solucion practico 3

8/3/2019 solucion practico 3

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METODOS CUANTITATIVOS APLICADOS A LA ADMINISTRACINAO 2005

Soluciones del Prctico 3PL : Mtodo Simplex y Teora de dualidad

Soluciones Prctico 3 -1 - H. Roche

Ej. (3.10)

1. Resolver Grficamente

3x1+x2=6 si x1=0, x2=6 o x1=2, x2=0x1-x2=2 si x1=0, x2= -2 o x1=2, x2=0

FO 2x1+x2=2x1=0, x2=2

x1=1, x2=0

SOLUCIN PTIMA x*1=1, x*2=3, z

*=5

Solucin del Prctico 3

Ejercicios Domiciliarios


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2. Tableaux del Simplex

La solucin ptima es :x*1=1x*2= 3z*=5

Ej. (3.11)

5 Productos P1, P2, P3, P4, P52 reas de Trabajo A1, A2

P1 P2 P3 P4 P5A1 p11 p12 p13 p14 p15 aA2 p21 p22 p23 p24 p25 b

Ganancia S1 S2 S3 S4 S5

1. Formular PL

xi= cantidad producida de cada producto

Max Z= x1S1+x2S2+x3S3+x4S4+x5S5s.r.

x1p11+x2 p12+x3 p13+x4 p14+x5 p15 a

x1p21+x2 p22+x3 p23+x4 p24+x5 p25 b

VAR.BSICAS #EC Z x1 x2 s1 s2 s3 LD

0 1 -2 -1 0 0 0 0s1 1 0 3 1 1 0 0 6 6/3=2s2 2 0 1 -1 0 1 0 2 2/1=2s3 3 0 0 1 0 0 1 3 3/0=no existe

0 1 0 -1/3 2/3 0 0 4x1 1 0 1 1/3 1/3 0 0 2 2/(1/3)=6s2 2 0 0 -4/3 -1/3 1 0 0 0/(-4/3)=0s3 3 0 0 1 0 0 1 3 3/1=3

0 1 0 0 2/3 0 1/3 5x1 1 0 1 0 1/3 0 -1/3 1s2 2 0 0 0 -1/3 1 4/3 4x2 3 0 0 1 0 0 1 3

empate, elijoarbitrariamente

Le sumo s1multiplicado por

2/3

Divido S1

entre 3

Le sumo S3

multiplicado 1/3

Divido S3

entre 1


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2. Tengo 5 variables y 2 restricciones

5variables-2restricciones = 3 grados de libertad

entonces por lo menos 2 variablessern positivas y 3 o ms sern cero

Conclusin: no voy a poder producir los 5 productos,a lo sumo voy a producir 2 (#restricciones)

Ej. (3.12)

i)

VAR.BSICAS #EC Z x1 x2 x3 s1 s2 LD

0 1 0 0 5 0 1 15s1 1 0 0 0,4 -0,2 1 -0,2 3

x1 2 0 1 0,6 1,2 0 0,2 3

Si bien no tenemos ningn coef. Negativo, por locual se detuvo la iteracin, si tenemos que uncoef. de la FO es cero (x2) y no es variable bsica(si lo son x1 y s1).

SOLUCIONESPTIMAS

ALTERNATIVAS

Entonces tenemos

Solucin ptima:x*1=3

x*2=0x*3=0z* =15


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ii)

Mi solucin ptima ser la combinacin lineal de los dos puntos encontrados

w1(3,0,0,3,0)+w2(0,5,0,1,0)

Ej. (3.13)

(a)

Forma Standard Ampliada

mx. z - 2x1 - 3x2 - 0x3 - 0x4 = 0

s.r. 4x1 + 8x2 +1x3 = 16

5x1 + 2x2 +1x4 = 6

x1, x2 0

VAR.BSICAS #EC Z x1 x2 x3 s1 s2 LD

0 1 0 0 5 0 1 15s1 1 0 0 0,4 -0,2 1 -0,2 3 3/0,4=7,5x1 2 0 1 0,6 1,2 0 0,2 3 3/0,6=5

0 1 0 0 5 0 1 15s1 1 0 -2/3 0 1 1 -1/3 1x2 2 0 5/3 1 2 0 1/3 5

Solucin ptima:x*1=0x*2=5x*3=0z* =15


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La solucin ptima es: x1*

= 1/2x2

* = 7/4

z* = 25/4

(b)

Forma Standard Ampliada

mx. z - 2x1 - 2x2 - 0x3 - 0x4 = 0

s.r. 4x1 + 8x2 +1x3 = 16

2x1 + 2x2 +1x4 = 6

x1, x2

0

var bs. z x1 x2 x3 x4 l.d.

z 1 -2 -3 0 0 0

x3 0 4 8 1 0 16 16/8 = 2

x4 0 5 2 0 1 6 6/2 = 3

z 1 - 1/2 0 3/8 0 6

x2 0 1/2 1 1/8 0 2 2/1/2 = 4

x4 0 4 0 - 1/4 1 2 2/4 = 1/2

z 1 0 0 11/32 1/8 25/4

x2 0 0 1 5/32 - 1/8 7/4

x1 0 1 0 -1/16 1/4 1/2

12

1

2


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Conjunto de soluciones ptimas:

w1 x (x1 =2; x2 =1) + w2 x (x1 =3; x2 =0) z* = 6

Ej. (3.14)

(a)

var bs. z x1 x2 x3 x4 l.d.

z 1 -2 -2 0 0 0

x3 0 4 8 1 0 16 16/8 = 2

x4 0 2 2 0 1 6 6/2 = 3

z 1 -1 0 1/4 0 4

x2 0 1/2 1 1/8 0 2 2/1/2 = 4

x4 0 1 0 - 1/4 1 2 2/1 = 2

z 1 0 0 0 1 6

x2 0 0 1 1/4 -1/2 1 1/1/4 = 4

x1 0 1 0 -1/4 1 2 2/-1/4 = -8

z 1 0 0 0 1 6

x3 0 0 4 1 -2 4

x1 0 1 1 0 1/2 3

12

1

2

3

3

var bs. n ec. z x1 x2 x3 x4 x5 x6 l.d.

z (0) 1 0 0 1 1

x2 (1) 0 1 0 1 -1

x4 (2) 0 0 1 -1 2

porque son variables bsicas


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A = b = c =

B-1 = cB = B =

Calculo:

b* = z* = 9 B-1A = cB B-1A c =

y con estos datos completo el cuadro:

Nota: los valores de las columnas x2 y x4 ya los conocamos pero los verificamos con el clculo de lasmatrices.

F.E.V. -

x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 3

(b)Ecuaciones de definicin para la solucin FEV ptima:

(1)x1 = 0

(2)4x1 + 2x2 + x3 + x4 = 5

(3)x3 = 0(4)3x1 + x2 + 2x3 +x4 = 4

4 2 1 1

3 1 2 1

5

4

4 3 1 2

1 -1

-1 2

3 2 2 1

1 1

13

1 1 -1 02 0 3 1

3 0 2 0

No estn en la base


z (0) 1 3 0 2 0 1 1 9

x2 (1) 0 1 1 -1 0 1 -1 1

x4 (2) 0 2 0 3 1 -1 2 3


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Ej. (3.15)

(a)

cB B-1A c = c = cB B

-1A -

c = + =

= + =

Los coeficientes de la Funcin Objetivo son: 120, 200, 180, 400

(b)

B-1 = B = 350 x =

A = B.B-1.A = X = = A

-200/7 0 -100/7 0 -200/7 0 -100/7 0

3/7 1 5/7 0

1/70 0 2/35 1200 400 200/7 0 100/7 0

640/7 200 1160/7 400 200/7 0 100/7 0 120 200 180 400

4/35 -1/35

-1/350 9/350

9/350 1/35

1/350 4/35

9 10

1 40

9 10

1 40

3/7 1 5/7 0

1/70 0 2/35 1

4 9 7 10

1 1 3 40


z (0) 1 -120 -200 -180 -400 0 0 0

x5 (1) 0 4 9 7 10 1 0 6000

x6 (2) 0 1 1 3 40 0 1 4000

A I Se Pide c)


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(c)

mx. z = 120x1 + 200x2 + 180x3 + 400x4

s.r. 4x1 + 9x2 + 7x3 + 10x4 6.000

x1 + x2 + 3x3 + 40x4 4.000

xi 0

(d)

b* = = B-1.b = xx = =

Ej. (3.16)

a) Problema Dual

Min Y = 12 y1 + y2

s.r.y1 + y2 -1 (1)

y1 + y2 -2 (2)

2 y1 - y2 -1 (3)

y1, y2 0

b)Funcin Objetivo

12y1 + y2 = 6

A

B

4/35 -1/35

-1/350 9/350

6.000

4.000

4.000 / 7

600 / 7

A

B


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Optimo del dual : y1* = 0

y2* = 0

Y* = 0

Primal: Z* = 0

Ej. (3.17)

a) Problema Dual

Min Y = 3 y1 + 5 y2

s.r.y1 2 (1)

y2 6 (2)

y1 + 2 y2 9 (3)

y1, y2 0

b)

Funcin Objetivo:3 y1 + 5 y2 = 15

Optimo del dual: y1* = 2

y2* = 6

Y* = 36

Precios sombra del primal:

y1* = 2

y2* = 6


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c) Forma standard ampliada

Z - 2 x1 - 6 x2 - 9 x3 = 0

x1 + x3 + x4 = 3

x2 + 2x3 + x5 = 5

VAR.BSICAS #EC Z x1 x2 x3 x4 x5 LD

z 0 1 -2 -6 -9 0 0 0

x4 1 0 1 0 1 1 0 3 3/1 = 3

x5 2 0 0 1 2 0 1 5

5/2

z 0 1 -2-

3/2 0 0 9/2 45/2

x3 1 0 1 0 1 1 0 3

3/1 = 3

x4 2 0 0 1/2 1 0 1/2 5/2 no existe

z 0 1 0 -3/2 2 2 9/2 57/2

x1 1 0 1 0 1 1 0 3 no existe

x4 2 0 0 1/2 1 0 1/2 5/2

(5/2) / (1/2)

z 0

1

0 0 5 2 6 36

x1 1 0 1 0 1 1 0 3

x2 2 0 0 1 2 0 1 5

Se verifica que los precios sombra del problema primal son 2 y 6


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Ej. (3.18)

a)


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b) Problema Dual

Min Y = - 2 y1 + 4 y2

s.r.- y1 + 4 y2 1 (1)

y1 + y2 2 (2)

y1, y2 0

c) Funcin Objetivo:- 2 y1 + 4 y2 = 4

Ej. (3.19)

a) Problema Dual

Max Y = y1 + y2

s.r.- 2 y1 + y2 1 (1)

y1 - 2 y2 2 (2)

y1, y2 0


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b) Como en el problema dual la funcin objetivo es no acotada, entonces en el problema primal

no existe solucin factible.

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