Estadística. SESIÓN 9: Distribuciones de probabilidad

discreta. Segunda parte.

Contextualización

En la presente sesión analizarás y describirás un experimento binomial,

definirás y conocerás la función de probabilidad de este experimento, su

valor esperado y la varianza.

Asimismo, tendrás la posibilidad de resolver problemas que involucren la

variable aleatoria discreta binomial.

Fuente: http://www.boost.org/doc/libs/1_36_0/libs/math/doc/sf_and_dist/graphs/binomial_pdf_1.png

Introducción

Algunos fenómenos comunes dan como resultado variables

aleatorias discretas y pueden ser descritos por distribuciones de

probabilidad de tipo estándar.

La distribución binomial es una distribución de probabilidad que

tiene muchas aplicaciones. Está relacionada con un experimento de

pasos múltiples al que se le llama experimento binomial.

Explicación Distribución Binomial

¿Qué es una Distribución Binomial?

La distribución binomial es una distribución de probabilidad

discreta útil para describir una diversidad de fenómenos.

Un experimento es binomial si cumple con las siguientes

características:

En una ejecución hay dos resultados posibles: éxito y el otro

fracaso.

Hay n ejecuciones, donde n es un número entero positivo fijado de

antemano.

Las ejecuciones son independientes.

La probabilidad de éxito para todas las ejecuciones es la misma.

Modelo de la Distribución Binomial

Si un experimento consiste de n ensayos binomiales, cada uno con una probabilidad p de obtener un éxito y una probabilidad q para un fracaso (q=1 – p), entonces, la probabilidad de x éxitos en n ejecuciones es:

Ejemplos del experimento son:

Lanzamiento de una moneda

Inspeccionar un objeto al azar para clasificarlo como defectuoso o no defectuoso.

Cálculo de la media y varianza:

Explicación

Ejemplo: en San Francisco, 30% de los trabajadores emplean el transporte público.

¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 trabajadores exactamente tres empleen el transporte público?

¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 trabajadores por lo menos tres empleen el transporte público?

xnxqpx

npnxb

),;(

2668.0)0823)(.027)(.120()7(.)3(3

10)3,.10;3( 73.

b

•p = 30% = .3, q= 1 – p = 1-.3 = .7, n = 10, x= 3

Explicación

Probabilidad x≥3

P(x≥3) = 1- P(x<3)

P(x≥3) = 1- [P(x=1)+P(x=2)]

Ahora aplicaremos la fórmula de la binomial para encontrar las dos

probabilidades:

Explicación

Sumando estas dos probabilidades nos da el resultado de P(x<3)

P(x<3) = 0.1210 + 0.2334

P(x<3) = 0.3544

Teniendo este dato, pasamos a calcular la P(x≥3)

P(x≥3) = 1- P(x<3)

P(x≥3) = 1- 0.3544 = 0.6456

Explicación

El siguiente ejemplo está tomado de Vadenúmeros.es

Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar Si o

NO. Suponiendo que a las personas que se le aplica no saben

contestar a ninguna de las preguntas y, en consecuencia, contestan al

azar, hallar:

Probabilidad de obtener cinco aciertos.

Probabilidad de obtener algún acierto.

Probabilidad de obtener al menos cinco aciertos.

Es una distribución binomial, la persona sólo puede acertar o fallar la

pregunta.

Suceso A (éxito)=acertar la pregunta p=(A)=0,5

Suceso Ā=no acertar la pregunta q=p(Ā)=0,5

Distribución binomial de parámetros n=10.p=0,5 B(10; 0,5)

Probabilidad de obtener cinco aciertos:

Obtener exactamente cinco aciertos K=5, aplicamos la fórmula:

Probabilidad de obtener algún acierto

p(x≥1)=

p(x=1)+p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)+p(x=5)+p(x=6)+p(x=7)+p(x=8)+p(x=9)+

p(x=10)

El suceso “obtener algún acierto” es el suceso contrario a “no obtener

ningún acierto”.

P(x≥ 1) = 1 – p(x=0)

Calculamos la probabilidad de no obtener ningún acierto p(x=0)

Probabilidad de obtener al menos cinco aciertos Acertar cinco o

más

P(x≥5) = p(x=5) + p (x=6) + p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) + p(x=10)

P(x≥5) = 0.2461 + 0.2051 + 0.1172 + 0.0439 + 0.00098 + 0.0010 = 0.6231

Conclusión

En esta sesión aprendimos a calcular la probabilidad a través de la

distribución binomial, la cual tiene como característica principal el éxito o

fracaso de los eventos (experimentos) que se están analizando.

En la siguiente sesión aprenderemos el cálculo de la distribución Poisson.

Fuente: http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/distribucion-de-poisson.jpg

Para aprender más

En este apartado encontrarás más información acerca

del tema para enriquecer tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los

siguientes sitios de Internet.

Khanacademy.org. (s.f.). Distribución binomial.

Consultado el 6 de noviembre de 2013:

https://es.khanacademy.org/math/probability/random-

variables-topic/binomial_distribution/v/binomial-

distribution-1

Distribuciones de probabilidades discretas. (s/f).

Consultado el 6 de noviembre de 2013:

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_

private/01UNIDAD%20IV.htm

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al

tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con

más éxito.

Bibliografía

Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para

administración y economía. México: Editorial Cengage Learning.

Cibergrafía

Vadenumeros.es. Actividades interactivas. Consultado el 3 de marzo de

2014: http://www.vadenumeros.es/