sistemas 1 grado de libertad sujetos a vibracion forzada

7/31/2019 Sistemas 1 Grado de Libertad Sujetos a Vibracion Forzada

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Sistemas de un Grado de Libertad Sujetos a

Vibracion Forzada.

Jose Mara Rico MartnezDepartamento de Ingeniera Mecanica

Division de Ingenieras, Campus Irapuato-SalamancaUniversidad de Guanajuato

Salamanca, Gto. 38730, Mexico

email: [email protected]

1 Introduccion

En estas notas se presentan los fundamentos teoricos de los sistemas de ungrado de libertad sujetos a vibracion forzada. El objetivo de estas notas essu empleo como un auxiliar didactico en los cursos de vibraciones mecanicas.

En esta seccion, se analizara la respuesta de un sistema vibratorio de ungrado de libertad sujeto a vibracion forzada, se analizaran tres diferentescasos:

1. La excitacion del sistema esta dada por una fuerza armonica de ampli-tud constante.

2. La excitacion del sistema esta dada por una fuerza armonica de ampli-tud proporcional al cuadrado de la frecuencia de excitacion.

3. La excitacion del sistema esta dada por un movimiento armonico de labase del sistema, que en este caso no esta fija, ademas la amplitud del

movimiento es constante.

1


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2 Excitacion constituida por una fuerza ar-

monica de amplitud constante

Considere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibracionforzada, bajo una excitacion representada por la funcion F(t) = F0 S en t,esta excitacion es una fuerza armonica de amplitud constante y frecuencia. Vea la figura 1.

Figure 1: Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a VibracionForzada.

Para obtener la ecuacion de movimiento del sistema. Suponga que apartir de la posicion de equilibrio del sistema, el sistema se separa de suposicion de equilibrio una distancia y(t) comprimiendo el resorte y se le dauna velocidad dada por y(t) en la direccion positiva. Entonces, observando eldiagrama de cuerpo libre de la masa, vea la figura 2, y aplicando la segundaley de Newton, se tiene que1

Fy = Md2 y(t)

d t2; M g+k (est y(t))c d y(t)

d t+F0 S en t = M

d2 y(t)

d t2,

o

M g + k est

k y(t)

c

d y(t)

d t

+ F0 S en t = Md2 y(t)

d t2

.

1Ademas se supondra que y(t) < est, de manera que el resorte esta sujeto a tension,la ecuacion de movimiento del sistema es independiente de esta suposicion, el objetivo esevitar ambigedades en la derivacion de la ecuacion.

2


3/33

Figure 2: Diagrama de Cuerpo Libre Para un Sistema Vibratorio de un Gradode Libertad Sujeto a una Fuerza Armonica de Amplitud Constante.

Por lo tanto, sustituyendo la ecuacion (1)

est =M g

k(1)

que determina la deformacion estatica del resorte, se obtiene la ecuacion demovimiento del sistema vibratorio

Md2y

dt2+ c

dy

dt+ ky = F0 Sent, (2)

donde, M es la masa del sistema, k es la constante del resorte, c es la con-stante del amortiguador, y es la variable que representa el movimiento de lamasa y t es el tiempo.

La ecuacion (2) es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden, peroa diferencia de las secciones anteriores, esta ecuacion diferencial es no ho-mogenea. Nuevamente de la teora de las ecuaciones diferenciales ordinarias,

se sabe que la solucion general de la ecuacion (2) esta dada poryG(t) = yH(t) + yP(t), (3)

donde, yH(t) es la solucion de la ecuacion homogenea asociada; es decir, lasolucion de la ecuacion diferencial que se obtiene eliminando la excitacion

3


4/33

F(t) = F0 S en t, esta parte de la solucion se denomina respuesta en el

estado transitorio y yP(t) es una solucion de la ecuacion no homogenea,esta parte de la solucion se denomina respuesta en el estado perma-nente o estacionario. La solucion de la ecuacion homogenea asociada serepresentara por

yH(t) = e

c

2Mt

C1 e

( c2M

)2

k

Mt

+ C2 e

( c2M

)2

k

Mt

(4)

= ec

ccn t

ACos

n

1 (c/cc)2

t + B Sen

n

1 (c/cc)2

t

Evidentemente, este resultado es cierto solo si el sistema es subamortiguado

y es conveniente determinar cual de los tres posibles casos sobreamorti-guado, crticamente amortiguado o subamortiguado es el aplicable para elcaso bajo consideracion. Es importante senalar que puesto que en todos lossistemas existe amortiguamiento en mayor o menor grado, esta parte de lasolucion desaparece con el tiempo, de all su denominacion estado transitorio.

La parte importante de este analisis es la determinacion de la respuestaen el estado estacionario o permanente. El procedimiento para obtener estaparte de la solucion se fundamenta en que el espacio generado por el con-

junto de funciones {Co s t,S en t} es un espacio invariante respecto a lasderivadas con respecto a t de cualquier orden. De manera que se proponecomo solucion

yP(t) = A C o s t + B Sen t. (5)

Derivando la solucion propuesta con respecto al tiempo dos veces, se tieneque

d yP(t)

d t= A S e n t+B Cos t, d

2 yP(t)

d t2= A 2 Co s tB 2 Sent,

(6)Sustituyendo las ecauciones (5, 6) en la ecuacion (2), se tiene que

MA 2 C o s t B 2 S en t+ c (A S e n t + B Cos t)

+k (A C o s t + B Sen t) = F0 Sent.

Puesto que el conjunto {Co s t,S en t} es linealmente independiente, esposible separar la ecuacion en un sistema de ecuaciones lineales en las incognitas

4


5/33

A y B,

A

k M 2+ B (c ) = 0A (c ) + B

k M 2

= F0,

Es importante senalar que, de manera semejante a la solucion de sistemasvibratorios sujetos a vibracion libre, este metodo permite transformar unaecuacion diferencial en un sistema de ecuaciones lineales, un problema muchomas simple.

El determinante de la matriz de coeficientes del sistema lineal, denotadopor , esta dado por

=

k M 22 + (c )2 = k2 1 M 2

k2

+c

k2

Recordando la definicion del amortiguamiento crtico, ecuacion (7),

c2c 4 M k = 0 o cc = 2

M k = 2 M

k

M= 2 M n, (7)

y de la frecuencia natural del sistema no amortiguado asociado, se tiene que

= k2

1

n

22

+

2c

cc

n

2

(8)

De aqu que, las soluciones para los coeficientes A y B estan dadas por

A =F0 (c )

k2

1

n

22

+

2 ccc

n

2

B = F0 (k M 2)k2

1

n

22

+

2 ccc

n

2

(9)Por lo tanto, la solucion particular de la ecuacion diferencial esta dada

por

yP(t) =F0 (c ) Co s t + F0 (k M 2) S en t

k2

1

n22

+

2

c

cc

n2

= 02 c

cc

n

Co s t +

1

n

2

S en t1

n

22

+

2 ccc

n

2

5


6/33

=

01

n

22

+

2 ccc

n

2

1

n2

S en t 2c

cc

n

Co s t1

n

22

+

2 ccc

n

2

=0 Sen ( t )

1

n

22

+

2 ccc

n

2

, (10)

donde 0 es la deformacion que sufrira el resorte si la fuerza F(t) = F0 Sen tno fuera armonica sino estatica, es decir

0 =F0

k

, (11)

y el angulo, , denominado como el angulo de fase, viene determinado por

Tan =Sen

Cos=

2 ccc

n

1

n

2

o = T an12 c

cc

n

1

n

2

(12)

Una grafica del angulo de fase como funcion de la relacion de amor-tiguamiento, c

cc, y de la relacion de la frecuencia de excitacion a la frecuencia

natural del sistema vibratorio, n

se muestra en la figura 3.Si se escribe, la solucion particular del sistema como

yP(t) = y0 Sen ( t )entonces, y0 es la amplitud de la respuesta, particular, del sistema vibratorio,es posible escribir

y00

=1

1

n

22

+

2 ccc

n

2

(13)

Una grafica de la relacion de amplitudes y00

como funcion de la relacionde amortiguamiento, c

cc, y de la relacion de la frecuencia de excitacion a la

frecuencia natural del sistema vibratorio, n

se muestra en la figura 4.

Las ecuaciones (12, 13) permiten determinar la respuesta del sistemavibratorio cuando se excita mediante una fuerza armonica de amplitud con-stante. Como puede observarse, las ecuaciones (12, 13) dependen de dosparametros, la relacion de frecuencias,

n, y l a relacion de amor-

tiguamiento, ccc

.

6


7/33

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Relacin de Frecuencias, /n

ngulodeFase

Grfica del ngulo de Fase

c/cc=0.1

c/cc=0.2

c/cc=0.3

c/cc=0.4

c/cc=0.6

c/cc=1.0

Figure 3: Angulo de Fase de la Respuesta de un Sistema Vibratorio de unGrado de Libertad Sujeto a una Fuerza Armonica de amplitud Constante.

2.1 Analisis de la respuesta del sistema para determi-

nados valores de la relacion de amortiguamiento.

Ademas, es importante analizar, tanto algebraica como graficamente, el com-portamiento de la respuesta del sistema para tres valores de la relacion defrecuencias:

1. Cuando n

= 0, sustituyendo este valor en las ecuaciones (12, 13), setiene que

y0

0 = 1, y0 = 0 y = 0

.

La explicacion de este resultado es simple, si n

= 0, entonces = 0, lafuerza de excitacion es estatica, de manera que la respuesta del sistemaes la deformacion estatica del sistema y esta en fase con la fuerza de

7


8/33

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6


Pa

rmetroAdimensional,y0

/0

Respuesta a una Fuerza Armnica de Magnitud Constante

c/cc=0.1

c/cc=0.2

c/cc=0.3

c/cc=0.4

c/cc=1.0

c/cc=0.6

c/cc=0.8

Figure 4: Relacion de Amplitudes de la Respuesta de un Sistema Vibrato-rio de un Grado de Libertad Sujeto a una Fuerza Arm onica de Amplitud

Constante.

excitacion. Una interpretacion grafica de este resultado se presenta acontinuacion, la respuesta del sistema esta dada por

y(t) = y0 Sen ( t )

por lo tanto, sus primeras dos derivadas son

y(t) = y0Sen

n t + 2

yy(t) = y0

2Sen (n t + )

la condicion /n = 0 puede interpretarse como


9/33


10/33

ejes coordenados. Evidentemente, a medida que n

0, el vector demagnitud k y0 es mucho mayor que los restantes de manera que

= 0 y F0 = k y0

Por lo tanto

y0 =F0k

= 0 yy00

= 1.

2. Cuando n

, sustituyendo este valor en las ecuaciones (12, 13)y evaluando el lmite de manera apropiada pues la sustitucion simpleconduce a una indeterminacion, se tiene que

y00 = 0, y

0 = 0 y = 180

.

Nuevamente la explicacion es simple, si n

, entonces lafrecuencia de la excitacion es tan elevada que el sistema, la masa, esincapaz de seguir la excitacion.

La interpretacion grafica de este resultado se fundamenta, como enel caso anterior, en la representacion grafica de funciones armonicascomo fasores. Sin embargo, en este caso, se tiene que la condicion/n puede interpretarse como >> n, el smbolo >> indicaque es mucho mayor que n, por lo tanto

>> n =

k

M k


11/33

Figure 6: Interpretacion Grafica de la Respuesta del Sistema Vibratorio ParaCuando

n .

Debe notarse que las fuerzas del resorte, del amortiguador y la de in-ercia se han orientado, para simplificar el problema, a lo largo de los

ejes coordenados. Evidentemente, a medida que

n , el vector demagnitud M 2y0 es mucho mayor que los restantes de manera que

= 180 y F0 = M 2y0

Por lo tanto

y0 =F0

M 2= 0 o y0 =

F0k

Mk

2=

0

n

2

yy00

= 0.

Pues n

.3. Cuando

n= 1 sustituyendo este valor en las ecuaciones (12, 13), se

tiene quey00

=1

2 ccc

, y0 =0

2 ccc

y = 90.

11


12/33

Es importante senalar que en los dos primeros casos, el resultado es indepen-

diende del valor de la relacion de amortiguamientoc

cc . Ademas, el tercer casorepresenta el valor para el cual se presenta el fenomeno de resonancia. Eneste fenomeno una fuerza relativamente pequena puede producir vibracionesde amplitud elevada, pues cuando

n= 1,

y0 =0

2 ccc

(16)

y usualmente los valores de la relacion de amortiguamento es, usualmentepequena, menor a 0.1. Recurriendo a la interpretacion de funciones armonicascomo fasores, una representacion grafica de esta ecuacion esta dada por lafigura 7.

Figure 7: Interpretacion Grafica de la Respuesta del Sistema Vibratorio ParaCuando

n= 1.

Debe notarse que las fuerzas del resorte, del amortiguador y la de in-ercia se han orientado, para simplificar el problema, a lo largo de los ejescoordenados. Evidentemente, si

n= 1, se tiene que

= n =

k

Mo 2 =

k

Mo M 2 = k

12


13/33

De aqu que, los vectores de magnitud M 2y0 y k y0 son iguales. Por lo

tanto, los restantes vectores tambien deben ser iguales; es decir

F0 = c y0 y = 90

Ademas, recordando que cc = 2

k M = 2 kn

y = n se tiene que

y0 =F0c

=F0

c n=

F0c 2 k

cc

=F0k

2 ccc

=0

2 ccc

.

2.2 Analisis de un Sistema Vibratorio No Amortiguado

en Condiciones de Resonancia.

Existe un caso especial que merece atencion adicional. Considere un sistemano amortiguado sujeto a una fuerza armonica de amplitud constante cuya

frecuencia es igual a la frecuencia natural del sistema n =

kM

, de modoque la ecuacion diferencial esta dada por

Md2 y

d t2+ k y = F0 S en t donde = n =

k

M. (17)

Se sabe que la ecuacion de la solucion general de la ecuacion homogeneaasociada esta dada por

yH(t) = ACos (n t) + B Sen (n t) (18)

Entonces, debe notarse que en este caso no es posible que la solucionparticular de la ecuacion no homogenea este dada por

yP(t) = C1 Cos (n t) + C2 Sen (n t) ,

pues esta es precisamente la solucion de la ecuacion homogenea asociada. Dela teoria de ecuaciones diferenciales, se propone como solucion

yP(t) = C1 tCos (n t) + C2 tSen (n t) (19)

Derivando esta expresion respecto al tiempo dos veces, se tiene que

d yP(t)

d t= C1 Cos (n t)C1 t n Sen (n t)+C2 Sen (n t)+C2 t n Cos (n t) .

13


14/33

y

d2 yP(t)

d t2= C1 n Sen (n t) C1 n Sen (n t) C1 t 2n Cos (n t)

+C2 n Cos (n t) + C2 n Cos (n t) C2 t 2n Sen (n t)= 2 C1 n Sen (n t) C1 t 2n Cos (n t) + 2 C2 n Cos (n t)

C2 t 2n Sen (n t) . (20)

Sustituyendo las ecuaciones (19) y (20) en la ecuacion (17), se tiene que

M 2 C1 n Sen (n t) C1 t 2n Cos (n t) + 2 C2 n Cos (n t)

C2 t 2

n Sen (n t)

+ k

C1 tCos (n t) + C2 tSen (n t)

= F0 S en t (21)

o, puesto que el conjunto de funciones {Sen (n t) , tS en (n t) ,Cos (n t) ,tCos (n t)}, la ecuacion vectorial

0 = Sen (n t) 2 C1 M n F0

+ Cos (n t)

2 C2 M n

+tSen (n t)

M C2 2n + k C2

+ tCos (n t)

M C1 2n + k C1

(22)

conduce a 4 ecuaciones escalares

2 C1 M n F0 = 0 M C1 2n + k C1 = 02 C2 M n = 0 M C2 2n + k C2 = 0

Para C2 la solucion esta dada por

C2 = 0.

Para C1 se tiene que de la primera ecuacion

C1 = F02M n

= F0k

2 Mk

n= 0

2

n

= 12

0 n (23)

Mientras que sustituyendo 2n =k

M, se tiene que

M C1 kM

+ k C1 = C1 [k + k] = 0.

14


15/33

De manera que esta ecuacion es redundante, por lo tanto, la solucion parti-

cular para esta excitacion esta dada por

yP(t) = 12

0 n tCos (n t) (24)

Por lo tanto, la solucion general de la ecuacion diferencial esta dada por

yG(t) = yH(t)+yP(t) = ACos (n t)+B Sen (n t)12

0 n tCos (n t) (25)

Si las condiciones iniciales para este sistema son para t = 0, yG(0) = 0 yyG(0) = 0, por lo tanto

yG(t) = A nSen (n t)+B nCos (n t)12

0 n Cos (n t)+12

0 t 2n Sen (n t)

(26)Sustituyendo los condiciones iniciales, se tiene que

ACos (0) + B Sen (0) 12

0 n 0 Cos (0) = 0 A = 0.y

A nSen (0)+B nCos (0)12

0 n Cos (0)+1

20 0

2

n Sen (0) = 0 B =1

20

Por lo tanto, la solucion particular esta dado por

yG(t) =1

20 Sen (n t) 1

20 n tCos (n t) (27)

La figura 8 muestra el comportamiento de un sistema no amortiguadosujeto a resonancia.

3 Excitacion constituida por una fuerza ar-

monica de amplitud proporcional al cua-

drado de la frecuencia de la excitacion

Considere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibracionforzada, bajo una excitacion representada por la funcion F(t) = m e 2 S en t.Esta excitacion es una fuerza armonica de amplitud proporcional al cuadrado

15


16/33

0 5 10 15 20 25 30 35 404

3

2

1

0

1

2

3

4

Tiempo, segundos

Desplazamiento,u.l.

Figure 8: Desplazamiento de un Sistema no Amortiguado Sujeto a Resonan-cia.

de la frecuencia, dada por . Este tipo de excitacion se presenta cuando uneje o rotor desbalanceado gira a una velocidad angular dada por , entonces,m e es el desbalance del rotor.

Este analisis no requiere la solucion de otra nueva ecuacion diferencialadicional, basta con sustituir la nueva amplitud de la fuerza de excitaciondada por

F0 = m e 2, (28)

en la solucion del problema de excitacion constituida por una fuerza armonicade amplitud constante, vea la seccion 2.

Por lo tanto

y0 =0

1

n2

2

+ 2 ccc

n2

=F0/k

1

n2

2

+ 2 ccc

n2

=m e2

k1

n

22

+

2 ccc

n

2

=m e

M

M2

k1

n

22

+

2 ccc

n

2

16


17/33

=

m e

M

n

2

1

n

22

+

2 ccc

n

2 (29)

o en forma adimensional

y0m eM

=

n

2

1

n

22

+

2 ccc

n

2

(30)

Una grafica de la relacion de amplitudes y0meM

como funcion de la relacion

de amortiguamiento, ccc

, y de la relacion de la frecuencia de excitacion a la

frecuencia natural del sistema vibratorio,

n se muestra en la figura 9.Puesto que el angulo de fase, no depende de la amplitud de la excitacion,

se tiene que la misma ecuacion, (12), repetida aqui, es aplicable

= T an12 c

cc

n

1

n

2

De manera semejante, la grafica del angulo de fase como funcion de larelacion de amortiguamiento, c

cc, y de la relacion de la frecuencia de excitacion

a la frecuencia natural del sistema vibratorio, n

es la misma que se muestraen la misma figura 3.

Por lo tanto, la respuesta en el estado estable del sistema bajo este tipode excitacion, esta dada por

yP(t) = y0 Sen ( t )donde y0 esta dada por la ecuacion (30) y el angulo de fase esta dado por laecuacion (12).

Nuevamente, es importante analizar el comportamiento de la respuestadel sistema para tres valores de la relacion de frecuencias:

1. Cuando n

= 0, sustituyendo este valor en las ecuaciones (12, 30), setiene que

y0

m eM

= 0, y0 = 0 y = 0.

La explicacion de este resultado es simple, si n

= 0, entonces = 0,la fuerza de excitacion debida al desbalance es nula, de la manera quela respuesta del sistema es igualmente nula.

17


18/33

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6


Par

metroAdimensional,y0

M/me

Respuesta a una Fuerza Armnica de Magnitud Proporcional al Cuadrado de la Frecuencia

c/cc=0.1

c/cc=0.2

c/cc=0.3

c/cc=0.4

c/cc=0.8

c/cc=1.0

c/cc=0.6

Figure 9: Relacion de Amplitudes de la Respuesta de un Sistema Vibrato-rio de un Grado de Libertad Sujeto a una Fuerza Arm onica de Amplitud

Proporcional al Cuadrado de la Frecuencia.

2. Cuando n

, sustituyendo este valor en las ecuaciones (12, 30) yevaluando el lmite pues la simple sustitucion conduce a una indeter-minacion, se tiene que

y0m eM

= 1, y0 =m e

My = 180.

3. Cuando n

= 1 sustituyendo este valor en las ecuaciones (12, 30), setiene que

y0m eM

= 12 c

cc

, y0 =m eM

2 ccc

y = 90.

Es importante senalar que en los dos primeros casos, el resultado es indepen-diende del valor de la relacion de amortiguamiento c

cc. Ademas, el tercer caso

18


19/33

representa el valor para el cual se presenta el fenomeno de resonancia. En

este fenomeno una fuerza relativamente pequena puede producir vibracionesde amplitud elevada, pues cuando n

, se tiene que

y0 =m eM

2 ccc

(31)

y los valores de la relacion de amortiguamento son, usualmente pequenos,menores a 0.1.

4 Excitacion constituida por un movimiento

armonico de la baseConsidere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibracionforzada. Sin embargo, a diferencia de los dos casos anteriores, la excitacionesta producida por el movimiento de la base como muestra la figura 10,donde x(t) y y(t) representan los movimientos absolutos del cuerpo y labase respectivamente.

Se supondra que en la posicion mostrada en la figura, el sistema estaen reposo. Entonces, es posible recurrir a las ecuaciones de la estatica paradeterminar la deformacion estatica del resorte, est, para tal fin

Fy = 0 M g + k est = 0,por lo tanto,

est =M g

k(32)

La longitud del resorte en esta posicion, esta dada por l0 est, donde l0es la longitud libre del resorte. Suponga ahora que el movimiento absolutode la base y(t) esta dado por

y(t) = y0 Sent. (33)

Para obtener la ecuacion de movimiento del sistema. Suponga que x(t) >y(t) y que x(t) y(t) > est.2 Entonces, observando el diagrama de cuerpo

2La ecuacion de movimiento es independiente de estas suposiciones, pero estas suposi-ciones permiten eliminar ambiguedades en la suma de fuerzas necesaria para obtener laecuacion.

19


20/33

Figure 10: Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a Vibraci onForzada Debido a Movimiento en la Base.

libre de la masa, vea la figura 11, y aplicando la segunda ley de Newton, setiene que

Fy = M d2

x(t)d t2

; M gk (x(t) y(t) est)c

d x(t)d t

d y(t)d t

= M d

2

x(t)d t2

,

o

M g + k est k (x(t) y(t)) c

d x(t)

d t d y(t)

d t

= M

d2 x(t)

d t2.

Por lo tanto, sustituyendo la ecuacion (1) que determina la deformacionestatica del resorte, se obtiene la ecuacion de movimiento del sistema vibra-torio

Md2x

dt2

+ cdxdt

dy

dt+ k (x y) = 0, (34)

donde, M es la masa del sistema, k es la constante del resorte, c es la con-stante del amortiguador y t es el tiempo. Definiendo la variable

z(t) x(t) y(t), (35)

20


21/33

Figure 11: Diagrama de Cuerpo Libre Para un Sistema Vibratorio de unGrado de Libertad Sujeto a Vibracion Forzada Debida a un Movimiento dela Base.

el significado fsico de esta variable es el movimiento relativo de la masarespecto a la base. Ademas,

dz

dt=

dx

dt dy

dty M

d2z

dt2

= Md2x

dt2

Md2y

dt2

(36)

Por lo tanto

Md2x

dt2= M

d2z

dt2+ M

d2y

dt2= M

d2z

dt2 M y0 2 Sent. (37)

Sustituyendo ecuaciones (36, 37) en la ecuacion (34), se tiene que

Md2z

dt2+ c

dz

dt+ k z = M y0

2 Sent. (38)

Nuevamente, este analisis no requiere la solucion de otra nueva ecuacion

diferencial adicional, basta con sustituir la nueva amplitud de la fuerza deexcitacion dada porF0 = M y0

2, (39)

en la solucion del problema de excitacion constituida por una fuerza armonicade amplitud constante, vea la seccion 2.

21


22/33

Por lo tanto

z0 = 0

1

n

22

+

2 ccc

n

2

= F0/k

1

n

22

+

2 ccc

n

2

=M y0

2

k1

n

22

+

2 ccc

n

2

= y0

n

2

1

n

22

+

2 ccc

n

2

(40)

De manera que la solucion del movimiento relativa de la masa respecto ala base, z(t), esta dada por

z(t) = z0 Sen ( t ) (41)donde z0 esta dado por la ecuacion (40) y el angulo de fase , esta dado por

= T an12 c

cc

n

1

n

2

(42)

Una vez determinado el movimiento relativo entre la masa y la base, esposible determinar el movimiento absoluto de la base, x(t), que de acuerdode la definicion dada por la ecuacion (35), esta dada por3

x(t) = z(y) + y(t) = z0 Sen ( t

) + y0 S en t (43)

Para tal fin, se sustituyen los valores de las funciones coseno y seno delangulo , dadas por

Cos =1

n

2

1

n

22

+

2 ccc

n

2

Sen =2 c

cc

n

1

n

22

+

2 ccc

n

2

.

Por lo tanto

x(t) = y0

n

2

Sen ( t )

1 n22

+

2 ccc

n

2 + y0 S en t

3La determinacion del movimiento absoluto x(t), requiere la adicion de dos funcionesarmonicas de la misma frecuencia, los detalles de este procedimiento se presentan en elApendice C.

22


23/33

= y0

n

2

[S en tCo s CostSen]1

n

22

+

2 ccc

n

2 + y

0

S en t

= y0

n

2

1

n

2

S en t

2 ccc

n

3

Co s t1

n

22

+

2 ccc

n

2

+ y0 S en t

= y0

n

2

1

n

2

+

1

n

22

+

2 ccc

n

2

S en t

2 c

cc

n

3

Co s

1

n

22

+

2 c

cc

n

2

= y0

1

n

2

n

2 + 1

n

2

+

2 ccc

n

2

S en t

2 ccc

n

3

C o s t1

n

22

+

2 ccc

n

2

= y0

1

n

2

+

2 ccc

n

2

S en t

2 ccc

n

3

Co s t1

n

22

+

2 ccc

n

2

(44

Por lo tanto, el movimiento absoluto de la base, x(t) esta dada por

x(t) = x0 Sen ( t ) , (45)donde, el angulo de fase esta dado por

Tan =2 c

cc

n

3

1

n

2

+

2 ccc

n

2

. (46)

Una grafica del angulo de fase, , como funcion de la relacion de amor-tiguamiento, c

cc, y de la relacion de la frecuencia de excitacion a la frecuencia

natural del sistema vibratorio, n

se muestra en la figura 12.Ademas, la amplitud del movimiento esta dado por

x20

= y20

1

n

2

+

2 ccc

n

2

1

n

22

+

2 ccc

n

2

2

+ y20

2 ccc

n

3

1

n

22

+

2 ccc

n

2

2

23


24/33

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

20

40

60

80

100

120

140

160


ngulodeFase

Grfica del ngulo de Fase, Movimiento en la Base

c/cc=0.1

c/cc=0.2

c/cc=0.3

c/cc=0.4

c/cc=0.6

c/cc=1.0

Figure 12: Angulo de Fase de la Respuesta de un Sistema Vibratorio de unGrado de Libertad Sujeto a un Movimiento Armonico de la Base.

= y20

1

n

22

+ 2

2 ccc

n

2

1

n

2

+

2 ccc

n

4

+

2 ccc

2

n

6

1

n

22

+

2 ccc

n

2

2

= y20

1

n

22

+ 2

2 ccc

n

2

1

n

2

+

2 ccc

n

4

+

2 ccc

2

n

6

1

n

22

+

2 ccc

n

2

2

= y20

1 n2

2

+ 2

2 ccc n2

1 n2 + 2 ccc2 n6 + 2 ccc n41

n

22

+

2 ccc

n

2

2

24


25/33

= y2

01

n

2

2

+ 2c

cc

n

2

2 2

n

2

+

n4

+ 2c

cc

n

4

1

n

22

+

2 ccc

n

2

2

= y20

1

n

22

+

2 ccc

n

2

1 2

n

2

+

n

4

+

2 ccc

n

2

+

2 ccc

n

4

1

n

22

+

2 ccc

n

2

2

= y20

1

n

22

1 +

2 ccc

n

2

+

2 ccc

n

2

1 +

2 ccc

n

2

1

n22

+

2

c

cc

n2

2

= y20

1

n

22

+

2 ccc

n

2

1 +

2 ccc

n

2

1

n

22

+

2 ccc

n

2

2

= y20

1 +

2 ccc

n

2

1

n

22

+

2 ccc

n

2

(47)

Por lo que, finalmente, se tiene que

x0 = y0

1 +

2 ccc

n

2

1

n

22

+

2 ccc

n

2

(48)

Es importante senalar que evaluando la primera y segunda derivada, conrespecto al tiempo, del movimiento de la base, vea la ecuaci on (33), se tieneque

d y(t)

d t= y0 Cos( t) y

d2 y(t)

d t2= y0 2 Sen( t). (49)

De manera semejante, si se evaluan la primera y segunda derivada, conrespecto al tiempo, del movimiento absoluto de la masa M, vea la ecuacion(45), se tiene que

d x(t)

d t= x0 Cos ( t ) y d

2 x(t)

d t2= x0 2 Sen ( t ) (50)

25


26/33

De manera que las relaciones entre las magnitudes del desplazamiento,

velocidad y aceleracion del movimiento absoluto de la masa respecto a lasmagnitudes del desplazamiento, velocidad y aceleracion del movimiento dela base, estan dadas por

x0y0

=x0

y0 =

x0 2

y0 2=

1 +

2 ccc

n

2

1

n

22

+

2 ccc

n

2

(51)

Una grafica de la relacion de amplitudes x0y0

como funcion de la relacionde amortiguamiento, c

cc, y de la relacion de la frecuencia de excitacion a la

frecuencia natural del sistema vibratorio,

nse muestra en la figura 13.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6


TransmisibilidadTr

=Ft/

F0=x0

/y0

Grfica de la Transmisibilidad

c/cc=0.1

c/cc=0.2

c/cc=0.3

c/cc=0.4

c/cc=1.0

c/cc=0.6

c/cc=0.8

Figure 13: Relacion de Amplitudes de la Respuesta de un Sistema Vibratoriode un Grado de Libertad Sujeto a un Movimiento Armonico de la Base.

26


27/33

5 Simulacion de sistemas vibratorios de un

grado de libertad sujetos a vibracion forza-da

Para propositos de simulacion, conviene escribir la ecuacion de movimientodel sistema como

d2y

dt2= c

M

dy

dt k

My +

F0M

Sent.

Es bien sabido que la solucion general, yG(t), de la ecuacion diferencialesta dada por

yG(t) = yH(t) + yP(t),

donde, yH(t) es la solucion general de la ecuacion homogenea asociada. Fisi-camente, yH(t) representa una vibracion transitoria que desaparece con unavelocidad proporcional al amortiguamiento del sistema. Por otro lado, yP(t)es una solucion particular de la ecuacion no homogenea. Fisicamente, yP(t)representa una vibracion permamente que, usualmente, es el objetivo princi-pal del analisis. Esta vibracion permanente esta dada por

yP(t) = y0Sen(t + ),

donde, y0 es la amplitud de la vibracion forzada y es el angulo de fase deesta vibracion respecto a la fuerza de excitacion.

Los archivos forseno1.mdl, vea la figura 14, y forseno2.mdl, vea lafigura 15, simulan el comportamiento del sistema

d2y

dt2+ c

dy

dt+ 25y = 10 Sen2.5t.

En el archivo forseno1.mdl c = 0.1, por lo que c/cc = 0.01, mientras queen el archivo forseno2.mdl c = 4, por lo que c/cc = 0.4. En ambos casoslas condiciones iniciales son

Para t = 0, y(0) = 1, ydy

dt(0) = 0.

Nuevamente, debe suponerse que las unidades son consistentes y corre-sponden a un sistema de unidades, por ejemplo el Sistema Internacional.

27


28/33


29/33

Figure 15: Segundo Modelo de un Sistema Fuertemente Amortiguado Sujetoa Excitacion Armonica.

del movimiento de la base que excita el sistema, y0. Es decir

TR x0y0

. (52)

Sin embargo, por los resultados de la seccion 4, vea la ecuacion (51),esta definicion puede extenderse a la relacion entre las magnitudes de las

velocidades o a la relacion entre las magnitudes de las aceleraciones corre-spondentes y esta dada por

TR x0y0

=x0

y0 =

x0 2

y0 2=

1 +

2 ccc

n

2

1

n

22

+

2 ccc

n

2

. (53)

En una segunda version, la transmisibilidad se define como la relacion dela amplitud de la fuerza transmitida, FT, por el sistema vibratorio a la base,respecto a la amplitud de la fuerza de excitacion, F0. Es decir

TR FTF0

. (54)

En este caso, es necesario realizar algunos calculos adicionales. Para elloconsidere el sistema vibratorio mostrado en la figura 18. La amplitud de la

29


30/33

0 10 20 30 40 50 60 70 801.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo, segundos

Desplazamiento,u.l.

Respuesta de un Sistema Ligeramente Amortiguado Sujeto a Excitacin Armnica

Figure 16: Respuesta del Primer Modelo de un Sistema Ligeramente Amor-tiguado Sujeto a Excitacion Armonica.

fuerza de excitacion es F0, ademas, ya se sabe que la respuesta del sistemaesta dada por

y(t) = y0 Sen ( t ) (55)La derivada de esta ecuacion, que representa la velocidad de la masa estadada por

d y(t)

d t= y0 Cos ( t

) (56)

De manera que la fuerza ejercida por el resorte4, denotada por FRes, estadada por

FRes = k y0 Sen ( t ) . (57)De manera semejante, la fuerza ejercida por el amortiguador, denotada porFAmor, esta dada por

FAmor = c y0 Cos ( t ) = c y0 Sen

t + 2

. (58)

La fuerza total transmitida por el sistema vibratorio a la base esta dada

por5

4Esta fuerza solo incluye la fuerza debida a la respuesta del sistema y no incluye ladeformacion estatica del resorte.

5En sentido estricto, los puntos de aplicacion de la fuerza ejercida por el resorte sobre

30


31/33

0 10 20 30 40 50 60 70 800.5

0

0.5

1

Tiempo, segundos

Desplazamiento,u.l.

Respuesta de un Sistema Fuertemente Amortiguado Sujeto a Excitacin Armnica

Figure 17: Respuesta del Segundo Modelo de un Sistema Fuertemente Amor-tiguado Sujeto a Excitacion Armonica.

FT otal(t) = FRes + FAmor = k y0 Sen ( t ) + c y0 Sen

t + 2

.

(59)Debe notarse que las componentes del lado derecho de la ecuacion estandesfasadas 90; por lo tanto, del apendice C, se tiene que la amplitud de la

fuerza total transmitida, denotada por FT, esta dada por

FT =

(k y0)2 + (c y0 )

2 = y0

(k)2 + (c )2 = y0 k

1 +

c

k

2

= y0 k

1 +

2c

cc

n

2

Sustituyendo el valor de y0, la amplitud del estado permanente o esta-cionario, de la respuesta del sistema vibratorio, ecuacion (13), reproducida acontinuacion

y00

=1

1

n

22

+

2 ccc

n

2

la base y de la fuerza ejercida por el amortiguador sobre la base, no coinciden, de maneraque esta suma de fuerzas unicamente tiene significado en puntos de la base alejados de lospuntos de aplicacion de la fuerza, recuerde el principio de Saint Venant.

31


32/33

Figure 18: Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a Vibraci onForzada con una Fuerza de Excitacion de Amplitud Constante.

o

y0 =0

1

n

22

+

2 ccc

n

2

=F0k

1

n

22

+

2 ccc

n

2

Por lo tanto, la fuerza transmitida esta dada por

FT =F0

k1

n

22

+

2 ccc

n

2

k

1 +

2 ccc

n

2= F0

1 +

2

c

cc

n2

1

n

22

+

2 ccc

n

2

(60)Por lo tanto, la primera version de la transmisibilidad esta dada por

TR =FTF0

=

1 +

2 ccc

n

2

1

n

22

+

2 ccc

n

2

. (61)

Concluyendo, la transmisibilidad tiene multiples interpretaciones y una

misma ecuacion, dadas por

TR =x0y0

=x0

y0 =

x0 2

y0 2=

FTF0

=

1 +

2 ccc

n

2

1

n

22

+

2 ccc

n

2

. (62)

32


33/33

Esta ecuacion de la transmisibilidad es la misma dada por la ecuacion

(51) y la grafica de la transmisibilidad como funcion de la relacion de amor-tiguamiento, ccc

, y de la relacion de la frecuencia de excitacion a la frecuencianatural del sistema vibratorio,

nse muestra en la figura 13.

33

sistemas 1 grado de libertad sujetos a vibracion forzada

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