A. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN (CAMBIO DE VARIABLE)

La base teórica del método de integración por sustitución es la regla de la cadena, la cual establece que

.d

f g x f g x g xdx

Dado que la integración es la operación inversa de la diferenciación, al integrar ambos lados obtenemos

.f g x g x dx f g x

Ahora, una integral dada en esta forma la podemos transformar mediante la sustitución u g x con la cual resulta que

du g x dx y

.f g x g x dx f u du f u f g x

Al sustituir u g x en la integral original ésta se transformar en una más simple que involucra la variable u .

Después de resolver la integral transformada se debe regresar a la variable original x cambiando la variable u por g x .

B. INTEGRACIÓN POR PARTES

Según la regla para la derivada de un producto de funciones,

f x g x f x g x g x f x ,

podemos ver que f x g x es una antiderivada de la función f x g x g x f x ; es decir,

f x g x g x f x dx f x g x .

Ahora, de acuerdo con las propiedades básicas de la integral indefinida, la ecuación anterior se puede expresar como

f x g x dx g x f x dx f x g x ,

por lo tanto,

f x g x dx f x g x g x f x dx .

Equivalentemente, si u f x y v g x , entonces du f x dx , dv g x dx y la fórmula anterior se

expresa como:

udv uv vdu .

C. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

sen cosm nx xdxIntegrales de la forma

n es impar ( 2 1n k ; k un entero). 2 1 2sen cos sen cos sen 1 sen coskkm n m mx x x x x x x

.

Usamos la sustitución sen cosu x du xdx .

m es impar ( 2 1m k ; k un entero). 2 1 2sen cos sen cos 1 cos cos sen

kkm n n nx x x x x x x

.

Utilizamos la sustitución cos senu x du xdx .

m y n son pares. Se emplean las identidades: 2 12

sen 1 cos 2x x y 2 12

cos 1 cos 2x x ; a veces se usa

12

sen cos sen 2x x x .

tan secm nx xdxIntegrales de la forma

n es par. -2 -22 2-2 2 2 2 2 2sec sec sec sec sec tan 1 sec

n nn nx x x x x x x . Usamos la sustitución

2tan secu x du xdx .

m es impar. 1

21 1 2 1tan sec tan sec tan sec sec 1 sec tan sec .m

m n m n nx x x x x x x x x x

Usamos sec sec tanu x du x xdx .

n es impar y m es par. 2 22 2tan tan sec 1m m

m x x x . Aplicamos secn xdx .

sen cos , sen sen , cos cosmx nxdx mx nxdx mx nxdx Integrales de la forma y

Se utilizan, respectivamente, las identidades:

1sen cos sen sen

2

1sen sen cos cos

2

1cos cos cos cos

2

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

D. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Cuando el integrando contiene una expresión de la forma 2 2a x , 2 2a x , o 2 2x a , donde 0a , se

emplean una sustitución trigonométrica adecuada que transforma la integral original en otra que contiene funciones

trigonométricas y es más fácil de resolver. Las sustituciones adecuadas son:

E. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES MEDIANTE FRACCIONES PARCIALES

CASO 1 El denominador Q x es un producto de factores lineales distintos.

Significa que Q x tiene k factores lineales, es decir

1 1 2 2 k kQ x a x b a x b a x b

k factores

y será necesario determinar las constantes i

A que satisfacen la ecuación:

1 2

1 1 2 2

k

k k

R x AA A

Q x a x b a x b a x b

.

CASO 2 Q x es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

Por ejemplo, supongamos que 3

1 1 2 2 3 3Q x a x b a x b a x b en donde 1 1

a x b se repite 3 veces.

Entonces es necesario determinar las constantes i

A que satisfacen:

3 51 2 4

2 31 1 2 2 3 31 1 1 1

R x A AA A A

Q x a x b a x b a x ba x b a x b

CASO 3 Q x contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite.

Procedemos en forma análoga al caso 1. Supongamos que Q x tiene k factores lineales distintos y r factores

cuadráticos irreductibles diferentes, entonces debemos encontrar constantes i

A , j

B y j

C tales que:

1 2 1 1 2 2

2 2 21 1 2 2 1 1 1 2 2 2

k r r

k k r r r

R x AA A B x C B x C B x C

Q x a x b a x b a x b c x d x e c x d x e c x d x e

.

CASO 4 Q x contiene uno o más factores cuadráticos irreductibles repetidos.

Procedemos como en el caso 2.

2 2a x sen cosx a dx a d , 2 2 2 21 sen cos

2 2a x 2tan secx a dx a d ,

2 2 2 21 tan sec

2 2x a sec sec tanx a dx a d , 2

0 o 32 2 2sec 1 tan

FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN QUE INVOLUCRAN A LAS FUNCIONES RACIONALES PROPIAS MÁS SIMPLES:

1.

1

1 1

1

ln 1

n

n

ndx n x a

x ax a n

2.

12 2

2

2

2

122 1

ln 12 2

n n

n

A Ab dxB n

aa n ax bx c ax bx cAx Bdx

ax bx c A Ab dxax bx c B n

a a ax bx c

3.

1 122 2 2 2

2 3 22

1 41 4n n n

n adx ax b dx

n ac bax bx c n ac b ax bx c ax bx c

4.

1 2

2

2

2

2 2tan 4 0

2 4 0

2

21ln 4 0

2

ax bq ac b

q q

dxq ac b

ax bx c ax b

ax b qq ac b

q ax b q

para

para

para