Matemática Básica(Ing.) 1

Sesión 6.1

Funciones Logarítmicas

Matemática Básica(Ing.) 2

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Habilidades

1. Define la función logaritmo y evalúa logaritmos de números.

2. Relaciona las gráficas de la función logaritmo.

3. Describe las características de la función logarítmica y su gráfica según el valor de b.

4. Usa técnicas de graficación, para trazar funciones logarítmicas.

5. Determina el dominio, rango, asíntotas e intercepto con los ejes.

6. Desarrolla las propiedades de producto, cociente y cambio de base de una función logarítmica.

Matemática Básica(Ing.) 4

• ¿A qué exponente debe elevarse 10 para producir los números:

a. 100?

b. 0,001?

c. -100?

d. 30?

Introducción ¿Cómo despejan la variable x en la expresión ? x23

• ¿Cuántas veces más severo fue el terremoto de 2001 en Gujarat, India (R1 = 7.9) que el terremoto de 1999 en Atenas, Grecia (R1 = 5.9)

Matemática Básica(Ing.) 5

y = logb x si y sólo si by = x

Logaritmo en base “b”

Donde: b: base 0 < b ≠ 1 y: exponente x > 0

Si f(x) = bx, entonces f -1(x) = logbx.

logbx = y x = by

Luego:Dominio f -1 = Rango fRango f -1 = Dominio f

Matemática Básica(Ing.) 6

La función logaritmo de base b, donde 0 < b 1, se denota por logb y se define como:

Función logaritmo

f(x) = logb x

Observación:• Si x1 x2 , entonces logb x1 logbx2

• Si logb x1= logb x2, entonces x1= x2

Matemática Básica(Ing.) 7

Gráfica de y = log2x para b >1

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

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Gráficas de y = 2x , y = log2 x

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

y = log2 x

y = 2x y = x

Matemática Básica(Ing.) 9

• log =

y = log x si y sólo si 10y = x

Logaritmo común (en base 10)

Ejemplos:

• log 0,01 =

0, Porque 100 = 1

-2, Porque 10-2 = 0,01

½ ,

• log 1 =

Porque 101/2 = 1010

Matemática Básica(Ing.) 10

y = ln x si y sólo si ey = x

Logaritmo natural (base e)

Ejemplos:

• ln 1=

• ln 10 =

• ln ek =

0, Porque e0=1

2,302585…, Porque e2,3…=10

k , Porque ek = k

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-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

Gráficas de y = ex, y = lnx

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

y = lnx

y = ex y = x

Matemática Básica(Ing.) 12

logb 1 = 0

logb b = 1

logb bx = x

log 1 = 0 ln 1 = 0

log 10 = 1 ln e = 1

log 10x = x ln ex = x

b = xlogbx

10 = xlogx

e = x ln x

Propiedades

Base b Base 10 Base e

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-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

Graficar y = log1/2 x ; y = (1/2)x

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

y = (1/2)x

y = log1/2 x

y = x

Matemática Básica(Ing.) 14

Leyes de los logaritmos

Sea b > 0, b ≠ 1. Sea R, S, C números reales con R > 0, S > 0

SRRSog bbb loglogl

SRSR

og bbb loglogl

RCRog bC

b logl

Regla del producto:

Regla del cociente:

Regla de la potencia:

Matemática Básica(Ing.) 15

1. logb R logbS = logb R + logb S

2. logb (R + S)= logb R + logb S

3. logbR / logb S = logb R - logb S

4. logb (R - S) = logb R - logb S

Errores comunes

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Fórmula de cambio de base

2log5log

log25 = 2ln5ln

bx

xc

cb log

loglog

Para los números reales positivos b, c y x con b ≠ 1y c ≠ 1

Ejemplo:

Matemática Básica(Ing.) 17

Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Ejercicios de la sección 3.3

Pág. 300 - 309

Ejercicios de la sección 3.4Pág. 310 - 319

Sobre la tarea,

está publicada en el AV Moodle.

Importante