UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA E.A.P.INGENIERADE MINAS

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAE.A.P. INGENIERA DE MINAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAE.A.P. INGENIERIA DE MINAS

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIERALUMNA:CABRERA BOON, RUTH ISABELDOCENTE: LIC. CESAR AUGUSTO GARRIDO JAEGERCURSO: MATEMTICA IV

INTRODUCCIN

La idea bsica de las series de Fourier es que toda funcin peridica de periodo T puede ser expresada como una suma trigonomtrica de senos y cosenos del mismo periodo T. El problema aparece naturalmente en astronoma, de hecho Neugebauer (1952) descubri que los babilonios utilizaron una forma primitiva de las series de Fourier en la prediccin de ciertos eventos celestiales.La historia moderna de las series de Fourier comenz con D'Alembert (1747) y su tratado de las oscilaciones de las cuerdas del violn.Las series e integrales de Fourier constituyen un tema clsico del Anlisis Matemtico. Desde su aparicin en el siglo XVIII en el estudio de las vibraciones de una cuerda, las series de Fourier se han convertido en un instrumento indispensable en el anlisis de ciertos fenmenos peridicos de la Fsica y la Ingeniera. Tambin veremos el procedimiento para resolver ecuaciones en derivadas parciales que surgen con frecuencia en .problemas donde aparecen vibraciones, potenciales y distribuciones de temperatura. Estos problemas se llaman problemas de valor en la frontera y se describen mediante ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden, que son relativamente simples. Lo que se hace es hallar las soluciones particulares de una ecuacin en derivadas parciales reducindola a dos o ms ecuaciones diferenciales ordinarias. Se comenzar con el mtodo de separacin de variables para ecuaciones en derivadas parciales lineales.

OBJETIVOS

Objetivo general: Aprender a resolver Ecuaciones Diferenciales usando las Series de Fourier y analizar algunos problemas de frontera.

Objetivos especficos Aprender el concepto de funciones ortogonales y reconocer cuando dos funciones son ortogonales. Comprender las Series de Fourier desde lo ms bsico. Analizar problemas clsicos sobre series de Fourier de senos y cosenos. Conocer sobre las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Analizar problemas de condicin de frontera: ecuacin de calor, ecuacin de onda, ecuacin de Laplace.

TEMA 1: FUNCIONES ORTOGONALESDefinicin .1. El producto escalar de dos funciones f1 y f2 definidas en un intervalo [a, b] es el nmero:

Entonces la norma que induce este producto escalar de una funcin f definida en el intervalo [a, b] es el nmero:

Definicin 2. Dos funciones f1 y f2 son ortogonales en el intervalo [a, b] si:

Por ejemplo, las funciones f1(x) = y f2(x) = son ortogonales en el intervalo [1, 1] puesto que:

Definicin 3. Se dice que un conjunto de funciones es ortogonal en el intervalo [a, b] si:

Si es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a, b] con la propiedad de que n = 1 para cualquier n, entonces se dice que es un conjunto ortonormal en el intervalo [a, b].Nota: A diferencia del anlisis vectorial, en donde la palabra ortogonal es sinnimo de perpendicularidad, en el presente contexto el trmino ortogonal y la definicin 2 no tienen significado geomtrico.Conjuntos ortogonales:Un conjunto de funciones de valor real

Es ortogonal en un intervalo [a, b] si:

La longitud o norma , de un vector u se puede expresar en trminos de producto interno; concretamente,, o bien . La norma o longitud generalizada, de una funcin , es; es decir:

El nmero:

Se llama norma cuadrada de . Si es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo y tiene la propiedad que para , se dice que es un conjunto ortogonal en el intervalo.

TEMA 2: SERIES DE FOURIEREl conjunto:

Es ortogonal en [-p, p].Sea f una funcin que admite un desarrollo en serie del conjunto anterior, es decir:

Donde los coeficientes ,, se determinan del siguiente modo:Al integrar ambos lados de la ecuacin anterior, desde p hasta p, se obtiene:

Como cada funcin ,, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de la ecuacin anterior se reduce a un solo termino y, en consecuencia:

Al despejar se obtiene:

Ahora multiplicando la ecuacin por e integramos:

Por la ortogonalidad tenemos que

Se ha optado por escribir el primer coeficiente en la serie en la forma y no como , solo para mayor comodidad; la frmula para se reducir entonces a cuando n=0Entonces la ecuacin se reduce a:

Y as:

Por ltimo, si multiplicamos a por integramos y aplicamos los resultados:

Llegamos a:

Al determinar los coeficientes supusimos que es integrable en el intervalo y que la ecuacin al igual que la serie obtenida multiplicando dicha ecuacin por converge en tal forma que permite la integracin trmino a trmino. Hasta no demostrar que la ecuacin es convergente paraa determinada funcin , no se debe tomar el signo igual en sentido estricto o literal. Algunos textos emplean el smbolo en lugar =. En vista de que en las aplicaciones la mayor parte de las funciones son del tipo que garantiza la convergencia de la serie, usamos el signo igual. Sintetizando los resultados entonces:La serie de Fourier de una funcin definida en el intervalo es:

En la cual:

A los nmeros reales se les denomina coeficientes de Fourier.Nota: Esta serie no converge para cualquier . Habr que imponer condiciones que garanticen la convergencia de la serie de Fourier de una funcin dada.Convergencia de una serie de Fourier:TEOREMA:Sea continuas en tramos en el intervalo ; esto es, sean continuas excepto en nmero finito de puntos en el intervalo y con discontinuidades slo finitas en esos puntos. Entonces, la serie de Fourier de en el intervalo converge hacia en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad la serie de Fourier converge hacia el promedio:

En donde representan el lmite de f en x, desde la derecha y la izquierda respectivamente En otras palabras, cuando x es punto en el intervalo y

TEMA 3: SERIES COSENO Y SENOFunciones par e impar:Par: Impar: Ejemplos:a) es para porque

b) es impar porque

Como se ilustra en las figuras anteriores la grfica de una funcin par es simtrica con respecto al eje y la de una funcin impar lo es con respecto al origen.

Propiedades Funciones Pares e Impares1) El producto de dos funciones pares es par.2) El producto de dos funciones impares es par.3) El producto de una funcin impar y una funcin par es impar. 4) La suma o diferencia de dos funciones pares es par. 5) La suma o diferencia de dos funciones impares es impar.6) Si f es par.

7) Si f es impar.

Serie de Fourier en Senos y Cosenos:Si es una funcin par en :

En forma parecida, cuando es impar en el intervalo :

Se resume lo anterior en lo siguiente:Series de Fourier de cosenos y serie de senosa) La serie de Fourier de una funcin par en el intervalo es la serie de cosenos:

En que:

b) La serie de Fourier de una funcin impar en el intervalo es la serie de senos:

De donde:

TEMA 4: ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALESLas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales surgen en relacin con varios problemas fsicos y geomtricos cuando las funciones que intervienen dependen de dos o ms avriables independientes. Es importante sealar que slo los sistemas fsicos ms sencillos pueden modelarse por ecuaciones diferenciales ordinarias, mientras que la mayora de los problemas de mecnica de fluidos y slidos, transfeencia de calor, teora electromagntica, mecnica cuntica y otras reas de la Fsica llevan a ecuaciobes en derivadas parciales.Una ecuacin diferencial en derivadas parciales es una ecuacin en la que interviene una o ms derivadas parciales de una funcin de dos o ms variables independientes. El orden de la derivada ms alta es llamado orden de la ecuacin y una solucin de una ecuacin en derivadas parciales es una funcin que satisface la ecuacin.En este tema nos centraremos en el estudio de ecuaciones lineales de segundo orden en dos variables, esto es, ecuaciones de la forma:

que desempean un papel importante en Ingeniera , como son las siguientes.1. Ecuacin unidimensional del calor

2. Ecuacin unidimensional de onda

3. Ecuacin bidimensional de Laplace

La ecuacin (1) aparece en la teora del flujo de calor en una varilla o en un alambre delgado donde la funcin u (x, t) representa la temperatura de la varilla. Los problemas de vibraciones mecnicas a menudo conducen a la ecuacin de onda (2), en la que u (x, t) representa los pequeos desplazamientos de una cuerda vibrante. Por ltimo, la solucin u (x, y) de la ecuacin de Laplace (3) puede ser interpretada como la distribucin estacionaria (esto es, independiente del tiempo) de la temperatura en una placa plana y delgada.Aqu no veremos cmo se deducen estas ecuaciones sino que nos concentraremos en su resolucin. Para la mayor parte de las ecuaciones lineales de segundo orden, an con las que tienen coeficientes constantes, no es fcil llegar a la solucin general. Sin embargo, casi siempre es posible, y bastante sencillo, hallar soluciones particulares de las ecuaciones lineales anteriores ya que, generalmente, el objetivo que se persigue no es nicamente la resolucin de una ecuacin en derivadas parciales, sino que, en la mayora de los casos, se est interesado en la determinacin de una solucin particular que cumpla ciertas condiciones adicionales que surgen del problema. Por ejemplo, la condicin de que la solucin u asuma valores dados en la frontera de la regin considerada o, cuando el tiempo t es una de las variables, que u est dada en t = 0. As, distinguiremos condiciones adicionales de dos tipos:Condiciones iniciales (asociadas a variables temporales).Condiciones de contorno o de frontera (relativas a variables espaciales).Hemos visto, en temas anteriores, que si una ecuacin diferencial ordinaria es lineal y homognea, entonces, a partir de soluciones conocidas, pueden obtenerse otras soluciones por superposicin. Para una ecuacin diferencial en derivadas parciales lineal y homognea la situacin es muy parecida. De hecho, se verifica el siguiente teorema.Teorema 1.1 (Principio de superposicin)Si u1 , u2 ,.. ., uk son soluciones cualesquiera de una ecuacin en derivadas parciales lineal y homognea en alguna regin R, entoncesu = c1 u1 + c2u2 + ck ukdonde c1, c2 ,. .., ck son constantes cualesquiera, tambin es una solucin de esa ecuacin en R.Mtodo de separacin de variablesEl mtodo de separacin de variables es una tcnica clsica que resulta efectiva para resolver varios tipos de ecuaciones en derivadas parciales. Para determinar una solucin, se supone que sta puede escribirse con sus variables separadas; esto es, en la forma:u (x, y) = X (x) Y (y)Sustituyendo esta forma de solucin en la ecuacin y teniendo en cuenta que:

se llega a dos ecuaciones diferenciales ordinarias de las funciones incgnitas X (x) y Y (y). De esta forma el problema de resolver una ecuacin en derivadas parciales se reduce al problema ms conocido de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Ilustraremos esta tcnica para la ecuacin del calor, la ecuacin de onda y la ecuacin de Laplace cuando se verifican ciertas condiciones adicionales (iniciales y de contorno).

TEMA 5: PROBLEMAS DE CONDICIN DE FRONTERA ECUACIN DE CALOR:La ecuacin:

se origina en la teora del flujo de calor; esto es, el calor transferido por conduccin en una varilla o alambre delgado. La funcin es la temperatura. Los problemas de vibraciones mecnicas conducen con frecuencia a la ecuacin de onda. Para los fines que se analizan aqu, una solucin de la ecuacin de onda representa el desplazamiento de una cuerda ideal. Por ltimo, una solucin de la ecuacin de Laplace se puede interpretar como la distribucin de estado estable (esto es, independiente del tiempo) de la temperatura en una placa delgada y bidimensional.Supongamos que una varilla circular delgada de longitud L tiene una seccin trasversal de rea A y que coincide con el eje en el intervalo [0, L]. Tambin supongamos que

(Figura 1) El flujo de calor dentro de la varilla slo tiene la direccin . La superficie lateral, o curva, de la varilla est aislada; esto es, no escapa calor de esa superficie. No se genera calor dentro de la varilla. La varilla es homognea, es decir, su masa por unidad de volumen es constante. El calor especifico y la conductividad trmica del material de la varilla K son constantes.Para derivar la ecuacin diferencial parcial que satisface la temperatura necesitamos dos leyes empricas de la conduccin de calor.

Donde es la temperatura del elemento. La tasa de flujo de calor a travs de la seccin trasversal de la figura es proporcional al rea A de esa seccin y a la derivada parcial de la temperatura con respecto a : Puesto que el calor fluye en direccin de la temperatura decreciente se influye el signo menos en la ecuacin anterior, a fin de asegurar que sea positivo para < 0(flujo de calor hacia la derecha) y negativo para > 0 (flujo de calor hacia la izquierda). Si el corte circular de la varilla entre y-x + Ax es muy delgado, cabe suponer que es la temperatura aproximada en todo punto del intervalo. Ahora bien, la masa del corte es m de manera que, segn la ecuacin , la cantidad de calor en l es,

Adems, cuando el calor fluye hacia la direccin de las positivas, vemos que, de acuerdo con la ecuacin ese calor se acumula en el corte con la razn neta Al diferenciar la ecuacin Con respecto a vemos que esa razn neta tambin por Igualamos

Y de ello resulta

Tomamos el lmite de esta ecuacin cuando Ax 0, y llegamos a la ecuacin en la forma:

Se acostumbra que y llamar difusividad trmica a esta constante positiva.

ECUACIN DE ONDA: Se tiene una cuerda de longitud -como una cuerda de guitarra-, estirada entre dos puntos en el eje x: por ejemplo, y .Cuando comienza a vibrar, supongamos que el movimiento se lleva a cabo en, el plano , de tal modo que cada punto de la cuerda se mueve en direccin perpendicular al ejex (vibraciones transversales). Como vemos en la figura b representa el desplazamiento vertical de cualquier punto de la cuerda, medido a partir del cuando . Adems se supone que: La cuerda es perfectamente flexible. La cuerda es homognea esto es,, su masa por unidad de longitud, es constante. Los desplazamientos son pequeos en comparacin con la longitud de la cuerda. La pendiente de la curva es pequea en todos sus puntos. La tensin T acta tangente a la cuerda y su magnitud es la misma en todos los puntos. La tensin es considerable en comparacin con la fuerza de la gravedad. No hay otras fuerzas externas actuando sobre la cuerda.En la figura b las tensiones T1 y T2 son tangentes a los extremos de la curva en el intervalo [x]. pequeos, la fuerza vertical neta que acta sobre el elemento correspondiente de la cuerda es, por consiguiente,

Figura (a) Figura (b)

,En donde Ahora, Ax es la masa de la cuerda en[ ] y al aplicar la segunda ley de Newton obtenemos O sea:

Si se toma el lmite cuando Ax0, esta ltima ecuacin se transforma en . Esto es la ecuacin en que

ECUACIN DE LAPLACE: Aunque no presentaremos su derivacin, esta ecuacin en dos o tres dimensiones surge en problemas independientes del tiempo que conciernen potenciales como el electrosttico, el gravitacional y la velocidad en mecnica de fluidos, Adems, una solucin de la ecuacin de Laplace se puede interpretar como la distribucin de temperatura de un estado estable. Segn c, una solucin podra representar la temperatura que vara de un punto a otro, pero no con el tiempo, en una placa rectangular.

Figura (c)

Con frecuencia hay que hallar las soluciones de las ecuaciones

Que satisfagan ciertas condiciones adicionales.Condiciones adicionales: Puesto que las soluciones de las dos primeras ecuaciones anteriores dependen del tiempo podemos indicar qu sucede cuando ; esto es, podemos establecer las condiciones iniciales (CI). Si representa la distribucin inicial de temperatura en la varilla de figura 1, entonces una solucin debe satisfacer la condicin inicial nica = f(x), 0 < x < L. Por otro lado, en el caso de una cuerda vibratoria es posible especificar su desplazamiento(o forma) inicial y su velocidad inicial . En trminos matemticos, se busca una funcin que satisfaga la ecuacin y las dos condiciones iniciales: = f(x)

Por ejemplo, la cuerda se puede tocar como muestra la siguiente figura solt{andola del reposo )

CONCLUSIONES

La integral impropia que aparece en estos coeficientes (conocida como la transformada de Fourier), resulta ser de gran importancia en el anlisis de Fourier y en las mltiples aplicaciones de esta rama de la ciencia. Solo por mencionar algunas, digamos que la transformada de Fourier se aplica en el estudio de seales y sistemas, as como en ptica; aparece en los aparatos sofisticados modernos como los que se usan para tomar una tomografa, tambin surge en las tcnicas analticas como la resonancia magntica nuclear, y en general, en todo tipo de instrumentacin cientfica que se use para el anlisis y la presentacin de datos.

La ortogonalidad de las funciones en el tema tratado no posee interpretacin geomtrica como los vectores en el que significa perpendicularidad.

Vimos que para poder solucionar series de Fourier tratamos y usamos las funciones de senos y cosenos.

Analizamos y deducimos ecuaciones relacionadas con problemas de condicin de frontera: ecuacin de calor, ecuacin de onda, ecuacin de Laplace.

RECOMENDACIONES

Resolver un problema con condiciones iniciales y de contorno consiste en encontrar una funcin que satisfaga una ecuacin diferencial en derivadas parciales y adems algunas condiciones adicionales que pueden ser tanto condiciones de frontera como condiciones iniciales. A veces es posible obtener una solucin particular del problema (ecuacin lineal en dos variables) suponiendo que tiene una solucin en forma de producto u = XY. Este procedimiento, mtodo de separacin de variables, consiste en cinco etapas bsicas:1. Separar las variables.2. Resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias obtenidas de la separacin y encontrar los valores propios y las funciones propias del problema.3. Formas los productos .4. Usar el principio de superposicin para formar una serie infinita de las funciones .5. Despus de usar una(s) condicin(es) de frontera, o una(s) condicin(es) inicial(es), los coeficientes de la serie se obtienen haciendo una identificacin apropiada con un desarrollo de Fourier en medio intervalo en senos o cosenos.

BIBLIOGRAFA

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