guia3-series de fourier

7/24/2019 Guia3-Series de Fourier

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA

UNANMANAGUA

RECINTO UNIVERSITARIO RUBEN DARIO

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIAS

DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA

INGENIERA EN ELECTRNICACURSO: SEALES Y SISTEMAS

Laboratorio: Introduccin a las series de Fourier con MATLAB

Elaborado por:

MSc. Jairo Gonzlez Moreno

Octubre del 2015


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ndice

INTRODUCCIN .................................................................................................................. 1

APLICACIN EN PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES ........................................ 1

Objetivos ............................................................................................................................... 3

Marco conceptual ................................................................................................................. 4

Desarrollo ............................................................................................................................. 6

Funciones Armnicas........................................................................................................ 6

EJEMPLO: SEAL POLAR DE PULSOS RECTANGULARES ...................................... 11

Bibliografa .......................................................................................................................... 15


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INDICE DE FIGURAS

Figura 1: Fourier ................................................................................................................... 4

Figura 2: Amplitudes diferentes ............................................................................................ 6

Figura 3: Amplitudes iguales ................................................................................................ 6

Figura 4: Fases Distintas ...................................................................................................... 7

Figura 5: Suma de funciones trigonomtricas ...................................................................... 8

Figura 6: Suma no peridica ................................................................................................. 9

Figura 7: Seal cuadrada unitaria ....................................................................................... 11

Figura 8: Espectro en amplitud ........................................................................................... 12

Figura 9: Primer armnico .................................................................................................. 13

Figura 10: Suma de primero y tercer armnico .................................................................. 13

Figura 11: Suma de tres armnicos .................................................................................... 13

Figura 12: Los primeros tres armnicos en el dominio del tiempo ...................................... 14
http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691145http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691146http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691147http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691148http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691148http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691147http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691146http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691145


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INTRODUCCIN

Muchas ecuaciones de las ciencias se formulan con derivadas parciales y se resuelven, en

ocasiones, descomponiendo la incgnita en series (sumas infinitas). Las series ms

interesantes son las de potencias y por supuesto las de Fourier. Dado el carcter peridicode tales sumas, las series de Fourier se aplican, por ejemplo, donde surgen procesos

oscilantes, como ocurre en las series temporales de naturaleza econmica, en electrnica

(se aplican por ejemplo en teora de seales), en acstica o en ptica. Los problemas

tericos relacionados con la convergencia de las series de Fourier han impulsado avances

fundamentales en distintos mbitos de las matemticas y siguen siendo considerados hoy

como problemas muy difciles.

APLICACIN EN PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES

Es importante considerar la aplicacin de las series de fourier, ya que estas sirven mucho

en el procesamiento digital de seales, la cual es un rea de las ciencias e ingeniera que se

ha desarrollado rpidamente en los ltimos aos.

Este desarrollo es resultado de avances tecnolgicos tanto en las computadoras como en

la fabricacin de circuitos integrados. Estos circuitos digitales baratos y relativamente rpidos

han hecho posible construir sistemas digitales altamente sofisticados, capaces de realizar

funciones y tareas del procesado de seales que convencionalmente se realizaban

analgicamente, se realicen hoy mediante hardware digital, ms barato y a menudo ms

fiable. Es relevante la diferencia entre una seal analgica y digital para comprender mejor el

procesamiento de seales, el nombre de una seal analgica se deriva del hecho de que es

una seal anloga a la seal fsica que se representa .La magnitud de una seal analgica

pude tomar cualquier valor, esto es, la amplitud de una seal analgica exhibe una variacin


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[2]

continua sobre su campo de actividad. La gran mayora de seales en el mundo que hay a

nuestro alrededor son analgicas. Los circuitos que procesan estas seales se conocen

como circuitos analgicos. Una forma alternativa de representacin de seal es la de una

secuencia de nmeros, cada uno de los cuales representa la magnitud de seal en uninstante determinado. La seal resultante se llama seal digital, est a diferencia de la seal

analgica es una seal que esta discretisada en el tiempo y cuantificada en magnitud. El

procesamiento de seales se correlaciona con las series de fourier ya que esta nos permite

expresar una funcin peridica de tiempo como la suma de un nmero infinito de senoides

cuyas frecuencias estn armnicamente relacionadas La importancia de esto radica en que

la serie de Fourier nos facilita el arduo trabajo del manejo con seales, ya que para que

nosotros podamos procesar estas seales es necesario expresarlas como una combinacin

lineal de trminos, lo cual nos lo proporciona la serie de Fourier (Grisales, 2009).


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[3]

Objetivos

Realizar una simulacin a travs de software para comprender las seales en el dominio

del tiempo.

Realizar la descomposicin de una seal a travs de los mtodos matemticos paraencontrar la serie de Fourier

Representar algunos ejemplos de la serire de fourier en el software MATLAB y ver

grficamente como se reconstruye una seal.


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[4]

Marco conceptual

Los fenmenos peridicos han fascinado por mucho tiempo a la humanidad. Nuestros

ancestros conocan las recurrencias de las fases de la Luna y de ciertos planetas, las mareas

de los lagos y los ocanos y los ciclos del agua. El clculo y la ley de la gravitacin de IsaacNewton permitieron explicar la periocidad de las mareas, pero Joseph Fourier y sus

sucesores quienes desarrollaron el anlisis de Fourier que ha tenido aplicaciones ms

profundas en el estudio de los fenmenos naturales y en el anlisis de seales y datos.

Figura 1: Fourier

Simulacin es una tcnica numrica para conducir experimentos en una computadora

digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemticas y lgicas,

las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas

complejos del mundo real a travs de largos periodos de tiempo.

MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es una

herramienta de software matemtico que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con

un lenguaje de programacin propio (lenguaje M). Est disponible para las plataformas Unix,

Windows, Mac OS X y GNU/Linux.

Las ondas armnicas continuas no existen realmente, ya que todos los movimientos

ondulatorios estn limitados tanto espacial como temporalmente. Utilizando el anlisis de

Fourier y la transformada de Fourier se pueden describir formas de ondas ms complejas

como las que producen los instrumentos musicales.


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[5]

El anlisis de Fourier surgi a partir del intento de ste matemtico francs por hallar la

solucin a un problema prctico, la conduccin del calor en un anillo de hierro. Demostr que

se puede obtener una funcin discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Estatesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motiv severas objeciones

de los matemticos ms importantes de su poca como Lagrange, Laplace, etc.


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Desarrollo

Funciones Armnicas

En primer lugar, vamos a distinguir entre las magnitudes: amplitud A, frecuencia f y fase enla funcin armnica.

sin2. +

Dos amplitudes distintas, A=10 y A=5 y la misma frecuencia f=100 Hz, (el tiempo se mide enmilisegundos, ms)

subplot(2,1,1)t=0:0.1:50;x=10*sin(2*pi*0.1*t); %amplitud 10plot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')title('Distinta amplitud')ylim([-11,11])

grid on

subplot(2,1,2)x=5*sin(2*pi*0.1*t); %amplitud 5plot(t,x,'r')ylim([-10,10])xlabel('t(ms)')ylabel('x')ylim([-11,11])grid on

La misma amplitud A=10, dos frecuencias distintas f=100 y f=200 Hz

subplot(2,1,1)t=0:0.1:50;x=10*sin(2*pi*0.1*t); %frecuencia, 100 Hzplot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')title('Distinta frecuencia')ylim([-11,11])grid on

subplot(2,1,2)x=10*sin(2*pi*0.2*t); %frecuencia, 200 Hz

plot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')ylim([-11,11])grid on

Figura 2: Amplitudes diferentes

Figura 3: Amplitudes iguales


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[7]

Fases iniciales distintas: 0, /2, ,3/2, misma frecuencia f=100 Hz y misma amplitud A=10.subplot(4,1,1)t=0:0.1:50;x=10*sin(2*pi*0.1*t);plot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')title('Distinta fase inicial')ylim([-11,11])grid on

subplot(4,1,2)x=10*sin(2*pi*0.1*t+pi/2);plot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')ylim([-11,11])grid on

subplot(4,1,3)x=10*sin(2*pi*0.1*t+pi);

plot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')ylim([-11,11])grid on

subplot(4,1,4)x=10*sin(2*pi*0.1*t+3*pi/2);plot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')ylim([-11,11])grid on

Una funcin peridica resultado de la superposicin de tres funciones armnicas condistintas frecuencias, amplitudes y fases iniciales.

200sin2.100 +2 + 100sin2. 200 + + 100 sin 2. 400 +3

2f=[100,200,400]; %frecuenciasA=[200,100,100]; %amplitudesphi=[90,180,270]; %fases

subplot(2,2,1)stem(f,A)axis([0,500,0,210])

xlabel('Frecuencia')ylabel('Amplitud')

subplot(2,2,2)stem(f,phi)axis([0,500,0,360])xlabel('Frecuencia')set(gca,'YTick',0:90:360)set(gca,'YTickLabel',{'0',90','180','270','360'})ylabel('Fase')

Figura 4: Fases Distintas


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[8]

subplot(2,2,3:4) %resultantet=(0:0.1:30)/1000; %milisegundosx=zeros(1,length(t));fori=1:length(f)

x=x+A(i)*sin(2*pi*f(i)*t+phi(i)*pi/180);endplot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')title('Resultante')ylim([-410,410])set(gca,'XTick',(0:5:30)/1000)set(gca,'XTickLabel',{'0','5','10','15','20','25','30'})grid on

Funcin peridica

Una funcin es peridica de periodo P si hay un nmero P>0 tal que:

+ Cualquier mltiplo n entero de P es tambin periodo

+ La funcin:

cos2+ cos4

2

Es la suma de dos funciones peridicas de periodos 1 y 0.5, respectivamente. Comopodemos ver en la grfica f(t) es peridica con periodo P=1.

Las funcionescosycos2Son peridicas de periodo

Figura 5: Suma de funciones trigonomtricas


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2 y 2/2 respectivamente, pero la suma cos+ cos2

No es peridica.

Figura 6: Suma no peridica

Serie de Fourier

A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas

representa una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es peridica, se puede

representar con una precisin arbitraria, mediante la superposicin de un nmero

suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie armnica.

Toda funcin f(t) peridica de periodo 2P, se puede representar en forma de una suma

infinita de funciones armnicas, es decir,

2 + [cos

+ sin

]

=

Donde a0 a1 ...ak ... y b1 b2 .... bk .... son los denominados coeficientes de Fourier.

Teniendo en cuenta los resultados de las integrales:

cos sin

cos sin 0


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[10]

>>syms t m n;

>>evalin(symengine,'assume(n,Type::Integer)');

>>evalin(symengine,'assume(m,Type::Integer)');>>int('sin(m*t)*cos(n*t)',t,-pi,pi)

ans =0

cos cos

cos cos

2 (cos( + ) + cos( )) { 0, 0,

>> y=int('cos(m*t)*cos(n*t)',t,-pi,pi)y =

(2*(m*cos(pi*n)*sin(pi*m) - n*cos(pi*m)*sin(pi*n)))/(m^2 - n^2)

>> limit(y,m,n)ans =

pi*cos(pi*n)^2

sin sin

sin sin

2 (cos( + ) + cos( )) {

0, 0,

>> y=int('sin(m*t)*sin(n*t)',t,-pi,pi)

y =

-(2*(m*cos(pi*m)*sin(pi*n) - n*cos(pi*n)*sin(pi*m)))/(m^2 - n^2)

>> limit(y,m,n)

ans =

pi*cos(pi*n)^2


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Los coeficientes de la serie de fourier se encuentran a travs de las siguientes ecuaciones

(Matlab):

2

2 cos

2 sin

EJEMPLO: SEAL POLAR DE PULSOS RECTANGULARES

Por su importancia en la transmisin de informacin en comunicaciones y lo extenso de su

aplicacin se estudiar esta seal:

Figura 7: Seal cuadrada unitaria

En el intervalo 0 2 t la seal f(t) est dada por:

g tt

t( )

1 0

1 2

Representaremos esta seal por la serie trigonomtrica de Fourier. Se observa que la seal F(t) es

una funcin impar por lo que an=0 y contiene trminos seno.

bT

sen n tT

sen n tdtn

2 2

0

0

2

0

T = 2


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[12]

0

21

T

Entonces

b

nt

n

nt

nn

2

2

2

2

0

2

cos cos

1 1 +1

1

b nn

4

0

.... ........ ....... ...... para n impar

........ ........ ....... .... para n par

= sin 4 + 43 3 + 45 5

Figura 8: Espectro en amplitud

La expresin g(t) indica que sumando una seal senoidal de frecuencia:

f0

0

2

1

2

hertz y de4

volts de amplitud ms una seal senoidal de frecuencia

f = 3

2Hertzy una amplitud de

4

3volts + . se obtiene una seal de pulsos rectangulares.


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Figura 9: Primer armnico

Figura 10: Suma de primero y tercer armnico

Figura 11: Suma de tres armnicos

Representacin de la seal en MATLAB% el primer armnico o frecuencia fundamental de la seal cuadrada en azult=0:.1:10y=4*sin(t)/pi;plot(t,y)hold on%el segundo armonico en verde

y=(4/pi)*[sin(3*t)/3];hold on


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plot(t,y,'g')%el tercer armonico en ++++y=(4/pi)*[sin(5*t)/5];hold on

plot(t,y,'+')%la resultante en rojo,al sumar las armonicas, de la seal cuadrada.%siga sumando hasta 10 armonicos y observe que la resultante que se aparece mas%a la seal cuadrada

y=(4/pi)*[sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5];plot(t,y,'r')

Figura 12: Los primeros tres armnicos en el dominio del tiempo


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Bibliografa

Grisales, G. G. (2009).ABC Matemtico. Obtenido de Como se Aplican las Seires de Fourier:

http://abcmatematico.blogspot.com/2009/04/como-y-donde-se-aplican-las-series-

de.htmlMatlab. (s.f.). Matlab. Obtenido de Series de Fourier: http://www.sc.ehu.es/sbweb/energias-

renovables/MATLAB/simbolico/fourier/fourier.html

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