlo utilizamos el principio de Distribucin Binomial Geomtrica:

Sea X la variable aleatoria correspondiente a la contratacin exitosa de un editor. Entonces X se distribuye geomtricamente con p=0.15.

EJERCICIO 15.- De un equipo de futbol se seleccionan al azar tres jugadores para un examen antidoping. Suponga que cuatro tomaron sustancias prohibidas antes del juego. Cul es la probabilidad de que los tres elegidos resulten positivos en la prueba?

SOLUCION

Para desarrollar este ejercicio debemos tener claro el concepto de distribucin hipergeometrica

Ahora esta distribucin tiene como variables f(x; N, k, n) la funcin est dada de la siguiente manera:

f(x; N, k, n) =

Sabiendo esto, damos valores a las variables:

N = 11n = 3k = 4P(x = 3)

f(3; 11, 4, 3) =

f(3; 11, 4, 3) =

Ahora aplicamos el trmino combinacin, se define de la siguiente manera

= Entonces:

f(3; 11, 4, 3) =

f(3; 11, 4, 3) = Realizando los clculos tenemos:

f(3; 11, 4, 3) =

f(3; 11, 4, 3) = = 0,0242 y este sera nuestro resultado 2,42%

EJERCICIOS CAPITULO 6EJERCICIO 1 La duracin de un tanque lleno de gasolina, para cierto automvil de modelo anticuado, tiene una distribucin normal con una media de 350.6 Km y una desviacin estndar de 15.9 Km. Cul es la probabilidad de que el tanque lleno dure ms de 360 Km? Cul es la probabilidad de que el tanque lleno dure entre 355 y365 Km?

SOLUCION La variable es una N (350.6; 15.9). Para poder buscar las probabilidades en una tabla N (0.1) usaremos la variable.Z= (X-350.6) /15.9P(X> 360) =1-P(X