sistemas de 1 grado de libertad

DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA, ENERGTICA Y DE MATERIALES

TEMA 3 SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD

Sistemas de 1 Grado de Libertad3 DE INGENIERA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONES

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3 DE INGENIERA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONES

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3.1

Introduccin

Se estudian aqu las vibraciones de sistemas con un grado de libertad, al tiempo que se introducen algunos conceptos importantes a los que se har referencia posteriormente. Los sistemas con un grado de libertad (1 gdl) tienen una excepcional importancia en la Teora de las Vibraciones porque: Son los sistemas ms sencillos, lo que hace pedaggicamente necesario comenzar por su estudio. Muchos problemas prcticos pueden ser suficientemente aproximados por sistemas con 1 gdl (Fig. 6). Muchas de las propiedades de estos sistemas se presentan tambin en sistemas con ms grados de libertad. Mediante la tcnica del "anlisis modal" los sistemas lineales con n gdl pueden resolverse superponiendo n sistemas con 1 gdl.

Figura 6.a Farola modelizada como un sistema de 1 gdl

Figura 6.b Suspensin de una motocicleta modelizada como un sistema de 1 gdl3 DE INGENIERA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONES - 3.3 -



3.2

Componentes del sistema discreto bsico de 1 gdl

Se conoce como sistema discreto bsico de un grado de libertad al sistema de parmetros concentrados que puede observarse en la Figura 7. La energa cintica del sistema se almacena en la masa indeformable m, la energa potencial elstica en el resorte sin masa de constante k, y la capacidad de disipacin de energa en el amortiguador viscoso que se mueve con velocidad proporcional a la fuerza, con constante de proporcionalidad c. El sistema queda totalmente definido mediante la coordenada x (Figura 7). Para que el sistema sea lineal los parmetros k, m, y c deben ser constantes y no depender de la variable x. Las fuerzas presentes sin la accin de una accin exterior son las de la Figura 8.

Figura 7 Sistema discreto bsico de 1 gdl

Figura 8 Fuerzas actuantes

Si se aplica una fuerza f(t) sobre la masa m, en la direccin positiva de x, la ecuacin del movimiento del sistema discreto bsico, comn a todos los sistemas lineales con 1 gdl, puede establecerse aplicando DAlembert, introduciendo la fuerza de inercia, y estableciendo el equilibrio de fuerzas en la direccin x: m(t ) + cx(t ) + kx = f (t ) x

3 DE INGENIERA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONES

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3.3

Vibraciones libres en sistemas de 1 gdl

Todos los sistemas lineales con 1gdl conducen a la ecuacin diferencial ordinaria de orden x 2 vista en el apartado anterior: m(t ) + cx(t ) + kx(t ) = f (t ) Cuando se trata de un caso de vibraciones libres, en las que no existen acciones exteriores sobre el sistema, f(t) = 0, y s unas condiciones iniciales distintas de la trivial nula, x 0 = x(t 0 ), x 0 = x(t 0 ) , se buscan soluciones en la forma: x(t) = Cest Derivando y sustituyendo en la ecuacin diferencial resulta: C(ms2 + cs + k) est = 0 La expresin x(t) = Cest representar una solucin para todos aquellos valores de s que satisfagan la ecuacin anterior. Estos valores son las races de la ecuacin caracterstica ms2 + cs + k = 0:s= c 2m

(c 2m) k m2

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS2 Como k/m es una constante positiva, podemos hacer = k m y en la ecuacin caracterstica resultan para s los valores:

s = 2 = i

En tal caso, la solucin general de la ecuacin diferencial vendr dada por la expresin: x(t) = C1eit + C2e-it donde C1 y C2 son constantes que pueden ser reales o complejas. Teniendo en cuenta la relacin de Euler (eit = cost isent), la solucin general puede ponerse en la forma: x(t) = Acost + Bsent3 DE INGENIERA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONES - 3.5 -



Y haciendo A=Xcos, B=Xsen:x(t ) = X cos(t )

Las constantes A, B, X y son siempre reales y sern determinadas con ayuda de las condiciones iniciales. Por ejemplo, para determinar A y B:x(0 ) = x 0 = A.1 + B.0 x(0 ) = x 0 = A..0 + B..1

A = x0 B = x0

Luego la solucin del problema ser:x(t ) = x 0 cos t +

x0 sen t

y determinando X y a partir de A y B,x(t ) = x 2 + 0 0 x2 x cos t arctg 0 x 0 2

La solucin de las vibraciones libres no amortiguadas es (Figura 9) una funcin armnica de = k m , que frecuencia depende slo de los parmetros fsicos del problema k y m, pero no del tiempo ni de las condiciones iniciales.

Figura 9 Vibraciones libres no amortiguadas: Respuesta armnica El sistema siempre vibrar en la misma frecuencia, que por esta razn se denomina FRECUENCIA PROPIA o NATURAL.

VIBRACIONES LIBRES CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOVolviendo a la expresin s = 2 c c k , las dos races pueden ser reales y 2m m 2m distintas, reales e iguales, o complejas conjugadas, segn el signo del radicando. El caso lmite es aqul en el que dicho radicando es cero. Entonces,

( )

c = k m = 2m3 DE INGENIERA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONES

c = 2m

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A este valor del amortiguamiento ( c ) se le llama AMORTIGUAMIENTO CRTICO. Se denomina AMORTIGUAMIENTO RELATIVO o RELACIN DE AMORTIGUAMIENTO de un sistema al cociente entre su amortiguamiento c y el amortiguamiento crtico c :=c c = c 2m

Utilizando la definicin de , resultar para los valores de s la expresin:s = 2 2 2 = 2 1

Si 1 ( c > c ) en un caso de amortiguamiento supercrtico (races reales y distintas): Para amortiguamiento crtico (=1), resulta el caso en que s=- (raiz doble), con lo que la solucin del problema tiene la forma: x(t) = (c1 + c2t)e-t solucin que no tiene carcter oscilatorio (Fig. 10) y no presenta mayor inters para la dinmica de mquinas.

Figura 10 Respuestas no oscilatorias

Para amortiguamiento supercrtico (2>1), se podr hacer = 2 1 , y la solucin general es:x(t ) = e t A cosh t + B senh t

(

)

que no es de tipo oscilatorio tampoco (Fig. 10) y, por lo tanto, tampoco interesa, pues se sabe que la mayor parte de los sistemas mecnicos oscilan al sacarlos de su posicin de equilibrio. Para amortiguamiento subcrtico (2

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