Fecha: 10/10/2012

Trabajo Nº 1

Sistemas de un grado de libertad

Profesor: Carlos Thielemann

Alumno: Gilson Quevedo

Objetivo

Lograr identificar que ecuaciones son las que gobiernan los movimientos de los distintos casos a

las cuales es sometido un sistema estructural simple, el cual es representado como un sistema de

un grado de libertad. Mediante planillas de cálculo de Excel, se deberán modelar cada uno de las

condiciones para la estructura, logrando de esta manera llegar a historias de gráficos de

desplazamiento, velocidad y aceleración en aquellos casos que corresponda. Se debe tener

especial énfasis en identificar los Sistemas de Vibraciones libres, Sistemas de Vibraciones Forzadas

y los sistemas de Vibraciones Transitorias.

El sistema estructural a ser analizado es el siguiente:

La masa del piso rígido es de 1000 Kg/m^2, mientras que el modulo de elasticidad del material es

de 25000MPa, el cual corresponde al Hormigón Armado.

Vibraciones Libres

a) Obtener la frecuencia natural y periodo del sistema.

1º Obtener Momento de Inercia:

( )

2º Reemplazar datos en:

3 º Masa del piso rígido:

4º Aplico Formula de Frecuencia Natural;

√

√

5º El periodo es;

b) Utilizando un Δt adecuado, graficar la historia de desplazamiento del sistema en vibraciones

libres no amortiguadas para un desplazamiento inicial Δ0=0.20 metros. Mostrar gráficamente el

periodo del sistema.

Gráficamente se puede ver que el periodo es el tiempo que transcurre desde un punto pick de la

curva hasta el siguiente punto pick.

c) Obtener la frecuencia natural amortiguada y periodo amortiguado del sistema.

La razón de amortiguamiento del Hormigón es:

Luego ocupando;

√ √

-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Libre no amortiguada

Luego el Periodo amortiguado:

d) Utilizando un Δt adecuado, graficar la historia de desplazamiento del sistema en vibraciones

libres amortiguadas para un desplazamiento inicial Δ0=0.20 metros. Comparar gráficamente con la

solución anterior.

-0,25

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración libre amortiguada x(t) ξ=5%

e) Utilizando un Δt adecuado, graficar la historia de desplazamiento del sistema en vibraciones

libres no amortiguadas para un impulso inicial de 485000 Ns. Mostrar gráficamente el período del

sistema y la máxima amplitud de la historia de desplazamiento. Calcular algebraicamente el valor

anterior.

Luego para obtener el resultado del periodo algebraicamente;

0.2809 s

La amplitud máxima viene dada por;

Donde n pertenece a los números naturales

-0,25-0,20-0,15-0,10-0,050,000,050,100,150,200,25

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Libre no amortiguada con impulso

f) Utilizando un Δt adecuado, graficar la historia de desplazamiento del sistema en vibraciones

libres amortiguadas para un impulso inicial de 485000 Ns. Comparar gráficamente con la solución

anterior.

Vibraciones forzadas armónicamente

Considerando que sobre el tope del piso rígido se ubica un estanque de agua cuadrado de 5

metros de lado, y que en la parte inferior del estanque hay una bomba que ejerce una fuerza

F0=90000 N con una frecuencia de 15 rad/s, como se muestra en la figura 2:

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Libre Amortiguada con impulso

g) Obtener la frecuencia natural y periodo del sistema.

Considerando que 1 L. de agua equivale a 1 kg y 1m^3 corresponden a 1000 Lts.

√

√

h) Calcular la altura “h” del agua para la cual se presentan las máximas fuerzas horizontales

inducidas por la bomba y el momento flector que producen estas fuerzas en las bases de las

columnas.

Para que se presenten las máximas fuerzas horizontales inducidas por la bomba, la estructura

debe entrar en resonancia, significa que la frecuencia de la fuerza externa (la bomba) debe

coincidir con la frecuencia natural de la estructura.

√

i) Utilizando un Δt adecuado, la altura de agua “h” calculada en el punto anterior y considerando

que el sistema parte del reposo, graficar la historia de desplazamiento del sistema en vibraciones

Forzadas amortiguadas.

Vibraciones forzadas transitorias

Considerando el estanque con una altura de 3 metros de agua, y que el sistema parte del reposo

cuando se ve sometido a los impulsos idealizados de corta duración que se muestran en la figura

3:

j) Utilizando un Δt adecuado, graficar la historia de desplazamiento del sistema en vibraciones

Forzadas amortiguadas para el impacto idealizado mediante el impulso mostrado en la figura 3a.

-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Forzada Amortiguada

Obtener las máximas fuerzas horizontales inducidas por el impacto y el momento flector que

producen estas fuerzas en las bases de las columnas.

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Forzada Amortiguada ζ=0,05 s

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Forzada Amortiguada ζ=0.1 s

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Forzada Amortiguada ζ=0,15

k) Utilizando un Δt adecuado, graficar la historia de desplazamiento del sistema en vibraciones

Forzadas amortiguadas para la explosión idealizada mediante el impulso mostrado en la figura 3b.

Obtener las máximas fuerzas horizontales inducidas por la explosión y el momento flector que

producen estas fuerzas en las bases de las columnas.

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Forzada Amortiguada ζ=0,2

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Forzada Amortiguada ζ=0,25

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Forzada Amortiguada ζ (sumadas)

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Forzada Amortiguada ζ=0,05 s

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Forzada Amortiguada ζ=0,1 s

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Forzada Amortiguada ζ=0,15 s

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Forzada Amortiguada ζ=0,20 s

Respuesta a un acelerograma (métodos numéricos)

Considerando el estanque con una altura de 3 metros de agua, y que el sistema parte del reposo

cuando se ve sometido a la aceleración basal que se muestra en la figura 4 (terremoto de

Newhall):

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Forzada Amortiguada ζ=0,25 s

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,000,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,005,255,505,756,006,25

x(t)

Tiempo (s)

Vibración Forzada Amortiguada ζ (sumadas)

l) Utilizando el método de la aceleración lineal, graficar las historias de desplazamiento, velocidad

y aceleración. Mostrar gráficamente los máximos valores y el instante en el cual ocurren.

m) Utilizando el método de las diferencias centrales, graficar la historia de desplazamiento.

Comparar con la solución obtenida en el punto anterior mediante la técnica de la aceleración

lineal.

Espectros de Respuesta (métodos numéricos)

-0,100

-0,050

0,000

0,050

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20de

sp

laza

mie

nto

(m

)

time(secs)

Historia de Desplazamiento

-1,000

0,000

1,000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Ve

loc

ida

d (

m/s

)

time(secs)

Historia de Velocidad

-20,000

0,000

20,000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

ac

ele

rac

ión

(m

/s2)

time(secs)

Historia de Aceleración

-0,200

0,000

0,200

0,000 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000 12,000 14,000 16,000 18,000 20,000

de

sp

laza

mie

nt

o (

m)

Tiempo (s)

Historia de Desplazamiento

n) Utilizando el método de las diferencias centrales, obtener los espectros de respuesta de

desplazamiento, pseudo-velocidad y pseudo-aceleración. Mostrar gráficamente los valores que

corresponden al sistema estudiado en el punto anterior.

o) Indicar para que altura de agua se obtendrían las máximas respuestas en términos de

desplazamiento, pseudo-velocidad y pseudo-aceleracion, considerando que la máxima altura de

agua es de 5 metros.

0,000

0,100

0,200

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

de

sp

laza

mie

nto

(m

)

Periodo(s)

Espectro de Desplazamiento

0,000

1,000

2,000

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2ve

loc

ida

d (

m/s

)

Periodo (s)

Espectro de Pseudo-Velocidad

0,000

20,000

40,000

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Ac

ele

rac

ión

(m

/s^

2)

Periodo (s)

Espectro de Pseudo-aceleración