resumen métodos numéricos_v5

Resumen Mtodos Numricos aplicables en Simulacin de

procesos en estado estacionario

Modelamiento y simulacin

Ingeniera Metalrgica

Tipos de Errores Criterios de Parada en Calculo numricos iterativos

Errores Experimentales. Sistemticos Asociados al sistema, sin

posibilidad de tratamiento estadstico.

Personales.

De escala.

Accidentales: Aleatorios, con posibilidad de tratamiento estadstico.



Errores en manipulacin numrica

Redondeo. Truncamiento.

Calculo de Errores. Error verdadero o absoluto

Error verdadero o absoluto relativo

Error aproximado

Error aproximado relativo

Solucin a las ecuaciones no lineales

Mtodos Cerrados

aprovechan el hecho de que una funcin cambia designo en la vecindad de una raz. A estas tcnicas seles llama mtodos cerrados, o de intervalos, porque senecesita de dos valores iniciales para la raz. Como sunombre lo indica, dichos valores iniciales debenencerrar, o estar a ambos lados de la raz.

La aplicacin repetida de estos mtodos siempregenera aproximaciones cada vez ms cercanas a laraz. Se dice que tales mtodos son convergentesporque se acercan progresivamente a la raz a medidaque se avanza en el clculo

Mtodos Abiertos

En contraste, los mtodos abiertos se basan en frmulasque requieren nicamente de un solo valor de inicio o queempiecen con un par de ellos, pero que nonecesariamente encierran la raz. stos, algunas vecesdivergen o se alejan de la raz verdadera a medida que seavanza en el clculo. Sin embargo, cuando los mtodosabiertos convergen, en general lo hacen mucho msrpido que los mtodos cerrados.



Mtodos de Intervalos: El Mtodo de la biseccin

Problema: Anlisis Global del Mtodo



Condiciones de Entrada para la solucin del Mtodo

Aprox. Der 14

Aprox. Izq 2

Toleracia 0.0000001

N It permit. 100

Raiz real 7,145

Entradas =

= ||/

=

= | |/Condiciones para todos los mtodos.



Resultados Excel - IteracionesIteracin Aprox. Raiz (pm) F(pm) Error Verd. E.Ver.Rel Eaprox. Eaprox. Rel

1 8,000 -3,300 -0,855 12,0% 8,000 100,0%

2 5,000 5,700 2,145 30,0% -3,000 60,0%

3 6,500 2,100 0,645 9,0% 1,500 23,1%

4 7,250 -0,375 -0,105 1,5% 0,750 10,3%

5 6,875 0,919 0,270 3,8% -0,375 5,5%

6 7,063 0,286 0,082 1,1% 0,188 2,7%

7 7,156 -0,041 -0,012 0,2% 0,094 1,3%

8 7,109 0,123 0,035 0,5% -0,047 0,7%

9 7,133 0,041 0,012 0,2% 0,023 0,3%

10 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,012 0,2%

11 7,150 -0,020 -0,006 0,1% 0,006 0,1%

12 7,147 -0,010 -0,003 0,0% -0,003 0,0%

13 7,146 -0,005 -0,001 0,0% -0,001 0,0%

14 7,145 -0,002 -0,001 0,0% -0,001 0,0%

15 7,145 -0,001 0,000 0,0% 0,000 0,0%

16 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

17 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

18 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

19 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

20 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

21 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

22 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

23 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

24 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

25 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

26 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%



Anlisis

12 3 4

1er intervalo



Anlisis

12 3 4

La naturaleza desigual del error verdadero se debe aque, en el mtodo de la biseccin, la raz exacta se

encuentra en cualquier lugar dentro del intervalo

cerrado.

Aunque el error aproximado no proporciona unaestimacin exacta del error verdadero, la figura sugiere

que toma la tendencia general descendente de .Adems, la grfica muestra una caracterstica muy

interesante: que siempre es mayor que . Por lotanto, cuando es menor que () los clculos se

pueden terminar, con la confianza de saber que la raz

es al menos tan exacta como el nivel aceptable

predeterminado.



Naturaleza Desigual del Error Verdadero1-er iteracin

12 3 4




12 3

Se observa como entre la primera y lasegunda iteracin, el error verdadero

aumenta en magnitud.

Se calcula el error aproximado.




12 3

Se observa como entre la segunda yla tercera iteracin, el error verdadero

disminuye en magnitud.

El error aproximado se hace menoren magnitud en esta iteracin, y

mantiene la tendencia decreciente

uniforme, si el mtodo converge.



Anlisis

12 3 4

Es conveniente tambin relacionar los

errores con el nmero de cifras

significativas en la aproximacin.

Es posible demostrar (Scarborough, 1966)que si el siguiente criterio se cumple, se

tendr la seguridad que el resultado escorrecto en al menos n cifras significativas.

() = (. )%

Un ejemplo podra ser la determinacin de

el criterio mnimo que asegura que un

resultado sea correcto en al menos tres

cifras significativas:

() = (. )%

() = . %

O la cantidad de cifras significativas para que el error de

la iteracin 26, est representado por un nmero de

dgitos significativos al menos correcto:

De la formula anterior se despeja el numero n.

= (. )%

Por otro lado, tambin es posible Determinar a priori el numero de iteraciones para obtener un error deseado

Donde x= x nuevo x anterior

Caso de Investigacin: Minimizacin de las evaluaciones de una

funcin en el mtodo de la biseccin, e implementacin de algoritmos.



Seudocdigo(Chapra & Canale)



Definicin de variables y tipo.

Inicializacin del contador de iteraciones.

Estructura de control Iterativa

Almacenamiento del calculo anterior.Calculo de la nueva aproximacin.

Estructura de control selectiva, calculo del error

aproximado relativo porcentual.

Evaluacin del cambio de signo.

Estructura de control selectiva, asignacin del nuevo

intervalo.

Cierre del ciclo.

Inicio del ciclo

El Mtodo de la Falsa Posicin


https://www.youtube.com/watch?v=jDdaI4D6Qrw

Intervalo inicial

A

B

aa'

b

b

Semejanza de tringulos

=

()

=

()

()

()

Despejando la aproximacin a la raz:

= ()()

=()

() +

()

()



El Error verdadero en el mtodo de la falsa posicin

En este mtodo se obtiene una idea ms completa de la

eficiencia de los mtodos de biseccin y de falsa posicin

al observar la figura, donde se muestra el error relativo

porcentual verdadero para una funcin determinada f(x) .

Observe cmo el error decrece mucho ms rpidamente

en el mtodo de la falsa posicin que en el de la

biseccin, debido a un esquema ms eficiente en elmtodo de la falsa posicin para la localizacin de races.



Iteracin Aprox. Raiz (pm) F(pm) Error Verd. E.Ver.Rel Eaprox. Eaprox. Rel

1 3,786 7,296 3,359 47,0% 3,786 100,0%

2 5,270 5,184 1,874 26,2% 1,485 28,2%

3 6,212 2,932 0,933 13,1% 0,941 15,2%

4 6,710 1,453 0,435 6,1% 0,498 7,4%

5 6,949 0,674 0,196 2,7% 0,239 3,4%

6 7,058 0,303 0,087 1,2% 0,109 1,5%

7 7,106 0,134 0,038 0,5% 0,049 0,7%

8 7,128 0,059 0,017 0,2% 0,021 0,3%

9 7,137 0,026 0,007 0,1% 0,009 0,1%

10 7,141 0,011 0,003 0,0% 0,004 0,1%

11 7,143 0,005 0,001 0,0% 0,002 0,0%

12 7,144 0,002 0,001 0,0% 0,001 0,0%

13 7,144 0,001 0,000 0,0% 0,000 0,0%

14 7,144 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

15 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

16 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

17 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

18 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

19 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

20 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

21 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

22 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

23 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

Se llega a calcular la raz con un numero de

iteraciones menor , en comparacin con el mtodo de

la biseccin, el error aproximado relativo continua

siendo mayor al error verdadero relativo, siendo este

ultimo regular un su tendencia decreciente.


Ingeniera Metalrgica Para el problema

Seudocdigo del mtodo de la falsa posicin(Chapra & Canale)



FP

FP

()

() +

()

()

Mtodo de la Falsa Posicin modificado

Si f(x) es cncava entre xa y xb se dice que elmtodo es estacionario (su cambio es lento

en funcin del numero de iteraciones); esto

es, el punto xb es siempre uno de los dos

puntos usados para la siguiente iteracin

Lo mismo ocurrira si fuese convexa en las inmediaciones de la raz, provocando una

convergencia lineal en estos casos.

Una forma de disminuir la naturalezaunilateral de la falsa posicin consiste en

obtener un algoritmo que detecte cuando se

estanca uno de los lmites del intervalo. Siocurre esto, se divide a la mitad el valor de lafuncin en el punto de estancamiento.



2 it.1 it.

3 it.

Algoritmo de la Falsa Posicin modificado Variacin Illinois



Deteccin de la Estacionariedad del mtodo,

contador de la repeticin del extremo del intervalo. El

mtodo se modifica cuando se detectan dos o mas

repeticiones.

Mtodo de la Falsa Posicin modificado Algoritmo Illinois



1 it. 2 it.

2 repeticiones

2 repeticiones

3 it. 4 it. 5 it.

Divisin de f(b) por 2

Aceleradores de Convergencia pegaso e Illinois

Una mejora que lo hace ms eficiente consiste en aplicar la frmula:

xr =f(a)

f a f(b)b +

f(b)

f b f(a)a

a los puntos xi - 1 y xi + 1 , pero reemplazando

Yi-1 por yi-1, tal que 0 < < 1

De modo que:

xr =f(a)

f a f(b)b +

f(b)

f b f(a)a

Si = 0.5 , el mtodo se denomina Illinois.

Si =

++1, el mtodo se denomina pegasus.



Para el caso de la Estacionariedad en a.

Se llega a calcular la raz con un numero de

iteraciones menor , en comparacin con el mtodo de

la falsa posicin, y los errores se minimizan.


1 5,109 5,499 2,036 28,5% 5,109 100,0%

2 6,923 0,759 0,221 3,1% 1,814 26,2%

3 7,165 -0,072 -0,020 0,3% 0,242 3,4%

4 7,154 -0,033 -0,009 0,1% -0,011 0,2%

5 7,149 -0,016 -0,005 0,1% -0,005 0,1%

6 7,147 -0,008 -0,002 0,0% -0,002 0,0%

7 7,146 -0,004 -0,001 0,0% -0,001 0,0%

8 7,145 -0,002 -0,001 0,0% -0,001 0,0%

9 7,145 -0,001 0,000 0,0% 0,000 0,0%

10 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

11 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

12 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

13 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

14 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

15 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

16 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

17 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

18 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

19 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

20 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%


Ingeniera Metalrgica Para el problema Implementacin acelerador de

Convergencia Illinois

Mtodos Abiertos: El Mtodo de Newton Rhapson


https://www.youtube.com/watch?v=sjBXn10c5Ic






1 15,833 -60,744 -8,689 121,6% 12,833 81,1%

2 10,243 -14,735 -3,099 43,4% -5,590 54,6%

3 7,939 -3,046 -0,794 11,1% -2,304 29,0%

4 7,270 -0,447 -0,125 1,8% -0,669 9,2%

5 7,159 -0,049 -0,014 0,2% -0,111 1,6%

6 7,146 -0,005 -0,001 0,0% -0,013 0,2%

7 7,145 -0,001 0,000 0,0% -0,001 0,0%

8 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

9 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

10 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

11 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%

12 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%




Cdigo VBA

Funcin y Derivada programada en un modulo estndar.




Drawbacks del Mtodo



Convergencia Orden de convergencia: En anlisis numrico la velocidad con la cual una sucesin converge a sulmite es llamada orden de convergencia. Este concepto es, desde el punto de vista prctico, muy importante si

necesitamos trabajar con secuencias de sucesivas aproximaciones de un mtodo iterativo. Incluso puede hacer la diferencia

entre necesitar diez o un milln de iteraciones



Sistemas de Ecuaciones linealesGauss-Seidel

Notacin de un sistema de ecuaciones lineales:

11313212111 ... cxaxaxaxa nn

2n2n323222121 cxa...xaxaxa

nnnnnnn cxaxaxaxa ...332211

. .

. .

. .



Sistemas de Ecuaciones linealesGauss-Seidel

Caractersticas del mtodo iterativo de Gauss Seidel para solucionar sistemas de ecuaciones lineales :

1. Permite al usuario el control del error por redondeo, en comparacin con los mtodos LU y eliminacin gaussiana, los cuales son propensos a dicho error.

2. Si la fsica del problema es bien conocida, se puede estimar un vector inicial de condiciones, el cual

permita disminuir el numero de iteraciones, para obtener un resultado deseado.



Gauss-SeidelAlgoritmo

Re-escribiendo cada ecuacin

11

131321211

a

xaxaxacx nn

nn

nnnnnn

n

nn

nnnnnnnnn

n

nn

a

xaxaxacx

a

xaxaxaxacx

a

xaxaxacx

11,2211

1,1

,122,122,111,11

1

22

232312122

From Equation 1

From equation 2

From equation n-1

From equation n



Gauss-Seidel

Forma General del Metodo

11

11

11

1a

xac

x

n

jj

jj

22

21

22

2a

xac

x

j

n

jj

j

1,1

11

,11

1

nn

n

njj

jjnn

na

xac

x

nn

n

njj

jnjn

na

xac

x

1



Gauss-Seidel

Algoritmo

Formula general para cualquier i

.,,2,1,1

nia

xac

xii

n

ijj

jiji

i

Donde y como puede utilizarse esta ecuacin ?



Gauss-SeidelDespejar las incognitas

Vector de suposiciones inciales

n

1-n

2

1

x

x

x

x



Gauss-Seidel

Calcule el error aproximado relativo

100

new

i

old

i

new

i

ia x

xx

Compare el error con la tolerancia y decida si continuar o

detener el algoritmo.



Convergencia del Metodo de Gasuss SeidelGauss-Seidel

- Extendiendo el anlisis a los conceptos bsicos del algebra de matrices, se sabe que la clase de

sistemas de ecuaciones que siempre convergen, son aquellos que son diagonalmente dominantes;

entonces, un sistema es diagonalmente dominante si:

Es decir que el coeficiente de la diagonal principal debe ser mayor en magnitud que la suma de los

coeficientes que lo rodean en la fila correspondiente. Si el orden original no cumple con estas

condiciones, es posible re-ordenar filas por columnas y asegurar la convergencia del mtodo.

Para todo i y Para al menos un i



Metodo de Gasuss Seidel



Calculo de races de ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones lineales con las herramientas Goal Seek

(Buscar Objetivo) , Solver y funciones matriciales en Microsoft Excel.



Goal Seek (Buscar Objetivo)



Calcular las races de la siguiente ecuacin : 23 42 + 1 = 0Para el intervalo [0;2.5]

Versin Excel 2007.

Parmetros de la Herramienta Goal Seek - Buscar Objetivo.

Versin Excel 2013.

Goal Seek (Buscar Objetivo) Calculo de una sola raz



23 42 + 1 = 0 Para el intervalo [0;2.5] Del anlisis grafico se observa que las races del polinomio se aproximan a los valores de 0,5 y 1.7 aproximadamente.

Modelo de calculo:

Celda objetivo: Valor deseado; como se desea

calcular la raz, la imagen de la raz es igual a cero, en

la funcin polinomica. (Debe contener la formula de la funcin)

Variable independiente:

La raz, calculada por la

herramienta.

Solucin.

Solver de MsExcel : A diferencia de la funcin buscar objetivo, nos brinda la opcin de calcular todas las races bajo el mismo procedimiento de

calculo.



Calcular la races de la siguiente ecuacin : 23 42 + 1 = 0Para el intervalo [0;2.5]

Activacin de la

herramienta en Excel.

Solver de MsExcel



Calcular la raz de la siguiente ecuacin : 23 42 + 1 = 0 Para el intervalo [0;2.5]

Modelo de clculo (Estrategia)

Celdas con la funcin polinomica, correspondientes a

dos valores cercanos a las races.

Sumatoria de la columna.

Valores

aproximados a las races..

Se debe tener en cuenta que una de las races siempre ser menor que la otra en

este caso, de modo que adicionalmente el

modelo debe asegurar tal condicin, para

no se dupliquen los resultados

Solver de MsExcel





Se establece en la celda C2, que si el valor de la celda A1 es menor

que la celda A2, se imprima el numero 1, en caso contrario se imprima

el numero 2, en esta celda.

Solver de MsExcel





Se establece que el objetivo sea que la suma de los valores

anteriores (Imgenes de las aproximaciones) sea igual a cero.

Valor del objetivo.

Rango de valores a cambiar.

Restricciones: se obliga a que losvalores de la funcin sean iguales a

cero, variando los valores de la

aproximacin (celdas A1 y A2) , y

adicionalmente se obliga a que lacelda C2, siempre sea igual 1, o lo quendice que siempre el numero de la

celda A1 ser menor que el numero

calculado en la celda C2.

Resultados

Solucin de sistemas de Ecuaciones Lineales Herramienta

Solver



Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

Plantear un modelo en Solver para obtener la solucin del sistema de ecuaciones.

Solucin de sistemas de Ecuaciones lineales Herramienta

Solver



Modelo planteado:

Igualacin de cada una de las

ecuaciones a cero.

Vector de trminos independientes.Matriz de coeficientes.

Vector supuesto inicial de

aproximaciones.

Solucin de sistemas de Ecuaciones Lineales Herramienta

Solver



Modelo planteado:

Solucin de sistemas de Ecuaciones Lineales Herramienta Solver



Al resolver el modelo se obtienen los resultados:

Solucin de sistemas de Ecuaciones Lineales Funciones Matriciales de Excel (Estrategia de resolucin)



Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

Y conociendo que un sistema matricial se puede representar de la forma:

axi = bEn donde a representa la matriz de coeficientes, xi las variables y b el vector de trminos

independientes.




La solucin explicita para las variables puede expresarse como:

xi = (a1)b

Donde a-1, representa la matriz inversa de la matriz de coeficientes.

Representacin en Ms EXCEL de la

matriz de coeficientes y vector de

trminos independientes.

Vector de TI.




Calculo de la matriz Inversa de coeficientes: Funcin MINVERSA(Rango)

Al presionar Enter, aparecer elresultado del primer elemento de la

matriz, (Tener en cuenta que la matriz

Inversa contiene el mismo numero de

elementos que la matriz decoeficientes




Para extender los calculo de la matriz inversa, se extiende al rango total de la matriz y se

presiona la tecla F2 en el resultado obtenido :

Luego se debe presionar la combinacin de teclas CTRL+SHIFT+ENTER, que es como Excelinterpreta las ejecuciones matriciales

Matriz Inversa.

Solucin de sistemas de Ecuaciones lineales Funciones Matriciales de Excel (Estrategia de resolucin)



Luego creamos el vector de soluciones de las variables x1, x2 y x3:

Para obtener la solucin debemos MULTIPLICAR la inversa de la matriz de coeficientes por el

vector de trminos independientes, para ello empleamos la funcin MMULT(Matrices).




Luego de oprimir la tecla ENTER y extender el resultado al todo el rango del vector solucin

(CTRL+SHIFT+ENTER), se pueden visualizar los resultados:

Valores que satisfacen el sistema de ecuaciones planteado.

x1 -0,426

x2 0,064

x3 0,128

Ejercicios Sistemas de ecuaciones lineales(Resolver utilizando las herramientas vistas anteriormente)



:

.

Solucin de sistemas de Ecuaciones No lineales



Expresin de una ecuacin lineal:

A las ecuaciones algebraicas y trascendentes que no se pueden expresar de esta forma se les llama ecuaciones no lineales. Ejemplos son:

Sistema de dos ecuaciones

no lineales con dosincgnitas.

Pueden

expresarsede la forma:




Mtodo de Newton Rhapson Generalizado para la solucin de sistemas de ecuaciones No

Lineales.

Mtodo de Newton Rhapson para una ecuacin: (Expansin de la serie de Taylor al segundo

trmino).

En donde f(xi+1)=0 (interseccin con el eje x), de modo que la ecuacin puede reescribirse como:

Aproximacin en el mtodo de Newton

Rhapson.




Mtodo de Newton Rhapson Generalizado para la solucin de sistemas de ecuaciones No

Lineales.

Para el caso de dos variables independientes , se extiende el mismo concepto que para una sola,

de modo que la serie de Taylor para mltiples variables , se puede escribir como:

:Serie de Taylor para

variable u.

Serie de Taylor para

variable v




En este caso las races se encontrarn para los valores de x y y, donde las funciones u(x,y) y

v(x,y) (Imgenes de las aproximaciones), son iguales a cero, de modo que:




Llegndose a obtener la expresin para el calculo de las aproximaciones +1 y +1

Determinante Jacobiano del sistema

de ecuaciones no lineal.

Aproximacin de x.

Aproximacin de y.

la aproximacin de Newton- Raphsonpuede diverger si los valores iniciales

no estn lo suficientemente cercanos a

la raz verdadera.

Solucin de sistemas de Ecuaciones No lineales Herramienta

Solver



Tambin es posible plantear un modelo o estrategia de resolucin de sistemas de ecuaciones no

lineales con la herramienta Solver de Excel, como veremos a continuacin para el siguiente caso:

Lo primero consiste en expresar el sistema de arriba, como:


Solver



Tambin es posible plantear un modelo o estrategia de resolucin de sistemas de ecuaciones no

lineales con la herramienta Solver de Excel, como veremos a continuacin para el siguiente caso:

Lo primero consiste en expresar el sistema de arriba, como funcin de , de tal forma que:


Solver



Luego se establece en Ms Excel el sistema de la siguiente forma:

La suma de cuadrados de las funciones u(x,y) y v(x,y)

garantiza que las celdas B3 y B4 sean siempre cero ynunca de igual dimensincon signo contrario.

Funcin v(x,y)

Funcin u(x,y)

Valores x y y; independientes.


Solver



Modelo Solver:


Solver



Resultados con Solver:


Solver



Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineal, con la ayuda de la herramienta Solver.

resumen métodos numéricos_v5

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