series de fourier trabajo final

7/25/2019 Series de Fourier Trabajo Final

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Series de Fourier

1.1 funciones periódicasLa difracción tiene lugar cuando alguna perturbación ondulatoria

interacciona con distribuciones periódicas de objetos. La condición de

periodicidad es la clave principal de la existencia de la difracción. Lasredes cristalinas se pueden modelar en forma de distribuciones

periódicas de densidad electrónica. Estas distribuciones periódicastridimensionales son equivalentes, en concepto, a las funciones

periódicas unidimensionales.En este seminario vamos a intentar abordar la aplicación de la

herramienta matemática conocida como "Transformada de ourier" alproblema de la difracción.

En resumen podemos decir que un diagrama de difracción representa laimagen de ourier de una determinada distribución periódica !rendijas,

agujeros, átomos, molculas...#, lo cual es más que suficiente para quecomencemos abordando los conceptos de periodicidad $ transformada

de ourier.Funciones periódicas

%na función es periódica si cumple la condición de periodicidad, es decir,

si despu"s de cada cierto intervalo de tiempo o espacio constante,

llamado periodo, la función adquiere el mismo valor de partida.

&atemáticamente, esta condición la podemos expresar de la siguienteforma

!Ec.'#

donde T es el periodo caracter(stico de la función f!t#.

igura '. Ejemplo de función periódica con periodo T.

)omo podemos ver en la figura ', si conocemos la forma de la función enel intervalo *+,T, la conocemos en todo el espacio, debido a que con una

simple traslación de periodo T, podemos extender su campo de

existencia hasta donde nos sea necesario. Esta es una caracter(sticaintr(nseca de las funciones periódicas. Teniendo en cuenta esta



caracter(stica, intentemos evaluar cualitativamente el aspecto que debe

de tener la imagen rec(proca !transformada de ourier# asociada a una

función periódica f!t#. )onsideremos para ello que la función f!t#, solo se

encuentra definida en el intervalo acotado +,T.

-abemos que en un intervalo acotado, +,L, la función la podemosrepresentar como una combinación lineal de funciones armónicas, que

llamamos series de ourier/.

La caracter(stica principal de estas series, es que solo están permitidos

unos determinados valores propios o frecuencias propias, en función de

las condiciones de borde a las que estuviese sometida la función.

ijándonos en este hecho, será de esperar que el aspecto de la

transformada de ourier de la función f!t#, periódica $ definida en el

intervalo *+,T, sea discreto. 0e hecho, esta discreti1ación, deberá de

ser proporcional al periodo en el que se encuentra definida la función, esdecir proporcional al inverso del periodo T. La figura 2, muestra lo que

cabe esperar respecto al aspecto de la transformada de ourier,asociada a la función periódica f!t#.

igura 2. 3specto cualitativo de la imagen rec(proca de una función

periódica.

Imagen recíproca de una función periódica

4ara poder ir más allá $ averiguar cual será la distribución de amplitud/que tiene la imagen rec(proca de una función periódica gen"rica,

deberemos de estudiar anal(ticamente este tipo de funciones. -i

aplicamos la definición de transformada de ourier a la función periódica

f!t#, obtenemos que

!Ec.2#



-i reali1amos el cambio de variable, t56 t 7 T, vemos que la igualdad !Ec.2#

adquiere la forma

!Ec.8#

)omparando las ecuaciones !Ec.2# $ !Ec.8#, apreciamos que, para que secumpla la igualdad, debe de cumplirse la condición

lo que tiene como consecuencia el hecho de que los 9nicos valores

posibles de : serán aquellos que cumplan que

4ara cualquier valor entero de n. 4or lo tanto solo aparecen, como

frecuencias propias/ posibles, las :n proporcionales al inverso del

periodo, tal $ como hab(amos deducido cualitativamente en el apartado

anterior. Esta caracter(stica de discreti1ación de las funciones

periódicas, nos permite representar su imagen rec(proca como una

combinación lineal de funciones delta de 0irac.

En forma temporal el aspecto de la imagen rec(proca será

!Ec.;#

3nálogamente, la forma espacial tendrá el aspecto

!Ec.<#

=ntuitivamente podr(amos decir que una función periódica gen"rica f!t#,

posee una función transformada de ourier con el aspecto de una serie de

ourier. >eámoslo aplicando la definición general de transformada de f!t# a

la ecuación ;,

como integrar sobre deltas de 0irac es sencillo/, debido a que



llegamos, en definitiva, a la forma en serie de ourier

!Ec.?#

Lo que acabamos de ver tiene como consecuencia inmediata que cualquier

función f!t# o f!x#, periódica $ anal(tica en el intervalo, + @ t @ T, seencuentra definida en todo el espacio de tiempos o de posiciones *Ainfinito,

7infinito, como $a hab(amos intuido cualitativamente.

4ara calcular los coeficientes an de la serie, aplicamos el m"todo, tan

resolutivo, de multiplicar por el factor ambos miembros de la

ecuación ? e integrar sobre el intervalo *+,T,

0espu"s de operar, obtenemos como coeficientes de la serie de ourier

!Ec.?#, la expresión general

!Ec.B#

4ara el coeficiente a+ la ecuación se simplifica notablemente, de formaque

El significado geom"trico de este n9mero es el valor medio de laamplitud de la función f!t# en el intervalo *+,T. 0e hecho, a+ es la

primera aproximación, la más grosera, a la función f!t# en dichointervalo, tal $ como se muestra en la figura 8.

2

igura 8. 4rimer t"rmino del desarrollo de ourier de la función f!t#.



El resto de los an ponderan las amplitudes de los sucesivos armónicos que

describirán, cada ve1 mejor, la forma de la función periódica evaluada.

Forma trigonométrica de la serie de Fourier

Casta ahora hemos visto el desarrollo en serie de ourier, de lasfunciones periódicas, en la forma más general, es decir, en forma

compleja. )onsideremos ahora, el desarrollo de la función periódica f!t#,en la forma trigonom"trica siguiente, más conocida por todos

!Ec.D#

Los coeficientes del desarrollo, los podemos obtener, con la filosof(a deantes, multiplicando ambos miembros de la ecuación D por cos nt, para

calcular los coeficientes 3n, o por sen nt, para los n $ posteriormente,

integrar sobre el intervalo de existencia +, 24i. 3plicando este m"todoobtenemos las ecuaciones de los coeficientes

!Ec.F#

$

!Ec.'+#

Go es necesario utili1ar siempre el intervalo +, 24i, puede utili1arse

cualquier intervalo de longitud igual al periodo, 24i. 0e hecho, es más

interesante utili1ar el intervalo A4i a 4i, en algunos casos.

0ependiendo de la simetr(a de las funciones evaluadas, obtendremos

desarrollos de ourier con formas espec(ficas que carecerán de

determinados t"rminos. >eamos como ejemplo la siguiente función

)omo vemos en la figura ;, esta es una función impar, lo que indica que

existirán t"rminos en seno. 3demás, es sim"trica respecto a 4iH2, lo que

significa que no aparecerán los t"rminos pares del seno, debido a que

esos t"rminos no son sim"tricos en dicho valor. 0e esta forma, para n

impar tendremos como coeficientes de la serie de ourier asociada,

%na ve1 conocidos los coeficientes del desarrollo n, podemos expresar lafunción en la forma desarrollada



-i representamos sucesivas aproximaciones para n cada ve1 ma$or,

apreciamos que la aproximación es convergente para 1onas fuera de lasproximidades de los puntos de discontinuidad, donde aparece el fenómeno

de Iibbs. En el l(mite cuando consideramos infinitos t"rminos, dichaperturbación tiende a minimi1arse, como muestra la figura ;.

igura ;. 0esarrollo de ourier para n6' $ n6'< de una función impar.

Desarrollo de Fourier y la simetríaJealicemos una clasificación de las caracter(sticas que presentan las

series de ourier en función de la simetr(a intr(nseca a las funcionesperiódicas gen"ricas. )onsideremos el conjunto de funciones pares

!figura <#, donde se cumple que f!24i nAt#6f!t#, para cualquier valorentero de n. En este caso, en el desarrollo en serie de ourier, podemos

intuir, por las propiedades de la función coseno, que solo apareceránt"rminos en coseno, esto es, los coeficientes n serán nulos.

3

4 igura <. unción par sim"trica respecto a +, con periodo 24i.

-i consideremos, el conjunto de las funciones impares !figura ?#, f!24i nA

t#6Af!t#, para cualquier valor entero de n podemos deducir, por las

propiedades de la función seno, que solo aparecerán t"rminos en seno,

esto es, los coeficientes 3n serán nulos.



igura ?. unción impar sim"trica respecto a +, con periodo 24i.

)onsideremos tambi"n un nuevo conjunto de funciones conocido comofunciones pares, sim"tricas respecto a 4iH2 !figura B#, que son aquellas que

cumplen la condición f!4iH27 t#6f!4iH2At#. Estas funciones solo tendránt"rminos pares en el coseno, es decir, n6+ $ 32n7'6+.

igura B. unción par sim"trica respecto a 4iH2, con periodo 24i.

4or supuesto podemos generali1ar las series de ourier para representar

funciones con un periodo L, distinto de 24i, como hemos visto al principio, si

reali1amos el cambio de variable

)onseguimos que un intervalo de longitud 24i en la variable t, se

transforma en un intervalo de longitud L en la variable x. Las ecuaciones

D, F $ '+ se transformarán en estas otras



!Ec.''#

Todas las consideraciones que hemos reali1ado sobre la simetr(a de lasfunciones son, por supuesto, aplicables al nuevo intervalo as( definido.

-e debe de dejar claro lo que el intervalo fundamental o periodo L,representa para un determinado problema. -upongamos que una función

f!x# viene definida en el intervalo +@x@a. Esta función, por supuesto,

podremos desarrollarla en serie de ourier con periodo L6a, en la forma

4ara una función f!x# arbitraria, necesitaremos en su desarrollo, tanto

t"rminos seno como coseno, es decir, un desarrollo sólo en senos o sólo en

cosenos !con periodo a#, ser(a incompleto. 4ero, aqu( está la magia, podemos

desarrollar f!x# sólo en senos de la siguiente manera. 0efinimos, en el

intervalo Ka@x@+, una función suplementaria !artificial#, con la forma f!Ax#6 Af!x#, tal que el periodo de la nueva función será ahora L 6 2a. 0e

esta forma, podremos describirla en la forma

Lo que hemos conseguido de esta forma ha sido evitar los t"rminos

coseno del desarrollo, pero a cambio hemos duplicado el n9mero det"rminos en senos teniendo, en definitiva, un conjunto completo de

funciones que describen de forma anal(tica a la función f!x# en elintervalo +@x@a. 0e la misma forma, podr(amos desarrollar tambi"n f!x#

en una serie que solo contuviera cosenos, con periodo 2a, definiendoartificialmente la función f!Ax#67f!x# en el intervalo Ka@x@+.

Ejercicios resueltos



'# -erie de ourier de una función periódica de per(odo distinto a 2π . Callar la

serie trigonom"trica de ourier para la función periódica definida por

=+<<=)()2(

20 , )(

2

t f t f

t t t f

SOLUCIÓN

3qu( T 6 '. Callemos en primer lugar los coeficientes. -on

π π π

π π π π π

π

π π π π π

π

π π

π π π π π

π

π π π π π π

nnn

nnnnn

n

t nt nt nnt n

dt t nt b

nn

nnnnn

n

t nt nt nt nt ndt t nt a

n

n

12)2cos(4)2cos(2)2sen(4

)cos()cos(2)2sen(2

sen

4)2sen(4)2sen(2)2cos(4

)sen()sen(2)cos(2cos

3333

22

2

0

33

2222

0

2

2233

22

2

0

33

222

partes por

2

0

2

−=−−+

=−+

==

=+−

=

=+−

==

∫

∫ ↓

El coeficiente a + debemos calcularlo por separado, dado que la forma de a n

obtenida arriba no está definida para n 6 +. )alculamos, as(

38

2

0

32

0

2

03

0cos === ∫ t

dt t t a π

0e esa forma, la serie de ourier buscada será



∑∞

=

−+=

122

sen4

cos4

3

4)(

n

t nn

t nn

t f π

π

π

π

2# 3provechamiento de la serie de ourier para calcular una serie numrica. 0ada

<<

<<−−=

π

π π

t0 ,

0 , )(

t

t t f

a# Mbtener la serie trigonom"trica de ourier de f !t #.

b# Iraficar la suma de esa serie en *A;π N ;π .

c# 3provechar dicha serie para calcular la suma de los rec(procos de los cuadrados

de todos los enteros impares positivos.

SOLUCIÓN

4odemos hacer una extensión periódica de esta función, considerándola como de

per(odo 2π . 0e esa manera tenemos T 6 π $ podemos calcular los coeficientes como

dt T

t nt f

T b

dt T t nt f a

T a

an

T a

an

∫ ∫

+

+

=

=2

2

sen)(1

cos)(1

π

π

π



-

-/2

(t)

t

)cos21(1cossencos1

)sen(1

)sen(1

)sen()(1

)1(cos1sencos1sen

)cos(1

)cos(1

)cos()(1

2

0

0

222

0

0

π

π

π π π π

π

π

π π

π

π π

π π π

π

π

π

π

π π

π

π

π

π

π

π

π

π

nnn

nnn

n

n

n

dt nt t dt nt dt nt t f b

nnn

nnn

nn

n

dt nt t dt nt dt nt t f a

n

n

−=−

+−=

=+−==

−=+

+−−

=+−==

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

−−

−−

El coeficiente a + lo calculamos por separado $ da

2

11)0cos()(

1

0

0

0

π

π

π

π π

π

π

π

π

−=+−== ∫ ∫ ∫ −−dt t dt dt t t f a

0e modo que la serie queda

∑∞

=

−+−+−=

12

sen)cos21(1

cos)1(cos1

4)(

n

nt nn

nt nn

t S π π

π

π

b# 4ara graficar la suma de la serie, recordemos que coincide con la función en los

puntos en que "sta es continua, $ converge a la semisuma de los l(mites laterales en

los puntos de discontinuidad. Tenemos as(



Los puntos gordos indican los valores que alcan1a la serie en los puntos de

discontinuidad, que son la semisuma de los l(mites laterales en cada caso.

c# 4ara evaluar la serie num"rica que nos piden, evaluaremos la serie en un punto

adecuado. 3 todas luces el punto más sencillo para evaluar la serie es t 6 +. 3ll(

tenemos que los sen!nt # se hacen todos cero $ los cos!nt # se hacen todos unos. 0e

esa manera la serie quedar(a

∑∞

= −+−= 12 )1(cos1

4)0(n

nnS π π

π

El valor de cos!n π # será A' cuando n sea impar, $ ' cuando n sea par. 4or ende,

resultará que !cos!n π # A '# es A2 cuando n es impar, $ + cuando n es par. 0e esa

manera, en la serie sobreviven sólo los t"rminos impares, $ en ellos reempla1amos

!cos!n π # A '# por A2. 3s( podemos escribir

∑∞

= −

−+−=

12)12(

2

4)0(

n nS

π

π

4ero por otro lado, $ de la gráfica anterior, es - !+# 6 Aπ H2. Jeempla1ando esto

arriba queda

8)12(

1

4)12(

2

)12(

2

42

2

12

12

12

π π

π π

π π =

−⇒−=

−

−⇒

−

−+−=− ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

= nnn nnn

Mbtuvimos as( la suma de los rec(procos de todos los naturales al cuadrado, como

nos ped(a el enunciado.



8# -erie compleja de ourier. 0esarrollar en serie compleja de ourier f !t # 6 e A α t ,

donde A π @ α @ π . 3provechar ese resultado para calcular la suma de la serie

∑∞

∞− +

−22

)1(

n

n

α

.

SOLUCIÓN

Callaremos en primer lugar los coeficientes

( ) ( )π

α π α π

α π π π

απ απ

π απ π απ

π

π

α π

π

α π

π

α

n

in

eeeeee

in

ein

dt edt eec

nini

t nit nint it

n

cos

)(2)(2

1

)(2

1

2

1

2

1

Euler de fórmula

)()(

−

−=−

−

=

=−

===

−↓−−

−

−

−

−

−

−

∫ ∫

Luego

( ) ( )∑∑∑

∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞− +

+−=

−

−== nt int iT t in

n enn

ineeen

in

eeect f

22

/ )cos()(2

)()cos(

)(2)( π

α π

α π

α π

απ απ απ απ

π

Esta equivalencia es válida en todos los puntos de continuidad de f , en particular en

el +. -i evaluamos ahora la serie en +, debe dar lo mismo que f !+#, esto es, '. 4or

otro lado la exponencial e int , evaluada en +, es igual a '. 0e all( tenemos



( )∑∞

∞−

−

+

+−== )cos(

)(2

)(1)0(

22 π

α π

α απ απ

nn

inee f

Mbs"rvese por otra parte que los t"rminos en in con n positivo se anularán con los

que tienen n negativo, de modo que podemos escribir

( ) ( )( )α

π

α α π

α π

α π

α

απ απ

απ απ απ απ

−

∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−

−

−=

+

−⇒−

+

−=

+

−= ∑∑∑

eenn

een

n

ee nn 2

)(

)1()1(

)(2)cos(

)(21

222222

;# -erie cosenoidal de ourier. 0ada la función

<≤

<≤=

π π

π

t , 2

0 , 1)(

2

2t

t f

a# 0esarrollarla en serie cosenoidal de ourier.

b# Callar la suma de la serie en los intervalos !+N π H2#, !π H2N π # $ en los puntos + $

π .

c# )alcular la suma de la serie

∑∞

= −

−

1 12

)1(

n

n

n

.

SOLUCIÓN

4ara que una serie de ourier sea de sólo cosenos la función debe ser par. 4or

ende, debemos plantear una extensión periódica de f tal que sea sim"trica

respecto al eje de ordenadas. >emos que eso lo logramos planteando que la

extensión periódica sea igual a ' en !Aπ

H2N +# $ a 2 entre !Aπ

N Aπ

H2#. 3parece comonatural en ese caso que el per(odo sea 2π . La gráfica será



-

1

-/2

f(t)

/2 3/23/2

0onde las l(neas gruesas marcan la función original, $ las de puntos la extensión

periódica. >emos que para calcular los coeficientes conviene tomar el intervalo que

va de Aπ H 2 a 8π H 2, de modo de hace sólo dos integrales por coeficiente. 4or otra

parte sólo debemos calcular los coeficientes a , dado que la función es par $ sudesarrollo no tendrá senos. Tenemos as(

π

π

π π

π

π

π

π

π

π n

n

ntdt ntdt ntdt t f an2

3sen2

cos2cos11

cos)(1

2/3

2/

2/

2/

2/3

2/=

⋅+⋅== ∫ ∫ ∫

−−

4or otro lado es fácil calcular que a + es 8. 0e esa forma

nt n

n

t S n

cos2

3sen2

)(1

23 ∑

∞

=

+=π

π

4ara calcular la serie que nos piden, tengamos en cuenta que - !+# 6 ' !coincide con

el valor de la función, que es continua en ese punto#. El cos!nt # es ' en el mismo

punto. 3s( tendremos

∑

∞

=

+==12

3 2

3sen2

1)0(n n

n

S π

π



-abemos además que el sen!8n π H2# en esa sumatoria vale + para n pares, $ alterna

entre A' $ ' para n impares. &ás precisamente, vale !A'#O para n 6 2O A '. 0e ese

modo, sólo sobrevivirán los t"rminos impares, $ será

∑∑∑ ∞

=

∞

=

∞

=

−=−

−⇒−=

−

−⇒

−

−+==

1

21

11

23

412

)1(

)12(

)1(2

)12(

)1(21)0(

n

n

n

n

n

n

nnnS

π

π π

Pue es el valor que buscábamos.

;# 0esarrollar en serie de ourier la función periódica de periodo 2Q

.Jepresentar gráficamente $ estudiar la convergencia de la serie en J

i# )alculo de los coeficientes de ourier

%sando el m"todo de integración por partes se tiene

Luego el coeficiente es

4or lo tanto la serie de ourier será



En todos los puntos de continuidad de la serie converge a f!x# $ el los

puntos de discontinuidad del tipo x 6 Q 7 2nQ con n R S., la serie

converge aπ

2.

<# 0esarrollar en serie de ourier la función periódica de periodo 2Q,

definida por

-ol

La función f es par por lo cual obtendremos una serie de cosenos, que

tiene la forma

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