ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES

DIFERENCIALES

FORMACIÓN POR COMPETENCIAS

Núcleo e imagen de

Transformaciones lineales.

Valores y vectores propios.

OBJETIVOS

Identificar la matriz asociada de una transformación

es lineal.

Calcular el núcleo e imagen de una transformación es

lineal.

Calcular los valores y vectores propios de una matriz.

Diagonalizar una matriz cuadrada.

Aplicar los métodos estudiados a diferentes

problemas de contexto real.

Teorema

Una transformación 𝑻:ℝ𝒏 → ℝ𝒎 de ℝ𝒏 en ℝ𝒎 es lineal si y solo

si existe una matriz 𝑨 de orden 𝒎×𝒏 tal que para todo

𝒙 = 𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 ; ⋯ ; 𝒙𝒏 ∈ ℝ𝒏 se cumple

𝑻 𝒙 = 𝑨

𝒙𝟏𝒙𝟐⋮𝒙𝒏

OBSERVACIÓN

Esta es una de las matrices que se pueden asociar a la

transformación lineal, precisamente aquella asociada a

las bases canónicas de ℝ𝒏 y ℝ𝒎.

Ejemplo 1

Halle la matriz asociada a la transformación lineal

𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛;𝒘 = 𝟐𝒙 + 𝟑𝒘; 𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟓𝒛; 𝟕𝒚 + 𝟏𝟎𝒘

Solución:

Una manera muy práctica de hallar la matriz asociada es expresar el

vector 𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛;𝒘 como el producto de una matriz por el vector

(𝒙; 𝒚; 𝒛;𝒘) expresado como una matriz columna.

Así tenemos

𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛;𝒘 =𝟐 𝟎 𝟎 𝟑𝟏 −𝟒 𝟓 𝟎𝟎 𝟕 𝟎 𝟏𝟎

𝒙𝒚𝒛𝒘

Luego la matriz asociada es:

𝟐 𝟎 𝟎 𝟑𝟏 −𝟒 𝟓 𝟎𝟎 𝟕 𝟎 𝟏𝟎

Núcleo de una transformación lineal

Sea 𝑻:ℝ𝒏 → ℝ𝒎 una transformación lineal. El núcleo (o kernel)

de 𝑻 se define como el conjunto

𝑲𝒆𝒓 𝑻 = 𝒗 ∈ ℝ𝒏 𝑻 𝒗 = 𝟎

OBSERVACIÓN

El núcleo de una T.L 𝑻:ℝ𝒏 → ℝ𝒎 es a su vez un espacio

vectorial con las mismas operaciones de ℝ𝒏 , es decir es

un subespacio vectorial de ℝ𝒏

Ejemplo 1

Sea la T.L. 𝑻:ℝ𝟐 → ℝ𝟐 definida por

𝑻 𝒙; 𝒚 = 𝒙 + 𝒚; 𝒙 + 𝒚 ; ∀ 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ𝟐

Determine el núcleo de 𝑻.

Solución:

Tenemos por definición que 𝒙; 𝒚 ∈𝑲𝒆𝒓(𝑻) solo cuando

𝑻 𝒙; 𝒚 = (𝟎; 𝟎)

esto implica que 𝒙 + 𝒚; 𝒙 + 𝒚 = 𝟎; 𝟎

de donde 𝒚 = −𝒙.

Luego

𝑲𝒆𝒓 𝑻 = 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ𝟐 𝒚 = −𝒙

𝑲𝒆𝒓(𝑬)

𝒙

𝒚

Ejemplo 2

Determine y grafique el núcleo de las siguientes

transformaciones lineales

a.- 𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛 = (𝒙 − 𝟐𝒚; 𝒙 + 𝒚; 𝒙 − 𝒚)

b.- 𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛 = (𝟑𝒙 − 𝟐𝒚; 𝒚 − 𝟑𝒛; 𝒙 − 𝟐𝒛)

c.- 𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛 = 𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛; 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛; 𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛

d.- 𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛 = (𝟎; 𝟎; 𝟎)

Solución:

Ejercicio 1

Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 de modo que la transformación

lineal 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 definida por 𝑇 𝑥; 𝑦 = 𝑎𝑥 + 5𝑦; 6𝑥 + 𝑏𝑦 , tenga

como núcleo a la recta de ecuación 𝑦 = 3𝑥

Solución:

Ejercicio 2

Encada caso determine el núcleo de la transformación dada

a.- 𝑇:ℝ𝟑 → ℝ𝟐 definida por 𝑇 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑥 − 𝑧; 𝑦 − 𝑧

b.- 𝑇:ℝ𝟑 → ℝ𝟑 definida por

𝑇 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧; 3𝑥 + 4𝑦 + 7𝑧;−2𝑥 − 2𝑦

Solución:

Imagen de una transformación lineal

Sea 𝑻:ℝ𝒏 → ℝ𝒎 una transformación lineal. La imagen de 𝑻 se

define como el conjunto

𝑰𝒎 𝑻 = 𝒘 ∈ ℝ𝒎 ∃ 𝒗 ∈ ℝ𝒏 ∶ 𝑻 𝒗 = 𝒘

= 𝑻(𝒗) 𝒗 ∈ ℝ𝒏

OBSERVACIÓN

La imagen de una T.L 𝑻:ℝ𝒏 → ℝ𝒎 también es un

subespacio vectorial de ℝ𝒎

Ejemplo 1

Sea la T.L. 𝑻:ℝ𝟐 → ℝ𝟐 definida por

𝑻 𝒙; 𝒚 = 𝒙 + 𝒚; 𝒙 + 𝒚 ; ∀ 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ𝟐

Determine y grafique la imagen de 𝑻

Solución:

Tenemos por 𝑰𝒎(𝑻) es el conjunto de

puntos de la forma:

𝑻 𝒙; 𝒚 = 𝒙 + 𝒚; 𝒙 + 𝒚 = (𝒙 + 𝒚)(𝟏; 𝟏)

y como 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ son reales arbitrarios,

concluimos que

𝑰𝒎 𝑻 = 𝒕; 𝒕 ∈ ℝ𝟐 𝒕 ∈ ℝ

𝒙

𝒚

Ejemplo 2

Determine cuál (o cuales) de los siguientes conjuntos no

puede ser la imagen de alguna transformación lineal.

a.- 𝒙; 𝒚; 𝒛 ∈ ℝ𝟑 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏

b.- 𝑷 ∈ ℝ𝟑 𝑷 = 𝒕 𝟏; 𝟐; 𝟏 + 𝒔 𝟎; 𝟏;−𝟑 ; 𝒕, 𝒔 ∈ ℝ

c.- 𝒙; 𝒚; 𝒛 ℝ𝟑 𝒙

𝟐=

𝒚

𝟑= 𝒛

Solución:

Ejemplo 3

Dada la transformación lineal 𝑇: 𝑅2 → 𝑅3 definida por

𝑇 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 𝑦; 𝑥 − 𝑦; 𝑥 + 2𝑦 , determine el 𝑖𝑚(𝑇).

Solución:

Ejercicio 1

Sea la transformación lineal 𝑻:ℝ𝟐 → ℝ𝟐 definida por

𝑻 𝒙; 𝒚 = 𝒙 + 𝟐𝒚; 𝟐𝒙 + 𝒚 ; ∀ 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ𝟐

a.- ¿Es cierto que el vector (0,0) se encuentra en la imagen de

la transformación 𝑇? Justifique su respuesta.

b.- Analice si los vectores de la forma donde pertenecen a la

imagen de la transformación 𝑇.

c.- Determine y grafique la imagen de la transformación 𝑇.

Solución:

Valores y vectores propios

Sea A = 𝑎𝑖𝑗 una matriz de orden 𝑛, y considere la ecuación

vectorial

𝑨𝒗 = 𝝀𝒗

donde 𝝀 es un escalar (número real) y 𝒗 ∈ ℝ𝒏×𝟏 es una variable

vectorial

1. Un valor de λ para el que la ecuación anterior tiene

solución no nula se le denomina valor propio de

𝑨 (autovalor, eigenvalor o valor característico de 𝑨).

2. Las soluciones correspondientes 𝒗 ≠ 𝟎, se le denomina

vectores propios de 𝑨 (autovector, eigenvectores o

vectores característicos de 𝑨)

Valores y vectores propios

OBSERVACIÓN

Si 𝑻:ℝ𝒏 → ℝ𝒎 es una Transformación Lineal, sus valores y

vectores propios son aquellos correspondientes a su

matriz asociada respecto a las bases canónicas.

𝒙

𝒚 𝒗

𝟐𝒗

Si 𝑻 𝒗 = 𝟐𝒗 entonces 𝒗 es un

vector propio de 𝑻 y su valor

propio asociado es 𝟐

Por ejemplo

Ejemplo 1

Sea la matriz 𝑨 =−𝟓 𝟐𝟐 −𝟐

.

a.- ¿Cuál de los siguientes vectores es un vector propio de

𝑨?

𝟐; 𝟏 ; 𝟏; 𝟐 ; 𝟑; 𝟓 ; 𝟎; 𝟎

b.- Para el vector propio identificado en el item anterior,

determine el valor propio asociado.

Solución:

Polinomio y ecuación característica

Sea 𝑨 una matriz de orden 𝒏. El polinomio característico de 𝑨

se define como

𝑷𝒄𝒂𝒓𝒂𝒄𝒕(𝝀) = 𝒅𝒆𝒕 𝑨 − 𝝀 𝑰

Y la ecuación característica de 𝑨 es:

𝒅𝒆𝒕 𝑨 − 𝝀 𝑰 = 𝟎

Por ejemplo para la matriz 𝑨 =𝟏 𝟑−𝟒 𝟏

su polinomio

característico es:

𝒅𝒆𝒕 𝑨 − 𝝀𝑰 = 𝒅𝒆𝒕𝟏 − 𝝀 𝟑−𝟒 𝟏 − 𝝀

= 𝝀𝟐 − 𝟐𝝀 + 𝟏𝟑

Y su ecuación característica es:

𝝀𝟐 − 𝟐𝝀 + 𝟏𝟑 = 𝟎

TEOREMA

Sea 𝑨 una matriz de orden 𝒏.

1.- Los valores propios de 𝑨 son las raices de la ecuación

característica de 𝑨

2.- Para cada valor propio 𝝀𝟎 de la matriz 𝑨, el conjunto

solución de la ecuación vectorial

𝑨 − 𝝀𝑰 𝑿 = 𝟎

representa el conjunto de vectores propios asociados al valor

propio 𝝀𝟎

Ejemplo 1

Calcule los valores y vectores propios para cada una de las

siguientes matrices

a.- 𝐴 =1 −1 0−1 2 −10 −1 1

b.- 𝐴 =0 0 20 2 02 0 0

c.- 𝐴 =

9

16−

1

16

−3

16

11

16

d.- 𝐴 =4 1 −12 5 −21 1 2

Solución:

Ejemplo 2

En la figura se muestran los dos vectores propios asociados

al valor propio 𝜆 = 2 de una transformación lineal 𝑇 ∶ ℝ2 → ℝ2

Y

X

Modele la regla de

correspondencia de la

transformación 𝑇

Solución:

Ejercicio 1

Sea la transformación 𝑇:ℝ2 → ℝ2 definida por

𝑇 𝑥; 𝑦 = 2𝑦; 8𝑥

a.- Determine todos los valores propios de la transformación

𝑇.

b.- Exprese el vector 𝑢 = 0,1 como una combinación lineal

de dos vectores propios no paralelos asociados a los valores

propios hallados en el ítem anterior

Solución:

Diagonalización

Una matriz cuadrada 𝐴 de orden 𝑛 se dice diagonalizable si

existe una matriz invertible 𝑃 y una matriz diagonal 𝑫 tal que:

𝑨 = 𝑷𝑫𝑷−𝟏

Una matriz 𝐴 de orden 𝑛 es diagonalizable si y sólo si tiene 𝑛

vectores propios linealmente independientes

Teorema

Ejemplo 1

Determine si la matriz 𝑨 =𝟏 −𝟏−𝟒 𝟏

es diagonalizable o no

Solución:

Calculemos los vectores propios de esta matriz

𝒅𝒆𝒕 𝑨 − 𝝀𝑰 = 𝒅𝒆𝒕𝟏 − 𝝀 −𝟏−𝟒 𝟏 − 𝝀

= 𝝀𝟐 − 𝟐𝝀 − 𝟑

Al resolver esta ecuación obtenemos 𝝀𝟏 = 𝟑 y 𝝀𝟐 = −𝟏

Para estos valores propios obtenemos los vectores propios

asociados:

Para 𝝀𝟏 = 𝟑: obtenemos el vector propio 𝒗𝟏 = (𝟏;−𝟐)

Para 𝝀𝟐 = −𝟏: obtenemos el vector propio 𝒗𝟐 = (𝟏; 𝟐)

Como los vectores 𝒗𝟏 y 𝒗𝟐 son L.I. concluimos que 𝑨 si es

diagonalizable.

Ejemplo 2

Determine si la siguiente transformación lineal es

diagonalizable

𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛 = −𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛; 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟔𝒛;−𝒙 − 𝟐𝒚

Solución:

Teorema

Sea 𝑨 una matriz cuadrada de orden 𝒏

a.- Si 𝑨 tiene 𝒏 valores propios distintos, entonces tiene 𝑛

vectores propios L.I.

b.- Si 𝑨 es simétrica, entonces tiene 𝒏 vectores propios

ortonormales. (y en consecuencia L.I.)

Por ejemplo, por simple inspección podemos afirmar que las

siguientes matrices son diagonalizables:

𝑨 =−𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎𝟎 𝟎 −𝟑

𝑨 =

−𝟕 −𝟏 𝟖 𝟏

−𝟏 𝟐 −𝟓 𝟔𝟖 −𝟓 𝟎 𝝅

𝟏 𝟔 𝝅𝟏

𝟕

Teorema

Si 𝐴 es una matriz diagonalizable de orden 𝑛, entonces

𝑷−𝟏𝑨𝑷 = 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝀𝟏 ; 𝝀𝟐 ; 𝝀𝟑 ; ⋯ ; 𝝀𝒏)

donde

• λ1; λ2; λ3;…; λ𝑛 son los valores propios de 𝑨

• 𝑷 es la matriz cuyas columnas son los vectores propios

asociados los valores propios de 𝐴 𝑷 = 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 ⋯ 𝒗𝒏

Vector propio asociado a 𝝀𝟏

Vector propio asociado a 𝝀𝟐

Vector propio asociado a 𝝀𝟑

Vector propio asociado a 𝝀𝒏

Ejemplo 1

Diagonalice las siguientes matrices:

a.- 𝑨 =𝟒 −𝟓𝟐 −𝟑

b.- 𝑨 =𝟒 𝟏 −𝟏𝟐 𝟓 −𝟐𝟏 𝟏 𝟐

Solución:

Propiedades de la matriz diagonal

Para la matriz diagonal

𝑫 = 𝒅𝒊𝒂𝒈 𝝀𝟏; 𝝀𝟐; 𝝀𝟑;⋯ ; 𝝀𝒏

se cumplen las siguiente propiedades

1.- 𝑫𝒌 = 𝒅𝒊𝒂𝒈 𝝀𝟏𝒌; 𝝀𝟐

𝒌; 𝝀𝟑𝒌;⋯ ; 𝝀𝒏

𝒌

2.- 𝑫−𝟏 = 𝒅𝒊𝒂𝒈𝟏

𝝀𝟏;𝟏

𝝀𝟐;𝟏

𝝀𝟑; ⋯ ;

𝟏

𝝀𝒏

Teorema

Si 𝐴 es una matriz cuadrada de orden 𝑛 diagonalizable,

entonces podemos escribir:

a.- 𝑨 = 𝑷𝑫𝑷−𝟏

b.- 𝑨𝒌 = 𝑷𝑫𝒌𝑷−𝟏 para cualquier 𝒌 ∈ ℕ

c.- Si además A es invertible, entonces 𝑨−𝟏 = 𝑷𝑫−𝟏𝑷−𝟏

Ejemplo 1

Sea la matriz 𝑨 =𝟏 −𝟏−𝟒 𝟏

. Demuestre que para cualquier

𝒌 ∈ ℕ se cumple

𝑨𝒌 =𝟏

𝟒

𝟐 𝟑𝒌 + −𝟏 𝒌 −𝟏 𝒌 − 𝟑𝒌

𝟒 −𝟏 𝒌 − 𝟑𝒌 𝟐 𝟑𝒌 + −𝟏 𝒌

Solución:

Ejemplo 2

En la figura se muestran los vectores propios asociados al

valor propio λ = 2 de una transformación lineal 𝑇:ℝ2 → ℝ𝟐.

Diagonalice la matriz asociada a 𝑇.

Solución:

Bibliografía

4. Calculus – Larson Edwards

3. Introducción al Álgebra Lineal – Howard Anton

1. Algebra lineal y sus aplicaciones –David C. Lay.

2. Introducción al Álgebra Lineal – Larson Edwards.

5. Álgebra Lineal – Bernard Kolman; David R. Hill