apuntes anÁlisis de sistemas dinÁmicos - …marcoselgueta/analisis_sist_dinamicos/psaavedr... ·...

Departamento de Ingeniería Mecánica

APUNTES

ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS

PROFESOR

PEDRO SAAVEDRA G.

EDICIÓN CRISTÓBAL SCHEEL L.

ILUSTRACIONES JUAN PARRA O.

CRISTÓBAL SCHEEL L.

Análisis de Sistemas Dinámicos

Capítulo 1

Sistemas de un grado de libertad Sistema lineal: Ecuación diferencial que rige su movimiento es lineal. Ejemplo: )(tfkxxcxm =++

&&&

Propiedades:

1.- Principio de superposición: Si e B1B(t)→sB1B(t) e B2B(t)→sB2B(t)

... .. . entonces e B1B(t)+ e B2B(t)+... → sB1B(t)+ sB2B(t)+... La presencia de una excitación, no afecta la respuesta del sistema a otras excitaciones. 2.- En el estado permanente: La respuesta de un sistema lineal a una excitación armónica Ω, es a la misma frecuencia Ω. Si )()()(

00φ−Ω=→Ω= tsenXtxtsenFtf

Linealización de los sistemas para pequeñas oscilaciones respecto a su posición de equilibrio.

0,,

1

2 →

→→

etc

cos

sen

θθθθ

θθ

&&&&

Ejemplo:

(2

2

0

0

00

−+

+

=

) 0...!5!3

0

53

=−+

=

∑

θθ

θ

θθ

θ

θ

lmgI

senl

mgI

IM

&&

&&

&&

Para pequeñas oscilaciones: 02

0=+ θθ l

mgI &&


1.1- Componentes del modelo dinámico elemental

- Masa, m (concentrada en un bloque rígido). - Propiedades elásticas, k (resorte sin masa). - Disipación de energía o amortiguamiento, c (supuesto viscoso) - Fuente de excitación: f(t), fuerzas y/o momentos

x BbB(t), movimiento de la base.

Rigidez x

F

xx

F

nDeformació

Fuerzak

∆=

−==

12

lEAlFk

llEAF

E

=∆=→∆=

= εσ

LJGTk

GJTL

==→=

θθ

3

3

48

48

lEIFk

EIFl

==→=

δδ

21

111

kkkeq

+=

21kkk

eq+=


Amortiguamiento viscoso

)(

12vvcF −=

c : Coeficiente de amortiguamiento viscoso

Ecuaciones del movimiento

)(tfkxxcxm =++&&&


1.2.- Vibraciones libres ( f(t)=0 )

1.2.1.- Vibraciones libres y no amortiguadas ( f(t)=0 y c=0 )

Determinar el movimiento del sistema ideal cuando se le dá un desplazamiento y velocidad inicial (x B0B y B0B). x

&

Resolver:

P.V.I. 00

)0(;)0(;0 xxxxkxxm&&&&

===+ Solución: trtr

eCeCtx 21

21)( +=

Ecuación característica: m

kjrkmr ±=→=+ 0

2

tm

ksenBt

m

kcosAtx +=)( ;movimiento armónico simple

A y B se obtienen de las condiciones iniciales:

mktsenx

tcosxtxnn

n

n=+= ωω

ωω ;)( 0

0

&

(1-1)

( )00

2

0

2

00

0

tg

)()(

xx

xxX

tsenXtx

n

n

n

&

&

ωϕω

ϕω

=+=

+=

(1-2)

X B0B = Amplitud del desplazamiento, valor pico (m) T = Período del movimiento (s) f = 1/T = Frecuencia del movimiento (Hz) ωBnB = 2π fBnB = Frecuencia (circular) natural de vibrar (rad/s) ϕ = Ángulo de fase (rad) v = = Velocidad (m/s) x

&

a = = Aceleración (mP

2P/s) x

&&

v(t) = (t) = X B0BωBnBcos(ωBnBt + ϕ) = V B0Bsen(ωBnBt + ϕ + x&

2π )

a(t) = (t) = - XB0BωBnPB

2Psen(ωBnBt + ϕ) = A B0Bsen(ωBnBt + ϕ + x

&&π )


V B0B = Amplitud de la velocidad A B0B = Amplitud de la aceleración La velocidad y aceleración están adelantados respecto al desplazamiento en 90°

y 180° respectivamente.

ωBnB = m

k

- Solo depende de las características del sistema (k y m) - Si disminuye la rigidez del sistema, disminuye ωBnB

- Si aumenta la masa del sistema disminuye ωBn

1.2.2.- Vibraciones libres amortiguadas

Resolver:

P.V.I. : , , 0=++ kxxcxm&&& 0

)0( xx =0

)0( xx&&

= Ecuación característica : 02 =++ kcrmr

m

k

m

c

m

crr −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛±−=2

21

22,

Para que el sistema vibre, rBiB deben ser imaginarios ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛>2

2m

c

m

k

Definición = El máximo valor de c para que el sistema vibre se llama amortiguamiento crítico c BcB y vale:

2

2⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=m

c

m

k

ncmkmc ω22 == (1-3)

Es más cómodo expresar en función de 2 parámetros fáciles de medir:

ny ωξ

ξ = Factor de amortiguamiento = cc

c

(1-4)

1,2

21−±−= ξωξω

nnrr

Caso I: Amortiguamiento sub-crítico ( 1<ξ ) ⇒ Raíces complejas conjugadas ⇒ Existe vibración

( )tcosBtsenAetxdd

tn ωωξω += −

)(

A y B determinados de las condiciones iniciales x B0B y B0B x&

Luego:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= −

tcosxtsenxx

etxdd

d

ntn ωω

ωξωξω

0

00)(&

(1-5)


21 ξωω −=

nd= frecuencia natural de vibrar amortiguada

(

dd

ttseneXtx n ϕωξω += −

0)( ) (1-6)

( )2

2

002

00

d

nxx

xX

ωξω+

+= &

00

0tg

xx

x

n

d

d ξωωϕ+

=&

Efecto del amortiguamiento en las vibraciones libres

- Disminuir secuencialmente la amplitud de las vibraciones libres. - Disminuir la frecuencia natural de a .

nω

dω

En la práctica generalmente ξ < 0,2 y ≈ .

nω

dω

Decrecimiento logarítmico (δ) Una forma práctica de determinar el amortiguamiento es a partir de un registro de vibraciones como el indicado en la figura, midiendo el cuociente entre dos amplitudes X BnB y X Bn+1B.

Definición: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+1n

n

X

Xlnδ (1-7)

Los valores de X BnB y X Bn+1B ocurren en un tiempo t y t + TBdB respectivamente. Para ambos casos sen (ωBdBt + ϕBdB )≈1. Entonces:

( ) dn

T

Tt

t

Telne

eln dn

dn

n

ξωδ ξωξω

ξω

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= +−

−

21

2

ξπξδ−

= (1-8)

Para pequeños valores de ξ, δ ≈ 2πξ


Caso II: Amortiguamiento crítico (ξ = 1) ⇒ raíces reales e iguales ⇒ no existe vibración

nrr ξω−==21

( ) tnetAAtx

ξω−+=21

)(

introduciendo las condiciones iniciales: (1-9) ( )[ t

n

n

extxtxξωω −++=

001)(

&]

Caso III: Amortiguamiento sobre-crítico (ξ > 1) ⇒ raíces reales y desiguales ⇒ no existe vibración

1,2

21−±−= ξωξω

nnrr

trtr

eCeCtx 21

21)( +=

( ) ( )[ ]11)( 22 −+−= − ξωξωξωnn

t

coshBsenhAetx n (1-10)

Se observa que la respuesta no es oscilatoria. El cuerpo solo retorna hacia la posición de equilibrio.

1.2.3.- Estabilidad de un sistema

La estabilidad de un sistema se analiza para sus vibraciones libres. La solución de la ecuación: 0=++ kxxcxm

&&&

es: ,donde: st

Aetx =)( ωσ js += Planos s


Criterios de estabilidad

Una condición necesaria y suficiente para que un sistema sea estable, es que todas las raíces de la ecuación característica tengan partes reales negativas.

Analizando m

k

m

c

m

cr −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛±−=2

22

Esto sucederá cuando k y/o c sean negativos, es decir, no se oponen al movimiento, sino que lo ayudan. Ejemplo: Analice la estabilidad del péndulo invertido de la figura:

( )

ml

mgkl

m

kr

tmgkltml

mglkl

ml

mlmglll

k

IM

km

2

2

0)(2)(2

02

sencos2

sen2

2

2

2

2

00

−=−=

=−+

=−+

=+−

=

∗

∗

∗∗

∑

θθ

θθθ

θθθθ

θ

43421&&

&&

&&

&&

Si la rigidez efectiva k P

*

P es negativa, es decir si kl - 2mg < 0, el movimiento del péndulo será inestable por divergencia.


1.3.- Relaciones entre fuerzas y excitaciones

1.3.1.- Vibraciones forzadas con excitación armónica

tsenF Ω0

tsenFkxxcxm Ω=++

0&&&

( )( )

( )( )

44 344 21444 3444 21

particularSolucióniaestacionaropermanenteVibración

ogéneaSolucióntransienteVibración

dd

ttXtAetx n φϕωξω −Ω+−= −

sensen)(0

hom

A y ϕBdB se determinan de las condiciones iniciales

22

2

0

0

21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ω+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

=

nn

k

F

X

ωξ

ω

(1-11)

2

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

Ω

=

n

n

tg

ω

ωξ

φ (1-12)

Gráficas:


Respuesta estacionaria es armónica a la misma frecuencia Ω de la excitación.

La respuesta transiente desaparece rápidamente con el tiempo. A mayor

amortiguamiento más rápido desaparece. Derivando la ecuación (1-11) se obtiene:

2

0

0

12 ξξ −= k

F

maxX , para 221 ξω −=Ω

n

Para ξ pequeños QXestkF

X *2

máx

0

0==

ξ, para

nω≈Ω

k

FXest 0= ;es la respuesta estática, es decir, la respuesta del sistema a una fuerza

constante F B0B.

ξ21=Q ;es el factor de amplificación.


1.3.2.- Método del álgebra compleja

El uso del álgebra compleja generalmente simplifica el proceso de solución de la

ecuación diferencial.

La función puede ser representada como la proyección de

un vector X B0B que gira con velocidad angular Ω.

( φω += tsenXtx0

)( )

El vector rotatorio X B0B expresado en función de los ejes R, I es:

( ) ( ) ( ) tjjtjeeXeXtsenjXtcosXX

ωφφωφωφω00000

==+++= +r

tj

XeXω=

0

r

φj

eXX0

= = amplitud compleja

Por lo tanto puede ser expresado como: ( φω += tsenXtx

0)( )

( )tjXeImtx

ω=)( tj

Xetxω=)( (En la práctica generalmente se obvia escribir Im)

Aplicación en determinar la respuesta estacionaria si tjFetf Ω=)(

Por ser sistema lineal, la respuesta es a la misma frecuencia que la excitación: tj

XetxΩ=)( ; ; tjXejtx ΩΩ=)(

&

tjXetx

ΩΩ−= 2)(&&

Reemplazando en las ecuaciones del movimiento, se obtiene:

( ) tjtj FeXekcjm ΩΩ =+Ω+Ω− 2

kcjm

eFeXx

Fj

xj

+Ω+Ω−==

2

0

0

φφ

por lo tanto el módulo (igual a ecuación (1-11)):

( ) 22

2

0

2222

0

0

21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ω+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

=Ω+Ω−

=

nn

kF

cmk

FX

ωξ

ω


y las fases (igual a ecuación (1-12)):

22

1

2

)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

Ω

−=Ω−Ω−=−

n

n

FX

mk

ctg

ω

ωξ

φφ

si y , se tiene: 0=

Fφ φφ −=

X

2

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

Ω

=

n

n

tg

ω

ωξ

φ

Variación de la amplitud de la respuesta estacionaria X B0B con la frecuencia Ω

Variación de la diferencia de fase φ entre desplazamiento y fuerza con Ω

Resonancia:

Grandes amplitudes para Ω≈ωBnB. X B0B máx→∞ , si ξ→0. Cambio de fase del desplazamiento en ≈180° al pasar la resonancia. Amortiguamiento solo es efectivo en la zona resonante. Para Ω»ωBnB ; X B0B→0 . El cuerpo no vibra (f(t) se anula con las f de inercia).


Las cuatro fuerzas que actúan sobre el sistema deben estar en equilibrio:

0)( =−−− kxxcxmtf&&&

0)( 2 =−Ω−Ω+ kxxjcxmtf

Comportamiento resorte: Si Ω«ωBnB, ecuaciones (1-11) y (1-12) se transforman

en:k

FX

0

0≈ , °≈ 0φ

tsenk

Ftx

tsenFtf

Ω=

Ω=

0

0

)(

)(

La acción de la fuerza f(t) queda equilibrada principalmente por la fuerza elástica (deformación) del resorte. Zona resonante: Si Ω=ωBnB, ecuaciones (1-11) y (1-12) se transforman en:

nc

F

k

FX

ωξ00

0

2== , °= 90φ

)()(

)(

0

0

φ−ΩΩ

=

Ω=

tsenc

Ftx

tsenFtf

La acción de la fuerza f(t) queda sólo equilibrada por la acción del amortiguamiento.

Zona másica: Si Ω»ωBnB, ecuaciones (1-11) y (1-12) se transforman en:2

0

0 Ω≈m

FX ,

°≈ 180φ

tsenm

Ftx

tsenFtf

ΩΩ

−=

Ω=

2

0

0

)(

)(

La acción de la fuerza f(t) queda equilibrada principalmente por la fuerza de inercia, lo que hace que la deformación x del resorte sea pequeña.


1.3.3.- La función de transferencia y la función respuesta (en frecuencias)

La función de transferencia de un sistema lineal se define como la relación de la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen igual a cero. Para el sistema ideal de 1 grado de libertad:

)(tfkxxcxm =++&&&

( ) ( ) )()()0()()0()0()(2 tfskXxssXcxsxsXsm =+−+−− ++&

si: 0)0()0( == xx

&

222

2

11

)(

)()(

nnss

m

kcsmssF

sXsH

ωξω ++=

++==

Formas alternativas de la función de transferencia Diferentes funciones de transferencia son utilizadas en el análisis de vibraciones, dependiendo de si se usa el desplazamiento, velocidad o aceleración. Función de Transferencia

Compliancia dinámica

Receptancia =F

X

Flexibilidad dinámica

Movilidad = F

V

Acelerancia = F

A

Función de Transf. inversa Rigidez dinámica =

X

F Impedancia =

V

F Masa efectiva =

A

F

La función respuesta (en frecuencias) (FRF, Frequency Response Function), se define como la respuesta del sistema en el estado estacionario a una señal de entrada. Se representa por un complejo.

HjefHfH

φ)()( =

donde:

Su módulo, )(

)()(

0

0

fEfS

fH = , es la razón de amplitudes entre la salida y la

entrada a una señal senoidal. Su fase, , es el ángulo de desfase entre la salida y entrada.

ESHφφφ −=

Salida Sistema Lineal Entrada


Puesto que las transformadas de Fourier y Laplace están estrechamente relacionadas, especialmente cuando la función f(t) se define solo para t=0, como frecuentemente es el caso ¿ Por qué usar ambas transformadas?

∫∞ −=0

)()( dtetfsF st

∫∞

∞−= dtetfF tjωω )()(

La transformada de Laplace nos permite investigar la ubicación en el plano s de los polos y ceros, y por lo tanto su estabilidad. La función respuesta en frecuencia es la facilidad para determinarla experimentalmente. Formas de representación de las funciones respuestas 1.- Diagrama de Bodé: Módulo y fase v/s la frecuencia. 2.- Diagrama de Nyquist o polar: Parte real v/s parte imaginaria. 3.- Parte real e imaginaria v/s la frecuencia. EJEMPLO: Función Respuesta del sistema ideal

200= kgm

Par

:

01,02

503

1

207,125

3160

2

==

=

=−=

===

=

n

nnd

n

m

c

mNsc

Hzs

rad

mk

mkNk

ωξ

ωξωω

ω

a :0≈ΩkF

XfH

1)(

0

0 ==


1.4.- Amortiguamiento = disipación de energía - ¿Por qué se usa amortiguamiento viscoso en los modelos matemáticos cuando en la práctica es raro encontrarlo? - Facilita el análisis matemático. - Difícil de estimar el valor del amortiguamiento real. - El amortiguamiento tiene poco efecto en la respuesta forzada cuando se está alejado de resonancias o antiresonancias.

∞→→=0

0 Dξ

2,0=ξ

- Mecanismos de disipación de energía

- Rozamientos como el que ocurre en la conexión de elementos (Coulomb). - Fricción interna en el material o amortiguamiento estructural o histérico. - Resistencia de un cuerpo a moverse dentro de un fluido (aire por ejemplo). - Por radiación: por propagación de ondas en un medio infinito.(ejemplos: Boyas

en el agua, fundaciones de máquinas y estructuras)

Ejemplo: Fundaciones de máquinas

Pérdida de energía por propagación de ondas al ∞ (amortiguamiento geométrico).

- UAmortiguador viscoso equivalente para utilizar el modelo idealU

Para determinar C Beq

Bse iguala:

ciclopor disipada real Energía or viscosoamortiguad elpor disipada Energía

2

0 UdXCeq

=Ω43421

π (1-13)


- URoce de Coulomb U

←→ tsenF Ω0

tsenF Ω0

Energía disipada por ciclo debido al roce:

0

2

00

44

Xmg

CXCmgXUdeqeq Ω=→Ω== π

µπµ

Trabajo de la fuerza de

roce = Energía

disipada por ciclo

Energía disipada por ciclo en un material viscoelástico e histérico (A partir de curvas σ - ε) Resorte ideal

Amortiguador viscoso

1

)(1

)()(

)()(

2

0

2

0

22

0

22

0

2

0

0

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ω⇒

−Ω±=

−Ω±=

−Ω−Ω±=

−ΩΩ=−Ω=

X

x

Xc

Fd

xXcFd

xX

tsenX

tcosXtx

tsenXbx

φ

φφ

&


Material viscoelástico

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ Ω+=

=Ω+=

=Ω+=+=

∗

∗

Ω∗

Ω

kjc

kk

complejarigidezjckk

XekF

XejckxckxF

tj

tj

1

)(&

UAmortiguamiento histérico, sólido o estructural

Note que la trayectoria de carga es diferente a la de descarga

Atribuible a la fricción intermolecular. Similar al caso anterior, se puede expresar una rigidez compleja

histéricoientoamortiguam

deconstanteopérdidadefactor

jkk

=+=∗

ηη)1(

Aunque el factor de pérdida de un material depende de su composición, temperatura, esfuerzo, tipo de carga usado; un valor aproximado de η se puede obtener de la tabla siguiente:

Material η Aluminio puro 2x10P

-5P – 2x10P

-3P

Acero 0,001 – 0,008 Plomo 0,008 – 0,014

Fundición de fierro 0,003 – 0,03 Goma natural 0,1 – 0,3 Goma dura ≈ 1,0

Vidrio 0,0006 – 0,002 Concreto 0,01 – 0,06


Tabla comparativa amortiguamiento viscoso v/s estructural

Amortiguamiento viscoso Amortiguamiento estructural Ecuaciones del

movimiento tsenFkxxcxm Ω=++

0&&& tsenFxjkxm Ω=++

0)1( η

&&

Solución estacionaria

22

2

0

0

0

21

)(

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ω+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

=

−Ω=

nn

k

F

X

tsenXx

ωξω

φ

2

22

0

0

0

1

)(

ηω

φ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

=

−Ω=

n

k

F

X

tsenXx

Energía disipada por ciclo

2

0XcU

dΩ= π

Ω=→

=η

ηπk

c

kXU

eq

d

2

0

Frecuencia natural Decrece al aumentar c Independiente del valor de η Desplazamiento estático

k

FX

st

0=

2

0

1 η+=k

FX

st

Amplitud resonante

npara

kF

X

ωξ

ξξ2

2

0

máx0

1

12

−=Ω

−=

( )n

para

masaladenteindependie

k

FX

ω

η

=Ω

= 0

máx0

Desfase φBXB-φBFB=φ 2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

−=

n

tg

ω

ηφ

2

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

Ω−=

n

n

tg

ω

ωξφ


Ω= ηk

ceq

Ω

=Ω

==→ n

nc

eq

m

k

c

c ωηωηξ

22

Se observa que no es una constante, es función de Ω.

eqξ

Para amortiguamiento ξ<0,1 como es en la mayoría de los casos, no hay

diferencia al utilizar un valor constante de 2

ηξ = . Para mayores amortiguamientos hay

que usar el modelo de amortiguamiento real.


1.5.- Ejemplo de sistemas que pueden modelarse como el sistema ideal

de un grado de libertad

1.5.1- Conjunto de cuerpos rígidos donde las deformaciones del sistema se

generan en unos elementos resortes

Ejemplo: Determinar la amplitud de las vibraciones estacionarias del punto A de la placa de la figura.

A

tsenF Ω0

Se miden los z(t) a partir de su posición de equilibrio (no se considera por lo

tanto el efecto del peso). Se supone que la placa se comporta como rígida respecto al resorte.

fuerzaaFF

rigideza

kbk

dageneralizamasaba

bmcon

tsenFzkzm

tsenaFza

kbz

bab

zba

batsenFza

kb

atz

IatsenFbkb

IM

:

:

:3

:

3

3

)(

00

2

22

0

0

222

22

0

2

00

00

⋅=

=

+⋅⋅=

Ω=+

Ω⋅=+⋅+⋅⋅

⋅+⋅⋅=⋅Ω+−

⋅==⋅Ω+⋅−

=

∗

∗

∗

∗∗∗

∑

γ

γ

γ

θθθ

θ

&&

&&

&&

&&

&&


De la ecuación (1-11), con ξ=0:

2

2

0

2

0

22

0

0

111 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

=∗

∗

nn

n

akb

aF

k

F

k

F

Z

ωωω

3)(

22

2

bab

akb

m

kn +

== ∗

∗

γω

Tabla de rigideces:

lI

GJ

l

GJk

n== 2ω

k= rigidez a la torsión barra circular. J= momento polar de la sección transversal de la barra.

lM

EA

l

EAk

n== 2ω

k= rigidez al desplazamiento longitudinal de la barra.

3

2

3

33

ml

EI

l

EIk

n== ω

k= rigidez a la flexión de la barra en su extremo.

M

gAgA

l

lporEmpujek l

nl

ρωρ ==∆

∆= 2 k= rigidez


?)53,0408,0(30642

4

3

4

+==

lRnc

Edk

Rn

Gdk

el

t

e

nBeB= núk= rigidez al movimiento axial. kt= rigidez al movimiento transversal. c BlB= constante f(l,R)

=φϕθ kkkkkk

zyx,,,,, rigidez del suelo a los

movimientos en las direcciones φϕθ ,,,,, zyx

),,( geometríaGf

son υ

21

21

11

1

kkk

kk

k

eq

eq

+=

+=

k BeB= rigidez del eje al movimiento transversal. k BcB= rigidez carcaza. k BbB= rigidez base. k BsB= rigidez del suelo.

sbce kkkk

1111 +++eqk

1 =


1.5.2- Sistemas con características elásticas repartidas donde se puede

suponer una forma de deformación

Para establecer un modelo de un grado de libertad de un sistema continuo

elástico con características de masa y elasticidad repartidas a lo largo de él (teóricamente tiene ∞ grados de libertad), es necesario suponer una forma o modo de vibrar del cuerpo. La forma supuesta debe ser una función admisible (función que satisface las condiciones geométricas de borde y posee derivadas de un orden al menos igual a las que aparecen en la expresión de la energía de deformación). - Formas admisibles para la máxima deformación (amplitud) que toma la viga simplemente apoyada al vibrar:

l

xsenYxY

π0

)( =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= 1)(0

l

x

l

xYxY

- Formas no admisibles

No tiene derivada

No cumple con las condiciones de borde La deformación de la viga en cualquier tiempo t será entonces

)()(),( tvxYtxy ⋅= v(t)= desplazamiento generalizado (variable a determinar)

Método de Rayleigh

El objetivo del método es estimar en forma rápida la frecuencia fundamental de vibrar de un sistema mecánico. Los pasos a seguir son:

1.- Suponer una forma de deformación máxima. 2.- Escribir la igualdad (considerando el sistema conservativo)

E BcBmáx (en su posición de equilibrio)=E BpBmáx (posición de máxima deformación) (1-14)


Ejemplo: Determinar la frecuencia fundamental ωB1B de la viga uniforme de la figura:

xπ

m

k

kYYm

máxEmáxE

kYmáxE

Ym

máxymmáxE

tcosYy

tsenYty

n

n

pc

p

n

c

nn

n

=

=

=

=

=

=

==

2

2

0

2

0

2

2

0

2

0

2

2

0

0

2

1

2

2

1

2

)(2

1

)(

ω

ω

ω

ωωω

&

&

Notas: 1.- Si se hubiese asumido como forma

sl

x

l

xYtxy0

1),( ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

se obtiene:

3

2

1

120

ml

EI=ω (2

Cuando se usa la verdadera

frecuencia correcta. Para otra curva lala correcta. Esto se explica por el hecrequiere restricciones externas adicionun efecto rigidizante que aumenta ωBiB.

33

4

0

2

0

2

2

2

2

1

0

2

2

2

0

2

2

1

11

1

0

4,97

)(

2

1

)(2

2

1

)(

,)(),(

,)(

ml

EI

ml

EI

dxl

mxY

dxdx

ydEI

máxEmáxE

dxdx

ydEImáxE

dxl

mxY

dmmáxymáxE

tcosxYy

t cualquier en nDeformaciótsenxYtxy

máximanDeformaciól

senYxY

l

l

pc

l

p

l

c

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

=

==

=

∫

∫

∫

∫

∫

πω

ω

ωωω

&

&

de deformación una parábola:

ten1

ω

0% mayor que el valor anterior)

curva de deformación máxima se obtiene la frecuencia determinada será siempre mayor que

ho que cualquier desviación de la verdadera curva ales actuando sobre el sistema. Esto se traduce en


2.- Comparando este resultado con un método de discretización, que se verá posteriormente, consistente en considerar concentradas las masas en los extremos de barras, se obtiene:

3

2 96

ml

EIn=ω

3.- Masas concentradas: El método de Rayleigh puede utilizarse para determinar la frecuencia fundamental de una viga o eje con masas concentradas, utilizando la curva de deformación estática debido a fuerzas iguales a los pesos de las masas concentradas.

)(2

1

)(2

1

332211

2

33

2

22

2

11

2

1

yMyMyMgmáxE

yMyMyMmáxE

p

c

++=

++= ω

∑

∑=2

2

1

ii

ii

yM

yMgω (1-15)

Resolución del ejemplo utilizando las ecuaciones de Lagrange:

3

4

2

0

3

2

0

4

2

3

2

0

42

0

0 0

3

2

0

242

04

242

2

2

2

0

2

0

2

0

2

0

22

0

2

2

022

422

1

4

)(

2

)()()(

2

1

:)()()()(),(

ml

EI

mY

l

YEI

ql

YEIq

mY

Qq

E

q

E

dt

d

l

YqEIdx

l

xsenY

l

qEIdx

x

yEIE

mYtqdx

l

xsenY

l

mtqdx

l

mtqxYE

dageneralizavariableoincógnitatqtql

xsenYtqxYtxy

q

pc

l l

p

ll

c

ππ

ω

π

πππ

π

π

==→

=+

=∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

==

∫ ∫

∫∫

&&

&

&&

&


1.6.- Vibraciones forzadas por movimiento de la base Las vibraciones pueden ser generadas no solo por fuerzas variables en el tiempo, sino que también por movimiento de sus puntos de apoyo (sismos, transmisiones de una máquina a otra, etc.). Supongamos que la base del resorte y amortiguador se mueven con x BbB(t). Ecuaciones del movimiento: 1.- En función del desplazamiento absoluto x(t)

)(

0)()(

tfkxxckxxcxm

xxkxxcxm

bb

bb

∗=+=++

=−+−+

&&&&

&&&&

( ) ( )ffbbb

bbbb

tsenFtsenkcXtsenkXtcosXctf

tcosXxtsenXxsi

φφ +Ω=+Ω+Ω=Ω+ΩΩ=→

ΩΩ=Ω=∗∗

0

222)(

;:&

De la ecuación (1-11):

22

2

2

22

2

222

0

21

21

21 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ Ω+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ω+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

+Ω=

nn

n

b

nn

b

Xk

kcX

X

ωξ

ω

ωξ

ωξ

ω

(1-17)

2.- En función del desplazamiento relativo x BrB(t) Reemplazando )()()( txtxtx

rb+=

Se obtiene )(tpxmkxxcxm effbrrr =−=++

&&&&&

:)(tpeff representa la carga efectiva debido a la excitación de los apoyos.

Nota: Para la determinación de esfuerzos en los elementos elásticos es más útil expresar las ecuaciones del movimiento en función de los desplazamientos relativos a la base.


Ejemplo:

Estanque de masa M soportado por una barra circular de diámetro d. Determine el máximo esfuerzo sobre la barra cuando actúa un terremoto horizontal: x BbB=X BboBsenΩt. Considere sólo el movimiento estacionario.

tsenXMxMtf

bbΩΩ=−=

0

2)(

&&

3

6

l

EIFk ==

ϕ

2

2

2

0

2

11 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

Ω=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

==

ΩΩ=−=+

n

bo

n

ro

bobrr

kMX

kF

máximorelativoentodesplazamiX

tsenXMxMkxxM

ωω

&&&&

Para desplazamiento X BroB es equivalente que actúe F B0B=k X BroB, y por lo tanto:

22

2

00

1

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

Ω==

n

b

kI

dMlX

I

dlF

ω

σ


Aplicación: Aislamiento de vibraciones Podemos distinguir dos clases de problemas de aislación de vibraciones: 1.- Reducir la magnitud de la fuerza transmitida de una máquina a su base soporte, figura a. 2.- Reducir la magnitud del movimiento vibratorio transmitido desde la base de apoyo a un equipo, figura b.

figura a

figura b

Ejemplo:

Figura a. Sea F=F B0BsenΩt una fuerza que se genera en una máquina. Para evitar que se transmita en toda su magnitud a su base de apoyo se coloca un elemento resiliente o elástico entre base y máquina. Se desea determinar la rigidez k y amortiguamiento c de dicho elemento. F BtB= fuerza transmitida a la base por el elemento elástico.

( ) ([ ])2

0

222

00

0

21

cossen

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+=Ω+==

−ΩΩ+−Ω=+=

n

tt

t

kXckXFF

tctkXxkxcF

ωξ

φφ

r

rr&

r

22

2

2

0

0

21

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+

=

nn

n

t

F

Fluego

ωξ

ω

ωξ

(1-18)


De la curva anterior se observa:

- El aislamiento sólo se produce para 2>Ωn

ω , sino se produce una

amplificación . - Un elemento elástico sin amortiguamiento es más efectivo que uno con amortiguamiento. Sin embargo, una máquina que pase lentamente a través de la resonancia requiere del amortiguamiento. - A mayor

nωΩ , menor es la transmisibilidad, es decir, ωBnB y por lo tanto k debe

ser lo más bajo posible. Esto está limitado, sin embargo, por el desplazamiento estático debido al peso : <= kmgX

estespacio entre espiras en un resorte.

Ejemplo:

Figura b. Sea el movimiento de la base donde se va a montar una

máquina. Se desea que el movimiento de la máquina, es decir el de la masa m sea lo menor posible. Para eso se coloca un elemento elástico entre base y máquina. Determinar k y c de dicho elemento.

tsenXxbb

Ω=0

El movimiento de la masa m, queda expresado como:

bbkxxckxxcxm +=++

&&&&

y su solución, por la ecuación (1-17):

( )( )[ ] ( )

TRX

X

nn

n

b

=Ω+Ω−

Ω+=

222

2

0

0

21

21

ωξω

ωξ (1-19)

expresión idéntica a la ecuación (1-18).


1.7.- Vibraciones forzadas con fuerza periódica cualquiera Vamos a ver que es posible utilizar las mismas ecuaciones anteriores para determinar la respuesta del sistema a una excitación periódica cualquiera. Para ello: 1.- Expresar la excitación en una serie de Fourier. 2.- Si el sistema es lineal, utilizar el principio de superposición: la respuesta total del sistema será la suma de las respuestas debido a cada término de la serie. Una función periódica x(t), de período TB0B y frecuencia

001 Tf = , se expresa mediante

una serie de Fourier:

( )

"":

"":

2)(2

2)(2

:)(1

222)(

22

0

0

0

0

0

0

00

0

1

00

1

0

1

00

0

0

0

narmónicaladeFaseb

atgarc

narmónicaladeAmplitudbaX

dttfnsentxT

b

dttfncostxT

a

medioValordttxT

a

tfnsenXatfnsenbtfncosaatx

n

n

n

nnn

T

n

T

n

T

n

nn

n

n

n

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

=

=

=

++=++=

∫

∫

∫

∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

ϕ

π

π

ϕπππ

(1-20)

)2()(000

ϕπ ++= tfsenXxtx


- Espectro (en frecuencias) de una función, es la representación de su contenido

frecuencial. - Se observa que el espectro de una función periódica es un espectro a rayas, a frecuencias discretas nfB0B (n=1,2,3...). - Una función no periódica puede ser considerada como periódica de periodo TB0B=∞. El intervalo de frecuencias tiende a cero y el espectro llega a ser continuo. Se calcula por su Transformada de Fourier:

∫∞

∞−

−= dtetxfx ftj π2)()(


1.8.- Respuesta a una excitación dinámica cualquiera

La respuesta del sistema ideal a una fuerza excitadora cualquiera puede determinarse siguiendo los pasos siguientes: 1.- Considerar la fuerza arbitraria como una serie de impulsos (como el achurado para t=η) y determinar la respuesta a cada impulso.

2.- Utilizar el principio de superposición (sistema lineal) para sumar la contribución de cada impulso.

1.8.1.- Respuesta a una impulso ( ) Iˆ

Una fuerza impulsiva es una fuerza de gran magnitud que actúa durante un tiempo muy pequeño. El impulso es: Iˆ

∫= dttfI )(ˆ

Cuando 0→ε e , se denomina el impulso unitario o la función delta δ.

1ˆ =I

La acción de un impulso es comunicarle al sistema una velocidad inicial mIx ˆ)0( =

& y por lo tanto la respuesta del sistema ideal será (ecuación (1-5)):

tsenem

Itsene

xtx

d

t

d

d

t

d

nn ωω

ωω

ξωξω −− ==ˆ)0(

)(&

1.8.2.- Respuesta impulsional h(t)

Se define como la respuesta del sistema a un impulso unitario. Por lo tanto, para el sistema ideal:

tsenm

eth

d

d

tn

ωω

ξω−

=)( (1-21)


1.8.3.- Respuesta a una excitación arbitraria

La contribución del impulso achurado en el tiempo t=η a la respuesta en el tiempo t es:

)()()( ηηη −⋅= thdftx

La respuesta a la excitación arbitraria será (utilizando el principio de superposición):

∫ ∗=−=t

thtfdthftx0

)()()()()( ηηη

(1-22)

Esta es la integral de convolución, superposición o de Duhamel (∗ indica

producto de convolución). Nota: Debe tenerse presente que la ecuación (1-22) da la respuesta total, es decir la respuesta transiente más la respuesta estacionaria. Ejemplo:

Determine la respuesta total del sistema ideal no amortiguado a una fuerza . tsenFtf Ω=

0)(

1.- Utilizando las ecuaciones (1-1) y (1-11):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−Ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

Ω

−=→Ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

+=

=→==

Ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

++=

tsentsenk

F

tx

k

F

Ak

F

A

Bx

xsi

tsenk

F

tscoBtsenAtx

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

ωωω

ω

ω

ω

ω

ω

ωω

2

0

2

0

2

0

2

0

1

)(

11

0

00)0(

0)0(:

1

)(

&


2.- Utilizando la integral de Duhamel:

[ ]

[ ] [ ]

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−Ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

=

−−Ω+−+Ω=

−−+=⋅

−Ω=−=

∫∫

∫∫

tsentsenkF

tx

dtcosdtcosm

Ftx

BAcosBAcosBsenAsenutilizando

dm

tsensenFdthftx

n

n

n

t

n

t

n

n

t

n

n

t

ωωω

ηηωηηηωηω

ηω

ηωηηηη

2

0

00

0

0

0

0

1

)(

)()(2

)(

)()(2

1:

)()()()(

Resumen representación sistemas en dominio tiempo y dominio frecuencias.

Dominio Tiempo Dominio Frecuencias

1.8.4.- Excitación impulsiva (o de impacto)

¿Qué es la fuerza de impacto? No existe una definición clara, generalmente se

llama a una “transferencia rápida de energía” o “aplicación rápida de una fuerza”. “Rápida” es generalmente referida a su período natural de vibrar. Espectros respuesta: Para fines de diseño el ingeniero está generalmente interesado en el desplazamiento máximo. El gráfico de los espectros de respuesta o de choque es un gráfico ( )

estXXkFX

máx0máx= , debido a una fuerza impulsiva de un cierto valor

máximo F B0B y duración TB0B versus n

TT0

con ξ como parámetro.


Ejemplo: Determinar X BmáxB (máximo desplazamiento del sistema ideal no amortiguado)

cuando actúa un pulso senoidal de amplitud F B0B y duración TB0B. Fase I: Mientras actúa la fuerza:

02

0

0

0

0

00

0

0

0

1

)(

)(

Tt

tsentsen

k

Ftx

tsenFT

tsenFtf

n

n

n ≤≤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=

==

ωω

ωωωω

ωπ

Fase II: Vibraciones libres con condiciones iniciales: x(TB0B), )(

0Tx

&

)1(

1

)(

1

)(

)()(

)(

02

0

00

0

0

0

2

0

0

0

00

0

Tcos

k

FTx

Tsen

k

FTx

TttcosTxtsenTx

tx

n

n

n

n

n

nn

n

ω

ωωω

ωωω

ωω

ωωω

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=

≥+=

&

&


Espectros respuesta


Es aparente que para cortas duraciones del impulso, digamos 20 n

TT < , lo

importante es el valor del impulso y la forma del impulso tiene menor efecto. Esto trae como consecuencia que en la práctica impulsos con 2

0 nTT < sean considerados como

velocidad inicial dado al sistema:

∫ ∫==0 0

0 0

)(1)(

T T

idttf

mdt

m

tIv , para el caso de una fuerza impulso.

, para un movimiento de la base aBbB(t). ∫=0

0

)(

T

bidttav

El factor de impacto raramente es mayor que 2.

Terremoto de El Centro, California, 18 de Mayo de 1940. (″Shock Vibration Handbook″, Cyril M. Harris, 3° ed., pag. 24-5, 24-7)

(A) Aceleración del terreno. (B) Variación de la velocidad del terreno, obtenida por integración de (A). (C) Variación del desplazamiento del terreno, obtenido por integración de (B).


Espectro de respuesta para sistemas elásticos sujetos al terremoto de El Centro, para varios valores de factor de amortiguamiento ξ.

Valores máximos de las gráficas: dm = 8,3 pulg.

vm = 13,7 pulg/s

am = 0,32g

Movimientos relativos de la masa m: D = amplitud del desplazamiento relativo V = pseudo - velocidad (movimiento supuesto armónico) = ωBnBD A = pseudo - aceleración = ωBnBV = ωBnPB

2PD

Nota: Un sistema de ωBn

Bbajo corresponde a una masa grande y resorte poco rígido. En este caso 0,1→dmD ; es decir , máxima deformación en el resorte = máximo

desplazamiento del suelo (el suelo se mueve relativo a la masa y ésta no tiene tiempo para moverse). En el otro extremo para ωBn

Baltos y resortes rígidos, la masa y suelo se mueven de la misma manera (tiene igual aceleración).


Ejemplo: Determine para el sismo de El Centro: a) Desplazamiento relativo máximo b) Fuerza de corte máximo.

05,0

.1840

.1500

=

=

=

ξpie

lbk

lbm

Hzf n

n1

2

15002,321840

2=

×==

ππω

a) del gráfico

gAam

A

lgpuDdm

D

38,032,02,12,1

.32,33,84,04,0

=×=→≈

=×=→≈

b) 22

68401238,01500s

pielb

s

pielbmAkDf

s=××===


Capítulo 2

Sistemas de N grados de libertad

2.1.- Ecuaciones del movimiento

Los sistemas de N grados de libertad pueden escribirse en forma matricial.

[ ] [ ] [ ]

[ ][ ][ ][ ] entodesplazamiVectorx

externasfuerzasVectorf

rigidezdeMatrizK

ovisientoamortiguamdeMatrizC

masasdeMatrizM

FxKxCxM

:

:

:

cos:

:

=++&&&

Ejemplo:

( )

( )tfkxkxxcxcxm

tfkxkxxcxccxm

22112222

1212212112

=+−−+=−+−++

&&&&

&&&&( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

)(

)(2

0

0

2

1

2

1

2

1

22

221

2

1

tf

tf

x

x

kk

kk

x

x

cc

ccc

x

x

m

m

&

&

&&

&&


2.2.- Vibraciones libres no amortiguadas

[ ] [ ] 0=+ xKxM

&&

Las soluciones son de la forma:

( ) rt

iieXtx = (2-1)

( ) rtrt

nn

eXtxe

X

X

X

tx

tx

tx

=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

...

)(

...

)(

)(

2

1

2

1

(2-2)

Ecuación (2-2) en (2-1):

[ ] 02 =+ XKMr (2-3)

La solución no trivial de este sistema de ecuaciones se obtiene para los valores de r que satisfagan la ecuación característica:

[ ] 0det2 =+ KMr (2-4)

Ejemplo:

02

det2

2

=+−

−+kmrk

kkmr

( )( )

03

02

2

2

24

2222

=++

=−++

m

kr

m

kr

kkmrkmr

jjm

kr

mkr

jjm

kr

mkr

22

2

2

11

2

1

618,1618,2

618,0382,0

ω

ω

±=±=→−=

±=±=→−=

21, rr = valores propios, eingenvalores

21,ωω = frecuencias naturales de vibrar


2.2.1.- Modos de vibrar o vectores propios

Son los vectores determinados por la ecuación (2-3) que corresponden a cada

valor propio. Ejemplo:

1221

21

2

1

618,10618,0

0618,1

:382,0

xxxkx

kxkx

m

krpara

=⇒=+−=−

−=

1221

21

2

2

618.00618,1

0618,0

:618,2

xxkxkx

kxkx

m

krpara

−=⇒=−−=−−

−=

Normalización de los modos: Los valores x BiB obtenidos no son independientes. Si hay x BiB valores, existen i-1 ecuaciones independientes. Para determinar un valor hay que agregar una nueva ecuación, lo que se llama normalización. 1.- Hacer una de las componentes igual a 1.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⇒=

618,0

1

618,1

11

2

2

2

12

1

2

1

11

1

X

XX

X

XXxSi

:j

iX Amplitud de masa i cuando vibra con el modo j.

2.- Hacer su longitud igual a uno.

( )

( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=→=−+→

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=→=+→=+

=→=++=

526,0

851,01618,0

851,0

526,01618,11

0,10,1...

222

1

2

1

121

1

1

1

2

2

2

1

22

2

2

1

XXX

XXXXX

XXXXXXT

n


3.- Hacer el producto X P

TPMX =1,0.

0,122

2

2

2

1

2

1

21=+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡mxmx

x

x

m

m

xx

( )

21

2

21

11

2

22

1

2

1

465,0

753,0

648,0

40,0160,00,1618,12

−

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=→=→=+

mX

mXm

xxmmx

2.2.2.- Ecuaciones del movimiento

Si el sistema vibrara sólo con el modo entonces de ecuación (2-

2):

( ,ss

rr ωω == )

( ) ( ) s

sssssXtcosBtsenAtx ωω += (2-5)

En el caso general: El sistema vibra con una combinación lineal de los modos:

( ) ( ) ( ) ∑∑==

+==N

s

s

ssss

N

s

sXtcosBtsenAtxtx

11

ωω

La solución para el caso i, será:

( ) ( )∑=

+=N

s

s

issssiXtcosBtsenAtx

1

ωω (2-6)

para sistemas amortiguados:

( ) ( )∑=

− +=N

s

s

idssdss

t

iXtcosBtsenAetx ss

1

ωωωξ (2-7)

Ejemplo: Determinar x B1B(t) y x B2B(t) Si: ( )( ) ( ) ( ) 0000

0

212

101

====

xxx

xx

&&

Se había determinado : ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=618,0

1;

618,1

1

2

2

1

22

2

1

1

11

X

XX

X

XX

Aplicando ecuación (2-6):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2

22222

1

211112

2

12222

1

111111

XtcosBtsenAXtcosBtsenAtx

XtcosBtsenAXtcosBtsenAtx

ωωωω

ωωωω

+++=

+++=


Usando las condiciones iniciales: ( )( )( )( )

22112

22111

212

2110101

618,0618,1000

000

618,0618,1000

0

ωωωω

AAx

AAx

BBx

BBxxx

−=→=+=→=

−=→=+=→=

&

&

0

724,0

276,0

21

102

101

==→=→=→

AA

xB

xB

( ) ( )( ) ( )tcostcosXtx

tcostcosxtx

21102

21101

446,0446,0

724,0276,0

ωωωω

−=+=

( ) ( )( ) 2

210

1

110

2

1724,0276,0 XtcosxXtcosx

tx

txtx ωω +=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= ⇒ El sistema vibra con una combinación (ponderada) de sus modos de vibrar Modo X P

1P

Deformación inicial

⇒ El modo que más participa en ldeformación inicial. Si la deformación sólo con ese modo (“condiciones apropi

0,276 x B10B X P

1P

a vibración será el que es preponinicial es la forma de un modo el sadas”).

Modo X P

2P

0,724 x B10B X P

2P
=
+

+

derante en la istema vibrará


2.3.- Vibraciones forzadas sin amortiguamiento

2.3.1.- Método directo

Para excitaciones armónicas, la respuesta estacionaria puede ser determinada

usando el álgebra compleja. Para esto hay que reemplazar en las ecuaciones del movimiento:

( )

( )( )

( )tj

ii

tj

ii

tj

ii

tj

ii

eXtx

ejXtx

eXtx

eFtf

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω−=

Ω=

=

=

2

&&

&

y resolver el sistema de ecuaciones resultantes. Ejemplo: Determinar x B1B(t) y x B2B (t) estacionarios

tsenFtF Ω=01

)(

mk

mk

618,1

618,0

2

1

=

=

ω

ω

0

2

212

0211

=+−Ω=−+

kxkxxm

tsenFkxkxxm

&&

&&

Reemplazando:

( )( ) tj

ii

tj

ii

tj

eXtx

eXtx

eFtsenF

Ω

Ω

Ω

Ω−=

=

=Ω

2

00

&&

( )

( ) 0

2

2

2

1

02

2

1

=Ω−+−

=−+Ω−

XmkKX

FkXkmX

( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−Ω⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−Ω

Ω−=

∆Ω−

−

=⇒

4342143421

2

2

2

1

618,2382,0

0

222

2

0

2

0

1

ωω

mk

mkm

mkFmk

kF

X


( )( )22

22

1

22

0

0

2

2

0

2

ωω −Ω−Ω−

=∆

−Ω−

=m

kFk

Fmk

X

( )( )

( )( )m

km

km

m

k

m

km

kmkmkmkk

kmk

618,2382,0

3

22

222

2

2

242

222

2

2

−Ω−Ω=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Ω−Ω=

−Ω−Ω−=Ω−−

−Ω−=∆

( ) ( )( )( ) tsen

m

mkFtx Ω

−Ω−ΩΩ−

=2

2

22

1

22

2

0

1 ωω

- Sistema de N=2 grados de libertad tiene N=2 frecuencias naturales. - Cuando la frecuencia de la excitación Ω coincide aproximadamente con cualquiera de las se generan grandes amplitudes de vibración → Resonancia.

iω


2.3.2- Método modal

Las coordenadas x B1B, x B2B elegidas para definir el movimiento del sistema están

acopladas, en el sentido en que ambas coordenadas aparecen en cada ecuación y por lo tanto si varía x B1B, varía también x B2B.

0

02

212

211

=+−=−+

kxkxxm

kxkxxm

&&

&&

Sin embargo, siempre es posible en un sistema no - amortiguado encontrar un

sistema de coordenadas, qBiB, sin ningún tipo de acoplamiento o desacopladas, llamadas coordenadas principales. Propiedades de ortogonalidad de los vectores propios:

Consideremos dos modos cualesquiera i y j. De ecuación (2-3)

[ ] [ ] XXK2Ω−= ; 22

iir−=ω

(2-a) [ ] [ ] i

i

iXMXK

2ω=

(2-b) [ ] [ ] jj

jXMXK

2ω=

(2-c) Premultiplicando ec.(2-a) por [ ] [ ] iTj

i

iTjXMXXKX

2ω=

TjX

(2-d) Transpuesta de ecuación (2-b) [ ] [ ]MXKXTj

i

Tj 2ω=

(2-e) Postmulplicando ec.(2-d) por [ ] [ ] iTj

i

iTjXMXXKX

2ω= iX

( ) [ ] 022 =−⇒

iTj

ji XMXωω Ecuación (2-c) - (2-e)

- Para i j, si : ≠

jiωω ≠

[ ] 0=iT

iXMX Relaciones de Ortogonalidad (2-8)

[ ] 0=iTj

XKX i, j = 1,2,...N

es decir, los vectores propios son ortogonales respecto a las matrices [ ] [ ]KyM


- Para i = j:

[ ] [ ]

ii

iT

i

ii

iT

i

XKX

XMX

γ

µ

=

= (2-9)

=

iiµ Masa modal correspondiente al modo i.

iiγ = Rigidez modal correspondiente al modo i.

Nota: son constantes que dependen de cómo fue normalizado el vector

propio .

iiiiγµ ,

iX

Para eficiencia operacional se define la matriz modal , como la matriz cuyas columnas son los vectores propios de los diferentes modos, o sea como:

[ ]X

[ ] [ ]N

XXXX −−−= 21 (2-10)

Se puede demostrar que [ son matrices diagonales. Como ejemplo consideremos un sistema con dos grados de libertad:

] [ ][ ] [ ] [ ][ ]XKXyXMXTT

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

2212

2111

21

2

1

XMXXMX

XMXXMXXXM

X

XXMX

TT

TT

T

T

T

[ ] [ ][ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22

11

µοοµ

XMXT

Ecuaciones del movimiento en coordenadas principales. Introduciendo la siguiente transformación lineal de coordenadas:

( ) [ ] ( ) tqXtX = (2-11)

en las ecuaciones del movimiento y premultiplicando por , se obtiene: [ ]TX

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] Pqq

fXqXKXqXMXTTT

=+=+

→←

→← γµ

&&

&&

(2-12)

Las coordenadas qBiB (t), se llaman coordenadas principales y generalmente no tienen significado físico. Es una herramienta de cálculo para desacoplar las ecuaciones del movimiento. El sistema de ecuación (2-12) son N ecuaciones desacopladas:

)(tPqqiiiiiii

=+ γµ&& (2-13)


[ ] fXtPT

i=)( (2-14)

Cuando los modos son normalizados respecto a la matriz de masa, a veces se

llaman modos normales : y las matrices de (2-12) se transforman en : i

NX

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]→

←

→←

=

=2

1

iN

T

N

N

T

N

XKX

XMX

ω (2-15)

Ejemplo: Resolver por el método modal ( ) ( )txtx21

,

( ) ( ) ( ) ( ) 0000;0212101

==== xxxxxsi&&

02

2

1

2

1 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

x

x

kk

kk

x

x

m

m

&&

&&

m

km

kXX 382,0;618,2;618,0

1;

618,1

12

2

2

1

21 ==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= ωω

- Desacoplando las ecuaciones del movimiento:

[ ] mm

mXMX

T

618,3618,1

1618,11

11

11=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==µ

m

m

m

382,1618,0

1618,01

22=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=µ

kkk

kk

kkk

kk

618,3618,0

12618,01

382,1618,1

12618,11

22

11

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

−=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=

γ

γ

Comprobación de relaciones de ortogonalidad (verificar si fueron bien

calculados los ): iX

0;0618,0

1618,11

1212==−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= γµ idemmm

m

m


Verificación de las frecuencias naturales (las frecuencias naturales son independientes del sistema de coordenadas elegido):

3,618 m 0382,111=+ qkq

&&

1,382 m 0618,322=+ qkq

&&

Ecuación del movimiento en coordenadas principales (ecuaciones del movimiento desacopladas):

m

k

m

k382,0

618,3

382,1

11

112

1===

µγω ;

m

k

m

k618,2

382,1

618,3

22

222

2===

µγω

Solución de cada ecuación:

( ) ( ) tsenq

tcosqtqi

i

i

iiiωωω )0(

0 &+=

Cálculo de las condiciones iniciales en coordenadas , usando

ecuación (2-11):

( ) ( )( )0,0iii

qqq &

( ) [ ] ( ) tqXtx =

( )( )

( )( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

tq

tq

tx

tx

2

1

2

1

618,0618,1

11

( ) ( ) ( )101211

276,00447,0)(276,0 xqtxtxtq =⇒+=⇒

( ) ( ) ( )102212

724,00447.0)(724,0 xqtxtxtq =−=

Luego

( )( ) tcosxtq

tcosxtq

2102

1101

724,0

276,0

ωω

==

Solución en coordenadas qBi B(t).

La solución en coordenadas x BiB (t):

tcosxtcosxtx

tcosxtcosxtx

2101102

2101101

447,0447,0)(

724,0276,0)(

ωωωω

+=+=

Verificación para t = 0 :

( )( ) 0447,0447,00

724,0276,00

10102

1010101

=−==+=

xxx

xxxx


Ejemplo: Determine las respuestas estacionarias x B1B (t), x B2B (t) usando método modal.

De ecuación (2-14): ( ) [ ] fXtPT

i=

tsenF Ω0

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ΩΩ

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ Ω⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

tsenF

tsenFtsenFtP

i

0

00

0618,01

618,11)(

Por lo tanto las ecuaciones desacopladas del movimiento de acuerdo a ecuación (2-13) son:

tsenFqkqm

tsenFqkqm

Ω=+Ω=+

022

011

618,3382,1

382,1618,3

&&

&&

Cuyas soluciones para el movimiento estacionario son:

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) tsen

m

Ftq

tsenm

Ftq

tsenF

tsenF

tqiiii

ii

i

ΩΩ−

=

ΩΩ−

=

ΩΩ−

=ΩΩ−

=

22

2

0

2

22

1

0

1

22

0

2

0

382,1

618,3

/1

/

ω

ω

ωµωγ

Luego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

Ω−+

Ω−Ω=+=

22

2

22

1

0

211

382,1

1

618,3

1

ωω mmtsen

m

Ftqtqtx

( ) ( )( )( ) tsenXtsen

m

mkFtx Ω=Ω

Ω−Ω−Ω−

=122

2

21

1

2

2

0

1 ωω

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) tsenXtsenm

kFtx

tqtqtx

Ω=ΩΩ−Ω−

−=

−=

222

2

22

1

2

0

2

212618,0618,1

ωω


Análisis de la participación de los modos de vibrar

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

444 3444 21444 3444 21

oiónparticipactqoeriónparticipactq

m

tF

m

tFtqtqtx

mod2

22

2

0

mod1

22

1

0

211

21

382,1

sen

618,3

sen

°==

Ω−Ω

+Ω−

Ω=+=

ωω

Notas:

1.- Para cercanas a la respuesta es aproximadamente la del modo i. Ωi

ω2.- Para un sistema de N grados, en la respuesta a una excitación a Ω , los

modos predominantes son aquéllos (dos o tres) con cercanos a . Es decir, un

sistema de N grados de libertad puede ser analizado en ese caso como un sistema de dos o tres grados de libertad.

iω Ω


2.3.4.- Absorbedor de vibraciones

Al igual que para los sistemas de un grado de libertad cuando se produce un problema de resonancia se puede evitar:

1.- Eliminando la fuente excitadora. 2.- Cambiar la masa y/o rigidez. 3.- Amortiguar el sistema.

Sin embargo, hay situaciones donde no es factible o es muy caro estas

soluciones .

En un sistema con varias excitaciones y varias cercanas, cambiar k o m

para variar un que coincidía con un puede hacer coincidir otro con otro . i

Ωi

ω

iω

iΩ

jΩ

iω

Otra alternativa para solucionar un problema de altas vibraciones, es utilizar un absorbedor dinámico de vibraciones. Supongamos que la máquina tiene altas vibraciones (por ejemplo porque la excitación Ω está cerca de un ). A este sistema lo

llamaremos el sistema primario. i

ω

tsenF Ω0

Sistema Primario

tsenF Ω0

1

12

1 m

k=ω

tsenF Ω0Sistema

Primario + absorbedor

tsenF Ω0

2

22

2 m

k=ω

( )0

221222

02212111

=+−Ω=−++

xkxkxm

tsenFxkxkkxm

&&

&&


tj

tj

tj

eFtsenF

eXtsenXx

eXtsenXx

Ω

Ω

Ω

=Ω

=Ω=

=Ω=

00

222

111

( )( ) 0

2

2

2212

022121

2

1

=Ω−+−

=−++Ω−

XmkXk

FkXXkkm

( )( )( )

1

22

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

0

2

2

2

22

2

121

2

220

1

11

1

k

k

wk

k

wk

F

kmkmkk

mkFX

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Ω−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Ω−+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Ω−=

−Ω−Ω−+Ω−

=

ω

(2-*)

( )( )1

22

2

2

2

1

2

1

2

1

0

2

2

2

22

2

121

2.0

2

11k

k

wk

k

k

F

kmkmkk

kFX

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Ω−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Ω−+=

−Ω−Ω−+=

ω

(2-**) De la ecuación (2-*), si Es decir, el sistema primario

(máquina) queda detenido (no vibra) si se hace que la frecuencia natural del sistema absorbedor .

;012=⇒=Ω Xω

Ω=Un caso importante de altas vibraciones es debido a la resonancia: Para este caso .

1ω=Ω

El adsorbedor a agregar para eliminar las vibraciones debe tener según la

ecuación (2-*): Ω=

2ω

1

2

1

2

1

1

2

2

12:seao

k

k

m

m

m

k

m

k==⇒=⇒==Ω µωω

De ecuación (2-**): ( ) ( )º180

2

0

2

0

2

2

0

2+Ω=Ω−=⇒−= tsen

k

Ftsen

k

Ftx

k

FX

es decir, el absorbedor vibra en contrafase con . tsenF Ω0


⎯ : Respuesta del sistema primario (estaba en resonancia: ).

21ωω ==Ω

− − : Respuesta con absorbedor (para . )0:

121===Ω Xωω

De la figura se observa que el absorbedor no será efectivo si no es constante. Ω

En el caso de que exista amortiguamiento no se tendrá amplitudes ∞ en las

resonancias ni amplitud = 0 en la antiresonancia. →

2.3.5.- Funciones respuestas para sistemas de N grados de libertad

( )

jiijFXfH /=

- Funciones respuestas directas o puntuales ( point ) si i = j. - Funciones respuestas de transferencia: si i j. ≠

Frecuencias de antiresonancias (o ceros): Son las frecuencias para las cuales las amplitudes de la respuesta de un sistema no-amortiguado son cero. Las funciones respuestas directas presentan siempre (n-1) antiresonancias, mientras que las de transferencias raramente la presentan.


2.3.6.- Movimientos de cuerpo Rígido

Los sistemas no restringidos a moverse, presentan movimientos de cuerpo rígido

(el sistema se mueve sin deformarse). Ellos están caracterizados por . 0=i

ω


Ejemplo: Determinar las frecuencias naturales y modos de vibrar del sistema.

0

0

122

211

=−+=−+

kxkxxm

kxkxxm

&&

&&

020242

2

2

=+==+−

−+kmrrm

kmrk

kkmr

m

kr

r

2

0

2

2

2

1

−=

=⇒

Para ( ) :0;0

1

2

1== ωr

0

2

1

2

2

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−+

x

x

kmrk

kkmr .

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==⇒1

11

21XXX

Es decir, si la masa 1 se desplaza 1, la masa 2 también se desplaza 1, o sea el

sistema se mueve sin deformarse, o sea como cuerpo rígido.

Para :2;22

2

2 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ =−=

mk

mkr ω

02

2

2

1 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−

−+−

x

x

kmm

kk

kkmm

k

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=−=⇒

1

12

21XXX

2.3.7.- Matrices de flexibilidad y rigidez

Los sistemas matriciales son una aproximación sistemática para lograr claridad y

simplicidad en el cálculo de sistemas con muchos grados de libertad. Coeficiente de influencia o flexibilidad,

ijf

Se define como el desplazamiento en i debido a una fuerza unitaria aplicada en j.

j

i

jiF

xf =

Coeficientes de rigidez, ijk

Se define como la fuerza sostenedora en i para un desplazamiento unitario en j (siendo nulos los otros desplazamientos).

j

i

jix

Fk =


Ejemplo: Determinar a) fBij By b) k BijB para el sistema de la figura

a)

( )( ) 0

1

12

121

=−=−−

xxk

xxkkx

( )( ) 1

0

12

112

=−=−−

xxk

kxxxk

kfx

kfxxx

/1

/1

212

111

12 ====

⇒=⇒ kfx

kfxxx

/2

/12

222

121

12 ====

⇒=⇒

Matriz de flexibilidad o de coeficientes de influencia

[ ] [ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

==⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

kk

kkfk

kk

kkf

2

/2/1

/1/11

b)

21

111

Fkx

Fkxkx

=−=+

22

12

Fkx

Fkx

==−

kkF

kkF

−====

⇒212

1112

kkF

kkF

==−==

⇒

222

121

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=⇒kk

kkk

2

Nota: Para este ejemplo, determinar las matrices de rigidez o flexibilidad no presenta ventaja operativa para determinar las ecuaciones del movimiento. Sin embargo, en el próximo problema si que será de gran utilidad.


Ejemplo: Determinar las ecuaciones del movimiento para las vibraciones libres en flexión de la barra de la figura.

[ ] [ ] 0=+ XKXM &&

En este caso es más fácil determinar en

primer lugar la matriz de flexibilidad y por su inversa determinar la matriz . [ ]k

Las coeficientes fBijB son determinados utilizando las tablas de deflexiones (mecánica de sólidos).

Pa

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒

=

=

=

=

165

52

48

48/5

3/

48/5

24/

3

3

12

3

22

3

21

3

11

EIf

ΕΙf

ΕΙf

ΕΙf

ΕΙf

l

l

l

l

l

[ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−Ε== −

25

51648

3

1

l

Ifk

2

1

⎢⎣

⎡⇒

m

m

Notas:

1.- Observe que las matrices de rigidez y flexibil2.- Los coeficientes de rigidez deben ser po

estable. iik

k B11

Bposielástica se opone

k B11

Bnegatmisma direccióaumentar la defo

3.- Los coeficientes k Bij Bpueden ser (+) 0 (-).

Para determinar los k BijB

ra

⎥⎦

⎤

ids

tiv aivn rm

determinar los f BijB

025

51648

3

2

1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

l&&

&& ΕΙ

X

X

ad son simétricas. itivos para que el sistema sea

o significa que la fuerza F B1B. o significa que k B11Bx B1B tiene la que F B1B, es decir, tiende a ación → Inestable.


2.4.- Vibraciones amortiguadas

Generalmente el amortiguamiento se puede ignorar en las zonas alejadas de las resonancias o antiresonancias, pero no así en estas zonas (es de importancia fundamental).

2.4.1.- Vibraciones libres

La solución del movimiento en vibraciones libres:

[ ] [ ] [ ] 0=++ xKxCxM

&&& (2-16)

Son de la forma: (2-17) t

eXxΩ=

(2-17) en (2-16): [ ] 0

2 =++ XKCrMr (2-18)

para que exista solución [ ] 0det2 =++ KCrMr (2-19)

Para que exista vibración los valores propios (r) deben ser complejos

conjugados, es decir

21

iiidi

iii

iiijr

ξωωβ

ωξαβα

−==

=±−=

(2-20)

Nota: debe ser negativo para que el sistema sea estable.

iα

Reemplazando (2-20) en (2-18) se obtienen los modos de vibrar. Estos vectores propios serán complejos. Físicamente significa que las diferentes masas no llegan a sus posiciones extremas al mismo tiempo, sino que desfasadas (por lo tanto ya no se puede hablar de la deformada o forma de vibrar).

2.4.2.- Amortiguamiento proporcional

Se llama al amortiguamiento que es proporcional a la matriz de masa y/o matriz

de rigidez, es decir:

[ ] [ ] [ ]KbMaC += a, b = constantes (2-21)

Cuando el amortiguamiento es proporcional:

1.- Los modos de vibrar son reales, iguales al sistema conservativo asociado.


2.- Se pueden desacoplar las ecuaciones del movimiento. En efecto:

[ ] [ ] [ ] FxKxCxM =++&&&

(2-22)

Con la transformación: y premulplicando por : [ ] qXx = [ ]TX

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] qXqXKXqXCXqXMXTTTT =++

&&& (2-23)

si [ ] [ ] [ ]KbMaC +=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] DiagonalXKXbXMXaXCX

Diagonal

T

Diagonal

TT⇒+=

4847648476

y la ecuación (2-12) queda desacoplada:

[ ] [ ][ ] [ ] Pqqqi

=++ →←

→←

→← γϕµ

&&& (2-24)

Donde:

[ ] iT

i

iiXCX=ϕ (2-25)

Ejemplo:

a) Con amortiguamiento proporcional

kmcc 2,021==

02

2,02,0

2,04,0

2

1

2

1

2

1 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

x

x

kk

kk

x

x

kmkm

kmkm

x

x

m

m

&

&

&&

&&

Observe: [ proporcional a ]C [ ]K


[ ]

041,004,36,0

02,02,0

2,024,0

0

2

2

234

2

2

2

=++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−−−−++

=++

m

k

m

k

m

k

m

krkmrr

krkmmrkkm

kkmkrkmmrdet

KCrMrdet

222

111

)5967,12618,0(

)6168,003819,0(

βα

βα

jm

kjr

jm

kjr

±=±−=

±=±−=⇒

Usando ecuación (2-20):

1618,0;618,1;5967,1

0618,0;618,0;6168,0

22

11

2

1

===

===

ξωω

ξωω

mk

mk

mk

mk

d

d


[ ] 02 =++ XKCrMr

para ( )211

2

1βα jr ±=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=618,1

0,11

X

para ( )222

2

2βα jr ±=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

618,0

0,12

X

Nota: Se observa que los modos de vibrar son reales e idénticos a los modos sin amortiguamiento. b) Con amortiguamiento no – proporcional

kmc

kmc

2,0

4,0

2

1

=

=

02

2,02,0

2,06,0

2

1

2

1

2

1 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

x

x

kk

kk

x

x

kmkm

kmkm

x

x

m

m

&

&

&&

&&


det [ ] 02 =++ KCrMr

jr

jr

58,13341,0

6156,00659,0

2

1

±−=±−=⇒


1064,0;619,0;6156,0111=== ξωω

d

207,0;615,1;58,1212=== ξωω

d

Usando ecuación (2-18): [ ] 0

2 =++ XKCrMr

para :111

βα jr ±= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

±= ± º2,3

1

621,1

1

09017,0618,1

1

ejX

para :222

βα jr ±=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

±= ± º3.8

2

6045,0

1

08714,05982,0

1

ejX

2.4.3.- Método pseudo modal

1.- Si el sistema tiene N grados de libertad se usa un sistema sólo de n grados de libertad de modo que:

máxΩ < ni)(ω

(máxima frecuencia de excitación)< (frecuencia natural del modo n).

Para lo cual es necesario determinar

n

n

XXX ...,

...,

21

21ωωω

2.- Se resuelve el sistema:

[ ] [ ]⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

++ →←

→←

)(

:

)(

)(

:

3

2

1

2

1

tP

tP

tP

q

q

q

qCXXq

n

T γµ&&&

Si el amortiguamiento es no-proporcional y pequeño, se puede aproximar la

solución no considerando los términos diagonales de matriz (Hipótesis de Basile) y desacoplando el sistema de ecuaciones.

CXXT


2.4.4- Método de resolución de valores y vectores propios

Cuando el amortiguamiento [C] no es proporcional, es inapropiado usar un método de resolución de valores propios estándar en las ecuaciones:

[ ] [ ] [ ] 0=++ xKxCxM&&&

(2-16)

Para transformar (2-16) a un problema estándar, se le suma la ecuación (2-26):

[ ] [ ] 0=− xKxK&&

(2-26)

obteniendo después de ordenar

000

0=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

− x

x

K

KC

x

x

K

M&

&

&&

(2-27)

llamando

[ ] [ ] ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

x

xy

K

KCB

K

MA

&

;0

;0

0 (2-28)

se obtiene

[ ] [ ] 0)()( =+ tyBtyA&

(2-29) las soluciones son de la forma: (2-30) teYty Ω=)(

[ ] [ ] [ ] YYA

YrYBA

λ=−=−

`

1

Forma estándar (2-31)

Ejemplo:

Resolver por Matlab los ωBiB y X BiB.

a.- Si kmckmc 2,0,4,021==

011

12

2,02,0

2,06,0

10

01

2

1

2

1

2

1 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

x

x

x

x

x

x

&

&

&&

&&

[ ] alproporcionnoientoAmortiguamC :⇒


Programa Matlab para resolver el ejemplo

» A

A =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 -2 1

0 0 1 -1

» B

B =

0.6000 -0.2000 2.0000 -1.0000

-0.2000 0.2000 -1.0000 1.0000

2.0000 -1.0000 0 0

-1.0000 1.0000 0 0

» [E,EE]=eig(inv(A)*B)

E =

-0.3774 - 0.6221i -0.3774 + 0.6221i 0.2433 + 0.1313i 0.2433 - 0.1313i

0.1715 + 0.4050i 0.1715 - 0.4050i 0.4055 + 0.1905i 0.4055 - 0.1905i

0.4252 - 0.1489i 0.4252 + 0.1489i -0.2527 + 0.3681i -0.2527 - 0.3681i

-0.2673 + 0.0520i -0.2673 - 0.0520i -0.3757 + 0.6184i -0.3757 - 0.6184i

EE =

0.3341 + 1.5802i 0 0 0

0 0.3341 - 1.5802i 0 0

0 0 0.0659 + 0.6156i 0

0 0 0 0.0659 - 0.6156i

Matriz E = Matriz Modal del vector

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

4

3

2

1

x

x

x

x

&

&

&

&

Matriz EE = Matriz de valores propios λ Bi

Observe que rBi B= -λ Bi


3341,0;5802,15802,13341,0

0659,0;6156,06156,00659,0

22222

11111

==→−=−===→−=−=

ωξωλωξωλ

d

d

ir

ir

m

m

Para rB1B

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

±−±−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= °−°−

°−

2,37,58

5,55

2

1

1

1

1

621,1

1

72358,0

44641,0

6184,03757,0

3681,02527,0

ee

e

i

i

X

XX

Para rB2B

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

±−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= °°−

°−

3,87,58

3,19

2

2

1

2

2

6044,0

1

27231,0

450518,0

0520,02673,0

1489,04252,0

ee

e

i

i

X

XX

m

b.- Si kmckmc 2,0,2,021== [ ] alproporcionientoAmortiguamC :⇒

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=2,02,0

2,04,0C

Luego por Matlab

» [E,EE]=eig(inv(A)*B)

E =

0.0030 - 0.7236i 0.0030 + 0.7236i -0.0474 + 0.2723i -0.0474 - 0.2723i

-0.0019 + 0.4472i -0.0019 - 0.4472i -0.0767 + 0.4406i -0.0767 - 0.4406i

0.4410 + 0.0742i 0.4410 - 0.0742i -0.4350 - 0.1038i -0.4350 + 0.1038i

-0.2726 - 0.0459i -0.2726 + 0.0459i -0.7038 - 0.1680i -0.7038 + 0.1680i

EE =

0.2618 + 1.5967i 0 0 0

0 0.2618 - 1.5967i 0 0

0 0 0.0382 + 0.6169i 0

0 0 0 0.0382 - 0.6169i

ir

ir

5967,12618,0

6169,00382,0

22

11

m

m

−=−=−=−=

λλ

Para rB1B

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= °

°

618,1

1

72357,0

4472,0

1680,07038,0

1038,04350,0

58,166

58,166

2

1

1

1

1

e

e

i

i

X

XX

m

m

Para rB2B

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−±

= °−

°−

618,0

1

27641,0

4472,0

0459,02726,0

0742,04410,0

55,189

55,9

2

e

e

i

iX

m

Modos reales e iguales a los del sistema conservativo asociado.


2.5.- Vibraciones de sistemas continuos

Hasta ahora hemos visto sistemas discretos, donde la masa, rigidez y amortiguamiento estaban concentrados en algunos elementos. Ahora consideremos el caso donde estas propiedades están distribuidas continuamente a lo largo del sistema.

2.5.1.- Vibraciones longitudinales libres en una barra. Cuerda vibrando

transversalmente

i.- Supongamos una barra fija longitudinalmente en ambos extremos, a la cual se le da una perturbación axial inicial. Se quiere determinar la ecuación del movimiento de la barra en vibraciones libres axiales. Consideremos que la barra es homogénea, isotrópica y que sigue la Ley de Hooke.

( ) =txu , Desplazamiento axial de la
sección transversal en x.
Suponemos que la sección transversal permanece plana (propagación de ondas planas). Esto es efectivo si las dimensiones de la sección transversal son pequeñas respecto a su largo.

( )2

2,

t

txuAdxNdx

x

NN

xmFx

∂∂=−

∂∂+

=∑

ρ

&&

(2-32)

2

2),(

),(

x

txuEA

x

N

x

txuEANE

∂∂=

∂∂

∂∂=⇒= εσ

(2-33)

(2-33) en (2-32):

( )2

2

2

2,1),(

t

txu

cx

txu

∂∂=

∂∂

Ecuación de la onda en una dirección. (2-34)

c = ρ/Ε = Velocidad de propagación de la onda longitudinal o del sonido en el

material.

ii.- Supongamos una cuerda fija en sus extremos, a la que se le dá una perturbación inicial. Describir su movimiento.


Si la deflexión transversal de la
cuerda es pequeña, el cambio de la tracción de la cuerda con la deflexión puede ignorarse.
ymF

y=∑

&&

c

L

d f

o ps

2

2

t

ydxTdx

xT

∂∂=−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂∂+ ρθθθ

2

2

t

y

Tx ∂∂=

∂∂ ρθ

Como x

y

∂∂=θ

2

2

22

21

t

y

cx

y

∂∂=

∂∂

⇒ (2-35)

ρ/t= = Velocidad de propagación de las ondas a lo largo de la cuerda.

a solución general de la ecuación (2-34) o (2-35) es de la forma:

( ) )()(,21

ctxfctxftxu ++−= (2-36)

Donde fB1B(x) y fB2B(x) son funciones arbitrarias (verificar que satisfacen la ecuación iferencial) cuyas formas deben satisfacer las condiciones iniciales y de borde.

Físicamente el primer término de la ecución (2-36) representa una onda de forma B1B(x) viajando en la dirección positiva de x con velocidad c y el segundo término una nda de forma fB2B(x) viajando en la dirección negativa de x con velocidad c. B

B

Aunque la solución (2-36) es útil para estudiar el movimiento transiente (onda rogresiva), cuando se forma la onda estacionaria es más práctico utilizar el método de eparación de variables para resolver las ecuaciones (2-34) o (2-35).

La solución de la ecuación (2-35) se puede expresar:

)()(),( tfxYtxy ⋅= (2-37)

Reemplazando en (2-35):

( ) )(1

2

2

22

2

xYdt

fd

ctf

dxYd ⋅=⋅


2

2

2

2

22)(

)(

1)(

)(ω−=== cte

dt

tfd

tfdx

xYd

xY

c

tdefunciónSóloxdefunciónSólo

44344214434421

(2-38)

( )

( ) tcosCtsenCtffdt

fd

xc

cosCxc

senCxYcdx

yd

ωωω

ωωω

43

2

2

2

212

2

2

2

0

0

+=→=+

+=→=+

(2-39)

( ) )cossen()cossen(,

)(

43

)(

214444 34444 21

4444 34444 21tf

xY

tCtCxc

Cxc

Ctxy ωωωω ++=→ (2-40)

1.- Las constantes C B1B y C B2B y las frecuencias naturales ω son determinadas de las condiciones de borde:

Si ⎩⎨⎧

==0),(

0),0(

tLy

ty

00

0

1

2

=→=→

=→

c

Lsen

c

LsenC

C

ωω

c

xsenCxY

L

ci

i

ii

i

ω

πω

=

=

)(

i =1,2,3 ...∞ (2-41)

La solución general de una ecuación diferencial es la suma de todas sus soluciones independientes:

(∑∞

=

+=1

43),(

i

ii

i

itcosCtsenC

cx

senCtxy ωωω ) (2-42)

2.- Las constantes C B3B y C B4B son determinadas de las condiciones iniciales.


- Note que la ecuación (2-41) representa las frecuencias naturales y modos de vibrar. i=1 - Primer modo de vibrar

L

xsen

c

xsenxY

L

c

πω

πω

==

=

11

1

)(

(normalizando a C BiB=1).

i=2 - Segundo modo de vibrar

Lcπω 2

2=

LxsenxY π2)(

2=

2.- Para las vibraciones longitudinales de unde borde: Extremo libre en x=L 0)( =lN

xuEAN ∂∂= /

2.5.2.- Vibraciones torsionales libres

2

2

tITdx

x

TT

IM

x

xx

∂∂⋅=−

∂∂+

=∑θ

θ&& (2-44)

Para un eje circular IBxB= J ρ dx J= Momento de Inercia polar sección trasvers

2

2

.

tJ

x

T

∂∂=

∂∂→ θρ

De GJT

xGJ

L

GJT =

∂∂→

∂∂==

θθθ

a barra, se pueden tener otras condiciones

0),( =→ tLdx

du

de ejes circulares

al

2

2

x∂∂ θ

(2-45)


(2-45) en (2-44):

2

2

22

21

tcx ∂∂=

∂∂ θθ

(2-46)

c = =ρ/G Velocidad de propagación de la onda torsional.

2.5.3.- Vibraciones transversales (en flexión) de barras prismáticas

i.- La ecuación o viga de Euler- Bernoulli desprecia:

- Las deformaciones por esfuerzo de corte. - Las inercias a la rotación

( ) ( )

2

2

2

2

),(

,

ty

Atxpx

V

ty

AdxdVVVtxp

∂∂−=∂

∂∂

∂=+−+

ρ

ρ

(2-47)

∑ = ymFy &&

( ) 0)(2

,

0

2

=∂∂+−++⋅

=∑

xMMVdxMdxtxp

Mz

Vx

M =∂∂ (2-48)

(2-48) en (2-47):

2

2

2

2

2

2

),(

xy

EIM

txpt

yA

xM

∂∂=

=∂∂+∂

∂ ρ

Si EI es constante

),(2

2

4

4

txpt

yA

x

yEI =

∂∂+

∂∂ ρ (2-49)

ii.- La ecuación o viga de Timoshenko toma en cuenta tanto la deformación por

corte como la inercia a la rotación. Suponiendo que la sección transversal se mantiene plana, se obtiene:


),(4

4

2

2

2

2

22

4

22

4

2

2

4

4

txpt

y

kAG

J

t

p

kAG

J

x

p

kAG

EI

tx

y

kAG

EI

tx

yJ

t

yA

x

yEI

rotaciónlaainerciaecortedelcombinadoEfecto

m

corteporangularnDeformació

m

rotaciónlaaInerciaEulervigaSolución

=∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂∂−

∂∂∂−

∂∂+

∂∂

444 3444 214444 34444 2143421444 3444 21

ρ

2.5.3.1.- Vibraciones libres de vigas de Euler

La solución de (2-49) utilizando separación de variables es:

( ) ( ) (tfxYtxy =, )

2

2

2

4

4 )(

)(

1)(

)(

1 ωρ

==−= ctedt

tfd

tfdx

xYd

xYA

EI (2-50)

0

0

2

4

4

2

2

2

=−

=+

YEI

A

dx

Yd

fdt

fd

ωρ

ω

EIASi

tcosBtsenAtf

/

)(

24 ωρβωω

=→

+=→ (2-51)

La ecuación auxiliar será:

044 =− βr

βββ

β

jr

jr

r

r

−==−=

=

4

3

2

1

P

P

xjxjxx

eCeCeCeCxYββββ −− ′+′+′+′=→

4321)(

xcoshCxsenhCxcosCxsenCxY ββββ4321

)( +++=

))(()()(),(

4321tcosBtsenAxcoshCxsenhCxcosCxsenCtfxYtxy ωωββββ ++++==

(2-52) Las constantes C B1B, C B2B, C B3, BC B4B y los son determinadas de las condiciones de borde

iω

( ) 0,0

0),(033

22

=∂∂→==∂∂→=

⎭⎬⎫

= xtLyV

xtLyM

Lxen

libreExtremo

( ) 0,0

0),(0 22

=→==∂∂→=

⎭⎬⎫

= tLyy

xtLyM

Lxen

apoyadoExtremo

( ) 0,

0),(0

=∂∂=→=

⎭⎬⎫

= xtLy

tLyy

Lxen

empotradoExtremo


Ejemplo: Determinar las frecuencias naturales y modos de vibrar en flexión de una viga simplemente apoyada.

00)0000(

0),0(

00000

0),0(

424321

2

2

2

4321

==⇒=++−−⇒

∂=∂

=+++⇒

=

CCcoshCsenhCcosCsenC

x

ty

coshCsenhCcosCsenC

ty

β

( )

( ) ( ) 00,

00,

31

2

2

2

31

=+−⇒=∂∂

=+⇒=

lsenhClsenCtlx

y

lsenhClsenCtly

βββ

ββ

πβββ

illsenC

ClsenhC

i=⇒==⇒=

0

00

1

33

A

EI

l

i

EI

A

i

i

i ρπωωρβ2

22

4

2

=⇒=⇒

l

xisenCxY

i

π=)(

l

xsenxY

π=)(1

A

EIpara

A

EIpara

ρπω

ρπω

2

2

2

2

2

1

4

l

l

=

=

l

xsenxY

π2)(

2 =

Nota: Para el caso de una viga empotrada en un extremo.


0)(0),0(

00),0(

31

42

=+⇒=∂

∂

=+⇒=

CCx

ty

CCty

β

00),(

00),(

43213

3

43212

2

=++−−⇒=∂

∂

=++−−⇒=∂

∂

lllll

lllll

ββββ

ββββ

senhCcoshCsenCcosCx

ty

coshCsenhCcosCsenCx

ty

Sistema de ecuación homogénea cuya solución es el determinante de los

coeficientes = 0

01 =+⇒ ll ββ coshcos

Cuyas soluciones β i son :

l

l

l

/8543,7

/6936,4

/8751,1

3

2

1

===

βββ

A

EIi

i ρβω

4

2 =⇒

Con C B1B=1 se puede determinar para cada β BiB ( ) el modo de vibrar del sistema

de ecuaciones.

iω

Nota: Al igual que para las vibraciones longitudinales de las barras, las constantes A y

B son determinadas de las condiciones iniciales.


2.6.- Métodos aproximados de cálculo

2.6.1- Método de los elementos finitos

Rigidez de una viga en flexión

La estructura se modela por un sistema de elementos separados que son unidos

por un número finito de nodos.

Los desplazamientos de estos modos son las coordenadas generalizadas.

4321

,,, yyyyqT =

Para determinar la rigidez de la barra debemos darnos una forma de deformación

cualquiera que satisfaga las condiciones de continuidad interna y nodal. Si se utilizan

las verdaderas funciones de forma o interpolación se obtienen las rigideces

verdaderas.

)(xi

ϕ

Si las cargas en la viga son fuerzas y momentos.

iiiMxFxM

dx

ydEI +== )(

2

2

La elástica es una cúbica (obtenida al integrar).

La presencia de estos términos asegura:

3

3

2

2

32)(

dx

ydEIVde

iaConvergenc

dx

ydEIMde

iaConvergenc

dxdy

de

iaConvergencyde

iaConvergenc

dxcxbxaxy

==

+++=


Podemos expresar a, b, c, y d en función de los desplazamientos en los nodos.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

==

ll

24

2

13

2

1

23

yyyyc

yb

ya

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

2

24

3

312l

yyyyd

l

4

)(

2

3

)(

32

2

)(

2

1

)(

32

43

21

1231231)( yl

x

l

xy

l

x

l

xy

l

xxy

l

x

l

xxy

xx

xx

43421444 3444 21

43421444 3444 21

ψψψψ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

Los son funciones de ponderación o interpolación. Se ve de la ecuación

anterior que es igual a y(x) cuando y BiB=1 y todos los otros y son cero.

)(xi

ψ

Recordando que:

k BijB = Fuerza sostenedora en i para producir desplazamiento unitario en j. Estas fuerzas

pueden ser determinadas por el principio de los trabajos virtuales.

Consideremos por ejemplo k B12B (fuerza sostenedora en 1 para obtener un desplazamiento

unitario en 2), y consideremos el desplazamiento virtual indicado.


112. ykW

Eδ=

WBI B= Trabajo de los momentos interiores asociados a y B2B=1, actuando sobre las

curvaturas virtuales.

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∫∫

LL

dxdxydxMdxdxydEIU0

22

0

222 /)(2

1/

2

1

[ ] ∫∫ ⋅=∂∂=

L

i

L

IdxyxxxEIdxxy

xxMW

0

12

0

2

2

)(")(")()()( δψψδ

WBE B= WBI

ji

L

jiij

L

kdxxxxEIk

dxxxxEIk

==

=

∫

∫

0

0

2112

)(")(")(

)(")(")(

ψψ

ψψ

De esta forma se puede determinar la matriz de rigidez en flexión para un elemento

de eje en flexión, como:

[ ]K

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

4

3

2

1

22

22

3

4

3

2

1

4626

612612

2646

612612

y

y

y

y

lll

l

lEI

F

F

F

F

l

l

lll

ll

l

Procedimiento de ensamble

Cuando se tienen varios elementos, la matriz global de rigidez del sistema se

determina con el procedimiento de ensamble siguiente ilustrado para 2 elementos:


[ ]

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−++−−+−+−−

−−

=

22

222

22

3

22

2222

22

3

462600

61261200

268026

612024612

002646

00612612

4626

612612

26446626

612661212612

2646

612612

llll

ll

lllll

ll

llll

ll

l

EI

llll

ll

llllllll

llll

llll

ll

l

EIK

Matriz de masas concentradas

Consiste en suponer que toda la masa está concentrada en los puntos nodales

como masas puntuales, es decir, se desprecia la inercia a rotación. Si se consideran

grados de libertad de rotación, existirán términos diagonales nulos.

[ ]

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

6

5

4

3

2

1

0

2

0

0

2

y

y

y

y

y

y

m

m

m

yM

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

Ejemplo: Para una viga simplemente apoyada y tomando 2 elementos finitos:

a.- Determine la deflexión en su punto medio cuando allí actúa una fuerza F B0B.

b.- Determine la primera frecuencia natural de vibrar en flexión de la viga.

c.- Si en su punto medio actúa F B0B , determine la amplitud estacionaria en su

punto medio. F B0B= 1000 N; Ω=500 rad/s.

tsenΩ

m = 2,0 Kilógramos

)/(000.200/

1

3mNEI

m

=

=

l

l


a.-

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

22

222

22

3

0

6

5

4

3

2

1

)0(

)0(

462600

61261200

268026

612024612

002646

00612612

0

0

0

y

y

y

y

y

y

llll

ll

lllll

ll

llll

ll

EI

R

F

R

F

F

F

F

F

F

B

A

l

6

2

4

2

3

6

2

4

2

2

2

6320

3

4

2

32

2

4260

2820

6246

2640

yyy

yyy

yyyFEI

b

yyy

lll

lll

ll

lll

++=++=

++−=−+−=

⇒

EI

LF

EI

lFy

486

3

0

3

0

3

−=

−=⇒

b.-

0

4260

2802

60246

0264

000.200

0

0

2

0

6

4

3

2

6

4

3

2

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

y

y

y

y

y

y

y

y

&&

&&

&&

&&

det problemas para obtener MP

-1P. [ ] →= 0M

Condensación estática de Guyan: Eliminar los grados de libertad de rotación qB0B,

expresándolos en función de los grados de traslación qBtB que son los que interesan.

0426

0282

0264

643

642

432

=++=++=+−

yyy

yyy

yyy

B

B ( )*5,1

0

5,1

36

4

32

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−==

=⇒

yy

y

yy

Reemplazando (*) en:

2 + 200.000(-6yB2B +24y B3B +6y B6B)=0 3y&&

2 B3 B+ 1.200.000 yB3 B= 0 y&&

)/(6,7742

000.200.11

srad==⇒ω


De(*), si y B2B=1,0

y B3B=0,666

y B4B=0

y B6B=-1,0

Comparando el valor de B

Bobtenido, con el valor exacto obtenido anteriormente: 1

ω

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛===s

rad

A

EI

L2,780

2/4

000.200

22

2

2

2

1

πρ

πω

⇒ Error cometido = 0,7 %

El procedimiento anterior se puede generalizar utilizando matrices.

qBt B= grados de traslación

qBθ B= grados de rotación a eliminar.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

0θθθθθ

θ

F

F

q

q

kk

kktt

t

ttt

(Inercia a la rotación = 0 )

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

θθθθ

θ

q

q

kk

kk

y

y

y

yt

t

ttt

6

4

2

3

4206

2820

0246

60624

0=+=+

θθθθ

θθ

qkqk

Fqkqk

tt

ttttt

tt

qkkq θθθθ1−−=→

[ ] [ ]

ttt

tttttt

Fqk

Fqkkkk

==−⇒

−θθθθ

1

c.-

tsenyy 500000.1000.200.1233=+

&&

)(43,1)6,774/500(1

000.200.1/000.123

mmy =−

=


Rigidez de una viga en movimiento axial

Elemento con dos nodos

( )

( ) l

l

/

/

1212

211

uuEAFF

uuEAF

−=−=−=

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

11

11

11

11

2

1

2

1

ll

EAK

u

uEA

F

F

Rigidez de un eje circular en torsión

Elementos con dos nodos

( )

( ) l

l

/

/

1212

211

θθθθ

−=−=−=GJTT

GJT

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

11

11

11

11

2

1

2

1

ll

GJK

GJ

T

T

θθ

2.6.2.- Método de Rayleigh- Ritz

Es uno de los métodos más cómodos para calcular algunos de los primeros

modos de una estructura.

La hipótesis en que se basa el método es que el desplazamiento puede expresarse

por medio de una serie de curvas de deformación supuestas, multiplicadas por

coordenadas generalizadas qBiB (t) a determinar.

iψ

∑=

=n

i

itqxtxy

1

1)()(),( ψ

Para obtener buenos resultados con un número restringido de coordenadas se

deben elegir adecuadamente los :)(xi

ψ- Como aproximación al vector modal verdadero . )(x

iφ

- Debe satisfacer las condiciones cinemáticas en los apoyos.


Ejemplo: Determine las 2 primeras y sus modos correspondientes de la viga de la

figura, en vibraciones longitudinales.

iω

i.- Usando 2 funciones de desplazamiento.

ii.- Usando 4 funciones de desplazamiento.

iii.- Determine la respuesta estacionaria si en el extremo actúa una fuerza senoidal axial

. tsenF Ω0

i.- Elijamos funciones parabólicas que satisfagan las condiciones cinemáticas del

empotramiento.

( ) ( )tqL

Xtq

L

xtxu

2

2

1)(, ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∫∫∫

∫

5232

5232

2

2

2

1

2

221

2

1

2

24

5

213

4

2

12

3

0

2

24

4

0

213

3

0

2

12

2

0

2

2

2

2

1

LqLqqLqAEc

qL

xqq

L

xq

L

xAEc

dxqL

xdxqq

L

xdxq

L

xAEc

dxqL

xq

L

xAEc

LLL

L

&&&&

&&&&

&&&&

&&

ρ

ρ

ρ

ρ

22

12

qL

x

L

q

x

u +=∂∂

∫

∫

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

L

L

dxqL

xqq

L

x

L

qEAEp

dxqL

x

L

qEAEp

0

2

24

2

2132

2

1

0

2

22

1

44

2

2

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=

L

qqq

LL

qEAEp

2

2

21

2

1

3

42

2


( )

03

82

254

022243

0

21

2

1

21

21

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=∂∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

qqL

EALqq

LA

qqL

EALqLqA

q

Ep

q

EC

dt

d

ii

&&

&&

&&&&

&

ρ

ρ

0

3

41

11

5

1

4

1

4

1

3

1

2

1

2

1 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

q

q

L

EA

q

qAL

&&

&&ρ

20

L

Eksi

ρ=

0

2

0

2

0

2

0

2

3

4

5

1

4

1

4

1

3

1

det

krkr

krkr

++

++

2

0

2

0

4

2

0

2

0

4

2

0

242

0

2

0

2

0

4

2

0

2042

0

22

0

204

807,34

2401043

07203604596032014448

0216

1

3

4

9

4

515

1

krkr

krkr

krrkrkrkr

krk

rkrkrk

r

++=

++=

=−−−+++=

=−−−+++=

85,1433,1744,22033,172 ±−=±−=r

ρω

ρω E

L

E

Lkr

575,1;

48,248,2

12

2

10

2

1==⇒−=

ρω

ρω E

L

E

Lkr

67,5;

18,3218,32

22

2

20

2

2==⇒−=

Para 048,24

148,2

3

148,2

2001000

2

1=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⋅+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⋅⇒−= qkkqkkkr

455,0

1

038,0173,0

2

1

21

−=⇒

=⇒

=+

q

q

qq


2

1455,0)( ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⇒L

x

L

xxφ

1ω es prácticamente la exacta

ρω

ρω E

L

E

Lexactoexacto

712,4;

570,121

==⇒

Nota: - Los modos son bien aproximados.

ii.- Mejores resultados se obtiene con 4 funciones de desplazamiento.

( )4

4

3

3

2

2

1, q

L

xq

L

xq

L

xq

L

xtxu ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

Para este caso las ecuaciones del movimiento son:

0

7

162

5

81

25

9

2

31

5

8

2

3

3

41

1111

9

1

8

1

7

1

6

1

8

1

7

1

6

1

5

1

7

1

6

1

5

1

4

1

6

1

5

1

4

1

3

1

4

3

2

1

4

3

2

1

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

q

q

q

q

L

EA

q

q

q

q

AL

&&

&&

&&

&&

ρ (*)

432

22

432

11

056,2561,26898,0;724,4

1106,05,002782,0;571,1

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+==

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+==

L

x

L

x

L

x

L

xE

L

L

x

L

x

L

x

L

xE

L

φρ

ω

φρ

ω

Con una exactitud mayor a un 0,2%.

iii.- Para esto hay que resolver la ecuación (*) con el término derecho de fuerzas

generalizadas.

tsenFQ

qqqqtLu

qL

xq

L

xq

L

xq

L

xtxu

tLutsenFqQ

i

ii

Ω=⇒

+++=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

⋅Ω=∑

0

4321

4

4

3

3

2

2

1

0

),(

),(

),(

δδδδδ

δδδδδ

δδ


Capítulo 3

Analogías eléctricas

Dos sistemas mecánicos de distinta naturaleza son análogos si las ecuaciones del

movimiento de ambos son semejantes.

Ejemplo:

∫ =++

=++=++

)(

)(

)(

thzdtCBzdt

dzA

tgyyBy

tfcxxbxa

γα&&&

&&&

Estas ecuaciones son análogas ya que las tres son de segundo orden, coeficientes

constantes y lineales.

Elementos eléctricos discretos

Resistencia Inductancia Capacidad

Representación

Simbólica

Relación general

isvv

Riv =

dt

diLv = ∫= idt

Cv

1

Para Corriente

Continua

RIV =

0=V 0=I

Impedancia

i

vZ =

0jRZ +=

LjXZ

LjZ

+=+=

0

0 ω

CjXZ

CZ

+=

−=

0

10

ω

R = Resistencia X BLB= Reactancia

inductiva

B B LXL

ω=

X BC B= Reactancia

capacitiva

CXC ω

1−=


ωω

ω

ω

jij

iidt

ijdt

di

Iei tj

−==

=

=

∫

Elementos mecánicos discretos

Amortiguador Masa Resorte

Representación

Relación general vcf ⋅=

dt

dvmf = ∫= vdtkf

Impedancia

v

fZ =

0jcZ +=

mjZ ω+= 0 ωk

jZ −= 0

Ejemplos de circuitos

Generador de corriente

Ley de Kirchhoff de corrientes: La suma algebraica de las corrientes que llegan a

cada nodo es cero.

corrientede

Generador

ti )(ci↓

Ri↓

Li↓

C R L

(3-1)

)(1

0)(

tivdtLR

v

dt

dvC

iiitiLRC

=++

=−−−

∫


Generador de voltaje

Ley de Kirchhoff de voltajes: La suma algebraica de voltajes a lo largo de una

malla es cero.

(3-2)

voltaje

R

C

L

de

Generador

tv )(

)(1

0)(

tvidtC

Ridt

diL

vvvtvCLR

=++

=−−−

∫

Circuito dual

Comparando las ecuaciones (3-1) y (3-2) se puede concluir que son análogas.

Dos circuitos de la misma naturaleza cuyas ecuaciones son análogas, se llaman duales.

Estudiando las 2 ecuaciones se puede formar la siguiente tabla de dualidades:

Voltaje Corriente

Malla Nodo

L C

C L

R R

1


Método gráfico para obtener el dual

1.- Toda malla se transforma en nodo

2.- Los elementos compartidos por dos mallas adyacentes al pasar al dual se

convierten en elementos conectados entre los nodos correspondientes.

Ejemplo: Pasar al circuito dual

Ejemplo: Pasar al circuito dual

C R L)(ti

1

2

∗L

∗C

∗R

1)(tv∗

∗

∗

→

=→

→

CL

RRR

LC

1

)(tv

1R

1L 2

R2

C

1C

∗)(ti

∗1R

∗1C

∗2R

∗2L

∗1L

3

21

Representación de un sistema mecánico

)(tfvdtkcvdt

dvm =++ ∫ )(

1tvidt

CRi

dt

diL =++ ∫ )(

11tivdt

Lv

Rdt

dvC =++ ∫

L)(ti C R

R

C

L

)(tv


Sistema Mecánico Sistema Eléctrico

Analogía tensión-fuerza Analogía corriente-fuerza

f(t) Fuerza v(t) Tensión i(t) Corriente

m Masa L Inductancia C Capacidad

x Desplazamiento q Carga φ ∫ vdtv Velocidad i Corriente en una malla v Tensión en un nodo

c Amortiguación R Resistencia 1/R 1/Resistencia

k Elasticidad 1/C 1/Capacitancia 1/L 1/Inductancia

Grado de libertad Malla Nodo

Analogía tensión - fuerza: Es una analogía más física.

Analogía corriente - fuerza: Es más fácil de aplicar. El circuito eléctrico y el

mecánico son de la misma forma.

Ejemplo:

1

2

3

4

)(ti

3L

1C

2C

R

1L

∗1

L

∗2

L

∗R

∗1

C∗

2C

∗3

C

)(tv


Ejemplo:

a.- Construir el análogo eléctrico.

b.- Determinar . n

ωc.- Determinar estacionario. )(ti

a.-

)(tfvdtkcvdt

dvm =++ ∫ )(

11tivdt

Lv

Rdt

dvc =++ ∫ )(

1tvidt

CRi

dt

diL =++ ∫

)(ti

LRC )(tv

L

R

C

b.- Para el circuito voltaje. Si:

( )( )

( )( )OhmR

Volt

CoulombFaradioC

Amperio

segundoVoltHenrioL

Volttsentv

2,0

1,01,0

1,01,0

510)(

=

==

==

=

( )( )

( )1,0

2

2,0

110

1,01,0

11

1101

1,0

==

==

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⋅

===

==

==

∗

∗

∗

∗

∗

n

n

m

c

OhmRc

sCLm

k

FaradioCk

HenrioLm

ωξ

ω

c.

( )2

22

0

21

)()()(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ Ω+⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω−

−Ω=⋅Ω==

nn

tsenk

F

txtvti

ωξ

ω

φ

apuntes anÁlisis de sistemas dinÁmicos - …marcoselgueta/analisis_sist_dinamicos/psaavedr... ·...

Documents