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RESISTENCIA DE MATERIALES

Autor: Jorge Perelli Botello

Resistencia de MaterialesJorge Perelli Botello

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Este documento es una recopilacin de la teora aplicada a la resolucin de problemas de Resistencia de Materiales.

No tiene, por tanto, el rigor terico que se puede encontrar en cualquiera de los conocidos y numerosos libros que tratan de este asunto, ya que su objeto es constituir una gua de la teora ms importante e indispensable para poder resolver los problemas ms habituales de la materia.

Se ha incluido un anejo con indicaciones de utilidad.

Espero que sea interesante para todos los que lo usen y ruego que sean generosos en perdonar los errores, que a buen seguro existen.

NDICE

CAPTULO 1- CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

1.1- Tensin y deformacin. 1.2- Vigas y estructuras planas. 1.3- Esfuerzos en barras.1.4- Equilibro en la rebanada. 1.5- Tipos de apoyos.1.6- Rtulas.1.7- Tipos de cargas.1.8- Tipos de estructuras.

CAPTULO 2- HIPTESIS BSICAS DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES.

2.1- Homogeneidad e isotropa del material. 2.2- Ley de Hooke.2.3- Equilibrio interno y externo. 2.4- Principio de superposicin.2.5- Planteamiento de las ecuaciones de equilibrio. 2.6- Hiptesis de Navier-Bernouilli.

CAPTULO 3- LEYES DE ESFUERZOS.

3.1- Momentos flectores.3.2- Esfuerzos cortantes.3.3- Axiles.

CAPTULO 4- SECCIONES.

4.1- Momentos de inercia. 4.2- Tensiones normales.4.3- Tensiones tangenciales.4.4- Ncleo central.4.5- Secciones compuestas.

CAPTULO 5- DEFORMACIONES Y MOVIMIENTOS.

5.1- Deformaciones por axil.5.2- Deformacin por momento flector. 5.3- Ecuacin de la elstica.5.4- Frmulas de Bresse. 5.5- Teoremas de Mohr.5.6- Efectos trmicos en las estructuras. 5.7- Rigidez y flexibilidad.5.8- Hiperestatismo.5.9- Teorema de la fuerza unidad.

CAPTULO 6- LNEAS DE INFLUENCIA.

6.1- Teorema de los trabajos virtuales. 6.2- Teorema de reciprocidad.6.3- Lneas de influencia. Definicin.6.4- Mtodos de obtencin de lneas de influencia.

CAPTULO 7- PRTICOS.

7.1- Estructuras simtricas.7.2- Cargas simtricas sobre estructuras simtricas. 7.3- Cargas antimtricas sobre estructuras simtricas.7.4- Cargas simtricas en estructuras con centro de simetra. 7.5- Cargas antimtricas en estructuras con centro de simetra.

CAPTULO 8- ARCOS.

8.1- Sistema equivalente de cargas.8.2- Curvas funiculares y antifuniculares.

CAPTULO 1- CONCEPTOS FUNDAMENTALES

1.1- TENSIN Y DEFORMACIN

Tensin:Se considera un slido en equilibrio bajo la accin de ciertas cargas. Cortando por un plano , se tiene:

P2P 1t = tensindAP 4P 4M 3M 3t dF FuerzadASuperficie : Tensin normal (componente perpendicular a ) : Tensin tangencial (componente contenida en ) Las unidades de t son MPa o kN/m2.

Deformacin longitudinal:

Sean dos puntos A y B de un slido elstico prximos entre s y unidos por la recta r. Al aplicar un estado de carga, se desplazarn a A y B respectivamente.

La deformacin longitudinal es el alargamiento relativo, en la direccin r, producido entre A y B. Es adimensional.

r

A'B''BA''B'A BB'' AA'' LABL

1.2- VIGAS Y ESTRUCTURAS PLANAS

La Resistencia de Materiales estudia los esfuerzos, deformaciones, tensiones y movimientos en estructuras planas.

Viga:

Es el slido engendrado por una superficie plana que se desplaza de modo que su centro de gravedad recorre una lnea que se denomina directriz, mantenindose dicha superficie perpendicular a la directriz.

GdirectrizG

Las fuerzas exteriores actuantes en la viga se suelen aplicar en algn punto de la directriz. En caso contrario, se trasladan a ella por las reglas de la Mecnica.

Las vigas pueden ser rectas, curvas, de seccin constante o variable, etc.

Estructura plana:

Es la formada por vigas enlazadas entre s, y cuyas directrices estn contenidas en el mismo plano. Todas las fuerzas aplicadas estn tambin contenidas en dicho plano.

1.3- ESFUERZOS EN BARRAS

Las tensiones actuantes en una seccin pueden ser sustituidas por un sistema de fuerzas equivalentes denominadas esfuerzos.

En general, los esfuerzos consisten en una fuerza axil, dos cortantes, dos momentos flectores y un momento torsor.

dNM xQ yQ zM yyM zzdxyxzxx

Para obtener los esfuerzos, hay que integrar las tensiones.

AXIL:

N x d

CORTANTES:

Qy xy d

Qz xz d

MOMENTOS FLECTORES:

M y x z d

M z x y d

MOMENTO TORSOR:

M x ( xz y xy z) d

En Resistencia de Materiales, se suele trabajar slo en dos dimensiones, por lo que los esfuerzos quedan reducidos a tres:

N (kN)

M

NQ

Q (kN)

M (kNm)

1.4- EQUILIBRIO DE LA REBANADA

Una rebanada es la parte de la viga entre dos secciones transversales infinitamente prximas. Si en dicha viga hay aplicadas ciertas cargas exteriores por unidad de longitud (q, n), aparecen los siguientes esfuerzos:

q dsn dsQ+dQ

NN+dNMfO

Mf+dMf

Qds

Estableciendo el equilibrio en la rebanada:

FH 0:

n dNdsN dN N n ds 0

FV 0 :

q dQdsQ dQ Q q ds 0

MO 0 :

M f dM f (Q dQ) ds q ds ds2

M f 0

Despreciando los infinitsimos de segundo orden:

dM f

dM fQ ds Q ds 0

La ley de cortantes es siempre la (pendiente de la ley de momentos flectores) con los siguientes signos:

++

+QsMf

1.5- TIPOS DE APOYOS

Un apoyo supone una coaccin a los movimientos, bien sean desplazamientos o giros. Por cada coaccin a un movimiento existe una reaccin, bien sea fuerza o momento. Pueden ser de varios tipos:

Apoyo simple:

V

Articulacin:

HV

Empotramiento:

HMV

Muelle:

k = V / d

V

Resorte:

k = M / oHMV

1.6- RTULAS

Son conexiones entre barras que permiten el giro. En ellas no existe momento flector, pero s pueden transmitir axil y cortante.

1.7- TIPOS DE CARGAS

Puntual:

F (kN)

F (kN)

Repartida:

q (kN/m)

q (kN/m)

Momento:

M (kN*m)

Momento repartido:

m (kN*m/m)

1.8- TIPOS DE ESTRUCTURAS

Isostticas:

Son aqullas en las que pueden obtenerse sus reacciones y las leyes de esfuerzos nicamente utilizando las ecuaciones de equilibrio.

H 0

V 0

M 0

Hiperestticas:

Para obtener las reacciones y las leyes de esfuerzos son precisas, adems de las condiciones de equilibrio, tantas condiciones de compatibilidad de movimientos como grados de hiperestatismo existan.

GH = N coacciones en apoyos - N rtulas - 3

Si GH = 0, la estructura es isosttica.

Mecanismos:

Se producen cuando la estructura colapsa (GH < 0).

CAPTULO 2- HIPTESIS BSICAS DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

2.1- HOMOGENEIDAD E ISOTROPA DEL MATERIAL

El material se supone homogneo e istropo. La homogeneidad supone la igualdad de propiedades del material en todos los puntos del slido. La isotropa supone la igualdad de las propiedades en todas las direcciones.

2.2- LEY DE HOOKE

Existe una proporcionalidad entre tensiones y deformaciones dada por la Ley de Hooke.

tg= E E

Donde:E: Mdulo de elasticidad longitudinal de Young: Tensin: Deformacin longitudinal

2.3- EQUILIBRIO INTERNO Y EXTERNO

FH 0

FV 0

M 0

2.4- PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN DE CARGAS

Si se tiene una estructura cargada con un estado P1, en cada punto existen unos esfuerzos, movimientos y tensiones. Si se carga con otro estado P2 existirn otros esfuerzos, movimientos y tensiones. El principio de superposicin de cargas establece que, si la estructura se carga con un sistema suma de los anteriores (P1+P2), los esfuerzos, movimientos y tensiones resultantes sern tambin suma de los provocados por los estados aisladamente.

20 kN20 kN

50 kN*m50 kN*m

2.5- PLANTEAMIENTO DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Las ecuaciones de equilibrio se plantean siempre en la estructura sin deformar.

2.6- HIPTESIS DE NAVIER-BERNOUILLI

Las secciones rectas que son planas y perpendiculares a la directriz antes de la deformacin, permanecen planas y perpendiculares a la directriz despus de la deformacin.

CAPTULO 3- LEYES DE ESFUERZOS

Las principales reglas a seguir en la obtencin de las leyes de esfuerzos en una estructura son las siguientes:

3.1- MOMENTOS FLECTORES

En tramos no cargados, la ley de momentos flectores es lineal. En las rtulas, el momento flector es nulo. En puntos donde hay aplicada una carga puntual no paralela a la directriz, aparece un pico en la ley de momentos flectores. En las secciones donde existe un momento exterior aplicado, aparece un salto en la ley de momentos flectores de igual valor al del momento exterior aplicado. Cuando hay una carga uniformemente repartida no paralela a la directriz, la ley de momentos flectores es parablica de segundo grado en el tramo donde acta dicha carga.

3.2- ESFUERZOS CORTANTES

Para obtener la ley de esfuerzos cortantes, se proyectan las cargas exteriores y las reacciones en sentido perpendicular a la directriz, en cada barra de la estructura.

Ley de cortantes = - Pendiente de la ley de momentos flectores.

Q dMfds

En secciones donde hay aplicada una carga puntual perpendicular a la directriz, aparece un salto en la ley de cortantes de igual valor. En los tramos donde existe una carga uniformemente repartida en sentido perpendicular a la directriz, la ley de esfuerzos cortantes es lineal. En los apoyos, el valor de la ley de cortantes es igual a la proyeccin de la reaccin en sentido perpendicular a la directriz. Si existe un momento exterior aplicado, la ley de cortantes no vara en dicho punto. Si hay un cambio de direccin en la estructura, se produce un salto en la ley de cortantes de valor igual al cambio de la proyectada en sentido perpendicular a la directriz.

3.3- AXILES

Para obtener la ley de esfuerzos axiles, se proyectan las cargas exteriores y las reacciones sobre la directriz de cada barra. Cuando hay una carga puntual aplicada en una seccin, se produce en dicha seccin un salto en la ley de axiles de igual valor a la proyeccin de la carga sobre la directriz. Si hay una carga exterior uniformemente repartida en sentido de la directriz, la ley de axiles es lineal. Si hay un cambio de direccin en la estructura, se produce un salto en la ley de axiles de igual magnitud que el cambio de la proyectada sobre la directriz.

CAPTULO 4- SECCIONES

4.1- MOMENTOS DE INERCIA

dAryxxOy

2I x yA dA

(siempre > 0)

I y

x 2 dA(siempre > 0)A

I xy

Pxy x y dAA

(puede ser >, < = 0)

Teorema de Steiner:

Sirve para obtener momentos de inercia de ejes paralelos a otros en que se conocen aqullos:

El momento de inercia de una superficie respecto a un eje, es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo que pasa por el centro de gravedad, incrementado en el producto del rea por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.

2I X I XG xG

De igual manera:

El producto de inercia de una superficie respecto a dos ejes ortogonales, es igual al producto de inercia respecto a dos ejes paralelos a los anteriores, que pasan por el centro de gravedad, incrementado en el producto del rea por las distancias entre ambos ejes.

4.2- TENSIONES NORMALES

Axil:

b (y)

Gdy

yN

G

N cte.N b( y) dy b( y) dy

M f 0

Momento flector (Flexin pura):

b (y)s

y G (y)fibra neutradys

GM

i

i

En flexin pura, en rgimen elstico, la fibra neutra est situada en la seccin del centro de gravedad.

2M f ( y) b( y) dy y E ( y) b( y) dy y ( y) k y E k y b( y) dy

M fk E I

E k y 2 b( y) dy k E I

k: Curvatura

I respecto c.d.g.

( y) E ( y) E k y E

M f y

( y) M yfIN 0y: distancia al c.d.g.

E I

Axil + Momento flector (Flexin compuesta):

b (y)s

Gf.dyn.

yNMG

i

En flexin compuesta, la fibra neutra no tiene por qu coincidir con el centro de gravedad.

( y) N M f yIFrmula de Navier

YMZMYZNXX

La frmula general de Navier para la obtencin de tensiones normales en una seccin es:

(x) NX M Z IY MY PYZ

YZYZI I P 2 y MY I Z M Z PYZ z

YZYZI I P 2

Siendo compresiones (-) y tracciones (+) y el producto de inercia:

PYZ

z y d

Si z e y son ejes principales de inercia, esta frmula se puede simplificar, ya que PYZ = 0, resultando:

(x) N X M ZI Z

y MY z IY

En general, todo eje de simetra y su perpendicular, ambos pasando por el centro de gravedad de la seccin, son principales de inercia.

4.3- TENSIONES TANGENCIALES

Son las debidas al esfuerzo cortante, que slo existe cuando hay variacin de momentos flectores. Las tensiones tangenciales aparecen para poder equilibrar las tensiones normales.

+d +d

MfMf + dM f'

Si se plantea el equilibrio en un paralelogramo elemental, tiene que haber equilibrio de fuerzas horizontales, verticales y momentos. La tensin tangencial es igual en las cuatro caras. '

'

'

Se tiene, por tanto:

c.d.g. de A

G AA GQ ( y) dQQ(y)

Y las tensiones tangenciales son:

( y) Q Me ( y)IG b( y)Frmula de Colignon

Donde:Q :Esfuerzo cortanteMe (y): Momento esttico del rea exterior a la fibra estudiada con respecto al c.d.g. de la pieza. IG:Momento de inercia a flexin de la pieza respecto al eje que pasa por el c.d.g.b (y):Ancho de la fibra estudiada.

Distribucin de tensiones tangenciales en secciones formadas por rectngulos (T, doble T, etc.):

En las fibras extremas son nulas. La ley de tensiones tangenciales est formada por parbolas de segundo grado. En los cambios de ancho hay un salto en la ley de tensiones tangenciales. El mximo aparece en la fibra del centro de gravedad.

Ejemplo: Seccin rectangular sometida a un cortante Q.

Q QM b x x h x b x h x b x h x

e

I 112

22 b h3

22 2

b b

Sustituyendo:

6 Q x (h x)b h3

h x

3 Q

2

2 b h

4.4- NCLEO CENTRAL

El ncleo central de una seccin es el lugar geomtrico de los puntos en los cuales, al aplicar una fuerza normal a la seccin, todas las tensiones normales son del mismo signo que la fuerza aplicada.

Seccin rectangular:

Aeyezy

NNo e yNzh

b

Si se aplica en el punto A un axil de compresin, las tensiones normales sern:

(x) N

N ey y I

con

b h ;

I 112

b h3 ;

y h2

Sustituyendo y haciendo (x) 0 , se tiene:

e h ; anlogamente:y6

e bz6

Por tanto, el ncleo central queda:

h/6b/6y

zh

b

Seccin circular:

r r/4r/4

Seccin tringulo equiltero:

a/4a

4.5- SECCIONES COMPUESTAS

EE 1

2

Son las formadas por materiales con diferentes mdulos de elasticidad. Para que se cumpla la hiptesis de Navier, y el diagrama de deformaciones de la seccin sea plano, el material ms rgido (con mayor E) necesita ms tensin para deformarse lo mismo que el ms flexible (con menor E).

Para obtener las tensiones en cada fibra, se procede de la siguiente manera:

1. Se calcula el coeficiente de equivalencia:

n E2E1

2. Se multiplica el ancho de las fibras con material 2 por n, y las del material 1 se dejan con la misma anchura.3. Se calculan las constantes estticas de la seccin homogeneizada y las tensiones provocadas por los esfuerzos (N, M, Q) con las frmulas habituales.4. Por ltimo, hay que hallar las tensiones existentes en la seccin real mediante las siguientes relaciones de equivalencia:

REAL,1 HOMOGENEIZADA,1 REAL,1 HOMOGENEIZADA,1 REAL,2 n HOMOGENEIZADA,2 REAL,2 n HOMOGENEIZADA,2

Hay que tener cuidado con el esfuerzo axil, ya que si est aplicado en el centro de gravedad de la seccin real, ser excntrico en la homogeneizada, y viceversa.

CAPTULO 5- DEFORMACIONES Y MOVIMIENTOS

5.1- DEFORMACIN POR AXIL

= N

NN

L 2 a

L

N

LE

De donde:

L L N LEE (m)E

Rigidez axial

5.2- DEFORMACIN POR MOMENTO FLECTOR

Gf.n.Gd/ 2s

MfMf

i

El acortamiento de la fibra superior es L 2 a

El acortamiento unitario de la fibra superior se denomina s

M y

L 2 a

fs ds s ds ds 2 a

sEE I

El ngulo de giro es:

dtg d a

2 a

d

2 2 ysys

Sustituyendo:

d M dsfE IGiro elemental producido por el momento flector

La curvatura que aparece en la directriz es:

d M fdsE I(rad/m)

E I : Rigidez a flexin

5.3- ECUACIN DE LA ELSTICA

x+x+++yq(x)++q(x)

y

En una rebanada cualquiera, sometida a la carga repartida q(x), se tiene:

q(x) dx

QQ+dQ

dx

q(x) dQdxV 0 Q Q dQ q(x)dx 0

Sabemos tambin que

Md f dx

M E I d

E I

fdx

Como

dy y'

M f E I y''dx

Y como dM f

Q E I y IIIq(x) E I y IVQ dx

5.4- FRMULAS DE BRESSE

Sirven para calcular los movimientos de un punto, conocidos los de otro, y las leyes de momentos flectores y axiles entre ellos.

BB A K (s) dsA

BBuB u A A ( yB y A ) (s) cos ds K (s) yB y(s) dsAA

BBvB vA A (xB xA ) (s) sen ds K (s) xB x(s) dsAA

Siendo:

s: directriz de la pieza.: ngulo que forma la tangente a la directriz en cada punto con el eje x.N (s)

Deformacin axial:

(s) T (s)

E (s)

Curvatura:

K (s) K T (s)

M f (s)

E I (s)

En caso de existir una rtula intermedia a los dos puntos, a las frmulas de Bresse hay que aadirles:

CONRTULA SINRTULA BBRTULA

u CONRTULA u SINRTULA BBRTULA ( y yBRTULA)

vCONRTULA v SINRTULA BBRTULA (x xBRTULA)

5.5- TEOREMAS DE MOHR

Son la aplicacin de las frmulas de Bresse para barras rectas de seccin constante.

Primer Teorema de Mohr:

El giro entre dos puntos es igual al rea de la ley de curvaturas entre ellos.

Segundo Teorema de Mohr:

La deformacin vertical entre dos puntos 1 y 2 es igual al momento esttico de la ley de curvaturas entre los dos puntos respecto a la vertical de 2, ms el giro en el punto inicial por el brazo horizontal, ms la proyeccin en vertical de la elongacin debida al esfuerzo axil.

Para la deformacin horizontal ser el equivalente.

La influencia de las rtulas es igual que la descrita en las Frmulas de Bresse.

5.6- EFECTOS TRMICOS EN LAS ESTRUCTURAS

Se supone una pieza recta de seccin simtrica con coeficiente de dilatacin , que sufre una variacin de temperatura ts en la fibra superior y ti en la fibra inferior. La variacin trmica a lo largo del espesor es lineal. El alargamiento debido al incremento trmico es, por tanto, lineal en el canto de la rebanada.

st

it

La deformacin de la rebanada cumple la hiptesis de Navier: las caras planas antes de la deformacin permanecen planas despus de la deformacin.

l s

2 a ds t s

a t

s ds2

l i 2 b ds t i

t i dsb 2

Por tanto, en la directriz:

l 2 a b a b t

s2

t i2

ds

Entonces, el alargamiento unitario ser:

t t s t i2

Y el valor de la curvatura que aparece por el incremento trmico ser:

d tg d a b22c

sd 2 (a b) 2 ds (t

t i )

c2 c

Por lo tanto:

sd t t ic

ds

Y la curvatura:

K t t s t ic

Hay que tener en cuenta que, en las estructuras isostticas, no aparecen esfuerzos debidos a temperaturas. La aplicacin de lo anterior a los teoremas de Mohr es:

GIROS = REA DE LA LEY DE CURVATURAS (Kt) MOVIMIENTOS = MOMENTOS ESTTICOS DE LA LEY DE CURVATURAS (Kt)ALARGAMIENTOS = REA DE LA LEY DE DEFORMACIONES (t)

5.7- RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD

Rigidez:

La rigidez de una barra es el esfuerzo que hay que introducir para lograr un movimiento unidad.

Rigidez axial: El alargamiento producido por una fuerza axil P es

P LE

. Por tanto, la rigidez ser:

K E NL

Aunque se suele denominar rigidez axial al producto E.

Rigidez a flexin: Como la curvatura es biapoyada de seccin constante:

M E I

, la rigidez a flexin es EI. En el caso de una barra

12KF 3 E IL M L3 E IM

L

Flexibilidad: La flexibilidad fij es el desplazamiento del grado de libertad j cuando se aplica una carga unidad en el grado de libertad i.

Flexibilidad axial:

f N

L

E

Flexibilidad a flexin: En el caso de una barra recta de seccin constante, con un momento aplicado en un extremo, se tiene:

12f11L3 E If12 L6 E IM = 1

L

5.8- HIPERESTATISMO

En las estructuras hiperestticas, para deducir las reacciones y las leyes de esfuerzos no basta con las ecuaciones de equilibrio, y es preciso buscar tantas condiciones adicionales de compatibilidad de movimientos como grados de hiperestatismo existan.

GH = N reacciones - N ecs. equilibrio N rtulas intermedias

Vigas continuas

En las vigas continuas, si no existen cargas horizontales o inclinadas ni diferencias trmicas, no hay reacciones horizontales en los apoyos, por lo que se pueden poner deslizaderas.

La forma general de resolverlas es plantear las condiciones de equilibrio, y como condiciones de compatibilidad de deformaciones igualar los giros en apoyos a ambos lados.

5.9- TEOREMA DE LA FUERZA UNIDAD

Sirve para calcular movimientos. El procedimiento de aplicacin es el siguiente:

Se crea un estado auxiliar, en el que se coloca una fuerza (o momento) unidad eficaz con el movimiento que se desea calcular.

Se calcula la ley de curvaturas del estado real (REAL) y la de momentos del estado auxiliar (Mf AUX).

El movimiento buscado est dado por la siguiente expresin:

REAL Mf AUX ds

Donde se consideran despreciables las deformaciones por axil, cortante y torsor.

Ejemplo: Se desea determinar la flecha en la seccin central de una viga simplemente apoyada, sometida a una carga repartida p (kN/m), y que tiene una rigidez a flexin EI.

p (kN/m)1

xC xCABAB

ESTADO REALESTADO AUXILIAR

Se obtienen las expresiones de las leyes de curvaturas en el estado real y de momentos flectores en el estado auxiliar, para la mitad izquierda de la viga. En la parte derecha sern simtricas.

Mf REAL

p L

2

x p x

22

REAL

Mf REALE I

p x (L x) 2 E I

Mf AUX x2

Por tanto, la flecha hacia abajo ser:

v REAL Mf AUX ds 2

L / 2

p x (L x) x 5 p L4 dx

02 E I2

384 E I

Si resulta positivo, el movimiento llevar el sentido de la fuerza introducida en el estado auxiliar.

CAPTULO 6- LNEAS DE INFLUENCIA

6.1- TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

P2P 1PiM i

Supuesto un sistema de cuerpos rgidos en equilibrio, sobre el que acta un sistema de cargas directamente aplicadas, se producen unos desplazamientos infinitesimales denominados desplazamientos virtuales, durante los cuales no se modifican las cargas aplicadas. Los trabajos elementales que realizan las cargas en estos desplazamientos se denominan trabajos virtuales.

El teorema de los trabajos virtuales establece que, supuesto inexistente el rozamiento, la condicin necesaria y suficiente para que un sistema de cuerpos rgidos est en equilibrio, es que la suma de los trabajos virtuales de las cargas sea nula, para cualquier desplazamiento virtual de los cuerpos compatible con los enlaces.

W Pi i Mi i 0

6.2- TEOREMA DE RECIPROCIDAD O DE MAXWELL

Se considera un cuerpo elstico sobre el que actan dos sistemas de cargas. Al suponerse comportamiento lineal, se admite el principio de superposicin. Se denominan movimientos eficaces de las cargas a aqullos que producen trabajo de stas.

BAdIACPB

ABd IIBAIIOCCP

MC

III

El teorema de reciprocidad establece que el trabajo producido por un sistema de cargas FI aplicadas en una estructura, al aparecer en sta unos movimientos eficaces debidos a otro sistema de cargas FII, es igual al trabajo de las fuerzas FII debido a los movimientos eficaces causados por el sistema de cargas FI.

F d II F d IIII

6.3- LNEAS DE INFLUENCIA. DEFINICIN

Lnea de influencia de un esfuerzo, reaccin o movimiento en una seccin especfica para una carga dada, es una curva cuyo valor en cada punto indica la magnitud del esfuerzo, reaccin o movimiento en la seccin a estudiar cuando la carga exterior ocupa cada punto.

6.4- MTODOS DE OBTENCIN DE LNEAS DE INFLUENCIA

Mtodo directo

Se calcula la lnea de influencia directamente, en funcin de la distancia de la carga a la seccin de estudio. Suele ser muy laborioso.

Mtodo de los trabajos virtuales

Se utiliza para calcular lneas de influencia de esfuerzos y reacciones de determinacin isosttica. Momentos flectores: Lnea de influencia del momento flector en A.

1 (x)

MMMM

AAAAA

Para que aparezca MA como accin externa, se coloca una rtula.

1 (x)

M AM A +

Al ser un mecanismo en equilibrio, el trabajo de todas las fuerzas exteriores ser nulo. Aplicando el principio de los trabajos virtuales:

W 1(x) v(x) M A M A 0

v(x) M A ( )

M A

v(x)

M A v(x)Si se hace + = 1 se tiene

As, la lnea de influencia del momento flector en A cuando una carga vertical descendente de valor unidad recorre la estructura, ser la ley de corrimientos verticales de la pieza cuando en la seccin A se pone una rtula con un giro relativo de valor unidad.

Esfuerzos cortantes: Lnea de influencia del esfuerzo cortante en A.

1 (x)

QQQQ

AAAAA

Para que aparezca QA como accin externa, se coloca en A un artilugio que permita el desplazamiento vertical, pero no el horizontal ni el giro.

1 (x)

QAQA a

b

Aplicando trabajos virtuales:

W 1(x) v(x) QA a QA b 0

v(x) QA (a b)

QA

v(x)

(a b)

QA v(x)Si se hace (a+b) = 1 se tiene

Reacciones: Lnea de influencia de la reaccin vertical en B.

1 (x)1 (x)

BBAA

VB

VB

Aplicando trabajos virtuales:

W 1(x) v(x) VB 0

v(x) VB

V v(x)B

VB v(x)Si se hace = 1 se tiene

Aplicacin del teorema de la reciprocidad

Sirve para obtener lneas de influencia de esfuerzos y reacciones de determinacin hiperesttica, y de movimientos de determinacin isosttica o hiperesttica.

Se consideran en la estructura dos estados de carga. El primero corresponde exactamente al que nos dan, habiendo explicitado el resultado de la lnea de influencia (R).

El segundo estado consiste en la misma estructura, en la que se aplica el resultado complementario unidad (R*) eficaz con el que se busca. Por tanto:

SiR = fuerzaR* = desplazamiento

SiR = desplazamientoR* = fuerza

SiR = momentoR* = giro

SiR = giroR* = momento

Se trata as de tener un estado donde R produzca un trabajo exterior positivo. Posteriormente se utiliza la aplicacin del teorema de reciprocidad entre los dos estados para obtener la lnea de influencia buscada.

CAPTULO 7- PRTICOS

7.1- ESTRUCTURAS SIMTRICAS

Se supone que una estructura tiene un eje o plano de simetra cuando su geometra y sus condiciones de contorno (apoyos) son simtricos con respecto a dicho plano.

Una estructura simtrica sometida a un sistema de cargas arbitrario puede calcularse como la suma de los dos estados de carga siguientes:

Estado simtrico: Con cargas dispuestas simtricamente respecto al plano de simetra.

Estado antimtrico: Con cargas dispuestas antimtricamente respecto al plano de simetra.

PP/2P/2

P/2P/2

MM/2M/2M/2M/2

7.2- CARGAS SIMTRICAS EN ESTRUCTURAS SIMTRICAS

PP

CMADBM

Los movimientos deben ser compatibles con la simetra:

uCD 0

CD 0

Los esfuerzos en las secciones coincidentes con el eje de simetra, pertenecientes a barras no coincidentes con dicho eje, sern las indicadas en la figura siguiente:

CVMMV

H H

La componente vertical V debe ser nula, para que puedan existir equilibrio y simetra. En barras coincidentes con el eje de simetra:

M

Q

N

D

Donde:

MCD QCD 0

7.3- CARGAS ANTIMTRICAS EN ESTRUCTURAS SIMTRICAS

PP

CMADBM

Los movimientos y esfuerzos compatibles con la antimetra son los opuestos a la simetra.

vCD 0

Los esfuerzos en las secciones coincidentes con el eje de simetra, pertenecientes a barras no coincidentes con dicho eje de simetra, sern:

CMMVV

HH

HC 0

MC 0

En las barras coincidentes con el eje de simetra:

NCD 0

7.4- CARGAS SIMTRICAS EN ESTRUCTURAS CON CENTRO DE SIMETRA

PCBPA

Analizando los esfuerzos en el nudo C:

MV

H

CM

HV

Para que exista equilibrio:

MC 0

Y por simetra:

uC 0

vC 0

7.5- CARGAS ANTIMTRICAS EN ESTRUCTURAS CON CENTRO DE SIMETRA

PCBPA

Analizando los esfuerzos en el nudo C:

MV

H

CMV

H

Para que exista equilibrio:

HC 0

VC 0

Y por antimetra:

C 0

CAPTULO 8- ARCOS

8.1- SISTEMA EQUIVALENTE DE CARGAS

xyp (kN/m)

p (kN/m)Bp (kN/m)LyHALxV MB

Ly

H1

V1M 1ALx

Si se tiene una carga constante por unidad de longitud de directriz en cada punto, se puede sustituir por un sistema de cargas equivalente. Para demostrar que los sistemas de cargas de la figura son equivalentes, se calculan los esfuerzos en una seccin cualquiera.

BBH1 p ds sen p dy p Ly HA A

B BV1 p ds cos p dx p Lx VAA

BBB

yBp L 2

p L 2

M 1 p ds sen y p ds cos x p y dy p x dx x M

AAA

A22

Por lo tanto, ambos sistemas de cargas son equivalentes.

8.2- CURVAS FUNICULARES Y ANTIFUNICULARES

Para un sistema de cargas dado, la curva funicular es la directriz de la pieza prismtica que, estando sometida a dicho sistema de cargas, el nico esfuerzo que existe en todas sus secciones es un axil de traccin. La curva antifunicular es la equivalente en compresin.

As, el funicular ser la posicin de equilibrio de un cable, y el antifunicular el simtrico.

Carga paralela a una direccin en estructuras planas:

yp(x)kN/mp dxN+dNo+doodsNx

Planteando el equilibrio en el elemento diferencial ds, y despreciando los infinitsimos de segundo orden:

H 0N cos H cte.

Es decir, la proyeccin horizontal del esfuerzo axil es constante en todas las secciones.

H y'' p(x)V 0

Que es la ecuacin diferencial de la curva funicular, en estructuras planas sometidas a cargas paralelas a una direccin.

Carga perpendicular a la directriz de un arco en cada punto:

La carga es constante por unidad de longitud de arco.

p dsdsdo/2rdo/2doNN+dNO

Planteando el equilibrio:

H 0

dN 0

N cte.

r N cte. pV 0

Por lo tanto, el antifunicular es una circunferencia de radio r, siendo el axil de compresin N = r p = cte.

ANEJO

UNIDADES

Longitud:

1 m = 100 cm = 1000 mm

1 cm = 0.01 m = 10 mm

1 mm = 10-3 m = 0.1 cm

Fuerza:

1 kN = 1000 N = 100 kp = 0.1 t

1 N = 10-3 kN = 0.1 kp = 10-4 t1 kp = 0.01 kN = 10 N = 10-3 t

1 t = 10000 N = 1000 kp = 10 kN

Tensin:

1 MPa = 106 Pa = 106 N/m2 = 100 t/m2 = 10 kp/cm2 = 10 bar = 1 N/mm2 = 1000 kN/m21 kN/m2 = 0.1 t/m2 = 0.01 kp/cm2 = 0.01 bar = 10-3 N/mm2 = 10-3 MPa1 t/m2 = 10 kN/m2 = 0.1 kp/cm2 = 0.1 bar = 0.01 MPa1 kp/cm2 = 1 bar = 100 kN/m2 = 10 t/m2 = 0.1 MPa

FRMULAS DE INTERS

Frmulas trigonomtricas

sen2 cos2 1sen(2 ) 2 sen cos

sen2

1 122

cos(2 )

cos2 1 1

cos(2 ) 2 cos2 1

cos(2)22

Derivadas

xy y' 12 x

y sen y' cos

y cos y' sen

y 1 y' 1 1

xx 2

y tg y'

cos2

y u v y' u'v v'u

y u y' u'v u v'

y cot g y'

1

sen2

vv 2

y sen(k ) y' k cos(k )

y arctg y' 11 x 2

y cos(k ) y' k sen(k )

Integrales

u dv u v v du sen d cos sen

sen cos d

cos(2 ) 4

cos d sen cos

sen2 d 2 sen(2 )

4

sen cos d sen(2 ) 2 cos(2 )8

cos2

d

2 sen(2 )

4

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS

Son del siguiente tipo:

Teora de Resistencia de Materiales, Elasticidad y PlasticidadJorge Perelli Botello

1y (n) a

y (n1) ..... a

y 0

cony(x)

nEl procedimiento para resolverlas es el siguiente:

1) Se forma la ecuacin caracterstica:

1nk n a k n1 ..... a 0

2) Se hallan las races de la ecuacin caracterstica:

k1 , k2 ,....., kn

3) Segn el carcter de las races, se escriben las soluciones particulares, linealmente independientes, partiendo de lo siguiente:

a) A toda raz simple k, corresponde una solucin particular:

ek xb) A todo par de races complejas conjugadas [k(1) = + i] y [k(2) = - i] le corresponden dos soluciones particulares:

e x cos( x)ye x sen( x)

c) A toda raz real k de orden de multiplicidad r, corresponden r soluciones particulares linealmente independientes:

ekx ,

x ek x , ..... ,

xr 1 ek x

d) A todo par de races complejas conjugadas de orden de multiplicidad r ( + i , - i), corresponden 2r soluciones particulares:

e x cos( x) ,

x e x cos( x) , ..... ,

xr 1 e x cos( x)

e x sen( x) ,

x e x sen( x) , ..... ,

xr 1 e x sen( x)

El nmero de estas soluciones particulares es igual al grado de la ecuacin caracterstica o, lo que es lo mismo, al orden de la ecuacin diferencial dada.

4) Una vez encontradas n soluciones linealmente independientes (y1 , y2 , ..... , yn), la solucin general es:

y c1 y1 c2 y2 ..... cn yn

Donde c1 , c2 , ..... , cn son constantes arbitrarias.

CARACTERSTICAS DE SECCIONES

G y bG2

yGb

a b

IGX

1 a b312

a

rGyGyG r

r 2

I 1 r 44

GyG

1 h3

h 1 a hy2G

I1aGX36

a h3

G yGxG h

yg

1 a4

3 h

10

xG

a 1 a h3

Gy 4 rG3

r

yG 1 r 22O

Teora de Resistencia de Materiales, Elasticidad y PlasticidadJorge Perelli Botello

2rI XO

1 r 48

2I (9 64) r 4XG72

y

Gaab a bx

bI XG

1 a b34

IYG

1 a3 b4

rrei

2(re

24ri )

4I 1 4

(re ri )

FRMULAS EN VIGAS SIMPLES

12

P L2

2 E I

v2P L3

23 E I

M L

122E I

v2

M L2

2 E I

q (kN/m)

2

q L3

6 E I

12

v2

q L4

8 E I

1 2

P L216 E I

123v3

P L348 E I

1

M L

6 E I

3212

M L

3 E I

v3

M L2

16 E I

q (kN/m)

Teora de Resistencia de Materiales, Elasticidad y PlasticidadJorge Perelli Botello

3 1 212

q L324 E I

v3

5 q L4

384 E I

31

P a b

6 E I L

(L b)

122

P a b

6 E I L

(L a)

2v P a

b2

33 E I L

1 2

1

M

6 E I L

(L2 3 b2 )

2

M

6 E I L

(L2 3 a 2 )

q (kN/m)

121

q a 2

(4 a L a 2

4 L2 )

24 E I L

2 q a

(2 L2 a 2 )

224 E I L