1

Series de Fourier

2

Funciones Periódicas

En una función periódica f(t), se cumple que para todo valor de t:

f(t) = f(t + T).

Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función.

Observa que:

f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1, 2, 3,...

3

Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función

Si f(t) es periódica se debe cumplir:

Como cos(t + 2k) = cos(t) para cualquier entero k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que:

T/3 = 2k1 y T/4 = 2k2Es decir:

T = 6k1= 8k2con k1 y k2 enteros.

El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es decir, T = 24

?coscos 43 )()(f(t) tt

)()(T)f(t TtTt43 coscos )()(f(t) tt

43 coscos

4

Gráfica de la función

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24

T

)()(f(t) tt43 coscos

5

¿Es la suma de dos funciones periódicas una función periódica?Depende. Consideremos la función:

f(t) = cos(1t) + cos(2t).

Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que:

1T = 2m y 2T = 2n.Es decir, que cumplan:

T = m/ (2 1) = n/ (2 2)n

m

2

1

6

Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((+3)t) tenemos que

¿Es periódica?

3

3

2

1

0 5 10 15 20 25 30-2

-1

0

1

2

f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t)

t

f(t)

7

Para que exista periodicidad 1/ 2 debe ser

un número racional (n/m).

Ejercicios: Encontrar el periodo de las

siguientes funciones, si es que son periódicas:

1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.

2) f(t) = sen2(2t)

3) f(t) = sen(t) + sen(t + )

4) f(t) = sen(1t) + cos(2t)

5) f(t) = sen(2 t)

8

Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2,

¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo

T < min(T1,T2)?

T1 = 5

T2 = 5

T = 2,5

9

Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos:

11

,0

10),2(

)(1

tN

NttNsen

tf

11

),2(

10,0

)(2

tN

tNsen

Nt

tf

extendida periódicamente con T = 1:

ttftf ),1()( 11

extendida periódicamente con T = 1:

ttftf ),1()( 22

ttftf

ttNsentftf

),1()1(

10,)2()()(

2121

NNT

1

2

22

10

¿Puede una función f(t) cumplir la condición f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental?

enterounes nosi0

enterounessi1)(1 t

ttf

1

enterossonnoysi0

enterossonysi1)()( 11

T

Ttt

TttTtftf

11

enterounesoirracionalessi0

enterounnoperoracionalessi1)(2 t

ttf

1

enterosoesirracionalsonysi0

enteros noperoracionalessonysi1)()( 22

T

Ttt

TttTtftf

irracionales si0

racionalessi1)()( 21 t

ttftf

T = ?

12

...3

)3(

2

)2(

2

tsentsentsen

t

¿Cómo lo alcanzó?

Volvamos al resultado de Euler:

...)(

...)(32

32

titiit

titiit

eetSe

eeetS

t

tseni

e

etS

it

it

cos12

1

2

1

1)(

...)3()2(...)3cos()2cos(cos

...)(

2

1

32

tsentsentsenittt

eeetS titiit

2;

4...

7

1

5

1

3

11

2

2

1...

3

)3(

2

)2(

4

CCt

Cttsentsen

tsen

Integrando término a término:

Utilizando la fórmula de Euler para cada término:

Particularizamos t para encontrar C:

13

...3

)3(

2

)2(

2

tsentsentsen

t

...3

)3(

2

)2()(

22

...3

)3(

2

)2()(

2

tsentsentsen

t

tsentsentsen

t

14

(1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π.

(2) La serie es una función impar.No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros.

(3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2.Pero no fuera del intervalo...

(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.

(5) La aproximación no es buena en "los extremos"...Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...

15

Se necesita también como condición inicial u(0,x)=f(x) para 0<x<1.Euler en 1749 demostró la misma solución. Pero difería con D'Alambert en el posible tipo de f(x) inicial. De hecho, este es el inicio del problema de la "definición" de unafunción. Para Euler era posible una función en partes: cualquier gráfica era una función.Para D'Alambert necesariamente: expresión analítica compacta.

16

17

En realidad la forma de solucionar el problema por parte de Daniel Bernoulli en 1753 fue completamente distinta. Se basó en la superposición de ondas y tomó como solución:

un(x,t) = sin(nx) cos(nt)

donde para cada t fijo cada sin(nx) se anula en n-1 puntos o nodos.

1n

n )ntcos()nx(sena)t,x(u

Pero recordemos que u(x,0) = f(x)...

18

Resolvamos por variables separadas: u(x,t) = X(x) T(t)

.t,)t(T)t(''T

)(X)(X),,(x,)x(X)x(''X

.c.cy.i.c;x

)t,x(u

t

)t,x(u

00

010100

2

2

2

2

Por eso Bernouilli optó por tomar f(x) como:

1

0n

n )nx(sena),x(u)x(f

con una adecuada elección de los coeficientes an...

19

Joseph Fourier

En diciembre de 1807 Joseph Fourier presentó un

sorprendente artículo a la Academia de Ciencias

en París. En él afirmaba que cualquier función

puede escribirse en forma de serie trigonométrica

semejante al ejemplo de Euler.

Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) era uno de los muchos que opinaba que algo así era simplemente imposible...

20

Fourier fue nombrado por Napoleón secretario permanente del Instituto Egipcio.Contrajo una enfermedad de Tiroides (mixedema).

21

Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la ecuación del calor o de difusión:

Describe cómo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio.

Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlánticos, edad de la Tierra,...

t

u

kx

u

1

2

2

22

x);x(f),x(u

t;)t,(u)t,(ut

)t,x(u

kx

)t,x(u

00

000

12

2

00

)(X)(Xcon

)t(T)x(''X)t('T)x(X

)t(T)x(X)t,x(u

Dividiendo entre X(x)T(t):

)xA(senC)xAcos(C)x(X);x(AX)x(''X

eC)t(T);t(AT)t('T

.cteA,A)x(X

)x(''X

)t(T

)t('T

At

21

0

C1=0, C0=C2=1, A=-n2 con n = 1, 2, 3, ...

)nx(sene)t,x(u tnn

2

23

)nx(sene)t,x(u tnn

2La combinación lineal de soluciones

será también solución:

1n

nn )t,x(ua)t,x(u

Llegando al mismo resultado que Bernoulli, pero pudiendo calcular los coeficientes an.

24

Serie trigonométrica de FourierAlgunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier

Donde 0 = 2/T se denomina frecuencia fundamental.

])()cos([)(1

00021

n

nn tnsenbtnaatf

...)3()2()(...

...)3cos()2cos()cos()(

030201

030201021

tsenbtsenbtsenb

tatataatf

25

¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?

Dada una función periódica f(t), ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?

Necesitamos calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...

Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.

]t)sen(nωbt)(nω[aaf(t)n

nn

1

00021 cos

26

Ortogonalidad

Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:

nmparar

nmparadt(t)(t)ff

n

b

a

nm

0

27

Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo –1 < t < 1, ya que:

Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo – < t <, ya que

04 1

141

1

31

1

2

t

dttdttt

02

cos2

π

ππ

π

tsentdtsent

28

Ortogonalidad de senos y cosenos

Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2< t < T/2:

{1, cos(0t), cos(20t), cos(30t),...,

sen(0t), sen20t, sen30t,...}

con 0= 2.

29

Vamos a verificarlo probándolo a pares:

1.- f(t) = 1 vs. cos(m0t):

Ya que m es un entero.

0)222

cos1

00

0

2

2

0

02

2

0

mω

sen(mπ

mω

)T/sen(mω

mω

t)sen(mωt)dt(mω

T/

T/T/

T/

0= 2

30

2.- f(t) = 1 vs. sen(m0t):

3.- cos(m0t) vs. cos(n0t):

02cos2cos1

cos1

000

2

2

0

02

2

0

)]T/(mω)-T/(mω[mω

mω

t)(mωt)dtsen(mω

T/

T/T/

T/

02/

0t)dtt)cos(ncos(m

2/

2/

00 nmparaT

nmparaT

T

cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]cos2= ½ (1+cos2)

0= 2

31

4.- sen(m0t) vs. sen(n0t):

5.- sen(m0t) vs. cos(n0t):

m,ncualquierparat)dt(nωt)sen(mωT/

T/

0cos2

2

00

02

02

2

00 nmparaT/

nmparat)dtt)sen(nωsen(mω

T/

T/

sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen2 A =½ (1-cos2)

sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]

32

¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?

Vamos a aprovechar la ortoganilidad que acabamos de demostrar del conjunto de funciones: {1, cos(0t), cos(20t), cos(30t),...,

sen(0t), sen20t, sen30t,...}

con 0= 2, en el intervalo -T/2< t < T/2 , para calcular los coeficientes a0,a1,a2,... , b1,b2,... de la serie de Fourier:

]t)sen(nωbt)(nω[aaf(t)n

nn

1

00021 cos

33

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por cos(m0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

,...3,2,1)cos()(2/

2/

02

mdttmtfaT

TTm

1

2/

2/

00

1

2/

2/

00

2/

2/

0021

2/

2/

0

cos

coscos

cos)cos()(

n

T

T

n

n

T

T

n

T

T

T

T

t)dt(mωt)sen(nωb

t)dt(mωt)(nωa

t)dt(mωadttmtf

0

0, si m ≠ 0

0, si m ≠ 0T/2, si m = n

34

Observa que el caso anterior no incluye a a0, m = 0

que debemos tratar a parte:

2/

2/

0 )(2 T

T

dttfT

aTa

t)dt(mωt)sen(nωb

t)dt(mωt)(nωa

t)dt(mωadttmtf

n

T

T

n

n

T

T

n

T

T

T

T

0

1

2/

2/

00

1

2/

2/

00

2/

2/

0021

2/

2/

0

2

1

cos

coscos

cos)cos()(

0

T, si m = 0

0, si m ≠ 0T/2, si m = n

35

Similarmente, multiplicando por sen(m0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

,...3,2,1)()(2/

2/

02

mdttmsentfbT

TTm

1

2/

2/

00

1

2/

2/

00

2/

2/

0021

2/

2/

0

cos

)(

n

T

T

n

n

T

T

n

T

T

T

T

t)dtt)sen(mωsen(nωb

t)dtt)sen(mω(nωa

t)dtsen(mωadtt)sen(mωtf0

0

0, si m ≠ 0T/2, si m = n

36

Un ejemplo históricamente importante: Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadrada de periodo T:

La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es:

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

2

2

01

01)(

T

T

tpara

tparatf 0= 2

37

Coeficiente a0:

2/

2/

10 )(

T

TT dttfa

2/

0

0

2/

20

T

TT dtdta

0

2/

2/

02

T

TT tt 0

2

2

01

01)(

T

T

tpara

tparatf

38

Coeficientes an:

2/

2/

02 )cos()(

T

TTn dttntfa

2/

0

0

0

2/

02 )cos(1)cos(1

T

TTn dttndttna

0)(1

)(1

0

2/

002/

0

00

2

T

TT tnsen

ntnsen

n

0para n

2

2

01

01)(

T

T

tpara

tparatf

39

Coeficientes bn:

2/

2/

02 )()(

T

TTn dttnsentfb

2/

0

0

0

2/

02 )()(

T

TTn dttnsendttnsenb

0

2/

002/

0

00

2 )cos(1

)cos(1 T

TT tn

ntn

n

)1)(cos())cos(1(1

nnn

0para))1(12

nn

n

2

2

01

01)(

T

T

tpara

tparatf

40

Finalmente, la serie de Fourier queda como

En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para

0 = 0= 2, es decir, T = 2:

10

051

031

0

))12(12

14)(

...)5()3()(4

)(

n

tnsenn

tf

tsentsentsentf

41

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Componentes de la Serie de Fourier

t

Co

mp

on

ente

s

Sumafundamentaltercer armónicoquinto armónicoséptimo armónico

...)5()3()(4

)( 051

031

0 tsentsentsentf

42

Nota: Para expresarse como serie de Fourier f(t),

no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde está definida, como el periodo de la serie. La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo:

de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario,

con el mismo resultado.

43

Habíamos calculado los coeficientes para:

TtTpara

Ttparatf

2/1

2/01)(

2/01

02/1)(

Ttpara

tTparatf

Si los calculamos para la misma función desplazada

tienen que ser los mismos:

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

Repite los cálculos y compruébalo.

44

De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la función, será lo mismo:

1f(t)

t

. . . t0 t0 +T . . .-1

TT

Tt

tT

T

T

T

TT dttfdttfdttfdttfa )()()()( 22

0

22/

2/

10

0

0

T

T

T

TTn dttntfdttntfa )cos()(...)cos()( 0

22/

2/

02

T

T

T

TTn dttnsentfdttnsentfb )()(...)()( 0

22/

2/

02

45

Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para

2)(

ttf

la función con la que empezamos el tema. O sea, demostrar que Euler tenía razón.

46

)3cos(1)()cos(1)(

definitivaen

todopara 0)())3cos(1(3

)()(2

1 si ,0

1 si ,1)cos())3cos(1(

3)cos()(

2

2))3cos(1(3

)(2

01

01

3

2

0

00

3

2

0

00

3

2

0

0

ttnsenbtnatf

ndttnsentdttnsentfT

b

n

ndttntdttntf

Ta

dttdttfT

a

nn

nn

Tn

Tn

T

3

2 periodo de )3cos(1)(

Tttf

Calcula la serie de Fourier de la función periódica:

La serie es la propia función...

47

Nota: a partir de ahora entenderemos que f(t) está definida sólo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de Fourier la extiende periódicamente, con periodo T igual al intervalo de definición. En muchos libros se habla de extender de forma par o impar una función. La serie de Fourier extenderá periódicamente los patrones siguientes:

t

t

Extensión par

Extensión impar

48

Funciones Pares e Impares

Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si

f(t) = f(-t)

f(t)

t

49

En forma similar, una función f(t) se dice función impar (o con simetría impar), si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)

f(t)

t

50

Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t + 1/t ,g(t) = 1/(t2+1).

Solución:Como f(-t) = -t - 1/t = - f(t), por lo tanto f(t) es función impar.Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t), por lo tanto g(t) es función par.

51

Ejemplo: ¿La función h(t) = f(1+t2) es par o impar? (f es una función arbitraria).

Solución:Sea g(t) = 1 + t2. Entonces h(t) = f(g(t)).Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)).Pero g(-t) = 1+(-t)2 = 1 + t2 = g(t),finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que h(t) es función par, sin importar como sea f(t).

52

Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las funciones siguientes son pares:

h(t) = sen (1+t2)h(t) = exp(1+t2) + 5/ (1+t2)h(t) = cos (2+t2) + 1h(t) = (10+t2) - (1+t2)1/2

etc...Ya que todas tienen la forma f(1+t2).

53

• Si f (x) es par:

a

dxxf0

)(2

a

a

dxxf )(

a

dxxf0

)(

a-a

a

a

dxxf )(

54

• Si f (x) es impar:

0

a

a

dxxf )(

a-a

a

a

dxxf )(

55

Como la función sen(n0t) es una función impar para todo n y la función cos(n0t) es una función par para todo n, es de esperar que:

• Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto

bn= 0 para todo n.

• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n.

56

Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado:

Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

...)5()3()(4

)( 051

031

0 tsentsentsentf

57

a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de las funciones

xxxgxxf en cos)(y sin)(

Respuesta.

1

0 )sin()cos(2

)(n

nn nxbnxaa

xf

f(x) = |sen(x)|, x є [-π,π], 2π periódica

Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0

58

1)1cos(1

21

)1sin()1sin(1

)cos(sin2

)cos()(1

2

0

0

nn

dxxnxn

dxnxxdxnxxfan

imparn ,0 par;n ,)1(

4 ;

420

nn a

naa

59

14

)2cos(42sin

21

n

nxx

n

f(x) = |cos(x)|, x є [-π,π], 2π periódica

Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0

2/

0

2/

0

)1cos()1cos(2

)cos(cos4

)cos()(1

dxxnxn

dxnxxdxnxxgan

60

imparn ,0 par;n ,)1(

4 ;

420

nn a

naa

14

)2cos()1(42cos

21

n

nxx

n

n

61

Onda triangular (Triangle Wave)

222 5

5cos

3

3cos

1

cos4

2

xxx

62

Right Triangular Wave

3

3sin

2

2sin

1

sin2

xxx

63

Saw Tooth Wave

3

3sin

2

2sin

1

sin2

xxx