f ( t )=ao2

+∑n=1

∞

(an cos (nωo t )+bnSen (nωo t ))

f ( t )=funcion periodica

T=tamañode periodo

ω=2πT

a0=2T ∫

−T /2

T /2

f (t )dt

an=2T ∫

−T /2

T /2

f (t ) cos (nωo t )dt

bn=2T ∫

−T /2

T /2

f (t )Sen (nωo t )dt

Funciones par e impar

Si f ( t ) es par:

f (t )=ao2

+∑n=z

∞

an cos (nωot )

a0=4T ∫

0

T / 2

f ( t )dt ; an=4T ∫

0

T /2

f ( t ) cos (nωo t )dt

Si f (t) es impar:

f ( t )=∑n=1

∞

bnSen (nωo t )

bn=4T ∫

0

T /2

f (t )Sen (nωo t )dt

Forma compleja de la serie de Fourier

f (t )=f ( t )=ao2

+∑n=1

∞

(ancos (nωo t )+bn Sen (nωo t ))

ωo=2πT y además tenemos que

Sen (nωo )= enωo tj−e−nωotj

2 j

cos (nωo t )=enωo tj+e−nωo tj

Sustituyendo:

f ( t )=12ao+∑

n=1

∞

¿¿

Sabiendo que 1J =− j, entonces

f ( t )=ao2

+∑J=1

∞ ( an2 (enωo tj+e−nωo tj )+bn2 j

(enωo tj−e−nωo tj ))¿ao2

+∑n=1

∞ (( an2 −bn2 j )enωo tj+( an2 +

bn2 j )e−nωo tj)

Sea:

Co=ao2

Cn=an2

−bn2 j

C−n=an2

+bn2 j

∴ f (t )=Co+∑n=1

∞

(Cnenωo tj+C−n e−nωo tj )

=Co+∑n=1

∞

(C n enωo tj )+∑n=1

∞

(C−n e−nωo tj )

=Co+∑n=1

∞

(Cn enωo tj )+ ∑n=−1

∞

(C−n enωo tj )

=∑n=∞

∞

(Cnenωo tj)

Co=12ao=

1T ∫

−T2

T2

f ( t ) dt

Cn=12 (an− j bn )=

12an−

j2bn

¿ 1T ∫

−T2

T2

f (t ) cos (nωo t )dt−JT ∫

−T2

T2

f ( t )Sen (nωo t )dt

1T ∫

−T2

T2

f ( t ) (cos (nωo t )−JSen (nωo t ))

¿ JT ∫

−T /2

T /2

f ( t ) e− jnω0 tdt

Cn=|C n|eJ ∅n

C−n=Cn=¿|Cn|e−J∅n ¿

|Cn|=12 √an2+bn2

Co=12ao

∅=arctg(−bnan )

Espectros de frecuencia compleja

La grafica de la magnitud de los coeficientes complejos Cn, contra la frecuencia ω (frecuencia angular) se denomina espectro de amplitud de f (t ) .

La grafica del angulo de fase ∅ o de Cn contra ω se denomina espectro de fase de f (t ) .

Dado que el índice n toma sólo valores enteros, los espectros de amplitud y de fase no son curvas contonuas, si no que aparecen en la variable discreta nωo, por lo que se denominan espectros de frecuencia discreta.

La representación de Cn contra nωo, especifica la función periódica f (t ) en el dominio de la frecuencia, asi como f (t ) contra t especifica la función en el dominio del tiempo.

ωo→ Frecuencia

nωo→ Harmonicos

f ( t )={ t20≤t<28−2 t 2≤ t<4

T=4

ω=2π4

=π2

nωot=n( π2 )t Seria trigonométrica

ao=24∫0

2

t 2dt+ 24∫2

4

(8−2 t )dt

¿ 12 [ t33 | 2¿0+8 t−t2| 4¿2 ]

¿ 12 [( 83−0)+ (32−16−16+4 )]¿ 12 (83 +4 )=12 ( 203 )=103

an=12 [∫0

2

t 2cos (n π2 t)dt+∫24

(8−2 t ) cos (n π2 t )dt ]bn=

12 [∫0

2

t 2Sen(n π2 t )dt+∫24

(8−2 t ) Sen(n π2 t)dt ]|C n|=√¿¿

Co=12ao

∅ o=arctg(−bnan )Cn=|Cn|eJ∅oo