series de fourier funcion triangular

7/23/2019 Series de Fourier Funcion Triangular

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ANÁLISIS DE SEÑALES

SERIES DE FOURIER PARA UNA SEÑAL TRIANGULAR

DANIEL STIVEN VALENCIA BALLESTEROS

DANIEL ALBERTO TOBÓN

DOCENTE: SARA YEPES

INSTITUCION UNIVERSITARIA ITM

FACULTAD DE INGENIERIAS

TECNOLOGIA EN TELECOMUNICACIONES

MEDELLIN

2015



Contenido

OBJETIVOS ...................................................................................................................................... 4

SERIES DE FOURIER .................................................................................................................... 5

METODOLOGIA ............................................................................................................................... 7

RESULTADOS OBTENIDOS ........................................................................................................ 9

RESULTADOS TEORICOS DE LOS COEFICIENTES A0 An Bn ........................................ 9

SERIE DE FOURIER ............................................................................................................. 15

RESULTADOS OBTENIDOS MEDIANTE MATLAB ........................................................... 16

TABLA COMPARATIVA .............................................................................................................. 17

ERRORES ASOCIADOS .............................................................................................................. 17

RESULTADOS OBTENIDOS MENDIANTE ANALIZADOR DE ESPECTRO..................... 18CONCLUSIONES: ......................................................................................................................... 19

REFERENCIAS .............................................................................................................................. 20



3

INTRODUCCION

Las descripciones comprensibles del paso y de la forma de una señal en la

dimensión del tiempo y en la dimensión de la frecuencia son parte importante para

la comprensión de transmisión de datos y una de las bases fundamentales en

materia de telecomunicaciones. Para mostrar en términos matemáticos una señal

determinada bien sea senoidal o no y llevarla a la dimensión de la frecuencia se usa

la Serie de Fourier.

Básicamente, éste proyecto toma una señal propuesta por la docente de forma

gráfica en forma de función en el tiempo; seguidamente se le da una amplitud

cualquiera, se define la función por tramos y se comienza a calcular los coeficientes

necesarios para la suma de armónicos que constituyen la Serie de Fourier.

Más específicamente se propone tomar una señal en función del tiempo de tipo

triangular con amplitud de 1 voltio y sin offset.

El número de armónicos a calcular son 10 para cada coeficiente, pero por la

naturaleza impar de la onda señal, se sabe que sólo los coeficientes Bn arrojaránun resultado diferente de cero.

Además de plasmar los resultados calculados, se muestran los resultados obtenidos

en el software MATLAB y en el analizador de espectro, para posteriormente unirlos

en un cuadro comparativo.

Finalmente, con la Serie de Fourier obtenida se le dan 16 valores aleatorios de

tiempo para reconstruir la función inicial.



4

OBJETIVOS

Consolidar los conocimientos adquiridos en las clases magistrales y

demostrarlos en la práctica trabajando sobre una señal determinada,

combinando los conocimientos básicos del software MATLAB, del

proceso para llegar a la Serie de Fourier a partir de las fórmulas dadas

para hallar los coeficientes y de la introducción en el uso del analizador

de espectro para hallar los picos proporcionados por la señal dada.

Comparar los resultados para corroborar la veracidad de la teoría.

Reconstruir la señal inicial a partir de los resultados arrojados mediante

la Serie de Fourier.



5

SERIES DE FOURIER1

Esta serie se usa en análisis de señales para representar las componentes

senoidales de una onda periódica no senoidal, es decir, para cambiar una señal en

el dominio del tiempo a una señal en el dominio de la frecuencia. En general, se

puede obtener una serie de Fourier para cualquier función periódica, en forma de

una serie de funciones trigonométricas con la siguiente forma matemática

La ecuación indica que la forma de onda f (t) comprende un valor promedio (A 0)

de DC, una serie de funciones cosenoidales en las que cada término sucesivo tiene

una frecuencia que es múltiplo entero de la frecuencia del primer término cosenoidal

de la serie, y una serie de funciones senoidales en la que cada término sucesivo

tiene una frecuencia que es múltiplo entero de la del primer término senoidal de la

serie. No hay restricciones para los valores o los valores relativos de las amplitudes

de los términos seno y coseno. La ecuación se enuncia como sigue en palabras:

Cualquier forma de onda periódica está formada por un componente promedio yuna serie de ondas senoidales y cosenoidales relacionadas armónicamente. Una

armónica es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental. La frecuencia

fundamental es la primera armónica, y es igual a la frecuencia (rapidez de

repetición) de la forma de onda. El segundo múltiplo de la fundamental se llama

segunda armónica, el tercer múltiplo es la tercera armónica, y así sucesivamente.

La frecuencia fundamental es la mínima necesaria para representar a una forma de

onda. Por consiguiente, la ecuación se puede escribir como sigue

Onda simétrica

1Tomasi, 2003, p.22-24



6

Simetría de onda. Dicho en términos sencillos, la simetría de la onda describe

la simetría de una forma de onda en el dominio del tiempo, esto es, su posición

relativa con respecto a los ejes horizontal (tiempo) y vertical (amplitud).

Simetría par.

Si una forma de onda periódica de voltaje es simétrica respecto al eje vertical

(amplitud) se dice que tiene simetría especular, o de ejes, y se llama función par.

Para todas las funciones pares, los coeficientes B de la ecuación 1 son cero. Por

consiguiente, la señal sólo contiene un componente de cd y los términos

cosenoidales. La suma de una serie de funciones pares es una función par. Las

funciones pares satisfacen la condición

Simetría impar.

Si una forma periódica de onda de voltaje es simétrica respecto a una línea

intermedia entre el eje vertical y el horizontal negativo (es decir, a los ejes en el

según doy cuarto cuadrantes) y pasa por el origen de las coordenadas, se dice que

tiene una simetría puntual o que es antisimétrica, y se le llama función impar. Para

todas las funciones impares, los coeficientes A de la ecuación 1 son cero. Por

consiguiente, la señal tan sólo contiene un componente de DC y los términos

senoidales la suma de una serie de funciones impares es una función impar. A esta

forma primero se le debe reflejar en el eje Y y después en el eje X para sobreponerla

consigo misma. Así

Los coeficientes de A0, A1 a An y B1 a Bn se pueden calcular como sigue



7

METODOLOGIA

Para llevar acabo satisfactoriamente los objetivos del proyecto final se

necesitaron los conceptos teóricos y comprender como llegar a plantear la serie de

Fourier para una señal cualquiera. Además del uso de equipos como el osciloscopio,

el generador de señales y el analizador de espectro para la simulación.

Se estableció un paso a paso desde el conocimiento de la señal dada hasta su

reconstrucción a partir de Fourier.

El paso a paso general consta de:

- Representación, planteamiento y cálculo matemático a mano de la señal.

Muestra de resultados para cada coeficiente An y Bn.

- Cálculo de los coeficientes en el software MATLAB, observación de los

resultados y comparación parcial de resultados.

- Muestra y toma de resultados de la simulación con el analizador de espectro

y comparación final de resultados con un cuadro comparativo.

- Toma de tiempos aleatorios para la reconstrucción de la señal utilizando la

serie de Fourier obtenida.

Primero se debe llevar a términos matemáticos la ecuación, para eso de defineen tramos para un periodo (T). Posteriormente se plantean las ecuaciones para

cada coeficiente utilizando las fórmulas dadas en clase. Se hace una recopilación

de resultados y se plantea la serie de Fourier.

Después, de trabaja la señal en MATLAB con el código proporcionado por la

docente y se recopilan los resultados de los coeficientes según el programa para la

comparación parcial.

Finalmente con el uso del osciloscopio, el generador de señales y el analizador

de espectro se hacen la observación de los niveles de voltaje entregados, también

se recopilan y se hace el cuadro comparativo para los resultados obtenidos a mano,

en MATLAB y de la simulación. Además de reconstruir la señal como se dijo

anteriormente tomando 16 tiempos aleatorios.



8

SERIES DE FOURIER

PARÁMETROS INICIALES

10

1

1 0 0

1

REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA SEÑAL TRIANGULAR

4 ; 0 ≤ ≤ / 4 2 4

;

4≤ ≤ / 2

2 4 ; 2 ≤ ≤ 3 / 44 2 ; 3 / 4 ≤ ≤



9

RESULTADOS OBTENIDOS

RESULTADOS TEORICOS DE LOS COEFICIENTES A0 An Bn

INTEGRAL PARA A0

= 1[

∫ (4 ) ⁄ + ∫ (2 4 ) ⁄

⁄

+ ∫ (2 4 )

⁄

+ ∫ (4 4)

⁄ ]

INTEGRAL PARA An

= 2∫ (4 ) ⁄

(cos 2 ) + ∫ (2 4 ) ⁄ ⁄ (cos 2 )

+ ∫ (2 4 ) ⁄

(cos 2 ) + ∫ (4 4) ⁄ (cos 2 )

INTEGRAL PARA Bn

= 2[

∫ (4 ) ⁄ (sin 2 ) + ∫ (2 4 ) ⁄

⁄ (sin 2 )+ ∫ (2 4 ) ⁄

(sin 2 ) + ∫ (4 4)

⁄ (sin 2 ) ]

COEFICIENTES A0

= 1 ∫ ( 4100µ) + ∫ (2 4100µ) + ∫ (2 4100µ)

+ ∫ ( 4100µ 4)



10

= 1100µ ( 180000 + 180000 180000 180000)

= 2

100µ0

=

COEFICIENTE An

= 2100µ∫ ( 4100µ)

(cos 2100µ ) + ∫ (2 4100µ) (cos 2100µ )

+ ∫ (2 4100µ) (cos 2100µ ) + ∫ ( 4100µ 4)

(cos 2100µ )

= 2100µ ( 220000 220000 + 220000 220000)

= 2100µ 0

=

= 2100µ [ ∫ (4

100µ)

(cos4

100µ ) + ∫ (2 4

100µ)

(cos4

100µ )+ ∫ (2 4100µ) (cos 4100µ ) + ∫ ( 4100µ 4)

(cos 4100µ ) ]

= 2100µ ( 120000 120000 + 120000 + 120000)

= 2100µ 0

=

= 2100µ[

∫ ( 4100µ) (cos 6100µ ) + ∫ (2 4100µ)

(cos 6100µ )+ ∫ (2 4100µ)

(cos 6100µ ) + ∫ ( 4100µ 4) (cos 6100µ ) ]



11

= 2100µ ( 2 + 3 180000 + 2 + 3 180000 2 + 3 180000 + 2 + 3 180000)

= 2

100µ0

= Dado que la función f (t) es una función impar, todos los coeficientes An = 0. Por lo tantola serie de Fourier para f (t) estará dada por la serie de senos.

= 2 ∫ (sin 2 )

COEFICIENTES Bn

= 2100µ[

∫ ( 4100µ) (sin 2100µ ) + ∫ (2 4100µ)

(sin 2100µ )+ ∫ (2 4100µ)

(sin 2100µ ) + ∫ ( 4100µ 4) (sin 2100µ ) ]

= 2100µ ( 110000 + 110000 + 110000 + 110000)

= 2100µ ( 410000)

= .

= 2100µ[

∫ ( 4100µ) (sin 4100µ ) + ∫ (2 4100µ)

(sin 4100µ )+ ∫ (2 4100µ)

(sin 4100µ ) + ∫ ( 4100µ 4) (sin 4100µ ) ]

= 2100µ 140000 140000 140000 + 140000

= 2100µ 0

=



12

= 2100µ[

∫ ( 4100µ) (sin 6100µ ) + ∫ (2 4100µ)

(sin 6100µ )

+ ∫ (2 6

100µ)

(sin6

100µ ) + ∫ (4

100µ 4)

(sin6

100µ ) ]

= 2100µ ( 190000 190000 190000 190000)

= 2100µ ( 490000)

=

= 2100µ[

∫ ( 4100µ) (sin 8100µ ) + ∫ (2 4100µ)

(sin 8100µ )+ ∫ (2 6100µ)

(sin 8100µ ) + ∫ ( 4100µ 4) (sin 8100µ ) ]

= 2100µ ( 180000 + 180000 + 180000 180000)

= 2100µ 0

=

= 2100µ[

∫ ( 4100µ) (sin 10100µ ) + ∫ (2 4100µ)

(sin 10100µ )+ ∫ (2 6100µ)

(sin 10100µ ) + ∫ ( 4100µ 4) (sin 10100µ ) ]

= 2100µ ( 1250000 + 1250000 + 1250000 + 1250000)

= 2100µ ( 4250000)

= .



13

= 2100µ[

∫ ( 4100µ) (sin 12100µ ) + ∫ (2 4100µ)

(sin 12100µ )

+ ∫ (2 6

100µ)

(sin12

100µ ) + ∫ (4

100µ 4)

(sin12

100µ ) ]

= 2100µ ( 1120000 1120000 1120000 + 1120000)

= 2100µ 0

=

= 2100µ[

∫ ( 4100µ) (sin 14100µ ) + ∫ (2 4100µ) (sin 14100µ )+ ∫ (2 6100µ) (sin 14100µ ) + ∫ ( 4100µ 4)

(sin 14100µ ) ]

= 2100µ ( 1120000 1120000 1120000 1120000)

= 2

100µ( 4

120000)

= .

= 2100µ[

∫ ( 4100µ) (sin 16100µ ) + ∫ (2 4100µ)

(sin 16100µ )+ ∫ (2 6100µ)

(sin 16100µ ) + ∫ ( 4100µ 4) (sin 16100µ ) ]

=

2100µ (

1160000

116000 +

1160000

1160000 )

= 2100µ 0

=



14

= 2100µ[

∫ ( 4100µ) (sin 18100µ ) + ∫ (2 4100µ)

(sin 18100µ )+ ∫ (2 6100µ)

(sin 18100µ ) + ∫ ( 4100µ 4) (sin 18100µ ) ]

= 2100µ ( 1810000 + 1810000 + 1810000 + 1810000 )

= 2100µ ( 4810000)

=

= 2100µ [ ∫ (4

100µ)

(sin20

100µ ) + ∫ (2 4

100µ)

(sin20

100µ )+ ∫ (2 6100µ) (sin 20100µ ) + ∫ ( 4100µ 4)

(sin 20100µ ) ]

= 2100µ ( 1200000 1200000 + 1200000 1200000 )

= 2100µ 0

=



15

SERIE DE FOURIER

Al conseguir los coeficientes resultantes para los An, Bn, podemos obtener la serie de

Fourier, la cual está dada por los coeficientes Bn ya que nuestra función es una función imparcon An= 0.

2 + 2 + 2 + 2+ 2

810−210000 90.06−230000+32.42−250000 17.54−270000

+10−

290000

Finalmente asignamos valores a t para reconstruir nuestra señale a partir de la Serie de Fourier

t f(t)

0 025E-6 0.9650E-6 075E-6 -0.96100E-6 0

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 0,00002 0,00004 0,00006 0,00008 0,0001 0,00012 V o l t i o s segundos

ONDA TRIANGULAR RECONSTRUIDA



16

RESULTADOS OBTENIDOS MEDIANTE MATLAB

A continuación se presentan los resultados obtenidos mediante el software MATLAB a partir de las

integrales que arrojan el resultado de los armónicos.

DATOS OBTENIDO DESDE MATLAB INTEGRANDO

ARMONICO An RESULTADO

0

0

0

0

0

0

0

1,6e-17 ≅ 0

-2,6e-33≅ 0

1,1e-17 ≅ 0

0

ARMONICOBn

RESULTADO

0,8106

0

-0,0901 0 0,0324 4,3e-17≅ 0 -0,0165 -1.1e-17≅ 0 0,0100 1,2e-17≅ 0

DATOS OBTENIDOS DESDE LA FUNCION FOUSER EN MATLAB

ARMONICO An RESULTADO

0

-1,5e-16

4,82e-16

1,9e-17

7,95e-18

2,1e-17

2,53e-17

-1,7 e-17 ≅ 0

5,4e-18≅ 0

-5,5e-17 ≅ 0

2,85e-17

ARMONICOBn

RESULTADO

0,81057 -6,3e-9 -0,090 1,26e-8 0,0324

-1,89e-8 -0,0165 2,52e-8 0,0100 -3,15e-8



17

TABLA COMPARATIVA

ARMÓNICOS AMPLITUD

TEORICO INTEGRAL MATLAB FOUSERn f An(V) Bn(V) An(V) Bn(V) An(V) Bn(V)1 10KHz 0 810e-3 0 0,8106 0 0,81057

2 20KHz 0 0 0 0 -1,5e-16 03 30KHz 0 -90e-3 0 -0,0901 4,82e-16 -0,090

4 40KHz 0 0 0 0 1,9e-17 0

5 50KHz 0 32,42e-3 0 0,0324 7,95e-18 0,03246 60KHz 0 0 0 4,3e-17 2,1e-17 0

7 70KHz 0 -16,54e-3 1,6e-17 -0,0165 2,53e-17 -0,0165

8 80KHz 0 0 -2,6e-33 -1.1e-17 -1,7e-17 09 90KHz 0 10e-3 1,1e-17 0,0100 5,4e-18 0,0100

10 100KHz 0 0 0 1,2e-17 -5,5e-17 0

ERRORES ASOCIADOS

Para nuestro caso vamos a calcular los errores asociados entre los cálculos

obtenidos teóricamente (X) y los arrojados por MATLAB en la función fouser (x).

ERROR ABSOLUTO | |%

ERROR RELATIVO − %

ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO

An Bn An Bn1 0 5,7e-3% 1% 7,3e-3%2 -1,5e-16% 0% 1% 0%3 4,82e-16% 0% 1% 0%4 1,9e-17% 0% 1% 0%5 7,95e-18% 0,2e-3% 1% 0,6e-3

6 2,1e-17% 0% 1% 0%7 2,53e-17% 40e-3% 1% 2,41%8 -1,7e-17% 0% 1% 0%9 5,4e-18% 0% 1% 0%10 -5,5e-17% 0% 1% 0%



18

RESULTADOS OBTENIDOS MENDIANTE ANALIZADOR DE ESPECTRO



19

CONCLUSIONES:

Se pudo observar de manera satisfactoria el comportamiento de una señal en la

dimensión de la frecuencia aplicándole la Serie de Fourier.

Gracias a los resultados arrojados por los cálculos hechos se puede corroborar la

teoría acerca de la inexistencia de coeficientes An para señales de tipo impar y la

entrega de voltajes sólo en los coeficientes Bn impares.

Apoyándonos en los resultados de los errores absolutos y relativos de cada

armónico, asentamos la idea de los pequeños errores a la hora de realizar una

medición, bien sea por omisión de milésimas o cienmilésimas.

Los valores experimentales en el analizador de espectro para los coeficientes A n,

Bn no coincidieron para los resultados teóricos y los arrojados por el software

MATLAB ya que el analizador de espectro calcula la Transformada de Fourier y

no la serie de Fourier como esperábamos.



20

REFERENCIAS

Tomasi, W. (2003). Sistemas de comunicaciones electrónicas. México: Pearson

Education.

series de fourier funcion triangular

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