practica ii series de fourier
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA
PRACTICA II
SERIES DE FORIER Y FENÓMENO DE GIBBS
Ing. Salvador Bravo Jasso
08/03/2010
Materia:
“PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES”
En el presente documento se explica el principio de funcionamiento de las Series de Fourier y el fenómeno de Gibbs que sucede al reproducir una onda no senoidal con armónicos.
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Contenido
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................................................................ ii
OBJETIVO. ..................................................................................................................................................... iii
1. INTRODUCCIÓN: .................................................................................................................................... 1
1.1. Uso en la ingeniería. .................................................................................................................. 1
2. FENOMENO DE GIBBS ........................................................................................................................... 2
2.1. Características del fenómeno de Gibbs. ................................................................................... 2
3. DEMOSTACIÓN DE LAS SERIES DE FOURIER Y FENOMENO DE GIBBS .................................................. 3
3.1. Ejercicio01: ................................................................................................................................ 5
3.2. Ejercicio02. ................................................................................................................................ 6
3.2.1. Ancho de Banda (BW) ............................................................................................................... 7
3.3. Ejercicio03. ................................................................................................................................ 7
4. CONCLUSIONES: ........................................................................................................................ 8
5. REFERENCIAS. ............................................................................................................................ 9
Practica II. Series de Fourier
Procesamiento Digital de Señales
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LISTA DE FIGURAS
2-1 Fenómeno de Gibbs en una señal cuadrada ..................................................................................................... 2
3-1 Ventana inicial del software DSP Fourier Application ...................................................................................... 3
3-2 Menú inicial ..................................................................................................................................................... 4
3-3 Onda cuadrada con tres armónicos .................................................................................................................. 4
3-4 Espectro de la frecuencia de la señal cuadrada ................................................................................................ 5
3-5 Analizador de Espectro .................................................................................................................................... 6
3-6 Señal cuadrada con diez armónicos ................................................................................................................. 6
Figura A-1 Señal diente de sierra en el dominio de tiempo y frecuencia ................................................................. A
Figura A-2 Señal pulsante en el dominio del Tiempo y Frecuencia.......................................................................... A
Figura A-3 Señal triangular en el dominio de tiempo y frecuencia ......................................................................... A
Figura A-4 Señal de media onda en el dominio de Tiempo y Frecuencia ................................................................. A
Figura A-5 Señal onda completa en el dominio de Tiempo y Frecuencia................................................................. A
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OBJETIVO.
Comprender el comportamiento de señales en el tiempo aplicando las series de Fourier y
distinguir la diferencia entre señales continuas y discontinuas. Así, como la diferencia entre
diferentes señales en el dominio del tiempo y frecuencia.
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TEORIA DE FOURIER
1. INTRODUCCIÓN:
Las series de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y
periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de
Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descripción de dicha función
en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de
senos y cosenos con frecuencias enteras) [1].
Todas las señales senoidales pueden ser combinadas para producir una forma de onda periódica
llamada básica. Se conoce que Fourier sirve para construir cualquier señal por mas complicada
que esta sea. En general el mayor número de elementos en series de Fourier es mejor para la
reconstrucción de la forma de onda original.
0 1 1 2 2
1 1 2 2
( ) cos[2 ( ) ] cos[2 ( ) ] ... cos[2 ( ) ]
sin[2 ( ) ] sin[2 ( ) ] ... sin[2 ( ) ]
n n
n n
f t b b f t b f t b f t
a f t a f t a f t
π π π
π π π
= + + +
+
+ +
(0.1)
1.1. Uso en la ingeniería.
La transformada de Fourier se utiliza para pasar al dominio frecuencial una señal para así obtener
información que no es evidente en el dominio temporal. Se demuestra matemáticamente que una
señal periódica se puede descomponer en un sumatorio de señales trigonométricas. El conjunto
de constantes que multiplican a cada frecuencia forma el espectro de frecuencias. De esta forma
se puede llegar a diversos experimentos muy interesantes.
La voz humana recorre el espectro de los 100 Hz. A los 5000 Hz. Y el oído humano se encuentra
entre los 20 Hz. Y los 20 000 Hz.
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Si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad
espectral de salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros de radiotransistores.
La transformada de Fourier también es utilizada en el ámbito del tratamiento digital de imágenes,
como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen o tomada con una
computadora.
2. FENOMENO DE GIBBS
Cuando una función que se esta desarrollando en Series de Fourier tiene discontinuidades no es
posible que haya una buena convergencia en los entornos de las discontinuidades. En tales
entornos las sumas parciales muestran sobre Y subvalores alrededor del valor real de la función
que puede llegar a un 17% del salto en la discontinuidad [3].
2-1 Fenómeno de Gibbs en una señal cuadrada
2.1. Características del fenómeno de Gibbs.
El número de oscilaciones incrementa pero la amplitud de la oscilación decrementa.
La componente vertical se forma en forma de pasos
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Un sobre impulso existe en el componente vertical
El incremento máximo de sobre impulso es de 8.95% de la magnitud total
En el tiempo 0, � puede tener dos valores, valor mínimo y máximo.
3. DEMOSTACIÓN DE LAS SERIES DE FOURIER Y FENOMENO DE GIBBS
Para la siguiente práctica se utilizo el software DSPHSON3, el cual es un software que grafica
señales aplicándole la transformada de Fourier, además, también muestra un filtro de respuesta al
impulso finito (FIR), usando el método de ventanas BLACKMAN, en esta práctica vamos a
enfocarnos en la comprobación de las series de Fourier.
Comenzamos por ejecutar el software DSPHSON3, al inicio nos presenta una pantalla en la cual
explica que el software es para uso didáctico y el libro del cual se basa para las practicas con este
software.
3-1 Ventana inicial del software DSP Fourier Application
Después de esta pantalla se presenta el menú principal del software con el cual vamos a trabajar
en esta práctica, para el entendimiento de las series de Fourier.
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3-2 Menú inicial
Como se menciono anteriormente [sección 1] la suma de armónicos de ondas senoidales da lugar a la
formación de ondas de otro tipo, ya sean cuadradas, triangulares o pulsantes. Utilizando el software se
puede demostrar estas características. Para eso en el menú de la figura 1.4-2, se selecciona “Square
Generator”.
3-3 Onda cuadrada con tres armónicos
En la figura 1.4-3 se muestra la construcción de una señal cuadrada con 3 armónicos, el software
construye la señal a partir de la sumatoria de senos y cosenos como lo demuestra la ecuación (1.1). para
determinar la frecuencia de la señal suponiendo que cada división horizontal es de 1ms. Es:
1/f T= (0.2)
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Sustituyendo los valores de la ecuación (1.2) es:
1/ 5 200 .f ms Hz= = (0.3)
Por lo tanto la frecuencia de la señal fundamental es de 200Hz. Para determinar el valor de
cualquier armónico de una señal solo se multiplica el núm. del armónico por la frecuencia
fundamental y se obtiene la frecuencia de ese armónico.
0n nf f a= i (0.4)
Donde:
�� � Frecuencia del armónico.
�� = Frecuencia fundamental.
�� = Núm. de armónico
3.1. Ejercicio01:
La señal cuadrada generada por las series de Fourier contiene tres armónicos, considerando la
ecuación 1.3 la fundamental es de 200 Hz. Encontrar el valor del tercer y quinto armónico.
Sustituyendo en la ecuación 1.4 es:
��� 200�� �3,5� �
3
5
200 *3 600 .
200 *5 1000 .
f Hz Hz
f Hz Hz
= =
= =
(0.5)
Pasando la señal del dominio del tiempo a la frecuencia y viendo el espectro de la señal de la figura 3.3
es:
3-4 Espectro de la frecuencia de la
señal cuadrada
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En la figura 3.4 el eje de las axis representa la frecuencia ya que la él espectro esta en el dominio
de la frecuencia, y el eje de las ordenadas representa la amplitud de la frecuencia. Las líneas
graficadas en la figura 2.4 representan la frecuencia fundamental y los armónicos de la señal
original.
Así como existen equipos para ver señales en el dominio del tiempo (osciloscopios), existen
equipos que muestran la señal en el dominio de la frecuencia, estos son analizadores de espectro.
3-5 Analizador de Espectro
3.2. Ejercicio02.
Para el siguiente ejercicio se utiliza el mismo software pero en esta ocasión se generan 10
armónicos para la construcción de la onda cuadrada.
3-6 Señal cuadrada con diez armónicos
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En la figura 3.6 se muestra la señal con 10 armónicos, lo que se puede apreciar es que la señal tiene una
mejor definición de onda cuadrada que en el ejercicio anterior por el agregado de armónicos. Tomando
la ecuación 1.2, donde la frecuencia es la misma.
3.2.1. Ancho de Banda (BW)
Para calcular el ancho de banda se debe de considerar el valor de la frecuencia fundamental, el número
de armónicos - 1, la cual se representa de la siguiente manera.
(2 1)BW fundamental N= −i (0.6)
Donde:
Fundamental = frecuencia fundamental
N = número de armónicos
Entonces,
200 (2 1)
200 (2 10 1)
3800 .
BW N
BW
BW Hz
= −
= −
=
i
i i (0.7)
Cabe mencionar que el número de armónicos que se muestran en la onda cuadrada se visualizan
también en el analizador de espectros del software.
3.3. Ejercicio03.
Realiza visualizaciones con los diversos tipos de onda y analiza su comportamiento en relación
con el tiempo y frecuencia.
El fenómeno de Gibbs se presenta en todos los tipos de onda discontinua.
Al analizar el espectro de las señales cuadrada y diente de sierra se visualiza que los armónicos
de la señal diente de sierra son de mayor amplitud, por tal motivo se requieren menos armónicos
para reproducir la señal diente de sierra que una señal cuadrada.
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4. CONCLUSIONES:
• Las formas de onda cuadrada, triangulare, diente de sierra e impulso se pueden generar a
partir de la sumatoria de señales senoidales y cosenoidales.
• Las señales triangulares y de dientes de sierra son más rápidas de reconstruir debido a
que se necesitan menos armónicos para ello.
• El número de armónicos que se visualizan en el tiempo son el mismo número de
armónicos que se visualizan en el espectro de la frecuencia.
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5. REFERENCIAS.
[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier
[2] http://es.wikipedia.org/wiki/Fen%C3%B3meno_de_Gibbs
[3] DIGITAL SIGNAL PROCESSING A HANDS-ON APPROACH.
Charles Schuler & Mahesh Chugani
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A
APENDICE
A. Las figuras siguientes son ejercicios realizados con todas las formas de onda que genera el
software para analizar su comportamiento en el tiempo y en la frecuencia.
Figura A-1 Señal diente de sierra en el dominio de
tiempo y frecuencia
Figura A-2 Señal pulsante en el dominio del Tiempo y
Frecuencia
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B
Figura A-3 Señal triangular en el dominio de tiempo y
frecuencia
Figura A-4 Señal de media onda en el dominio de
Tiempo y Frecuencia
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C
Figura A-5 Señal onda completa en el dominio de Tiempo
y Frecuencia