series de fourier (n)
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SERIES DE FOURIERSERIES DE FOURIER
Función Periódica ( ) es si está definida y si 0
tal que ( ) ( ), donde se llama período.
PERIOD
ICAf x x T
f x T f x T
CONCEPTOS BASICOS
SERIE TRIGONOMETRICA
0
1
cos( ) ( ) donde , se2
llaman coeficientes de la serie.
n n n nn
a n x n xa b sen a b
L L
SIMETRIAS
0
( ) es si ( ) ( ) , . En este caso :
es simétrica respecto al eje Y. Además, ( )
P
( )
A
2
Ra a
f
a
f x f x f x x
G f x dx f x dx
( ) es si ( ) ( ) , . En este caso :
es simétrica respecto al origen. Además,
IMP
( 0
A
)
Ra
g
a
g x g x g x x
G g x dx
RELACIONES DE ORTOGONALIDAD
( ) cos( ) 0
0 si ( ) ( )
si
0 si cos( ) cos( )
si
L
L
L
L
L
L
m x n xsen dx
L Lm nm x n x
sen sen dxL m nL L
m nm x n xdx
L m nL L
Dada una función ( )
¿ Será posible representarla mediante una serie trigonométrica ?
¿ Qué condiciones debe cumplir la función ( ) ?
¿ Bajo qué hipótesis se puede garantizar convergencia de la serie
f x
f x
trigonométrica ?
¿ Converge la serie trigonométrica a la función ( )?
¿ Cuándo se habla de Serie de Fourier ?
f x
INTERROGANTES QUE SURGEN
'
0
Sea ( ) una función tal que :
i) Es periódica de período 2
ii) ( ) y ( ) son seccionalmente continuas en ,
entonces ( ) se puede representar por la Serie de Fourier
TEOREMA
( ) cos( )2 n
a n xf
f x
T L
f
x aL
x f x L L
f x
1
cuyos coeficientes están dados por las fórmulas de Euler
( )
1( )cos( ) , 0,1,2,...
1( ) ( ) , 0,1,2,...
nn
L
n
L
L
n
L
n xb sen
L
n xa f x dx n
L L
n xb f x sen dx n
L L
0
L
0
ii) Si ( ) es impar entonces ( ) ( )
2donde = ( ) ( ) , 1, 2,3,...
nn
n
n xf x f x b sen
L
n xb f x sen dx n
L L
OBSERVACION
0
0
L
0
i) Si ( ) es par entonces ( ) cos( ) 2
2donde = ( )cos( ) , 0,1,2,...
nn
n
a n xf x f x a
L
n xa f x dx n
L L
Sea ( ) una función tal que :
i) Es periódica de período 2
ii) Es seccionalmente continua en ,
iii) Admite derivada por la izquierda y
TEOREMA ( DE CONVERGENCIA
por la derecha
en cada punto de
)
f x
T L
L L
L
0
0
(a) Al valor ( ) en cada punto en el cual e
, . Entonces :
la Serie de Fou
s continua.
( ) ( )(b) Al valor en cada punto en el que es discon
rier cos( ) ( ) converge :2
tinua2
n nn
L
a n x n xa b sen
L L
f x f
f x f xf
.
DESARROLLOS DE MEDIO RANGO
Sea ( ) una función definida solamente en 0, .
Es posible realizar una prolongación de ( ) en todo que
tenga características de periodicidad.
Pueden realizarse dos tipos de prolongaciones :
f x L
f x
PAR
IMPAR
0
0
0
En este caso :
( ) cos( )2
2con ( ) cos( ) , 0,1,2,...
nn
L
n
a n xf x a
L
n xa f x dx n
L L
i) EXTENSION PERIODICA PAR DE ( )f x
ii) EXTENSION PERIODICA IMPAR DE ( )f x
0
0
En este caso :
( ) ( )
2con ( ) ( ) , 1, 2,...
nn
L
n
n xf x b sen
L
n xb f x sen dx n
L L
SERIE DE FOURIER GENERALIZADA
0Un conjunto de funciones ( ) se llama siORTOGONAL en
( ) ( ) 0,si
a,bn n
b
n ma
x
x x dx n m
2
2Si ( ) ( ) es la norma cuadrada de ( )b
n n nan m x dx x x
0ORTOGONAL CON
RESPECTO A UNA FUNCION DE PESO
Un conjunto de funcion
( ) en a,b
es ( ) se llama
si
( ) ( ) ( ) 0,si
n n
b
n ma
x
x x w x dx n m
w x
0
¿ Es posible determinar un conjunto de coeficientes para los cuales
( ) ( ) ( ) ?
n
n nn
C
f x C x
USE LA
ORTOGONALIDADPARA DEDUCIR
QUE
2 22 ; d
( ) ( ) ( )( ) ond ( ) ( ) ( )
( )e
b
bnan n na
n
f x x w x dxC x x w x dx
x
La serie ( ) con coeficientes dados por ( ) s SERIE
DE FOURIER GENERALIZA
e l
DA
lama
D
E ( )f x